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1.1集合
考向1集合的概念
题型1元素与集合关系的判断
1.集合与元素
某些指定的对象集在一起就成为一个集合，筒称集，通常用大写字母A,B,C,···表示。集合
中的每个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母a,b,C,···表示，
2.元素与集合之间的关系
元素与集合之间用“”或“”连接，元素与集合之间是个体与整体的关系，不存在大小或相等关系.
3,集合表示方法：列举法、描述法、图象法，
4.常用集合符号
R:实数集；Z:整数集；N:自然数集（含有O);N,或N:正整数集（没有O);Q:有理数集
【例1】(2023·上海)已知P=1,2},Q=2,3}，若M={x|x∈P，xQ5，则M=()
A.{I}
B.{2}
C.3}
D.{1,2,3}
【例2】(2020·新课标I)己知集合A={(x,y)川x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)川x+y=8},则A∩B中元
素的个数为()
A.2
B.3
C.4
D.6
跟踪训练
【训练1】下列关系中正确的个数为()
①￥R,②5e0,③1-3kN,④1-5e0.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【训练2】(2020新课标川)已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x3个数为()
A.2
B.3
C.4
D.5
题型2利用集合的三要素求参
1.集合中元素的性质
对于一个给定的集合，它的元素具有确定性、互异性、无序性.
2.集合的分类
集合按元素多少可分为：有限集（元素个数有限）、无限集（元素个数无限）、空集（不含任何元素）：
也可按元素的属性分，如：数集（元素是数），点集（元素是点）等，
【例1】若-1∈2，a2-a-1,a2+1},则a=()
A.-1
B.0
C.1
D.0或1
【例2】（多选）由a2,2-a,4组成一个集合A,A中含有3个元素，则实数a的取值可以是()
A.-1
B.-2
C.6
D.2
跟踪训练
【训练3】若a∈1，a2-2a+2}，,则实数a的值为()
A.1
B.2
C.0
D.1或2
【训练4】已知A是由0，m,m2-3m+2三个元素组成的集合，且2∈A,则实数m为()
A.2
B.3
C.0或3
D.0,2,3均可
考向2集合的关系
题型1利用集合相等求参
1.集合与集合之间的关系
(1)包含关系：如果对任意x∈A,都有x∈B,则称集合A是集合B的子集，记作AsB,显然A三A,OsA;
(2)相等关系：对于集合A、B,如果A二B,同时A三B,那么称集合A等于集合B,记作A=B;
(3)真包含关系：对于集合A、B,如果A二B,并且A≠B,我们就说集合A是集合B的真子集，记作AB;
(4)空集是任何非空集合的真子集.
【例1】(2023·上海)已知集合A={1,2},B=1,a,且A=B,则a=·中小学教育资源及组卷应用平台
1. 1 集合
考向1 集合的概念
题型1 元素与集合关系的判断
1．集合与元素
某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集，通常用大写字母，，，．．．表示．集合中的每个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母，，，．．．表示．
2．元素与集合之间的关系
元素与集合之间用“”或“”连接，元素与集合之间是个体与整体的关系，不存在大小或相等关系．
3．集合表示方法：列举法、描述法、图象法．
4．常用集合符号
R：实数集；Z：整数集；N：自然数集（含有0）；或N*：正整数集（没有0）；Q：有理数集．
【例1】（2023 上海）已知，，，，若，，则　　
A． B． C． D．，2，
【例2】（2020 新课标Ⅲ）已知集合，，，，则中元素的个数为　　
A．2 B．3 C．4 D．6
跟踪训练
【训练1】下列关系中正确的个数为　　
①，②，③，④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【训练2】（2020 新课标Ⅲ）已知集合，2，3，5，7，，，则中元素的个数为　　
A．2 B．3 C．4 D．5
题型2 利用集合的三要素求参
1．集合中元素的性质
对于一个给定的集合，它的元素具有确定性、互异性、无序性．
2．集合的分类
集合按元素多少可分为：有限集（元素个数有限）、无限集（元素个数无限）、空集（不含任何元素）；也可按元素的属性分，如：数集（元素是数），点集（元素是点）等．
【例1】若，，，则　　
A． B．0 C．1 D．0 或1
【例2】（多选）由，，4组成一个集合，中含有3个元素，则实数的取值可以是　　
A． B． C．6 D．2
跟踪训练
【训练3】若，，则实数的值为　　
A．1 B．2 C．0 D．1 或2
【训练4】已知是由0，，三个元素组成的集合，且，则实数为　　
A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可
考向2 集合的关系
题型1 利用集合相等求参
1．集合与集合之间的关系
（1）包含关系：如果对任意，都有，则称集合是集合的子集，记作，显然，；
（2）相等关系：对于集合、，如果，同时，那么称集合等于集合，记作；
（3）真包含关系：对于集合、，如果，并且，我们就说集合是集合的真子集，记作；
（4）空集是任何非空集合的真子集．
【例1】（2023 上海）已知集合，，，，且，则　　．
【例2】已知，，若集合，则的值为　　
A． B． C．1 D．2
跟踪训练
【训练1】设集合，，，，若，则　　
A．0 B．1 C．2 D．
【训练2】已知实数集合，，，，，，若，则　　
A． B．0 C．1 D．2
题型2 利用子集/真子集/空集关系求参
