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2024西工大附中数学七模
九年级数学试卷
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1 等于（ ）
A. 4 B. -4 C. D.
2. 下列几何体的侧面展开图是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. 长方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 正方体
3. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知一次函数的函数值y随x的增大而减小，那么下列哪个点一定不在该函数图象上（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，若，，点E为的中点，过点E作于点F，则的长为（ ）
A. 2 B. C. D.
6. 如图，已知四边形与交于点O，，且为直角，E、F、G、H分别为的中点，则四边形的面积为（ ）
A. B. 12 C. D.
7. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图1，其数学模型为如图2所示，园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径米，D为圆上一点，于点C，且米，则门洞的半径为（ ）
A. 1.2米 B. 1.3米 C. 1.4米 D. 1.5米
8. 已知二次函数的图象如图所示，则下列说法：①；②若点，都在该抛物线上，则；③；④方程有两个不相等的实数根；正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 写一个最接近的整数是_____．
10. 若实数m，n满足，则______．
11. 黄金分割在数学中有非常广泛的应用，已知顶角为的等腰三角形成为黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为______．
12. 已知点是一次函数和反比例函数的交点，则______．
13. 如图，在矩形中，，，M是直线上的一个动点，以为直径作半圆O，连接与半圆O交于点F，E为的中点，连接，则的最小值为______．
三、解答题（本大题共13小题，共81分）
14. 计算：．
15. 化简分式：．
16. 如图，在中，，，请在边上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
17. 如图，在正方形中，已知，求证：．
18. 如图，平面直角坐标系在边长为1正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A，B，C的坐标分别是，，．
（1）把绕原点O逆时针旋转后得到，画出，此时的坐标为______；
（2）在（1）的基础上，求点B在旋转过程中运动的路径长．
19. 《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是一群人出行，如果三人同乘一辆车，则空余两辆车；两人同乘一辆车，则有九人步行．请问共有多少人出行，多少辆车．
20. 央视春晚的西安分会场与动画片《长安三万里》形成联动，让李白穿越千年，在古城西安现身，使得除夕夜的西安犹如回到了繁荣兴旺的长安时代．李白是唐朝伟大的浪漫主义诗人，被后人誉为“诗仙”．《将进酒》是李白不受重用，接连受到打击后满怀愤慨所作的名篇．小明和小刚将这首诗中的四句分别写在编号为A，B，C，D的4张卡片上，如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同，将这4张卡片背面朝上，洗匀放好，玩抽诗句的游戏．
（1）小明从中抽取一张卡片，恰好抽到“天生我材必有用”的概率为______；
（2）小明先抽一张卡片，接着小刚从剩下的卡片中抽一张，用画树状图或列表的方法求两人所抽卡片上的诗句恰好成联（注：A与B为一联，C与D为一联）的概率．
21. 《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为）．
（1）通过记录实验数据得知箭尺读数和供水时间近似满足一次函数的关系，当时，，当时，，如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，画出时的函数图象，并求出它的函数表达式．
（2）如果本次实验记录的开始时间是上午8:00，那么到下午3点时，箭尺读数增加了多少？
22. “草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟．儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”小明和小刚约定周末下午去公园放风筝，当风筝距离地面一定高度时，小明和小刚决定测量风筝到地面的高度，已知小明在B处看风筝的仰角为，小刚所站位置D处看风筝视线恰好被大树挡住（即点E、F、C三点共线），通过测量，此时小刚距离大树底部8米（即米），小明与小刚之间的距离为米，大树的高度为4.9米，两人的眼睛距地面高度均为1.7米（即米），请根据以上数据求出此时风筝距离地面的高度．（参考数据：，，，风筝的宽度忽略不计）
