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1.3 基本不等式课后练习
1．（2020 上海）下列不等式恒成立的是 ( )
A． a2 b2 2ab B． a2 b2 2ab C． a b 2 | ab | D． a2 b2 2ab
2 9．（2024 北京模拟）已知 x 0，则 x 的最小值为 ( )
x
A． 3 B．3 C．6 D．10
3．（2024 4 北京月考）设实数 x满足 x 0，函数 y 3x 的最小值为 ( )
x 1
A． 4 3 3 B． 4 3 C． 4 3 3 D．6
4．（2024 3 湖南模拟）若 x 4，则函数 f (x) x 的最小值是 ( )
x 1
A． 2 3 B． 2 3 1 C．4 D．5
2
5 2024 x 0 y 2x x 2 5．（ 黑龙江月考）设 ，则函数 的最小值为 ( )
2x 1 2
A 1．0 B． C． 1 D 3．
2 2
6．（2014 重庆）若 log4 (3a 4b) log2 ab ，则 a b的最小值是 ( )
A． 6 2 3 B． 7 2 3 C． 6 4 3 D． 7 4 3
7．（2024 福建月考）若正实数 a， b满足 a b 1，则 ( )
A． ab 1 1 1有最大值 B． 有最大值 4
4 a b
C 2． a b有最大值 2 D． a2 b2有最小值
2
8．（2024 1 1 1 浙江模拟）已知 a， b为正实数，且满足 ，则 a b的最小值为 ( )
a 2b a 3 2
A 1． B．1 C 5． D．2
2 2
9．（2024 江苏月考）已知正实数 x， y满足 x 4y 2xy，则 x y的最小值为 ( )
A． 2 5 B．4 C 9． D．5
2 2
10．（2024 广东月考）已知 a 0， b 0，且 a 2b 2ab 8，则 a 2b的最小值为 ( )
A．2 B． 2 2 C．4 D．6
11．（2024 青岛模拟）已知m 0， n 0，m2 3mn 2n2 1 1 m n 0 ，则 的最小值为 ( )
m n
A． 2 3 2 B．3 2 2 C． 4 2 D．6
12．（2024 (m 1)(n 1) 江苏模拟）已知m 0， n 0，m 2n 1，则 的最小值为 ．
mn
2
13 2024 a 0 b 0 a 2b 1 b a 1．（ 株洲月考）已知 ， ， ，则 的最小值为 ．
2ab
14．（2024 北京模拟）数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的
数学命题．在同一平面内有形状、大小相同的图 1和图 2，其中四边形 ABCD为矩形， BCE为等腰直角三
角形，设 AB a ， BC b (b a 0)，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是 ( )
A a b ab B 2ab． ． ab
2 a b
2 2
C． a2 b2 2 ab D a b a b．
2 2
15．（2024 山东月考）已知超市内某商品的日销量 y（单位：件）与当日销售单价 x（单位：元）满足关系
y a式 2x 100，其中10 x 55，a为常数．当该商品的销售单价为 15元时，日销量为 110件．若
x 10
该商品的进价为每件 10元，则超市该商品的日利润最大为 ( )
A．1500元 B．1200元 C．1000元 D．800元
16．（2024 辽宁月考）某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成
1
本已知购买m台设备的总成本为 f (m) m2 m 200（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，
200
则应购买设备 ( )
A．100台 B．200台 C．300台 D．400台
17．（2024 河南模拟）设某批产品的产量为 x（单位：万件），总成本 c(x) 100 13x（单位：万元），销售
单价 p(x) 800 3（单位：元 /件）．若该批产品全部售出，则总利润（总利润 销售收入 总成本）最大
x 2
时的产量为 ( )
A．7万件 B．8万件 C．9万件 D．10万件
18．（2024 厦门月考）第 19 届亚运会 2023 年 9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文
明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促
进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，
已知该种设备年固定研发成本为 50万元，每生产一万台需另投入 80万元，设该公司一年内生产该设备 x万
台且全部售完．当 0 x 20时，每万台的年销售收入（万元）与年产量 x（万台）满足关系式：t 180 2x；
当 x 20 2000 9000时，每万台的年销售收入（万元）与年产量 x（万台）满足关系式： t 70 ．
x x(x 1)
