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2. 1 函数的三要素
考向1 函数的定义域
题型1 定义域的基本限制
（1）分式中的分母不为0；
（2）偶次方根下的数（或式）大于或等于0；
（3）零指数幂的底数不为0；
（4）指数式的底数大于0且不等于1；
（5）对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0；
（6）正切函数且，．
注：定义域需用区间或集合的形式写出．
【例1】（2020 北京）函数的定义域是　 　．
【例2】函数的定义域为　　
A．， B．，， C． D．，，
【例3】已知函数的定义域为，则实数的取值范围是　　
A．， B． C．，， D．
跟踪训练
【训练1】函数的定义域为　　
A． B．， C． D．，
【训练2】已知函数，则函数的定义域为　　
A．， B．，， C．， D．，，
【训练3】已知函数的定义域是，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
题型2 抽象函数的定义域
此类型题目最关键的就是同一对应法则下的定义域不变，若的定义域为，则中的解的范围，即为的定义域．
【例1】已知函数的定义域为，，则函数的定义域为　　
A．， B．， C． D．
【例2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为　　
A． B． C． D．
【例3】函数的定义域为，则函数的定义域为　　
A． B．，，
C．，， D．，
跟踪训练
【训练4】已知函数的定义域是，，则函数的定义域是　　
A． B．，，
C．， D．
【训练5】已知函数的定义域为，，则函数的定义域为　　
A．， B．， C．， D．，，
考向2 函数的解析式
题型1 换元法
换元法：也称变量替换或辅助元素法，在使用换元法时，一定要根据定义域确定所换“新元”的取值范围．
【例1】若函数满足，求函数的解析式；
【例2】已知，求的解析式并注明定义域；
题型2 待定系数法
待定系数法：解决某些问题时，常用一些字母来表示需要确定的系数，根据一些条件或要求来确定这些系数，从而解决问题，这样的思维方法叫作待定系数法．
【例3】若一次函数满足，求的函数解析式；
【例4】已知是二次函数，且，求的讲解析式．
题型3 方程组消元法
方程组消元法：根据不同形式的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解．
【例5】已知函数满足，求的解析式；
【例6】已知函数满足，求的解析式；
题型4 赋值法
赋值法：对于自变量多于一个的函数方程，将其中一个或几个自变量用一些特殊值代入原方程，从而简化方程，达到求解的目的．
【例7】若函数对任意实数，均有，
则的解析式为　 　．
跟踪训练
【训练1】已知二次函数满足且，求的解析式．
【训练2】已知是奇函数，是偶函数，并且，求和的函数解析式．
【训练3】已知函数满足，则　 　．
【训练4】若定义在上的函数，满足，且对任意，，
都有，则　 　．
考向3 函数的值域
题型1 求值域的基本方法
（1）配方法：与二次函数有关的函数（注意定义域）；
（2）换元法：形如的函数，即设，转化成二次函数再求值域（注意）；
（3）分离常数法：形如的函数可借助反比例函数求其值域，且值域为；
（4）单调性法：将函数分为两部分，如果单调性一致，可根据定义域求解其值域；
（5）基本不等式法：当函数可化为对勾函数模型时，可借助基本不等式求解其值域．
【例1】求下列函数的值域：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【例2】求下列函数的值域：（1）；（2）的值域．
跟踪训练
【训练1】分别求下列函数的值域：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【训练2】函数的值域为　 ．
【训练3】函数的值域是 　 　．
题型2 数形结合法求值域
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式、直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目．适用于函数本身可和其几何意义相联系的函数类型．
【例1】求函数的值域．
【例2】求函数的值域．
【例3】求函数的值域．
跟踪训练
【训练4】求函数的值域
【训练5】求函数的值域．
【训练6】求函数的值域．
题型3 值域与求参问题
【例1】（多选）若函数的定义域为，，值域为，，则实数的值可能为　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【例2】已知函数的值域为[)，则的取值范围是 ．
【例3】定义：，，那么对于，，设函数，，则　 　（用分段函数表示）；函数的值域为　 　．
跟踪训练
【训练7】已知函数在，上的值域是，，则的最大值是　　
A．3 B．6 C．4 D．8
【训练8】函数，且，若的值域为，，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【训练9】若定义运算，则函数的值域为　　
A．， B．， C．， D．
拓展思维
拓展1 高斯函数
定义在全体实数集的函数，而函数值是离散的，这个函数即为取整函数，又称高斯函数.
