资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题13 函数与方程（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 2
【考点突破】 8
【考点1】函数零点所在区间的判断 8
【考点2】函数零点个数的判定 13
【考点3】函数零点的应用 19
【分层检测】 26
【基础篇】 26
【能力篇】 34
【培优篇】 38
考试要求：
1.理解函数的零点与方程的解的联系.
2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解.
1.函数的零点
(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
2.函数零点存在定理
(1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.
(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.
2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.
一、单选题
1．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2023·全国·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A． B．
C． D．
三、填空题
4．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
5．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
6．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 .
参考答案：
1．A
【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.
2．BCD
【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，
因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，
因此方程有两个不等的正根，
于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.
故选：BCD
3．ACD
【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD.
4．
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
5．
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围．
【详解】（1）当时，，
即，
若时，，此时成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即且；
若方程有一根为，则，解得：且；
若时，，此时成立．
（2）当时，，
即，
若时，，显然不成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即；
若方程有一根为，则，解得：；
若时，，显然不成立；
综上，
当时，零点为，；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，零点为．
所以，当函数有两个零点时，且．
故答案为：．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
6．
【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.
【详解】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
【考点1】函数零点所在区间的判断
一、单选题
1．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知函数，若存在，使得，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．在内有零点 D．若在内有零点，则
2．（2024·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（ ）
A． B．或.
C． D．或.
二、多选题
3．（2022·福建三明·模拟预测）已知函数在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a的取值可以为（ ）
A．－1 B．2 C．3 D．4
4．（2024·广东广州·二模）已知函数，则（ ）
A．的定义域为 B．的图像在处的切线斜率为
C． D．有两个零点，且
三、填空题
5．（2023·广东深圳·一模）定义开区间的长度为．经过估算，函数的零点属于开区间 （只要求写出一个符合条件，且长度不超过的开区间）．
6．（22-23高三下·浙江杭州·阶段练习）函数在区间上存在零点，则的最小值为 .
参考答案：
1．A
【分析】根据函数的单调性结合零点存在定理逐项判断即可得结论.
【详解】因为在上单调递增，且，，
所以，，根据零点存在定理可得函数在内有零点，故C正确；
又因为，所以，故B正确；
又因为，则可能大于，故A不正确；
若函数在内有零点，则，故D正确.
故选：A.
2．D
【分析】根据题意，分和，结合二次函数的性质，以及零点存在性定理，列出不等式，即可求解.
由函数，
【详解】由函数，
若，可得，令，即，解得，符合题意；
若，令，即，可得，
当时，即，解得，此时，解得，符合题意；
当时，即且，则满足，
解得且，
若，可得，令，即，
解得或，其中，符合题意；
若，可得，令，即，
解得或，其中，符合题意；
综上可得，实数的取值范围为或.
故选：D.
3．ABC
【分析】由题意设，则在上， 与有相同的零点，即讨论在区间内没有零点，求出其导函数，分析其单调性，得出其最值情况，从而结合其大致的图形可得出答案.
【详解】，设
则在上， 与有相同的零点.
故函数在区间内没有零点,即在区间内没有零点
当时，在区间上恒成立,则在区间上单调递增.
所以，显然在区间内没有零点.
当时, 令，得，令，得
所以在区间上单调递减增.在区间上单调递增.
所以
设，则
所以在上单调递减,且
所以存在，使得
要使得在区间内没有零点，则
所以
综上所述，满足条件的的范围是
由选项可知：选项ABC可使得在区间内没有零点，即满足题意.
故选：ABC
4．BCD
【分析】根据题意直接求出的范围即可判断；求出导函数，进而求得即可判断B；求得即可判断C；易知的单调性，结合零点存在定理及C即可判断D．
【详解】由题意，，
对于选项A，易知且，故选项A错误，
对于选项B，因为，则，故选项B正确，
对于选项C，因为，所以，故选项C正确，
对于选项D，由选项可知，易知在和上单调递增，
因为，
，
所以，使得，
又因为，则，结合选项C，得，
即也是的零点，则，，故，故选项D正确，
故选：BCD.
5．（不唯一）
【分析】利用函数的零点存在定理求解.
