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专题12 函数的图象（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 5
【考点1】作出函数的图象 5
【考点2】函数图象的识别 7
【考点3】函数图象的应用 9
【分层检测】 11
【基础篇】 11
【能力篇】 13
【培优篇】 14
考试要求：
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.会画简单的函数图象.
3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.
1.利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y＝f(x)y＝f(ax).
y＝f(x)y＝Af(x).
(4)翻折变换
y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象.
1.记住几个重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.
3.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行.
一、单选题
1．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·天津·高考真题）函数的图像为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
【考点1】作出函数的图象
一、单选题
1．（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高一上·天津·期末）已知函数若函数有四个不同的零点，，，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（22-23高三上·山东滨州·期末）在平面直角坐标系中，如图放置的边长为的正方形沿轴滚动(无滑动滚动)，点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是（ ）.

A．函数是奇函数
B．对任意，都有
C．函数的值域为
D．函数在区间上单调递增
4．（2023·山西·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数的值域是
C．若方程有5个解，则的取值范围为
D．若函数有3个不同的零点，则的取值范围为
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若方程有7个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
6．（2023·浙江·二模）对任意，恒有，对任意，现已知函数的图像与有4个不同的公共点，则正实数的值为 .
反思提升：
1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.
2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
【考点2】函数图象的识别
一、单选题
1．（2024·湖北·模拟预测）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）

A． B．
C． D．
2．（2024·四川·模拟预测）数形结合思想是数学领域中一种核心的思想方法，它将数的概念与几何图形的特性相结合，从而使抽象的数学问题具体化，复杂的几何问题直观化.“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合简洁而有力的表达.数与形是不可分割的统一体，彼此相互依存.已知函数，则的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·河南·模拟预测）在棱长为1的正四面体中，P为棱（不包含端点）上一动点，过点P作平面，使，与此正四面体的其他棱分别交于E，F两点，设，则的面积S随x变化的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2024·安徽合肥·一模）函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·福建泉州·模拟预测）函数的大致图像可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·湖北·模拟预测）函数在,上的大致图像可能为（　　）
A． B．
C． D．
反思提升：
1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
3.根据实际背景、图形判断函数图象的两种方法
(1)定量计算法：根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象.
(2)定性分析法：采用“以静观动”，即判断动点处于不同的特殊的位置时图象的变化特征，从而利用排除法做出选择.
【考点3】函数图象的应用
一、单选题
1．（2024·辽宁·三模）已知对数函数，函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（22-23高一上·河南南阳·阶段练习）关于函数，下列描述正确的有（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数的图象关于直线对称
C．若，但，则
D．函数有且仅有两个零点
4．（2024·浙江金华·三模）已知正实数，满足，则下列不等式可能成立的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·河北石家庄·三模）给定函数，用表示中的较大者，记．若函数的图象与有3个不同的交点，则实数的取值范围是 ．
6．（2024·北京西城·二模）已知函数，，其中．
①若函数无零点，则的一个取值为 ；
②若函数有4个零点，则 ．
反思提升：
1.利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2.利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·重庆·模拟预测）已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·贵州·模拟预测）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数
B．在上单调递增
C．的图象关于直线对称
D．的图象与轴围成的三角形面积为2
3．（2023·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（ ）