23. 某校开展学生科技活动，为了解学生的科技知识水平组织了知识竞答活动，从七年级学生中随机抽取n名学生的竞答成绩（单位：分），进行整理、描述和分析（比赛成绩用x表示，共分成4组：A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息：
①七年级学生B组的竞答成绩为：82，86，87，85，86，88，82，89．
②扇形统计图中C组所对应的圆心角为．
被抽取学生成绩统计表
分组 组内学生总成绩
651
685
214
130
（1）本次随机抽取的学生______，______．
（2）请计算被抽取学生的平均成绩．
（3）小胡在这次考试中的成绩为85分，他认为他的成绩已超过一半学生，试分析他的说法是否正确，并说明理由．
24. 如图，为的直径，为的切线，且，垂足为点交于点E，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求长．
25. 如图，已知抛物线：与x轴交于A，D两点，，点A在直线l：上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线沿x轴翻折后得到抛物线，与直线l交于A，B两点，点P是抛物线上A，B之间的一个动点（不与点A、B重合），于M，轴交于N，求的最大值．
26. （1）问题探究：如图①，在中，，，，点D是的中点，点E是斜边上的任意一点，连接，请求出的最小值．
（2）问题解决：图②是某公园的一个五边形人工湖，已知，米，米，米，F为中点，为更好地提升市民的观景体验，决定在湖中央修建一个半径为7.5米的观景台，并在人工湖上修建四条栈道（宽度忽略不计），若修建栈道的造价为5000元/米，为节省资金，请问应如何设计使得修建栈道的费用最低，并求出最低费用．2024西工大附中数学七模
九年级数学试卷
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 等于（ ）
A. 4 B. -4 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用算术平方根的定义计算即可得到结果．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
2. 下列几何体的侧面展开图是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. 长方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 正方体
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，常见几何体的侧面展开图，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A．长方体的侧面展开图是轴对称图形也是中心对称图形，故选项不符合题意；
B．圆柱的侧面展开图是轴对称图形也是中心对称图形，故选项不符合题意；
C．圆锥的侧面展开图是轴对称图形但不是中心对称图形，故选项符合题意；
D．正方体的侧面展开图是轴对称图形也是中心对称图形，故选项不符合题意．
故选：C．
3. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了积的乘方、单项式的乘法、完全平方公式和平方差公式，根据法则和公式进行计算即可得到答案．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项正确，符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
4. 已知一次函数函数值y随x的增大而减小，那么下列哪个点一定不在该函数图象上（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的增减性与的关系；把各个选项的坐标代入函数解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值，结合y随x的增大而减小即可确定结论．
【详解】解：一次函数的函数值y随x的增大而减小，
∴，
A、若在该函数图象上，则，
解得：，故选项A不符合题意；
B、若在该函数图象上，则，
解得：，故选项B不符合题意；
C、若在该函数图象上，则，
解得：，故选项C不符合题意；
D、若在该函数图象上，则，
解得：，故选项D符合题意；
故选：D．
5. 如图，若，，点E为的中点，过点E作于点F，则的长为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】本题主要考查了等腰三角形性质和勾股定理，连接．由等腰三角形三线合一性质可知，，再由勾股定理求出，进而由三角形面积求出高．
【详解】如图，连接．
∵，点E为的中点，，
∴，，
∵，
∴在中，，
∵，
∴．
故选C．
6. 如图，已知四边形与交于点O，，且为直角，E、F、G、H分别为的中点，则四边形的面积为（ ）
A B. 12 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查三角形的中位线性质定理，正方形的判定等知识，能证得四边形是正方形是解题的关键.根据三角形的中位线定理，证明四边形是菱形，再证明，证得四边形是正方形，即可根据正方形的面积公式计算得出答案.
【详解】∵点E、F分别是边的中点，
∴，，
同理，，，，，，，
∴
∴四边形是菱形，
∵为直角，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴四边形的面积=,
故选：B.
7. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图1，其数学模型为如图2所示，园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径米，D为圆上一点，于点C，且米，则门洞的半径为（ ）
A. 1.2米 B. 1.3米 C. 1.4米 D. 1.5米
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，矩形的判定与性质，以及二元二次方程组的应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
过O作于N，过D作于M，由垂径定理得，再证四边形是矩形，则，，设该圆的半径长为r米，然后由题意列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：过O作于N，过D作于M，如图所示：
则米，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，,，
设该圆的半径长为r米，
根据题意得，
解得：,
即门洞的半径长为米，
故选：B．
8. 已知二次函数的图象如图所示，则下列说法：①；②若点，都在该抛物线上，则；③；④方程有两个不相等的实数根；正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，从图象中有效的获取信息，是解题的关键．开口方向和与y轴交点判断①，由函数的对称轴、开口方向、点到对称轴的距离等判断②；由特殊点的值结合图象即可判断③，由抛物线与直线的交点个数即可判断④．
【详解】解：由图象可知：抛物线的开口方向向下，
∴，
∵二次函数的图象与y轴交于正半轴，
∴
∴，
故①错误，
抛物线对称轴为直线，
∵抛物线的开口方向向下，点，都在该抛物线上，，
∴；
故②错误，
由图象可知，当时，，
故③错误，
如图，与直线有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根，即方程有两个不相等的实数根，
故④正确；
综上，正确的是④，共1个；
故选：A．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 写一个最接近的整数是_____．
【答案】2
【解析】
【分析】根据被开方数越大对应的算术平方根也越大估算出的大小，然后可得答案．
【详解】解：∵1＜3＜4，
,∴1＜＜2，且最接近的整数是2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，采用夹逼法找一个接近该数、可确定大小的有理数是解本题的关键．
10. 若实数m，n满足，则______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查同底数幂除法和幂的乘方，利用法则把原式变形为，再整体代入进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
故答案为：
11. 黄金分割在数学中有非常广泛的应用，已知顶角为的等腰三角形成为黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为______．
【答案】##
【解析】
【分析】先根据多边形内角和定理与正多边形的性质得出为黄金三角形，再根据黄金三角形的底与腰之比求出，即可得出结果．本题考查了黄金三角形、正五边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识；熟练掌握正五边形的性质得出为黄金三角形是解题的关键．
【详解】解：∵如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），
∴设
∵黄金三角形的底与腰之比为，
∴在中，
即，
解得，
即，
五边形是正五边形，
，正五边形内角和，
，
∴，
，
则，
，
则，
∴为黄金三角形，
黄金三角形的底与腰之比为，
即，
∴，
故答案为：．
12. 已知点是一次函数和反比例函数的交点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点以及一元二次方程的根与系数关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先依题意，把代入，得出，把点入，得出，然后代入，即可作答．
【详解】解：∵点是一次函数和反比例函数的交点
∴把代入，得出
∴点入，得出
∴
故答案为：．
13. 如图，在矩形中，，，M是直线上的一个动点，以为直径作半圆O，连接与半圆O交于点F，E为的中点，连接，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据是直径，可得，由此可知点在以为直径的圆上运动，再找到圆上一点到的最小距离为，由此即可解答．
【详解】解：连接，
∵是直径，
∴，
∴设的中点为，点在以为直径的圆上运动，
过点F作，，垂足分别为、H，交圆于，
，
∵，
∴当点与H点重合时，的边高最小，的面积最小，此时，
∵，，
∴，，
∴，
连接、，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了点的运动轨迹，矩形的性质，勾股定理，圆周角定理，直角所对的圆周角是直角等知识，解题关键是发现点在以为直径的圆上运动，
三、解答题（本大题共13小题，共81分）
14. 计算：．
【答案】3
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算，计算绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值后，进行加减运算即可．
【详解】解：
15. 化简分式：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了分式的混合运算，先计算括号内的加法，再计算除法即可．