为了方便，用表示不超过的最大整数，函数又可记为．
【例1】世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过的最大整数，例如，．已知，，则函数的值域为　　
A．，6， B．，5， C．，5，6，7， D．，
【例2】（多选）函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数　　
A．若，则的最小值为
B．若，则的最大值为 1
C．若正数，满足，则的最小值为 9
D．若，则的最小值为
跟踪训练
【训练1】（多选）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域中含有下列那些元素　　
A． B．0 C．1 D．2
【训练2】（多选）函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如，等，该函数被广泛应用于数学和计算机等领域，关于函数，正确的结论是　　
A． B．若，则
C．若，则 D．
拓展2 三角换元法求值域
形如含的结构的函数，可利用三角代换（），令，
或令．
【例1】求函数的值域．
【例2】求函数的值域．
【训练3】求函数的值域．
拓展3 判别式法求值域
形如（中至少有一个不为零）的函数求值域．
判别式法求其值域，要注意以下三个问题： ①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②定义域是否属于；③闭区间的边界值也要考查达到该值时的是否存在；④分子、分母必须是既约分式（不可约分）．
【例1】求函数的值域．
【例2】求函数的值域．
【训练4】求函数的值域．
【训练5】求函数的值域．
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2.1 函数的三要素课后练习
1．（2022 北京）函数的定义域是 　 　．
2．（2024 罗湖区期中）已知函数，则的定义域为　　
A． B．， C．， D．，
3．（2024 北辰区期中）若函数的定义域为，则的范围是　　
A．， B．， C．， D．
4．（2024 淮南月考）已知函数定义域是，，则的定义域是　　
A． B．， C．， D．，
5．（2024 芦淞区月考）若函数的定义域为，，则函数的定义域为　　
A．， B．， C．， D．，
6．（2024 遵义期中）已知函数的定义域与值域均为，，则实数的取值为　　
A． B． C．1 D．11
7．（2024 深圳期中）19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数若函数，则下列实数中不属于函数值域的是　　
A．0 B． C． D．
8．（2024 武功县模拟）已知函数满足，则函数的解析式为　 　．
9．（2024 桐城市月考）已知，则的解析式为　 　．
10．（2024 沿河县期中）若，求函数的解析式，并写出其定义域；
11．（2024 荔湾区月考）设函数，满足，且对任意，，
都有，则　　．
12．（2024 韶关月考）求函数的值域．
13．（2024 闵行区月考）函数的值域为 　　．
14．（2024 佛山月考）已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，．则不等式的解集为 　 　；当时，的最大值为 　 　．
15．（2024 深圳期中）求函数的值域．
16．（2024 钦北期末）已知，则的定义域为　　
A．，， B．
C．，其中 D．，，
17．（2024 衡水月考）设函数，，，且的定义域为，若所有点，，构成一个正方形区域，则　　
A． B． C． D．
18．（2024 杭州月考）已知函数，若存在区间，，使得函数在，上的值域为，，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
19．（2024 长沙期末）已知偶函数，对任意的，恒有，
则函数的解析式为_________．
20．（2024 柳州期末）已知函数与函数的图象关于直线成轴对称图形，则函数的解析式为_________．
21．（2024 镇海月考）函数的值域为_________．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.1函数的三要素课后练习
1.(2022北京)函数f=1+-x的定义域是
2.(2024·罗湖区期中)已知函数f(x)=-
+3+log,2-),则f)的定义域为()
2
A.(-3,2)
B.[-3,2)
C.(-3,2]
D.[-3,2]
3.(2024·北辰区期中)若函数f(x)=√ax2-ax+1的定义域为R,则a的范围是()
A.(0,4
B.[0,4)
C.[0,4]
D.(0,4)
4.(2024准南月考)己知函数y=f(x+1)定义域是[-2,3]，则y=f(2x-1)的定义域是()
