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1. 4 一元二次方程、函数和不等式的关系
考向 1 等式性质与不等式性质
题型 1 利用基本性质判断不等式对错
1．等式与不等式的性质
（ 1） 等 式 基 本 性 质
1．如果 a＝b，那么 b＝a.
2．如果 a＝b，b＝c，那么 a＝c.
3．如果 a＝b，那么 a±c＝b±c.
4．如果 a＝b，那么 ac＝bc.
5．如果 a＝b，c 0 a b≠ ，那么 ＝ .
c c
（ 2） 不 等 式 基本性质
性质 性质内容 注意
对称性 a b b a；a b b a 可逆
传递性 a b，b c a c； a b，b c a c 同向
可加性 a b a c b c 可逆
可乘性 a b，c 0 ac bc； a b，c 0 ac bc c的正负
同向可加性 a b，c d a c b d 同向
同向同正可乘性 a b 0，c d 0 ac bd 同向同正
可乘方性 a b 0，n N * an bn 同正
可开方性 a b 0，n N * n a n b 同正
（3）倒数性质
① a b，ab 0 1 1 1 1 ；② a 0 b ；
a b a b
a b 0 d c 0 a b 1 1 1③ ， ；④ 0 a x b或 a x b 0 ．
c d b x a
【例 1】（2022 上海）若 a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．a+d＞b+c B．a+c＞b+d C．ac＞bd D．ad＞bc
【例 2】（2019 新课标Ⅱ）若 a＞b，则（ ）
A．ln（a﹣b）＞0 B．3a＜3b C．a3﹣b3＞0 D．|a|＞|b|
跟踪训练
【训练 1】若 a＞b＞0，则下列结论错误的是（ ）
1 1
A．a2＞b2 B．ac2＞bc2 C． ＜ D．a2＞ab

【训练 2】（2016 北京）已知 x，y∈R，且 x＞y＞0，则（ ）
1 1
A． ＞0 B．sinx﹣siny＞0

1 1
C．（ ）x﹣（ ）y＜0 D．lnx+lny＞0
2 2
题型 2 比较不等式大小关系的三种方法
1．比较大小基本方法
方法
关系 作差法与 0比较 作商法与 1比较
a
a b a b 0 1(a，b 0)
a
或 1(a，b 0)
b b
a
a b a b 0 1(b 0)
b
a a
a b a b 0 1(a，b 0)或 1(a，b 0)
b b
2．糖水不等式
若 a b 0，m 0 b m b a m a ，则一定有 ，或者 ．
a m a b m b
理解：通俗的理解就是 a克的不饱和糖水里含有 b克糖，往糖水里面加入m克糖，则糖水更甜．
b m b ab am ab bm (a b)m 0 a m a ab bm ab am (a b)m证明： 2 2 ； 0．a m a a am a am b m b b2 bm b2 bm
【例 1】已知 a，b∈R，设 m＝4a﹣b2，n＝a2﹣2b+5，则（ ）
A．m≥n B．m＞n C．m≤n D．m＜n
【例 2】设 a＞0，b＞0，且 a≠b，则 abba和 aabb的大小关系是 ．
【例 3】若 = + + 5， = + 2 + + 3( ≥ 0)，则 P、Q的大小关系是（ ）
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．不能确定
+
【例 4】已知 x＞y＞0且 m＞0，则 与 的大小关系为 ．
+
跟踪训练
【训练 3】设 a＝x2+y2，b＝2（x+y﹣1），则 a，b的大小关系为（ ）
A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a≤b
【训练 4】若 = + + 7， = + 3 + + 4( ≥ 0)，则 P，Q的大小关系是（ ）
A．P＜Q B．P＝Q C．P＞Q D．P，Q的大小由 a的取值确定