A． B．
C． D．
4．（2024·上海奉贤·二模）已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（ ）．
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（2022·海南·模拟预测）下面关于函数的性质，说法正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．在定义域上单调递减 D．点是图象的对称中心
6．（2021·广东·模拟预测）函数的图象可能是　　
A． B．
C． D．
7．（2023·湖南岳阳·二模）设函数在上的最小值为，函数在上的最大值为，若，则满足条件的实数可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
8．（2023·四川泸州·一模）函数的对称中心为 ．
9．（2023·陕西渭南·一模）将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，…，，若，则 .
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数满足，且当时，，有以下四个结论：①的值域是；②在上有8个零点；③若方程有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为12；④若方程有4个不相等的实数根，则．所有正确结论的序号是 ．
四、解答题
11．（20-21高一上·山西·期中）已知函数.
（1）在平面直角坐标系中，画出函数的简图；
（2）根据函数的图象，写出函数的单调区间﹔
（3）若，求实数的值.
12．（20-21高一上·广西钦州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，.
（1）求函数的解析式，并画出函数的图象；
（2）根据图象写出函数的单调递减区间和值域；
（3）讨论方程解的个数.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，则（ ）．
A．为奇函数 B．在上单调递增
C．恰有3个极值点 D．有且仅有2个极大值点
三、填空题
3．（2024·陕西咸阳·三模）已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程有两解，则的值为 .
四、解答题
4．（2023·四川乐山·一模）已知，.
(1)若曲线与直线围成的图形面积为，求的值；
(2)求不等式的解集.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·陕西汉中·二模）已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2024·全国·模拟预测）已知则方程可能有（ ）个解.
A．3 B．4 C．5 D．6
三、填空题
3．（2024·北京丰台·二模）设函数给出下列四个结论：
①当时，函数在上单调递减；
②若函数有且仅有两个零点，则；
③当时，若存在实数，使得，则的取值范围为；
④已知点，函数的图象上存在两点，关于坐标原点的对称点也在函数的图象上．若，则．
其中所有正确结论的序号是 ．
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专题12 函数的图象（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 9
【考点1】作出函数的图象 9
【考点2】函数图象的识别 15
【考点3】函数图象的应用 22
【分层检测】 27
【基础篇】 27
【能力篇】 36
【培优篇】 40
考试要求：
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.会画简单的函数图象.
3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.
1.利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y＝f(x)y＝f(ax).
y＝f(x)y＝Af(x).
(4)翻折变换
y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象.
1.记住几个重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.
3.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行.
一、单选题
1．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·天津·高考真题）函数的图像为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
参考答案：
1．D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除；
故选：D
2．A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
故选：A.
3．A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
4．D
【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，
且，
函数为奇函数，A选项错误；
又当时，，C选项错误；
当时，函数单调递增，故B选项错误；
故选：D.
5．D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
6．②③
【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断.
【详解】依题意，，
当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）；
当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取，则的图像如下，

显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；
对于②，当时，
当时，；
当时，显然取得最大值；
当时，，
综上：取得最大值，故②正确；
对于③，结合图像，易知在，且接近于处，的距离最小，

当时，，当且接近于处，，
此时，，故③正确；
对于④，取，则的图像如下，

因为，
结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，
同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，
此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为，
联立，解得，则，
显然在上，满足取得最小值，
即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误.
故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.
【考点1】作出函数的图象
一、单选题
1．（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高一上·天津·期末）已知函数若函数有四个不同的零点，，，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（22-23高三上·山东滨州·期末）在平面直角坐标系中，如图放置的边长为的正方形沿轴滚动(无滑动滚动)，点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是（ ）.

A．函数是奇函数
B．对任意，都有
C．函数的值域为
D．函数在区间上单调递增
4．（2023·山西·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数的值域是
C．若方程有5个解，则的取值范围为
D．若函数有3个不同的零点，则的取值范围为
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若方程有7个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
6．（2023·浙江·二模）对任意，恒有，对任意，现已知函数的图像与有4个不同的公共点，则正实数的值为 .
参考答案：
1．D
【分析】
转化为与图象有3个不同的交点，画出两函数图象，数形结合得到答案.
【详解】令，故，
画出与的图象，
函数有3个零点，即与图象有3个不同的交点，
则，
解得.
故选：D
2．B
【分析】作出函数图象，根据函数图象得出4个零点的关系及范围，进而得出结论.
【详解】函数的四个不同的零点，，，，就是函数与两个图象四个交点的横坐标，
作出函数的图象，
对于A，，
当时，，令，解得，
结合图象可知，故A错误；
结合图象可知，解得，故B正确；
又，且，
所以，即，
所以，故C错误；
根据二次函数的性质和图象得出，所以，故D错误；
故选：B
3．BCD
【分析】根据题意，整理函数关系并作图，根据图象，可得答案.
【详解】由题意得，当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；
当时，点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆；
当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图所示：

