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4.4 数学归纳法（精讲）
考点一 等式的证明
【例1】（2022·广西河池）用数学归纳法证明：（n为正整数）．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*).
2．（2021·全国·高二专题练习）已知n∈N*，求证1·22－2·32＋…＋(2n－1)·(2n)2－2n·(2n＋1)2＝－n(n＋1)(4n＋3)．
3．（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝(2n－1)·n.
考点二 不等式的证明
【例2】（2022·高二专题练习）用数学归纳法证明1+++…+≤+n(n∈N*).
【一隅三反】
1．（2022·全国·高二课时练习）证明不等式1＋＋＋…＋<2 (n∈N*)．
2．（2021·江苏·高二课时练习）证明：不等式，恒成立.
3．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：.
考点三 数列的证明
【例3】（2022·江西赣州）已知数列满足，前n项和．
(1)求，，的值并猜想的表达式；
(2)用数学归纳法证明（1）的猜想．
【一隅三反】
1．（2022·广西·桂林市第十九中学高二期中（理））设数列满足．
(1)求的值并猜测通项公式；
(2)证明上述猜想的通项公式．
2．（2022·广西·桂林市国龙外国语学校高二阶段练习（理））请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题：
①
②
已知数列的前项和为，且，_______.
(1)求；
(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
3．（2022·天津市）已知数列满足.
(1)写出，并推测的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．
考点四 整除问题
【例4-1】（2022·全国·高二课时练习）证明：当时，能被64整除．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高二课时练习）求证：能被整除．
2．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：对任意正整数能被9整除．
3．（2022·全国·高二课时练习）试用数学归纳法证明.
考点五 增项
【例5-1】（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）用数学归纳法证明时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】（2022·江西抚州·高二期中（理））利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，左边增加了（ ）
A．1项 B．k项 C．项 D．项
【一隅三反】
1．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·甘肃庆阳·高二期末（理））用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边增加了（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·陕西西安·高二期中（理））利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（ ）
A．项 B．项 C．k项 D．1项
4．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（理））用数学归纳法证明等式，从到左端需要增乘的代数式为（ ）
A． B．
C． D．
4.4 数学归纳法（精讲）
考点一 等式的证明
【例1】（2022·广西河池）用数学归纳法证明：（n为正整数）．
答案：证明见解析
【解析】证明：①当时，左边，右边，等式成立．
②假设当时，等式成立，
即，
那么当时，
．
故当时，等式也成立．
综上可知等式对任意正整数n都成立．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*).
答案：证明见解析
【解析】证明：（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝2(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立.
（2）假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3.
则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3，
即当n＝k＋1时，等式也成立.
由（1）（2）知，等式对任何n∈N*都成立.
2．（2021·全国·高二专题练习）已知n∈N*，求证1·22－2·32＋…＋(2n－1)·(2n)2－2n·(2n＋1)2＝－n(n＋1)(4n＋3)．
答案：证明见解析
【解析】(1)当n＝1时，左边＝4－18＝－14＝－1×2×7＝右边．
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时成立，即1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＝－k(k＋1)(4k＋3)．
则当n＝k＋1时，
1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＋(2k＋1)·(2k＋2)2－(2k＋2)·(2k＋3)2
＝－k(k＋1)(4k＋3)＋(2k＋2)[(2k＋1)(2k＋2)－(2k＋3)2]
＝－k(k＋1)(4k＋3)＋2(k＋1)·(－6k－7)＝－(k＋1)(k＋2)(4k＋7)
＝－(k＋1)·[(k＋1)＋1][4(k＋1)＋3]，
即当n＝k＋1时成立．
由(1)(2)可知，对一切n∈N*结论成立．
3．（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝(2n－1)·n.
答案：证明见解析
【解析】证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，
即1＋5＋9＋＋(4k－3)＝k(2k－1)．
则当n＝k＋1时，
左边＝1＋5＋9＋＋(4k－3)＋(4k＋1)
＝k(2k－1)＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝(2k＋1)(k＋1)
＝[2(k＋1)－1](k＋1)，
∴当n＝k＋1时，等式成立．
由①②知，对一切n∈N*，等式成立．
考点二 不等式的证明
【例2】（2022·高二专题练习）用数学归纳法证明1+++…+≤+n(n∈N*).
答案：证明见解析
【解析】(1)当n＝1时，左边右边，
即当n＝1时，原不等式成立，
(2)假设当n=k(k∈N*)时，原不等式成立，
即1+++…+≤+ k，
则当n=k+1时，
1+++…++++…+<+k+=+(k+1)，
即当n=k+1时，不等式成立，
综合(1)和(2)得，原不等式对所有的n∈N*都成立.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高二课时练习）证明不等式1＋＋＋…＋<2 (n∈N*)．
答案：证明见解析
【解析】当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．
假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即，
当n＝k＋1时，
，
所以当n＝k＋1时，不等式成立．
综上，原不等式对任意n∈N*都成立．
2．（2021·江苏·高二课时练习）证明：不等式，恒成立.
答案：证明见解析.
