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正太分布
【考纲解读】
理解正态分布和正态分布曲线的定义，了解正态分布曲线所表示的意义，掌握正态分布曲线的性质；
能够运用正态分布和正态分布曲线解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、正态分布曲线和正态分布的定义：
1、正态分布曲线的定义：
【问题】认真分析下列问题，然后回答题后的思考问题：
为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了地区内100名年龄为17.5岁—18岁的男生的体重情况，结果如下（单位：kg）：
56.5 69.5 65 61.5 64.5 66.5 64 64.5 76 58.5 72 73.5 56 67 70 68
5 7.5 65.5 68 71 75 62 68.5 62.5 66 59.5 63.5 64.5 67.5 73
54 72 66.5 74 63 60 55.5 70 64.5 58 64 70.5 57 62.5 65
69 71.5 73 62 58 77 71 66 63.5 56 59.5 63.5 65 70 74.5
68.5 64 55.5 72.5 66.5 68 76 57.5 60 71.5 57 69.5 74 64.5 59
61.5 67 68 63.5 58 59 65.5 62.5 69.5 72 64.5 75.5 68.5 64 62
65.5 58.5 67.5 70.5 65 66 66.5 70 63 59.5
试根据上述数据画出样本的频率分布直方图，并估计总体的频率分布。
『思考问题』
（1）【问题】是频率分布直方图的问题，解答时可以按照频率分布直方图的基本作法去进行；
（2）在频率分布直方图中取每一个小矩形上端的中点，把这些点用折线连接起来，如果将组距缩小，再把样本容量增大作出同样的折线，你会发现什么问题？
（3）在【问题】中，作出的100名学生体重的频率分布直方图，当样本的容量无限增大，组距相应缩小时，其频率分布直方图无限接近一条总体密度曲线，对于高三学生如果生活环境、生活水平相对稳定，并且不存在产生系统误差的明显因素，这样学生的体重的总体密度曲线近似的为一个函数的图像。
正态曲线的定义： 函数f(x)= ，x∈（-∞，+∞） ①，式中的实数u，（＞0）是参数，分别表示总体的平均数与标准差，这个函数的图像称为正太分布密度曲线，简称为正太曲线（如图所示）；特别地在①的 y 标准正态分布曲线
函数中，当u=0，=1时，正太总体称为标 正态分布曲线
准正态分布曲线，记作N（0，1）， 这时的函
数表达式为：f(x)= ，x∈（-∞，+ 0 a b x
∞） ②（如图所示）。标准正态曲线的图像关于y轴对称，如果已知＞0时的值，则当＜0时，=
2、正态分布的定义：
如上图，由正态分布曲线过点（a，0）和点（b，0）的两条垂直x轴的直线及x轴围成的平面图形的面积，就是随机变量X落在区间（a，b]的概率的近似值，即p(a一般地，如果对于任何实数a，b（a3、理解正态分布曲线和正态分布定义时应该注意的问题：
（1）参数u是反映随机变量X取值的平均水平的特征数，可以用样本平均值去估计总体平均值；是衡量随机变量X总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计总体标准差。把u=0，=1的正态分布称为标准正态分布，记作N（0，1）；
（2）若XN（u，），则事件变量X的数学期望与方差分别为EX=u，DX=，即参数u为所给数据的数学期望（或平均值），为所给数据的方差，为所给数据的标准差；
（3）正态分布是自然界中最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布，例如长度测量误差，正常生产条件下各种产品质量指标等；
（4）一般地，一个手机变量如果是众多的，互不相干的，不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布。
二、正太分布曲线和正态分布的性质：
1、正态分布曲线的性质：
正态分布曲线f(x)= ，x∈（-∞，+∞）有如下性质：
曲线的图像在x轴的上方，且与X轴不相交（说明函数f(x)的值域是正实数的子集，且x轴为渐近线）；
正态曲线的图像关于直线x=u对称（说明函数f(x)图像的对称性）；
曲线在x=u时达到高峰值，由这一点向左，右两边延伸时，曲线逐渐降低（说明函数f(x)在x=u时，取得最大值）；
曲线的对称轴由u的值确定，曲线与X轴之间的面积为1（说明正太变量X在R上取值的概率为1）；
当一定时，曲线随着u的变化而沿X轴平移如（图2）所示；
当u一定时，曲线的形状由确定，越大，图像越“矮胖”表示总体的分布越分散；越小，图像越“高瘦”，表示总体的分布越集中如（图3）所示（说明均值u一定时，的变化确定总体分布的集中，离散程度）。