【详解】解：因为都是减函数，
所以是减函数，
又，
即，
所以函数在上有零点，且，
故答案为（不唯一）
6．/
【分析】设为在上的零点，可得，转化为点在直线上，根据的几何意义，可得有解，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得答案．
【详解】设为在上的零点，可得，
所以，即点在直线，
又表示点到原点距离的平方，
则有解，即有解，
令，可得，
因为，，
所以恒成立，
可得在上为单调递增函数，
所以当时，，
所以，即的最小值为．
故答案为：.
反思提升：
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.
【考点2】函数零点个数的判定
一、单选题
1．（2024·四川内江·三模）若函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数，若关于x的方程的不同实数根的个数为6，则a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·安徽安庆·三模）已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上单调递增
C．函数的最大值为
D．若方程在上有且仅有8个不同的实根，则
4．（2024·河北保定·二模）已知函数，函数，且，定义运算设函数，则下列命题正确的是（ ）
A．的最小值为
B．若在上单调递增，则k的取值范围为
C．若有4个不同的解，则m的取值范围为
D．若有3个不同的解，，则
三、填空题
5．（2024·湖北·二模）已知函数（，）的最小正周期为T，，若在内恰有10个零点则的取值范围是 ．
6．（2024·山东泰安·三模）已知函数若曲线与直线恰有2个公共点，则的取值范围是 .
参考答案：
1．D
【分析】将函数有两个零点，转化为函数的图象有两个不同交点问题；由此设，利用导数判断其单调性，作出其图象，数形结合，即可求得答案.
【详解】由题意知函数有两个零点，即有两个不等实数根，
即函数的图象有两个不同交点；
设，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，当时，，
作出的图象如图：
当直线与图象相切时，设切点为，
此时，则，
故此时，
结合图象可知，要使函数的图象有两个不同交点，
需满足，
故，
故选：D
2．C
【分析】方程因式分解得，所以或，根据函数的草图，判断的解的个数，从而确定解的个数，可得的取值范围.
【详解】当时，，由此可知在单调递减，
且当时，，在上单调递增，；
当时，在单调递增，在上单调递减，
，如图所示．
得，即或，
由与有两个交点，则必有四个零点，
即，得.
故选：C
3．ACD
【分析】A选项，由函数与的最小正周期的周期性即可；B选项，利用函数的单调性定义求解；C选项，由倍角公式化简函数解析式，利用二次函数的性质求最大值；D选项，利用导数讨论函数的单调性，数形结合求的取值范围.
【详解】由条件可知，
因，
又函数与的最小正周期均为，
所以函数的最小正周期为，A选项正确；
时，，，，
，则函数在上不可能单调递增，B选项错误；
，
当时，函数取最大值，C选项正确；
，所以函数为偶函数，
方程在上有且仅有8个不同的实根，则在上有四个根，
此时，则，
设
令，得，令，得
则在上和单调递增，在和上单调递减，
又，，，如图所示，
若想方程在上有四个根，则，即，
因此选项D正确.
故选：ACD．
4．AC
【分析】对A，对分类讨论，并作出分段函数的图象求出最小值即可；对B，令，求出，根据其单调性得到不等式，解出即可；对C和D结合图象转化为直线与函数图象交点个数，并结合函数对称性即可判断.
【详解】对A，
令，解得.
当时，作出函数和的图象，如图1所示.
此时，，显然当时，，
当时，作出函数的图象，如图2所示.
，，所以的最小值为，
综上的最小值为，A正确.
对B，令，解得，.
若在上单调递增，则，解得.
因为当时，在上单调递增，
所以k的取值范围为，B错误.
对CD，若有3个不同的解，，，则结合图象可得
或，D错误.
若有4个不同的解，则，C正确.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：本题B选项的关键是结合图象找到临界位置，从而得到不等式，CD选项应结合函数图象，转化为直线与函数图象交点个数问题.
5．
【分析】由，可得，进而可求，进而根据在内恰有10个零点，可求的取值范围.
【详解】函数（，）的周期为，
又，所以，
所以，即，
因为，所以，解得，
所以，因为，所以，
要使在内恰有10个零点，则.
所以的取值范围是.
故答案为：.
