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盐城市鹿鸣路初级中学2023-2024学年度第二学期一模考试
初三数学试卷
（卷面总分：150分考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分. 在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 2024相反数是（）
A. 2024 B. C. D.
2. 第19届亚运会在浙江杭州举行，下列与杭州亚运会相关的图案中，是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（）
A. B.
C. D.
4. 如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为（ ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
5. 为深入落实“立德树人”的根本任务，坚持德、智、体、美、劳全面发展，我校积极推进学生综合素质评价改革，某同学在本学期德智体美劳的评价得分如图所示，则该同学五项评价得分的众数为（）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
6. 三本相同的书叠成如图所示的几何体，它的左视图是（）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
8. 如图①，在矩形中，对角线与交于点，动点从点出发，沿匀速运动，到达点时停止，设点所走路程为，线段的长度，若与之间的函数图象如图②所示，则矩形的周长为（）
A. 10 B. 18 C. 20 D. 28
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分. 不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）
9. 分解因式：_______．
10. 2024年五一假期，珠溪古镇持续火爆，成为游客出行热门目的地 ．接待游客突破30万人次，实现旅游综合营收8300000元，数据8300000用科学记数法表示为___．
11. 盐城市拟实施“引进人才”招聘考试，招聘考试分笔试和面试，其中笔试按，面试按计算总成绩．如果小王笔试成绩为90分，面试成绩为85分，那么小王的总成绩为_____分．
12. 一元二次方程两个根分别为，x2，则x1·x2=_________．
13. 如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图．若每次投掷，小球落在矩形内每个点的可能性相同，由此他可以估计不规则图案的面积为_____．
14. 如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）．
15. 如图，点O是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形连接，则______°．
16. 如图，在矩形中，，出分别在边上．将矩形沿折叠 ．使点的对应点落在边上，得到四边形． 若，，则的长为_____．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步瑅）
17. 计算：．
18. 解方程组：．
19. 化简代数式，再从，，1三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值．
20. 年3月日，盐城市鹿鸣路初级中学开展了“传承雷锋精神，赓续红色血脉”主题教育实践活动，旨在呼吁学生脚踏实地践行雷锋精神，争做新时代好少年。为了进一步继承发扬雷锋精神，我校计划组织师生参加“学雷锋志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传” “交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项. 为了解各项目报名情况，我校随机调查了报名参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查师生共有人，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“文明宣传”对应的圆心角度数；
（3）我校某年级其在名师生，若有的师生报名参加志愿者服务，请你估计该年级报名参加“敬老服务”项目的师生人数．
21. 化学实验课上，杨老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、Cu(铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气.（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气）
（1）小贾从四个容器中随机选一个，则选到的概率为；
（2）若小贾随机选择一个容器后，小秦再从剩下的三个容器中随机选择一个容器，求二人所选容器中的金属均能置换出氢气的概率．
22. 如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值．
输入 … 1 3 5 …
输出 … 4 8 6 4 …
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的值为0时，输出的值为：；
（2）求的值；
（3）当输出的值为0时，求输入的值．
23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，分别过点A，C作AE∥DC，CE∥AB，两线交于点E．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）如果∠B=60°，BC=2，求四边形AECD的面积．
24. 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过作于点，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）当时，求的值．
25. 盐城东台以其独特的地理位置、优越的土壤条件、丰富的种植经验形成了汁多爽口，细嫩鲜甜的东台西瓜．某经销商调研发现该品种西瓜成本价为每千克6元，售价不低于成本，且不超过13元/千克，经市场调研发现，该品种西瓜售价为每千克8元时，每天可售出400千克，售价每提高1元，则每天少售出50千克．
（1）求该品种西瓜一天销售量（千克）与该天的售价（元/千克）之间的函数关系式；