（1）写出年利润 y（万元）关于年产量 x（万台）的函数解析式（利润 销售收入 成本）；
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．
19．（2024 1 4 y 杭州模拟）若两个正实数 x， y满足 1，且不等式 x m2 3m有解，则实数m的取值
x y 4
范围是 ( )
A．{m | 1 m 4} B．{m |m 4或m 1}
C．{m | 4 m 1} D．{m |m 1或m 4}
20．（2024 江苏模拟）已知 x 0， y 0 x y 2xy x y ，且 ，则 的最小值为 ( )
2x 1 y 1
A 4 B 3． ．1 C． D．2
5 2
21．（2024 xy 长沙月考）设正实数 x、 y、 z满足 4x2 3xy y2 z 0，则 的最大值为 ( )
z
A．0 B．2 C．1 D．3
22．（2024 3 8 洛阳模拟）已知正数 x， y满足 2，则 xy的最小值是 ( )
(x 2y)y (3x 2y)x
A 5． B 5 C 4． ． D 7．
8 4 3 4
23．（2024 5 浙江模拟）设 x， y为正实数，若 2x y 2xy ，则 2x y的最小值是 ( )
4
A．4 B．3 C．2 D．1
24．（2024 西安模拟）已知 a， b， c R，满足 (a 2)2 b2 (c 1)2 12，则 a b c的最大值为 ( )
A．2 B．3 C．4 D．6
25．（2024 吉林模拟）已知 a，b， c 0，且 a b c 1，则 3a 1 3b 1 3c 1的最大值为 ( )
A．3 B．3 2 C．18 D．9
26．（2024 1 2 湖南月考）已知 x 1， y 0，且 1，则 x 2y的最小值为 ( )
x 1 y
A．9 B．8 C． 2 2 D．3
27．（2024 1 1 1 佛山模拟）已知 a 1，b ，且 2a b 4，则 的最小值是 ( )
2 a 1 2b 1
A 1 B 4． ． C．2 D．3
3
28．（2024 河北模拟）已知正实数 a， b满足 a b 5 4 9 ，则 的最小值为 ( )
3 a 2b 2a b
A．6 B．5 C．12 D．10
29．（2024 1 4 甘肃月考）已知 0 x 1，则 的最小值为 ( )
4x 1 x
A 25 25． B． C．9 D．12
2 4
30．（2024 1 3 2 成都月考）若 0 x ，则 y 的最小值为 ( )
3 2x 1 3x
A．12 B． 6 4 3 C 25．9 6 D．
21. 3 基本不等式
考向 1 利用基本不等式求最值
1．基本不等式
a 0 b 0 ab a b a b如果 ， ，那么 ，当且仅当 a b时，等号成立．其中， 叫作 a，b的算术平均
2 2
数， ab 叫作 a，b的几何平均数．即正数 a，b的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式 1：若 a，b R ，则 a2 b2 2ab，当且仅当 a b 时取等号；
a b
基本不等式 2：若 a，b R+ ，则 ab （或 a b 2 ab），当且仅当 a b 时取等号．
2
2．两个基本不等式的异同
（1）两个基本不等式中实数 a，b的取值范围是不同的，运用第二个不等式时， a，b必须都是 正实数 ．
（2）两个基本不等式中等号成立的条件：当且仅当 a b 时取等号；
（3）两个基本不等式的变形：（这里的变形要让学生理解是如何得来的，同时也让学生试着去发现这些不
等式都出现了哪些运算形式，有求和，乘积，平方和，开方和）
第一个不等式可变形为： a2 3b2 2b(a b)或 2a2 2b2 (a b)2，其中 a，b R；
a b
第二个不等式可变形为： ( a b )2 4 ab 或 ab ( )2 ，其中 a，b R+．
2
（4）常用基本不等式 2来求最值：当两个正数 a，b的积为定值时，由 a b 2 ab可得当 a b时，它们的
a b
和有最 小 值；当两个正数 a，b的和为定值时，由ab ( )2 可得当 a b时，它们的积有最 大 值，正
2
所谓“积定和最 小 ，和定积最 大 ”．
如：已知 x 0，y 0．
s2
①若 x y s（和为定值），则当 x y时，积 xy取得最大值 ；
4
②若 xy p（积为定值），则当 x y时，和 x y取得最小值 2 p ．
注意 （1）此结论应用的前提条件是“一正”、“二定”、“三相等”．其中“一正”指正实数；“二定”指求
最值时和或积为定值；“三相等”指满足等号成立的条件，即取等条件成立．
（2）连续使用基本不等式要注意取值条件一致．
题型 1 直接使用
n
模型一：mx 2 mn (m 0，n 0) n，当且仅当 x 时等号成立；
x m
n n
模型二：mx m(x a) ma 2 mn ma(m 0，n 0) n，当且仅当 x a 时等号成立．
x a x a m
ax2 bx c ax b c模型三： 2 ac b(a 0，c 0)，当且仅当 ax c 时等号成立．
x x x
【例 1】（2023 上海）已知正实数 a、b满足 a 4b 1，则 ab的最大值为 ．
