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山东省济宁市2024届高三下学期三模数学试题
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则中元素的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. 120 D. 160
3. 若随机变量，随机变量，则（ ）
A. 0 B. C. D. 2
4. 已知数列中，，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
5. 已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则（ ）
A. B. 1 C. D. 2
6. 已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点处切线方程是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，根据双曲线的光学性质可知，过双曲线上任意一点的切线平分.直线过交双曲线的右支于A，B两点，设的内心分别为，若与的面积之比为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. .
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件
10. 已知数列的前项和为，且满足，数列的前项和为，且满足，则下列说法中正确的是（ ）
A. B. 数列是等比数列
C. 数列是等差数列 D. 若，则
11. 如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，上动点（异于顶点），，为的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A. 直三棱柱体积的最大值为
B. 三棱锥与三棱锥的体积相等
C. 当，且时，三棱锥外接球的表面积为
D. 设直线，与平面分别相交于点，，若，则的最小值为
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数则____________.
13. 甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱子中有4个红球、2个白球，乙箱子中有2个红球、4个白球，现随机选择一个箱子，然后从该箱子中随机取出一个球，则取出球是白球的概率为____________.
14. 已知，则最小值为____________.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 产品重量误差是检测产品包装线效能的重要指标.某食品加工厂为了检查一条新投入使用的全自动包装线的效能，随机抽取该包装线上的20件产品作为样本，并检测出样本中产品的重量（单位:克），重量的分组区间为.由此得到样本的频率分布直方图（如图），已知该产品标准重量为500克.
（1）求直方图中值；
（2）若产品重量与标准重量之差的绝对值大于或等于5，即判定该产品包装不合格，在上述抽取的20件产品中任取2件，求恰有一件合格产品的概率；
（3）以样本的频率估计概率，若从该包装线上任取4件产品，设为重量超过500克的产品数量，求的数学期望和方差.
16. 图1是由正方形ABCD和两个正三角形组成的一个平面图形，其中，现将沿AD折起使得平面平面，将沿CD折起使得平面平面，连接EF，BE，BF，如图2.
（1）求证:平面；
（2）求平面与平面夹角的大小.
17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，已知.
（1）求证:；
（2）若，求面积的取值范围.
18. 已知椭圆的左焦点为，上顶点为，离心率，直线FB过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于M，N两点（M、N都不在坐标轴上），若，求直线的方程.
19. 已知.
（1）判断在上的单调性；
（2）已知正项数列满足.
（i）证明:；
（ii）若的前项和为，证明:.山东省济宁市2024届高三下学期三模数学试题
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则中元素的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式不等式解集合B，结合交集的概念与运算即可求解.
【详解】由，得且，
解得，即，
所以，有2个元素.
故选：B
2. 的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. 120 D. 160
【答案】A
【解析】
【分析】求出二项式展开式的通项公式，再由给定幂指数求解即得.
【详解】二项式展开式的通项为，
由，得，所以的展开式中的系数为.
故选：A
3. 若随机变量，随机变量，则（ ）
A. 0 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用正态分布的两个参数就是随机变量的期望和方差，再利用两个线性随机变量之间的期望和方差公式，即，就可以求出结果.
【详解】由可知：，
又因为，所以，
，
则，
故选：B.
4. 已知数列中，，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用数列的递推公式求出数列的周期，即可求解.
【详解】由，得
，
，
，
，
，
，
则是以6为周期的周期数列，
所以.
故选：C
5. 已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】设，，，联立抛物线方程，利用韦达定理和抛物线的定义建立关于的方程，解之即可求解.
【详解】由题意知，，设，
联立直线与抛物线得，消去，得，
所以.
由抛物线的定义知.
而，故，解得.
故选：D.
6. 已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.
【详解】依题意，函数，
当时，，显然，
且正弦函数在上单调递减，由在区间上的值域为，
得，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
7. 已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用偶函数的性质求出的解析式，再利用导数的几何意义求出切线方程.
【详解】函数为偶函数，当时，，
则当时，，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程是，即.
故选：A
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，根据双曲线的光学性质可知，过双曲线上任意一点的切线平分.直线过交双曲线的右支于A，B两点，设的内心分别为，若与的面积之比为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. .