+1
【训练 5】已知 a＞b＞0，则 与 的大小是 ．
+1
【训练 6】（多选）已知 a＞b＞0，0＜c＜1，则（ ）
A．abc c
+
＞ba B ca c C 1 1． ＞ ． ＜ D． ＞
+
考向 2 一元二次方程、函数和不等式的关系
题型 1 一元二次不等式的解法
1.一元二次不等式的解法
（1）常规一元二次不等式的解法
ax2 bx c 0意味着 y ax2 bx c中 y 0部分， ax2 bx c 0意味着 y ax2 bx c中 y 0部分，
ax2 bx c a(x x1)(x x2 ) 0，求出两个根 x1， x2；根据图像可知：开口向上时，大于取两边，小于取
中间，反之亦然．
（2）一元二次不等式与韦达定理
模型一 已知关于 x的不等式 ax2 bx c 0的解集为 (m，n)（其中mn 0），解关于 x的不等式
cx2 bx a 0．
由 ax2 bx c 0的解集为 (m，n)，得： a(1 )2 1 1 1 b c 0的解集为 ( ， )，即关于 x的不等式
x x n m
cx2 bx a 0 1 1的解集为 ( ， )．
n m
已知关于 x的不等式 ax2 bx c 0的解集为 (m，n)，解关于 x的不等式 cx2 bx a 0．
1 1 1 1
由 ax2 bx c 0的解集为 (m，n)，得：a( )2 b c 0的解集为 ( ， ] [ ， )，即关于 x的不等
x x n m
式 cx2 bx a 0 1的解集为 ( ， ] [ 1 ， )．
n m
模型二 已知关于 x的不等式 ax2 bx c 0的解集为 (m，n)（其中 n m 0），解关于 x的不等式
cx2 bx a 0．
ax2 bx c 1 1 1 1由 0的解集为 (m，n)，得： a( )2 b c 0的解集为 ( ， )即关于 x的不等式
x x m n
cx2 bx a 1 1 0的解集为 ( ， )．
m n
已知关于 x的不等式 ax2 bx c 0的解集为 (m，n)，解关于 x的不等式 cx2 bx a 0．
由 ax2 bx c 0的解集为 (m，n) a(1 1，得： )2 b c 0 1 1的解集为 ( ， ] [ ， )即关于 x的不
x x m n
1 1
等式 cx2 bx a 0的解集为 ( ， ] [ ， )，以此类推．
m n
（3）一元二次不等式与判别式
a 0
已知关于 x的一元二次不等式 ax2 bx c 0的解集为 R，则一定满足 ；
0
a 0
已知关于 x的一元二次不等式 ax2 bx c 0的解集为 ，则一定满足 ； 0
a 0
已知关于 x的一元二次不等式 ax2 bx c 0的解集为 R，则一定满足 ；
0
a 0
已知关于 x的一元二次不等式 ax2 bx c 0的解集为 ，则一定满足 ． 0
【例 1】（2019 天津）设 x R，使不等式3x2 x 2 0 成立的 x的取值范围为 ．
【例 2】解关于 x的一元二次不等式： 3x2 2ax a2 0(a R)．
【例 3】已知不等式 ax2 bx c 0 {x | 1的解集为 x 3}，则不等式 cx2 bx a 0的解为 ( )
4
A．{x | 3 x 1 } B 1．{x | x 4或 x }
4 3
C．{x | 4 x 1 } D．{x | x 1 3或 x }
3 4
【例 4】已知不等式 ax2 bx c 0的解集为{x | x 3或 x 4}，则 ( )
A． c 0
B． a b c 0
C 12ax c．不等式 0的解集为{x | 1 x 2}
x 2
D．不等式 bx2 2ax c 3b 0的解集为{x | 3 x 5}
跟踪训练
【训练 1】（2015 广东）不等式 x2 3x 4 0的解集为 ．（用区间表示）
【训练 2】解关于 x的不等式 ax2 (a 1)x 1 0(a R)．
【训练 3】已知不等式 ax2 bx c 0的解集是 ( 3,2)，则不等式 cx2 bx a 0的解集是 ( )
