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湖北省宜荆荆2024届高三5月适应性测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是( )
A. B.
C. D.
2.从一个容量为的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是( )
A. B. C. D.
3.复数在复平面内分别对应点A，B，，将点A绕原点O按顺时针方向旋转得到点B，则( )
A. B. C. D.
4.如果一个等差数列前10项的和为54，最后10项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )
A. 36项 B. 37项 C. 38项 D. 39项
5.直线与圆交于M、N两点，O为坐标原点，则( )
A. B. C. 1 D. 2
6.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积单位：分别为x，y，z，且，三种颜色涂料的粉刷费用单位：元分别为a，b，c，且在不同的方案中，最低的总费用单位：元是( )
A. B. C. D.
7.互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法( )
A. 24种 B. 36种 C. 42种 D. 48种
8.设，其中，则D的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.设U为全集，集合A、B、C 满足条件，那么下列各式中不一定成立的是( )
A. B.
C. D.
10.在中，A，B，C所对的边为a，b，c，设BC边上的中点为M，的面积为S，其中，，下列选项正确的是( )
A. 若，则 B. S的最大值为
C. D. 角A的最小值为
11.对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如与9互质，则( )
A. 若 n为质数，则 B. 数列单调递增
C. 数列的最大值为1 D. 数列为等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数为偶函数，则__________.
13.已知椭圆：，，若对于椭圆上任意两个关于原点对称的点，有恒成立，则实数a的取值范围是__________.
14.祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求体积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等.由曲线围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
设是正数组成的数列，其前n项和为，已知与2的等差中项等于与2的等比中项.
求数列的通项公式；
令，求的前n项和.
16.本小题15分
如图，在三棱锥中，侧面底面ABC，，是边长为2的正三角形，，分别是的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为
证明：直线平面PAC；
设点Q在直线l上，直线PQ与平面AEF所成的角为，异面直线PQ与EF所成的角为，求当AQ为何值时，
17.本小题15分
已知函数，其中a为整数且记为的极值点，若存在两个不同的零点：
求a的最小值；
求证：；
18.本小题17分
已知抛物线的焦点为F，H为E上任意一点，且的最小值为
求抛物线E的方程；
已知P为平面上一动点，且过P能向E作两条切线，切点为，，记直线的斜率分别为，且满足
①求点P的轨迹方程；
②试探究：是否存在一个圆心为，半径为的圆，使得过P可以作圆Q的两条切线，切线分别交抛物线E于不同的两点和点，且为定值？若存在，求圆Q的方程，不存在，说明理由.
19.本小题17分
龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可选择A和B两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券情况．
日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
销售量千张
经计算可得：，，
因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y和日期t呈线性关系，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程结果中的数值用分数表示；
若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐可以用一张优惠券，B套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求；
记中所得概率的值构成数列
①求的最值；
②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，是一个确定的实数，则称数列收敛于根据数列收敛的定义证明数列收敛．
参考公式：，
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查的是终边相同的角的表示，属于基础题.
根据题意，分为第一象限角和第三象限角时，求出的取值集合再求并集．
【解答】
解：根据题意，角的终边在直线上，
为第一象限角时，，；
为第三象限角时，，；
综上，角的取值集合是
故选：
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查简单随机抽样，分层抽样，属基础题．
由简单随机和随机抽样，每个个体被抽中的概率相等的特点可得答案．
【解答】
解：随机抽样每个个体被抽到的概率相等，
选取分层抽样抽取样本时总体中每个个体被抽中的概率仍为，
