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2023-2024学年度第二学期二模检测九年级数学试题
（全卷共140分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ）
A. 6 B. 12 C. 16 D. 18
5. 在一次科技作品制作比赛中，某小组6件作品成绩（单位：分）分别是：6、10、9、8、7、9，对于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A. 众数9 B. 中位数是8 C. 平均数是8 D. 方差是7
6. 如图，在中，已知，则的度数为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在中，点D、E分别在边、上，且，与四边形的的面积的比是（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
9. 要使式子有意义，则x的取值范围是_______．
10. 因式分解：_____．
11. 一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是_________________．
12. 反比例函数的图象经过点，则______．
13. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=_______．
14. 我国的北斗卫星导航系统星座已部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为________．
15. 如图所示，在中，直径，，连接．若，则的长为______．
16. 如果关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么______．
17. 用一个半径为3，圆心角度数为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为 __．
18. 如图，为等边三角形，，若P为内一动点，且满足，则线段长度最小值为_____．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分）
19. 计算：
（1）
（2）
20. （1）解方程：
（2）解不等式组
21. 目前人们的支付方式日益增多，主要有：
A．微信 B．支付宝 C．信用卡 D．现金
某超市对一天内消费者的支付方式进行了统计，得到如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）本次一共调查了 名消费者；
（2）补全条形统计图，在扇形统计图中D种支付方式所对应圆心角为 ；
（3）该超市本周内约有2000名消费者，估计使用A和B两种支付方式的消费者的人数的总和．
22. 2024年春节档电影票房火爆，电影《飞驰人生2》、《麻辣滚烫》和《第二十条》深受观众喜爱，琪琪和乐乐分别从这三部电影中任意选择一部观看．求琪琪、乐乐两人选择同一部电影的概率．
23. 如图，点A、B、C、D一条直线上，，求证：．
24. 如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．
25. 某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420 km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2 h，求汽车原来的平均速度．
26. 太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）
27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴分别交于点A、C与y轴交于点B，顶点为D．
（1）点A坐标为 ，点D坐标为 ；
（2）P为之间抛物线上一点，直线交于，交轴于，若，求P点坐标．
（3）M为抛物线对称轴上一动点，若平面内存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 个．
28. 已知是等腰直角三角形，．
（1）当时，
①如图①，将直角的顶点D放至的中点处，与两条直角边分别交于点E、F，请说明为等腰直角三角形；
②如图②，将直角顶点D放至边的某处，与另两边的交点分别为点E、F，若为等腰直角三角形且面积为4，求的长．
（2）若等腰直角三个顶点分别在等腰直角的三边上，等腰直角的直角边长为1时，求等腰直角的直角边长的最大值．2023-2024学年度第二学期二模检测九年级数学试题
（全卷共140分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是观察各点与原点的位置，确定各数符号及绝对值大小．
根据数轴上点与原点的位置，确定各数符号及绝对值大小即可得到答案．
【详解】解：由图可得：，且，
∴A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
2. 下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项不合题意；
B、是中心对称图形，是轴对称图形，故B选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是同底数幂的乘除法则，幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项的法则，熟记以上知识是解题的关键．根据同底数幂的乘除法则，幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项的法则对各选项进行解答即可．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意，
故选：C．
4. 若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ）
A. 6 B. 12 C. 16 D. 18
【答案】B
【解析】
【详解】设多边形的边数为n，则有（n-2）×180°=n×150°，解得：n=12，
故选B.
5. 在一次科技作品制作比赛中，某小组6件作品的成绩（单位：分）分别是：6、10、9、8、7、9，对于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A. 众数是9 B. 中位数是8 C. 平均数是8 D. 方差是7
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了众数、中位数、平均数、方差等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据众数、中位数、平均数、方差的定义逐项分析判断即可．
【详解】解：根据题意，该小组6件作品的成绩（单位：分）分别是：6、10、9、8、7、9，
其中出现次数最多的为9，共计2次，
∴这组数据的众数为9，故选项A说法正确，符合题意；
将这组数据按照从小到大的顺序排列，为6、7、8、9、9、10，
其中排在第3位和第4位的是8，9，
∴这组数据的中位数为，故选项B说法不正确，不符合题意；
∵这组数据的平均数为，
∴选项C说法不正确，不符合题意；
∵这组数据的方差为，
∴选项D说法不正确，不符合题意．
故选：A．
6. 如图，在中，已知，则的度数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据垂径定理得出，再由圆周角定理即可得出结论.
【详解】解：∵
∴．
又∵，
∴
故选：A
【点睛】本次考查的是圆周角定理，熟知“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半”这一定理是解答此题的关键.
7. 如图，在中，点D、E分别在边、上，且，与四边形的的面积的比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
先证明，再根据相似三角形的性质，即可得到，进而即可求解．
【详解】解：，
，
又，
∴，
，
．
故选：D．
8. 若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．根据函数图象知：一次函数过点；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出、的关系式；然后将、的关系式代入中进行求解
【详解】解：一次函数经过点，函数值随的增大而减小，
；
令，则，
；
解关于的不等式，移项得：；
两边同时除以，
，
．
故选：C
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
9. 要使式子有意义，则x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
根据，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，，
故答案为：．
10. 因式分解：_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】解：．
故答案为：
11. 一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是_________________．
【答案】
【解析】
【分析】求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
【详解】解：由图可知：黑色方砖有8个小三角形，每4个三角形是大正方形面积的
∴黑色方砖在整个地板中所占的比值，
∴小球最终停留在黑色区域的概率，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键在于能够准确找出黑色方砖面积与整个区域面积的关系.