【答案】C
【解析】
【分析】利用切线长定理求得直线的方程，再借助双曲线的切线方程求出点的横坐标，结合面积关系求解即得.
【详解】令圆切分别为点，则，
，令点，而，
因此，解得，又，则点横坐标为，同理点横坐标为，
即直线方程为，设，依题意，直线的方程分别为：
，，联立消去得：，
整理得，令直线的方程为，
于是，即点的横坐标为，
因此，所以双曲线的离心率.
故选：C
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率定义求解离心率；
②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件
【答案】AC
【解析】
【分析】根据复数加法、乘法、乘方运算，结合复数的几何意义计算，依次判断选项即可.
【详解】A：设，则，
所以，
，则，故A正确；
B：设，则，
所以，
，则，故B错误；
C：由选项A知，，，
又，所以，不一定有，即推不出；
由，得，则，则，即，
所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确；
D：设，则，
若，则，即，
若，则，得，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误.
故选：AC
10. 已知数列的前项和为，且满足，数列的前项和为，且满足，则下列说法中正确的是（ ）
A. B. 数列是等比数列
C. 数列是等差数列 D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】由数列的前项和为求出判断B；由递推公式探讨数列的特性判断C；求出判断A；由求出，再利用裂求和法求解即得.
【详解】由，得，，
当时，，满足上式，因此，
数列是等比数列，B正确；
由，得，，解得，，A错误；
当时，，两式相减得，
于是，两式相加得，
整理得，因此数列是等差数列，C正确；
当时，等差数列的公差为1，通项，，
所以，D错误.
故选：BC
11. 如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，上的动点（异于顶点），，为的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A. 直三棱柱体积的最大值为
B. 三棱锥与三棱锥的体积相等
C. 当，且时，三棱锥外接球的表面积为
D. 设直线，与平面分别相交于点，，若，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项：根据三棱柱体积公式，结合三角函数值域可得最值；B选项：根据等体积转化可判断；C选项：结合正弦定理确定正三角形外心，进而确定球心及半径；D选项：根据相似及基本不等式可得最值.
【详解】A选项：由已知可得，又，
所以，即体积的最大值为，A选项错误；
B选项：如图所示，
由点为的中点，则，设点到平面的距离为，
则，，
又，所以，所以，B选项正确；
C选项：如图所示，
由已知为正三角形，设外接球球心为，中心为，中点为，则平面，且，，即，
所以外接球半径为，外接球表面积为，C选项正确；
D选项：如图所示，
取中点，可知在的延长线上，在的延长线上，
则，即，
设，，
易知，，
则，，
则，,，
所以，
当且仅当，即时取等号，故D选项正确；
故选：BCD.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数则____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用已知分段函数，可先求，再求，即可.
【详解】因为，所以.
所以.
故答案为：.
13. 甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱子中有4个红球、2个白球，乙箱子中有2个红球、4个白球，现随机选择一个箱子，然后从该箱子中随机取出一个球，则取出的球是白球的概率为____________.
【答案】##05
【解析】
【分析】把所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用互斥事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求解即得.
【详解】依题意，取出的球是白球的事件是取甲箱并取白球的事件与取乙箱并取白球的事件的和，
显然事件与互斥，，，
所以.
故答案为：
14. 已知，则的最小值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量的模求出数量积，利用向量的几何意义和运算律计算可得，表示点与点的距离之和，作出图形，确定的最小值，结合图形即可求解.
【详解】由，得，
即，解得.
，
表示点与点的距离之和.
如图，点关于x轴的对称点为，连接，
则，
当且仅当三点共线时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是表示点与点的距离之和，结合图形，确定（当且仅当三点共线时等号成立）.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 产品重量误差是检测产品包装线效能的重要指标.某食品加工厂为了检查一条新投入使用的全自动包装线的效能，随机抽取该包装线上的20件产品作为样本，并检测出样本中产品的重量（单位:克），重量的分组区间为.由此得到样本的频率分布直方图（如图），已知该产品标准重量为500克.
（1）求直方图中的值；
（2）若产品重量与标准重量之差的绝对值大于或等于5，即判定该产品包装不合格，在上述抽取的20件产品中任取2件，求恰有一件合格产品的概率；
（3）以样本的频率估计概率，若从该包装线上任取4件产品，设为重量超过500克的产品数量，求的数学期望和方差.
