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2.2单调性与奇偶性
考向1函数的单调性
题型1单调性的定义及判断
(1)定义域是函数的整体性质，单调性是函数的局部性质.若函数单调区间不止一个时，不能用“U”书
写，需要用“，”或“和”隔开.例如，f()=1的单调递减区间为(0,0)，0，+0).
(2)等价定义：
①xx2∈D,，若(x1-x2)儿f(x)-f(x2]>0,则f(x)在区间D上是增函数：
②xx2∈D,若(x1-x2)儿f(x)-f(x2】<0，,则f(x)在区间D上是减函数.
图eD,且≠，若f)-f>0,则f在区间D上是增函数：
x1-x2
④，eD,且≠2，若)-f)<0,则f在区间D上是减函数.
X1-x2
(3)函数单调性的运算：
①增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，
增函数一减函数=增函数，减函数一增函数=减函数：
②函数-f(x)与函数f(x)的单调性相反；
③k>0时，函数f)与人的单调性相反(f()≠0)：
f(x)
k<0时，函数f)与k的单调性相同(f()≠0).
f(x)
【例1】(2023·北京)下列函数中在区间(0，+∞)上单调递增的是()
A.f(x)=-Inx
B.=是
C.f)=-1
D.f(x)=3-
【例2】(2017·山东)若函数ef(x)(e=2.71828.…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称
函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是()
A.f(x)=2*B.f(x)=x2
C.f(x)=3
D.f(x)=cosx
1
【例3】已知函数f)=2+1,则下列说法正确的是()
x-1
A.函数f(x)的图象关于点(L,0)对称
B.函数f(x)在(L,+o)上单调递增
C.函数f(x)的图象关于直线x=1对称
D.函数f(x)在[2,6]上的最大值为3
跟踪训练
【训练1】(2021·甲卷)下列函数中是增函数的为()
A.f(x)=-x
B.=
C.f(x)=x2
D.f(x)=
【训练2】下列函数中，在区间(0，+0)上单调递减的是()
A.f(x)=(x-1)3B.f(x)=2
C.f(x)=-log2x D.f(x)=logx
【训练3】若函数f()=x-1在(o,-)上是减函数，则a的取值范围是()
x+a
A.（-0,-1
B.(-0,-1)
C.(-o,1]
D.(-0,1)
题型2利用单调性求参
【例1】已知f(x)是定义在[-1，]上的减函数，且f(2a-3)A.(1,2]
B.(1,3]
C.1,4]
D.(1,+D)
【例2】设函数)=xx-a,若对，6B,四，5≠，不等式）-f>0恒成立，则实
X1-X2
数a的取值范围是()
A.(-00,-3]
B.[-3,0)
C.(-o,3]
D.(0,3]
22.2函数的单调性与奇偶性
1.(2019北京)下列函数中，在区间(0，+0)上单调递增的是()
A.y=x2
B.y=2
C.y=logx
D.y=I
2
2.(2024·韶关期末)下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递减的是()
A.f)=1
B.f(x)=x2
C.f(x)=2*
D.f(x)x
3.(2024·满洲里期末)下列函数中，在区间(0，+0)上单调递增的是()
A.f(x)=-Inx
B.f(r)=1
C.f)=-
D.f(x)=3-
2
x
4.(2024·湘潭期末)已知函数y=f(x+1)为奇函数，则函数y=f(x)+1的图象()
A.关于点(1,1)对称
B.关于点(1，-1)对称
C.关于点(-1,1)对称
D.关于点(-1，-1)对称
5.(2024贵州期末)己知函数f(x)为奇函数，函数g(x)为偶函数，f(x)+g(x)=x2-x+1,则f(1)
=()
A.1
B.-1
C.2
D.-2
6.(2024:青岛期末)已知函数()=杜，则下列函数中为奇函数的是()
A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1
7.(2024清远期末)已知f(x)为奇函数，且x<0时，f(x)=ex,则f(e)=()
A.ee
B.-ee
C.ee
D.-ee
8.(2020上海)若函数y=a3+号为偶函数，则a=
9.(2024·贵州月考)设函数()=22
子为奇函数，则实数a的值为(）
A.-1
B.0
C.1
D.2
10.(2024越秀区校级月考)若()=3一3子7为奇函数，则a=()
A.1
B.0
C.2
D.3
1.(2024-罗湖区月考)已知函数)=C+D_三为奇函数，则a=(）
2
A
B.2
c.1
D.3
3
12.(2024鞍山月考)已知函数()=（一~1-2）为R上的奇函数，则实数a的值为（）
A.0
B.1
C.-1
D.1或-1
13.(2024·沈河区期未)若f()=m2e+a+b为奇函数，则实数a,b的值分别为(）
ex-1
A.e,1
B.-e,1
C.e,-1
D.-e,-1
14.(2024华安县月考)若函数(（)=
(+V1+42)的图象关于y轴对称，则实数a的值为
23
