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专题09 幂函数与二次函数（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 5
【考点1】幂函数的图象和性质 5
【考点2】求二次函数的解析式 9
【考点3】二次函数的图象与性质 12
【分层检测】 17
【基础篇】 17
【能力篇】 23
【培优篇】 28
考试要求：
1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，了解它们的变化情况；
2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0)
图象 (抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点 坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.
3.(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质；
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限.
一、单选题
1．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
1．D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
2．D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
3．C
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，故.
故答案为：C.
4．C
【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设，由，因为 ，，所以
，
因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；
当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．
【考点1】幂函数的图象和性质
一、单选题
1．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（ ）
A． B． C．3 D．1
2．（2023·四川成都·一模）与有相同定义域的函数是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·云南曲靖·二模）已知集合，定义，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则与的全部元素之和等于3874
B．若表示实数集，表示正实数集，则
C．若表示实数集，则
D．若表示正实数集，函数，则2049属于函数的值域
4．（23-24高一上·贵州·阶段练习）现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
三、填空题
5．（2024·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为 ．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则与的图象交点的纵坐标之和为 ．
参考答案：
1．A
【分析】根据幂函数的定义，求得或，结合幂函数的单调性，即可求解.
【详解】由函数为幂函数，可得，
即，解得或，
当时，函数在上单调递减，符合题意；
当时，函数在上单调递增，不符合题意.
故选：A.
2．D
【分析】求出各函数的定义域，即可得出合适的选项.
【详解】对于函数，有，即函数的定义域为，
对于A选项，函数的定义域为，A不满足；
对于B选项，函数的定义域为，B不满足；
对于C选项，对任意的，，即函数的定义域为，C不满足；
对于D选项，函数的定义域为，D满足.
故选：D.
3．BD
【分析】对于A：根据题意可得，，即可得结果；对于B：根据题意结合指数函数的值域分析判断；对于C：根据题意结合幂函数值域分析判断；对于D：根据题意取特值检验即可.
【详解】对于选项A：因为，
根据所给定义可得，，
则与的全部元素之和等于3872，故选项A错误；
对于选项B：，故选项B正确；
对于选项C：，表示幂函数的值域，
可知幂函数的值域为，即，故选项C错误；
对于选项D：因为，
当时，则，
可得，故选项D正确.
故选：BD.
4．AB
【分析】根据幂函数的图象和性质结合已知图象分析判断即可.
【详解】对于幂函数，若函数在上单调递增，则，若函数在上单调递减，则，所以，D选项错误；
当时，若的图象在的上方，则，若的图象在的下方，则，
所以，C选项错误；
因为当时，指数越大，图象越高，所以，
综上，，AB选项正确.
故选：AB
5．（不唯一）
【分析】根据幂函数的单调性奇偶性即可得解.
【详解】因为在上单调递增，又在区间上单调递减，
所以可以为偶函数，不妨取，
此时，函数定义域为，
且，故为偶函数，
满足在区间上单调递减.
故答案为：（不唯一）
6．2
【分析】分析函数的奇偶性，由图象的平移变换求解即可.
【详解】对于，可以把的图象看作：
由的图象向上平移1个单位长度得到，
而的图象可看作由的图象向右平移1个单位长度得到；
对于的图象可看作由
的图象向上平移1个单位长度得到，
而的图象可看作由的图象向右平移1个单位长度得到．
易知与都为奇函数，
则易知与的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为0．
因为将函数图象向右平移不改变与两函数图象交点处函数值的大小，
所以与的图象交点的纵坐标之和为0，
又将函数图象向上平移1个单位长度会使得原交点处的函数值都增加1，
则与的图象的两个交点的纵坐标与与的图象两个交点的纵坐标相比都增加1，
故与的图象交点的纵坐标之和为2．
故答案为：2
反思提升：
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.
(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
【考点2】求二次函数的解析式
一、单选题
1．（2023高一·江苏·专题练习）函数在的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西·模拟预测）设函数的定义域为，且，当时，，则（ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）若正数，满足，则（ ）
A．的最大值是
B．的最小值为
C．当时，
D．的最小值为
4．（2023·全国·模拟预测）已知二次函数满足对于任意的且．若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·湖北武汉·二模）已知动点的轨迹方程为，其中，则的最小值为 .
6．（2021·江苏苏州·三模）已知函数f(x)同时满足①；②在[1，3]上单调递减；③.该函数的表达式可以是f(x)= .
参考答案：
1．B
【分析】利用三角恒等变换结合换元法，最后利用二次函数的值域求解即可.