2 x (1【例 】若 ,1] 2x 1，则 的最小值为 ( )
2 2x 1
A．1 B．2 C． 2 2 D．3
x2 x 4
【例 3】若 x 1，则函数 y ( )
x 1
A．有最大值 5 B．有最小值 5 C．有最大值 3 D．有最小值 3
跟踪训练
【训练 1】（2021 乙卷）下列函数中最小值为 4的是 ( )
A． y x2 2x 4 B． y | sin x | 4 C． y 2x 22 x D． y lnx 4
| sin x | lnx
【训练 2】若 a 1，则 4a 1 的最小值为 ( )
a 1
A．4 B．6 C．8 D．无最小值
x 3 x
2 6x 11
【训练 3】若 ，则 的最小值为 ( )
x 3
A．2 B． 2 C． 4 2 D． 2 2
题型 2 “1”的代换
x a b形如 y 1和 1x y 的形式，可以让两个式子进行相乘构造出基本不等式的倒数结构
x y
【例 1】（2015 福建）若直线 1(a 0,b 0)过点 (1,1)，则 a b的最小值等于 ( )
a b
A．2 B．3 C．4 D．5
2 a 1 3【例 】已知 a 0，b 0，且 2，则 3a b的最小值为 ( )
a b
A．4 B．6 C．9 D．12
【例 3】已知 a， b是两个不同的正数，满足 a b 2ab，则 3a 2b的最小值是 ( )
A 3 2 2． B．5 2 6 C．3 D 5． 6
2 2
跟踪训练
【训练 4】若圆 x2 y2 2x 4y 1 0被直线 2ax by 2 0(a 1 1 0,b 0)平分，则 的最小值为 ( )
a b
A 1 B 1． ．9 C．4 D．
4 9
【训练 5】若 a 0，b 0且 a b 4 b 4，则 的最小值为 ( )
a b
A 2 B 8 C 3 D 10． ． ． ．
3 3
【训练 6】已知 a，b是两个不同的正数，满足 a b 2ab，则 3a 2b的最小值是 ( )
A 3 2 2． B．5 2 6 C．3 D 5． 6
2 2
题型 3 换元与消元
消参法就是对应不等式中的两元问题，一般是二元二次问题（也有更高次），用一个参数去表示另一个
参数，再利用基本不等式进行求解．尤其遇到双元分式问题，我们可以采用双换元的方法，分别运用两个
分式的分母作为新的两个参数，再转化为新参数的不等关系．
【例 1】（2020 江苏）已知5x2 y2 y4 1(x, y R)，则 x2 y2的最小值是 ．
【例 2】已知 0 a 1， 0 1 3 b 1，且 4ab 4a 4b 3 0，则 的最小值是 ( )
a b
A 16 4 3． B．3 C． 2 3 D．8
3
3 x y 0 4x 3y 1 1 2【例 】已知 且 ，则 的最小值为 ( )
2x y x 2y
A．10 B．9 C．8 D．7
跟踪训练
【训练 7】已知 x 0， y 0，且 x 2y xy 7 0 ，则 x y的最小值为 ( )
A．3 B． 37 3 C．4 D．6
【训练 8】若正数 x， y满足 x2 3xy 2 0，则 x y的最小值是 ( )
A 2 B 4 C 4 8． ． ． D．
3 3 9 9
【训练 9】若正数 a， b满足 4a 3b 1 1 1，则 最小值为 ( )
2a b a b
A． 2 3 2 B．1 2 2 C．3 2 2 D． 2 2
题型 4 齐次化
齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以相关变量得到一个整体，然后转化为运用基本
不等式进行求解．
【例 1】已知 x 0， y 0， x 2y 1 (x 1)(y 1)，则 的最小值为 ( )
xy
A． 4 4 3 B．12 C．8 4 3 D．16
2
【例 2】已知 x 0， y 0 x y 1 2x x 1， ，则 的最小值为 ( )
xy
A 14．7 B． C． 2 2 D． 2 2 1
3
跟踪训练
10 x 0 y 0 2x y 1 (x 2)(2y 1)【训练 】设 ， ， ，则 的最小值为 ．
xy
2
【训练 11 2x x 1】已知 x 0， y 0， x y 1，则 的最小值为 ( )
xy
A 4 B 14． ． C． 2 2 D． 2 2 1
3
考向 2 利用基本不等式解决实际问题
题型 1 常见的几何无字证明模型
【例 1】数学里有一种证明方法叫做 Proofswithoutwords ，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无
需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更
为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形 ABC中，点O为斜边 AB的中点，点 D为斜边 AB上异于
顶点的一个动点，设 AD a， BD b，则该图形可以完成的无字证明为 ( )
a b 2 2A． ab(a 0,b 0) B a b a b． (a 0,b 0)
2 2 2
C 2ab． ab(a 0,b 0) D． a2 b2 2 ab (a 0,b 0)
