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第六章 平行 四边形
1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形边、角的性质
【学习目标】
1．经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，在活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯；
2．探索并掌握平行四边形的性质，并能简单应用；
3．在探索活动过程中发展学生的探究意识。
【学习策略】
探索并掌握四边形的基本性质，进一步学习说理和简单的推理，将为学生学习空间与图形的后继内容打下基础，本节将用多种手段（直观操作、图形的平移、旋转、说理及简单推理等）探索平行四边形的性质并培养学生的探索意识。
【学习过程】
一、情境导入：
准备好剪刀、彩纸或白纸一张。将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片，将它们相等的一边重合，得到一个四边形。
（1）你拼出了怎样的四边形？与同桌交流一下；
（2）给出小明拼出的四边形，它们的对边有怎样的位置关系？说说你的理由，请用简捷的语言刻画这个图形的特征。
二.新课学习：
1、平行四边形的相关概念：
平行四边形定义中的两个条件：①四边形，②两边分别平行即AD // BC 且AB // CD；
平行四边形的表示 “ ”。
2、 对角线。
3、生活中常见到平行四边形的实例有什么呢？你能举例说明吗？
平行四边形的性质
1、平行四边形是中心对称图形吗？如果是,你能找出它的对称中心并验证你的结论吗
2、你还发现平行四边形的哪些性质呢
⑴你能通过剪纸，拼纸片，及旋转，可以观察到平行四边形的性质吗？
⑵你能通过推理来证明这些结论吗？
议一议：如果已知平行四边形的一个内角度数，能确定其它三个内角的度数吗？
1、提示：下面的题都需自己先画出合适的平行四边形.
（1）在□ABCD中若∠B＋∠D=80°，则∠A＝ ；∠C＝ .
（2）若∠ABC=65°∠CAD=60°，则∠D= °；∠ACD= °；∠BAC= °.
2、如图，在□ABCD中，AC与BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE=CF．求证：BE=DF．
三、尝试应用
1、□ABCD中，周长为40cm，△ABC周长为25，则对角线AC= .
2、□ABCD中，周长为48cm，AB：BC=3：5，AD=__________,CD=_____________.
3、如图，在□ABCD中，∠ADC=125°，∠CAD=21°，求∠ABC和∠CAB的度数.
四、课堂小结
1.两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形.
2、平行四边形的性质：
（1）平行四边形对边
（2）平行四边形对角
（3）平行四边形是_ ，两条对角线的交点是它对称轴.
五.达标测试
一．选择题（共3小题）
1．平行四边形的一个内角是70°，则其他三个角是（　　）
A．70°，130°，130° B．110°，70°，120°
C．110°，70°，110° D．70°，120°，120°
2．在 ABCD中，∠ACB=25°，现将 ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数（　　）
A．135° B．120° C．115° D．100°
3．如图，在 ABCD中，AD=6，AB=4，DE平分∠ADC交BC于点E，则BE的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共3小题）
4．平行四边形ABCD中一个角的平分线把一条边分成3cm和4cm两部分，则这个四边形的周长是　 　cm．
5．如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），则点B的坐标是　 　．
6．已知平行四边形ABCD的周长为44，过点A作AE⊥直线BC于E，作AF⊥直线CD于点F，若AE=5，AF=6，则CE+CF的值为　 　．　
三．解答题（共3小题）
7．如图，已知 ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．
求证：AF=EC．
8.如图，在 ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且BE=DF．求证：∠BAE=∠DCF．
9.已知：如图，E，F为 ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．
参考答案
达标测试答案：
一．选择题
1．【解析】选C根据平行四边形的性质知，相邻的两个内角互补．一个角为70°，另三个角分别为110°，70°，110°．
2．【解析】选C．由折叠，得∠EAC=∠ECA=25°，∠FEC=∠AEF，∠DFE=∠GFE，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=130°，∴∠FEC=65°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠DFE+∠FEC=180°，∴∠DFE=115°，∴∠GFE=115°，
3．【解析】选A．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=6，CD=AB=4，AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∴∠CDE=∠DEC，∴EC=CD=4，∴BE=BC﹣EC=2．
二．填空题
4．【解析】如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∵∠A的平分线交BC于点E，∴∠BAE=∠DAE∵AD∥BC，∴∠DEA=∠BEA，∴∠DAE=∠BEA，∴AB=BE，分两种情况进行讨论：当BE=3cm，EC=4cm时，AB=BE=3cm，BC=7cm，平行四边形的周长=2（3+7）=20（cm）；当BE=4cm，EC=3cm时，AB=BE=4cm，BC=7cm，平行四边形的周长=2（4+7）=22（cm）；
综上所述： ABCD的周长是22或22cm．
5．【解析】∵四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），∴BC=OA=6，6+1=7，∴点B的坐标是（7，4）；
6．【解析】①如图1中，当∠BAD是钝角时，设AB=a，BC=b，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=a， BC AE= CD AF，∴6a=5b ①，∵a+b=22 ②，由①②解得a=10，b=12，在Rt△ABE中，∵∠AEB=90°，AB=10，AE=5，∴BE===5，∴EC=12﹣5，
在Rt△ADF中，∵∠AFD=90°．AD=12，AF=6．∴DF===6，∵6 ＞10，∴CF=DF﹣CD=6﹣10，∴CE+CF=EC+CF=2+．②如图2中，当∠BAD是锐角时，由①可知：DF=6 ，BE=5，∴CF=10+6，CE=12+5，∴CE+CF=22+11．
三．解答题
7．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠EAB=∠BAD，∠FCD=∠BCD，
∴∠EAB=∠FCD，
在△ABE和△CDF中
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF．
∵AD=BC，∴AF=EC．
