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专题10 指数与指数函数（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 4
【考点1】指数幂的运算 4
【考点2】指数函数的图象及应用 5
【考点3】指数函数的性质及应用 7
【分层检测】 8
【基础篇】 8
【能力篇】 9
【培优篇】 10
考试要求：
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象.
3.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用.
1.根式的概念及性质
(1)概念：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)①负数没有偶次方根.
②0的任何次方根都是0，记作＝0.
③()n＝a(n∈N*，且n>1).
④＝a(n为大于1的奇数).
⑤＝|a|＝(n为大于1的偶数).
2.分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R.
4.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时，01； 当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
y＝ax与y＝的图象关于y轴对称
1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与03.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2022·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点1】指数幂的运算
一、单选题
1．（2022·重庆九龙坡·模拟预测）雷达是利用电磁波探测目标的电子设备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离（如图），其中为雷达天线架设高度，为探测目标高度，R为地球半径．考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等效取8490km，故R远大于，．假设某探测目标高度为25m，为保护航母的安全，须在直视距离412km外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（ ）
（参考数据：）
A．6400m B．8100m C．9100m D．10000m
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）若为偶函数，则（ ）
A．1 B．0 C． D．2
二、多选题
3．（23-24高一上·安徽安庆·期末）下列式子中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若且，则，至少有一个大于2
B．，
C．若，，则
D．的最小值为2
三、填空题
5．（2024·四川成都·三模）已知函数，则的值为
6．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）随着自然语言大模型技术的飞速发展，ChatGPT等预训练语言模型正在深刻影响和改变着各衍各业.为了解决复杂的现实问题，预训练模型需要在模拟的神经网络结构中引入激活函数，将上一层神经元的输出通过非线性变化得到下一层神经元的输入.经过实践研究，人们发现当选择的激活函数不合适时，容易出现梯度消失和梯度爆炸的问题.某工程师在进行新闻数据的参数训练时，采用作为激活函数，为了快速测试该函数的有效性，在一段代码中自定义：若输的满足则提示“可能出现梯度消失”，满足则提示“可能出现梯度爆炸”，其中表示梯度消失阈值，表示梯度爆炸间值.给出下列四个结论：
①是上的增函数；
②当时，，输入会提示“可能出现梯度爆炸”；
③当时，，输入会提示“可能出现梯度消失”；
④，输入会提示“可能出现梯度消失”.
其中所有正确结论的序号是 .
反思提升：
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加.
②运算的先后顺序.
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【考点2】指数函数的图象及应用
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，则（ ）
A．－4 B．0 C．2 D．4
2．（2024·全国·模拟预测）已知（），，则（ ）
A． B． C．4 D．6
二、多选题
3．（2023·湖北武汉·二模）函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（20-21高一上·山东济南·期中）下列四个结论中，正确的结论为（ ）
A．函数与函数相等
B．若函数且的图象没有经过第二象限，则
C．当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为
D．若函数的最大值为，最小值为，则
三、填空题
5．（2023·山东济宁·一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是 .
6．（2023·上海宝山·一模）设为常数，若，则函数的图象必定不经过第 象限
反思提升：
1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.
【考点3】指数函数的性质及应用
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）设函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2021·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数，若，则下列不等式一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·江苏·模拟预测）当时，不等式成立．若，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2023·吉林长春·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为 ．
6．（2024·山东聊城·一模）若函数的值域为，则实数的取值范围为 .
反思提升：
1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.
2.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
3.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
易错警示　在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·山东泰安·二模）已知函数且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·内蒙古包头·一模）已知是奇函数，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2024·河北保定·二模）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·广西河池·模拟预测）已知且，则“”是“函数为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
5．（2023·全国·模拟预测）对函数，公共定义域内的任意x，若存在常数，使得恒成立，则称和是伴侣函数，则下列说法正确的是（ ）
A．存在常数，使得与是伴侣函数
B．存在常数，使得与是伴侣函数
C．与是伴侣函数
D．若，则存在常数，使得与是伴侣函数
6．（2024·河南洛阳·模拟预测）下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020·福建三明·模拟预测）下列四个命题中，是真命题有（ ）
A．存在 B．存在
C．任意 D．任意
三、填空题
8．（2022·全国·模拟预测）已知函数，函数（且）的图象过定点，若曲线在处的切线经过点，则实数的值为 ．
9．（2023·湖南衡阳·模拟预测）点在函数的图象上，当，则的取值范围为 .
