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专题11 对数与对数函数（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 10
【考点1】对数的运算 10
【考点2】对数函数的图象及应用 14
【考点3】对数函数的性质及应用 18
【分层检测】 23
【基础篇】 23
【能力篇】 28
【培优篇】 32
考试要求：
1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
(3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.
1.换底公式的两个重要结论
(1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
5．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·全国·高考真题）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
参考答案：
1．A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
2．C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
3．C
【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.
故选：C.
4．C
【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】由，当时，，
则.
故选：C.
5．C
【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
6．B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以，即，即；
令，则，，
由于，在x>0时，，
所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b综上，，
故选：B.
[方法二]：
令
，即函数在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数在（1，3)上单调递增
综上，，
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
7．ACD
【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD.
8．
【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为：.
【考点1】对数的运算
一、单选题
1．（2024·四川凉山·三模）工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量（单位：mg/L）与过滤时间小时的关系为（，均为正的常数）．已知前5小时过滤掉了10%污染物，那么当污染物过滤掉50%还需要经过（ ）（最终结果精确到1h，参考数据：，）
A．43h B．38h C．33h D．28h
2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，参考数据：）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
3．（2024·贵州毕节·二模）已知，则下列式子中正确的有（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江西萍乡·二模）已知，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·江苏·一模）已知，，则的最小值为 .
6．（2024·陕西商洛·模拟预测）人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI.它是研究 开发用于模拟 延伸和扩展人的智能的理论 方法 技术及应用系统的一门新的技术科学.人工智能研究的一个主要目标是使机器能够胜任一些通常需要人类智能才能完成的复杂工作.在疫情期间利用机器人配送 机器人测控体温等都是人工智能的实际运用.某研究人工智能的新兴科技公司第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了，预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底各项人员工资 税务等支出合计1500万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底企业除去各项支出资金后的剩余资金为万元，第年年底企业的剩余资金超过21000万元，则整数的最小值为 .
参考答案：
1．D
【分析】先确定废气中初始污染物含量，由题意求出常数，即可解出．
【详解】∵废气中污染物含量与过滤时间小时的关系为，
令，得废气中初始污染物含量为，
又∵前5小时过滤掉了10%污染物，
∴，则，
∴当污染物过滤掉50%时，，
则，
∴当污染物过滤掉50%还需要经过.
故选：D.
2．D
【分析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.
【详解】设经过个小时才能驾驶，则即.
由于在定义域上单调递减，.
他至少经过4小时才能驾驶.
故选：D.
3．BCD
【分析】
由指对互化得到，，进而结合对数运算性质和基本不等式的应用即可求解.
【详解】
由已知可得 ，
所以 , 故A错误;
所以, 故B正确;
由 , 当且仅当 , 即 时取等号, 显然取不到，所以, 故C正确;
,当且仅当,
即 时取等号, 显然取不到所以，故D正确；
故选：BCD.
4．AD
【分析】利用对数的运算法则化简，结合作差法和基本不等式比较大小，依次判断各选项.
【详解】因为，
所以，
对A选项，，所以，故A正确；
对B选项，，
所以，故B选项不正确；
对C选项，因为，，
所以，
而，故上述不等式等号不成立，则，故C不正确；
对D选项，
,故D正确.
故选：AD
5．/
【分析】依题意可得，则，令，利用导数求出的最小值，即可得解.
【详解】，，
，，，
即，所以，
令，，
则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，当且仅当时取得.
故答案为：
6．6
【分析】由题意中的递推，得证数列是以3000为首项，为公比的等比数列，求出通项后解不等式即可.
【详解】由题意得，，.
即，，
数列是以3000为首项，为公比的等比数列，即，
，即，
，，
所以的最小值为6.
故答案为：6.
反思提升：
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
【考点2】对数函数的图象及应用
一、单选题
1．（2024·广东深圳·二模）已知，且，则函数的图象一定经过（ ）
A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限
2．（2024·陕西西安·一模）已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程至少有两解，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
3．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知函数且的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值可能是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江绍兴·二模）已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则的最小值为 .
6．（21-22高一上·陕西西安·阶段练习）设定义域为R的函数，若关于x的方程有8个不同的实根，到实数b的取值范围是 .
参考答案：
1．D
【分析】由函数过点，分类可解.
【详解】当时，，
则当时，函数图象过二、三、四象限；
则当时，函数图象过一、三、四象限；
所以函数的图象一定经过三、四象限.
故选：D
2．C
【分析】根据函数的对称性与周期性，数形结合可得函数交点情况，进而确定方程解的情况.