y y
0 x 0 x
（图2） （图3）
2、正太分布的性质：
（1）一般的正态总体N（u，）要化成标准正态总体N（0，1）只需通过线性代换y
=即可；
正太分布有三个常用数据：①P（u-＜Xu+）=0.683（说明在区间（u-，u+]内的概率为0.683）；②P（u-2＜Xu+2）=0.954（说明在区间（u-2，u+2]内的概率为0.954）；③P（u-3＜Xu+3）=0.997（说明在区间（u-3，u+3]内的概率为0.997）。
【探导考点】
考点1正态分布曲线的性质及运用：热点是根据正态分布曲线的性质，计算相关的概率；
考点2正态分布及运用：热点①已知随机变量某一取值范围内的概率，求随机变量给定范围内的概率；热点②正态分布的实际运用。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
设两个正太分布N（，）（＞0）和N（，）（＞0）的密度函数图像如图所示，则有（ ）
A ＜,＜ B ＜,＞ C ＞,＜ D ＞,＞
把一个正态分布曲线a沿着横轴方向向右平移2个单位，得到新的一条曲线b，下列说
法不正确的是（ ）
A 曲线b仍然是正态分布曲线 B 曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等C 以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体方差大2
D 以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为概率密度曲线的总体期望大2
『思考问题1』
（1）【典例1】是与正太分布曲线相关的问题，解答这类问题需要理解正太分布曲线的定义，掌握正太分布曲线的性质和相关的概率计算；
（2）正太曲线的主要性质是：①曲线图像在x轴的上方，且与X轴不相交；②正态曲线的图像关于直线x=u对称；③曲线在x=u时达到高峰值，由这一点向左，右两边延伸时，曲线逐渐降低。
〔练习1〕解答下列问题：
1、设X—N（，），Y—（，）这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（ ）（答案：C）
A P（Y ）P（Y） B P（X ）P（X）
C 对任意正数t，P（X ≤t）P（Y≤t） D 对任意正数t，P（X t）P（Yt）
2、设随机变量XN（2，），则D（X）的值为（ ）
A 1 B 2 C D 4
【典例2】解答下列问题：
1、已知随机变量服从正太分布N（2，），且P（＜4）=0.8，则P（0＜＜2）=（ ）
A 0.6 B 0.4 C 0.3 D 0.2
2、设随机变量X服从正态分布XN（1，4），试求：
（1）P（0（2）求常数C，使P（XC）=32P（X>C）。
参考数据：（0）=0.5，（1）=0.8413，（2）=0.9972，（0.5）=0.6915，（1.88）=0.9697，（3）=0.9987。
『思考问题2』
（1）【典例2】是与正太分布相关的问题，解答这类问题需要理解正太分布的定义，掌握正太分布的性质和相关的概率计算；
（2）正态分布的性质主要包括：①一般的正态总体N（u，）要化成标准正态总体N（0，1）只需通过线性代换y=即可；②正太分布有三个常用数据：①P（u-＜Xu+）=0.683（说明在区间（u-，u+]内的概率为0.683）；②P（u-2＜Xu+2）=0.954（说明在区间（u-2，u+2]内的概率为0.954）；③P（u-3＜Xu+3）=0.997（说明在区间（u-3，u+3]内的概率为0.997）。
〔练习2〕解答下列问题：
1、已知随机变量X服从正太分布N（3,1），且P（2X4）=0.6826，则P（X＞4）=（ ）
A 0.1588 B 0.1587 C 0.1586 D 0.1585
2、若随机变量XN（u，），且EX=3，DX=1，则P（-1A 2（1）-1 B （4）-（2） C （-4）-（-2） D （2）-（4）
【典例3】解答下列问题：
某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间（单位：分）服从正态分布N（50，）；第二条路沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N（60，）。
若只有70分钟可用，问应走哪条路线？
若只有65分钟可用，问又应走哪条路线？
2、假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，）的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为。
（1）求的值（参考数据：若X （u，），有P（u- ）＜X＜（u-+）=0.6826，P（u- 2）＜X＜（u-+2）=0.9544，P（u-,3）＜X＜（u-+3）=0.9974）；