A． ( ， 2) (3， ) B． ( 3,2)
C ( 1 1 1 1． , ) ( , ) D． ( , )3 2 3 2
【训练 4】（多选）已知关于 x的不等式 ax2 bx c 0的解集为{x | x 4或 x 3}，则 ( )
A． a 0
B．12a c 0
C． a b c 0
D ax b．不等式 0的解集为{x | 12 x 1}
ax c
题型 2 一元二次不等式求参
1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式 ＝b2－4ac >0 ＝0 <0
二次函数 y＝ax2＋bx＋
c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx 有两个相等的实数根＋c 有两个不相等的实数
b 没有实数根
＝0(a>0)的根 根 x1，x2(x1ax2
b
＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} {x x } R2a
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1ax2 bx c 0意味着 y ax2 bx c中 y 0的部分， ax2 bx c 0意味着 y ax2 bx c中 y 0的部
分 ， ax2 bx c a(x x1)(x x2 ) 0，求出两个根 x1， x2；根据图象可知：开口向上时，大于取两边，
小于取中间，反之亦然．
2.一元二次不等式参数问题之定海神针
二次函数涉及参数和变量的问题，很关键的一点就是参数的位置，到底是在二次项、一次项还是在常数
项？然后参数是一次出现还是多处出现，这个问题值得探讨．二次函数的定海神针主要处理对称轴是变量，
区间是定区间的类型（轴动区间定），或者是对称轴不变，区间是动区间的类型（轴定区间动）．遵循对称
轴从区间的左边、中间和右边的顺序进行分类讨论．
口诀：轴在区间内，顶点定；轴在区间外，单调定．
3.二次函数的参变分离
当决定抛物线开口符号的 a与恒成立（能成立）的符号一致时，即 ax2 bx c 0(a 0)，此类型题目基
本上都是分类讨论复杂，且注意参数此时尽量为一次，那么我们把式子的参数分离出来，转化为求对勾函
数的最值问题．
【例 1】已知函数 f (x) x2 2(a 1)x 2．若 f (x)满足：对于任意的 x1， x2 [4， )，且 x1 x2 ，都有
f (x2 ) f (x1) 0，则实数 a的取值范围是 ( )
x2 x1
A． a 3 B． a 3 C． a 3 D． a 5
【例 2】已知函数 f (x) mx2 2x m在 ( 1, )上单调递增，则实数m的取值范围是 ( )
A． (0，1] B． [0，1] C．[1， ) D． ( ，1]
【例 3】已知二次函数 y x2 2x 3，当 t x t 2时，若该函数的最大值为m，最小值为 5，则m等于
( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【例 4】已知二次函数 f (x) ax2 bx c(a 0)，恒有 f (x 2) f (x) 4x， f (0) 3．
（1）求函数 f (x)的解析式；
（2）设 g(x) f (x) mx，若函数 g(x)在区间 [1， 2]上的最大值为 3，求实数m的值．
【例 5】二次函数 f (x)满足 f (x 1) f (x) 2x且 f (0) 1．
（1）求 f (x)的解析式；
（2）设函数 f (x)在区间 [a， a 1]上的最小值为 g（a），求 g（a）的表达式．
跟踪训练
【训练 5】函数 f (x) x2 (1 m)x 1在区间 [3， )上单调递减．则m的取值范围是 ( )
A． [ 5， ) B． ( ， 5] C． [7， ) D． ( ， 7]
【训练 6】若函数 f (x) ax2 x a在[1， )上单调递增，则 a的取值范围是 ( )