8．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△DCF中
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠BAE=∠DCF．
9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC．∴∠BAE=∠DCF．
在△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS）．
∴BE=DF．1 平行 四边形的性质
第2课时 平行四边形对角线的性质
【学习目标】
1．进一步掌握平行四边形对角线互相平分的性质,学会应用平行四边形的性质；
2．在应用中进一步发展学会合情推理能力，增强学生逻辑推理能力，使学生掌握说理的基本方法。
【学习策略】
本节课核心内容平行四边形的性质，内容较为简单，对于性质的证明也只是用三角形全等去研究，在教学中注意渗透解决四边形问题时可以转化成三角形的转化思想。
【学习过程】
1、复习回顾
平行四边形的性质（一）内容 ，
几何语言： 。
2、在证明“平行四边形对边相等，对角相等”的性质时，是通过连接一条对角线，把它分成两个全等的三角形来证明的，如果把平行四边形的两条对角线都连接起来，那么这两条对角线之间又有什么样的关系呢？
二.新课学习：
探究 阅读课本135页做一做，如图，在□ABCD中．OA与OC，OB与OD有什么样的数量关系呢？
猜想: 。语言描述：平行四边形的对角线 你能证明这种关系吗？
已知：
求证：
归纳总结:平行四边形的对角线 。
几何语言： 。
三.尝试应用：
1．如图，在ABCD中，AO=4，BO=2，BC=5，则CO= ,AC ,BD=
2．（1）如图，在□ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14，△AOD的周长是多少？△ABC与△DBC的周长哪个长，长多少？
（2）如果在□ABCD中，AB=6，BC=10，△ABO与△ADO的周长哪个长，长多少？
3．已知，□ABCD的周长为60，对角线AC、BD相交于点O，△BOC的周长比△AOB 的周长小8cm，求AB和BC的长.
四、课堂小结
1．本节课你有哪些收获？
你能将平行四边形的性质进行归纳吗？
2．利用平行四边形可以解决哪些问题？
五.达标测试
一．选择题（共3小题）
1．某平行四边形的对角线长为x、y，一边长为6，则x与y的值可能是（　　）
A．4和7 B．5和7 C．5和8 D．4和17
2．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，图中共有全等三角形（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3．如图， ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为23，则 ABCD的两条对角线之和是（　　）
A．18 B．28 C．36 D．46
二．填空题（共4小题）
4．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．如果AC=8，BD=14，AB=x，那么x的取值范围是　 　．
5.如图，在 ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=2BG，S△BPG=1，则S AEPH=　 　．
6.如图，平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O．若点A的坐标为（﹣4，2），则点C坐标为　 　．
第4题图 第5题图 第6题图
三．解答题（共3小题）
7.如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，且BF=ED，求证：AE∥CF．
8.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD，相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：AE=CF．
9.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE=OF．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若BD=EF，连接DE，BF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．
参考答案
达标测试答案：
一．选择题（共3小题）
1．【解析】选C．三三角形两边之和大于第三边 所以两条对角线的一半 与要同时满足：（1）+＞6，（2）+6＞，（3）+6＞，得x=5，y=8，
2．【解析】选D．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，AD=BC，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SSS）；
同理：△ABD≌△CDB；
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS）；
同理：△AOD≌△COB．
∴图中共有全等三角形4对．
3.【解析】选C．：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，BD=2DO，AC=2OC，
∵△OCD的周长为23，
∴OD+OC=23﹣5=18，
∵BD=2DO，AC=2OC，
∴ ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2（DO+OC）=36，
二．填空题（共4小题）
4．【解析】：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AC=8，BD=14，∴AO=4，BO=7，
∵AB=x，∴7﹣4＜x＜7+4，
解得3＜x＜11．
5． 【解析】：∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，
∴S△PEB=S△BGP，
同理可得S△PHD=S△DFP，S△ABD=S△CDB，
∴S△ABD﹣S△PEB﹣S△PHD=S△CDB﹣S△BGP﹣S△DFP，
即S四边形AEPH=S四边形PFCG．
∵CG=2BG，S△BPG=1，
∴S四边形AEPH=S四边形PFCG=4×1=4；
6.【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线交于原点O，
∴点A与点C关于原点O对称，∵点A（﹣4，2），∴点C（4，﹣2）．
三．解析题（共3小题）
7．证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BF=ED，∴OE=OF，
∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF．
8.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA=OC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF．
9.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（SAS）；
（2）解：四边形EBFD是矩形；理由如下：如图所示：
∵OB=OD，OE=OF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
又∵BD=EF，
∴四边形EBFD是矩形．
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