10．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）若命题“，”是假命题，则的取值范围为 .
四、解答题
11．（22-23高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数是奇函数．
(1)求的值；
(2)已知，求的取值范围．
12．（2021·四川遂宁·模拟预测）已知函数定义在上有恒成立，且当时，.
（1）求的值及函数的解析式；
（2）求函数的值域.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数单调递增
B．函数值域为
C．函数的图象关于对称
D．函数的图象关于对称
三、填空题
3．（2023·陕西咸阳·模拟预测）对，用表示中的较大值，记为，若，则的最小值为 .
四、解答题
4．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为．
(1)求集合；
(2)若，且，，，求的最小值．
【培优篇】
一、单选题
1．（2023·广东广州·三模）定义，设函数，若使得成立，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2021·辽宁葫芦岛·二模）设函数，则下列选项正确的是（ ）
A．为奇函数
B．的图象关于点对称
C．的最小值为
D．若有两个不等实根，则，且
三、填空题
3．（2024·湖南·二模）已知，若，则实数的取值范围是 ，
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专题10 指数与指数函数（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 7
【考点1】指数幂的运算 7
【考点2】指数函数的图象及应用 12
【考点3】指数函数的性质及应用 17
【分层检测】 20
【基础篇】 20
【能力篇】 27
【培优篇】 30
考试要求：
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象.
3.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用.
1.根式的概念及性质
(1)概念：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)①负数没有偶次方根.
②0的任何次方根都是0，记作＝0.
③()n＝a(n∈N*，且n>1).
④＝a(n为大于1的奇数).
⑤＝|a|＝(n为大于1的偶数).
2.分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R.
4.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时，01； 当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
y＝ax与y＝的图象关于y轴对称
1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与03.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2022·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
参考答案：
1．D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
2．A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
3．D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
4．A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
5．C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
6．C
【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
【考点1】指数幂的运算
一、单选题
1．（2022·重庆九龙坡·模拟预测）雷达是利用电磁波探测目标的电子设备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离（如图），其中为雷达天线架设高度，为探测目标高度，R为地球半径．考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等效取8490km，故R远大于，．假设某探测目标高度为25m，为保护航母的安全，须在直视距离412km外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（ ）
（参考数据：）
A．6400m B．8100m C．9100m D．10000m
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）若为偶函数，则（ ）
A．1 B．0 C． D．2
二、多选题
3．（23-24高一上·安徽安庆·期末）下列式子中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若且，则，至少有一个大于2
B．，
C．若，，则
D．的最小值为2
三、填空题
5．（2024·四川成都·三模）已知函数，则的值为
6．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）随着自然语言大模型技术的飞速发展，ChatGPT等预训练语言模型正在深刻影响和改变着各衍各业.为了解决复杂的现实问题，预训练模型需要在模拟的神经网络结构中引入激活函数，将上一层神经元的输出通过非线性变化得到下一层神经元的输入.经过实践研究，人们发现当选择的激活函数不合适时，容易出现梯度消失和梯度爆炸的问题.某工程师在进行新闻数据的参数训练时，采用作为激活函数，为了快速测试该函数的有效性，在一段代码中自定义：若输的满足则提示“可能出现梯度消失”，满足则提示“可能出现梯度爆炸”，其中表示梯度消失阈值，表示梯度爆炸间值.给出下列四个结论：
①是上的增函数；
②当时，，输入会提示“可能出现梯度爆炸”；
③当时，，输入会提示“可能出现梯度消失”；
④，输入会提示“可能出现梯度消失”.
其中所有正确结论的序号是 .
参考答案：
1．C
【分析】根据题意，列出关于的方程，然后求解即可.
【详解】根据题意知，，
由
因为R远大于，
∴
，
解得.
∴舰载预警机的巡航高度至少约为9100m.
故选：C
2．A
【分析】由已知为偶函数，可得，列方程求解即可.