【详解】函数，
令，，
因为，所以，
，对称轴为，图象开口向下，
当时，取得最大值，，
当时，取得最小值，，
所以在的值域为
故选：B
2．D
【分析】根据题意，通过赋值法求得，即可联立方程解出.
【详解】由题意可得①；②．
令，由①得：，
令，由②得，因为，
所以，即.
令，由①得，
解得，所以．
故选：D．
3．ACD
【分析】ABC项，利用均值不等式和“1”的代换求解，D项，消元利用二次函数求最值.
【详解】对于A，因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，故选项A正确；
对于B，因为，，
所以，
所以的最小值为，
当且仅当时，即时，等号成立，故选项B错误；
对于C，因为，所以．
当且仅当，即时，等号成立，
又因为，所以，此时，故选项C正确；
对于D，由题知，
则，
当时取最小值，最小值为，故选项D正确.
故选：ACD．
4．BD
【分析】设，根据题意，求得，由，得到，设，得到，结合三角函数的性质，逐项计算，即可求解.
【详解】设二次函数，
因为，令，可得，故，所以，
令，得，故，即；
又因为，即，解得，所以，
由，可得，
设，即，
从而，故A错误，B正确；
又由
，所以C错误、D正确．
故选：BD．
5．/
【分析】令，由，，转化为，进行求解.
【详解】令，则且，
则
，当且仅当取等号.
故答案为：
6．
【分析】根据题意构造符合题意的二次函数即可.
【详解】由可知：关于对称；可设f(x)为二次函数，
又且f(x)在[1，3]上单调递减，
所以可设符合题意.
故答案为：
反思提升：
求二次函数解析式的方法
【考点3】二次函数的图象与性质
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）若函数在上单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2022·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若函数，则（ ）
A．为偶函数 B．的图像关于 对称
C．在上有4个零点 D．在上单调递减
4．（2024·河南信阳·模拟预测）若函数在上单调，则实数的值可以为（ ）
A． B． C． D．3
三、填空题
5．（2023·辽宁葫芦岛·二模）已知函数，则关于x的不等式的解集为 ．
6．（23-24高三下·福建·开学考试）已知函数的值域为，则实数a的取值范围为 ．
参考答案：
1．B
【分析】根据开口向上，故需在区间上有最小值，且，从而得到不等式，求出答案.
【详解】要使函数在区间上有最大值或最小值，
由于开口向上，
故需函数在区间上有最小值，且．
该函数图像的对称轴为直线，所以，
解得，
所以，且，即实数的取值范围为．
故选：B．
2．C
【分析】由题意，根据二次函数的图象与性质建立不等式组，解之即可求解.
【详解】令，
则或或或
解得或，
即实数m得取值范围为.
故选：C．
3．ABD
【分析】先通过二倍角公式将函数化简，进而化为，进而结合三角函数的性质及二次函数的性质求得答案.
【详解】由题意，.
对A，，A正确；
对B，，则函数的图像关于对称，B正确；
对C，令，而，则或或或或，C错误；
对D，时，，，且当x增大时，减小，此时减小，即函数为减函数，D正确.
故选：ABD.
4．BD
【分析】分别讨论和两种情况，结合二次函数的图像分析，即可得到答案.
【详解】①当，即时，，所以的对称轴为，则的图象如下：
结合图象可知，要使函数在上单调，则或，解得：或，即或；
②当，即或，令，则的对称轴为，则的图象如下：
结合图象可知，要使函数在上单调，
则，或，或，或
解得：，或，
综上：或；
故选：BD
5．
【分析】分析函数的性质，借助函数单调性和代入求解不等式作答.
【详解】当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，是增函数，且，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，而，
则当，即时，恒有成立，则，
当时，，不等式化为，解得，则，
所以不等式的解集为.
故答案为：
6．
【分析】
利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】当时，
若，可得；
若，，函数的值域不可能为；
②当时，，
所以函数在 ，上单调递增，
若函数的值域为，只需，可得．
由上知，实数a的取值范围为．
故答案为：
反思提升：
1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.
2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.
3.闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
4不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·四川成都·模拟预测）若集合，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在中，为线段的一个三等分点，.连接，在线段上任取一点，连接，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知二次函数满足对于任意的，，且.若，则的最大值与最小值之和是（ ）
A． B． C．4 D．
4．（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（20-21高三上·辽宁辽阳·期末）下列函数中是奇函数，且值域为的有（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·海南·模拟预测）下列函数最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·全国·模拟预测）在下列四个图形中，二次函数与指数函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（2023·甘肃平凉·模拟预测）已知幂函数的图象过点，设，则a、b、c的大小用小于号连接为 ．
9．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数的最小值为3，则 .
