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苏科版八年级下学期名校期末压轴题模拟训练
一、单选题
1．如图1，已知点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．动点M从某点出发，沿某一路径匀速运动，设点M运动的路程为x，过点M作于点Q，则的面积y关于x的函数关系的图象如图2所示，那么这条路径可能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．得到，，进而得到，点M与点E，点H重合时，此时，的面积都为0，点M与点F，点G时重合，此时，的面积都为12，由图2得出始点面积为12，当和时，面积都为0，由此即可解答．
【详解】解：点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．
，，
，
如图，连接，
，
当点M与点E，点H重合时，
此时，三点再一条直线上，
的面积都为0，
当点M与点F时重合，
此时，
的面积为，
当点M与点G时重合，
此时，
的面积为，
由图2得出始点面积为12，当和时，面积都为0，
时，的面积先增大后减小，
时，点M运动的路径是，
点M运动的路径是．
故选：D．
2．如图，平行四边形中，，点M，N分别为线段上的动点（含端点），点E，F，G分别为的中点，则长度的最大值为（　　）．
A． B． C．3 D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质等知识点，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．如图：连接，根据三角形的中位线得到，由图形可知当N在B点处时，最大，即最大．
【详解】解：如图：连接，过点G作交于点H，
∵平行四边形中,，
∴，
∵G是的中点，，
∴
∵点E，F分别为的中点，
∴，
∴最大时，最大，
∴N与B重合时最大，
在中，，则，
∴，，
∴
∴
∴，即长度的最大值为．
故选：A．
3．如图，在等腰中，于点D．动点从点出发，沿着的路径以每秒个单位长度的速度运动到点停止，过点作于点，作于．在此过程中四边形的面积与运动时间的函数关系图象如图所示，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，由图中拐点的纵坐标，得到四边形的面积，此时点运动到点，可证明四边形是正方形，面积为，那么正方形的边长为，易得为等腰直角三角形，即得到长为，进而求出长度为，解题的关键理解拐点的纵坐标表示的意义及动点此时所在的位置．
【详解】解：∵动点从点出发，沿着的路径运动，
∴第一个拐点的位置在点处，此时点运动到点，
∵图中拐点的纵坐标，
∴四边形的面积为，
∵，，
∴，
∵，
∴ 四边形是矩形，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，，
∴四边形是正方形，，
∴是等腰直角三角形，
∵四边形的面积为，
∴，
∴，
∴，
故选：．
4．如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在点处，的角平分线与的延长线交于点，若，当点从点运动到点时，则点运动的路径长是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】过点M作，交延长线于G，延长线于H，可证明四边形为正方形，当点E与D重合时，，设，在中，由勾股定理即可求解．
【详解】过点M作，交延长线于G，延长线于H

则四边形为矩形
∵平分
∴
∵
∴
∴
由折叠可得：
∴
∴四边形为正方形
∴
∴
当点E与D重合时，
设，则
在中， ，解得
∴
∴当点从点运动到点时，则点运动的路径长是
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键．
5．如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据三角形的中位线可得 ，转化所求最值为，再依据将军饮马模型解答即可．
【详解】∵点分别是的中点,
,
∵,
∴四边形是平行四边形，
，
，
的最小值就是的最小值，
找到点关于直线对称点，连接
当点三点共线时，的最小值就是,
在中, ，
∴，
∴的最小值
故选: B．
【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思想．
6．在搬运班级储物柜时，小明与同学将储物柜靠在墙上稍作休息，思考如下问题：如图，墙面 与地面垂直，柜子侧面为矩形 ，其中 ， ，当柜子靠在墙上缓慢倒下，即在上滑动，在上滑动，在这个过程中，点到点的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，三角形的三边性质，取的中点，连接，由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，再根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：取的中点，连接，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴点到点的最大距离为，
故选：．
7．如图，正方形中，，点E、F分别在边上，，连接，下列结论：①；②平分；③的周长为2；④，其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】延长到T，使得，连接,证明，，可判定①②，利用等量代换，可判③，利用面积公式解答即可，本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【详解】延长到T，使得，连接
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴（），
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（），
∴，，
∴平分,
∵，，
∴．
∴．
故①②正确；
∵的周长为,
故③正确；
根据题意，
∴，
无法确定，
故④错误，
故选B．
8．矩形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，交于点，根据翻折的性质知，，，垂直平分，说明，利用等积法求出的长，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：连接，交于点，
在矩形中，，，
∴，
∵将沿折叠得到，
∴，，，
∴垂直平分，
∴，，
∵点为的中点，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
故选：D．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，垂直平分线的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理等知识，利用等积法求出的长是解题的关键．
9．如图，在矩形中，，点P，Q分别在上，，线段在上，且，连接，则的最小长度为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识；在边上取，连接，则得四边形是平行四边形，有，问题转化为求的最小长度，当点E在上时，取得最小值；由勾股定理即可求解．取，求的最小值转化为求的最小值是解题的关键．
【详解】解：如图，在边上取，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
即当取最小值时，取得最小值；
当点E在上时，取得最小值，最小值为线段的长；
∵，，
∴，
由勾股定理得，
即的最小长度为10；
故选：B．
10．如图，在边长为4的菱形中，，点、分别为、边上的动点，连接、、．若，则以下结论正确的是（ ）
①；②是等边三角形；③四边形的面积是；④面积有最大值为．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【分析】①连接，根据菱形的性质及，可以得到为等边三角形，结合，可得，可利用判定，从而得到；②根据，，即可得到为等边三角形；③根据及，可以得到，再求等边三角形面积即可；④当时，最短， 等边的面积最小，由，可以得到的面积最大值为；
【详解】解：①连接，