此后依次重复，所以函数是以为周期的周期函数，由图象可知，函数为偶函数，故A错误；
因为以为周期，所以，
即，故B正确；
由图象可知，的值域为，故C正确；
由图象可知，在上单调递增，因为以为周期，所以在上的图象和在上的图象相同，即单调递增，故D正确．
故选：BCD.
4．BCD
【分析】AB选项，画出的图象，数形结合得到函数的单调性和值域，得到A错误，B正确；C选项，方程有5个解，转化为与有5个交点，数形结合得到的取值范围；D选项，由零点个数得到，由对数函数的性质得到，从而求出的取值范围.
【详解】，
画出的图象，如下：
A选项，函数在和上单调递减，不能说在上单调递减，A错误；
B选项，函数在处取得最小值为，故值域是，B正确；
C选项，若方程有5个解，则要满足与有5个交点，
故，所以的取值范围为，C正确；
D选项，若函数有3个不同的零点，则，
令，解得：，
又，因为在上单调递增，
解得：，即，
，
故的取值范围为.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：
函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.
5．
【分析】先作出函数图象，解一元二次方程，结合函数图象含参讨论即可.
【详解】作出函数的图象，如图所示．
由，得，
解得或．
由图象易知，直线与的图象有3个交点，
所以方程有3个不同的实数根，
因为方程有7个不同的实数根，
所以直线与的图象有4个交点，
故，解得，故实数的取值范围是．
故答案为：
6．
【分析】由，得，由已知条件可得函数的图像的对称性和周期性，可作出函数的图像，由题意的图像函数在上的图像相切，联立方程组利用判别式求解.
【详解】，，，
令，则有，
任意，恒有，则函数的图像关于对称，函数是以2为周期的周期函数，
在同一直角坐标系下作出函数与的图像，如图所示，
函数的图像与有4个不同的公共点，由图像可知，的图像函数在上的图像相切，
由，消去得，则，解得.
故答案为：
【点睛】方法点睛：
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图像交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图像，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
反思提升：
1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.
2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
【考点2】函数图象的识别
一、单选题
1．（2024·湖北·模拟预测）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）

