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1,2常用逻辑用语
考向1充分条件与必要条件
题型1判断条件关系
1.充分条件与必要条件的概念
“若p,则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q,记作p→q,并且
说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.
注意：要判断“若p,则q”形式的命题中q是否为p的必要条件，只需判断是否有“p→g”,即“若p,
则g”是否为真命题
2.充分必要条件的概念
将命题“若p,则g”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q,则p”,称这个命题为原命题的
逆命题.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说卫是q的充分必要条件，简称为充要条件.显
然，如果p是9的充要条件，那么9也是p的充要条件.
概括地说，如果p台q,那么p与q互为充要条件。
【例1】(2023·新高考1)记S,为数列{a,}的前n项和，设甲：{a,}为等差数列：乙：之}为等差数列，
则()
A,甲是乙的充分条件但不是必要条件
B,甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【例2】已知集合A={x-3≤x≤2，B={x‖x-mK1}.己知-2≤m≤1，命题p:x∈A,命题q:x∈B,则命
题p是命题g成立的()
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既非充分又非必要条件
【例3】荀子曰：“故不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做
事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
跟踪训练
【训练1】(2021·甲卷)等比数列{a,}的公比为g,前n项和为Sn·设甲：q>0,乙：{Sn}是递增数列，
则(
)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【训练2】已知a∈R,则“1<1”是“a>1”的()
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
【训练3】王安石在《游褒禅山记》中说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所
罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的()
A.充分条件
B.既不充分也不必要条件
C.充要条件
D.必要条件
题型2利用条件关系求参
1.充分条件与必要条件和集合的联系
设p:x∈A,q:x∈B则
p是q的充分条件
p→q
A∈B
p是q的必要条件
q→p
A2B
p是q的充要条件
p→g且q→p
A=B
p是q的充分不必要条件
p→9且q中p
ASB
p是q的必要不充分条件
p中q且9→p
BSA
p是9的既不充分也不必要条件
p书9且q书p
A生B且B车A
【例1】已知不等式m-13
2
4
A.{mm<-
或m
B.mm<
2
或m23
ny
c.ml-21
4
D.m分ms
11.2常用逻辑用语课后练习
1.(2023·天津)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的()
A.充分不必要条件
B,必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2023·北京)若y≠0，则“x+y=0”是“X+上=-2”的()
y x
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2022浙江)设xeR,则“sinx=1”是“cosx=0”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2022·天津)“x为整数”是“2x+1为整数”的()条件
A,充分不必要
B,必要不充分
C.充分必要
D.既不充分也不必要
5.(2020浙江)已知空间中不过同一点的三条直线1，m,n.则“1，m,n共面”是“1，m,n两两
相交”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(2021·全国)设a,B是两个平面，直线1与a垂直的一个充分条件是()
A.l11B且a⊥BB.I⊥B且a⊥BC.IcB且a⊥BD.1⊥B且a11B
7.(2019·上海)已知a、beR,则“a2>b2”是“a>b”的()
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
8.(2014湖北)命题“x∈R,x2≠x”的否定是()
A.xER,x2≠xB.x∈R,x2=xC.3xER，,x2≠xD.3x∈R,x2=x
9.(2014天津)已知命题p:x>0,总有(x+1)e>1,则p为()
A.3x≤0，使得(+l)e≤I
B.3x>0,使得(x+1)e≤1
C.x>0,总有(x+l)e≤1
D.x≤0，总有(x+l)e≤1
10.(2022北京)设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{a}为递增数列”是“存在正整数N。,当n>N。
时，an>0”的()
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
11.(2024·全国模拟)早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性地提出了一个原理：“幂
势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如
果截得的两个截面的面积S,、S,总相等，则这两个几何体的体积V、V相等.根据“祖啦原理”，“Y=V,”
是“S=S2”的(
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.(2024·福建月考)不等式x2-x<0成立的一个必要不充分条件是()
.2
A.-1B.0c
D.