∵四边形为菱形， ，
∴，，
∴、均为等边三角形，，
又∵，
即：，
∴，
在和中，
∴
∴，故①正确；
②∵，，
∴为等边三角形，故②正确；
③如图，过作于，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵
，故③正确；
④∵为等边三角形，
当时，最短，的面积最小，
此时，
∴，
同理可得：此时，
∵，
∴ ，
当的面积最小，的面积最大，最大值为，故④错误；
∴正确的结论为：①②③．
故选B
【点睛】本题考查菱形性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，面积最值问题，作出正确的辅助线及熟练掌握图形判定性质是解决本题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边，分别在x轴、y轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，照此规律作下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形，解题的关键是由坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍．
首先求出、、、、、、、、的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出的坐标．
【详解】正方形的边长为1，
，
正方形的边是正方形的对角线，
，
的坐标为，
同理可知，
的坐标为，
同理可知，的坐标为，
的坐标为，的坐标为，
，，，，
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
，
的横坐标符号与相同，横纵坐标相同，且都在第一象限，
的坐标为．
故选：C．
12．对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的个数为（ ）
①；
②，则；
③；
④对任意大于3的正整数，有．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题考查了代数式求值、解分式方程、数字类规律题等知识点，找出相关规律是解题的关键．
将代入即可判断①，解方程，即可判断②，分别计算，，， ，……即可判断③，同理分别求得，找到规律，进而即可判断④．
【详解】解：∵，
当时，，故①错误，
∵，即，解得：，经检验是原方程的解，故②正确；
∵，，， ，……
∴，故③正确；
∵，，，……
∴
，故④错误，
综上，正确的有2个．
故选：C．
13．如图，正方形的对角线、相交于点，且，正方形的顶点与点重合，边与重合，将正方形绕点顺时针旋转，与边交于点，与边交于点，连接交于点，在整个运动过程中，则点经过的路径长是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】取中点，利用正方形的性质证明，得到，当时，易证此时四边形是正方形，此时，即点G与点H重合，有最小值，利用正方形的性质求出；由点是与的交点，是定线段，得到点G在线段上运动，在整个运动过程中，当边与重合，点G，点E与点C重合，当时，点G与点H重合，当边与重合，点G，点F与点C重合，即点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C，即点经过的路径长是，即可得出结果．
【详解】解：如图，取中点，
在正方形中，，
又∵，
∴，
∴，
，
当时，
则，
，，
四边形是正方形，
，即点G与点H重合，
，
；
点是与的交点，是定线段，，
点G在线段上运动，
在整个运动过程中，
当边与重合，点G，点E与点C重合，有最大值，
当时，点G与点H重合，有最小值，
当边与重合，点G，点F与点C重合，有最大值，
点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C，
点经过的路径长是，
点经过的路径长是，
故选：A．
【点睛】此题主要考查正方形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质．
14．如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分面积为10.5，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，完全平方公式与图形的面积问题．先证明，得到，进而得到，推出空白部分的面积等于正方形的面积减去，即：，利用，结合勾股定理和完全平方公式得到，进一步求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由①②得：，
解得或（负值舍去）．
故选：C．
15．若关于的方程无解，则的值为（ ）
A．或 B．或0
C．或或0 D．或或
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的无解问题，正确理解分式方程的无解的含义是解答本题的关键．此分式方程无解的含义包含两种情况，其一是使得分母为零的根，是原方程的增根，在去分母后，将使分母为零的根分别代入，可求得m的值；其二是去分母后的方程无解，即方程左边为零，右边不为零，可求得m的值．
【详解】去分母，得，
整理得，
当时，，
解得；
当时，，
解得；
当时，，方程无解；
综上所述，满足题意的的值为或或，
故选D．
二、填空题
16．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点M，N，连接，，，若，，则k的值为 ．
【答案】
【分析】由反比例函数的图象与正方形的两边、分别交于点、，证明，即可得，可得，然后作于点，证明为等腰直角三角形，设，则，由勾股定理可求得的值，继而可设正方形的边长为，则，，由勾股定理求出a，则可得到点的坐标，继而求得答案．
【详解】解：点、都在反比例函数的图象上，
，即，
四边形为正方形，
，，
，
在和中，
，
；
，
作于点，如图，
，
为等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
在中，，
，即，
，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
设正方形的边长为，则，，