1．集合元素数量与子集、真子集和非空真子集数量之间的关系（集合含有个元素）
（1）子集的数量：
（2）真子集的数量：
（3）非空真子集的数量：
【例1】（2023 新高考Ⅱ）设集合，，，，，若，则　　
A．2 B．1 C． D．
【例2】已知，，若，则实数的取值范围　　
A．， B．， C．， D．，，
【例3】已知，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例4】已知集合有8个子集，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
跟踪训练
【训练3】已知集合，3，，集合，，若，则实数的取值集合为　　
A． B． C．， D．
【训练4】设，，若，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【训练5】已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是　　
A． B． C． D．或
【训练6】（2020 全国）若集合共有5个元素，则的真子集的个数为　　
A．32 B．31 C．16 D．15
考向3 集合的运算
题型1 交集、并集、补集及其混合运算
1．集合之间的运算性质
（1）交集：，，，，，．
（2）并集：，，，，，．
（3）补集的运算性质：，，，，．
【例1】（2023 新高考Ⅰ）已知集合，，0，1，，，则　　
A．，，0， B．，1， C． D．
【例2】（2022 浙江）设集合，，，4，，则　　
A． B．， C．，4， D．，2，4，
【例3】（2023 甲卷）设集合，，，，为整数集，则　　
A．， B．， C．， D．
跟踪训练
【训练1】（2022 乙卷）集合，4，6，8，，，则　　
A．， B．，4， C．，4，6， D．，4，6，8，
【训练2】（2021 北京）已知集合，，则　　
A． B． C． D．
【训练3】（2023 天津）已知集合，2，3，4，，，，，2，，则　　
A．，3， B．， C．，2， D．，2，4，
题型2 韦恩图表达集合的关系及运算
1．Venn图：用平面上一条封闭的曲线（通常情况下是矩形）的内部代表集合，这个图形就叫做韦恩图．集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn图的直观性，可以深刻理解集合有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系．
（1）交集：
【例1】集合，0，1，，，2，，则图中阴影部分所表示的集合为　　
A．， B．，0，1，2， C．，0，2， D．，1，
【例2】已知全集，2，3，4，，，，，，如图所示，则阴影部分表示的集合是　　
A．，4， B．，3， C．，2， D．，
跟踪训练
【训练4】如图，阴影部分所表示的集合为　　
A． B． C． D．
【训练5】已知，都是的子集，则图中的阴影部分表示　　
A． B． C． D．
拓展思维
拓展1 新定义问题
集合的新定义问题主要考查元素的性质以及集合的运算，一般以新符号定义一种新的运算方式或者新的概念，处理这类题往往需要把新定义、新运算转化为我们熟知的元素和集合的知识，利用元素的性质和集合之间的交并补空等关系进行解题．
【例1】集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数，，，，，满足：
（1），；；（2）；（3）．
计算　 　．
【例2】已知，，，，，，，且，其中，2，3，，若，，，且的所有元素之和为56，求　　
A．8 B．6 C．7 D．4
跟踪训练
【训练1】对于任意两个正实数，，定义，其中常数．若，且与都是集合的元素，则　　．
【训练2】定义集合运算，，，集合，，，，则集合所有元素之和为 　　．
拓展2 容斥问题
两个集合的容斥原理，可以用下面的韦恩图表示：
为了计算具有性质A或性质B的元素个数，我们使用下面的公式：
|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|
三个集合的容斥原理，画成韦恩图如下所示：
为了计算至少具有性质A、B、C之一的元素个数，我们使用下面的公式：
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|
【例1】我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用（A）表示有限集合中元素的个数．例如，，，，则（A）．容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有，，三类，那么，．某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）　　
A．2 B．3 C．4 D．5
跟踪训练
【训练3】（2020 海南）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是　　
A． B． C． D．
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1 集合课后练习
1．（2024 成都月考）设集合，2，，，，，，，则中元素的个数为　　
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2024 深圳期中）若的三边长，，可构成集合，，，则不可能是　　
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
3．（2024 十堰月考）由，，1可组成含3个元素的集合，则实数的取值可以是　　
A．1 B． C．0 D．
4．（2024 秦皇岛期中）下列集合中表示同一集合的是　　
A．， B．，
C．，， D．
5．（2024 河南月考）已知集合，，，，，，若，则实数，的值是　　
A．， B．，
C． D．；，
6．（2024 厦门月考）设集合，，，若，则　　