【答案】（1）0.05；
（2）；
（3），.
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图中小矩形面积和为1求出的值.
（2）求出抽取的20件产品中的不合格件数，再利用古典概率计算即得.
（3）求出样本中，重量超过500克的产品数量及对应概率，利用二项分布的期望、方差公式计算得解.
【小问1详解】
依题意，，解得，
所以直方图中的值是0.05.
【小问2详解】
样本中不合格产品数量为，
记事件表示“在上述抽取的20件产品中任取2件，恰有一件合格产品”则，
所以在上述抽取的20件产品中任取2件，恰有一件合格产品的概率为.
小问3详解】
根据该样本频率分布直方图，重量超过500克的产品数量为，
则从包装线上任取一件产品，其重量超过500克的概率为所以，
随机变量，因此，.
16. 图1是由正方形ABCD和两个正三角形组成的一个平面图形，其中，现将沿AD折起使得平面平面，将沿CD折起使得平面平面，连接EF，BE，BF，如图2.
（1）求证:平面；
（2）求平面与平面夹角的大小.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）取的中点，利用面面垂直的性质，结合平行四边形的性质、线面平行的判定推理即得.
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用面面角的向量求法求解即得.
【小问1详解】
分别取棱的中点，连接，
由是边长为2正三角形，得，
又平面平面，平面平面，平面，
则平面，同理平面，
于是，即四边形为平行四边形，，
而平面平面，
所以平面.
【小问2详解】
取棱的中点，连接，由四边形为正方形，得，
以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，
设平面的一个法向量为，则，令，得，
由，平面平面，平面平面平面，
得平面，则为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为
则，而，解得，
所以平面与平面的夹角为.
17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，已知.
（1）求证:；
（2）若，求面积的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两角和差的正弦公式、二倍角的余弦公式化简计算可得，结合诱导公式计算即可证明；
（2）由（1）得且，根据正弦定理、三角形的面积公式和三角恒等变换化简可得，结合正切函数的性质即可求解.
【小问1详解】
，
，
，又，
则，
，
，即，
又，所以，即，
又，所以；
【小问2详解】
由（1）知，，得，
由，得，由正弦定理得，
得，
所以，
又，所以，又在上单调递增，
则，所以，
即的面积我取值范围为.
18. 已知椭圆的左焦点为，上顶点为，离心率，直线FB过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于M，N两点（M、N都不在坐标轴上），若，求直线的方程.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆的标准方程.
（2）根据给定条件，借助倾斜角的关系可得，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合斜率的坐标公式求解即得.
【小问1详解】
令，由，得，则直线的斜率，
由直线过点，得直线的方程为，因此，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
设，直线的倾斜角为，
直线的倾斜角为，由直线的斜率知直线的倾斜角为，
于是，即有，显然均不等于，
则，即直线的斜率满足，
由题设知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，
由，消去x并整理得，，显然，
设，则，
由，得，即，
则，整理得，
即，于是，而，解得，，
所以直线的方程为，即.
【点睛】关键点点睛：本题第2问，由，结合直线倾斜角及斜率的意义求得是解题之关键.
19. 已知.
（1）判断在上的单调性；
（2）已知正项数列满足.
（i）证明:；
（ii）若的前项和为，证明:.
【答案】（1）单调递减；
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，再判断时，导数值的正负即可得解.
（2）（i）利用（1）的结论，结合分析法可得，再利用分析法推理，构造函数借助导数确定单调性即可得；（ii）利用（i）的结论，借助放缩法及等比数列求和即得.
【小问1详解】
函数的定义域为，求导得，
令，求导得，
当时，，函数在上单调递减，则，即
所以在上单调递减.
【小问2详解】
（i）首先证明:，即证明，即证明，即证明，
由及（1）知，，
所以；
要证明，即证，只需证，
而，则只需证，，
令，则，由，知，则，
只需证，即证，
令，求导得，
于是函数在上单调递减，，即，因此，
所以.
（ii）由（i）可知，
，
则当且时，，
当时，，所以.
【点睛】思路点睛：数列是一类特殊的函数某些数列问题，，准确构造相应的函数，借助函数导数研究其单调性是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件.

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