在中，，
，
解得，（舍去），
，
，
，
点坐标为，
将点代入反比例函数，得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算．求出点N的坐标是解师的关键．
17．如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕；把纸片展平后再次折叠，使点落在上的点处，得到折痕、与相交于点，若直线交直线于点，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、等角的余角相等、勾股定理等知识，正确作出所需要的辅助线是解题的关键．
连接，，由折叠得，垂直平分，垂直平分，可推导出，由三角形的中位线定理得，由勾股定理即可求解．
【详解】连接，
∵四边形是矩形
∴
由折叠得：，点B与A关于直线对称，点与点A关于直线对称，
∴垂直平分，垂直平分，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
故答案为：．
18．如图，已知E、F分别是矩形的边、上的点，连接，将矩形沿对折，点的对应点恰好落在边上，的对应点为，恰好经过的中点．若，则折痕的长度为 ．
【答案】
【分析】此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理与折叠、全等三角形的判定和性质等知识，设，则求出，，，证明，，则，由翻折的性质得到，则，设，则，，在中，，得到，过点F作于点N，则，，在中，．
【详解】解：设，则
∵，
∴，
由翻折的性质可知，，
∵四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴
解得，
∴
∴，
∵恰好经过的中点，
∴，
由翻折可知，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴
∴，
∴
∴
由翻折的性质得到，，
∴，
设，则，，
在中，
∴，
解得，，
过点F作于点N，则，
∴四边形是矩形，
∴
∴
在中，,
故答案为：
19．已知为整数，，则的最小值是 ．
【答案】7
【分析】
本题考查了算术平方根非负数的性质及因式分解的应用，主要利用了被开方数大于等于0．
根据被开方数大于等于0设（a为非负整数），设，运用平方差公式分解因式再计算即可得解．
【详解】解：为整数，，
，
即，
，
设（a为非负整数），
，
，
设，
，
，即或，
或，
或7，
则的最小值是7，
故答案为：7.
20．在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为，将等边绕着点依次逆时针旋转，同时每边扩大为原来的倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，，依次类推，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查旋转变换，点的坐标规律，熟练掌握等边三角形性质，探究循环规律，含的直角三角形性质，是解决问题的关键．
画出示意图，每旋转次是一个循环组，点A的对应点落在原来的的方向，且，即可得到答案．
【详解】由已知可得：
第一次旋转后，在第一象限，，
第二次旋转后，在第二象限，，
第三次旋转后，在轴负半轴，，
第四次旋转后，在第三象限，，
第五次旋转后，在第四象限，，
第六次旋转后，在轴正半轴，，
．
如此循环，每旋转次，A的对应点又回到轴正半轴，而，
∴在第一象限，且，
∴横坐标为，，纵坐标为，，
∴．
故答案为：．
21．如图，把一个矩形纸片 放入平面直角坐标系中，使、分别落在 轴、轴上，连接 ，将纸片 沿 折叠，使点 落在的位置上． 若，，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题过点作于点，交于点，由矩形的性质和折叠的性质，证明，得到，设，则，在中应用勾股定理构建方程，即可求出和，使用等面积法求出，点的纵坐标就求出来了，最后再解，求出，即点的横坐标．即可解题．
【详解】解：过点作于点，交于点，如图所示：
四边形为矩形，，，
，，，
由题易知，四边形为矩形，
有，
由折叠的性质可知，，，，
，
，
，
设，则，
有， 即，解得，
，
，解得，
，，
，
点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题．
三、解答题
22．如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点D、E，且．点M是线段上的一个动点．
(1)求b的值；
(2)连接，若三角形的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标；
(3)设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）先求出点坐标，则，再根据矩形的性质，用表示点坐标，利用待定系数法可解；
（2）根据（1）所求，结合梯形面积公式求出四边形的面积，进而求出的面积，再根据三角形面积公式求出点M的横坐标，即可得到答案；
（3）以、、、为顶点的四边形是菱形，分三种情况讨论，分别以，，为对角线，分别求出点坐标即可．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴点坐标，
∴，
，
，
∵点B的坐标为，
∴，
∴
∴点的坐标为，
把代入得：，
解得：；
（2）解：由（1）得，
∴，
∴，
∵三角形的面积与四边形的面积之比为，
∴，
设点的横坐标为，
∴，
解得，
∴，
∴；
（3）解：如图（1）所示，当为菱形对角线时，则点M在线段的垂直平分线上，且点M与点N关于对称
∴点M的纵坐标为，
在中，当时，，
∴，
∴ ，
如图（2）所示，当为菱形边时，设点M坐标为，
由菱形的性质可得，
∴，，
∴，
∴或（舍去），
∴；
当为菱形的边时，如图，设点M坐标为，
∴，
∴，，
∴，
解得或（舍去），
∴；
综上所述，点N的坐标为或或．
【点睛】本题是一次函数的综合题目，考查矩形的性质，菱形的性质，四边形的面积等知识，解题关键是掌握菱形的性质进行分类讨论，并且能够利用一次函数图象上点的坐标特征，用点的坐标表示线段长．
23．我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由．

