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人教七下数学期末复习：解答压轴题专项训练
1．（22-23七年级下·云南曲靖·期末）直线相交于点O，于点O，作射线，且在的内部．
（1）①当在如图1所示位置时，若，求的度数；
②当在如图2所示位置时，若平分，证明：平分；
（2）若，请直接写出与之间的数量关系．
2．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，为的角平分线，交于点P，连接，求证：
（3）如图3，在（2）的条件下，过点F作于点M，作的角平分线交于点Q，若平分，且比的多3°，求的度数．
3．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，已知，O为直线上一点，动点E，F在直线上（F在E的右侧）且满足在外部且平分交于点N．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若射线上有一点满足，请探究与之间的数量关系并说明理由；
（3）如图3，若，射线从与射线重合的位置出发，绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从与射线重合的位置出发，绕点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，当射线和射线平行时，求出的值．
4．（23-24八年级上·山西运城·期末）已知，直线，点P为平面上一点，连接与．
（1）如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数．
（2）如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点P落在外．
①直接写出、、的数量关系为______．
②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______．
5．（23-24七年级上·重庆渝中·期末）如图，直线，直线分别交、于点、．点在直线上方，点在直线上（在点的右边），连接，平分．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若平分，直线交于点，请探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）问的条件下，连接并延长．若，，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，射线始终平分，是内部一条射线，平分，当，且的度数为射线与直线所夹锐角的倍时，直接写出的值（本题研究的所有角度均小于）．
6．（22-23七年级下·重庆潼南·期末）如图1，，点E，F在上，点G在上，点P在之间，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，平分交于点N，，平分， ，求的度数；
（3）如图3，平分交于点N，，平分，平分，交于点M，，，直接写出x : y的值．
7．（22-23七年级下·湖北武汉·期末）【问题情境】如图1，，直线交于点H，交于点G，点F在直线上．直接写出之间的数量关系为 ．

【实践运用】如图2，，直线交于点H，交于点G，点F在直线上．平分，平分，若，求的度数．

【拓广探索】如图3，，直线交于点H，交于点G，点P为平面内不在直线，，上的一点，若，，则 （直接写出答案，用x，y表示）．

8．（23-24七年级上·福建泉州·期末）大龙湖音乐喷泉灯光秀成为茶乡一道美丽的风景．“灯光秀”为了强化灯光效果，在湖的两岸安置了可旋转探照灯．假定湖两岸是平行的，如图1所示，，，灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至后立即回转，灯B射线从开始绕点B顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯A、灯B转动的速度分别是a度/秒、b度秒．且满足．
（1）填空：______，______；
（2）若灯A射线转动20秒后，灯B射线开始转动，在灯A射线到达之前，B灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯B射线到达之前，两灯射出的光束交于点C．点D在射线上，且，则在转动过程中，是否存在一点D，使得k为定值？若存在，请求出的度数和k的值；若不存在，请说明理由．
9．（22-23七年级下·浙江金华·期末）佛堂古镇的万善浮桥，其夜晚的灯光秀美轮美轮，两岸景观照明还荣获了中国照明学会第十六届照明奖的一等奖．如图1所示，记浮桥两岸所在直线分别为，且，浮桥上装有两种不同的激光灯A和激光灯B（假设以及由A、B两点发出的光射线始终在同一平面内），灯A的光射线以2度每秒的速度从射线顺时针旋转至射线后继续回转，灯B的光射线以5度每秒的速度从射线顺时针旋转到射线后也继续回转，当打开激光灯的总开关时，激光灯A和激光灯B同时开始转动．

（1）若购买2盏灯A和4盏灯B共需10万元，购买3盏灯A和2盏灯B共需8.6万元，请问：购买灯A和灯B的单价分别是多少万元？
（2）打开总开关，当灯A的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，求灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间．
（3）如图2，打开总开关，当灯B的光射线第一次从射线旋转至射线BS的过程中，若灯A和灯B的光射线有交点（记为点O），延长至点E，作与的角平分线并交于点F，求与的数量关系．
10．（22-23七年级下·北京海淀·期末）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，．

（1）依题意在图1中补全图形，并证明：；
（2）过点C作直线．在直线上取点，使．
①当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系；
②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是________（用含的式子表示）．
11．（22-23七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．

（1）已知点A的坐标为．
①则点A的“长距”是 ．
②在点，，中，为点A的“等距点”的是______；
③若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则m的值为______；
（2）若，两点为“等距点”，求k的值．
12．（22-23七年级下·四川南充·期末）如图，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴负方向平移，平移后的图形为三角形，且点的坐标为．

