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1.3带电粒子在匀强磁场中的运动学案
【学习目标】
1.理解带电粒子的初速度方向与磁感应强度的方向垂直时，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。
2．会推导带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径、周期公式，知道它们与哪些因素有关，并能熟练应用。
【学习重难点】
重点：带电粒子在匀强磁场中的运动规律
难点：通过对规律的应用认识回旋加速器和质谱仪
【预习新知】
带电粒子在匀强磁场中的运动
1．洛伦兹力的特点
(1)洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说，洛伦兹力对带电粒子不做功。
(2)洛伦兹力方向总与速度方向垂直，正好起到了向心力的作用。
2．带电粒子在匀强磁场中的运动
(1)运动特点：沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动。
(2)半径和周期公式
质量为m、带电荷量为q、速率为v的带电粒子，在磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。
①半径：由qvB＝m得r＝。
②周期：由T＝得T＝。
由此可知带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期跟速率v和半径r无关。
带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期
[情境导学]
垂直射入磁场的带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，圆周的半径可能与哪些因素有关？周期可能与哪些因素有关？
提示：半径可能与带电粒子电荷量、质量、速度以及磁感应强度有关。
周期可能与带电粒子的电荷量、质量以及磁感应强度有关。
[知识梳理]
1．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径
(1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径与它的质量、速度成正比，与电荷量、磁感应强度成反比。
(2)公式：r＝。
2．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期
(1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期跟轨道半径和运动速度无关。
(2)公式：T＝。
【重难探究】
知识点一、带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的分析方法
研究带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的问题，应遵循“一找圆心，二找半径，三找周期”的基本思路。具体如下。
(1)轨迹圆心的两种确定方法．
①已知粒子运动轨迹上两点的速度方向时，作这两速度的垂线，交点即为圆心，如图所示．
②已知粒子轨迹上的两点和其中一点的速度方向时，画出粒子轨迹上的两点连线(即过这两点的圆的弦)，作它的中垂线，并画出已知点的速度的垂线，则弦的中垂线与速度的垂线的交点即为圆心，如图所示．
(2)三种求半径的方法．
①根据半径公式r＝求解．
②根据勾股定理求解，如图所示，若已知出射点相对于入射点侧移了x，则满足r2＝d2＋(r－x)2.
③根据三角函数求解，如图所示，若已知出射速度方向与水平方向的夹角为θ，磁场的宽度为d，则有关系式r＝.
(3)四种角度关系．
①速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)．
②圆心角α等于AB弦与速度方向的夹角(弦切角θ)的2倍(φ＝α＝2θ＝ωt)．
③相对的弦切角(θ)相等，与相邻的弦切角(θ′)互补，即θ＋θ′＝180°，如图3 6 5所示．
④进出同一直边界时速度方向与该直边界的夹角相等．
(4)两种求时间的方法．
①利用圆心角求解，若求出这部分圆弧对应的圆心角，则t＝T.
②利用弧长s和速度v求解，t＝.
知识点二、带电粒子在有界磁场中的运动
1、直线边界（如图所示）
粒子进入磁场时的速度，垂直于边界时，出射点距离入射点最远，且入射点和出射点的距离，如图甲所示；同一出射点，可能对应粒子的两个入射方向，且一个“优弧”，一个“劣弧”，如图乙、丙中的出射点A。
2、平行边界（如图所示）
3、相交直边界（如图所示）
4、圆边界（如图所示）
（1）粒子沿圆形区域匀强磁场的半径方向垂直射入磁场，必沿半径方向射出磁场，如图甲所示。
（2）粒子射入磁场的速度方向与入射点和磁场圆心连线的夹角等于射出磁场的速度方向与出射点和磁场圆心连线的夹角，如图乙所示。
知识点三、带电粒子在复合场中的运动
带电粒子在复合场中的受力特点
复合场通常指电场与磁场在某一区域并存或电场、磁场和重力场在某一区域并存的情况。