（2）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲，乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆，若每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应该购买A型车，B型车各多少辆？
（3）正太变量在（-∞，+∞）内取值的概率是1，对于固定的u，来说，随机变量在（u-，u+）上的取值的概率随着的减小而增大，即越小，随机变量X取值落在（u-，u+）的概率越大。
『思考问题3』
（1）【典例3】是正太分布的实际应用问题，解答这类问题需要理解正太分布的定义，掌握正太分布的性质和相关的概率计算；
（2）理解并掌握正太分布的三个常用数据：①P（u-＜Xu+）=0.683（说明在区间（u-，u+]内的概率为0.683）；②P（u-2＜Xu+2）=0.954（说明在区间（u-2，u+2]内的概率为0.954）；③P（u-3＜Xu+3）=0.997（说明在区间（u-3，u+3]内的概率为0.997），是解答正态分布实际应用问题的重要途径之一。
〔练习3〕解答下列问题：
某班有48名学生，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80分，标准差为10，问从理论上讲成绩80分到90分之间有多少人？
商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N（10，）（单位：kg），任选一袋这种大米，质量在9.8kg10.2kg的概率是多少？
【雷区警示】
【典例4】解答下列问题：
设随机变量XN（2，9），若P（X＞c+1）=P（XA 1 B 2 C 3 D 4
已知随机变量XN（2，），P（X≤4）=0.84，则P（X<0）= 。
『思考问题4』
【典例4】是解答正态分布问题时，容易触碰的雷区。这类问题的雷区主要包括：①忽视正态分布曲线的对称性，导致解答问题出现错误；②忽视正态分布的三个常用数据，导致解答问题出现错误；
解答正态分布问题时，为避免忽视正态分布曲线的对称性的雷区，需要理解正态分布曲线的定义，掌握正态分布曲线的性质；
解答正态分布问题时，为避免忽视正态分布的三个常用数据的雷区，需要理解正态分布的定义，掌握正态分布的性质。
〔练习4〕解答下列问题：
已知随机变量服从正态分布N（3，），则p（＜3）=（ ）
A B C D
2、在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0,1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
A 23486 B 2718 C 3413 D 4772
【考题演练】
【典例5】解答下列问题：
1、某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参考，根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布N（u，）。
已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人，甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次；
在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记X表示在本次考试中化学成绩在（u-3，u+3）之外的人数，求P（X≥1）的概率及X的数学期望。
参考数据：0.9011，参考公式：若XN（u，），有P（u-P（u,22、随机变量X服从正态分布N（2，），若p（22.5）= （2022全国高考新高考II）
3、某物理量的测量结果服从正太分布N（10，），下列结论中不正确的是（ ）（2021全国高考新高考II）
A 越小，该物理量在一次测量中在（9.9,10.1）的概率越大 B 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C 越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D 越小，该物理量在一次测量中落在（9.9,10.2）与落在（10,10.3）的概率相等
『思考问题5』
【典例5】是近几年高考（或高三诊断考试或调研考试）试卷中与正太分布相关的问题，归结起来主要包括：①正态分布曲线定义，性质及运用；②正太分布定义，性质及运用；③正态分布的实际应用等几种类型；
（2）解答随机变量及其分布列问题的基本方法是：①根据问题的结构特征，判断问题的所属类型；②按照解答该类型问题的基本思路和方法对问题实施解答；③得出问题解答的最终结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30,D(X)=20，则p= （2015全国高考广东卷）