（1）点E的坐标为________，点B的坐标为________；
（2）在四边形中，点从点出发，沿“”移动．若点的速度为每秒1个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题：
①当________时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
②当时，设，，，试问，，之间的数量关系能否确定？若能，请用含，的式子表示；若不能，请说明理由．
③当点运动到什么位置时，直线将四边形的面积分成两部分？
13．（22-23七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，点，，，满足．
（1）求点A，的坐标；
（2）如图1，平移线段至，使点A的对应点落在轴正半轴上，连接，．若，求点的坐标；
（3）如图2，平移线段至，点的对应点的坐标为，与轴的正半轴交于点，求点的坐标．
14．（22-23七年级下·天津西青·期末）如图①，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，且，满足关系式：，现同时将点，向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，的对应点，，连接，，．

（1）______，b=______，点C的坐标为_________，点D的坐标为_________；
（2）连接 ，在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）如图②，点是直线上一个动点连接，，当点在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系．
15．（22-23七年级下·河南洛阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，．

（1）直接写出坐标：点（_____，______），点（_____，______）；
（2），分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长，点从点出发向点运，速为每秒个单位长度，两点同时出发，求几秒后轴？
（3）若点是轴正半轴上一动点（不与点重合），问、与存在怎样的数量关系？请直接写出结论．
16．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将线段平移后得到线段，点在轴上，连接、，交轴于点，轴．

（1）直接写出点、点的坐标；
（2）点为线段上一点，点的横坐标为，连接、，用含的式子表示三角形的面积（不要求写出取值范围）；
（3）在（2）的条件下，线段与线段重合（点与点重合，点与点重合），将线段沿轴向下平移，连接、、、、，当三角形的面积比三角形的面积大2时，，求点的坐标．
17．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移至线段，使点的对应点恰好落在轴的正半轴上，设点的坐标为，点的对应点在第一象限．

（1）求点的坐标（用含的式子表示）；
（2）连接，．如图2，若三角形的面积为8，求的值；
（3）连接，如图3，分别作和的平分线，交于点，试探究，和之间的等量关系，并说明理由．
18．（22-23七年级下·湖北武汉·期末）已知，d为4的算术平方根，点，，，且．

（1）直接写出 ， ， ；
（2）如图1，若点C在直线AB上，求a的值 ；
（3）平移线段AB，点A的对应点M在y轴的正半轴上，点B的对应点N恰好在x轴的负半轴上，点P以每秒3个单位长度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒2个单位长度从N点向x轴正半轴运动，直线NP，MQ交于点D，设点P，Q运动的时间为t秒．
①如图2，当时，探究三角形MPD的面积和三角形NQD的面积的数量关系，并说明理由；
②若三角形MDN的面积为10，直接写出点D的坐标．
19．（22-23七年级下·重庆开州·期末）（1）如图1，在平面直角坐标系中，满足．直接写出a、b的值：__________；__________；
（2）如图2，在（1）问条件下将线段向右平移，平移后A、B的对应点分别为D、E，线段交y轴于点C，当和面积相等时，求点D、点E的坐标；
（3）在（2）问的条件下，延长交x轴于点F，点F的坐标为，过点E作直线轴，动点P从点E沿直线l以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点F沿x轴以每秒个单位的速度向右运动，当最小时，直接写出三角形的面积．

20．（22-23七年级下·广东广州·期末）已知点，，，过点C作x轴的平行线m，交y轴于点D，一动点P从C点出发，在直线m上以1个单位长度/秒的速度向右运动，

（1）如图，当点P在第四象限时，连接，作射线平分，过点O作．
①填空；若，则______；
②设，求a的值．
（2）若与此同时，直线m以2个单位长度/秒的速度竖直向上运动，设运动时间为t秒，点P的坐标为
①在坐标轴上是否存在满足条件的点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②求x和y的关系式．
21．（22-23七年级下·湖北鄂州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B均在x轴上，点C在第一象限，直线AC与y轴交于点D，且直线AC上所有点的坐标都是二元一次方程的解，直线BC上所有点的坐标都是二元一次方程的解．
（1）求点C的坐标时，小聪是这样想的：先设点C的坐标为，因为点C在直线AC上，所以是方程的解；又因为点C在直线BC上，所以是方程的解，从而m，n满足据此可求出点C的坐标为______，再求出点A的坐标为______，点B的坐标为 ；
（2）求四边形BODC的面积；
（3）点是线段BC上一点，若点E的纵坐标，则点E的横坐标x的取值范围是 ；
（4）在y轴上是否存在点P，使三角形ACP的面积等于三角形ABC面积的倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练面直角坐标系中，有三个点A、B、C，，m，n满足（t为实数）其中a，b，c为满足．