12. 反比例函数的图象经过点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】把点代入反比例函数，求出的值即可．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
13. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=_______．
【答案】3
【解析】
【详解】解：由D、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，
利用三角形中位线定理可求出ED=BC=3．
故答案为3．
【点睛】考点： 三角形中位线定理．
14. 我国的北斗卫星导航系统星座已部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．
根据科学记数法的定义，计算求值即可；
【详解】解： ，
故答案为：．
15. 如图所示，在中，直径，，连接．若，则的长为______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：8．
16. 如果关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么______．
【答案】9
【解析】
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，直接求解即可．
【详解】由题可知：，解得．
故答案为：9
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，解题关键是一元二次方程有两个相等的实数根时，；有两个不相等的实数根时，；无实数根时，．
17. 用一个半径为3，圆心角度数为120°扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为 __．
【答案】1
【解析】
【分析】根据弧长公式求出圆锥底面圆的周长，设圆锥的底面圆的半径是R，根据题意得出2πR＝2π，再求出R即可．
【详解】解：圆锥底面圆的周长是＝2π，
设圆锥的底面圆的半径是R，
则2πR＝2π，
解得：R＝1，
即该圆锥的底面圆的半径为1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了圆锥的计算和弧长公式，能熟记弧长公式是解此题的关键．
18. 如图，为等边三角形，，若P为内一动点，且满足，则线段长度最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正三角形的性质、勾股定理的应用，三角形的外接圆的含义，圆周角定理的应用，菱形的判定与性质，难度较大．如图，作的外接圆，当三点在同一直线上时最小．连接交于点M，在优弧上找一点D，连接，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，作的外接圆，
∴当三点在同一直线上时最小．连接交于点M，在优弧上找一点D，
连接，
∵，
∴，
∴，
∴等边三角形，
∵为等边三角形，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：；
三、解答题（本大题共有10小题，共86分）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，分式的化简．熟练掌握零指数幂，负整数指数幂，立方根，分式的加减乘除运算，是解决问题的关键．
（1）根据0次幂，负指数幂，立方根化简，而后合并，即得；
（2）先通分化简括号内的部分，再把除法变换成乘法，分子分母能分解因式的分解因式，约分，即得．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
20. （1）解方程：
（2）解不等式组
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程和解一元一次不等式组，能正确配方是解（1）的关键，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解（2）的关键．
（1）先移项，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1），
移项，得，
配方，得，
，
开方，得，
解得：，；
（2），
由①得，
由②得，
不等式组的解集是．
21. 目前人们的支付方式日益增多，主要有：
A．微信 B．支付宝 C．信用卡 D．现金
某超市对一天内消费者的支付方式进行了统计，得到如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）本次一共调查了 名消费者；
（2）补全条形统计图，在扇形统计图中D种支付方式所对应的圆心角为 ；
（3）该超市本周内约有2000名消费者，估计使用A和B两种支付方式的消费者的人数的总和．
【答案】（1）200 （2）图形见解析；36
（3）1480
【解析】
【分析】（1）用B的人数除以所占百分比就能求出一共调查的消费者人数；
（2）消费者人数乘以A所占的百分比，求出A的人数；消费者总人数减去A，B，C的人数，就得到D的人数；周角乘以D占的比例就得到D种支付方式所对应的圆心角；
（3）用总人数乘以对应的百分比求解即可．
小问1详解】
解：本次调查的总人数为（名），
故答案为：200；
【小问2详解】
解：A支付方式的人数为（名），
D支付方式的人数为（名），
补全图形如下：
在扇形统计图中D种支付方式所对应的圆心角为 ，
故答案为：36；
【小问3详解】
解： （名），
答：估计使用A和B两种支付方式的消费者的人数的总和为1480名．
【点睛】本题考查扇形统计图和条形统计图的综合应用，提高两种统计图的作图和由图中获得信息的能力是解题的关键．
22. 2024年春节档电影票房火爆，电影《飞驰人生2》、《麻辣滚烫》和《第二十条》深受观众喜爱，琪琪和乐乐分别从这三部电影中任意选择一部观看．求琪琪、乐乐两人选择同一部电影的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用列表或画树状图法求概率．画树状图，共有9种等可能的结果，两人选择同一部电影的结果有3种，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：把三部影片分别记为A、B、C，画树状图如下：
共有9种等可能结果，其中琪琪、乐乐两人选择同一部电影的情况有3种，
琪琪和乐乐选择同一部电影的概率为
23. 如图，点A、B、C、D在一条直线上，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先证明可得，进而可得四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的对边平行即可解答．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，灵活运用平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．
24. 如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°，再根据AD⊥DC，和半径线段即可证明AC是∠DAB的角平分线；
（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明Rt△ADC∽Rt△ACB，对应边成比例即可求出AC的长．
【详解】解：（1）证明：连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC是∠DAB的角平分线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴ ，
∴AC2＝AD AB＝2×3＝6，
∴AC＝
【点睛】本题主要考查切线的性质和圆周角定理，解题关键是连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°.