10．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知函数，则的值域为 ．
四、解答题
11．（2021·甘肃天水·模拟预测）已知幂函数在上为增函数.
（1）求实数的值；
（2）若在上为减函数，求实数的取值范围.
12．（2024·山东·二模）已知是二次函数，且．
(1)求的解析式；
(2)若，求函数的最小值和最大值．
参考答案：
1．A
【分析】求出值域，得到，故A是B的真子集，得到答案.
【详解】由幂函数的性质可知，则A是B的真子集，
则是的充分不必要条件.
故选：A
2．C
【分析】根据在线段上得到，结合已知条件得到，和的关系式，最后转化为二次函数求最小值.
【详解】在线段上，，，
为线段的一个三等分点，，，
，
由平面向量基本定理得，，
，
当时，取得最小值.
故选：C.
3．C
【分析】设，根据题意求得，由得到，设，，即，，利用三角函数的性质求最大值最小值即可.
【详解】设，
因为，令，得，故，所以，
令，得，故，即，
又，即，故，，所以，
由，得，设，，即，，
则
，
所以的最大值与最小值之和为，
故选：C
4．A
【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围.
【详解】设，，则在上单调递增.
因为在区间内单调递减，所以函数在区间内单调递减，
结合二次函数的图象和性质，可得：，解得4.
故选：
5．AC
【分析】根据奇函数的定义判断四个函数的奇偶性，并求出值域可得答案.
【详解】对于A，因为，所以是奇函数，且值域为，故A正确；
对于B，因为，所以为奇函数，但值域为，故B不正确；
对于C，因为，所以为奇函数，且且值域为，故C正确；
对于D，因为，所以为奇函数，但是值域为．故D不正确.
故选：AC
6．ABC
【分析】A选项直接由二次函数的性质判断；B、C选项指数函数结合基本不等式进行判断；D选项通过对数函数的性质进行判断.
【详解】对于A，，最小值为2；
对于B，，当且仅当，时取得最小值2；
对于C，，当且仅当，即时取得最小值2；
对于D，，当时取得最小值1，综上可知：ABC正确.
故选：ABC.
7．ABD
【分析】根据的关系与各图形一个个检验即可判断．
【详解】当时，A正确；当时，B正确；
当时，D正确；当时，无此选项．
故选：ABD．
8．
【分析】首先求出幂函数的解析式，再利用其单调性即可比较大小.
【详解】幂函数的图象过点，
则，
所以幂函数的解析式为，且函数为单调递增函数，
又，所以，即.
故答案为：.
9．
【分析】由换元法得函数最值，由此可列方程求参数.
【详解】令，所以，
令，则的最小值为，
解得.
故答案为：2.
10．
【分析】利用基本不等式及二次函数与指数函数的性质计算即可.
【详解】由题意可知时，，当且仅当时取得等号，
时，，当且仅当时取得等号，
故.
故答案为：.
11．（1）；（2）.
【分析】(1)由幂函数的意义列出关于m的方程，再结合函数性质即可得解；
(2)由(1)求得，再由复合函数单调性探求出对数的真数构成的二次函数单调性即可作答.
【详解】（1）因为幂函数，则，解得或，
又在上为增函数，即有，于是；
（2）由（1）知，，
在上为减函数，而函数在上是增函数，则由复合函数单调性知函数在上为减函数，
又的递减区间是，则，
于是得解得，
所以实数的取值范围为.
12．(1)；
(2)，．
【分析】（1）设二次函数为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）根据二次函数的性质，求得函数的单调区间，进而求得其最值.
【详解】（1）解：设二次函数为，
因为，可得，解得，
所以函数的解析式．
（2）解：函数，开口向下，对称轴方程为，
即函数在单调递增，在单调递减，
所以，．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·北京海淀·二模）设函数的定义域为，对于函数图象上一点，若集合只有1个元素，则称函数具有性质.下列函数中具有性质的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2023·河北沧州·三模）已知二次函数满足，；当时，.函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，为自然对数的底数，则（ ）
A．函数的最小值为
B．
C．
D．函数的导函数的最小值为
三、填空题
3．（2024·辽宁·模拟预测）命题：存在，使得函数在区间内单调，若的否定为真命题，则的取值范围是 .
四、解答题
4．（2024·浙江·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知，，点的坐标是．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若点在坐标轴上，且使得，求点的坐标．
参考答案：
1．D
【分析】根据性质的定义，结合各个函数的图象，数形结合，即可逐一判断各选择.