(1)思路梳理
∵，
∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．
∵，
∴，点F、D、G共线．
根据 　　，易证　　，得．
(2)类比引申
如图2，四边形中，，，点E、F分别在边上，．若都不是直角，则当与满足等量关系　　时，仍有．
(3)联想拓展
如图3，在中，，，点D、E均在边BC上，且．猜想应满足的等量关系，并写出推理过程．
【答案】(1)，
(2)
(3)，理由见解析
【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用旋转构造全等三角形，是解题的关键：
（1）利用旋转的性质，证明，即可；
（2）同法（1）进行证明即可；
（3）把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，证明，推出是直角三角形，利用勾股定理和等量代换即可得出结论．
【详解】（1）解：（1）思路梳理
∵，
∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．
∴，
∴，点F、D、G共线．
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）时，，
∵，
∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，点F、D、G共线．
在和中，，
∴，
∴；
故答案为：；

（3）猜想：．理由如下：
把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．

24．如图，一次函数与y轴交于点，与反比例函数分别交于点C、，连接．作轴于点E，且．

(1)求一次函数关系式和k的值；
(2)求的面积；
(3)根据图象，当时，直接写出x的取值范围；
(4)点M是y轴上一点，是否存在点M，使点M、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)4
(3)或
(4)存在，、、、
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）将一次函数与反比例函数关系式联立，求出点C的坐标，根据即可求解；
（3）分，，三种情况，根据等腰三角形的性质分别求解即可．
【详解】（1）解：将代入中，得：，
一次函数关系式为，
在一次函数图象上，
，
，
将代入，
得：；
（2）解：将与联立，得：，
解得，，
将代入，得
，
，
，
，
；
（3）解：由图可知，当或时，一次函数在反比例函数图象的上方，
当时，直接写出x的取值范围为：或；
（4）解：，
．
当时，如图：
点M的坐标为：、；
当时，作轴于点H，

则，
，
点M的坐标为：；
当时，设点M的坐标为，
则，
解得，
点M的坐标为：；
综上可知，存在点M，使点M、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，、、、．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，等腰三角形的存在性问题，熟练运用数形结合、分类讨论思想是解题的关键．
25．综合与探究
如图，将矩形放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为，且满足，点D是射线上的一个动点，将沿直线翻折，点A的对应点为．

(1)点B的坐标为________；若，则点D的坐标为________．
(2)如图1，若点落在矩形的对角线上，求点D的坐标．
(3)在（2）的条件下，若M是平面内一点，使四边形是平行四边形，则点M的坐标为________．
(4)若点落在矩形的对称轴上，则的长为_________．
【答案】(1)，
(2)
(3)
(4)或或
【分析】（1）利用二次根式有意义可求出a、b的值，利用含的直角三角形的性质得出，然后利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理求出，进而求出，在中，利用勾股定理求出，即可求解；
（3）利用等面积求出，利用勾股定理求出，即可求解；
（4）根据矩形的对称轴有两条，分点分别落在这两条对称轴上讨论即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴点B的坐标为，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴点D的坐标为，
故答案为：，；
（2）解：∵，，，
∴，
∵翻折，
∴，，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴点D的坐标为；
（3）解：由（2）知
∵四边形是平行四边形，
∴，
过M作于H，

∴，
∴，
∴，
∴点M的坐标为，
故答案为：；
（4）解：当点落在与x轴平行的对称轴上时，
如图，设为矩形的对称轴，连接，

则，，
∴，
又，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵翻折，
∴，
由（1）知；
当点落在与x轴垂直的对称轴上时，
当点在矩形内部时，如图，设为矩形的对称轴，