A． (0, ) B． (0，1] C．[1， ) D．[0， )
【训练 7】（多选）已知函数 f (x) x2 2x 1在区间 [a， a 6]上的最小值为 9，则 a可能的取值为 ( )
A．2 B．1 C 1． D． 10
2
【训练 8】已知函数 f (x) mx2 (3m 1)x m 2， (m R)．
（1）若 f (x)在区间 [2，3]上为单调递增，求m的取值范围；
（2）解关于 x不等式 f (x) m 0．
【训练 9】已知二次函数 f (x) ax2 bx c，且 f (2 x) f (2 x)，且 f (x) 0的解集为 ( 2,c)．
（Ⅰ）求 f (x)的解析式．
（Ⅱ）求 f (x)在区间 [m，m 1]的最大值记为 h(m)，并求 h(m)的最大值．
题型 3 一元二次函数根的分布问题
1.二次函数的根与定值的位置关系
两根与 的大小比较(以 > 0为例)
两根都小于 ， 两根都大于 ， 一根小于 ，一根大于 ，
文字描述
即 1 < , 2 < 即 1 > , 2 > 即 1 < < 2
图像表达
> 0 > 0

数学语言 2 < 2 > < 0
> 0 > 0
2.二次函数的根与区间的位置关系
（1）两根分别在区间( , )外
> 0 < 0
图像表达
< 0 > 0
数学语言 < 0 > 0
（2）根在区间上的分布(以 > 0 为例)
文
字 两根都在( , )内 两根有且仅有一根在 一根( , )内，
描 ( , )内 另一根在( , )内
述
图
像
表
达
数
> 0
学 > 0
> 0
> 0 < 0 < 0 < 0
< 0
< 0
语
< < > 0
2
言
【例 1】方程 (2m 1)x2 2mx (m 1) 0有一正根和一负根的充分不必要条件是 ( )
A 1 m 1 B m 1． ． C． 0 m 1 D． 2 m 1
2 2
【例 2】若命题“关于 x的二次方程 x2 2mx 2m 1 0在 ( 1,3)上至多有一个解”是假命题，则m的取值
范围是 ( )
A ( 3, 5 5． ) B． ( 3,1 2) C． ( ,1) D． ( 5 ,1 2)
4 4 4
【例 3】已知关于 x的二次方程 x2 2mx 2m 1 0，若方程有两根，其中一根在区间 ( 1,0)内，另一根在
区间 (1,2)内，m的范围是 ．
跟踪训练
【训练 10】二次函数 y x2 (m 3)x 2m的图象与 x轴的两个交点的横坐标分别为 x1，x2，且 0 x1 2 x2 ，
如图所示，则m的取值范围是 ( )
A m 1 1． 或m 5 B． 0 m C．m 1 1 或m 5 D． m 0
2 2 2 2
【训练 11】方程mx2 (m 1)x 1 0在区间 (0,1)内有两个不同的根，则m的取值范围为 ( )
A．m 1 B．m 3 2 2
C．m 3 2 2或 0 m 3 2 D． 3 2 2 m 1
【训练 12】已知方程 x2 (2a 1)x a(a 1) 0的两根分别在区间 (0,1)， (1,3)之内，则实数 a的取值范围
为 ．
拓展思维
拓展 1 高次方程和绝对值不等式的解法
1.一元高次不等式的解法
一元高次不等式通常先进行因式分解，化为 1 2 … > 0(或< 0)的形式，然后用穿针引线
法求解.首先保证每个因式中 的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出
现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式的次数.
数轴穿根法的注意点：当不等式中含有 (x a)2n时，运用标根法不穿过 a点，而 (x a)2n 1则穿过 a点，俗
称“奇穿偶不穿”．
Eg 解 + 1 2 3 4 ≥ 0，如图所示，解集为 | ≥ 4或 2 ≤ ≤ 3或 ≤ 1 .
解 + 1 2 2 3 4 3 ≤ 0，如图所示，解集为 | ≤ 1或 = 2 或 3 ≤ ≤ 4 .