【详解】根据题意，要满足性质，则的图象不能在过点的直线的上方，且这样的直线只有一条；
对A：的图象，以及过点的直线，如下所示：
数形结合可知，过点的直线有无数条都满足题意，故A错误；
对B：的图象，以及过点的直线，如下所示：
数形结合可知，不存在过点的直线，使得的图象都在该直线的上方，故B错误；
对C：的图象，以及过点的直线，如下所示：
数形结合可知，不存在过点的直线，使得的图象都在该直线的上方，故C错误；
对D：的图象，以及过点的直线，如下所示：
数形结合可知，存在唯一的一条过点的直线，即，满足题意，故D正确.
故选：D.
2．ACD
【分析】设，根据已知条件求出、、的值，可得出函数的解析式，利用二次函数的基本性质可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可得出关于、的等式组，求出的解析式，求出的值，可判断B选项；利用函数的最值与导数的关系可判断C选项；利用基本不等式求出的最小值，可判断D选项.
【详解】设，
由知函数的图象关于直线对称，
即，解得.
因为，由题意可得，
当时，，则，
所以，故，即，
所以.
又恒成立，即恒成立，
于是，整理可得，解得，
所以，，则，
因此，函数的最小值为，A正确；
因为函数为奇函数，则，①
又因为函数为偶函数，则，②
联立①②可得，于是，，B错误；
于是，，即在上单调递增.
注意到，从而，C正确；
由基本不等式可得，当且仅当时，
即当时，等号成立，故函数的最小值为，D正确，
故选：ACD.
3．
【分析】先给出命题p的否定，由函数的单调性进行求解.
【详解】命题p的否定为：任意，使得函数在区间内不单调，
由函数在上单调递减，在上单调递增，
则，而，
得，
故答案为：
4．(1)，
(2)或或或
【分析】
（1）作轴，解直角三角形即可求出点，的坐标，利用待定系数法可求解；
（2）由题意可得，，依据点在坐标轴上，设或，根据，即可求得点的坐标.
【详解】（1）
作轴，在，，，
所以，，所以，
因为在反比例函数的图象上，
所以，所以反比例函数为，因为在的图象上，
所以，把，两点的坐标代入，则，
解得，
所以一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）由，令，则，令，则，
所以，，所以，
若点在轴上，设，则，
由可得，解得或，
所以点或，
若点在轴上，设，则，
由可得，解得或，
所以点或，
综上所述，点的坐标为或或或.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·安徽淮北·二模）当实数变化时，函数最大值的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多选题
2．（2023·湖南株洲·一模）已知是函数的零点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
3．（2022·北京东城·二模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限，劳累程度，劳动动机相关，并建立了数学模型．
已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：
①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；
②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；
③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：
④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱．
其中所有正确结论的序号是 ．
参考答案：
1．D
【分析】先对内函数对应的方程的根的情况分类讨论，得出时，结果为16，对于时，求出两根，根据图象，就内函数的零点与区间端点的位置进行分类考虑，利用函数单调性分析即得.
【详解】若，即时，，其对称轴为，，
此时，因，故的最小值为16；
若，由可得，
（Ⅰ）如图1，当时，即时，在上递减，
在上递增，
在上递减，在上递增，又，
① 当时，，故，而在上单调递
减，则此时，；
② 当时，，故，而在上单调
递增，则此时，.
（Ⅱ）如图2，当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
则此时，而在上单调递减，则.
综上，函数最大值的最小值为8.
故选：D.
【点睛】方法点睛：本题主考查绝对值函数在给定区间上的最值问题，属于难题.
解决绝对值函数的方法，主要是根据其内部函数的特点，结合图象，就参数分类讨论去掉绝对值，再利用函数的单调性，即可求其最值.
2．ABC
【分析】设，由可得，再根据选项依次判断正误即可.
【详解】设，
，，，
即，
所以要使为系数都是整数的整式方程的根，则方程必须包含因式.
由中的最高次数为4，是它的一个零点，
因此，
即.
对选项，，是正确的；
对选项，，是正确的；
对选项，，是正确的；
对选项，，当时，最小值为，当时，无最小值，因此选项是错误的.
故选：.
【点睛】关键点睛：本题解题关键在于将含有无理数的平方根式通过两次平方化成有理数，得到含有无理数解的有理数整式方程，从而得解.
3．①②④
【分析】利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即得.