（2）若该品种西瓜售价定为多少元/千克时，日销售面利润最大？并求出最大利润．
（3）为了回馈社会，该销售商决定，每卖出1千克，捐出元进行助农活动，若当日利润最大为800元．求此时的值．
26. 鹿鸣学堂数学兴趣小组在研究角平分线时进行了总结：角平分线的定义；角平分线的性质和判定；角平分线的作图以及与角平分线有关的构造…
【问题提出】①小王同学发现，三角形中的角平分线还有其他的结论：
如图①，是的角平分线，则有．
小丽同学的思路；如图①，过点分别作的垂线…；
小明同学的思路：如图②，过点B作，交延长线于点…
请你任选一种方法对小王同学的发现进行证明．
【结论应用】②如图，是的弦，在上作出一点，使得；（要求：用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，不写作图步骤．）
【拓展延伸】③在中，平分，若，请求出面积的最大值．
27. 如图，二次函数的图像分别与轴交于点、点(点在点左侧），与轴正半轴交于点，其中．
（1）求该二次函数关系式；
（2）如图①，点是线段上一动点，在轴上取一点，连接．
①若线段绕点逆时针旋转，点的对应点刚好落在该抛物线上，求的值；
②过点作轴的垂线，与抛物线交于点，连接．若，请求出此时点的坐标．
③将（1）中的二次函数图像沿着射线方向平移个单位长度得到新二次函数图像．平移后点的对应点为，新抛物线的顶点为，则在新抛物线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．盐城市鹿鸣路初级中学2023-2024学年度第二学期一模考试
初三数学试卷
（卷面总分：150分考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分. 在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 2024的相反数是（）
A. 2024 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数，“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据相反数的定义即可求解．
解：2024的相反数是,
故选：B．
2. 第19届亚运会在浙江杭州举行，下列与杭州亚运会相关的图案中，是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解不等式，然后在数轴上表示其解集．
解：解不等式，
得，
在数轴上表示为：
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的求解．
4. 如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为（ ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．由垂径定理得到，由勾股定理求出，即可得到的长．
解：，
，
，，
，
．
故选：C．
5. 为深入落实“立德树人”的根本任务，坚持德、智、体、美、劳全面发展，我校积极推进学生综合素质评价改革，某同学在本学期德智体美劳的评价得分如图所示，则该同学五项评价得分的众数为（）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查众数的定义，理解他们的含义是本题关键．
根据众数是出现次数最多的数求解即可．
德：9分；智：8分；体10分；美8分；劳7分．
其中8出现次数2次最多，
故众数为：8．
故选：B．
6. 三本相同的书叠成如图所示的几何体，它的左视图是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据左视图的定义进行判断即可．
从左面看，三本书的宽度相同，重叠在一起，则A选项符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查几何体的三视图，理解三视图的定义，灵活利用空间想象是解题关键．
7. 如图，在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了重心到顶点距离与重心到对边中点的距离之比为，熟记重心的性质是解题的关键．根据重心性质可得，从而可得答案．
解：∵是边上的中线，点是重心，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
8. 如图①，在矩形中，对角线与交于点，动点从点出发，沿匀速运动，到达点时停止，设点所走路程为，线段的长度，若与之间的函数图象如图②所示，则矩形的周长为（）
A. 10 B. 18 C. 20 D. 28
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象、矩形的性质、中位线的性质等，结合函数图象和点的运动轨迹判断出“当时，”，求出矩形的长和宽，计算周长即可，理解函数图象和点的运动轨迹是解题的关键．
解：∵当时，最小，
∴此时，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴此时，，
∴是的中位线，，
∴矩形的周长，
故选：D．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分. 不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）
9. 分解因式：_______．
【答案】
【解析】
【分析】原式提取公因式m即可得到结果．
解：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了提公因式分解因式，正确找出公因式是解答本题的关键．
10. 2024年五一假期，珠溪古镇持续火爆，成为游客出行热门目的地 ．接待游客突破30万人次，实现旅游综合营收8300000元，数据8300000用科学记数法表示为___．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数，据此即可得解，正确确定a的值以及n的值是解决此题的关键．
，
故答案为：．
11. 盐城市拟实施“引进人才”招聘考试，招聘考试分笔试和面试，其中笔试按，面试按计算总成绩．如果小王笔试成绩为90分，面试成绩为85分，那么小王的总成绩为_____分．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式．
】解：分，
∴小王的总成绩为88分，
故答案为：88．
12. 一元二次方程的两个根分别为，x2，则x1·x2=_________．
【答案】－3.