故选
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了复数几何意义的应用，属于基础题.
根据题意写出点B的坐标即可得解.
【解答】
解：易得点，将点A绕原点O顺时针旋转得到点，
所以，
故选
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列的性质和等差数列的前n项和公式，属于中档题.
先根据题意求出的值，再把这个值代入求和公式，进而求出数列的项数
【解答】
解：依题意 ， ，
，
，
，
，
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的数量积运算，韦达定理，考查了计算能力，属于中档题．
可将代入得出：，然后可设，，，求解出k的范围，从而根据韦达定理可求出，进而得出，最后便可得出的值．
【解答】
解：联立得，
则，即所以，
设，，则：，，
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质，涉及作差法比较不等式的大小，属基础题.
结合选项，通过作差法比较大小即可．
【解答】
解：由，，得，
故
，
故
，
故，
故最低的总费用为
故选
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查排列、组合以及分步计数原理的应用，属于中档题.
由题意得对红菊花所处位置进行分类，每一类根据分步计数原理可得.
【解答】
解：红菊花在正中间位置时，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，
即红菊花两边各一盆白色，黄色菊花，故有；
红菊花在首位或者尾端时，先排好白菊花，产生三个空再对黄菊花分类排即可，
故；
红菊花在第2或者第4位置时，先给首位或者尾端任意放一种，剩下的3盆花位置就确定了，
故；
综上，共有种摆放方法；
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的最值及导数的几何意义，考查数形结合思想的应用，属于较难题.
令 ， ，则 可转化为曲线 上的点P与曲线 上的点Q之间的距离与P到直线 的距离之和，据此利用导数和三角形不等式即可求解.
【解答】
解：令 ， ，
则点 Q在函数 图象上， P在函数 的图象上，
容易知道 图像是抛物线 图像的上半部分，
记抛物线焦点为
过 P作抛物线的准线 l： 的垂线，垂足为 M，如图所示：
则设
当且仅当 P又在线段 FQ上时，取最小值.
设这时 Q点坐标为 ，
所以有 ，解得 ，即该点为
所以 ，
因此
9.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查集合运算及集合的关系，属于中档题，
结合举例及集合的运算和集合的关系求解即可.
【解答】
解：当，，，时，满足，
此时，，，所以A、B不一定成立；
，，所以C不一定成立；
对于D，若，则，但，因为，所以，于是，所以，
同理若，则，，
因此，成立，D成立.
故选
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查余弦定理、三角形面积公式的应用，是中档题.
由余弦定理、三角形面积公式以及向量的模的计算公式等相关知识，对各个选项逐一判断即可.
【解答】
解：若，由余弦定理，得，所以，
则三角形面积，A正确;
，即，
当且仅当时取等号，
此时，故，
所以三角形面积S的最大值为，B正确;
因为BC边上的中点为M，所以，
而，即
则，
所以
，故C正确;
D.因为，即，
所以由余弦定理得，所以
，D错误.
故选：
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查新定义，涉及数列的单调性和等比数列的判断，属于一般题.
利用新定义，结合数列的单调性和等比数列的定义逐个判断即可.
【解答】
解：因为 n为质数，故小于或等于 n的正整数中与 n互质的数的数目为 ，
故此时 ，故A正确.
因为 ，所以 ，
故数列 不是单调递增，故B错误.
小于等于 的正整数中与 互质的数为 ，
数目为 ，
所以 ，在时递减，
故当时，数列的最大值为1，故C正确.
小于等于 的正整数中与 互质的数的数为 ，
其数目为 ，
故 ，而 ，故数列 为等比数列，
故D正确.
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查偶函数的定义，以及对数的运算．属于基础题.
根据为偶函数得出，进而得出，
从而得出，从而得出a的值．
【解答】
解：为偶函数；
；
；
；
；
故答案为：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆与平面向量的综合问题，属于中档题.
不妨设，结合题意得到点坐标，进而得到向量，结合，及点在椭圆上，得到关于及的不等式，然后分类讨论求a的取值范围即可.
【解答】
解：不妨设，则，
所以，，
所以
恒成立，
即恒成立.
当时，恒成立；
当时，不等式等价于恒成立，
设，则恒成立，
又因为函数在上单调递减，所以，
所以即，
又因为，所以a的取值范围为
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆柱的体积，属于中档题.
利用题目条件，结合圆柱的体积，计算得结论.
【解答】
解：如图：
直线与y轴交于
由得，因此直线与直线交于B、C，且
由得，因此直线与双曲线交于A、D，且
因为线段AB与线段CD绕y轴旋转一周，得到一个圆环，且圆环的面积为，
所以由祖暅原理得曲线围成的图形绕 y轴旋转一周所得旋转体的体积与底面半径为2，高为8的圆柱的体积相等，
而底面半径为2，高为8的圆柱的体积为，因此
15.【答案】解：由题意，当时有，，
，解得： ，
整理得由此得，
，
整理得，由题意知 ，
即数列 为等差数列，其中，公差
，即通项公式为
令，
则，
故……
…，