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2 常用逻辑用语课后练习
1．（2023 天津）“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023 北京）若，则“”是“”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022 浙江）设，则“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022 天津）“为整数”是“为整数”的　　条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
5．（2020 浙江）已知空间中不过同一点的三条直线，，．则“，，共面”是“，，两两相交”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2021 全国）设，是两个平面，直线与垂直的一个充分条件是　　
A．且 B．且 C．且 D．且
7．（2019 上海）已知、，则“”是“”的　　
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
8．（2014 湖北）命题“，”的否定是　　
A．， B．， C．， D．，
9．（2014 天津）已知命题，总有，则为　　
A．，使得 B．，使得
C．，总有 D．，总有
10．（2022 北京）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
11．（2024 全国模拟）早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性地提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积、总相等，则这两个几何体的体积、相等．根据“祖暅原理”，“ ”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．（2024 福建月考）不等式成立的一个必要不充分条件是　　
A． B． C． D．
13．（2024 陕西模拟）“”的一个充分不必要条件是　　
A． B． C． D．
14．（2024 广东月考）已知：“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为　　
A．，， B．，，
C． D．，
15．（2024 河南月考）已知，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
16．（2024 辽宁模拟）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C． D．
17．（2024 天津月考）若命题“，，”为假命题，则的取值范围为　　
A．， B． C． D．
18．（2024 云南月考）若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
19．（2024 湖南模拟）命题，，若是真命题，则实数的取值范围是　　
A． B． C．或 D．或
20．（2024 河南月考）已知命题，，若为真命题，则的取值范围是　　
A． B．， C． D．，
21．（2024 甘肃月考）已知命题，的否定是真命题，那么实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
22．（2024 北京模拟）命题 为真命题，则可以表示为 　 　，实数的取值范围是 　　．
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1. 2 常用逻辑用语
考向1 充分条件与必要条件
题型1 判断条件关系
1．充分条件与必要条件的概念
“若,则”为真命题,是指由通过推理可以得出.这时,我们就说,由可以推出,记作，并且说,是的充分条件,是的必要条件．
注意：要判断“若,则”形式的命题中是否为的必要条件,只需判断是否有“”,即“若,则”是否为真命题.
2．充分必要条件的概念
将命题“若,则”中的条件和结论互换,就得到一个新的命题“若,则”,称这个命题为原命题的逆命题.此时,既是的充分条件,也是的必要条件,我们说是的充分必要条件,简称为充要条件.显然,如果是的充要条件,那么也是的充要条件.
概括地说,如果,那么与互为充要条件.
【例1】（2023 新高考Ⅰ）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则　　
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【例2】已知集合，．已知，命题，命题，则命题是命题成立的　　
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既非充分又非必要条件
【例3】荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
跟踪训练
【训练1】（2021 甲卷）等比数列的公比为，前项和为．设甲：，乙：是递增数列，则　　
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【训练2】已知，则“”是“”的　　
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【训练3】王安石在《游褒禅山记》中说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的　　
A．充分条件 B．既不充分也不必要条件
C．充要条件 D．必要条件
题型2 利用条件关系求参
1．充分条件与必要条件和集合的联系
设，则
p是q的充分条件
p是q的必要条件
p是q的充要条件 且
p是q的充分不必要条件 且
是的必要不充分条件 且
是的既不充分也不必要条件 且 且
【例1】已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是
或 B．或
C． D．
【例2】设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
跟踪训练
【训练4】关于的方程有两个实数解的一个充分条件是　　
A． B． C． D．
【训练5】已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是　　
A． B．，
C．，， D．，，
考向2 全称量词和存在量词
题型1 全称量词命题、存在量词命题的否定
1．全称量词与存在量词的概念
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“”表示.
量词名称 常见量词 表示符号
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某些、某个、有些、某些等
2．全称命题与特称命题的概念
含有全称量词的命题,叫做全称量词命题．
含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
命题名称 命题结构 命题表示
全称命题 对中任意一个，有成立 ，
特称命题 存在中一个，有成立 ，
3．全称量词命题和存在量词命题的否定
命题 命题的否定
， ，
， ，
【例1】（2016 浙江）命题“，，使得”的否定形式是　　
A．，，使得 B．，，使得
C．，，使得 D．，，使得
【例2】（2015 新课标Ⅰ）设命题，，则为　　
A．， B．， C．， D．，
跟踪训练
【训练1】（2015 湖北）命题“，”的否定是　　
A．， B．，
C．， D．，
【训练2】（2015 浙江）命题“，且”的否定形式是　　
A．，且
B．，或
C．，且
D．，或
题型2 利用命题的真假求参
【例3】若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是　　
A． B．，
C．， D．，
【例4】已知命题，的否定是真命题，那么实数的取值范围是　
A． B． C． D．
跟踪训练
【训练3】若命题“，”为真命题，则的取值范围是　　
A． B． C．或 D．或
【训练4】已知，，若的否定为真命题，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
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