【详解】由，
得，
因为为偶函数，所以，
即，
所以，解得.
故选：.
3．BCD
【分析】对于ABD，利用基本不等式运算求解；对于C，运用对数运算及二次函数的最值可判断．
【详解】对于选项A：，
当且仅当，即当且仅当时等号成立，
但不成立，所以的最小值不为4，故A错误；
对于选项B：因为，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，故B正确；
对于选项C：
，
当时，取得最小值4，故C成立；
对于选项D：由题意，
则，
，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确．
故选：BCD．
4．AC
【分析】根据逆否命题的真假性即可判断A，根据幂的运算性质即可判断B，根据不等式的性质即可判断C,根据对勾函数的单调性即可判断D.
【详解】对于A,若，均不大于2，则 ，则 ，故，则，至少有一个大于2为真命题，故A正确，
对于B, B. ，，故 B错误，
对于C,由得，由得，所以，故C正确，
对于D，由于 ，函数 在单调递增，故，D错误，
故选:AC
5．/
【分析】根据题意，结合指数幂与对数的运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】由函数，因为，所以.
故答案为：.
6．①③④
【分析】对于①：根据单调性的性质分析判断；对于②：根据题意结合指数运算以及指数函数单调性分析判断；对于③④：整理可得，构建，利用导数求的单调性和值域，进而逐项分析判断.
【详解】对于①：因为的定义域为，
且在上单调递减，所以是上的增函数，故①正确；
对于②：因为对任意恒成立，
则，
令，整理得，
且是上的增函数，则，即无解，
所以不存在，输入会提示“可能出现梯度爆炸”，故②错误；
对于③④：因为是上的增函数，则，即，
则，
令，
则，
令，则在上单调递增，且，
当时，，即，可知在上单调递减；
当时，，即，可知在上单调递增；
则，
且当x趋近于或时，趋近于0，
所以的值域为，
所以对，输入会提示“可能出现梯度消失”，故④正确；
因为在上单调递减，则，
且，即对任意恒成立，
所以当时，，输入会提示“可能出现梯度消失”，故③正确；
故答案为：①③④.
【点睛】关键点睛：1.充分理解新定义的含义，根据定义分析判断；
2.再处理问题③④时，可以通过构建函数求单调性和值域，进而分析判断.
反思提升：
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加.
②运算的先后顺序.
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【考点2】指数函数的图象及应用
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，则（ ）
A．－4 B．0 C．2 D．4
2．（2024·全国·模拟预测）已知（），，则（ ）
A． B． C．4 D．6
二、多选题
3．（2023·湖北武汉·二模）函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（20-21高一上·山东济南·期中）下列四个结论中，正确的结论为（ ）
A．函数与函数相等
B．若函数且的图象没有经过第二象限，则
C．当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为
D．若函数的最大值为，最小值为，则
三、填空题
5．（2023·山东济宁·一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是 .
6．（2023·上海宝山·一模）设为常数，若，则函数的图象必定不经过第 象限
参考答案：
1．A
【分析】利用偶函数和0处函数值列方程求解即可.
【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，即，
又，所以，
联立，解得，，
经检验，，满足要求，
故.
故选：A.
2．B
【分析】构造函数，并判断函数的奇偶性，再借助奇函数性质计算即得.
【详解】设，显然的定义域为，
则，即是奇函数，
由，得，，
所以.
故选：B
3．ABC
【分析】分类讨论函数的单调性及极值点判断各个选项即可.
【详解】，
当时, ,A选项正确；
，
，
,
时, 有两个根,且时
,根据极值点判断，故C选项正确,D选项错误；
当时, 有两个根,且此时
,故B选项正确.
故选：ABC．
4．BD
【解析】根据两个函数的值域不同可判断选项A不正确，根据指数函数图象的特点可判断选项B，分离参数得，只需，即可判断选项C，
是一个奇函数加常数，奇函数在定义域内最大值与最小值之和等于可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】对于选项A：函数值域为，函数值域为，所以与函数不是相等函数，故选项A不正确；
对于选项B：若函数且的图象没有经过第二象限，则，解得：，故选项B正确；
对于选项C：当时，关于的不等式恒成立，
即，令，则，
因为在单调递减，所以在单调递增，
所以，所以，故选项C不正确；
对于选项D：函数，令则
，所以是奇函数，所以，
因此，故选项D正确，
故选：BD
【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题一般采用分离参数法求参数范围
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
5．
【分析】求出函数所过的定点，则有，则，则，化简整理，分离常数再结合基本不等式求解即可.