【详解】由已知，则，则，
可知函数为周期函数，最小正周期，
又当时，，
可知函数的图象如图所示，且的值域为，
关于的方程至少有两解，
可得函数与函数的图象至少有两个交点，
如图所示，

可知当时，，解得，即，
当时，，解得，即，
综上所述，
故选：C.
3．AD
【分析】根据函数解析式求出函数过的定点，再利用三角函数的定义求出和即可.
【详解】因为函数的图象经过定点,
令，得或，此时，则或,
当点在角的终边上，则；
当点在角的终边上，则；
综上：或，故AD正确，BC错误.
故选：AD.
4．BCD
【分析】根据抽象函数性质可确定关于直线对称，关于点对称，从而可确定其周期性，再结合单调性可得函数的大致图象，结合周期性、对称性、对数函数性质、三角函数性质逐项判断即可得结论.
【详解】对于函数有，，则函数关于直线对称，
由，则函数关于点对称，
所以，所以得，
则，故函数的周期为，且，故函数为偶函数，
因为函数在区间上单调递增，则函数的大致图象如下图：
由对称性可得，
所以，故A不正确；
由于，，所以，故B正确；
又，，所以，故C正确；
，且，
因为，所以，故，
所以，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：抽象函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性，解决本题的关键是结合函数的性质确定函数的图象，从而可确定函数值的大小关系、对称关系.考查学生的基本分析能力与计算能力，属于中等难度的题型.
5．16
【分析】根据对数函数性质求出定点，根据定点在椭圆上，将定点代入椭圆方程，得到与的等量关系，再利用基本不等式即可求解.
【详解】由题意得，函数，且的图象所过定点为，
则，
所以，
当且仅当，
即时等号成立.
故答案为：16.
6．
【分析】由解析式画出函数图象，若且、为的两根，结合图像可知：、，再应用判别式、根与系数关系及对勾函数的值域求b的取值范围.
【详解】由题设，的图象如下图示：
令，则化为，
∴要使原方程有8个不同实根，则有2个不同的实根且两根、，
∴，可得，又在上递减，在上递增，且，，即，
综上，.
故答案为：.
反思提升：
1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
【考点3】对数函数的性质及应用
一、单选题
1．（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）若函数为偶函数，则（ ）
A．-1 B．0 C． D．1
2．（2023·江苏南通·模拟预测）为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）(参考数据：)
A．14次 B．15次 C．16次 D．17次
二、多选题
3．（2024·辽宁·二模）关于函数，下列说法正确的有（ ）
A．的定义域为 B．的函数图象关于y轴对称
C．的函数图象关于原点对称 D．在上单调递增
4．（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列关系式中可能正确的是（ ）
A．，使 B．，使
C．，有 D．，有
三、填空题
5．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）若，则实数由小到大排列为 < < .
6．（23-24高一下·四川德阳·开学考试）已知函数，若，则的最小值为 ．
参考答案：
1．B
【分析】根据函数是偶函数，则，解出后验证即可.
【详解】因为为偶函数，
，
则有，
解得，
经验证时，符合条件，
故选：B.
2．C
【分析】依题运用特殊值求得函数模型中的值，然后运用函数模型得到关于的不等式，通过指、对运算求得的取值范围，即可得解．
【详解】依题意，，，当时，，即，可得，
于是，由，得，即，
则，又，因此，
所以若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次．
故选：C
3．ACD
【分析】由对数型复合函数的定义域即可判断A，由函数的奇偶性即可判断BC，由复合函数的单调性即可判断D
【详解】因为，则，解得，
所以的定义域为，故A正确；
因为，即为奇函数，
所以的图像关于原点对称，故B错误，C正确；
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，故D正确；
故选：ACD
4．ABC
【分析】由原方程可得，构适函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A；令，代入原方程转化为判断是否有解即可判断B；条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出大小，判断CD.
【详解】由
得，
令，则分别在和上单调递增，
令，则分别在和上单调递增，
当时，的值域为，当时，的值域为，
所以存在，使得；
同理可得，存在，使得，
因此，使，故选项A正确．
令，则方程
可化为，
由换底公式可得，
显然关于b的方程在上有解，所以，使，故选项B正确．
当时，因为，所以．
又在上单调递增，所以．
因为，
令，则在上单调递增．
因为，所以，
从而，所以．
综上所述，，故选项C正确．
当时，因为，所以．
又在上单调递增，所以．
因为．
令，则在上单调递增，
因为，所以，
从而，所以．
综上所述，，故选项D错误．
故选：ABC．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据对数式的运算规则和对数函数的单调性求解.