【详解】解：
16. 如图，在中，，，请在边上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了角平分线性质，由，，故满足的点D到、的距离相等，故是角平分线，作出的平分线即可．
【详解】解：如图，
17. 如图，在正方形中，已知，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．由正方形的性质得到，又由得到，即可证明，则，再根据线段作差即可得到结论．
【详解】证明：∵四边形是正方形
∵，
∵，
∴，
∴
∴，
∴
∴．
18. 如图，平面直角坐标系在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A，B，C的坐标分别是，，．
（1）把绕原点O逆时针旋转后得到，画出，此时的坐标为______；
（2）在（1）的基础上，求点B在旋转过程中运动的路径长．
【答案】（1）图见解析，
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查旋转的性质及作图，弧长公式，熟练掌握旋转的性质及弧长公式是解题的关键；
（1）根据题意可直接进行作图，然后问题可求解；
（2）根据（1）得到路径，利用弧长公式即可求出答案．
【小问1详解】
解：所作如图所示：
∴点；
【小问2详解】
解：由（1）可知：点B在旋转过程中运动的路径为圆心角为，半径为的一段弧，则点B在旋转过程中运动的路径长为．
19. 《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是一群人出行，如果三人同乘一辆车，则空余两辆车；两人同乘一辆车，则有九人步行．请问共有多少人出行，多少辆车．
【答案】共有39人出行，15辆车．
【解析】
【分析】本题考查实际问题与一元一次方程，由于人数是一个定值，根据题干中的两种情况表示出人数，列出一元一次方程即可解题．
详解】解：设有辆车，由题意得：
．
解得
∴
答：共有39人出行，15辆车．
20. 央视春晚的西安分会场与动画片《长安三万里》形成联动，让李白穿越千年，在古城西安现身，使得除夕夜的西安犹如回到了繁荣兴旺的长安时代．李白是唐朝伟大的浪漫主义诗人，被后人誉为“诗仙”．《将进酒》是李白不受重用，接连受到打击后满怀愤慨所作的名篇．小明和小刚将这首诗中的四句分别写在编号为A，B，C，D的4张卡片上，如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同，将这4张卡片背面朝上，洗匀放好，玩抽诗句的游戏．
（1）小明从中抽取一张卡片，恰好抽到“天生我材必有用”的概率为______；
（2）小明先抽一张卡片，接着小刚从剩下的卡片中抽一张，用画树状图或列表的方法求两人所抽卡片上的诗句恰好成联（注：A与B为一联，C与D为一联）的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
（1）直接利用概率公式可得答案；
（2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，小明从中抽取一张卡片，恰好抽到“天生我材必有用”的概率为，
故答案为：．
【小问2详解】
解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两人所抽卡片上的诗句恰好成联的结果有：，，，，共4种，
∴两人所抽卡片上的诗句恰好成联的概率为．
21. 《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为）．
（1）通过记录实验数据得知箭尺读数和供水时间近似满足一次函数的关系，当时，，当时，，如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，画出时的函数图象，并求出它的函数表达式．
（2）如果本次实验记录的开始时间是上午8:00，那么到下午3点时，箭尺读数增加了多少？
【答案】（1）图象见解析，
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求函数解析式．
（1）根据画出函数图象即可，用待定系数法可求出函数关系式；
（3）求当和时的函数值，再作差即可得到答案即可．
【小问1详解】
解；图象如图所示，
设函数表达式为．当时，，当时，，则
，
解得
∴函数表达式为．
【小问2详解】
解：当时，，
当时，，
∴，
∴箭尺读数增加了．
22. “草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟．儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”小明和小刚约定周末下午去公园放风筝，当风筝距离地面一定高度时，小明和小刚决定测量风筝到地面的高度，已知小明在B处看风筝的仰角为，小刚所站位置D处看风筝视线恰好被大树挡住（即点E、F、C三点共线），通过测量，此时小刚距离大树底部8米（即米），小明与小刚之间的距离为米，大树的高度为4.9米，两人的眼睛距地面高度均为1.7米（即米），请根据以上数据求出此时风筝距离地面的高度．（参考数据：，，，风筝的宽度忽略不计）
【答案】米
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，根据题目已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点E作于点H，连接交于点M，交于点N，求出米，设米，米，证明，则，解得米，在中，，米，则，解得，求出米，则米，即可得到答案．
【详解】解：如图：过点E作于点H，连接交于点M，交于点N，
由题意得，米，米，米，
∴，
∵米，
∴米，
设米，
∴米
∵，
∴，
∴
∴
解得，米，
在中，，
∴米，
∴
解得
∴米
∴米
∴此时风筝距离地面的高度约为米