重力：若为基本粒子（如电子、质子、粒子、离子等）一般不考虑重力；若为带电颗粒（如液滴、油滴、小球、尘埃等）一般需要考虑重力。
电场力：带电粒子在电场中一定受到电场力的作用，在匀强电场中，电场力为恒力，大小为F=qE。电场力的方向与电场的方向相同或相反。电场力做功与路径无关，只与初末位置的电势差有关，电场力做工一定伴随着电势能的变化。
洛伦兹力：带电粒子在磁场中受到的洛伦兹力与运动的速度（大小、方向）有关，洛伦兹力的方向始终和磁场方向垂直，又和速度方向垂直，故洛伦兹力不做功，也不会改变带电粒子的动能。
带电粒子在复合场中的几种运动形式
在复合场中受到洛伦兹力的带电粒子，作直线运动时，所受的合力必为0，且一定做匀速直线运动。
当带电粒子所受重力和电场力等大、反向，洛伦兹力提供向心力时，带电粒子做匀速圆周运动。
当带电粒子连续通过几个不同的场区时，带电粒子的受力情况和运动情况会发生相应的变化，其运动过程分别由几个不同的运动阶段组成。
【巩固训练】
1.一个电子以某速度从a点出发，通过两个方向垂直纸面的有界匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ到达b点，路径如图所示，电子在每个区域内的轨迹都是半圆。下列说法正确的是( )
A.两个磁场的方向相同
B.电子在区域Ⅰ中运动的时间较长
C.电子以相同的速度大小从b点反向出发可返回a点
D.质子以与电子大小相同的动量从b点反向出发可到达a点
2.正电子发射计算机断层扫描是核医学领域较先进的临床检查影像技术，使用作为原料产生正电子，其反应方程式为。真空中存在垂直于纸面的匀强磁场，某个静止的原子核在其中发生衰变，生成的硼核及正电子运动轨迹及方向如图所示，则( )
A.正电子动量大于硼核动量 B.空间中磁场方向垂直纸面向外
C.半径较大的轨迹是正电子轨迹 D.正电子运动周期大于硼核周期
3.带电粒子进入云室时，可以在云室中显示其运动轨迹。在云室中加上匀强磁场，一垂直磁场方向射入云室的带正电粒子运动轨迹如图所示，由于带电粒子运动过程中受到阻力的作用，因此带电粒子的动能逐渐减小，下列说法正确的是( )
A.磁场垂直纸面向外，从A点运动到B点
B.磁场垂直纸面向外，从B点运动到A点
C.磁场垂直纸面向里，从A点运动到B点
D.磁场垂直纸面向里，从B点运动到A点
4.如图所示，在以半径为R和2R的同心圆为边界的区域中，有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。在圆心O处有一粒子源（图中未画出），在纸面内沿各个方向发射出比荷为的带负电的粒子，粒子的速率分布连续，忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用力，已知，。若所有的粒子都不能射出磁场，则下列说法正确的是( )
A.粒子速度的最大值为
B.粒子速度的最大值为
C.某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况）
D.某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况）
5.如图所示，正方形区域abcd内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一带电粒子从ad边的中点M以速度v垂直于ad边射入磁场，并恰好从ab边的中点N射出磁场。不计粒子的重力，下列说法正确的是( )
A.粒子带负电
B.若粒子射入磁场的速度增大为，粒子将从a点射出
C.若粒子射入磁场的速度增大为，粒子将从b点射出
D.若粒子射入磁场的速度增大为，粒子在磁场中的运动时间将变短
6.利用如图所示装置可以选择一定速度范围内的带电粒子。图中板MN上方是磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上有两条宽度分别为2d和d的缝，两缝近端相距为L。一群质量为m、电荷量为q、速度不同的粒子，从宽度为2d的缝垂直于板MN进入磁场，对于能够从宽度为d的缝射出的粒子，下列说法正确的是( )
A.射出粒子带正电
B.射出粒子的最大速度为
C.保持d和L不变，增大B，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大
D.保持d和B不变，增大L，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大
7.如图所示，水平直线边界的上方空间内有方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，长为、与平行的挡板到的距离为d，边界上的S点处有一电子源，可在纸面内向上方各方向均匀的发射电子。已知电子质量为m、电荷量为e，速度大小均为的连线与垂直，不计电子之间的作用力，则挡板的上表面与下表面被电子击中部分的长度之比为( )
A. B.1 C. D.
8.如图所示，两个同心圆之间的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，两个同心圆的半径分别为a和3a，圆心处有一粒子源，能发射速度为v的粒子，粒子的质量为m，电荷量为q，忽略重力。若粒子均被限制在图中实线圆围成的区域内，则磁感应强度最小值为( )