∴，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
当点在矩形外部时，如图，设为矩形的对称轴，

同理，
在中，，
∴，
解得，
综上，的长为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形与折叠，勾股定理，含角的直角三角形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．
26．综合与实践：
【问题情境】：
阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，，与，边分别交于，两点，易证得． 证明思路：如图2，将延长至点，使，连接，可证，再证，故．
【知识应用】
（1）如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，，与，边分别交于，两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．．
【拓展提升】
（2）若四边形是长与宽不相等的矩形，点为中点且平分，如图4，试判断，和之间的数量关系并给出证明．
【答案】（1）成立，见详解；（2），见详解
【分析】（1）将绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质得到，推出M、B、E三点共线，再证明，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）延长，交于点，先得到，再证明，即可解决．
【详解】解：（1）成立．
证明：如图，将绕点顺时针旋转得到．
，
∴，，，，
∵，
．
，，三点共线．
，
，
，，
，
，
；
（2）结论：．
证明：延长，交于点，如图：
四边形是矩形，
，
，
平分，
，
，
在和中，，
．
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，正确作出辅助线是解决此题的关键．
27．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点P的运动时间为t（s）．
(1)如图2．当，且点落在上时，求此时的坐标；
(2)若直线与直线相交于点M，且时，．
①求点C的坐标；
②当时，的大小是否发生变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②不会改变，见解析
【分析】（1）过点作于点Q，设，则，由勾股定理解求出，再利用面积法求出，利用待定系数法求出的函数表达式，即可求解；
（2）①连接，根据和对称，可得，结合，得出，再证，推出，即可求解；
②分和两种情况，利用折叠的性质及全等三角形的性质分别证明即可．
【详解】（1）解：如图，过点作于点Q，
∵矩形OABC中，，，
∴，，
∴，
由对称得，，则，
设，则，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
∴点的横坐标为，
设的函数表达式为，
将代入得：，
∴的函数表达式为，
将代入得：，
∴；
（2）解：①连接，
∵，，
∴，，
∵和对称，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
②（Ⅰ）当时，
∵，，
∴，
（Ⅱ）当时，，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可得：，，
∴，
∵，，，
∴，即．
综上：不会改变．
【点睛】本题考查坐标与图形，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正比例函数、矩形的性质等知识点，利用折叠的性质找出全等三角形是解题的关键．
28．如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)求点C的坐标和平行四边形的对称中心的点的坐标；
(2)动点P从点O出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时另一点停止运动．设点P运动的时间为t秒(t>0)，求当t为何值时，的面积是平行四边形的一半？
(3)当的面积是平行四边形面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．
【答案】(1)点C的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为；
(2)当点P运动4秒时，的面积是平行四边形的一半；
(3)点M的坐标为或或
【分析】（1）根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点的坐标；平行四边形的对称中心即是对角线的中点，
（2），根据三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的值即可，
（3）根据（2）中得出的值，找出此时点和的位置，然后根据平行四边形的性质直接写出点的坐标即可，
本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的应用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，
点A的坐标为，点B的坐标为．
∴点C的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为，
（2）解：根据题意得：，
∴，
即：，
∵,，，，，，
∵，
∴，，
∴，，
，解得：，
故答案为：当点P运动4秒时，的面积是平行四边形的一半，
（3）解时，由（2）知，此时点与点重合，画出图形如下所示，

