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4.3 等比数列（精讲）
考点一 等比数列基本量的计算
【例1】（2022·江苏·高二课时练习）在等比数列中，
(1)已知，，，求q和；
(2)已知，，，求q和；
(3)已知，，，求和；
(4)已知，，，求q和n.
【一隅三反】
1．（2022·河南模拟）已知正项等比数列的前n项和为，且满足，则公比q＝（　　）
A． B．2 C． D．3
2．（2022·河南模拟）在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2021·全国·高二专题练习）在等比数列中，
（1）若，，，求和；
（2）若，，求和；
（3）若，，求和公比.
考点二 等比数列中项性质及应用
【例2-1】（2022·甘肃省临洮中学高二阶段练习）已知2，，成等比数列，则a的值为（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．无法确定
【例2-2】（2022·广东·罗定邦中学高二期中）若数列是等比数列，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．5
【例2-3】（2022·河南）正项等比数列满足，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【一隅三反】
1．（2022·全国·高二课时练习）等比数列中，，，则与的等比中项为（ ）
A．4 B．－4 C． D．
2．（2022·河南 ）公差不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3（2022·黑龙江）等比数列的各项均为正数，且.则（ ）
A．3 B．505 C．1010 D．2020
4（2022·石嘴山）在正项等比数列中，，则的值是（ ）
A．10 B．1000 C．100 D．10000
5.（2022·黑龙江）在等比数列中，是方程的根，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高二课时练习）方程两根的等比中项是______．
考点三 等比数列前n项和性质
【例3-1】（2022高二下·玉溪期末）记为等比数列的前项和．若，，则（　　）
A． B． C． D．
【例3-2】（2022·郑州模拟）已知等比数列的前项和为，若，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．-1
【例3-3】（2022·全国·高二）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
【一隅三反】
1.（2022黄冈月考）已知等比数列的前n项和为，若，则（　　）
A．32 B．28 C．48 D．60
2．（2022高三上·安阳开学考）已知等比数列的前n项和，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·广东）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（ ）
A．15 B．30
C．45 D．60
4．（2022·广东）已知等比数列中，，，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点四 等比数列的证明或判断
【例4-1】（2022·广东）在数列中，已知各项都为正数的数列满足.
(1)证明数列为等比数列；
(2)若，，求的通项公式.
【例4-2】（2022·宁夏·灵武市第一中学高一期末）在数列中，，，．
(1)求证：是等比数列；
(2)若，求数列的前项和．
【一隅三反】
1．（2022·江西）已知数列中，且．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和．
2．（2022·北京丰台·高二期中）已知数列满足，，.
(1)请写出数列的前5项；
(2)证明数列是等比数列；
(3)求数列的通项公式.
3．（2022·重庆）在数列中，表示其前项和，满足，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
考点五 等比数列的单调性
【例5-1】（2022·安徽宿州·高二期中）已知等比数列，下列选项能判断为递增数列的是( )
A．， B．，
C．， D．，
【例5-2】（2022云南）（多选）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．与均为的最大值
【一隅三反】
1．（2022·河南）已知等比数列的公比为q．若为递增数列且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·江苏·高二专题练习）等比数列的公比为，则“”是“对于任意正整数n，都有”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．（2022·甘肃省临洮中学高二阶段练习）（多选）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大项 D．
考点六 等比数列的实际应用
【例6】（2022高二下·焦作期末）童谣是一种民间文学，因为常取材于现实生活，语言幽默风趣、朗朗上口而使少年儿童易于接受，从而成为了重要的传统教育方式.有一首童谣中唱到：“玲珑塔上琉璃灯，沙弥点灯向上行.首层掌灯共三盏，明灯层层更倍增（意为：每上一层，灯的数量增加一倍).小僧掌灯到塔顶，心中默数灯几重.玲珑塔上灯火数，三百八十一盏明.灯映湖心点点红，但问塔顶几盏灯 ”童谣中的玲珑塔的顶层灯的盏数为（　　）
A．96 B．144 C．192 D．231
【一隅三反】
1．（2022·浙江）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则该人第一天走的路程为　 　里．
2．（2022·福建省同安第一中学高二阶段练习）（多选）我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题；今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗；禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是（ ）
A．a，b，c依次成公比为2的等比数列 B．a，b，c依次成公比为的等比数列
C． D．
3．（2022·云南）我国古代数学家典籍《九章算术》地第七章“盈不足”中有一“两鼠穿墙”问题：有墙厚5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，则两鼠在第______天相遇．
4.3 等比数列（精讲）
考点一 等比数列基本量的计算
【例1】（2022·江苏·高二课时练习）在等比数列中，
(1)已知，，，求q和；
(2)已知，，，求q和；
(3)已知，，，求和；
(4)已知，，，求q和n.