【详解】函数且的图象过定点，
则，所以，
由，得，
则
令，则，
则
，
当且仅当，即，即时，取等号，
所以的最小值是.
故答案为：.
6．二
【分析】由指数函数的性质与图象的平移可得.
【详解】已知,
则指数函数单调递增，过定点，且，
函数的图象是由函数函数向下平移个单位，
作出函数的图象，可知图象必定不经过第二象限.
故答案为：二.
反思提升：
1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.
【考点3】指数函数的性质及应用
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）设函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2021·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数，若，则下列不等式一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·江苏·模拟预测）当时，不等式成立．若，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2023·吉林长春·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为 ．
6．（2024·山东聊城·一模）若函数的值域为，则实数的取值范围为 .
参考答案：
1．B
【分析】首先将不等式等价变形，再将不等式恒成立，转化为最值问题，得到，即可求解.
【详解】易知，故，，在上恒成立，
等价于不等式即在上恒成立，
故，（点拨：当时，函数在上单调递增，
则，所以），
故，即，又，故．
故实数的取值范围是．
故选：B
2．A
【分析】判断的奇偶性和单调性，再根据函数性质求解不等式即可.
【详解】，定义域为，又，故为偶函数；
又当时，均为单调增函数，故为上的单调增函数；
又，故当时，，则此时为上的单调增函数，故时，为单调减函数；
，即，则，即，，
也即，解得.
故选：A.
3．BD
【分析】结合的单调性以及特殊值、基本不等式，确定正确选项.
【详解】在为增函数，
依题意，
所以，A错误.
由基本不等式得，B正确.
若，则，C错误.
若，则，D正确.
故选：BD
4．AD
【分析】将给定不等式变形，构造函数，利用函数单调性，逐项分析判断作答.
【详解】当时，不等式，令，则在上单调递增，
因，则，A正确；
因，则，B不正确；
由知，，有，则，
由选项A知，，即，C不正确；
由得，，则，D正确.
故选：AD
【点睛】关键点睛：涉及两个量的大小，构造函数，分析并运用函数的单调性是求解作答的关键.
5．
【分析】由对数函数及指数函数单调性得到，，，从而得到大小关系.
【详解】因为在上单调递减，，
故且，所以，
因为在R上单调递减，，
所以，
，
故.
故答案为：
6．
【分析】
借助分段函数的性质，求出时值域，可得时，有恒成立，解出即可得.
【详解】当时，，此时，
故当时，有恒成立，
即在时恒成立，即，即.
故答案为：.
反思提升：
1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.
2.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
3.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
易错警示　在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·山东泰安·二模）已知函数且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·内蒙古包头·一模）已知是奇函数，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2024·河北保定·二模）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·广西河池·模拟预测）已知且，则“”是“函数为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
5．（2023·全国·模拟预测）对函数，公共定义域内的任意x，若存在常数，使得恒成立，则称和是伴侣函数，则下列说法正确的是（ ）
A．存在常数，使得与是伴侣函数
B．存在常数，使得与是伴侣函数
C．与是伴侣函数
D．若，则存在常数，使得与是伴侣函数
6．（2024·河南洛阳·模拟预测）下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020·福建三明·模拟预测）下列四个命题中，是真命题有（ ）
A．存在 B．存在
C．任意 D．任意
三、填空题
8．（2022·全国·模拟预测）已知函数，函数（且）的图象过定点，若曲线在处的切线经过点，则实数的值为 ．
9．（2023·湖南衡阳·模拟预测）点在函数的图象上，当，则的取值范围为 .
10．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）若命题“，”是假命题，则的取值范围为 .
四、解答题
11．（22-23高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数是奇函数．
(1)求的值；
(2)已知，求的取值范围．
12．（2021·四川遂宁·模拟预测）已知函数定义在上有恒成立，且当时，.