6．
【分析】由导函数等求出函数单调性和切线方程，画出的图象，数形结合得到答案.
【详解】当时，，其在上单调递减，在上单调递增，且，则；
当时，，，其在上单调递减，且.
作出的图像，如图，易知的取值范围是.
故答案为：
反思提升：
函数零点个数的判定有下列几种方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
【考点3】函数零点的应用
一、单选题
1．（2024·四川·模拟预测）己知函数若函数有5个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数，，若关于的方程有两个不等实根，且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数恰有三个零点，，，且，则（ ）
A． B．实数的取值范围为
C． D．
4．（23-24高三上·河北·期末）已知函数，若函数的图象与的图象有两个不同的交点，则实数的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2024·安徽黄山·二模）若函数有两个零点，则实数的取值范围是 .
6．（2024·天津·一模）若函数恰有两个不同的零点，且，则的取值范围为 ．
参考答案：
1．C
【分析】求得，得到函数的单调性和极值，作出函数的图象，根据题意，转化为和共有5个不相等实数根，结合图象，即可求解.
【详解】当时，，此时，
则时，单调递减；时，单调递增，
所以，当是的极小值点，作出如图所示的函数的图象，
函数有5个不同的零点，则方程，
即有5个不相等实数根，
也即是和共有5个不相等实数根，
其中有唯一实数根，
只需有4个且均不为-2的不相等实数根，由图可知，
即实数的取值范围为.
故选：C.
2．B
【分析】先利用导函数得出函数在上单调递增，将关于的方程有两个不等实根转化为关于的方程有两个不等实根；再数形结合得出，；最后构造函数，并利用导数求出该函数的最大值即可.
【详解】由可得：
函数的定义域为，，
所以函数在上单调递增.
令.
因为关于的方程有两个不等实根，，
则关于的方程有两个不等实根，.
作出函数的图象，如图所示：
.
所以结合图形可知.
由可得：，，
解得：，即有.
设，
则.
令，得：；令，得：，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质、方程的根与函数图象交点问题等.解题关键在于先利用换元法和函数的单调性将已知条件进行转化；再利用数形结合思想和导数即可求解.
3．ACD
【分析】利用的奇偶性可判断A选项；将函数的零点问题转化为函数图像的交点问题，再利用导数和基本不等式确定切线斜率的取值范围，进而得实数的取值范围，即可判断B选项；由来可判断C选项；由得，进而等价于，令，用导数证明，即可判断D选项.
【详解】函数定义域为R，
，
所以是奇函数，则，
又因为有三个零点且，，
所以，，即，故A选项正确；
，得，
令，则，所以在R上增函数，
要使函数有3个零点，与的图象有3个交点，如图：

又，
当且仅当时取等号，即，
所以，故B错误；
，故C选项正确；
由得，又，
要使成立，则成立，
令，，
所以在单调递增，则，
于是，则，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
4．CD
【分析】由函数的图象与的图象有两个不同的交点，转化为方程有两个不同的根，构造函数，分类讨论求出 的范围，判断选项.
【详解】函数的图象与的图象有两个不同的交点，则方程有两个不同的根，
即有两个不同的根，
构造函数，
则.
①若，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
又，取实数满足且，则有，所以有两个零点.
②若，当时，在上单调递增，
当时，，故，故不存在两个零点，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
又当时，故，故不存在两个零点，综上得，
故选：CD
【点睛】关键点点睛：当时，在时恒小于0，一定不存在零点，可减少讨论情况.
5．．
【分析】令，则有，将问题转化为半圆与直线有两个交点，作出图象，结合图象求解即可．
【详解】令，
则，所以，
又因为，即为，表示单位圆位于轴上及上方部分；
而，表示过点且斜率为的直线，
所以将问题转化为半圆与直线有两个交点，
当直线与半圆相切时；，解得，
当直线过点时，则有，解得，
综上，．
故答案为：．
6．
【分析】借助换元法，设，可得，令可得，再令，借助对勾函数性质即可得的单调性及其值域，若恰有两个不同的实数根、，可得，即可得的取值范围.