答案：(1)，(2)或(3)(4)
【解析】(1)由题知，解得，所以
(2)若，则，故
由题知，解得或
(3)由题知，解得
(4)易知，所以由题知，解得
【一隅三反】
1．（2022·河南模拟）已知正项等比数列的前n项和为，且满足，则公比q＝（　　）
A． B．2 C． D．3
答案：D
【解析】由，则，所以，即，
解得q＝3或q＝－1（舍去）．故答案为：D．
2．（2022·河南模拟）在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：B
【解析】设等比数列的公比为， 由，
因为，，成等差数列，所以，于是有，
即或舍去。故答案为：B
3．（2021·全国·高二专题练习）在等比数列中，
（1）若，，，求和；
（2）若，，求和；
（3）若，，求和公比.
答案：（1），；（2），；（3）或.
【解析】（1）等比数列中，，，，解得，．
（2）等比数列中，，，，解得，
，．
（3）当时，，所以，所以；
当时，，，即
∴， (舍去)，∴，所以；综上所述：或
考点二 等比数列中项性质及应用
【例2-1】（2022·甘肃省临洮中学高二阶段练习）已知2，，成等比数列，则a的值为（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．无法确定
答案：A
【解析】依题意，，故，解得a＝2．故选：A
【例2-2】（2022·广东·罗定邦中学高二期中）若数列是等比数列，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．5
答案：C
【解析】由已知得，∴，故选:C
【例2-3】（2022·河南）正项等比数列满足，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
答案：C
【解析】根据题意，等比数列满足，则有，即，
又由数列为正项等比数列，故．故选：C．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高二课时练习）等比数列中，，，则与的等比中项为（ ）
A．4 B．－4 C． D．
答案：C
【解析】由题意得，，∴与的等比中项为．故选：C.
2．（2022·河南 ）公差不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
答案：D
【解析】等差数列中,,故原式等价于解得或
各项不为0的等差数列,故得到，数列是等比数列，故=16.故选：D.
3（2022·黑龙江）等比数列的各项均为正数，且.则（ ）
A．3 B．505 C．1010 D．2020
答案：C
【解析】由，
所以.故选：C
4（2022·石嘴山）在正项等比数列中，，则的值是（ ）
A．10 B．1000 C．100 D．10000
答案：D
【解析】正项等比数列中，因为，所以，即，，故，.故选：D.
5.（2022·黑龙江）在等比数列中，是方程的根，则（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】根据题意：，，故，，
故，则.故选：A.
6．（2022·全国·高二课时练习）方程两根的等比中项是______．
答案：
【解析】由题，，存在不等两根.由韦达定理，两根，故两根的等比中项为.
故答案为：
考点三 等比数列前n项和性质
【例3-1】（2022高二下·玉溪期末）记为等比数列的前项和．若，，则（　　）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】由题可知，公比不为1，等比数列的首项为，公比为，则
，
解得：，所以，所以。故答案为：A.
【例3-2】（2022·郑州模拟）已知等比数列的前项和为，若，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．-1
答案：B
【解析】因为等比数列的前项和为，且，
所以，，，
所以，即，解得。故答案为：B
【例3-3】（2022·全国·高二）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
答案：D
【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为
则，
又，则，解得，
故数列的所有项之和是.故选：D
【一隅三反】
1.（2022黄冈月考）已知等比数列的前n项和为，若，则（　　）
A．32 B．28 C．48 D．60
答案：D
【解析】由可知公比，所以，
因此，故答案为：D
2．（2022高三上·安阳开学考）已知等比数列的前n项和，则（　　）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】因为数列的前n项和，
所以，，，
又数列为等比数列，所以数列的公比，
所以，所以，，所以，
故，故答案为：B.
3．（2022·广东）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（ ）
A．15 B．30
C．45 D．60
答案：D
【解析】设，则，
又因为，所以，所以.故选: D
4．（2022·广东）已知等比数列中，，，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：B
【解析】设等比数列的公比为，则，即，因为，所以，则，即，解得，故选：B.
考点四 等比数列的证明或判断
【例4-1】（2022·广东）在数列中，已知各项都为正数的数列满足.
(1)证明数列为等比数列；
(2)若，，求的通项公式.
答案：(1)证明见解析(2)
【解析】（1）各项都为正数的数列满足，得，即所以数列是公比为的等比数列；
（2）因为，，所以，由（1）知数列是首项为，公比为的等比数列，所以，于是，又因为，所以，即.