此时轴，轴，，，，，
根据平行四边形的性质，可知，，
∴，即，，即：，，即：，
故答案为：点M的坐标为或或．
29．如图所示，四边形为正方形，F、G分别为边上的点，于G．
(1)求证：；
(2)在上截取，连接，O为的中点，连接．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段和的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)①图见解析②，证明见解析
【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，合理作出辅助线．
（1）根据正方形的性质及同角的余角相等，即可证明结论；
（2）①根据题意补全图形即可；②连接并延长至点，使，证明，得到，再证明，推出为等腰直角三角形，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①根据题意，补全图形如下：
②，证明如下：
连接并延长至点，使，
∵为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，，
∴，即：，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴．
30．如1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O，A和C的坐标分别为且a，c满足．
(1)求a，c的值；
(2)点D在上，将沿折叠，使点O落在矩形内点E处．
①如图2，D，E，B三点共线，连接，求此时点D的坐标；
②如图3，若点D是线段的中点，连接，求的长．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据算术平方根以及平方的非负性，列式计算，即可作答．
（2）先由折叠得出，①根据矩形性质以及等角对等边，得出，再结合勾股定理列式计算，即可作答．
（3）通过斜边上的中线等于斜边的一半，得出，再根据等面积法求出，然后结合勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵a，c满足．
∴，
则，
∴；
（2）解：沿折叠，使点O落在矩形内点E，
∴，
①∵四边形是矩形，且，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
在中，，
∴，
即点D的坐标为；
②连接，交于点H，如图，
∵D是线段的中点，
∴，，
∵折叠，
∴，，
∴
∵
∴，
∵，
∴，
即，
在中，．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，坐标与图形，算术平方根的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
31．如图1，如图，已知直线经过、两点，若．
(1)求的值；
(2)如图2，若是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到（即），此时点恰好落在直线上．
①求点和点的坐标；
②直线关于轴对称的直线交轴于点，若点在直线上，在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①点，点；②存在，点坐标为或或
【分析】（1）先求出点，点坐标，由三角形的面积公式可求的值；
（2）①由“”可证，可得，，将点坐标代入解析式可求的值，即可求解；②分三种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．
【详解】（1）解：直线经过、两点，
点，
，，
，即，解得；
（2）解：①，
直线解析式为，点坐标，
，
如图，过点作于，
将线段绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
又，
，
，，
设，，
点，
点在直线上时，
，
，
点，点；
②存在，
直线关于轴对称的直线交轴于点，
点，
直线的解析式为：，
设点，点，
当为边，为边时，对角线与互相平分，
，，
，，
点，
当为边，为边时，对角线与互相平分，
，，
，，
点；
当为对角线时，对角线与互相平分，
，，
，，
点，
综上所述：点坐标为或或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
32．如图，在边长为的正方形中，点，分别为，边上的点，将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处．
(1)【问题解决】
如图①，连接，则与折痕的位置关系是______，与的数量关系是______；
(2)【问题探究】
如图②，连接，在翻折过程中，平分，试探究的面积是否为定值，若为定值，请求出的面积；若不是定值，请说明理由；
(3)【拓展延伸】若，求出的最小值．
【答案】(1)，
(2)的面积为定值，理由见解析
(3)
【分析】（1）过F作于M，由翻折的性质得出垂直平分，利用证明，即可得出结论；
（2）作于N，证明，得出，即可得出结论；
（3）作点C关于的对称点Q，连接，，，利用证明，得出，则，当B、G、Q三点共线时，的值最小，最小值为的长，然后在中利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：，
理由：过F作于M，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵翻折，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：的面积为定值，
理由：作于N，
∵平分，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作点C关于的对称点Q，连接，，，
则垂直平分，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，
当B、G、Q三点共线时，的值最小，最小值为的长，
当时，，，
∴，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题等，将转化为的长是解决第（3）的关键．
33．如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，边．且满足．

(1)求C点的坐标；
(2)把矩形沿直线对折使点C落在点A处，直线与、、的交点分别为D、F、E，求折痕的长；
(3)若点M在x轴上，以M、D、F、N为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或，，
【分析】（1）先根据非负数的性质求出，再根据勾股定理求出即可．
（2）根据证明得到，要求，只需求出．先证明，再根据相似三角形的对应边成比例就可求出，进而求出．
（3）构成菱形的四个顶点的顺序不定，需分情况讨论．由于D、F是定点，可将线段分为两大类：为菱形的一边、为菱形的对角线．然后分别讨论即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴C点的坐标为．
（2）如图，连接，

由折叠可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴折痕的长为．
（3）过点F作，垂足为H，如图2，