15.(2019·新课标)函数-2+2一在[-6,6]的图象大致为（）
16.(2024·张掖期末)已知函数y=f(x)在定义域(-1,3)上是减函数，且f(2a-1)取值范围是()
A.(1,2)
B.(-0,1)
C.(0,2)
D.(1,+o)中小学教育资源及组卷应用平台
2.2 函数的单调性与奇偶性
1．（2019 北京）下列函数中，在区间上单调递增的是　　
A． B． C． D．
2．（2024 韶关期末）下列函数中，在区间上单调递减的是　　
A． B． C． D．
3．（2024 满洲里期末）下列函数中，在区间上单调递增的是　　
A． B． C． D．
4．（2024 湘潭期末）已知函数y＝f（x+1）为奇函数，则函数y＝f（x）+1的图象（　　）
A．关于点（1，1）对称 B．关于点（1，﹣1）对称
C．关于点（﹣1，1）对称 D．关于点（﹣1，﹣1）对称
5．（2024 贵州期末）已知函数f（x）为奇函数，函数g（x）为偶函数，f（x）+g（x）＝x2﹣x+1，则f（1）＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
6．（2024 青岛期末）已知函数，则下列函数中为奇函数的是（　　）
A．f（x﹣1）﹣1 B．f（x﹣1）+1 C．f（x+1）﹣1 D．f（x+1）+1
7．（2024 清远期末）已知f（x）为奇函数，且x＜0时，f（x）＝e x
，则f（e）＝（　　）
A．ee
B．﹣ee
C．e﹣e D．﹣e﹣e
8．（2020 上海）若函数y＝a 3
x
为偶函数，则a＝　 　．
9．（2024 贵州月考）设函数为奇函数，则实数a的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
10．（2024 越秀区校级月考）若为奇函数，则a＝（　　）
A．1 B．0 C． D．
11．（2024 罗湖区月考）已知函数为奇函数，则　　
A． B．2 C． D．3
12．（2024 鞍山月考）已知函数为R上的奇函数，则实数a的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
13.（2024 沈河区期末）若为奇函数，则实数，的值分别为　　
A．，1 B．，1 C．， D．，
14．（2024 华安县月考）若函数的图象关于y轴对称，则实数a的值为 　 　．
15.（2019 新课标Ⅲ）函数y在[﹣6，6]的图象大致为（　　）
A．B． C． D．
16．（2024 张掖期末）已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
17．（2024 大理期末）已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
18．（2024 巴中期末）若函数在区间上单调，则实数的取值范围是 　 　．
19.（2024 渭滨区期中）已知函数f（x）＝ax2+bx+c，x∈[﹣2a﹣5，1]是偶函数，则a+2b＝　﹣2　．
20．（2024 新城区期末）定义在上的函数满足：对，，且都有，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
21．（2024 合肥月考）已知函数是定义在区间上的减函数，若，则实数的取值范围是　 　．
22．（2024 长沙月考）设函数的最大值为，最小值为，则　 　．
23．（2024 威远县期中）关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为 　 　．
24．（2024 佛山月考）已知函数，则使得成立的的取值范围是　　
A． B． C． D．
25．（2024 高坪区期中）已知函数满足，当，时，总有，若，求的取值范围 　　．
26．（2024 济宁期末）已知函数的定义域为，，都有，函数．且为奇函数，则不等式的解集为　　
A． B．
C．，， D．，，
27．（2024 衡阳期末）已知函数满足，，，当时有成立，且（4），则不等式的解集为　　
A．， B． C．， D．
28.（2024 苏州月考）已知函数f（x）＝e2x+e﹣2x+2，则（　　）
A．f（x+1）为奇函数 B．为偶函数
C．f（x﹣1）为奇函数 D．为偶函数
29．（2024 镇海月考）已知为奇函数，则m＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
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2. 2 单调性与奇偶性
考向1 函数的单调性
题型1 单调性的定义及判断
（1）定义域是函数的整体性质，单调性是函数的局部性质.若函数单调区间不止一个时，不能用“”书写，需要用“，”或“和”隔开．例如，的单调递减区间为，．
（2）等价定义：
①，若，则在区间上是增函数；
②，若，则在区间上是减函数．
③，且，若，则在区间上是增函数；
④，且，若，则在区间上是减函数．
（3）函数单调性的运算：
①增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，
增函数减函数增函数，减函数增函数减函数；
②函数与函数的单调性相反；
③时，函数与的单调性相反；
时，函数与的单调性相同.