5． b c a
【分析】根据给定条件，构造函数，再利用导数探讨单调性比较大小作答.
【详解】依题意，，而，
令函数，求导得，
因此函数在上单调递增，而，于是，
又，所以.
故答案为：b；c；a
6．
【分析】由题意及对数的运算与对数函数的性质可得，利用基本不等式即可求解．
【详解】，
若，不妨设，
则，
所以，即，
所以，当且仅当，时，等号成立．
故答案为：．
反思提升：
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·陕西·模拟预测）已知函数，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
2．（2024·甘肃武威·模拟预测）设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川成都·一模）函数的图象经过变换后得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川成都·三模）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（2024·河南·模拟预测）已知正数，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（22-23高一上·云南·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·重庆·模拟预测）若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（2021·全国·模拟预测）已知函数是奇函数，则 .
9．（2023·江苏镇江·模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，则 ．
10．（2022·上海·模拟预测）若函数（且）有最大值，则的取值范围是 .
四、解答题
11．（2023·四川成都·二模）已知函数
(1)当时，求函数的定义域；
(2)当函数的值域为R时，求实数的取值范围.
12．（21-22高一上·陕西铜川·期末）已知函数是指数函数．
(1)求的解析式；
(2)若，求的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】由已知可得，进而求得，计算即可.
【详解】由条件得，故，
所以，解得.
故选：B.
2．D
【分析】利用中间值“1”与比较得出，再由作差比较法比较，利用换底公式和对数函数的单调性即得.
【详解】因为，所以．同理
又因在定义域内为减函数，故，
而，
因，，且，故，即，所以．
故选：D.
3．B
【分析】由已知可得出，代入可得出的表达式，即可得出的表达式.
【详解】由已知可得，代入可得，则，
即，因此，.
故选：B.
4．A
【分析】由函数的奇偶性排除两个选项，再根据时的函数值为正排除余下两个中的一个即得.
【详解】函数的定义域为，，
函数是奇函数，图象关于原点对称，BD不满足；
当时，，则，C不满足，A满足.
故选：A
5．AC
【分析】取特值验证可判断B；根据对数函数、指数函数的单调性，结合不等式的性质可判断ACD.
【详解】因为，所以，C正确；
又因为在上单调递增，所以，A正确；
不妨取，则，B错误；
因为，所以，
又在R上单调递增，所以，D错误.
故选：AC.
6．ABD
【分析】根据指数幂的运算法则，对数的运算法则及换底公式逐项分析即得.
【详解】对于A中，原式，所以A正确；
对于B中，原式，所以B正确；
对于C中，原式，所以C错误；
对于D中，原式，所以D正确.
故选：ABD.
7．BC
【分析】由已知可得，由幂函数性质可判断A; 由对数函数性质可判断B; 由幂函数性质可判断C; 由不等式的性质可判断D.
【详解】对于A：∵，幂函数在上单调递增，
且，∴，故选项A错误；
对于B：∵，∴函数在上单调递减，
又∵，∴，
∴，即，故B正确；
对于选项C：∵，则，幂函数在上单调递减，
且，∴，∴，故选项C正确；
对于选项D：由选项B可知：，∴，
∵，
∴，∴，故D错误.
故选：BC.
8．
【分析】根据函数为奇函数，求出当时的解析式，进而求出.
【详解】因为当时，，
所以.
因为是奇函数，所以，所以当x<0时，，
则，所以.
故答案为：
9．2
【分析】根据零点的定义，等价转化为两个函数求交点，根据反函数的定义，结合对称性，可得答案.
【详解】由，得， 函数与互为反函数，
在同一坐标系中分别作出函数，，的图象，
如图所示，则，，由反函数性质知A，B关于对称，
则，.
故答案为：.
10．
【分析】因为内函数的是开口向下的二次函数，有最大值，则外函数为增函数，且内函数的最大值为正数，由此可列出不等式组求解.
【详解】因为内函数的是开口向下的二次函数，有最大值，则外函数为增函数，且内函数的最大值为正数,所以， 解得
故答案为：
11．(1)
(2)
【分析】（1）利用零点分段法解不等式，求出函数的定义域；
（2）由的值域为R得到能取遍所有正数，结合绝对值三角不等式得到，故，求出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，令，
即①，或②，或③，
解①得：，解②得：，解③得：，
所以定义域为；
（2）因为的值域为R，
故能取遍所有正数，
由绝对值三角不等式，
故，所以，故实数的取值范围是.