a b
跟踪训练
【训练 1】《几何原本》卷 2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重
要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示
图形，点 F 在半圆O上，点C 在直径 AB上，且OF AB，设 AC a，BC b，其中 a b 0，则该图形
可以完成的无字证明为 ( )
A a b． ab B． a2 b2 2ab
2
C 2ab ab D a b a
2 b2
． ．
a b 2 2
题型 2 常见的几个函数模型
1．常见实际应用问题
（1）经济效益问题；（2）几何图形无字证明或最值问题．
2．常见函数模型
（1）反比例函数型；（2）二次函数型；（3）对勾函数型．
【例 1】杭州第 19届亚运会，是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会于 2023年 9月 23日至
10月 8日在浙江杭州举办．某款亚运会周边产品深受大家喜爱，供不应求，某工厂日夜加班生产该款产品．生
产该款产品的固定成本为 4 万元，每生产 x 万件，需另投入成本 p(x)万元．当产量不足 6 万件时，
p(x) 1 x2 81 63 x；当产量不小于 6万件时， p(x) 7x ．若该款产品的售价为 6元 /件，通过市场分
2 x 2
析，该工厂生产的该款产品可以全部销售完．
（1）求该款产品销售利润 y（万元）关于产量 x（万件）的函数关系式；
（2）当产量为多少万件时，该工厂在生产中所获得利润最大？
【例 2】如图，用面积140m2 的铁皮制作一个长为 am，宽为 2m，高为 bm的无盖盒子．制作要求如下：①
4a
铁皮全部用完，且不计拼接用料；② 2 b ．
3
（1）求 a的取值范围；
（2）当 a， b分别为多少时，箱子的容积V 最大，并求出最大值．
跟踪训练
【训练 2】随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影
响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划
改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为 200万元，最大产能为 100台．每生产 x台，需另投
x2 120x,0 x 50

入成本G(x)万元，且G(x) 4900 ，由市场调研知，该产品每台的售价为 200万
201x 2100,50 x 100 x
元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
（1）写出年利润W (x)万元关于年产量 x台的函数解析式（利润 销售收入 成本）；
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
【训练 3】为了不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰
富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐
喷泉综合体 A1B1C1D1 ，该项目由长方形核心喷泉区 ABCD（阴影部分）和四周绿化带组成．规划核心喷泉
区的 ABCD面积为1000m2 ，绿化带的宽分别为 2m和 5m（如图所示）．当整个项目占地面积 A1B1C1D1 最小
时，则核心喷泉区 BC的长度为 ( )
A． 20m B．50m C．10 10m D．100m
拓展思维
拓展 1 柯西不等式
柯西不等式二元式：设 a， b， c， d R ，有 (a b)(c d ) ( ac bd )2 a b当且仅当 时等号成立．
c d
模型一：分母的倍数和为常数
(a m n b)( ) ( m n )2，其中 a , b ,m , n R ，例如： (a b)(1 1 ) ( a 1 1 b )2 4；
a b a b a b
模型二：一高一低和式配凑类型
(x2 y2 )(m2 n2 ) (mx ny)2 ，其中m， n R
2 2
(a2 b2 )(1 1) (a b)2 a b a b例 或者写成
2 2
模型三：同次积式配凑类型
已知 xy的值，求 (x m)(y n)(m,n R )的最值，利用 (x m)(y n) ( xy mn )2求最值．
【例 1】（2014 陕西）设 a，b，m， n R，且 a2 b2 5，ma nb 5，则 m2 n2 的最小值为 ．
【例 2】柯西不等式 (Cauchy SchwarzLnequality) 是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，
它在数学分析中有广泛的应用．现给出一个二维柯西不等式：(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2 ，当且仅当 ad bc
a b
时即 时等号成立．根据柯西不等式可以得知函数 f (x) 3 4 3x 3x 2 的最大值为 ( )
c d