【详解】设，则，则，
令，显然,则有，令，
由对勾函数性质可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
又，，
若恰有两个不同的实数根、，且，则，
令，解得或，故，
即有，故.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在与使用换元法及参变分离的方式，得到，再设出函数，结合对勾函数的性质得到的性质，从而借助的性质研究的解的个数，即可得到的取值范围.
反思提升：
(1)已知函数的零点求参数，主要方法有：①直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；②数形结合；③分离参数，转化为求函数的最值.
(2)已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.
(3)函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题，通过画图分析图象的特征、图象间的关系解决问题，提升直观想象核心素养.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·广东梅州·二模）三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知是函数的一个零点，若，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（21-22高一下·湖北·阶段练习）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，下列说法正确的有（ ）
A．是满足精度为的近似值.
B．是满足精度为的近似值
C．是满足精度为的近似值
D．是满足精度为的近似值
二、多选题
5．（2024·贵州遵义·一模）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数有且仅有一个零点 B．函数是奇函数
C．在上单调递减 D．函数的最小值为
6．（2022·重庆九龙坡·模拟预测）下列选项中说法正确的是（ ）
A．若幂函数过点，则
B．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，，则方程的根落在区间上
C．某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩近似服从正态分布，且，若该校学生参加此次检测，估计该校此次检测成绩不低于分的学生人数为
D．位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有种
7．（2022·广东·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数的最小正周期为，则其图象关于直线对称
B．若函数的最小正周期为，则其图象关于点对称
C．若函数在区间上单调递增，则的最大值为2
D．若函数在有且仅有5个零点，则的取值范围是
三、填空题
8．（2021·福建三明·三模）函数零点的一个近似值为 .（误差不超过0.25）
备注：自然对数的底数.
9．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数在内恰有3个零点，则的取值范围是 ．
10．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ．
四、解答题
11．（2024·广东·一模）已知，函数.
(1)求的单调区间.
(2)讨论方程的根的个数.
12．（21-22高一上·湖北武汉·期中）已知函数（为常数），若1为函数的零点.
(1)求的值；
(2)证明函数在上是单调增函数；
参考答案：
1．B
【分析】先判断各函数的单调性，再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案.
【详解】因为函数，，，都是增函数，
所以函数，，均为增函数，
因为，
所以函数的零点在上，即，
因为，
所以函数的零点在上，即，
因为，
所以函数的零点在上，即，
综上，．
故选：B．
2．D
【分析】利用数形结合判定函数值大小即可.
【详解】令．从而有，此方程的解即为函数的零点．
在同一坐标系中作出函数与的图象，如图所示．
由图象易知，，从而，故，即．
同理．
故选：D

3．A
【分析】
根据平移变换得到，且，结合函数零点个数得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】，
由题意得，故当时，，
显然当，即为的一个零点，
要想在上恰有三个不同的零点，
若，解得，
若，无解，
若，无解.
故选：A
4．B
【分析】根据二分法基本原理满足判断即可.
【详解】，又
A错误；
，又，
满足精度为的近似值在内，则B正确，D错误；
， C错误.
故选：B.
5．CD
【分析】求出函数零点判断A；由奇函数定义判断B；由分段函数的单调性判断C；求出最小值判断D.
【详解】函数，
对于A，由，得或，A错误；
对于B，，而，，函数不是奇函数，B错误；
对于C，函数在上单调递减，在上单调递减，且，
因此在上单调递减，C正确；
对于D，当时，，当时，，当且仅当时取等号，
因此函数的最小值为，D正确.
故选：CD
6．ABC
【分析】幂函数定义求出m，代入点求出，判断A选项；零点存在性定理判断B选项；根据正态分布的对称性进行求解，进而判断C选项，根据分步计数原理得到不同的报名方法，进而判断出D选项.
【详解】由幂函数定义得：，将代入，，，故，A正确；
由零点存在性定理，方程的根落在区间上，B正确；
由正态分布的对称性可知：，故，故估计该校此次检测成绩不低于分的学生人数为，C正确；
位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有种，D错误.
故选：ABC
7．ACD
【分析】根据最小正周期可以计算出，便可求出对称轴和对称点，可判断A、B选项；根据正弦型函数的单调性可以推出的值，可判断C选项；根据零点情况可以求出的取值范围，可判断D选项.