A． B．
C． D．
2．（2024·四川·模拟预测）数形结合思想是数学领域中一种核心的思想方法，它将数的概念与几何图形的特性相结合，从而使抽象的数学问题具体化，复杂的几何问题直观化.“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合简洁而有力的表达.数与形是不可分割的统一体，彼此相互依存.已知函数，则的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·河南·模拟预测）在棱长为1的正四面体中，P为棱（不包含端点）上一动点，过点P作平面，使，与此正四面体的其他棱分别交于E，F两点，设，则的面积S随x变化的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2024·安徽合肥·一模）函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·福建泉州·模拟预测）函数的大致图像可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·湖北·模拟预测）函数在,上的大致图像可能为（　　）
A． B．
C． D．
参考答案：
1．A
【分析】利用排除法，根据选项代特值检验即可.
【详解】设题设函数为，由选项可知：ABCD中的函数定义域均为，
对于选项D：若，但此时，矛盾，故可排除D；
对于选项C：若，但此时，矛盾，故可排除C；
对于选项B：若，但此时，矛盾，故可排除B.
故选：A.
2．A
【分析】利用定义判断函数的奇偶性，排除选项B D，再举特殊区间，排除C即可.
【详解】对于，
因为，所以定义域为R，
又
，
所以函数为奇函数，排除B D：
当时，总有，，
当时，，，所以，排除C，
故选：A.
3．C
【分析】取线段的中点，连接、，证明出平面，分析可知平面与平面平行或重合，分、、三种情况讨论，计算出的面积，利用三角形相似可得出的表达式，即可得出合适的选项.
【详解】取线段的中点，连接、，
因为、为等边三角形，为的中点，则，，
，、平面，平面，
因为平面，所以，平面与平面平行或重合，
且，
取的中点，连接，则，
且，故.
①当时，平面平面，平面平面，
平面平面，，同理可知，，，
所以，，故，
如下图所示：
则，则；
②当时，；
③当时，平面平面，平面平面，
平面平面，，同理可知，，，
所以，，故，
如下图所示：
则，则.
综上所述，，故函数的图象如C选项中的图象.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解题的关键对分类讨论，求出函数的解析式，进而辨别出函数的图象.
4．ABD
【分析】利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系，结合函数的性质即可求解.
【详解】由题意可知，函数的定义域为，
当时，，函数在上单调递增，故B正确；
当时，，，所以在上单调递增，故D正确；
当时，当时，；当时，；
故A正确；C错误.
故选：ABD.
5．BCD
【分析】利用函数的单调性和奇偶性，通过对进行分类讨论，得出的单调区间和奇偶性，再逐一对各个选项即可得出结果.
【详解】因为，
所以，解得，故定义域为.
，，
因为时，在区间上恒成立，
所以在区间上单调递增.
当时，，此时为奇函数，故选项B正确；
当时，，易知其图像为选项D，故选项D正确.
当时，由，得，又，
所以，即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
综上可知，在区间上不严格单调递减，故选项A不正确；
当时，，此时为偶函数，
且在区间上单调递增，在区间上单调递减，故选项C正确，
故选：BCD.
6．ABC
【分析】根据的取值分类讨论，作出函数的大致图象，研究函数性质后判断图象.
【详解】①当时，，，函数为奇函数，由时，时等性质可知A选项符合题意；
②当时，令，作出两函数的大致图象，
由图象可知在内必有一交点，记横坐标为，此时，故排除D选项；
当时，，时，，
若在内无交点，则在恒成立，则图象如C选项所示，故C选项符合题意；
若在内有两交点，同理得B选项符合题意.
故选：ABC.
反思提升：
1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
3.根据实际背景、图形判断函数图象的两种方法
(1)定量计算法：根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象.
(2)定性分析法：采用“以静观动”，即判断动点处于不同的特殊的位置时图象的变化特征，从而利用排除法做出选择.
【考点3】函数图象的应用
一、单选题
1．（2024·辽宁·三模）已知对数函数，函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（22-23高一上·河南南阳·阶段练习）关于函数，下列描述正确的有（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数的图象关于直线对称