2.绝对值不等式的解法
与分式不等式类似的是，求解绝对值不等式也是要将不等式的绝对值去掉，进行同解变形．
一般的， f (x) g(x)与 f (x) g(x)或 f (x) g(x)同解； f (x) g(x)与 g(x) f (x) g(x)同解．
一般的， f (x) g(x) f (x) 2 g(x) 2 f (x)2 g(x)2，需要注意的是，如果不等式中有多个绝对值，那
么就需要对每个绝对值号进行讨论．
1 x 2【例 】 1的解集是 ( )
x2 3x 2
A． (1， 2] B． [ 1， 0) (2，3] C． [0， 4] D．[0，1) (2， 4]
【例 2】不等式 | x 1| | x 2 | 3的解集是 ( )
A． ( ，1] [2， ) B．[1， 2] C． ( ， 0] [3， ) D．[0，3]
跟踪训练
1 (x 3)(x 2)【训练 】不等式 0的解集为 ( )
x 1
A． [ 3，1) [2， ) B． ( ， 3] (1， 2]
C．[ 3，1) (1， 2] D． ( ， 3] [2， )
【训练 2】不等式 | x 3 | | x 3 | 3的解集是 ．中小学教育资源及组卷应用平台
1. 4 一元二次方程、函数和不等式的关系
考向1 等式性质与不等式性质
题型1 利用基本性质判断不等式对错
1．等式与不等式的性质
（1）等式基本性质
1．如果a＝b，那么b＝a.
2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.
4．如果a＝b，那么ac＝bc.
5．如果a＝b，c≠0，那么＝.
（2）不等式基本性质
性质 性质内容 注意
对称性 可逆
传递性 ； 同向
可加性 可逆
可乘性 ； 的正负
同向可加性 同向
同向同正可乘性 同向同正
可乘方性 同正
可开方性 同正
（3）倒数性质
①；②；
③；④或．
【例1】（2022 上海）若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（　　）
A．a+d＞b+c B．a+c＞b+d C．ac＞bd D．ad＞bc
【例2】（2019 新课标Ⅱ）若a＞b，则（　　）
A．ln（a﹣b）＞0 B．3a＜3b C．a3﹣b3＞0 D．|a|＞|b|
跟踪训练
【训练1】若a＞b＞0，则下列结论错误的是（　　）
A．a2＞b2 B．ac2＞bc2 C． D．a2＞ab
【训练2】（2016 北京）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（　　）
A．0 B．sinx﹣siny＞0
C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0
题型2 比较不等式大小关系的三种方法
1．比较大小基本方法
关系 方法
作差法与0比较 作商法与1比较
或
或
2．糖水不等式
若，，则一定有，或者．
理解：通俗的理解就是克的不饱和糖水里含有克糖，往糖水里面加入克糖，则糖水更甜．
证明：；．
【例1】已知a，b∈R，设m＝4a﹣b2，n＝a2﹣2b+5，则（　　）
A．m≥n B．m＞n C．m≤n D．m＜n
【例2】设a＞0，b＞0，且a≠b，则abba和aabb的大小关系是　 　．
【例3】若，，则P、Q的大小关系是（　　）
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．不能确定
【例4】已知x＞y＞0且m＞0，则与的大小关系为 　 　．
跟踪训练
【训练3】设a＝x2+y2，b＝2（x+y﹣1），则a，b的大小关系为（　　）
A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a≤b
【训练4】若，，则P，Q的大小关系是（　　）
A．P＜Q B．P＝Q C．P＞Q D．P，Q的大小由a的取值确定
【训练5】已知a＞b＞0，则与的大小是　 　．
【训练6】（多选）已知a＞b＞0，0＜c＜1，则（　　）
A．abc＞bac B．ca＞c C． D．
考向2 一元二次方程、函数和不等式的关系
题型1 一元二次不等式的解法
1.一元二次不等式的解法
（1）常规一元二次不等式的解法
意味着中部分，意味着中部分，，求出两个根，；根据图像可知：开口向上时，大于取两边，小于取中间，反之亦然．
（2）一元二次不等式与韦达定理
模型一 已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为．
模型二 已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
（3）一元二次不等式与判别式
已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足；
已知关于的一元二次不等式的解集为 ，则一定满足；
已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足；
已知关于的一元二次不等式的解集为 ，则一定满足．