（1） ______， _______
（2）当时，将线段竖直向上平移3个单位长度，再水平平移e个单位长度到，点B对应，点C对应，若A，，三点共线，求线段的水平平移方式；（提示：面积法）
（3）若A点和C点关于y轴对称，在x轴上是否存在一点，使，若存在，求出k的取值范围．
23．（22-23七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，，，，且，满足．
（1）求点的坐标；（用含的式子表示）
（2）过点作交轴于点，当时，
①求的面积；
②若点在直线上，且点的横坐标为5，求点的纵坐标．
24．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）规定：若是以为未知数的二元一次方程的整数解，则称此时点为二元一次方程的“理想点”．请回答以下关于的二元一次方程的相关问题．
（1）已知，请问哪些点是方程的“理想点”？哪些点不是方程的“理想点”？并说明理由；
（2）已知为非负整数，且，若是方程的“理想点”，求的平方根；
（3）已知是正整数，且是方程和的“理想点”，求点的坐标．
25．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足，就称点为“郡麓点”．例如：点，令，得，，所以不是“郡麓点”；点，令，得，所以是“郡麓点”．
（1）请判断点点，是否为“郡麓点”：______；
（2）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求的值；
（3）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求正整数a，b的值．
26．（22-23八年级下·全国·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 6 9 10
汽车运费（元/辆） 500 600 600
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，要求三种车同时参与运货，你能求出几种车型的辆数吗？
（3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．
27．（22-23八年级下·黑龙江大庆·期末）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，．
购进的台数 购进所需要的费用（元）
A型 B型
第一次 10 20 3000
第二次 15 10 4500
（1）求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？
（2）A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．
①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？
②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？
28．（22-23七年级下·四川·期末）定义：对于任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相等，且都不为零，那么称这个两位数为“柠安数”．将一个“柠安数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新的两位数32，新两位数与原两位数的和为，和55与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：①下列两位数：60、58、88、31中，“柠安数”为__________；②计算：__________；
（2）如果一个“柠安数”的十位数字为，个位数字是，且，请求出“柠安数”；
（3）如果一个“柠安数”满足，求满足条件的的值．
29．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或．
（1）方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ；
（2）已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值；
（3）已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”求的值．
30．（22-23七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知点，，连接．
（1）若，，求线段的长；
（2）若，
①平移线段，使点A，B的对应点分别为点，，求c的值；
②连接，，记三角形的面积为S，若，，时，求b的取值范围．
31．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．
例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”
（1）已知①，②，③，试判断方程解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”；
（2）若关于x，y的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且m为整数，求m的值．
（3）若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围．
32．（22-23七年级下·北京石景山·期末）对于二元一次方程的任意一个解给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”．
（1）写出方程的一个解，并指明此时方程的“关联值”；
（2）若“关联值”为4，写出所有满足条件的方程的解；
（3）直接写出方程的最小“关联值”为______；当关联值为时，直接写出x的取值范围是______．
33．（22-23七年级下·四川凉山·期末）某体育用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳根，乙种跳绳5根，需要元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要元．
（1）求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？
（2）若该体育用品店刚好用了元购进这两种跳绳，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量不少于根，那么该文具店共有哪几种购买方案？
（3）若该体育用品店销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
34．（22-23七年级下·福建莆田·期末）莆阳“开春、开河、开街、开村”活动中发放兴化府历史文化街“美食节”消费券．每人可领取A型消费券（满25减10元）张，B型消费券（满58减20元）张，C型消费券（满168减60元）1张．王明一家5人都领到了消费券，使用消费券共减了380元．
（1）若王明一家用了2张A型消费券，6张B型消费券，他们用了 张C型消费券．
（2）若王明一家用了12张A，B，C型的消费券消费，其中A型比C型的消费券多1张，求A，B，C型的消费券各用了多少张？
（3）若王明一家仅用两种不同类型的消费券消费，如何搭配使用消费券，使得实际支付的最少金额不超过680元？
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人教七下数学期末复习：解答压轴题专项训练
1．（22-23七年级下·云南曲靖·期末）直线相交于点O，于点O，作射线，且在的内部．
（1）①当在如图1所示位置时，若，求的度数；
②当在如图2所示位置时，若平分，证明：平分；
（2）若，请直接写出与之间的数量关系．
【思路点拨】
（1）①利用余角的定义以及角之间的关系可求出；②利用平分，可得：，再利用垂直得到：，即可证明，平分．