∵， ，，，
∴．
∵，，，
∴．
∴．
∴．
①若为菱形的一边
当为菱形的对角线时，如图3．

点N与点F关于x轴对称，则点N的坐标为．
当为菱形的另一边时，如图4．

此时，．
∵，
∴点N的坐标为或即或．
②若为菱形的对角线，如图5．

∵四边形为菱形，
∴，．
∵，
∴，
∴，，
∴是是中位线，
∴．
∵四边形为菱形，
∴，．
∴点N的坐标为即．
综上所述：符合要求的点N的坐标可能为或、．
故答案为：或，，．
【点睛】本题运用了非负数的性质，坐标与图形的性质，矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质及判定，勾股定理，以及三角形中位线的性质等知识，分类讨论是解题的关键．
34．新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．
例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．
(1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”．
①（ ）；②（ ）；
③（ ）； ④（ ）；
(2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值；
(3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值．
【答案】(1)①；②；③；④
(2)
(3)
【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键．
（1）根据“关联数对”定义分别判断即可；
（2）根据“关联数对”定义计算即可；
（3）根据“关联数对”定义，结合方程的解为整数，计算即可．
【详解】（1）解：当，时，分式方程为，，
∵，
∴①不是关于的分式方程的“关联数对”；
当，时，分式方程为，
解得：，
，
②不是关于的分式方程的“关联数对”；
当，时，分式方程为，
解得，
，
③是关于的分式方程的“关联数对”；
当，时，分式方程为，
此方程无解，
④是关于的分式方程的“关联数对”；
故答案为：①；②；③；④．
（2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”，
，
解得：，
，
解得；
（3）解：数对，且，是关于的分式方程的“关联数对”，
，，
，
解得，
∵可化为，
∴，
解得：，
方程有整数解，
整数，即，
又，，
．
35．去年寒假，哈尔滨成为了全国的热门旅游城市，滑雪运动也渐渐成为了市民们冬季运动的首选，头盔是重要的滑雪装备之一，可分为半盔型和全盔型两种，某滑雪装备专卖店第一次购进了半盔型和全盔型共个，半盔型进价是元，全盔型进价是元，半盔型售价为元，全盔型售价为元．
(1)若该店第一次购买两种头盔共花了元，则购买半盔型和全盔型各多少个？
(2)第一批头盔销量不错，该店又购进一批，第二批两种头盔的进价不变，半盔型售价在第一次的基础上涨了元；全盔型售价比第一次降低了元，结果半盔型获得元的利润和全盔型获得元的利润时售卖数量相同，求的值．
【答案】(1)购买半盔型个，全盔型个
(2)
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，理解题意，正确列出分式方程是解题关键．
（1）设购买半盔型个，则全盔型个，由于半盔型进价是元，全盔型进价是元，根据题意列出分式方程并求解即可．
（2）由题意可知，第二批半盔型涨价后，一个半盔型的获利为，全盔型降价后，一个全盔型的获利为，根据“结果半盔型获得元的利润和全盔型获得元的利润时售卖数量相同，”列出分式方程，并求解即可．
【详解】（1）解：（1）设购买半盔型个，则全盔型个．
由题意得：，
解得
故半盔型个，全盔型为：．
答：购买半盔型个，全盔型个．
（2）第二批半盔型涨价后，一个半盔型的获利为，
全盔型降价后，一个全盔型的获利为，
根据题意可得，
解得：
经检验，为原方程的解，且符合题意．
故．
36．阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题：
(1)（，为常数），则 ， ；
(2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由；
(3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由．
【答案】(1)，；
(2)这的水不能倒完，理由见解析；
(3)经过次操作之后能达到．
【分析】（1）模仿阅读材料可得答案；
（2）根据题意先列式表示倒出的水，再求和，根据结果即可判断；
（3）先列式表示剩余水量，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，
∴
故答案为：，．
（2）解：∵
，
∴这的水不能倒完；
（3）解：由题意可得，倒了次后剩余的水量为
，
∴，
解得，
经检验是原方程的解，
∴经过次操作之后能达到．
【点睛】本题考查分式的混合运算，分式方程的应用，异分母分式的加减法以及代数式的规律，解题的关键是读懂题意，能把一个分式化为部分分式．中小学教育资源及组卷应用平台
苏科版八年级下学期名校期末压轴题模拟训练
一、单选题
1．如图1，已知点E，F，G，H是矩形各边的中点，，．动点M从某点出发，沿某一路径匀速运动，设点M运动的路程为x，过点M作于点Q，则的面积y关于x的函数关系的图象如图2所示，那么这条路径可能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，平行四边形中，，点M，N分别为线段上的动点（含端点），点E，F，G分别为的中点，则长度的最大值为（　　）．
A． B． C．3 D．5
3．如图，在等腰中，于点D．动点从点出发，沿着的路径以每秒个单位长度的速度运动到点停止，过点作于点，作于．在此过程中四边形的面积与运动时间的函数关系图象如图所示，则的长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在点处，的角平分线与的延长线交于点，若，当点从点运动到点时，则点运动的路径长是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
6．在搬运班级储物柜时，小明与同学将储物柜靠在墙上稍作休息，思考如下问题：如图，墙面 与地面垂直，柜子侧面为矩形 ，其中 ， ，当柜子靠在墙上缓慢倒下，即在上滑动，在上滑动，在这个过程中，点到点的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形中，，点E、F分别在边上，，连接，下列结论：①；②平分；③的周长为2；④，其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
8．矩形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形中，，点P，Q分别在上，，线段在上，且，连接，则的最小长度为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
10．如图，在边长为4的菱形中，，点、分别为、边上的动点，连接、、．若，则以下结论正确的是（ ）
①；②是等边三角形；③四边形的面积是；④面积有最大值为．
①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
11．如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边，分别在x轴、y轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，照此规律作下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的个数为（ ）
①；
②，则；
③；
④对任意大于3的正整数，有．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
13．如图，正方形的对角线、相交于点，且，正方形的顶点与点重合，边与重合，将正方形绕点顺时针旋转，与边交于点，与边交于点，连接交于点，在整个运动过程中，则点经过的路径长是（　　）
A．1 B． C． D．
14．如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分面积为10.5，则的长为（ ）

A． B． C． D．
15．若关于的方程无解，则的值为（ ）
A．或 B．或0
C．或或0 D．或或
二、填空题
16．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点M，N，连接，，，若，，则k的值为 ．
17．如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕；把纸片展平后再次折叠，使点落在上的点处，得到折痕、与相交于点，若直线交直线于点，，，则的长为 ．
18．如图，已知E、F分别是矩形的边、上的点，连接，将矩形沿对折，点的对应点恰好落在边上，的对应点为，恰好经过的中点．若，则折痕的长度为 ．
19．已知为整数，，则的最小值是 ．
20．在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为，将等边绕着点依次逆时针旋转，同时每边扩大为原来的倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，，依次类推，则点的坐标为 ．
21．如图，把一个矩形纸片 放入平面直角坐标系中，使、分别落在 轴、轴上，连接 ，将纸片 沿 折叠，使点 落在的位置上． 若，，则点的坐标为 ．
三、解答题
22．如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点D、E，且．点M是线段上的一个动点．
(1)求b的值；
(2)连接，若三角形的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标；
(3)设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标．
23．我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由．

