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第一章 直线与圆
1.6 平面直角坐标系中的距离公式（1）
1. 掌握两点间的距离公式.
2. 会用坐标法解决平面几何中的问题.
3. 会使用两点间的距离公式进行实际应用.
会两点间的距离公式的推导及使用．
两点间的距离公式的实际应用；会用坐标法解决平面几何中的问题．
在初中，我们已经学过数轴上两点间的距离公式，如下图，如何表示两点间的距离公式呢？
如果把上述问题拓展到平面直角坐标系内，又如何来求两点间的距离呢？
如右图所示
两点间的距离公式
如果与轴或者轴平行，此时两点间的距离是什么？刚才得到的公式还适用么？
与轴平行
与轴平行
满足
对于两点之间的距离公式，我们还有别的理解方式么？请大家结合前面学过的平面向量内容，谈谈自己的看法.
两点间的距离，
可以理解成向量的长度,即
即
而
，
则
方法1：
对于两点之间的距离公式，我们还有别的理解方式么？请大家结合前面学过的平面向量内容，谈谈自己的看法.
可以理解为向量在轴上的投影数量的绝对值
则，.
可以理解为向量分在轴上的投影数量的绝对值
设向量和分别是与轴和轴正方向相同的单位向量
方法2：
再由勾股定理可得：
（1）两点间的距离公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可以写成
.
（2）平行于坐标轴时，距离公式简化为数轴上的距离公式
当直线平行于轴时，；
当直线平行于轴时，.
（3）原点与任意一点间的距离.
已知是直线上的两点，若，求||.
解：在直线上，
.
由，
得.
根据两点间得距离公式，
得.
点在直线上，点满足直线方程，可以用表示，可以用表示，再代入距离公式即可.
若
是直线: 上两点，
.
.
.
解：设点的坐标为 ，
由，
得，解得.
所求点为，
.
已知点，在轴上求一点，使，并求的值.
点在x轴上，可设出，再利用距离公式分别表示根据列方程.
解：(1)根据两点间的距离公式，得
，
，
，
，
即，
所以是直角三角形.
如图所示，已知的三个顶点分别为.
（1）试判断的形状；
（2）设点为的中点，求边上中线的长.
(2) 的中点
横坐标，
纵坐标.
边上中线的长
.
已知三点，三角形就是确定的，其各边长及各边的中线长都可求.
如果和是直线上得两点，求这两点间的距离.
解析：由题意得知：，
所以和
两点之间的距离为.
已知点和间的距离为，求的值.
解析：
由两点间距离公式得：
，求出的值为或.
已知的三个顶点是，试判断的形状.
解析：由两点间距离公式得：
，
，
.
因为
所以是等腰三角形.
解析： ，
，
即四边形为平行四边形.
，所以，即平行四边形为矩形，
,
，
所以，即矩形为正方形，故四边形为正方形.
已知四边形各顶点的坐标分别为，
判断这个四边形是哪种四边形.
1. 两点间的距离公式
（1）平面内两点为间的距离：
（2）原点与任意一点间的距离.
2. 利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤：
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；
第二步：进行有关的代数运算；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
教材第25页练习第1、3题，第26页练习第3题．
再见

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