【例4-2】（2022·宁夏·灵武市第一中学高一期末）在数列中，，，．
(1)求证：是等比数列；
(2)若，求数列的前项和．
答案：(1)证明见解析(2)
【解析】(1)由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
(2)由（1）得：，，
，，
【一隅三反】
1．（2022·江西）已知数列中，且．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和．
答案：(1)证明见解析(2)
【解析】（1）因为，，所以，
又因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）得，，所以，，
．
2．（2022·北京丰台·高二期中）已知数列满足，，.
(1)请写出数列的前5项；
(2)证明数列是等比数列；
(3)求数列的通项公式.
答案：(1)，，，，；
(2)证明见解析；
(3).
【解析】(1)因为数列满足，，.
所以，
，
，
，
所以数列的前5项为：，，，，；
(2)，，
因此，数列是等比数列；
(3)解：由于，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，因此，.
3．（2022·重庆）在数列中，表示其前项和，满足，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
答案：证明见解析；；
【解析】，，，
整理可得：，，
又当时，，解得：，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，
数列的通项公式为；
考点五 等比数列的单调性
【例5-1】（2022·安徽宿州·高二期中）已知等比数列，下列选项能判断为递增数列的是( )
A．， B．，
C．， D．，
答案：D
【解析】对于A，，，则单调递减，故A不符题意；
对于B，，，则会随着n取奇数或偶数发生符号改变，数列为摆动数列，故B不符题意；
对于C，，，则为常数数列，不具有单调性，故C不符题意；
对于D，，，∵，y=在R上单调递减，故为递增数列，故D符合题意．故选：D﹒
【例5-2】（2022云南）（多选）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．与均为的最大值
答案：BD
【解析】由题意知，
：由得，由得，
所以，又，所以，故错误；
：由得，故正确；
：因为是各项为正数的等比数列，，
有
所以，
所以，故错误；
：，
则与均为的最大值，故正确.
故选：
【一隅三反】
1．（2022·河南）已知等比数列的公比为q．若为递增数列且，则（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】由题意，，又，
∴要使为递增数列，则，
当时，为递增数列，符合题设；
当时，为递减数列，符合题设；
故选：C.
2．（2021·江苏·高二专题练习）等比数列的公比为，则“”是“对于任意正整数n，都有”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案：D
【解析】若，，则，，充分性不成立；
反过来，若，，则时，必要性不成立；
因此“”是“对于任意正整数n，都有”的既不充分也不必要条件.
故选：D．
3．（2022·甘肃省临洮中学高二阶段练习）（多选）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大项 D．
答案：ABC
【解析】等比数列的公比为，若，则．
由，可得，则数列各项均为正值，
若，则，，则，故A正确；
所以，故B正确；
根据，可知是数列中的最大项，故C正确；
由等比数列的性质可得，
所以，故D错误．
故选：ABC
考点六 等比数列的实际应用
【例6】（2022高二下·焦作期末）童谣是一种民间文学，因为常取材于现实生活，语言幽默风趣、朗朗上口而使少年儿童易于接受，从而成为了重要的传统教育方式.有一首童谣中唱到：“玲珑塔上琉璃灯，沙弥点灯向上行.首层掌灯共三盏，明灯层层更倍增（意为：每上一层，灯的数量增加一倍).小僧掌灯到塔顶，心中默数灯几重.玲珑塔上灯火数，三百八十一盏明.灯映湖心点点红，但问塔顶几盏灯 ”童谣中的玲珑塔的顶层灯的盏数为（　　）
A．96 B．144 C．192 D．231
答案：C
【解析】由题意可得玲珑塔的灯盏数从首层到顶层为等比数列，
设其首层为，公比，顶层为，前项和为
由已知可得，，，
由等比数列的前n项和公式可得，
所以．故玲珑塔的顶层灯的盏数为192，
故答案为：C.
【一隅三反】
1．（2022·浙江）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则该人第一天走的路程为　 　里．
答案：192
【解析】由题意得，该人每天所走的路程成等比数列，公比为，
设第一天走了里，则，解得，
即则该人第一天走的路程为192里.故答案为：192.
2．（2022·福建省同安第一中学高二阶段练习）（多选）我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题；今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗；禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是（ ）
A．a，b，c依次成公比为2的等比数列 B．a，b，c依次成公比为的等比数列
C． D．
答案：BD
【解析】依题意，所以依次成公比为的等比数列，
，即.所以BD选项正确.故选：BD
3．（2022·云南）我国古代数学家典籍《九章算术》地第七章“盈不足”中有一“两鼠穿墙”问题：有墙厚5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，则两鼠在第______天相遇．
答案：3
【解析】第一天：大老鼠与小老鼠的打洞尺数：；
第二天：大老鼠与小老鼠的打洞尺数：，两天总和：，
第三天：大老鼠与小老鼠应该能打洞尺数：，
所以两鼠在第3天相遇
故答案为：3

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