A． 2 5 B． 2 3 C． 10 D． 13
【例 3】已知 3x 2y xy z 3，则 x2 y2 2z2的取最小值时， 为 ( )
z
A． 7 B 8． C．3 D 7．
3 3
跟踪训练
【训练 1】设 a， b 0， a b 4，则 a 1 b 3的最大值为 ．
【训练 2】函数 y 5 x 1 9 3x的最大值是( )
A． 6 3 B． 2 3 C．5 2 D． 2 14
【训练 3】已知实数 x、 y、 z满足 x 2y 3z 6，则 x2 y2 z2 的最小值是 ( )
A． 6 B．3 C 18． D．6
7
拓展 2 权方和不等式
a 0,b 0,m (a )
m 1 (a )m 1 (a m 1 m 1
若 0.则 1 2 n ) a1 a2 an i i (b )m (b )m (b )m

1 2 n b1 b2 bn m
a
当且仅当 1
a
2
a
n 时，等号成立.m为该不等式的权，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次.
b1 b2 bn
【例 1】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设
a b x y 0 a
2 b2 (a b)2 a b， ， ， ，则 ，当且仅当 时等号成立．根据权方和不等式，函数
x y x y x y
f (x) 1 4 (0 x 1 )的最小值为 ( )
x 1 4x 4
A．1 B．4 C．9 D．16
2 2
【例 2】 x , y x y x y为正实数，且 1，则 的最小值是 .
x 2 y 1
1 8
【例 3】设 x，y是正实数且满足 x y 1，求
x2

y2
最小值.
跟踪训练
【训练 4】函数 f (x) 3 16 (0 x 1 )的最小值为 ( )
x 1 3x 3
A．16 B．25 C．36 D．49
【训练 5 1 1】若 a， b是正实数，且 1，则 a b的最小值为 ( )
3a b 2a 4b
A 4 B 2． ． C．1 D．2
5 3
2 2
【训练 6】已知 x x 1 2y， y为非负实数，且 x 2y 2，则 的最小值为 ( )
x y 1
A 3． B 9 C 3 9． ． D．
4 4 2 2中小学教育资源及组卷应用平台
1.3 基本不等式课后练习
1．（2020 上海）下列不等式恒成立的是　　
A． B． C． D．
2．（2024 北京模拟）已知，则的最小值为　　
A． B．3 C．6 D．10
3．（2024 北京月考）设实数满足，函数的最小值为　　
A． B． C． D．6
4．（2024 湖南模拟）若，则函数的最小值是　　
A． B． C．4 D．5
5．（2024 黑龙江月考）设，则函数的最小值为　　
A．0 B． C． D．
6．（2014 重庆）若，则的最小值是　　
A． B． C． D．
7．（2024 福建月考）若正实数，满足，则　　
A．有最大值 B．有最大值4
C．有最大值2 D．有最小值
8．（2024 浙江模拟）已知，为正实数，且满足，则的最小值为　　
A． B．1 C． D．2
9．（2024 江苏月考）已知正实数，满足，则的最小值为　　
A． B．4 C． D．5
10．（2024 广东月考）已知，，且，则的最小值为　　
A．2 B． C．4 D．6
11．（2024 青岛模拟）已知，，，则的最小值为　　
A． B． C． D．6
12．（2024 江苏模拟）已知，，，则的最小值为 　　．
13．（2024 株洲月考）已知，，，则的最小值为 　　．
14．（2024 北京模拟）数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题．在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是　　
A． B．
C． D．
15．（2024 山东月考）已知超市内某商品的日销量（单位：件）与当日销售单价（单位：元）满足关系式，其中，为常数．当该商品的销售单价为15元时，日销量为110件．若该商品的进价为每件10元，则超市该商品的日利润最大为　　
A．1500元 B．1200元 C．1000元 D．800元
16．（2024 辽宁月考）某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本已知购买台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备　　
A．100台 B．200台 C．300台 D．400台
17．（2024 河南模拟）设某批产品的产量为（单位：万件），总成本（单位：万元），销售单价（单位：元件）．若该批产品全部售出，则总利润（总利润销售收入总成本）最大时的产量为　　
A．7万件 B．8万件 C．9万件 D．10万件
18．（2024 厦门月考）第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一万台需另投入80万元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完．当时，每万台的年销售收入（万元）与年产量（万台）满足关系式：；当时，每万台的年销售收入（万元）与年产量（万台）满足关系式：．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入成本）；