12．(1)
(2)
【分析】（1）由指数函数定义可直接构造方程组求得，进而得到所求解析式；
（2）将不等式化为，根据对数函数单调性和定义域要求可构造不等式组求得结果.
【详解】（1）为指数函数，
，解得：，
.
（2）由（1）知：，
，解得：，
的取值范围为.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）设a，b，c都是正数，且，那么（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
2．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数值域为
B．函数是增函数
C．不等式的解集为
D．
三、填空题
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数则函数有 个零点．
四、解答题
4．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数是偶函数.
(1)求的值;
(2)设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围.
参考答案：
1．D
【分析】将指数式化为对数式，根据对数换底公式、对数运算法则逐项验证即可．
【详解】依题意设，则，，，
所以，
则，故A，C错误；
则，故B错误；
则，故D正确.
故选：D.
2．ACD
【分析】对于A，令，利用换元法和对数函数的性质即可求得；对于B，令由复合函数的单调性进行判断即可；对于C，利用函数的奇偶性和单调性进行解不等式；对于D，由即可求解.
【详解】对于A，令，又因为在上递增，所以，由对数函数的性质可得，的值域为R，故A正确；
对于B，因为在上递增，在上递减，由复合函数的单调性可知，为减函数，故B错误；
对于C，因为的定义域为，且,
，所以为奇函数，且在上为减函数，
不等式等价于即，
等价于，解得，故C正确；
对于D，因为且，所以
，故D正确.
故选：ACD.
3．7
【分析】设，则等价于，作出函数的图像，由图可知有3个根，再根据结合函数的图象得出交点的个数，即得到结果.
【详解】令，则，设，则等价于，
则函数的零点个数问题即为解的个数问题．
二次函数，其图像开口向上，过点，对称轴为，最小值为，
由题意得作出函数的图像如图所示．
由图可知有3个根，当时，，即；
当时，，即.
则对于，当时，;
当时，，此时共有3个解．
对于，此时有1个解，，即有2个解．
对于，此时有1个解，，即无解．
因此，此时函数有7个零点．
故答案为：7.
4．(1)
(2)
【分析】（1）由偶函数的性质即可求解的值；
（2）由题意可得在上的最小值不小于在上的最小值，分别求出和的最小值，即可求解.
【详解】（1）因为是偶函数，
所以，
即，
，
，
，
，
，
，
，
所以，即.
（2），
因为对任意的 ，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以，
因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，解得，
所以的取值范围为.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·安徽·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·全国·模拟预测）对于任意实数，定义运算“”，则满足条件的实数的值可能为（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
三、填空题
3．（2023·湖南长沙·模拟预测）已知函数的定义域为，且，函数在区间内的所有零点的和为16，则实数的取值范围是 .
参考答案：
1．A
【分析】构造函数，利用导数求取单调性可得、之间大小关系，构造函数，利用导数求取单调性可得、之间大小关系，即可得解.
【详解】由，
即，
令，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
则有，即，
令，
则在上恒成立，
故在上单调递减，
则有，即，
故.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造出函数、，以比较、与、之间大小关系.
2．BD
【分析】由，可得，可得，故只需判断四个选项中的是否为最大值即可，利用函数函数为减函数，为减函数可判断AB；构造函数，利用单调性可得，进而再构造函数，求导可得，再构造函数，利用单调性可判断CD．
【详解】由，可得，即，
若，可得，符合题意，
若，可得，不符合题意，
若，可得，不符合题意，
若，可得，不符合题意，
综上所述，，可得，
故只需判断四个选项中的是否为最大值即可．
对于A，B，由题知，而，
，所以．
（点拨：函数为减函数，为减函数），
对于A，；对于B，，故A错误，B正确．
对于C，D，
（将0.9转化为，方便构造函数）构造函数，
则，因为，所以单调递减，因为，所以，
即，所以．（若找选项中的最大值，下面只需判断与的大小即可）
，
构造函数，则，
因为，所以，令，则，
当时，单调递减，因为，
所以，即单调递减，又，所以，
即，所以．
综上，．对于C，；对于D，，故C错误，D正确．
（提醒：本题要比较0.09与的大小关系的话可以利用作差法判断，
即，
构造函数，
则，
因为，所以单调递增，因为，所以，
即，所以）
故选：BD.
【点睛】方法点睛：本题考查定义新运算类的题目，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，构造函数，利用函数的单调性与最值比较数的大小.
3．
【分析】函数的零点转化为函数的图象与函数的图象的交点的横坐标，作出它们的图象，观察图象可得结果.