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系直接解答即可．
解：由题意可知：x1·x2=－3，
故答案为－3.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根，x1＋x2＝，x1·x2＝．
13. 如图①，平整地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图．若每次投掷，小球落在矩形内每个点的可能性相同，由此他可以估计不规则图案的面积为_____．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
首先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
解：假设不规则图案面积为，
由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有：，
解得．
故答案为：7．
14. 如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，根据等腰直角三角形的性质求得，从而求得，最后由结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可．
解：过点作于点，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15. 如图，点O是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形连接，则______°．
【答案】105
【解析】
【分析】连接，，根据正六边形的性质可得，是等边三角形，再证明四边形是菱形，以及是等腰三角形，分别求出，从而可得出结论．
解：∵六边形是正六边形，
∴
∵四边形是正方形，
∴
连接，，如图，
则是等边三角形，
∴
∴
∴四边形是菱形，，
∴
∴，
故答案为：105．
【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，正方形的性质，菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
16. 如图，在矩形中，，出分别在边上．将矩形沿折叠 ．使点的对应点落在边上，得到四边形． 若，，则的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，过点A作交于G，连接交于H，设交于M，可证明四边形是平行四边形，得到，由折叠的性质可得，证明，推出；再证明，得到，设，则，则，在中，由勾股定理得，解方程求出，，则，即可得到．
解：如图所示，过点A作交于G，连接交于H，设交于M，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，，
，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，（舍去），
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的性质与判定等等，通过证明是解题的关键．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步瑅）
17. 计算：．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，运用算术平方根，负整数指数幂及特殊角的三角函数值求解即可，
解：
．
18. 解方程组：．
【答案】．
【解析】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．方程组利用加减消元法求解即可．
解：得：，
解得
将带入②得：
所以方程组的解是．
19. 化简代数式，再从，，1三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则化简原式，再选一个使原分式有意义的数代入求值即可．
解：
，
∵当，时原分式有意义，
∴，则原式．
20. 年3月日，盐城市鹿鸣路初级中学开展了“传承雷锋精神，赓续红色血脉”主题教育实践活动，旨在呼吁学生脚踏实地践行雷锋精神，争做新时代好少年。为了进一步继承发扬雷锋精神，我校计划组织师生参加“学雷锋志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传” “交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项. 为了解各项目报名情况，我校随机调查了报名参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的师生共有人，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“文明宣传”对应的圆心角度数；
（3）我校某年级其在名师生，若有的师生报名参加志愿者服务，请你估计该年级报名参加“敬老服务”项目的师生人数．
【答案】（1）；图见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，圆心角，用样本估计总体等知识．从统计图中获取正确的信息是解题的关键．
（1）由题意知，本次调查的师生共有：人，则“文明宣传”的人数有，计算求解，然后补图即可；
（2）根据，计算求解即可；
（3）根据，计算求解即可．
【小问1】
解：由题意知，本次调查的师生共有：（人），
∴“文明宣传”的人数有（人），
补全条形统计图如下：
【小问2】
解：由题意知，，
∴在扇形统计图中，“文明宣传”对应的圆心角度数为；
【小问3】
解：∵（人），
∴估计该年级报名参加“敬老服务”项目的师生人数为人．
21. 化学实验课上，杨老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、Cu(铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气.（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气）
（1）小贾从四个容器中随机选一个，则选到的概率为；
（2）若小贾随机选择一个容器后，小秦再从剩下的三个容器中随机选择一个容器，求二人所选容器中的金属均能置换出氢气的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了列树状图求概率以及概率公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）依题意，（镁）、（铝）、（锌）、Cu(铜）四种金属，选到的概率为，即可作答．
（2）先运用列树状图，得出共有种等可能结果，满足二人所选容器中的金属均能置换出氢气的结果有种，即可作答．
【小问1】
解：∵（镁）、（铝）、（锌）、Cu(铜）四种金属
∴小贾从四个容器中随机选一个，则选到的概率为；
小问2】
解：画树状图如下：
共有种等可能结果，满足二人所选容器中的金属均能置换出氢气的结果有种，
∴二人所选容器中的金属均能置换出氢气的概率为．
22. 如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值．
输入 … 1 3 5 …
输出 … 4 8 6 4 …
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的值为0时，输出的值为：；
（2）求的值；
（3）当输出的值为0时，求输入的值．
【答案】（1）6（2）
（3）或9
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，函数值，正确地求得函数的解析式是解题的关键．
（1）把代入，即可得到结论；
（2）将代入解方程即可得到结论；
（3）分和两种情况讨论，解方程即可得到结论．
【小问1】
解：当输入的值为0时，输出的值为，
故答案为：0；
【小问2】
解：将代入，
得，
解得
【小问3】
解：当时，
；
当时，
；
综上，输出的值为0时，输入的值为或9．
23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，分别过点A，C作AE∥DC，CE∥AB，两线交于点E．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）如果∠B=60°，BC=2，求四边形AECD的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）2.