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．
19．（2024 杭州模拟）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是　　
A． B．或
C． D．或
20．（2024 江苏模拟）已知，，且，则的最小值为　　
A． B．1 C． D．2
21．（2024 长沙月考）设正实数、、满足，则的最大值为　　
A．0 B．2 C．1 D．3
22．（2024 洛阳模拟）已知正数，满足，则的最小值是　　
A． B． C． D．
23．（2024 浙江模拟）设，为正实数，若，则的最小值是　　
A．4 B．3 C．2 D．1
24．（2024 西安模拟）已知，，，满足，则的最大值为　　
A．2 B．3 C．4 D．6
25．（2024 吉林模拟）已知，，，且，则的最大值为　　
A．3 B． C．18 D．9
26．（2024 湖南月考）已知，，且，则的最小值为　　
A．9 B．8 C． D．3
27．（2024 佛山模拟）已知，，且，则的最小值是　　
A．1 B． C．2 D．3
28．（2024 河北模拟）已知正实数，满足，则的最小值为　　
A．6 B．5 C．12 D．10
29．（2024 甘肃月考）已知，则的最小值为　　
A． B． C．9 D．12
30．（2024 成都月考）若，则的最小值为　　
A．12 B． C． D．
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1. 3 基本不等式
考向1 利用基本不等式求最值
1．基本不等式
如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式1：若 R ，则，当且仅当 时取等号；
基本不等式2：若 R+ ，则（或），当且仅当 时取等号．
2．两个基本不等式的异同
（1）两个基本不等式中实数的取值范围是不同的，运用第二个不等式时，必须都是 正实数 ．
（2）两个基本不等式中等号成立的条件：当且仅当 时取等号；
（3）两个基本不等式的变形：（这里的变形要让学生理解是如何得来的，同时也让学生试着去发现这些不等式都出现了哪些运算形式，有求和，乘积，平方和，开方和）
第一个不等式可变形为：或，其中R；
第二个不等式可变形为：或，其中R+．
（4）常用基本不等式2来求最值：当两个正数的积为定值时，由可得当时，它们的和有最 小 值；当两个正数的和为定值时，由可得当时，它们的积有最 大 值，正所谓“积定和最 小 ，和定积最 大 ”．
如：已知．
①若（和为定值），则当时，积取得最大值；
②若（积为定值），则当时，和取得最小值．
注意 （1）此结论应用的前提条件是“一正”、“二定”、“三相等”．其中“一正”指正实数；“二定”指求最值时和或积为定值；“三相等”指满足等号成立的条件，即取等条件成立．
（2）连续使用基本不等式要注意取值条件一致．
题型1 直接使用
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立．
模型三：，当且仅当时等号成立．
【例1】（2023 上海）已知正实数、满足，则的最大值为 　　．
【例2】若，则的最小值为　　
A．1 B．2 C． D．3
【例3】若，则函数　　
A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值3 D．有最小值3
跟踪训练
【训练1】（2021 乙卷）下列函数中最小值为4的是　　
A． B． C． D．
【训练2】若，则的最小值为　　
A．4 B．6 C．8 D．无最小值
【训练3】若，则的最小值为　　
A．2 B． C． D．
题型2 “1”的代换
形如和的形式，可以让两个式子进行相乘构造出基本不等式的倒数结构
【例1】（2015 福建）若直线过点，则的最小值等于　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【例2】已知，，且，则的最小值为　　
A．4 B．6 C．9 D．12
【例3】已知，是两个不同的正数，满足，则的最小值是　　
A． B． C．3 D．
跟踪训练
【训练4】若圆被直线平分，则的最小值为　　
A． B．9 C．4 D．
【训练5】若，且，则的最小值为　　
A．2 B． C．3 D．
【训练6】已知，是两个不同的正数，满足，则的最小值是　　
A． B． C．3 D．
题型3 换元与消元
消参法就是对应不等式中的两元问题，一般是二元二次问题（也有更高次），用一个参数去表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．尤其遇到双元分式问题，我们可以采用双换元的方法，分别运用两个分式的分母作为新的两个参数，再转化为新参数的不等关系．
【例1】（2020 江苏）已知，则的最小值是 　 　．