【详解】选项：的最小正周期为
，故正确；
B选项：的最小正周期为
，故B错误；
C选项：
又函数在上单调递增
，故C正确；
D选项：
又在有且仅有个零点，则，故D正确.
故选：ACD
8．（可填中的任一实数）
【分析】按照二分法求零点近似值的步骤可求得结果.
【详解】因为，，，
所以在内有零点，此时，不满足精确度，
因为，，
所以在内有零点，此时，不满足精确度，
因为，，
所以在内有零点，此时，符合精确度，
所以函数零点的一个近似值为，
故答案为：（可填中的任一实数）
9．
【分析】先由的取值范围求出的取值范围，再由题意结合正弦函数的性质求解即可.
【详解】由时，所以，
当时，令，解得，
又因为在上仅有三个零点，
因此，解得.
故答案为：.
10．
【分析】即导函数在在区间内有零点.
【详解】由题意知，
因为在区间上不单调，
即在区间有零点，
又，即为的零点在区间内，
所以解得，即m的取值范围是．
故答案为：
11．(1)减区间为：，；增区间为：.
(2)
【分析】（1）求导，利用导函数的符号可确定函数的单调区间.
（2）利用函数的单调性，确定函数值的符号和最值，可确定方程零点的个数.
【详解】（1）因为（）.
所以：.
由，又函数定义域为，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增.
（2）因为，所以：当时，，方程无解；
当，函数在上递减，在递增，
所以，所以方程无解.
综上可知：方程的根的个数为.
12．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据零点定义，可知，即可求；
（2）根据函数单调性的定义，即可证明.
【详解】（1）因为1为函数的零点，所以，即；
（2）证明：设，则，
因为，所以，
所以，即函数在上是单调增函数.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·广东茂名·二模）若为上的偶函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
二、多选题
2．（2023·安徽马鞍山·三模）已知函数的零点为，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
3．（2024·云南昆明·三模）过点可以向曲线作条切线，写出满足条件的一组有序实数对
四、解答题
4．（2024·湖南长沙·模拟预测）设n次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式.
(1)若切比雪夫多项式，求实数a，b，c，d的值；
(2)对于正整数时，是否有成立？
(3)已知函数在区间上有3个不同的零点，分别记为，证明：.
参考答案：
1．A
【分析】数形结合，函数与在区间上的交点横坐标即为的零点，根据对称性即可求零点之和.
【详解】若为上的偶函数，则，且，
则的周期，
当时，，
则当时，，即可画出函数的图象；
函数周期是2，最大值为3，把函数在下方图象翻折到轴上方。
与在区间上一共有10个交点，
且这10个交点的横坐标关于直线对称，
所以在区间的的有零点的和是20.
故选：A
2．ABD
【分析】求导，利用导数判断的单调性，结合零点存在性定理可得，进而逐项分析判断.
【详解】由题意可得：的定义域为，且，
因为，所以函数在上单调递增，
对于A：因为，所以，故A正确；
对于B：因为，
所以，故B正确；
对于C：因为，则，，所以，故C错误；
对于D：因为，所以，故D正确．
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：
（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
（2）求导数，得单调区间和极值点；
（2）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．
3．（答案不唯一）
【分析】设切点坐标为，利用导数表示出切线方程，代入点，通过构造函数，研究新函数的单调性和极值，对的取值范围进行讨论，得到解的个数，可得对应的切线条数.
【详解】，，
设所求切线的切点坐标为，则切线斜率为，
得切线方程为，
由切线过点，有，
化简得，
设，则，
，解得或；，解得，
在和上单调递减，在上单调递增，
极大值，极小值，
且或时，时，，
的函数图象如图所示，
则当时，无解，；当或时， 有一个解，；
当或时，有两个解， ；当时，有三个解， .
故答案为：（答案不唯一）
4．(1)
(2)成立
(3)证明见解析
【分析】（1）利用展开计算，根据切比雪夫多项式可求得；（2）要证原等式成立，只需证明成立即可，利用两角和与差的余弦公式可证结论成立；
（3）由已知可得方程在区间上有3个不同的实根，令，结合（1）可是，可得，计算可得结论.