附：若X—N（u, ）,则P（u- ＜Xu+）=0.6826，P（u-2＜Xu+2）=0.9544。
已知随机变量服从正态分布N（3，），则p（＜3）=（ ）（2015全国高考重庆卷）
A B C D
3、在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0,1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）（2015全国高考湖南卷）
A 23486 B 2718 C 3413 D 4772
正太分布
【考纲解读】
理解正态分布和正态分布曲线的定义，了解正态分布曲线所表示的意义，掌握正态分布曲线的性质；
能够运用正态分布和正态分布曲线解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、正态分布曲线和正态分布的定义：
1、正态分布曲线的定义：
【问题】认真分析下列问题，然后回答题后的思考问题：
为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了地区内100名年龄为17.5岁—18岁的男生的体重情况，结果如下（单位：kg）：
56.5 69.5 65 61.5 64.5 66.5 64 64.5 76 58.5 72 73.5 56 67 70 68
5 7.5 65.5 68 71 75 62 68.5 62.5 66 59.5 63.5 64.5 67.5 73
54 72 66.5 74 63 60 55.5 70 64.5 58 64 70.5 57 62.5 65
69 71.5 73 62 58 77 71 66 63.5 56 59.5 63.5 65 70 74.5
68.5 64 55.5 72.5 66.5 68 76 57.5 60 71.5 57 69.5 74 64.5 59
61.5 67 68 63.5 58 59 65.5 62.5 69.5 72 64.5 75.5 68.5 64 62
65.5 58.5 67.5 70.5 65 66 66.5 70 63 59.5
试根据上述数据画出样本的频率分布直方图，并估计总体的频率分布。
『思考问题』
（1）【问题】是频率分布直方图的问题，解答时可以按照频率分布直方图的基本作法去进行；
（2）在频率分布直方图中取每一个小矩形上端的中点，把这些点用折线连接起来，如果将组距缩小，再把样本容量增大作出同样的折线，你会发现什么问题？
（3）在【问题】中，作出的100名学生体重的频率分布直方图，当样本的容量无限增大，组距相应缩小时，其频率分布直方图无限接近一条总体密度曲线，对于高三学生如果生活环境、生活水平相对稳定，并且不存在产生系统误差的明显因素，这样学生的体重的总体密度曲线近似的为一个函数的图像。
正态曲线的定义： 函数f(x)= ，x∈（-∞，+∞） ①，式中的实数u，（＞0）是参数，分别表示总体的平均数与标准差，这个函数的图像称为正太分布密度曲线，简称为正太曲线（如图所示）；特别地在①的 y 标准正态分布曲线
函数中，当u=0，=1时，正太总体称为标 正态分布曲线
准正态分布曲线，记作N（0，1）， 这时的函
数表达式为：f(x)= ，x∈（-∞，+ 0 a b x
∞） ②（如图所示）。标准正态曲线的图像关于y轴对称，如果已知＞0时的值，则当＜0时，=
2、正态分布的定义：
如上图，由正态分布曲线过点（a，0）和点（b，0）的两条垂直x轴的直线及x轴围成的平面图形的面积，就是随机变量X落在区间（a，b]的概率的近似值，即p(a一般地，如果对于任何实数a，b（a3、理解正态分布曲线和正态分布定义时应该注意的问题：
（1）参数u是反映随机变量X取值的平均水平的特征数，可以用样本平均值去估计总体平均值；是衡量随机变量X总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计总体标准差。把u=0，=1的正态分布称为标准正态分布，记作N（0，1）；
（2）若XN（u，），则事件变量X的数学期望与方差分别为EX=u，DX=，即参数u为所给数据的数学期望（或平均值），为所给数据的方差，为所给数据的标准差；
（3）正态分布是自然界中最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布，例如长度测量误差，正常生产条件下各种产品质量指标等；
（4）一般地，一个手机变量如果是众多的，互不相干的，不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布。
二、正太分布曲线和正态分布的性质：
1、正态分布曲线的性质：
正态分布曲线f(x)= ，x∈（-∞，+∞）有如下性质：
曲线的图像在x轴的上方，且与X轴不相交（说明函数f(x)的值域是正实数的子集，且x轴为渐近线）；
正态曲线的图像关于直线x=u对称（说明函数f(x)图像的对称性）；