【例1】（2023 北京）下列函数中在区间上单调递增的是　　
A． B． C． D．
【例2】（2017 山东）若函数是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是　　
A． B． C． D．
【例3】已知函数，则下列说法正确的是　　
A．函数的图象关于点对称
B．函数在上单调递增
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在，上的最大值为3
跟踪训练
【训练1】（2021 甲卷）下列函数中是增函数的为　　
A． B． C． D．
【训练2】下列函数中，在区间上单调递减的是　　
A． B． C． D．
【训练3】若函数在上是减函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
题型2 利用单调性求参
【例1】已知是定义在，上的减函数，且，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．
【例2】设函数，若对，，，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【例3】已知函数的定义域为，图象恒过点，对任意，都有．则不等式的解集为　　
A． B．
C．，， D．
跟踪训练
【训练4】已知函数，，，对任意的、，且，总有，若，则实数的取值范围是 　 　．
【训练5】已知函数的定义域为，其图象恒过点，对任意，，，都有成立，则不等式的解集是 　 　．
题型3 分段函数的单调性
函数，在上单调増递，则需满足三个条件：
(1)在上单调増递增；(2)在上单调増递增；(3)．
函数，在上单调増递减，则需满足三个条件：
(1)在上单调増递减；(2)在上单调増递减；(3)．
【例1】若函数，且对任意的，满足条件，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【例2】函数，在内单调递减，则的取值范围是_________
跟踪训练
【训练6】已知在定义域内单调，则的取值范围是　　
A． B．， C．， D．，
【训练7】如果函数在上单调递减，那么的取值范围是 　 　．
题型4 复合函数的单调性
讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下:
若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数;
若，在所讨论的区间上一增一减，则为减函数．
【例1】（2023 新高考Ⅰ）设函数在区间单调递减，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【例2】（2020 海南）已知函数在上单调递增，则的取值范围是　　
A． B．， C． D．，
跟踪训练
【训练8】若函数在上是增函数，则实数的取值范围是_________
考向2 函数的奇偶性
题型1 奇偶性定义及判断
函数奇偶性的几个重要结论
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
（2）函数，在它们的公共定义域上有下面的结论：
同名加减不变，异名加减不可；同名乘除得偶，异名乘除得奇．
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
（3）若奇函数的定义域包括，则．
（4）若函数是偶函数，则．
（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．
（6）若函数的定义域关于原点对称，则：
为偶函数，为奇，为偶函数．
【例1】已知f（x），g（x）是定义在R上的函数，则“y＝f（x）+g（x）是R上的偶函数”是“f（x），
g（x）都是R上的偶函数”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【例2】函数f（x）＝x+sinx在R上是（　　）
A．偶函数、增函数 B．奇函数、减函数
C．偶函数、减函数 D．奇函数、增函数
【例3】已知函数f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）＝x2+x﹣2，则f（2）＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例4】已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x+cosx﹣1，则x＜0时，f（x）＝（　　）
A．x﹣cosx+1 B．﹣x+cosx﹣1 C．x+cosx﹣1 D．﹣x﹣cosx+1
【例5】若f（x）是定义在R上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是（　　）
A．|f（x）| B．f（|x|）
C． D．f（x）﹣f（﹣x）
【例6】（2021 乙卷）设函数f（x），则下列函数中为奇函数的是（　　）
A．f（x﹣1）﹣1 B．f（x﹣1）+1 C．f（x+1）﹣1 D．f（x+1）+1
跟踪训练
【训练1】设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确
的是（　　）
A．f（x） g（x）是偶函数 B．|f（x）| g（x）是奇函数
C．f（x） |g（x）|是奇函数 D．|f（x） g（x）|是奇函数
【训练2】若奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）＝3
x
+x3+2，则f（1）+g（0）＝（　　）
A． B． C． D．
【训练3】已知f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x3，则f（﹣1）+f（0）＝（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【训练4】已知函数f（x+1）的图象关于点（1，1）对称，则下列函数是奇函数的是（　　）