A. B. C. D.
9.圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，其运动轨迹如图所示。若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是( )
A.a粒子速率最小，在磁场中运动时间最长
B.c粒子速率最大，在磁场中运动时间最长
C.a粒子速度最小，在磁场中运动时间最短
D.c粒子速率最小，在磁场中运动时间最短
10.如图所示，有界匀强磁场边界线，速率不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场。其中穿过a点的粒子速度与MN垂直；穿过b点的粒子速度与MN成60°角，设粒子从S运动到a、b所需时间分别为和，则为（重力不计）( )
A.1:3 B.4:3 C.1:1 D.3:2
参考答案
1.答案：D
解析：A.由左手定则知区域Ⅰ磁场方向垂直纸面向里，区域Ⅱ磁场方向垂直纸面向外，故A错误；
B.洛伦兹力不做功，所以电子在两磁场运动速度大小相等，由洛伦兹力提供向心力有
解得
由图可知，电子在区域Ⅱ磁场的半径较大，则区域Ⅱ磁场磁感应强度较小，又有
得
可知，电子在区域Ⅱ磁场运动的周期较大，因为电子在两磁场区域都是运动半圆，所以时间都为
可知，电子在区域Ⅱ磁场运动的时间较长，故B错误；
C.电子以相同的速度大小从b点反向出发，经过区域Ⅱ时由左手定则知受到的洛伦兹力向下，所以电子不能返回a点，故C错误；
D.质子与电子的电荷量相等，若质子以与电子大小相同的动量进入磁场，由
得
可知它们在磁场运动的半径相等，所以质子从b点反向出发可到达a点。故D正确。
故选D。
2.答案：C
解析：A.静止的原子核在其中发生衰变，生成的硼核及正电子，由动量守恒定律可得
可知正电子动量大小等于硼核动量，故A错误；
C.由，解得
可知半径较大的轨迹是电荷量小的正电子轨迹，故C正确；
B.由硼核及正电子运动方向，根据左手定则可知空间中磁场方向垂直纸面向里，故B错误；
D.硼核的比正电子的大，由可知正电子运动周期小于硼核周期，故D错误。故选C。
3.答案：B
解析：根据题意，由牛顿第二定律有
解得
可知，粒子的速度越小，半径越小，由于粒子做减速运动，则粒子从B点运动到A点，根据运动轨迹，由左手定则可知，磁场垂直纸面向外。
故选B。
4.答案：C
解析：AB.根据洛伦兹力提供向心力
可得粒子的运动半径为
可知粒子速度最大时，运动半径最大，做出粒子的运动轨迹如图所示
根据几何关系有
联立解得
故AB错误；
CD.某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，即粒子速度最大时，根据几何关系有
解得其在磁场中运动的时间为
故C正确；D错误。
故选C。
5.答案：D
解析：A.根据左手定则可知粒子带正电。故A错误；
BC.根据
解得
设正方形边长为L，粒子以速度v和速度2v进入磁场，有
轨迹如图
可知若粒子射入磁场的速度增大为，射出的位置在Nb之间。故BC错误；
D.根据C选项分析可知，若粒子射入磁场的速度增大为，则在磁场中运动的轨迹所对应的圆心角将变小，由
又
粒子在磁场中的运动时间将变短。故D正确。
故选D。
6.答案：C
解析：
7.答案：A
解析：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有得做出粒子从不同方向射出的轨迹，如图
则挡板的上表面被电子击中部分为，根据几何关系可得下表面被电子击中部分长度为，则
8.答案：C
解析：当粒子在磁场中的运动轨迹和外圆相切时，粒子在图中实线圆围成的区域内运动的半径最大，磁感应强度最小，粒子的运动轨迹如图
令粒子在磁场中运动的半径为r，根据几何知识有
所以粒子的最大半径为
因为
所以
故选C。
9.答案：A
解析：从图中可知
根据洛伦兹力提供向心力
可得a粒子速率最小，从图中可得三个轨迹的圆心角
在磁场中的运动时间
而运动周期
与速度大小无关，即三者的运动周期相同，所以轨迹所对圆心角越大，运动时间越长，故a粒子在磁场中运动时间最长。
故选A。
10.答案：D
解析：粒子在磁场中运动的周期的公式为，由此可知，粒子的运动的时间与粒子的速度的大小无关，所以粒子在磁场中的周期相同，由粒子的运动的轨迹可知，通过a点的粒子的偏转角为90°，通过b点的粒子的偏转角为60°，所以通过a点的粒子的运动的时间为，通过b点的粒子的运动的时间为，所以从S到a、b所需时间为3:2。

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