（1）求的值及函数的解析式；
（2）求函数的值域.
参考答案：
1．D
【分析】根据函数解析式，当时m无解，当时解得，即可求解.
【详解】由题意知，当时，，
得，又，所以方程无解；
当时，，
得，即，解得，
所以.
故选：D
2．D
【分析】根据题意，由奇函数的性质，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，则函数的定义域为，
即是定义在上的奇函数，则，
则，所以.
经检验，当时，为奇函数，满足题意.
故选：D.
3．A
【分析】根据函数的奇偶性判断即可.
【详解】设，则，
所以为奇函数，
设，可知为偶函数，
所以为奇函数，则B，C错误，
易知，所以A正确，D错误．
故选：A.
4．A
【分析】由“函数为偶函数”，可得，结合充分条件与必要条件的性质即可判断.
【详解】若函数为偶函数，由定义域为，则有，
即，即对任意的恒成立，
即有，故，
由“”是“”的充分不必要条件，
故“”是“函数为偶函数”的充分不必要条件.
故选：A.
5．AD
【分析】根据伴侣函数的定义，由对数的运算法则判断A，根据指数型函数的单调性以及值域可判断B，求导，判断的单调性进而可判断C，根据常函数的性质可判断D.
【详解】A选项：由题意得，
故存在，使得恒成立，故A正确；
B选项：由题意得，
由于为单调递增函数，且值域为，
因此不存在，使得恒成立，故B错误；
C选项：由题意得，
令函数，则，
易知在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，不满足，故C错误；
D选项：令，则，
所以为常函数，（点拨：若两个函数的导函数相同，则两个函数相差一个常数）
不妨令，故存在，使得恒成立，故D正确.
故选：AD
6．BCD
【分析】利用指数函数的性质判断A；由对数函数的性质判断B，C；由对数函数的性质可得，由指数函数的性质可得，即可判断．
【详解】解：对于，因为，所以，所以错误；
对于，因为，所以正确；
对于，因为，所以，所以C正确；
对于D，因为，所以，所以D正确.
故选：BCD．
7．AC
【分析】根据指对函数的图象和单调性，以及和特殊值比较，判断选项.
【详解】A.当时，，，即，故A正确；
B.，函数在单调递增，所以，故B不正确；
C.时，，，所以成立，故C正确；
D.由函数和的图象可知，两个函数在上有交点，故D不正确.
故选：AC
8．/0.5
【分析】先求出（且）所经过的定点的坐标，然后根据导数的几何意义求出在处的切线方程，最后把点的坐标代入切线方程，即可得值．
【详解】函数（且）的图象恒过点，
因为，
则在处的切线的斜率为，又，
所以切线方程为，因为切线经过点，
所以，解得．
故答案为：
9．
【分析】把转化为与点所成直线的斜率，作出函数在部分图象上的动点，结合斜率公式，即可求解.
【详解】由表示与点所成直线的斜率，
又由是在部分图象上的动点，
如图所示：可得，则，
所以，即的取值范围为.
故答案为：.

10．
【分析】由题意可知此命题的否定为真命题，从而可求出的取值范围.
【详解】因为“，”是假命题，
所以“，”是真命题，即在上恒成立，
因为在上单调递增，所以，
则.
故答案为：.
11．(1)
(2)
【分析】（1）由求出参数值，再检验即可；
（2）先判断函数的单调性，然后根据单调性列出不等式求解即可．
【详解】（1）函数的定义域为，又因为是奇函数，
则，解得；
经检验，故成立；
（2）因为
对任意，有
所以在上单调递增
又，所以
解得
12．（1），（2）
【分析】（1）利用奇函数的性质进行计算．
（2）利用换元法结合一元二次函数的性质求出当时的取值范围，再根据奇函数的性质，即可求出函数的值域．
【详解】解：（1）因为函数定义在上有恒成立
所以函数为奇函数，又当时，
所以．
当时，则．所以，
因为是定义在上的奇函数，
所以，即．
所以函数的解析式为．
（2）令，当时，，
则当时，可写为，所以．
由是定义在上的奇函数，所以当时．
即函数的值域为．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数单调递增
B．函数值域为
C．函数的图象关于对称
D．函数的图象关于对称
三、填空题
3．（2023·陕西咸阳·模拟预测）对，用表示中的较大值，记为，若，则的最小值为 .