【解析】
【分析】（1）直接利用平行四边形的判定方法得出四边形AECD是平行四边形，再利用直角三角形的性质得出CD=AD，即可得出四边形AECD是菱形；
（2）利用菱形的性质和平行四边形的性质得出AC，ED的长，进而得出菱形面积．
（1）证明：∵AE∥DC，CE∥AB，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD，
∴四边形AECD是菱形；
（2）解：连接DE．
∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°
∴AB=4，AC=2，
∵四边形AECD是菱形，
∴EC=AD=DB，
又∵EC∥DB
∴四边形ECBD是平行四边形，
∴ED=CB=2，
∴S菱形AECD=×AC×ED=2．
【点睛】此题主要考查了菱形的判定与性质以及直角三角形的性质，正确利用菱形的性质是解题关键．
24. 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过作于点，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连接，由，根据等边对等角得到一对角相等，再由，根据等边对等角得到又一对角相等，等量代换可得一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得与平行，又垂直于，根据垂直于两平行线中的一条，与另一条也垂直，得到与也垂直，可得为圆的切线；
（2）连接，由为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得，即与垂直，又，根据三线合一得到为中点，由求出的长，再由的长，利用勾股定理求出的长，再证明，得，设，，则，解得：，即可由求解．
【小问1】
证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，且为圆的半径，
是的切线；
【小问2】
解：连接，
为的直径，
，
又，且，
，
在中，，，
根据勾股定理得：，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质．其中证明切线的方法为：有点连接圆心与此点，证垂直；无点过圆心作垂线，证明垂线段长等于圆的半径．本题利用的是第一种方法．
25. 盐城东台以其独特的地理位置、优越的土壤条件、丰富的种植经验形成了汁多爽口，细嫩鲜甜的东台西瓜．某经销商调研发现该品种西瓜成本价为每千克6元，售价不低于成本，且不超过13元/千克，经市场调研发现，该品种西瓜售价为每千克8元时，每天可售出400千克，售价每提高1元，则每天少售出50千克．
（1）求该品种西瓜一天的销售量（千克）与该天的售价（元/千克）之间的函数关系式；
（2）若该品种西瓜售价定为多少元/千克时，日销售面利润最大？并求出最大利润．
（3）为了回馈社会，该销售商决定，每卖出1千克，捐出元进行助农活动，若当日利润最大为800元．求此时的值．
【答案】（1）；
（2）时，最大值，最大值为1250．
（3）当每日最大利润为 800 元时，此时m的值为 2．
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用以及一次函数的应用，关键是求出一次函数、二次函数的解析式．
（1）根据该品种西瓜售价为每千克8元时，每天可售出400千克，售价每提高1元，则每天少售出50千克．列出函数解析式即可；
（2）设这种水果每天获得的利润为 w元，根据题意得：，再化成顶点式，由函数性质求最值即可；
（3）设此时的利润为（元），根据题意得：，
【小问1】
解：根据题意得：，
即y 与 x之间的函数关系式为：．
【小问2】
解：设这种水果每天获得的利润为 w元，
根据题意得：
当时，最大值，最大值为1250．
【小问3】
解：设此时的利润为（元），
根据题意得：
∴抛物线的对称轴为直线，
，
时，最大值，最大值为800
即
解得：，（舍去），
答：当每日最大利润为 800 元时，此时m的值为 2．
26. 鹿鸣学堂数学兴趣小组在研究角平分线时进行了总结：角平分线的定义；角平分线的性质和判定；角平分线的作图以及与角平分线有关的构造…
【问题提出】①小王同学发现，三角形中的角平分线还有其他的结论：
如图①，是的角平分线，则有．
小丽同学的思路；如图①，过点分别作的垂线…；
小明同学的思路：如图②，过点B作，交延长线于点…
请你任选一种方法对小王同学的发现进行证明．
【结论应用】②如图，是的弦，在上作出一点，使得；（要求：用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，不写作图步骤．）
【拓展延伸】③在中，平分，若，请求出面积的最大值．
【答案】[问题提出]证明见解析；[结论应用]见解析；[拓展延伸]3
【解析】
【分析】[问题提出]用小丽的方法：如图①，过点C 分别作，垂足为D，E，过 P作，垂足为 H. 则，根据，，可得；用小明的方法：如图②，过B作交延长线于点 D．证明，则，即．
[结论应用]由，可知为上靠近的四等分点，如图③（④），作的垂直平分线，交于，交于，作的垂直平分线，交于，连接交于，根据圆周角定理可判断平分，则点即为所作；
[拓展延伸] 如图⑤，延长，在延长线上截取，作的角平分线交的延长线于点D，连接，则，证明，则，平分，由（1）得，由平分，可得，则，由，可得，可求，，由，可知点P在以为直径的圆上，根据，求解作答即可．
[问题提出]解：用小丽的方法：
如图①，过点C 分别作，垂足为D，E，过 P作，垂足为 H.