A克
B.[-1,4
C.[-5,5]
D.[-3,7]
5.(2024芦淞区月考)若函数fx+)的定义域为[-1,15]，则函数g)=f贮的定义域为()
x-1
A.1,4]
B.(1,4]
C.1,14]
D.1,14]
6.(2024遵义期中)已知函数y=Vax2+bx+c的定义域与值域均为[0,1]，则实数a的取值为()
A.-4
B.-2
C.1
D.11
山，是有理数，若函数
7.(2024深圳期中)19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数D()=0,是无理数：
f(x)=D(x)-x2,则下列实数中不属于函数f(x)值域的是()
A.0
B.-1
C.-2
D.-3
8.(2024武功县模拟)已知函数f(x)满足f(x)+2f(-)=x,则函数f(x)的解析式为
9.(2024桐城市月考)已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,则f(x)的解析式为
10.(2024沿河县期中)若f(W-2)=x-4V，求函数f(x)的解析式，并写出其定义域：
11.(2024·荔湾区月考)设函数f:R→R,满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,
都有f(xy+)=f(x)f(y)-fy)-x+2,则f(x)=一·
2.(2024韶关月考)求函数y=2的值域。
13.(2024闵行区月考)函数y=Vx2-2x+5-√x2-4x+13的值域为[-V2,V2)
14.(2024佛山月考)已知函数y=[x]称为高斯函数，表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[-2.5]=-3.则
不等式回<0的解集为；当x>0时，冈的最大值为
[x]-4
[x]2+4
15.(2024深圳期中)求函数y=-x+3的值域.
x2-x+1
16.(2024钦北期末)已知f(x)=nsinx+V16-x2，则f(x)的定义域为()
A.(-4,-π)∪(0，π)
B.(0,π)
C.(2kπ，π+2kπ)，其中k∈Z
D.[-4,-π)八J(0,π)2.1函数的三要素
考向1函数的定义域
题型1定义域的基本限制
(1)分式中的分母不为0：
(2)偶次方根下的数（或式）大于或等于0：
(3)零指数幂的底数不为0：
(4)指数式的底数大于0且不等于1：
(5)对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0：
(6)正切函数)y=amx(xeR且xk+分keZ).
注：定义域需用区间或集合的形式写出.
【例1】(2020~北京)函数f(=1+m的定义域是
x+1
【例2】函数y=
4- 的定义域为(）
x2+3x-4
A.[-2,2]
B.[-2,0)(0,2]
C.(0,2)D.[-2,1)(1,2]
【例3】已知函数f(x)=Vmx2+(m-3)x+1的定义域为R,则实数m的取值范围是()
A.[1,9]
B.(L,9)
C.(-0,1J[9,+o)D.3
跟踪训练
【训练1】函数y=√x-1+g(3-x)的定义域为()
A.(1,3)
B.1,3)
C.(3,+0)
D.1,+o)
【训练2】己知函数f(x)=V-x2-3x+4,则函数g(x)=f(-x)的定义域为()
A.[-1,4]
B.(-0,-1U[4,+o)
C.[-4,1]D.(-o,-4U1,+o)
【训练3】已知函数f(x)=
1
的定义域是R,则m的取值范围是()
mx2 +2mx+1
A.0B.0C.0D.0≤s1
题型2抽象函数的定义域
此类型题目最关键的就是同一对应法则下的定义域不变，若f(x)的定义域为(a,b),则f[g(x】中
a【例1】已知函数y=f(x)的定义域为[0，]，则函数y=f(2x+1)的定义域为()
A.[0,
B.[1,3]
c.2
D.【-20
【例2】已知函数f(x-1)的定义域为{x-2≤≤3}，则函数f(2x+1)的定义域为()
A.{x-l≤r≤9}B.{x-3≤x≤7}
C.x-2≤2j
D.{x|-2≤x≤1}
列3】函数fx+)的定义域为x-3<3,则函数)=22023/2)的定义域为()
A.(-1,2)
B.(-2,2)(2,4]
C.(-4,2)(2,8]
D.(-4,8]
跟踪训练
【训练4】已知函数y=f)的定义域是[-2，引，则函数y=2x+D的定义域是()
x+1
A【3-U-
B.[-3,-1)(-1,7]
C.(-1,7]
D.-
【训练5】已知函数y=f2)的定义域为，21，则函数y=+D的定义域为()
x-1
A.[-1,1)
B.(1,3]
C.[0,3]
D.[0,1)1,3]

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