【解析】当时，成立
假设时，不等式成立
那么时
，，，
即时，该不等式也成立
综上：不等式，恒成立.
3．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：.
答案：证明见解析
【解析】先证明出，，即，
构造函数，
当时，则，
所以，函数在上单调递增，则，
则，即，
即，
对任意的，当时，.
当时，左边，右边，左边右边；
假设当时，不等式成立，即.
则当时，则.
这说明，当时，原不等式也成立.
综上所述，对任意的，.
考点三 数列的证明
【例3】（2022·江西赣州）已知数列满足，前n项和．
(1)求，，的值并猜想的表达式；
(2)用数学归纳法证明（1）的猜想．
答案：(1)，，，；(2)证明见解析.
【解析】(1)∵，前n项和，
∴令，得，
∴，
令，得，
∴．
令，得，
∴．
猜想．
(2)
用数学归纳法给出证明如下
①当时，结论成立；
②假设当(，)时，结论成立，
即，
则当时，，
，
即，
∴，
∴，
∴当时结论成立．由①②可知，
对一切都有成立．
【一隅三反】
1．（2022·广西·桂林市第十九中学高二期中（理））设数列满足．
(1)求的值并猜测通项公式；
(2)证明上述猜想的通项公式．
答案：(1)， ，猜测
(2)见解析
【解析】(1)解：由题意得，时，，得，
时，，得，
故，
猜测；
(2)证明：当时，，即猜测成立；
假设时，猜测成立，即，
则时，由，
得，
所以时也成立，
综上可得，成立．
2．（2022·广西·桂林市国龙外国语学校高二阶段练习（理））请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题：
①
②
已知数列的前项和为，且，_______.
(1)求；
(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
答案：(1)
(2)猜想，证明见解析
【解析】(1)解：选择条件①，
当 时，，即，
当 时，，所以，即，
当 时，，即，
故分别为3，5，7.
选择条件②，
当 时，，
当 时，.
当 时，
故分别为3，5，7.
(2)解：猜想，理由如下：
选择条件①
时，由题知，，猜想成立，
假设时，，
则，所以
两式相减得：
即
所以，时成立，
综上所述，任意，有．
选择条件②
时，由题知，，猜想成立，
假设时，
则
所以，时成立，
综上所述，任意，有．
3．（2022·天津市）已知数列满足.
(1)写出，并推测的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．
答案：(1);
(2)证明见解析.
【解析】(1)时，，则，
时，，则，
时，，则，
猜想.
(2)由（1）得：时，成立．
假设时，成立，
那么当时，，而，
所以，即，
故时，也成立．
综上，对一切n∈N*，都成立，得证．
考点四 整除问题
【例4-1】（2022·全国·高二课时练习）证明：当时，能被64整除．
答案：证明见解析.
【解析】（1）当时，能被64整除．
（2）假设当时，能被64整除，
则当时，．
故也能被64整除．
综合（1）（2）可知当时，能被64整除．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高二课时练习）求证：能被整除．
答案：证明见解析.
【解析】当n=1时，能被整除，
假设当, 时能被整除，
则当时，，
其中能被整除，所以能被整除，
所以能被整除，
即当时，能被整除，
所以能被整除.
2．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：对任意正整数能被9整除．
答案：见解析
【解析】证明：（1）当时，，能被9整除，
故当时， 能被9整除．
（2）假设当时，命题成立，即能被9整除，
则当时，也能被9整除.
综合(1)(2)可得, 对任意正整数能被9整除．
3．（2022·全国·高二课时练习）试用数学归纳法证明.
答案：证明见解析
【解析】（1）当时，左边＝，右边＝，不等式成立；
（2）假设当时，原不等式成立，即，
当时，
∵
∴．即，
所以，当时，不等式也成立．
根据（1）和（2）可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立．
考点五 增项
【例5-1】（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）用数学归纳法证明时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】当时，不等式左边等于，
当时，不等式左边等于
当时，不等式的左边比时增加.
故选：D
【例5-2】（2022·江西抚州·高二期中（理））利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，左边增加了（ ）
A．1项 B．k项 C．项 D．项
答案：D
【解析】由题意知当时，左边为，当时，左边为，增加的部分为，共项．故选：D
【一隅三反】
1．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，
由于，左边,
时，左边，
比较两式，从而等式左边应添加的式子是，
故选：．
2．（2022·甘肃庆阳·高二期末（理））用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边增加了（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
【解析】当时，左端，
那么当时 左端，
故由到时不等式左端的变化是增加了，两项，同时减少了这一项，
即，
故选：．
3．（2022·陕西西安·高二期中（理））利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（ ）
A．项 B．项 C．k项 D．1项
答案：A
【解析】由题意，时，不等式左边，
最后一项为，
时，不等式左边，
最后一项为，
由变到时，左边增加了项,
故选：A．
4．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（理））用数学归纳法证明等式，从到左端需要增乘的代数式为（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
【解析】当时,左边等于;
当时,左边等于
，
即左边等于；
所以左边增乘的项为，
故选：B.

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