(1)思路梳理
∵，
∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．
∵，
∴，点F、D、G共线．
根据 　　，易证　　，得．
(2)类比引申
如图2，四边形中，，，点E、F分别在边上，．若都不是直角，则当与满足等量关系　　时，仍有．
(3)联想拓展
如图3，在中，，，点D、E均在边BC上，且．猜想应满足的等量关系，并写出推理过程．
24．如图，一次函数与y轴交于点，与反比例函数分别交于点C、，连接．作轴于点E，且．

(1)求一次函数关系式和k的值；
(2)求的面积；
(3)根据图象，当时，直接写出x的取值范围；
(4)点M是y轴上一点，是否存在点M，使点M、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25．综合与探究
如图，将矩形放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为，且满足，点D是射线上的一个动点，将沿直线翻折，点A的对应点为．

(1)点B的坐标为________；若，则点D的坐标为________．
(2)如图1，若点落在矩形的对角线上，求点D的坐标．
(3)在（2）的条件下，若M是平面内一点，使四边形是平行四边形，则点M的坐标为________．
(4)若点落在矩形的对称轴上，则的长为_________．
26．综合与实践：
【问题情境】：
阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，，与，边分别交于，两点，易证得． 证明思路：如图2，将延长至点，使，连接，可证，再证，故．
【知识应用】
（1）如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，，与，边分别交于，两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．．
【拓展提升】
（2）若四边形是长与宽不相等的矩形，点为中点且平分，如图4，试判断，和之间的数量关系并给出证明．
27．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点P的运动时间为t（s）．
(1)如图2．当，且点落在上时，求此时的坐标；
(2)若直线与直线相交于点M，且时，．
①求点C的坐标；
②当时，的大小是否发生变化，请说明理由．
28．如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)求点C的坐标和平行四边形的对称中心的点的坐标；
(2)动点P从点O出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时另一点停止运动．设点P运动的时间为t秒(t>0)，求当t为何值时，的面积是平行四边形的一半？
(3)当的面积是平行四边形面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．
29．如图所示，四边形为正方形，F、G分别为边上的点，于G．
(1)求证：；
(2)在上截取，连接，O为的中点，连接．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段和的数量关系，并证明．
30．如1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O，A和C的坐标分别为且a，c满足．
(1)求a，c的值；
(2)点D在上，将沿折叠，使点O落在矩形内点E处．
①如图2，D，E，B三点共线，连接，求此时点D的坐标；
②如图3，若点D是线段的中点，连接，求的长．
31．如图1，如图，已知直线经过、两点，若．
(1)求的值；
(2)如图2，若是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到（即），此时点恰好落在直线上．
①求点和点的坐标；
②直线关于轴对称的直线交轴于点，若点在直线上，在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
32．如图，在边长为的正方形中，点，分别为，边上的点，将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处．
(1)【问题解决】
如图①，连接，则与折痕的位置关系是______，与的数量关系是______；
(2)【问题探究】
如图②，连接，在翻折过程中，平分，试探究的面积是否为定值，若为定值，请求出的面积；若不是定值，请说明理由；
(3)【拓展延伸】若，求出的最小值．
33．如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，边．且满足．

(1)求C点的坐标；
(2)把矩形沿直线对折使点C落在点A处，直线与、、的交点分别为D、F、E，求折痕的长；
(3)若点M在x轴上，以M、D、F、N为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
34．新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．
例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．
(1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”．
①（ ）；②（ ）；
③（ ）； ④（ ）；
(2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值；
(3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值．
35．去年寒假，哈尔滨成为了全国的热门旅游城市，滑雪运动也渐渐成为了市民们冬季运动的首选，头盔是重要的滑雪装备之一，可分为半盔型和全盔型两种，某滑雪装备专卖店第一次购进了半盔型和全盔型共个，半盔型进价是元，全盔型进价是元，半盔型售价为元，全盔型售价为元．
(1)若该店第一次购买两种头盔共花了元，则购买半盔型和全盔型各多少个？
(2)第一批头盔销量不错，该店又购进一批，第二批两种头盔的进价不变，半盔型售价在第一次的基础上涨了元；全盔型售价比第一次降低了元，结果半盔型获得元的利润和全盔型获得元的利润时售卖数量相同，求的值．
36．阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题：
(1)（，为常数），则 ， ；
(2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由；
(3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由．

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