A．或或2 B．或 C．或2 D．或2
7．（2024 南京月考）已知集合，，，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
8．（2024 新疆月考）已知集合的真子集的个数为15个，则实数的取值范围是　　
A． B． C．， D．
9．（2020 新课标Ⅲ）已知集合，2，3，5，7，，，则中元素的个数为　　
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2023 乙卷）设集合，集合，，则　　
A． B． C． D．
11．（2023 甲卷）设全集，2，3，4，，集合，，，，则
A．，3， B．，3， C．，2，4， D．，3，4，
12．（2021 乙卷）已知集合，，，，则
A． B． C． D．
13．（2024 江西月考）已知全集，集合或，，则图中阴影部分表示的集合为　　
A．， B．， C．， D．，
14．（2024 惠州月考）已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为　　
A．， B．， C．， D．，
15．（2024 江门月考）用图形直观表示集合的运算关系，最早是由瑞士数学家欧拉所创，故将表示集合运算关系的图形称为“欧拉图”，后来，英国逻辑学家约翰韦恩在欧拉图的基础上创建了世人所熟知的“韦恩图”．则图中的阴影部分表示的集合为　　
A． B． C． D．
16．（2024 山东月考）若集合，则实数的取值范围是 　 　．
17．（2024 南昌月考）某校校园文化节开展“笔墨飘香书汉字，文化传承展风采”书法大赛，高一（1）班共有32名同学提交了作品进行参赛，有20人提交了楷书作品，有12人提交了隶书作品，有8人提交了行书作品，同时提交楷书作品和隶书作品的有4人，同时提交楷书作品和行书作品的有2人．没有人同时提交三种作品，则同时提交隶书作品和行书作品的有　　
A．4人 B．3人 C．2人 D．1人
18．（2019 新课标Ⅲ）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为　　
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
19．（2024 齐齐哈尔期中）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中同时参加数、理、化三科竞赛的有7名，没有参加任何竞赛的学生共有10名，若该班学生共有51名，则只参与两科竞赛的同学有　　人．
A．19 B．18 C．9 D．29
20．（2024 多选 成都月考）定义集合运算且称为集合与集合的差集；定义集合运算△称为集合与集合的对称差，有以下4个命题：
则4个命题中是真命题的是　　
A．△△ B．△△△△
C．△△ D．△△
21．（2024 西安月考）对于集合，，定义且， ，设，，，则 　 　．
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1.(2024成都月考)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={xx=a+b,a∈A,b∈B},则M中元
素的个数为()
A.3
B.4
C.5
D.6
2.(2024深圳期中)若△4BC的三边长a,b,c可构成集合M={a,b,c,则△4BC不可能是()
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
3.(2024十堰月考)由a2,3-2a,1可组成含3个元素的集合，则实数a的取值可以是()
A.1
B.-1
C.0
D.-3
4.(2024秦皇岛期中)下列集合中表示同一集合的是()
A.M={3,2)},N={(2,3)}
B.M={(x,y)川x+y=1},N={y|x+y=1}
C.M=1,2},N={(1,2)}
D.M=yly=x2+3,N=xly=x-3
5.(2024河南月考)己知集合A={a,b,2},B=2,b2,2a,若A=B,则实数a,b的值是()
A.a=0,b=1
B.a=0,b=0
1
1
1
D.a=4b=2a=0,b=l
6.(2024厦门月考)设集合A={2,1-a,a2-a+2},若4∈A,则a=()
A.-3或-1或2B.-3或-1
C.-3或2
D.-1或2
7.(2024南京月考)己知集合A={xxA.asl
B.a<1
C.a>2
D.a>2
8.(2024新疆月考)己知集合A={xeN|(x-2)(x-m-1)<0(m>2)}的真子集的个数为15个，则实数m的
取值范围是()
A.
B.6
C.(5,6]
D.(6,7)
9.(2020新课标Ⅲ)已知集合A=1,2,3,5,7,1},B={x3A.2
B.3
C.4
D.5
10.(2023乙卷)设集合U=R,集合M={xx<1},N={x-1A.C(MN)
B.NCM
C.CM∩
D.MC N
11.(2023甲卷)设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={2,5},则NUCM=()
A.{2,3,5}
B.1,3,4}
C.1,2,4,5}D.{2,3,4,5}
12.(2021·乙卷)己知集合S={8|s=2n+1,n∈Z},T={t=4n+1,n∈Z},则S∩T=()
A.0
B.S
C.T
D.Z
13.(2024江西月考)已知全集U=R,集合A={xx≥2或x≤-3}，B={x0≤x≤4}，则Vnn图中阴影部
分表示的集合为(
U
B
A.[0,2)
B.[0,3)
C.(2,4]
D.(3,4]
14.(2024·惠州月考)已知全集U=R,集合A={xx≥4或x≤0}，B={xx>4或x≤-2}，则图中阴影部
分表示的集合为()
U
A.(-2,0]
B.[-2,0]
C.[-2,0U4}D.(-2,0lU4}

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