23. 某校开展学生科技活动，为了解学生的科技知识水平组织了知识竞答活动，从七年级学生中随机抽取n名学生的竞答成绩（单位：分），进行整理、描述和分析（比赛成绩用x表示，共分成4组：A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息：
①七年级学生B组的竞答成绩为：82，86，87，85，86，88，82，89．
②扇形统计图中C组所对应的圆心角为．
被抽取学生成绩统计表
分组 组内学生的总成绩
651
685
214
130
（1）本次随机抽取的学生______，______．
（2）请计算被抽取学生的平均成绩．
（3）小胡在这次考试中的成绩为85分，他认为他的成绩已超过一半学生，试分析他的说法是否正确，并说明理由．
【答案】（1）；15；
（2）84 （3）没有，因为被抽取学生竞答成绩中位数是86.5．
【解析】
【分析】本题主要考查统计的知识，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键．
（1）用“组”的人数除以其百分比即可得随机抽取的学生，由C组圆心角度数除以360°即可得出的值；
（2）由被抽取学生成绩统计表计算总成绩再除以总人数即可以得出平均成绩；
（3）求出这次考试中位数，即可解答．
【小问1详解】
解：本次随机抽取的学生(人)
C组的百分比为：，
故答案为∶ ；15；
【小问2详解】
被抽取学生的平均成绩，
答：被抽取学生的平均成绩是84．
【小问3详解】
本次随机抽取的学生20名学生，其中“A组”的人数7人，用“B组”的人数8人，
把七年级学生B组的竞答成绩按由大到小排列为：89，88，87，86，86，85，82，82，
∴第10、11个数分别是87，86，
故中位数是：，
小胡在这次考试中的成绩为85分，他的成绩没有超过一半学生．
24. 如图，为的直径，为的切线，且，垂足为点交于点E，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
（1）连接、，根据切线的性质得到，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论；
（2）根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．
【小问1详解】
证明：连接、，
是的切线，
，
，
∴，
，
，
，
，
由圆周角定理得，，，
，
∴；
【小问2详解】
由（1）可知，，
是的直径，
，
，
，，
，
，即，
解得，．
25. 如图，已知抛物线：与x轴交于A，D两点，，点A在直线l：上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线沿x轴翻折后得到抛物线，与直线l交于A，B两点，点P是抛物线上A，B之间的一个动点（不与点A、B重合），于M，轴交于N，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出点A、D坐标，再将代入中即可求解；
（2）先求出将抛物线沿x轴翻折后得到抛物线：，再由可得，即可得，求出的最大值即可得出的最大值．
【小问1详解】
解：当时，，解得：，
∴，
∵，
∴点，
将代入中，
得解得，
∴抛物线的解析式为，
【小问2详解】
∵抛物线：，将抛物线沿x轴翻折后得到抛物线，
∴抛物线：，
∴联立抛物线与直线l得：
，
解得：，，
∴点、
如图：交x轴于点H，直线交y轴于E，
∵，轴，
∴，
又∵，
∴，
∵直线l：与y轴交点为，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点的横坐标为．
∴点的坐标为，其中．
∴点的坐标为．
．
，
∵当时，取得最大值为，
的最大值为，
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，一次函数图象的性质，抛物线的轴对称变换，解三角形的应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
26. （1）问题探究：如图①，在中，，，，点D是的中点，点E是斜边上的任意一点，连接，请求出的最小值．
（2）问题解决：图②是某公园的一个五边形人工湖，已知，米，米，米，F为中点，为更好地提升市民的观景体验，决定在湖中央修建一个半径为7.5米的观景台，并在人工湖上修建四条栈道（宽度忽略不计），若修建栈道的造价为5000元/米，为节省资金，请问应如何设计使得修建栈道的费用最低，并求出最低费用．
【答案】（1）的最小值为9；（2）最低费用为元．
【解析】
【分析】（1）作点关于的对称点，连接交于点，证明，是等边三角形，当在同一直线上时，，根据垂线段最短，得到的最小值为的长，据此求解即可；
（2）延长交于点，连接，过作，使米，连接交于点，在上截取米，连接，得到四边形是平行四边形，过点作于，交于点，证明，求得，，在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）作点关于的对称点，连接交于点，连接，，
在中，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵点D是的中点，
∴，
当在同一直线上时，，
根据垂线段最短，得到的最小值为的长，
∴，
∴的最小值为9；
（2）延长交于点，连接，
∵，
∴四边形是矩形，
∵F为中点，
∴，
当在同一直线上时，有最小值，的圆心在上，
过作，使米，连接交于点，在上截取米，连接，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
过点作于，交于点，
∵米，米，
∴米，米，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
在中，，
∴米，
∴最低费用为元．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．

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