A．y＝f（x）+1 B．y＝f（x+2）+1
C．y＝f（x）﹣1 D．y＝f（x+2）﹣1
题型2 常见奇偶的七大模型
奇函数：“两指两对”；偶函数：“一指一对一绝”
（1）奇函数：
①函数或函数．
②函数．
③函数或函数
④函数或．
注意：关于①式，可以写成函数或函数．
（2）偶函数：
① 函数．
② 函数．
③ 函数类型的一切函数．
【例1】下列函数中的奇函数是（　　）
A． B．
C．f（x）＝3﹣x+3
x
D．
【例2】（2021 新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝x3（a 2
x
﹣2﹣x）是偶函数，则a＝　　．
【例3】已知函数为奇函数，则（　　）
A． B． C． D．
【例4】已知函数f（x）＝xcosx，g（x）＝ln（e2x+1）﹣x﹣1，则（　　）
A．f（x）的图象关于y轴对称，g（x）的图象关于点（0，﹣1）对称
B．f（x）的图象关于y轴对称，g（x）的图象关于y轴对称
C．f（x）的图象关于原点对称．g（x）的图象关于点（0，﹣1）对称
D．f（x）的图象关于原点对称．g（x）的图象关于y轴对称
【例5】已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可以为（　　）
A． B．
C． D．
跟踪训练
【训练5】（2023 新高考Ⅱ）若f（x）＝（x+a）为偶函数，则a＝（　　）
A．﹣1 B．0 C． D．1
【训练6】若函数f（x）＝（sinx+m） 为偶函数，则m＝（　　）
A．2 B．1 C． D．0
【训练7】若函数为奇函数，则m＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
【训练8】（2022 甲卷）函数y＝（3
x
﹣3﹣x）cosx在区间[，]的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
题型3 利用奇偶性求参
定义法：偶函数则，奇函数则；
特殊值：奇函数定义域可取0时，可利用；
奇函数定义域不可取0时，可利用其他，如；
偶函数可利用；；
（3）利用常见模型处理．
注意避坑：求得参数范围若有两个或以上解，记得验证是否都满足．
【例1】若函数f（x）＝1是奇函数，则m的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【例2】（2023 乙卷）已知f（x）是偶函数，则a＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【例3】若函数为定义在R上的奇函数，则实数b＝（　　）
A． B． C．1 D．﹣1
跟踪训练
【训练9】已知函数 f（x）＝a
x
（1﹣2
x
）（a＞0 且a≠1）是奇函数，则a＝（　　）
A．2 B． C． D．
【训练10】（2023 甲卷）若y＝（x﹣1）2+ax+sin（x）为偶函数，则a＝　 　．
【训练11】（2022 乙卷）若f（x）＝ln|a|+b是奇函数，则a＝　 　，b＝　 　．
【训练12】已知函数f（x）＝（x+a﹣2）（2x2+a﹣1）为奇函数，则a的值是（　　）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
题型4 “M + N”中值模型
若函数奇函数，则我们把它称为准奇函数；求准奇函数最大值+最小值之和（），我们把它叫做中值模型．
若为奇函数，则其最大值与最小值和为0，即；
若为奇函数，则；
（3）常见考向奇函数；
妙解答案：
【例1】（2018 全国3卷）已知函数，（a），则　　．
【例2】（2012 新课标）设函数的最大值为，最小值为，则　　．
【例3】已知函数其中且，，，则（1）和的值一定不会是　　
A．和 B．和4 C．3和 D．或
跟踪训练
【训练13】已知，且，（5）　　
A． B． C． D．
【训练14】设函数的最大值为，最小值为，则　 　．
【训练15】是定义在上的函数，为奇函数，则　 　．
考向3 单调性与奇偶性的综合应用
解决此类题目要注意以下几点：
（1）若给出的是复杂函数，我们要先研究函数的奇偶性和单调性
（2）若为奇函数则判断函数是否连续，不连续则需通过数形结合解不等式，图象关于原点对称，若连续直接利用单调性即可
（3）若为偶函数则利用，转化为的形式，考虑在上的单调性即可
题型1 奇函数与单调性结合
【例1】已知定义在R上的奇函数，且为减函数，又知，则的取值范围为
A. B. C. D.
【例2】已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
【例3】已知是定义在上的奇函数，且对任意，若都有成立，则关于的不等式的解为_________．
题型2 偶函数与单调性结合
【例1】已知函数关于直线对称，且当时，恒成立，则满足的的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【例2】已知函数是定义在，上的偶函数，，，，当时，，则不等式的解集是　　
A．， B．， C．， D．，
【例3】已知定义在，的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，的对称轴是；②，，，当时，；③．则下列选项成立的是　　
A．（4）
B．不等式的解集为：，，
C．若（3），则或
D．，，，使得
跟踪训练
【训练1】定义在，上的函数，则满足的的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【训练2】已知函数，若有，则的取值范围是　 　．
【训练3】若函数是奇函数，下列选项正确的是　　
A．
B．是单调递增函数
C．是单调递减函数
D．不等式的解集为
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