【例1】（2019 天津）设，使不等式成立的的取值范围为　 　．
【例2】解关于的一元二次不等式：．
【例3】已知不等式的解集为，则不等式的解为　　
B．或
C． D．或
【例4】已知不等式的解集为或，则　　
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
跟踪训练
【训练1】（2015 广东）不等式的解集为　 　．（用区间表示）
【训练2】解关于的不等式．
【训练3】已知不等式的解集是，则不等式的解集是　　
A．，， B．
C． D．
【训练4】（多选）已知关于的不等式的解集为或，则　　
A．
B．
C．
D．不等式的解集为
题型2 一元二次不等式求参
1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式＝b2－4ac >0 ＝0 <0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1意味着中的部分，意味着中的部分 ，，求出两个根，；根据图象可知：开口向上时，大于取两边，小于取中间，反之亦然．
2.一元二次不等式参数问题之定海神针
二次函数涉及参数和变量的问题，很关键的一点就是参数的位置，到底是在二次项、一次项还是在常数项？然后参数是一次出现还是多处出现，这个问题值得探讨．二次函数的定海神针主要处理对称轴是变量，区间是定区间的类型（轴动区间定），或者是对称轴不变，区间是动区间的类型（轴定区间动）．遵循对称轴从区间的左边、中间和右边的顺序进行分类讨论．
口诀：轴在区间内，顶点定；轴在区间外，单调定．
3.二次函数的参变分离
当决定抛物线开口符号的与恒成立（能成立）的符号一致时，即，此类型题目基本上都是分类讨论复杂，且注意参数此时尽量为一次，那么我们把式子的参数分离出来，转化为求对勾函数的最值问题．
【例1】已知函数．若满足：对于任意的，，，且，都有，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例2】已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【例3】已知二次函数，当时，若该函数的最大值为，最小值为，则等于　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【例4】已知二次函数，恒有，．
（1）求函数的解析式；
（2）设，若函数在区间，上的最大值为3，求实数的值．
【例5】二次函数满足且．
（1）求的解析式；
（2）设函数在区间，上的最小值为（a），求（a）的表达式．
跟踪训练
【训练5】函数在区间，上单调递减．则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【训练6】若函数在，上单调递增，则的取值范围是　　
A． B．， C．， D．，
【训练7】（多选）已知函数在区间，上的最小值为9，则可能的取值为　　
A．2 B．1 C． D．
【训练8】已知函数，．
（1）若在区间，上为单调递增，求的取值范围；
（2）解关于不等式．
【训练9】已知二次函数，且，且的解集为．
（Ⅰ）求的解析式．
（Ⅱ）求在区间，的最大值记为，并求的最大值．
题型3 一元二次函数根的分布问题
1.二次函数的根与定值的位置关系
两根与的大小比较(以为例)
文字描述 两根都小于， 即 两根都大于， 即 一根小于，一根大于，即
图像表达
数学语言
2.二次函数的根与区间的位置关系
（1）两根分别在区间外
图像表达
数学语言
（2）根在区间上的分布(以为例)
文字描述 两根都在内 两根有且仅有一根在内 一根内， 另一根在内
图像 表达
数学语言
【例1】方程有一正根和一负根的充分不必要条件是　　
A． B． C． D．
【例2】若命题“关于的二次方程在上至多有一个解”是假命题，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例3】已知关于的二次方程，若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，的范围是　 　．
跟踪训练
【训练10】二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，且，如图所示，则的取值范围是　　
A．或 B． C．或 D．
【训练11】方程在区间内有两个不同的根，则的取值范围为　　
A． B．
C．或 D．
【训练12】已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为 　　．
拓展思维
拓展1 高次方程和绝对值不等式的解法
1.一元高次不等式的解法
一元高次不等式通常先进行因式分解，化为(或)的形式，然后用穿针引线法求解.首先保证每个因式中的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式的次数.
数轴穿根法的注意点：当不等式中含有时，运用标根法不穿过点，而则穿过点，俗称“奇穿偶不穿”．
Eg 解，如图所示，解集为.