∵平分，
∴，
∵，，
∴；
用小明的方法：
如图②，过B作交延长线于点 D．
②
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即．
[结论应用]解：∵，
∴为上靠近的四等分点，
如图③（④），作的垂直平分线，交于，交于，作的垂直平分线，交于，连接交于，点即为所作；
[拓展延伸] 解：如图⑤，延长，在延长线上截取，作的角平分线交的延长线于点D，连接，
⑤
∵分别平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∴由（1）得，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴，
∵，
∴点P在以为直径的圆上，当是等腰直角三角形时，面积最大，
∴，
∴的面积的最大值为3．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，作垂线，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，的圆周角所对的弦为直径等知识．熟练掌握角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，作垂线，全等三角形的判定与性质，的圆周角所对的弦为直径是解题的关键．
27. 如图，二次函数的图像分别与轴交于点、点(点在点左侧），与轴正半轴交于点，其中．
（1）求该二次函数关系式；
（2）如图①，点是线段上一动点，在轴上取一点，连接．
①若线段绕点逆时针旋转，点的对应点刚好落在该抛物线上，求的值；
②过点作轴的垂线，与抛物线交于点，连接．若，请求出此时点的坐标．
③将（1）中的二次函数图像沿着射线方向平移个单位长度得到新二次函数图像．平移后点的对应点为，新抛物线的顶点为，则在新抛物线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）①；②P( 1 2，2)或( 1，4)；③或．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）①过作，证明，即可求解；
②分两种情况：当时，当与不平行时，过 P 作轴，求解即可；
③分两种情况：Ⅰ）当点G在右侧时，Ⅱ）当点G在左侧时，求解即可．
【小问1】
解：∵，，C在y轴正半轴，
∴，
将，代入中得：
，
∴，
∴函数关系式为；
【小问2】
解：①过作于H，
∵线段绕M逆时针旋转，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵在抛物线上，
，
，
，
；
②如图，当时，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
，
，（舍去），
；
当与不平行时，过 P 作轴，
同理得，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
综上：或；
③如图，
∵二次函数图像沿着射线方向平移个单位长度，
∴二次函数图像是向右平移2个单位，向上平移2个单位，
∵，平移后点的对应点为，
∴，
∵，
∴平移后函数解析式为：，
∴，
Ⅰ）当点G在右侧时，
∵，点B、点F的横坐标相同且均为1，
∴，
∴点G是抛物线与x轴的交点，
令，则，
解得：，（舍去），
∴；
Ⅱ）当点G在左侧时，即点G在，过点作x轴于H，设平移后抛物线与y轴交于K，连接交于Q，过点K作于R，如图，
∵平移后函数解析式为：，
∴平移后函数图象的对称轴为直线，
令，则，
∴，
∵，
∴点K与点E关于直线对称，，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
设点，
则，，
∴，
化简得，
解得：，（舍去），
∴，，
∴；
综上，点G的坐标为或．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象的平移，解直角三角形．此题属二次函数综合题目，难度较大．

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