曲线在x=u时达到高峰值，由这一点向左，右两边延伸时，曲线逐渐降低（说明函数f(x)在x=u时，取得最大值）；
曲线的对称轴由u的值确定，曲线与X轴之间的面积为1（说明正太变量X在R上取值的概率为1）；
当一定时，曲线随着u的变化而沿X轴平移如（图2）所示；
当u一定时，曲线的形状由确定，越大，图像越“矮胖”表示总体的分布越分散；越小，图像越“高瘦”，表示总体的分布越集中如（图3）所示（说明均值u一定时，的变化确定总体分布的集中，离散程度）。
y y
0 x 0 x
（图2） （图3）
2、正太分布的性质：
（1）一般的正态总体N（u，）要化成标准正态总体N（0，1）只需通过线性代换y
=即可；
正太分布有三个常用数据：①P（u-＜Xu+）=0.683（说明在区间（u-，u+]内的概率为0.683）；②P（u-2＜Xu+2）=0.954（说明在区间（u-2，u+2]内的概率为0.954）；③P（u-3＜Xu+3）=0.997（说明在区间（u-3，u+3]内的概率为0.997）。
【探导考点】
考点1正态分布曲线的性质及运用：热点是根据正态分布曲线的性质，计算相关的概率；
考点2正态分布及运用：热点①已知随机变量某一取值范围内的概率，求随机变量给定范围内的概率；热点②正态分布的实际运用。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、设两个正太分布N（，）（＞0）和N（，）（＞0）的密度函数图像如图所示，则有（ ）
A ＜，＜ B ＜，＞ C ＞，＜ D ＞，＞
【解析】
【知识点】①正态分布曲线定义与性质；②正态分布曲线图像及运用。
【解题思路】根据正态分布曲线的性质，运用正态分布曲线的图像，结合问题条件求出 ，与，的大小关系就可得出选项。
【详细解答】两个正太分布N（，）（＞0）和N（，）（＞0）的密度函数图像如图所示， ＜，＜，A正确，选A。
2、把一个正态分布曲线a沿着横轴方向向右平移2个单位，得到新的一条曲线b，下列说
法不正确的是（ ）
A 曲线b仍然是正态分布曲线 B 曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等C 以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体方差大2
D 以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为概率密度曲线的总体期望大2
【解析】
【知识点】①正态分布曲线定义与性质；②正态分布曲线图像及运用。
【解题思路】根据正态分布曲线的性质，运用正态分布曲线的图像，结合问题条件对各选项说法的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，正态分布曲线a沿着横轴方向向右平移2个单位，得到新的一条曲线b，曲线b仍然是正态分布曲线，A正确；对B，正态分布曲线a沿着横轴方向向右平移2个单位，得到新的一条曲线b，曲线b的大小与形状没有改变，即曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等，B正确；对C，正态分布曲线a沿着横轴方向向右平移2个单位，得到新的一条曲线b，曲线b的大小与形状没有改变，但对称轴发生了变化，若曲线a的对称轴为x=m，则曲线b的对称轴为x=m+2，即以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体方差大2，C正确；对D，正态分布曲线a沿着横轴方向向右平移2个单位，得到新的一条曲线b，曲线b的大小与形状没有改变即以曲线b为概率密度曲线的总体的期望与以曲线a为概率密度曲线的总体期望不变，D错误，综上所述，D的说法错误，选D。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与正太分布曲线相关的问题，解答这类问题需要理解正太分布曲线的定义，掌握正太分布曲线的性质和相关的概率计算；
（2）正太曲线的主要性质是：①曲线图像在x轴的上方，且与X轴不相交；②正态曲线的图像关于直线x=u对称；③曲线在x=u时达到高峰值，由这一点向左，右两边延伸时，曲线逐渐降低。
〔练习1〕解答下列问题：
1、设X—N（，），Y—（，）这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（ ）（答案：C）
A P（Y ）P（Y） B P（X ）P（X）
C 对任意正数t，P（X ≤t）P（Y≤t） D 对任意正数t，P（X t）P（Yt）
2、设随机变量XN（2，），则D（X）的值为（ ）（答案：A）
A 1 B 2 C D 4
【典例2】解答下列问题：
1、已知随机变量服从正太分布N（2，），且P（＜4）=0.8，则P（0＜＜2）=（ ）
A 0.6 B 0.4 C 0.3 D 0.2
【解析】
【知识点】①正态分布定义与性质；②正态分布曲线图像及运用。