解，如图所示，解集为.
2.绝对值不等式的解法
与分式不等式类似的是，求解绝对值不等式也是要将不等式的绝对值去掉，进行同解变形．
一般的，与或同解；与同解．
一般的，，需要注意的是，如果不等式中有多个绝对值，那么就需要对每个绝对值号进行讨论．
【例1】的解集是　　
A．， B．，， C．， D．，，
【例2】不等式的解集是　　
A．，， B．， C．，， D．，
跟踪训练
【训练1】不等式的解集为　　
，， B．，，
C．，， D．，，
【训练2】不等式的解集是　 　．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.4一元二次方程、函数和不等式课后练习
1.(2018·全国)已知a+b>0,则()
A<令
B.29>(台b
C.24<2b
D.24>2b
2
2.(2015·上海)若a<0A.11
B.-a>b
C.a2>b2
D.a33.(2014四川)若a>b>0,cA.->-
B.-<-
C.->-
D.-<-
4.(2013北京)设a,b,cR,且a>b,则()
A.ac>bc
B.a2>b2
C.a3>b3
D.1<1
5.(2024江苏月考)若a,b,cR,且a>b,则下列不等式中一定成立的是()
A.1<3
B.a2>b2
C.-a+c<-b+c
0.若a>b>c≥0，则-<士
6.(2024安微期中)已知a>b>0>c>d,则()
A.a+d>b+c
B.adC.ab>cd
D.ac7.(2024山东月考)已知a>b>0,下列不等式中正确的是()
A.a-1C.
D.->-
8.(2024广东模拟)若a>b>0,则下列不等式一定成立的是()
A.>1
B.+1>+1
+1
C.+-<+-
0-招
9.(2010·上海)已知a1,a2(0,1),记M=a1a2,N=a+a2-1,则M与N的大小关系是()
A.MB.M>N
C.M=N
D.不确定
10.(2024浙江月考)已知a=(x-2)(x-3),b=(x-1)(x-4),则，b的大小关系是()
A.aB.a>b
C.a=b
D.无法比较
11.(2024北京期中)若M=4x2+2+1.N=3x(x+1),则M与N的大小关系为()
A.M>N
B.M=N
C.MD.无法确定
12.(2024·多选·山东期中)下列选项正确的是()
A.若a>b,则->1
B.若a>b,c>d,则a-d>b-c
C.若ac2>bc2,则a>b
D.若a>b,则2<3
13.(2024·多选·浙江月考)下列命题叙述正确的是()
A.a,bR且a>b时，当m>0时，十
一>
B.a,bR+且a>b时，当m<0时，-
C.a,bR*且a>b时，当m>0时，+>-
D.a,bR*且a>b时，当m>0时，-一<-
14.(2023新高考I)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0}，则M∩N=()
A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}
D.{2}
15.(2019新课标I）已知集合M={x-4A.{x|-416.(2024辽宁月考)已知关于x的不等式r2-bx+1>0的解集为（←2,2Um,o),其中m>0,则b+
的最小值为()
A.4
B.2W2
C.2
D.1
17.(2024·河北模拟)某同学解关于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)时，因弄错了常数c的符号，解得其
解集为(-0，-3)U(-2,+0),则不等式bx2+cx+a>0的解集为()
A53
B.（-0,-lU-5+∞)
C..
D..