C．若，但，则
D．函数有且仅有两个零点
4．（2024·浙江金华·三模）已知正实数，满足，则下列不等式可能成立的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·河北石家庄·三模）给定函数，用表示中的较大者，记．若函数的图象与有3个不同的交点，则实数的取值范围是 ．
6．（2024·北京西城·二模）已知函数，，其中．
①若函数无零点，则的一个取值为 ；
②若函数有4个零点，则 ．
参考答案：
1．D
【分析】根据函数图像变换法则求出函数的解析式，由条件列方程，解方程求解即可
【详解】因为将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，
所以，即，
将的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式，
因为所得图象恰好与函数的图象重合，
所以，
所以，又且，
解得，
故选：D
2．A
【分析】先利用导数研究当时，函数的图象和性质，结合对数函数的图象及绝对值的意义作出函数的大致图象，然后根据题意及一元二次方程根的分布得到关于的不等式，解不等式即可得到实数的取值范围．
【详解】当时，，，
令，得，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，，当趋近于时，趋近于0，
结合对数函数的图象及绝对值的意义可作出函数的图象如图所示．

令，则，数形结合可知要使有6个零点，
则有两个不相等的实数根、，不妨令，有如下两种情况：
若，但，故排除此种情况，
若，对于二次函数开口向上，又，则，得，
综上，实数的取值范围是．
故选：A
【点睛】关键点点睛：解决此类问题需注意以下几点：
（1）会转化，即会将问题转化为方程的根的问题，然后利用函数、方程、不等式的关系进行解答；
（2）会作图，即会根据基本初等函数的图象、图象的平移变换法则或函数与导数的关系画出相关函数的大致图象；
（3）会观察，即会利用数形结合思想列方程（组）或不等式（组）．
3．ABD
【分析】根据函数图象变换，可得图像，利用图象注意检测选项，可得答案.
【详解】由函数，轴下方图象翻折到上方可得函数的图象，
将轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数的图象，
将函数图象向右平移个单位，可得函数的图象，
则函数的图象如图所示.
由图可得函数在区间上单调递增，A正确；
函数的图象关于直线对称，B正确；
若，但，若，关于直线对称，则，C错误；
函数有且仅有两个零点，D正确.
故选：ABD.
4．ACD
【分析】将变形为，构造，，利用导数求解的单调性，即可判断的大小关系，结合函数图像即可求解.
【详解】由可得，
记，
由于函数均为上的单调递增函数，故为上的单调递增函数，
记，则，
令，得，故在单调递增，
令，得，故在单调递减，
而，，故存在使得，
故当，，即
当时，
当时，，
故作出的大致图象如下：
由图可知：当时，
当时，可得，
当时，可得，
当时，可得，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：构造函数，求导判断单调性，由此判断的大小关系，数形结合求解.
5．
【分析】在同一坐标系下画出的图象，求出交点坐标；结合图象再做出满足条件的直线，进而求出的取值范围即可.
【详解】
由，，
因为，
所以图象变为：
其中，当且仅当时取最大值；
且设两函数在第一象限的交点为，即当， ，
解得：，
由题意与函数的图象有3个不同的交点，
由数形结合易知：，或，
故答案为：.
6．
【分析】①结合函数的图象， 函数无零点，即与的图象无交点，所以可得到的一个取值；②由图象对称，即可算出的值.
【详解】画函数的图象如下：
①函数无零点，即 无解，
即与的图象无交点，所以，可取；
②函数有4个零点，即 有4个根，
即与的图象有4个交点，
由关于对称，所以，
关于对称，所以，
所以.
故答案为：；.
反思提升：
1.利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2.利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·重庆·模拟预测）已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·贵州·模拟预测）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数
B．在上单调递增
C．的图象关于直线对称
D．的图象与轴围成的三角形面积为2
3．（2023·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（ ）