【解题思路】根据正态分布的性质，运用正态分布曲线的图像，结合问题条件求出P（0＜＜2）的值就可得出选项。
【详细解答】随机变量服从正太分布N（2，），P（＜4）=0.8，P（≥4）=1-0.8=0.2，
P（<0）=P（≥4）=0.2，P（0＜＜2）=[1-P（<0）-P（≥4）]=0.3，C正确，选C。
2、设随机变量X服从正态分布XN（1，4），试求：
（1）P（0（2）求常数C，使P（XC）=32P（X>C）。
参考数据：（0）=0.5，（1）=0.8413，（2）=0.9972，（0.5）=0.6915，（1.88）=0.9697，（3）=0.9987。
【解析】
【知识点】①正态分布定义与性质；②正态分布曲线图像及运用。
【解题思路】（1）根据正态分布的性质，运用正态分布曲线图像，结合问题条件就可求出P（0【详细解答】（1）随机变量X服从正态分布XN（1，4），u=1，=2，P（0=2（0.5）-1=20.6915-1=0.3830；（2）P（X>C）=1-P（X≤C），P（XC）=32P（X>C），
P（XC）=32[1-P（X≤C）]，P（XC）==0.9697，P（X（）=0.9697，=1.88，C=21.88+1=4.76。
『思考问题2』
（1）【典例2】是与正太分布相关的问题，解答这类问题需要理解正太分布的定义，掌握正太分布的性质和相关的概率计算；
（2）正态分布的性质主要包括：①一般的正态总体N（u，）要化成标准正态总体N（0，1）只需通过线性代换y=即可；②正太分布有三个常用数据：①P（u-＜Xu+）=0.683（说明在区间（u-，u+]内的概率为0.683）；②P（u-2＜Xu+2）=0.954（说明在区间（u-2，u+2]内的概率为0.954）；③P（u-3＜Xu+3）=0.997（说明在区间（u-3，u+3]内的概率为0.997）；
（3）正太变量在（-∞，+∞）内取值的概率是1，对于固定的u，来说，随机变量在（u-，u+）上的取值的概率随着的减小而增大，即越小，随机变量X取值落在（u-，u+）的概率越大。
〔练习2〕解答下列问题：
1、已知随机变量X服从正太分布N（3，1），且P（2X4）=0.6826，则P（X＞4）=（ ）
A 0.1588 B 0.1587 C 0.1586 D 0.1585（答案：B）
2、若随机变量XN（u，），且EX=3，DX=1，则P（-1A 2（1）-1 B （4）-（2） C （-4）-（-2） D （2）-（4）
【典例3】解答下列问题：
1、某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间（单位：分）服从正态分布N（50，）；第二条路沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N（60，）。
（1）若只有70分钟可用，问应走哪条路线？
（2）若只有65分钟可用，问又应走哪条路线？
【解析】
【知识点】①正态分布定义与性质；②解答正态分布实际应用问题的基本方法。
【解题思路】（1）根据正态分布的性质，运用求解正态分布事件应用问题的基本方法，结合问题条件就可得出若只有70分钟可用，应走路线；（2）根据正态分布的性质，运用求解正态分布事件应用问题的基本方法，结合问题条件就可得出若只有70分钟可用，应走路线。
【详细解答】（1）若走第一条路线，所需时间（单位：分）服从正态分布N（50，），
P（00.9772，若只有70分钟可用，,应走第二条路线；（1）若走第一条路线，所需时间（单位：分）服从正态分布N（50，），P（0=（1.5）=0.9338，若走第二条路线，所需时间（单位：分）服从正态分布N（60，），P（00.8944，若只有65分钟可用，,应走第一条路线。
2、假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，）的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为。
（1）求的值（参考数据：若X （u，），有P（u- ＜X≤u-+）=0.6826，P（u- 2＜X≤u-+2）=0.9544，P（u-3＜X≤u-+3）=0.9974）；
（2）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲，乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆，若每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应该购买A型车，B型车各多少辆？
【解析】
【知识点】①正态分布定义与性质；②简单线性规划定义与性质；③解答正态分布实际应用问题的基本方法；④求解简单线性规划问题的基本方法。