【解析】本题考查通项公式求法，构造法求数列通项，裂项相消法求和，属于中档题．与2的等差中项等于与2的等比中项，推出Sn并由此得出，进而得的递推关系，从而推得数列的通项公式；
利用得到，并利用裂项相消法求和，进而得解．
16.【答案】证明：因为E，F分别是PC，PB的中点，则，
平面AEF，平面AEF，
从而平面AEF，
因为平面ABC，平面平面，则，
因为平面平面ABC，平面平面，，平面ABC，
则平面PAC，
所以直线平面PAC；
解：解法一：因为平面PAC，平面PAC，
则，
又，则，
因为为正三角形，E为PC的中点，
则，，AE、平面AEF，
从而平面AEF，
连接EQ，则，
因为，，则，
在中，，
在中，，
因为，则，得，
所以当时，
解法二：以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，过点C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则点，，
从而，，
设平面AEF的法向量，
则，
取，得
设点，则，
所以 ，

因为，则，得，
所以当时，
【解析】本题考查了线面垂直的判定、异面直线所成角和直线与平面所成角，属于中档题.
先得出，所以平面AEF，由线面平行的性质得，再由面面垂直的性质得出平面PAC，即可得证；
解法一：连接EQ，则，在中，在中，，因为，可得AQ的值.
解法二：以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，过点C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得.
17.【答案】解： ，
令 ，则
，
故 在 上调递增，
， ，
由零点存在性定理知，存在唯一的 ，使得 ，即 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
所以
若 存在两个不同的零点，则 ，即 ， a ，
由 知 ，所以 a 的最小值为
由题意 ，即
故 ，同理 .

【解析】本题主要考查函数的零点，以及函数的极值点，属于中等题.
首先求导，利用零点存在性定理求出函数的最小值
利用可知，，再化简即可得出结论.
18.【答案】解：设抛物线 E 的准线 ，
H 为抛物线上任意一点过 H 作 于点 ，
由抛物线的定义得： ，
所以当 H 与原点 O 重合时， ，所以 ，
所以抛物线 E 的方程为 ；
①设 ，过点 P 且斜率存在的直线
联立 ，消去 y ，整理得：
由题可知
是该方程的两个不等实根，由韦达定理， ，
又 ，
由 ，有 ，
因为 ，
所以点 P 的轨迹方程为 ；
②由①知
设 且
所以 式即为
又
由韦达定理， ，
所以 ，
又因为 和以圆心为 半径为1的圆相切，
所以 即
同理
所以 分别是方程 的两个根，
所以由韦达定理，
所以 ，
若 为定值，则 ，
又，，
所以圆 Q 的方程是

【解析】本题考查了抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、与抛物线有关的轨迹问题和抛物线中的定值问题，是较难题.
根据抛物线的几何性质结合的最小值为1得出p，可得抛物线E的方程；
①设 ，过点 P 且斜率存在的直线 与抛物线联立，由 ，得出，可得点 P 的轨迹方程；
②设 且根据直线与圆的位置关系求解即可.
19.【答案】解：剔除第10天数据的 ，
，
， ，
所以 ，
故 ，所以 .
由题意可知 ，
其中 ，
所以 ，
又 ，
所以 是首项为 1 的常数列，故 ，
所以 ，又 ，
所以 是以首项为 ，公比为 的等比数列，
故 ，即 ；
①当 n 为偶数时， 单调递减，最大值为 ；
当 n 为奇数时， 单调递增，最小值为 ；
综上：数列 的最大值为 ，最小值为 ；
②证明：对任意 总存在正整数 ，其中 表示取整函数，
当 时， ，
所以数列 收敛.

【解析】本题主要考查了线性回归方程的求解，考查了数列的递推式，属于较难题．
计算出新数据的相关数值，代入公式求出，的值，进而得到y关于t的回归方程；
由题意可知，其中，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；
①分n为偶数和n为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；
②利用数列收敛的定义证明．

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