A． B．
C． D．
4．（2024·上海奉贤·二模）已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（ ）．
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（2022·海南·模拟预测）下面关于函数的性质，说法正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．在定义域上单调递减 D．点是图象的对称中心
6．（2021·广东·模拟预测）函数的图象可能是　　
A． B．
C． D．
7．（2023·湖南岳阳·二模）设函数在上的最小值为，函数在上的最大值为，若，则满足条件的实数可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
8．（2023·四川泸州·一模）函数的对称中心为 ．
9．（2023·陕西渭南·一模）将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，…，，若，则 .
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数满足，且当时，，有以下四个结论：①的值域是；②在上有8个零点；③若方程有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为12；④若方程有4个不相等的实数根，则．所有正确结论的序号是 ．
四、解答题
11．（20-21高一上·山西·期中）已知函数.
（1）在平面直角坐标系中，画出函数的简图；
（2）根据函数的图象，写出函数的单调区间﹔
（3）若，求实数的值.
12．（20-21高一上·广西钦州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，.
（1）求函数的解析式，并画出函数的图象；
（2）根据图象写出函数的单调递减区间和值域；
（3）讨论方程解的个数.
参考答案：
1．C
【分析】先通过特值代入易得A项符合，对于B, C, D项，通过图象观察分析可得，结合两函数图象交点的位置舍去C项.
【详解】由可得
对于，当时，在第一象限上递减，对应图象在第四象限且递增，故A项符合；
对于在第一象限上与的图象在上都单调递增，故且，则.
又由可得，即与的图象交点横坐标应大于1，显然C项不符合，B, D项均符合.
故选：C.
2．C
【分析】去掉绝对值，得到，画出其图象，进而判断出四个选项.
【详解】A选项，，
画出其函数图象，如下：
故不是偶函数，A错误；
B选项，在上单调递减，故B错误；
C选项，的图象关于直线对称，C正确；
D选项，的图象与轴围成的三角形面积为，D错误.
故选：C
3．D
【分析】分析在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离的变化，可得出合适的选项.
【详解】由题图知，小李从点到点的过程中，的值先增后减，
从点到点的过程中，的值先减后增，
从点到点的过程中，的值先增后减，从点到点的过程中，的值先减后增，
所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即的值）的增减性为：增、减、增、减、增，D选项合乎题意，
故选：D.
4．A
【分析】根据函数图象和的奇偶性判断.
【详解】易知是偶函数， 是奇函数，给出的函数图象对应的是奇函数，
A. ，定义域为R，
又，所以是奇函数，符合题意，故正确；
B. ，，不符合图象，故错误；
C. ，定义域为R，
但，故函数是非奇非偶函数，故错误；
D. ，定义域为R，
但，故函数是非奇非偶函数，故错误，
故选：A
5．AD
【分析】由，可知由向右平移个单位，再向上平移个单位得到，根据的性质得到的性质，即可判断；
【详解】解：
由向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
因为关于对称，所以关于对称，故D正确；
函数的定义域为，值域为，故A正确，B错误；
函数在和上单调递减，故C错误；
故选：AD
6．ABD
【分析】根据题意，分、以及三种情况讨论函数的图象，分析选项即可得答案．
【详解】解：根据题意，
当时，，，其图象与选项对应，
当时，，在区间上，，其图象在第一象限先减后增，在区间上，为减函数，其图象与选项对应，
当时，，在区间上，为增函数，在区间上，，其图象在第二象限先减后增，其图象与选项对应，
故选：．
7．BD
【分析】根据对数函数和正弦函数的图象，对a分类讨论，结合对数函数、正弦函数的单调性求解即可.
【详解】函数和的图象，如图，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，
函数在上单调递增，所以，
所以，解得；
当时，函数在上单调递增，所以，
由图可知，函数在上，有，得
所以，解得，
结合选项，实数a可以是和.
故选：BD.
8．
【分析】依题意可得，再根据幂函数的性质及函数的平移变换判断即可.
【详解】因为，
则的图象可以由函数向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，
因为为奇函数，函数图象关于原点对称，所以关于对称.
故答案为：
9．10
【分析】根据题意作出两个函数的图象分析交点个数，利用对称性化简向量的和即可求解.
【详解】如图可知：函数和直线共有5个交点，依次为，其中，
∵函数和直线均关于点对称，则关于点对称，
∴，且，
故.
故答案为：10.
10．①③④
【分析】由已知，画出函数的简图，结合图形即可判断.
【详解】由题意可作出函数的大致图象如图所示，