【详解】设甲与乙的工人工作效率，工作年限，劳累程度，劳动动机，
对于①，，，，，
∴，，
则，
∴，即甲比乙工作效率高，故①正确；
对于②，，，，
∴，，
则，
∴，即甲比乙工作效率高，故②正确；
对于③，，，，，
∴，，
，
所以，即甲比乙劳累程度弱，故③错误；
对于④，，，，
∴，，
∴，
所以，即甲比乙劳累程度弱，故④正确.
故答案为：①②④.
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专题09 幂函数与二次函数（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 4
【考点1】幂函数的图象和性质 4
【考点2】求二次函数的解析式 5
【考点3】二次函数的图象与性质 6
【分层检测】 7
【基础篇】 7
【能力篇】 9
【培优篇】 10
考试要求：
1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，了解它们的变化情况；
2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0)
图象 (抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点 坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.
3.(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质；
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限.
一、单选题
1．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点1】幂函数的图象和性质
一、单选题
1．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（ ）
A． B． C．3 D．1
2．（2023·四川成都·一模）与有相同定义域的函数是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·云南曲靖·二模）已知集合，定义，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则与的全部元素之和等于3874
B．若表示实数集，表示正实数集，则
C．若表示实数集，则
D．若表示正实数集，函数，则2049属于函数的值域
4．（23-24高一上·贵州·阶段练习）现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
三、填空题
5．（2024·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为 ．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则与的图象交点的纵坐标之和为 ．
反思提升：
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.
(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
【考点2】求二次函数的解析式
一、单选题
1．（2023高一·江苏·专题练习）函数在的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西·模拟预测）设函数的定义域为，且，当时，，则（ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）若正数，满足，则（ ）
A．的最大值是
B．的最小值为
C．当时，
D．的最小值为
4．（2023·全国·模拟预测）已知二次函数满足对于任意的且．若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·湖北武汉·二模）已知动点的轨迹方程为，其中，则的最小值为 .
6．（2021·江苏苏州·三模）已知函数f(x)同时满足①；②在[1，3]上单调递减；③.该函数的表达式可以是f(x)= .
反思提升：
求二次函数解析式的方法
【考点3】二次函数的图象与性质
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）若函数在上单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2022·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若函数，则（ ）
A．为偶函数 B．的图像关于 对称
C．在上有4个零点 D．在上单调递减
4．（2024·河南信阳·模拟预测）若函数在上单调，则实数的值可以为（ ）
A． B． C． D．3
三、填空题
5．（2023·辽宁葫芦岛·二模）已知函数，则关于x的不等式的解集为 ．
6．（23-24高三下·福建·开学考试）已知函数的值域为，则实数a的取值范围为 ．
反思提升：
1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.
2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.
3.闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
4不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·四川成都·模拟预测）若集合，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在中，为线段的一个三等分点，.连接，在线段上任取一点，连接，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知二次函数满足对于任意的，，且.若，则的最大值与最小值之和是（ ）
A． B． C．4 D．
4．（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（20-21高三上·辽宁辽阳·期末）下列函数中是奇函数，且值域为的有（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·海南·模拟预测）下列函数最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·全国·模拟预测）在下列四个图形中，二次函数与指数函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（2023·甘肃平凉·模拟预测）已知幂函数的图象过点，设，则a、b、c的大小用小于号连接为 ．
9．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数的最小值为3，则 .
10．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知函数，则的值域为 ．
四、解答题
11．（2021·甘肃天水·模拟预测）已知幂函数在上为增函数.
（1）求实数的值；
（2）若在上为减函数，求实数的取值范围.
12．（2024·山东·二模）已知是二次函数，且．
(1)求的解析式；
(2)若，求函数的最小值和最大值．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·北京海淀·二模）设函数的定义域为，对于函数图象上一点，若集合只有1个元素，则称函数具有性质.下列函数中具有性质的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2023·河北沧州·三模）已知二次函数满足，；当时，.函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，为自然对数的底数，则（ ）
A．函数的最小值为
B．
C．
D．函数的导函数的最小值为
三、填空题
3．（2024·辽宁·模拟预测）命题：存在，使得函数在区间内单调，若的否定为真命题，则的取值范围是 .
四、解答题
4．（2024·浙江·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知，，点的坐标是．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若点在坐标轴上，且使得，求点的坐标．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·安徽淮北·二模）当实数变化时，函数最大值的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多选题
2．（2023·湖南株洲·一模）已知是函数的零点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
3．（2022·北京东城·二模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限，劳累程度，劳动动机相关，并建立了数学模型．
已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：
①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；
②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；
③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：
④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱．
其中所有正确结论的序号是 ．
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