25. 某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420 km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2 h，求汽车原来的平均速度．
【答案】70 km/h
【解析】
【分析】求的汽车原来的平均速度，路程为420km，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：从甲地到乙地的时间缩短了2h．等量关系为：原来时间﹣现在时间=2．
【详解】设汽车原来的平均速度是x km/h，根据题意得：
，
解得：x=70．
经检验：x=70是原方程的解．
答：汽车原来的平均速度70km/h．
26. 太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，过点作于点，先证和均为等腰直角三角形，四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，则，，，然后在中，利用得，由此解出，再利用勾股定理求出即可得的长．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图，
依题意得：，，，
又
和均为等腰直角三角形，
，，
，，
，
，，，
四边形为矩形，
，，，
，
为等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
在中，，
即：，
，
解得：，
检验：是原方程的根．
，
在等腰中，由勾股定理得：，
点为的中点，
，
答：太阳能电池板宽的长度约为．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形，理解题意，正确的作出辅助线构造直角三角形的，灵活运用锐角三角函数及勾股定理进行计算是解答此题的关键．
27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴分别交于点A、C与y轴交于点B，顶点为D．
（1）点A坐标为 ，点D坐标为 ；
（2）P为之间抛物线上一点，直线交于，交轴于，若，求P点坐标．
（3）M为抛物线对称轴上一动点，若平面内存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 个．
【答案】（1），
（2）
（3）4
【解析】
【分析】（1）在中，令可得，由，得抛物线顶点为；
（2）连接，由，，，，求出，根据，可得，故，可求出，，得直线函数表达式为，联立，求解，即可得出点P坐标；
（3）分三种情况：①若以，为邻边，则以为圆心，为半径作圆与对称轴直线有交点，，②若以，为邻边，则以为圆心，为半径作圆与对称轴直线有交点，，③若以，为邻边，则作的垂直平分线与对称轴直线有交点，分别画出图形可得答案．
【小问1详解】
解：在中，令得，
解得或，
，
，
抛物线顶点为，
故答案：，；
【小问2详解】
解：连接，如图：
由（1）知，，，，
在中，令得，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
设直线函数表达式为，
把，代入，得，
解得：，
∴直线函数表达式为，
联立，
解得或，
∴；
【小问3详解】
解：①若以，为邻边，则以为圆心，为半径作圆与对称轴直线有交点，，如图：
可作菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点B作直线于E，
∴，
∵
∴
∴，
∵
∴
∴
∴与共线，以，，，为顶点不能作菱形；
②若以，为邻边，则以为圆心，为半径作圆与对称轴直线有交点，，如图：
可作菱形和菱形；
连接，相交于E，
∵，，
∴，
∴，
∵菱形，
∴，，
∴，
∴，，
解得：，，
∴；
同理可求得；
③若以，为邻边，则作的垂直平分线与对称轴直线有交点，如图：
可作菱形；
同样可求得．
综上所述，以、、、为顶点的四边形为菱形，则这样的点共有4个；
故答案为：4．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及三角形面积，菱形的判定等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用，属于中考压轴题．
28. 已知是等腰直角三角形，．
（1）当时，
①如图①，将直角的顶点D放至的中点处，与两条直角边分别交于点E、F，请说明为等腰直角三角形；
②如图②，将直角顶点D放至边的某处，与另两边的交点分别为点E、F，若为等腰直角三角形且面积为4，求的长．
（2）若等腰直角三个顶点分别在等腰直角的三边上，等腰直角的直角边长为1时，求等腰直角的直角边长的最大值．
【答案】（1）①见解析；②2或
（2）
【解析】
【分析】（1）①过点D作于G，于 H， 连接．是等腰直角三角形，点是的中点，可得， ，，，
由“”可证，可得，即可求解；
②过点 F作于 N．由“”可证，可得，设， 则．根据勾股定理得再列出方程即可求解；
（2）当点在上时，当C、Q、D共线时， 最长，当D在直角边上，过点E分别作于点E，于H．设．则 即可求解．
【小问1详解】
① 如图， 过点D作于G，于 H， 连接．
是等腰直角三角形，，点是的中点，
，，，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
是等腰直角三角形；
② 如图， 过点 F作于 N．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵
∴，
∴．
设， 则．
，
，
或
∴或 ，
【小问2详解】
设等腰的直角顶点为 D，
若 D 在上， 如图3．
取的中点Q， 连接， 则
∵是直角边长为1的等腰直角三角形()．
∴当C、Q、D共线时， 最长， 则
∴在等腰中， 当时，的长最大．
最大为2．
若D在直角边上， 如图4， 过点E分别作于点E，于H．
由知
设．
则
解得
当s取最大值时，
∴的最大值为 ．
综上，的最大值为 ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．

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