数形结合可知的值域是，在上的零点分别为2，4，6，8，共4个，故①正确，②错误；
易知函数与的图象都关于直线对称，故若方程有4个不同的实数根，则这4个实数根之和为12，故③正确；
作出直线，数形结合可知，若方程有4个不相等的实数根，则，得，故④正确．
故所有正确结论的序号是①③④．
故答案为：①③④.
11．（1）图象见解析；（2）的增区间为，减区间为；（3）或.
【分析】（1）根据函数解析式画出函数图象即可；
（2）由（1）中函数图象，数形结合即可判断；
（3）由函数图象可知，再根据函数的单调性即可判断；
【详解】解：（1）函数的简图如下:
（2）由图可知，函数的增区间为，减区间为；
（3）由，及函数的单调性可知，
若则实数的值为或.
12．（1），图象答案见解析；（2）单调递减区间为 ，函数的值域为；（3）答案见解析.
【分析】（1）由偶函数的定义即可求得时的函数f(x)的解析式，进而得到解；
（2）画出函数图象，数形结合即可得函数的单调增区间；
（3）函数的图象与直线的交点个数，数形结合即可得解.
【详解】解：（1）因为时，，设，则，
，
又函数为偶函数，，
故函数的解析式为.
函数图像如图：
（2）由函数的图象可知，
函数的单调递减区间为 ，
函数的值域为.
（3）方程的实数根的个数就是函数的图象与直线的交点个数，
由函数的图象可知，
当时，方程的解的个数为0；
当，或时，方程的解的个数为2；
当时，方程的解的个数为3；
当时，方程的解的个数为4.
【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解析式的问题，考查了利用数形结合求单调区间以及值域问题.属于中档题.注意方程的根的个数常常转化为一个确定的函数的图象和一条变动的直线的交点个数问题.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，则（ ）．
A．为奇函数 B．在上单调递增
C．恰有3个极值点 D．有且仅有2个极大值点
三、填空题
3．（2024·陕西咸阳·三模）已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程有两解，则的值为 .
四、解答题
4．（2023·四川乐山·一模）已知，.
(1)若曲线与直线围成的图形面积为，求的值；
(2)求不等式的解集.
参考答案：
1．A
【分析】取特值可排除B，C；判断为奇函数可排除D，即可得出答案.
【详解】当时，，故排除选项C；
当时，，故排除选项B；
令，则在上恒成立，
函数在区间上是奇函数，其函数图象关于原点对称，
故排除选项D，A选项正确.
故选：A.
2．CD
【分析】A选项，根据函数的定义域和奇偶性得到，A正确；B选项，求导后转化为和在的图像，结合隐零点得到在上单调递增，在上单调递减；CD选项，利用函数图象交点分析得到答案.
【详解】A选项，函数的定义域为，关于原点对称，
，所以函数为偶函数，故A错误．
B选项，，显然，
当时，令，即，得，
分别作出和在的图像，如图所示．
由图可知，若存在使得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，故B错误．
C选项，由图象可得和在区间上共有3个公共点，且图像在这些公共点处都不相切，
当时，；当时，，
当时，，
故为的极大值点，为的极小值点，
故在区间上的极值点的个数为3，有2个极大值点和1个极小值点，故C，D正确．
故选：CD．
3．49或
【分析】由已知可得是以为周期的周期函数，结合已知可作出函数的图象，关于的方程有两解，可得与的图象有两个交点，数形结合可求的值.
【详解】由，可得，
所以是以为周期的周期函数，又为偶函数，且，故可作出函数的图象如图所示：
若关于的方程有两解，
则与的图象有两个交点，
当，则过点,所以，解得，
当，则过点,所以，解得，
综上所述：的值为或.
故答案为：或.
4．(1)
(2)
【分析】（1）将表示为分度函数的形式，结合图象以及围成图形的面积列方程，从而求得.
（2）对进行分类讨论，由此求得不等式的解集.
【详解】（1）由题得.
画出及得图象，如下图所示，
易知，，，.
，解得.
（2）由（1）知，
当时，即为，得，与条件矛盾，此时不等式的解为；
当时，即为，得，此时不等式的解为.
综上所述，原不等式的解集为.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·陕西汉中·二模）已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2024·全国·模拟预测）已知则方程可能有（ ）个解.
A．3 B．4 C．5 D．6
三、填空题
3．（2024·北京丰台·二模）设函数给出下列四个结论：
①当时，函数在上单调递减；
②若函数有且仅有两个零点，则；
③当时，若存在实数，使得，则的取值范围为；
④已知点，函数的图象上存在两点，关于坐标原点的对称点也在函数的图象上．若，则．
其中所有正确结论的序号是 ．
参考答案：
1．D
【分析】由题意可知：函数的零点个数即为与的交点个数，利用导数求过原点的切线，结合图象分析求解.
【详解】作出的图象，如图所示
令，可得，
由题意可知：函数的零点个数即为与的交点个数，
若，则，可得，
设切点坐标为，切线斜率为，
则切线方程为，
代入点，可得，解得，
此时切线斜率为；
若，则，可得，
设切点坐标为，切线斜率为，
则切线方程为，
代入点，可得，解得，
此时切线斜率为；
结合图象可知的取值范围为.
故选：D.
【点睛】易错点睛：数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题．它包含以形助数和以数解形两个方面．一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程等问题时，可考虑数形结合法．运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错误的选择．
2．ABCD
【分析】方程得或，作出函数图象，数形结合判断解的个数.
【详解】，有，
当时，单调递减；当时，单调递增，
当时，有极小值.
，由二次函数的性质可知，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，有极大值.
由的图象如图所示，

由得或，
由图象可知有3个解，可能有1，2，3，4个解，
若，则有3个解；
若，则方程可能有4，5，6，7个解.
故选：ABCD.
【点睛】方法点睛：
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
3．②③④
【分析】根据时，即可判断①，求解方程的根，即可求解②，结合函数图象，求解临界状态时，即可求解③，根据函数图象的性质可先判断，继而根据对称性联立方程得，，根据可得，代入即可求解④.
【详解】当时，时，，故在上不是单调递减，①错误；
对于②，当显然不成立，故，
当时，令，即，得，，要使有且仅有两个零点，则，故，②正确，
对于③, 当时,,此时在单调递减，在单调递增，如图：

若，由，故，所以的取值范围为；③正确
对于④,由①③可知：时，显然不成立,故，
要使，关于坐标原点的对称点也在函数的图象上，
则只需要的图象与有两个不同的交点，如图：

故，
，
由对称可得，
化简可得，故，
，化简得
所以
由于均大于0，所以，，
因此
由于，为单调递增函数，且，
此时，因此，④正确，
故答案为：②③④
【点睛】方法点睛：函数零点问题常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
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