【解题思路】（1）根据正态分布的性质，运用求解正态分布事件应用问题的基本方法，结合问题条件就可求出一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率的值；（2）根据正态分布和解答线性规划的性质，运用求解正态分布实际应用问题和解答线性规划问题的基本方法，结合问题条件就可求出应该购买A型车，B型车的数量。
【详细解答】（1）每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，），P（700＜X≤900）=0.9544，=P（X≤900）=P（X≤800）+P（800＜X≤900）=0.5+P（700＜X≤900）=0.5+0.4772=0.9772；（2）设应该购买A型车x辆，B型车y辆，相应的经营成本为1600x+2400y，且x+y≤21,y≤x+7，P（X≤36x+60y）≥，36x+60y≥900，正整数x，y应该满足约束条件x+y≤21,y≤x+7， y
36x+60y≥900，作出约束条件的可行域如图 P
所示，由图可知，当目标函数z=1600x+2400y
经过点P（5，12）时，z=16005+240012 0 x
=36800（元）为最小值，公司拟组建不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆，若每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，则应该购买A型车5辆，B型车12辆。
『思考问题3』
（1）【典例3】是正太分布的实际应用问题，解答这类问题需要理解正太分布的定义，掌握正太分布的性质和相关的概率计算；
（2）理解并掌握正太分布的三个常用数据：①P（u-＜Xu+）=0.683（说明在区间（u-，u+]内的概率为0.683）；②P（u-2＜Xu+2）=0.954（说明在区间（u-2，u+2]内的概率为0.954）；③P（u-3＜Xu+3）=0.997（说明在区间（u-3，u+3]内的概率为0.997），是解答正态分布实际应用问题的重要途径之一。
〔练习3〕解答下列问题：
1、某班有48名学生，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80分，标准差为10，问从理论上讲成绩80分到90分之间有多少人？（答案：从理论上讲成绩80分到90分之间约有16人）
2、商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N（10，）（单位：kg），任选一袋这种大米，质量在9.8kg10.2kg的概率是多少？（答案：任选一袋这种大米，质量在9.8kg10.2kg的概率是0.954）
【雷区警示】
【典例4】解答下列问题：
1、设随机变量XN（2，9），若P（X＞c+1）=P（XA 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【知识点】①随机变量正态分布定义与性质；②随机变量正态分布曲线定义与性质。
【解题思路】根据随机变量正态分布的性质，运用随机变量正态分布曲线的性质，结合问题条件得到关于c的方程，求解方程求出c的值就可得出选项。
【详细解答】随机变量XN（2，9），正态分布曲线的图像关于直线x=2对称，
=2，P（X＞c+1）=P（X<3-c），P（X＞c+1）=P（X2、已知随机变量XN（2，），P（X≤4）=0.84，则P（X<0）= 。
【解析】
【知识点】①随机变量正态分布定义与性质；②求随机变量正态分布中概率的基本方法。
【解题思路】根据随机变量正态分布的性质，运用求随机变量正态分布中概率的基本方法，结合问题条件就可求出P（X<0）的值。
【详细解答】随机变量XN（2，），P（X≤4）=0.84，P（X＞4）=1-0.84=0.16，
P（X<0）=P（X＞4）=0.16。
『思考问题4』
【典例4】是解答正态分布问题时，容易触碰的雷区。这类问题的雷区主要包括：①忽视正态分布曲线的对称性，导致解答问题出现错误；②忽视正态分布的三个常用数据，导致解答问题出现错误；
解答正态分布问题时，为避免忽视正态分布曲线的对称性的雷区，需要理解正态分布曲线的定义，掌握正态分布曲线的性质；
解答正态分布问题时，为避免忽视正态分布的三个常用数据的雷区，需要理解正态分布的定义，掌握正态分布的性质。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知随机变量服从正态分布N（3，），则p（＜3）=（ ）（答案：D）
A B C D
2、在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0,1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）（答案：C）
A 23486 B 2718 C 3413 D 4772
【考题演练】
【典例5】解答下列问题：