【例2】已知，，且，则的最小值是　　
A． B．3 C． D．8
【例3】已知且，则的最小值为　　
A．10 B．9 C．8 D．7
跟踪训练
【训练7】已知，，且，则的最小值为　　
A．3 B． C．4 D．6
【训练8】若正数，满足，则的最小值是　　
A． B． C． D．
【训练9】若正数，满足，则最小值为　　
A． B． C． D．
题型4 齐次化
齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以相关变量得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．
【例1】已知，，，则的最小值为　　
A． B．12 C． D．16
【例2】已知，，，则的最小值为　　
A．7 B． C． D．
跟踪训练
【训练10】设，，，则的最小值为 　 　．
【训练11】已知，，，则的最小值为　　
A．4 B． C． D．
考向2 利用基本不等式解决实际问题
题型1 常见的几何无字证明模型
【例1】数学里有一种证明方法叫做，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为　　
A． B．
C． D．
跟踪训练
【训练1】《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，其中，则该图形可以完成的无字证明为　　
A． B．
C． D．
题型2 常见的几个函数模型
1．常见实际应用问题
（1）经济效益问题；（2）几何图形无字证明或最值问题．
2．常见函数模型
（1）反比例函数型；（2）二次函数型；（3）对勾函数型．
【例1】杭州第19届亚运会，是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举办．某款亚运会周边产品深受大家喜爱，供不应求，某工厂日夜加班生产该款产品．生产该款产品的固定成本为4万元，每生产万件，需另投入成本万元．当产量不足6万件时，；当产量不小于6万件时，．若该款产品的售价为6元件，通过市场分析，该工厂生产的该款产品可以全部销售完．
（1）求该款产品销售利润（万元）关于产量（万件）的函数关系式；
（2）当产量为多少万件时，该工厂在生产中所获得利润最大？
【例2】如图，用面积的铁皮制作一个长为，宽为，高为的无盖盒子．制作要求如下：①铁皮全部用完，且不计拼接用料；②．
（1）求的取值范围；
（2）当，分别为多少时，箱子的容积最大，并求出最大值．
跟踪训练
【训练2】随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
（1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入成本）；
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
【训练3】为了不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体，该项目由长方形核心喷泉区（阴影部分）和四周绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为和（如图所示）．当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的长度为　　
A． B． C． D．
拓展思维
拓展1 柯西不等式
柯西不等式二元式：设，，，，有 当且仅当时等号成立．
模型一：分母的倍数和为常数
，其中，例如：；
模型二：一高一低和式配凑类型
，其中，
例或者写成
模型三：同次积式配凑类型
已知的值，求的最值，利用求最值．
【例1】（2014 陕西）设，，，，且，，则的最小值为　　．
【例2】柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时即时等号成立．根据柯西不等式可以得知函数的最大值为　　
A． B． C． D．
【例3】已知，则的取最小值时，为　　
A． B． C．3 D．
跟踪训练
【训练1】设，，，则的最大值为　　．
【训练2】函数　　
A． B． C． D．
【训练3】已知实数、、满足，则的最小值是　　
A． B．3 C． D．6
拓展2 权方和不等式
若则
当且仅当时，等号成立.为该不等式的权，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次.
【例1】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为　　
A．1 B．4 C．9 D．16
【例2】为正实数，且，则的最小值是 .
【例3】设是正实数且满足，求最小值.
跟踪训练
【训练4】函数的最小值为　　
A．16 B．25 C．36 D．49
【训练5】若，是正实数，且，则的最小值为　　
A． B． C．1 D．2
【训练6】已知，为非负实数，且，则的最小值为　　
A． B． C． D．
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