【详解】函数的零点即为函数的图象与函数的图象的交点的横坐标，
因为，
先利用指数函数与对数函数的性质作出函数在区间上的图象，
又当时，，
即每过两个单位，将的图象向右平移个单位，同时将对应的坐标变为原来的两倍，
再作出函数的图象，如图所示：

由图象可得：，，，，，
则，
因为在区间内的所有零点的和为16，
所以，得，结合图象，可得实数a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是作出的大致图象，从而利用数形结合即可得解.
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专题11 对数与对数函数（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 4
【考点1】对数的运算 4
【考点2】对数函数的图象及应用 6
【考点3】对数函数的性质及应用 6
【分层检测】 8
【基础篇】 8
【能力篇】 9
【培优篇】 10
考试要求：
1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
(3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.
1.换底公式的两个重要结论
(1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
5．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·全国·高考真题）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
【考点1】对数的运算
一、单选题
1．（2024·四川凉山·三模）工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量（单位：mg/L）与过滤时间小时的关系为（，均为正的常数）．已知前5小时过滤掉了10%污染物，那么当污染物过滤掉50%还需要经过（ ）（最终结果精确到1h，参考数据：，）
A．43h B．38h C．33h D．28h
2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，参考数据：）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
3．（2024·贵州毕节·二模）已知，则下列式子中正确的有（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江西萍乡·二模）已知，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·江苏·一模）已知，，则的最小值为 .
6．（2024·陕西商洛·模拟预测）人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI.它是研究 开发用于模拟 延伸和扩展人的智能的理论 方法 技术及应用系统的一门新的技术科学.人工智能研究的一个主要目标是使机器能够胜任一些通常需要人类智能才能完成的复杂工作.在疫情期间利用机器人配送 机器人测控体温等都是人工智能的实际运用.某研究人工智能的新兴科技公司第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了，预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底各项人员工资 税务等支出合计1500万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底企业除去各项支出资金后的剩余资金为万元，第年年底企业的剩余资金超过21000万元，则整数的最小值为 .
反思提升：
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
【考点2】对数函数的图象及应用
一、单选题
1．（2024·广东深圳·二模）已知，且，则函数的图象一定经过（ ）
A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限
2．（2024·陕西西安·一模）已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程至少有两解，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
3．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知函数且的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值可能是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江绍兴·二模）已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则的最小值为 .
6．（21-22高一上·陕西西安·阶段练习）设定义域为R的函数，若关于x的方程有8个不同的实根，到实数b的取值范围是 .
反思提升：
1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
【考点3】对数函数的性质及应用
一、单选题
1．（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）若函数为偶函数，则（ ）
A．-1 B．0 C． D．1
2．（2023·江苏南通·模拟预测）为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）(参考数据：)
A．14次 B．15次 C．16次 D．17次
二、多选题
3．（2024·辽宁·二模）关于函数，下列说法正确的有（ ）
A．的定义域为 B．的函数图象关于y轴对称
C．的函数图象关于原点对称 D．在上单调递增
4．（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列关系式中可能正确的是（ ）
A．，使 B．，使
C．，有 D．，有
三、填空题
5．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）若，则实数由小到大排列为 < < .
6．（23-24高一下·四川德阳·开学考试）已知函数，若，则的最小值为 ．
反思提升：
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·陕西·模拟预测）已知函数，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
2．（2024·甘肃武威·模拟预测）设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川成都·一模）函数的图象经过变换后得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川成都·三模）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（2024·河南·模拟预测）已知正数，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（22-23高一上·云南·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·重庆·模拟预测）若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（2021·全国·模拟预测）已知函数是奇函数，则 .
9．（2023·江苏镇江·模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，则 ．
10．（2022·上海·模拟预测）若函数（且）有最大值，则的取值范围是 .
四、解答题
11．（2023·四川成都·二模）已知函数
(1)当时，求函数的定义域；
(2)当函数的值域为R时，求实数的取值范围.
12．（21-22高一上·陕西铜川·期末）已知函数是指数函数．
(1)求的解析式；
(2)若，求的取值范围．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）设a，b，c都是正数，且，那么（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
2．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数值域为
B．函数是增函数
C．不等式的解集为
D．
三、填空题
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数则函数有 个零点．
四、解答题
4．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数是偶函数.
(1)求的值;
(2)设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·安徽·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·全国·模拟预测）对于任意实数，定义运算“”，则满足条件的实数的值可能为（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
三、填空题
3．（2023·湖南长沙·模拟预测）已知函数的定义域为，且，函数在区间内的所有零点的和为16，则实数的取值范围是 .
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