1、某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参考，根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布N（u，）。
已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人，甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次；
在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记X表示在本次考试中化学成绩在（u-3，u+3）之外的人数，求P（X≥1）的概率及X的数学期望。
参考数据：0.9011，参考公式：若XN（u，），有P（u-P（u,2【解析】
【考点】①正态分布定义与性质；②随机变量概率分布定义与性质；③求随机变量数学期望的基本求法。
【解题思路】（1）根据正态分布的性质，结合问题条件求出的值，从而得出系数A成绩在该市的大致名次；（2）根据正态分布的性质，分别求出随机抽取一名学生在（u-3【详细解答】（1）本次模拟考试成绩（满分100分）近似服从正态分布N（u，），u=65分，=0.0228，==0.0228，P（X≥u+2）=0.0228，u+=65+2=87，=11，76=65+11=65+，
==0.1587，P（X≥u+）=0.1587，估计学生A在甲市的大致名次为1587名；（2）在甲市参考学生中，随机抽取1名学生，成绩在（u-3，u+3）之内的概率为P（u-31-0.90110.0989，随机变量X的数学期望EX=np=400.0026=0.104。
2、随机变量X服从正态分布N（2，），若p（22.5）= （2022全国高考新高考II卷）
【解析】
【考点】①随机变量正态分布定义与性质；②随机变量正态分布图像及运用。
【解题思路】根据随机变量正态分布的性质，运用随机变量正态分布的图像，结合问题条件就可求出p（X>2.5）的值。
【详细解答】随机变量X服从正态分布N（2，），p（22.5）=0.5- p（23、某物理量的测量结果服从正太分布N（10，），下列结论中不正确的是（ ）（2021全国高考新高考II）
A 越小，该物理量在一次测量中在（9.9,10.1）的概率越大 B 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C 越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D 越小，该物理量在一次测量中落在（9.9,10.2）与落在（10,10.3）的概率相等
【解析】
【考点】①随机变量正态分布定义与性质；②随机变量正态分布图像及运用。
【解题思路】根据随机变量正态分布的性质，运用随机变量正态分布的图像，结合问题条件对各选项的结论的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，为数据的方差，为数据的标准差，越小，数据在u=10附近越集中，该物理量在一次测量中在（9.9,10.1）的概率越大 ，A正确；对B，正态分布N（10，）的图像关于直线x=10对称，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 ，B正确；对C，正态分布N（10，）的图像关于直线x=10对称，该物理量在一次测量中，小于9.99与大于10.01的概率相等 ，C正确；对D，正态分布N（10，）的图像关于直线x=10对称，该物理量在一次测量中，落在（9.9,10.2）与落在（10,10.3）的概率不相等 ，D错误，选D。
『思考问题5』
【典例5】是近几年高考（或高三诊断考试或调研考试）试卷中与正太分布相关的问题，归结起来主要包括：①正态分布曲线定义，性质及运用；②正太分布定义，性质及运用；③正态分布的实际应用等几种类型；
（2）解答随机变量及其分布列问题的基本方法是：①根据问题的结构特征，判断问题的所属类型；②按照解答该类型问题的基本思路和方法对问题实施解答；③得出问题解答的最终结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30,D(X)=20，则p= （2015全国高考广东卷）（答案：p=）
附：若X—N（u, ）,则P（u- ＜Xu+）=0.6826，P（u-2＜Xu+2）=0.9544。
2、已知随机变量服从正态分布N（3，），则p（＜3）=（ ）（2015全国高考重庆卷）（答案：D）
A B C D
3、在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0,1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）（2015全国高考湖南卷）（答案：C）
A 23486 B 2718 C 3413 D 4772

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