【详解】（1）依题意，
，
因此，即，则，
（2）成立.
这个性质是容易证明的，只需考虑和差化积式.
首先有如下两个式子：
，
，
两式相加得，，
将替换为，所以.
所以对于正整数时，有成立.
（3）函数在区间上有3个不同的零点，
即方程在区间上有3个不同的实根，
令，由知，而，则或或，
于是，
则，
而，
所以.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知，，则下面正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的单调递减区间为
B．
C．若方程有6个不等实数根，则
D．对任意正实数，且，若，则
三、填空题
3．（2024·湖南·二模）函数在范围内极值点的个数为 .
参考答案：
1．D
【分析】构造函数，，结合零点的存在性定理可得，，即可逐项判断.
【详解】令，由，故，
由与在上单调递增，故在上单调递增，
又，，故，故B错误；
令，
由函数的图象及的图象可得在上只有一个零点，
由，故，
又，
，故，故C错误；
有，故A错误；，故D正确.
故选：D.
2．BCD
【分析】对于A，分析导函数即得递减区间，不能用“并”连接；对于B，由推理得，利用函数单调性比较即得；对于C，分析函数的奇偶性，分段讨论函数的单调性和图象趋势，得图象简图，结合图象判断两函数交点个数即得；对于D，设函数，构造函数并判断其单调性，利用单调性得出即可.
【详解】函数的定义域为，，
对于A，由可得或，由可得，
即函数的单调递减区间为和，故A错误；
对于B，由A得，函数在上单调递增，
因，，
故，即B正确；
对于C，易知为偶函数，当时，，
由A项知，函数的单调减区间为和，增区间为.
又当时，，当时，，
当时，，时，，
当时，，当时，，时，，
故函数的图象如图所示.

由图可得，直线与函数有6个不同交点，等价于，故C正确；
对于D，由图，不妨设，由可得，
即，不妨取，
设，
则，
则当时，，故，在上单调递增，
又，又，，即.
因，则，当时，，在上单调递减，
因，故得，即，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的零点和单调性应用,属于难题.
解决该题的关键，在于对函数的图象性质的探求，通过奇偶性单调性判断，作出简图，利用函数零点与方程的根、两函数的图象交点的关系转化解决；同时要根据待证不等式特征，设法构造对应的函数，利用该函数的单调性实现相关量的比较即得.
3．2
【分析】依题意可知，利用三角函数值域以及复合函数单调性求得的零点个数即可得出结论.
【详解】易知.
当时，；当时，；
当时，和均为单调减函数，
令，则，
当时，恒成立，
所以在上是单调增函数，
根据复合函数单调性可知为减函数，又，
易知，由零点存在定理可得函数在上存在一个零点，
同理可得，所以函数在上存在一个零点，
结合的正负情况，的零点为函数的极值点，
因此函数在内一共有2个极值点.
故答案为：2
【点睛】方法点睛：求解函数极值点个数问题时往往利用极值点定义，由导函数单调性和零点存在定理求导函数的变号零点个数即可得出原函数的极值点个数.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题13 函数与方程（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 2
【考点突破】 3
【考点1】函数零点所在区间的判断 3
【考点2】函数零点个数的判定 4
【考点3】函数零点的应用 6
【分层检测】 7
【基础篇】 7
【能力篇】 9
【培优篇】 9
考试要求：
1.理解函数的零点与方程的解的联系.
2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解.
1.函数的零点
(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
2.函数零点存在定理
(1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.
(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.
2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.
一、单选题
1．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2023·全国·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A． B．
C． D．
三、填空题
4．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
5．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
6．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 .
【考点1】函数零点所在区间的判断
一、单选题
1．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知函数，若存在，使得，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．在内有零点 D．若在内有零点，则
2．（2024·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（ ）
A． B．或.
C． D．或.
二、多选题
3．（2022·福建三明·模拟预测）已知函数在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a的取值可以为（ ）
A．－1 B．2 C．3 D．4
4．（2024·广东广州·二模）已知函数，则（ ）
A．的定义域为 B．的图像在处的切线斜率为
C． D．有两个零点，且
三、填空题
5．（2023·广东深圳·一模）定义开区间的长度为．经过估算，函数的零点属于开区间 （只要求写出一个符合条件，且长度不超过的开区间）．
6．（22-23高三下·浙江杭州·阶段练习）函数在区间上存在零点，则的最小值为 .