四、解答题
4．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为．
(1)求集合；
(2)若，且，，，求的最小值．
参考答案：
1．C
【分析】利用排除法，结合函数值的符号和定义域逐项分析判断．
【详解】根据题意，用排除法分析：
对于选项A：，当时，有，不符合题意；
对于选项B：当时，，不符合题意；
对于选项D：的定义域为，不符合题意；
故选：C．
2．ABD
【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B，根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD.
【详解】，
函数，，则，
又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增，
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确；
因为，所以，则，所以函数的值域为，故B正确；
，，所以函数关于点对称，故C错误，D正确.
故选：ABD
3．
【分析】确定是方程的唯一解，当时，，当时，，计算最值得到答案.
【详解】取，时等式成立，函数单调递增，
故是方程的唯一解，
当时，，，；
当时，，，；
综上所述：的最小值为.
故答案为：.
4．(1)
(2)．
【分析】（1）利用整体思想解不等式，结合指数函数的单调性求解集即可；
（2）结合（1）及条件可得，灵活运用“1”化简问题式，利用换元法及二次函数的单调性求最值即可.
【详解】（1）∵，
∴，
即，
即，
解之得，
∵，当且仅当取得等号，
∴，
解得，
由在R上单调递增可得，
故．
（2）∵，且，，
则，
由，两边平方得，，
所以
，
不妨令，则，当且仅当时等号成立，
所以，
由二次函数的单调性可知，当时取得等号，
综上，当时取到最小值．
【培优篇】
一、单选题
1．（2023·广东广州·三模）定义，设函数，若使得成立，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2021·辽宁葫芦岛·二模）设函数，则下列选项正确的是（ ）
A．为奇函数
B．的图象关于点对称
C．的最小值为
D．若有两个不等实根，则，且
三、填空题
3．（2024·湖南·二模）已知，若，则实数的取值范围是 ，
参考答案：
1．A
【分析】先考虑命题使得成立的否定为真命题时a的取值范围，再求其补集即可.
【详解】命题使得成立的否定为对，，
因为当或时，，当时，，
所以当或时，，
若命题，为真命题，
则当时，恒成立，
所以，其中，
设，
当时，函数在单调递增，
所以当时，函数取最小值，所以，
所以，矛盾；
当时，函数在单调递减，
所以当时，函数取最小值，所以，
所以，矛盾；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以时，函数取最小值，所以，
所以，
所以当时，命题，为真命题，
所以若使得成立，则a的取值范围为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
2．BD
【分析】A由奇偶性定义判断正误，B判断是否成立即可，C应用特殊值法有，即可判断正误，D由题设方程有两个不等实根，令转化为当时，在上有两个零点；当时，在上有两个零点，应用导数研究单调性并确定极值，根据极值的符号求参数范围.
【详解】A：，错误；
B：，即的图象关于点对称，正确；
C：当时，，错误；
D：由题意有，整理得有两个不同实根，显然，令，
∴当时，在上与有两个交点，即有两个零点，
若得，则上，单调递减；上，单调递增；
又，，故仅需在上有两个零点，则；
当时，在上与有两个交点，即有两个零点，
若得，则上，单调递增；上，单调递减；
又，，故仅需在上有两个零点，则；
综上，有两个不等实根，则，且，正确.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：D选项，将问题转化为：当时，在上有两个零点；当时，在上有两个零点，进而应用导数研究单调性，根据条件成立时极值的符号求参数范围.
3．
【分析】构造函数，先分析其值域，从而得到的最大值，进而利用解绝对值不等式得到或，结合集合的并集运算即可得解.
【详解】设，
因为在上单调递增，可知在上单调递增，
即在上单调递增，则，
且，
由绝对值的性质可知的最大值为或，
因为等价于，又，
即关于的不等式或在上恒成立，
由，得；
由，得；
所以，
则，整理得，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，将等价于关于的不等式或在上恒成立，从而得解.
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