18.(2024·多选·陕西模拟)下列结论正确的是()
A.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R
B.若不等式ax2-bx+c>0的解集是(-1,2)，则a+b+c=0
C若关于x的不等式am2+x-l0的解集为R,则a<-
D.不等式上>1的解集为x1019.(2024·黑龙江模拟)已知函数y=-x2+2ax在区间(2，+o)上是减函数，则a的取值范围()
A.(-0,2]
B.[2,+o)
C.(2,+0)
D.(-00,2)中小学教育资源及组卷应用平台
1.4 一元二次方程、函数和不等式课后练习
1．（2018 全国）已知a+b＞0，则（　　）
A．2a＜（）b B．2a＞（）b C．2a＜2b D．2a＞2b
2．（2015 上海）若a＜0＜b，则下列不等式恒成立的是（　　）
A． B．﹣a＞b C．a2＞b2 D．a3＜b3
3．（2014 四川）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　）
A． B． C． D．
4．（2013 北京）设a，b，c∈R，且a＞b，则（　　）
A．ac＞bc B．a2＞b2 C．a3＞b3 D．
5．（2024 江苏月考）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A．
B．a2＞b2
C．﹣a+c＜﹣b+c
D．若a＞b＞c＞0，则
6．（2024 安徽期中）已知a＞b＞0＞c＞d，则（　　）
A．a+d＞b+c B．ad＜bc C．ab＞cd D．ac＜bd
7．（2024 山东月考）已知a＞b＞0，下列不等式中正确的是（　　）
A．a﹣1＜b﹣1 B．ab＜b2 C． D．
8．（2024 广东模拟）若a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2010 上海）已知a1，a2∈（0，1），记M＝a1a2，N＝a1+a2﹣1，则M与N的大小关系是（　　）
A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不确定
10．（2024 浙江月考）已知a＝（x﹣2）（x﹣3），b＝（x﹣1）（x﹣4），则a，b的大小关系是（　　）
A．a＜b B．a＞b C．a＝b D．无法比较
11．（2024 北京期中）若M＝4x2+2x+1．N＝3x（x+1），则M与N的大小关系为（　　）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定
12．（2024 多选 山东期中）下列选项正确的是（　　）
A．若a＞b，则
B．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c
C．若ac2＞bc2，则a＞b
D．若a＞b，则
13．（2024 多选 浙江月考）下列命题叙述正确的是（　　）
A． a，b∈R+且a＞b时，当m＞0时，
B． a，b∈R+且a＞b时，当m＜0时，
C． a，b∈R+且a＞b时，当m＞0时，
D． a，b∈R+且a＞b时，当m＞0时，
14．（2023 新高考Ⅰ）已知集合，，0，1，，，则
A．，，0， B．，1， C． D．
15．（2019 新课标Ⅰ）已知集合，，则　
A． B． C． D．
16．（2024 辽宁月考）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为　　
A．4 B． C．2 D．1
17．（2024 河北模拟）某同学解关于的不等式时，因弄错了常数的符号，解得其解集为，，，则不等式的解集为　　
A． B．
C． D．
18．（2024 多选 陕西模拟）下列结论正确的是　　
A．若方程没有根，则不等式的解集为
B．若不等式的解集是，则
C．若关于的不等式的解集为，则
D．不等式的解集为
19．（2024 黑龙江模拟）已知函数在区间上是减函数，则的取值范围　　
A．， B．， C． D．
20．（2024 重庆月考）已知二次函数的值域为，，则的最小值为　　
A．3 B．4 C．5 D．6
21．（2024 湖南模拟）已知函数的最小值为2，且图象关于直线对称，若当时，的最大值为6，则的最大值为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
22．（2024 山西月考）已知函数在区间，上的最小值为，最大值为，则　　
A． B． C．2 D．
23．（2024 北京模拟）已知函数．
（1）当时，求函数在区间，上的值域；
（2）若函数在区间，上的最小值记为（a），求（a）．
24．（2024 河北模拟）二次函数满足且．
（1）求的解析式；
（2）当，时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
（3）设函数在区间，上的最小值为（a），求（a）的表达式．
25．（2024 四川模拟）关于的方程的两个不等根，，都在之内，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．，，
26．（2024 江苏期末）若关于的二次方程的两个互异的实根都小于1，则实数的取值范围是　 　．
27．（2024 四川模拟）方程在区间和各有一个根的充要条件是　　
A． B． C． D．
28．（2024 湖北模拟）已知二次函数的图象与轴交于点，与，，其中，方程的两根为，，则下列判断正确的是　　
A． B． C． D．
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