反思提升：
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.
【考点2】函数零点个数的判定
一、单选题
1．（2024·四川内江·三模）若函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数，若关于x的方程的不同实数根的个数为6，则a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·安徽安庆·三模）已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上单调递增
C．函数的最大值为
D．若方程在上有且仅有8个不同的实根，则
4．（2024·河北保定·二模）已知函数，函数，且，定义运算设函数，则下列命题正确的是（ ）
A．的最小值为
B．若在上单调递增，则k的取值范围为
C．若有4个不同的解，则m的取值范围为
D．若有3个不同的解，，则
三、填空题
5．（2024·湖北·二模）已知函数（，）的最小正周期为T，，若在内恰有10个零点则的取值范围是 ．
6．（2024·山东泰安·三模）已知函数若曲线与直线恰有2个公共点，则的取值范围是 .
反思提升：
函数零点个数的判定有下列几种方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
【考点3】函数零点的应用
一、单选题
1．（2024·四川·模拟预测）己知函数若函数有5个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数，，若关于的方程有两个不等实根，且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数恰有三个零点，，，且，则（ ）
A． B．实数的取值范围为
C． D．
4．（23-24高三上·河北·期末）已知函数，若函数的图象与的图象有两个不同的交点，则实数的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2024·安徽黄山·二模）若函数有两个零点，则实数的取值范围是 .
6．（2024·天津·一模）若函数恰有两个不同的零点，且，则的取值范围为 ．
反思提升：
(1)已知函数的零点求参数，主要方法有：①直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；②数形结合；③分离参数，转化为求函数的最值.
(2)已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.
(3)函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题，通过画图分析图象的特征、图象间的关系解决问题，提升直观想象核心素养.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·广东梅州·二模）三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知是函数的一个零点，若，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（21-22高一下·湖北·阶段练习）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，下列说法正确的有（ ）
A．是满足精度为的近似值.
B．是满足精度为的近似值
C．是满足精度为的近似值
D．是满足精度为的近似值
二、多选题
5．（2024·贵州遵义·一模）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数有且仅有一个零点 B．函数是奇函数
C．在上单调递减 D．函数的最小值为
6．（2022·重庆九龙坡·模拟预测）下列选项中说法正确的是（ ）
A．若幂函数过点，则
B．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，，则方程的根落在区间上
C．某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩近似服从正态分布，且，若该校学生参加此次检测，估计该校此次检测成绩不低于分的学生人数为
D．位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有种
7．（2022·广东·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数的最小正周期为，则其图象关于直线对称
B．若函数的最小正周期为，则其图象关于点对称
C．若函数在区间上单调递增，则的最大值为2
D．若函数在有且仅有5个零点，则的取值范围是
三、填空题
8．（2021·福建三明·三模）函数零点的一个近似值为 .（误差不超过0.25）
备注：自然对数的底数.
9．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数在内恰有3个零点，则的取值范围是 ．
10．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ．
四、解答题
11．（2024·广东·一模）已知，函数.
(1)求的单调区间.
(2)讨论方程的根的个数.
12．（21-22高一上·湖北武汉·期中）已知函数（为常数），若1为函数的零点.
(1)求的值；
(2)证明函数在上是单调增函数；
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·广东茂名·二模）若为上的偶函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
二、多选题
2．（2023·安徽马鞍山·三模）已知函数的零点为，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
3．（2024·云南昆明·三模）过点可以向曲线作条切线，写出满足条件的一组有序实数对
四、解答题
4．（2024·湖南长沙·模拟预测）设n次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式.
(1)若切比雪夫多项式，求实数a，b，c，d的值；
(2)对于正整数时，是否有成立？
(3)已知函数在区间上有3个不同的零点，分别记为，证明：.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知，，则下面正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的单调递减区间为
B．
C．若方程有6个不等实数根，则
D．对任意正实数，且，若，则
三、填空题
3．（2024·湖南·二模）函数在范围内极值点的个数为 .
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