（2）需要分类讨论，当点E，F在直线的同侧和点E，F在直线的异侧两种情况，再分别表示出与，再消去即可．
【解题过程】
（1）解：①∵于点O，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴的度数为；
②∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：设，则，
当点E，F在直线的同侧时，如图：
，
∴，①
，②
令①×3+②×2可得：，
当点E，F在直线的异侧时，如图：
，
∴，①
，②
令②×2-①可得：，
综上所述：或．
2．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，为的角平分线，交于点P，连接，求证：
（3）如图3，在（2）的条件下，过点F作于点M，作的角平分线交于点Q，若平分，且比的多3°，求的度数．
【思路点拨】
（1）根据平行线的性质可得，由等量代换可得，最后根据平行线的判定可得；
（2）过点N作，根据平行线的性质可得，，由角平分线的定义可得，利用等量代换可得，最后根据平行线的性质可得，利用等量代换可得，由角的和差关系可得，等量代换即可得出结论；
（3）如图3，过点N作，设，则，根据平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，利用平行线的性质和等量代换可得，，由平角的定义可得，根据垂线的定义可得，利用平行线的性质可得，从而求出，最后根据平行线的性质和角平分线的定义可得，求出α，即可得到的答案．
【解题过程】
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图2，过点N作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴；
（3）如图3，过点N作，
设，则，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，已知，O为直线上一点，动点E，F在直线上（F在E的右侧）且满足在外部且平分交于点N．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若射线上有一点满足，请探究与之间的数量关系并说明理由；
（3）如图3，若，射线从与射线重合的位置出发，绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从与射线重合的位置出发，绕点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，当射线和射线平行时，求出的值．
【思路点拨】
本题考查了平行线的性质，角的平分线的定义，余角的计算，一元一次方程的应用，分类计算
（1）根据，，得到，结合平分，得到，根据，得到，利用平行线的性质计算的度数即可．
（2）设，则，根据，，得到，结合平分，得到，根据，得到，利用平行线的性质得，
，根据．消去x即可得到与之间的数量关系．
（3）根据，，得到，，然后分解析中四种情况，根据平行线的判定，分类计算即可．
【解题过程】
（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：与之间的数量关系为：．理由如下：
设，则，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴．
（3）解：∵，，，
∴，，
∴，
当时，，，
如图，当时，，
∴，
解得；
如图，当时，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
当时，
如图，当时，，
∵，，
∴，
∴，
解得；
如图，当时，，
∵，，
∴，
∴，
解得，舍去；
综上所述，当或或时，射线和射线平行．
4．（23-24八年级上·山西运城·期末）已知，直线，点P为平面上一点，连接与．
（1）如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数．
（2）如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点P落在外．
①直接写出、、的数量关系为______．
②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______．
【思路点拨】
本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用：
（1）先过P作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可；
（2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到；
（3）①过P作，根据，可得，，进而得到；
②过K作，根据，可得，，进而得到，由①，再根据角平分线的定义，得出，进而得到．
【解题过程】
（1）解：如图1，过P作，
，
，
，，
；
（2）解：，理由如下：
如图2，过作，
，
，
，，
，
过P作，
同理可得，，
与的角平分线相交于点K，
，
；
（3）解：①如图3，过P作，
，
，
，，
，
故答案为：；
②如图3，过K作，
，
，
，，
，
由①知，，
与的角平分线相交于点K，
，
．
5．（23-24七年级上·重庆渝中·期末）如图，直线，直线分别交、于点、．点在直线上方，点在直线上（在点的右边），连接，平分．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若平分，直线交于点，请探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）问的条件下，连接并延长．若，，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，射线始终平分，是内部一条射线，平分，当，且的度数为射线与直线所夹锐角的倍时，直接写出的值（本题研究的所有角度均小于）．
【思路点拨】
（1）根据平分，且，得出，过点作，根据平行线的性质即可求解；
（2）设，，过点作，得出，根据平行线的性质可得过点作，进而根据平行线的性质可得，即可求解；
（3）根据旋转的性质可得，分四种情况讨论，当在的上方时，设，则，依题意，始终平分，平分，则根据得出①，根据得出②，即可求解，进而当在的下方时，则，同理可得；当时，且在的上方和下方时，列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【解题过程】
（1）解： 平分，且，
，
过点作，
，
，
又，
，
，
，
；
（2）解：数量关系为：或．
理由如下：
分别平分和，
设，，
过点作，
，
，
，
，
，
，
过点作，
，
，，
，即，
；
（3）解：∵，平分，则，
∵未旋转前，
则，
，
∵将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，
∴，
当在的上方时，如图所示，
设，则，
依题意，始终平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴①
又∵，即，
即②，
将②代入①得，，
解得：；
当在的下方时，如图所示，
则，解得：，
将代入①得，，
∴；
如图所示，当时，且在的下方时，
设，则，
依题意，始终平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，即，即，
将代入，
解得：，
当在的上方时，则，即，
将代入，
解得：（舍去）
综上所述：或或．
6．（22-23七年级下·重庆潼南·期末）如图1，，点E，F在上，点G在上，点P在之间，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，平分交于点N，，平分， ，求的度数；
（3）如图3，平分交于点N，，平分，平分，交于点M，，，直接写出x : y的值．
【思路点拨】
本题主要考查平行线的判定及性质、角平分线的定义等知识点，正确添加辅助线证明，是解题的关键．
（1）利用平行线的性质得，进而得，即可证明结论；
（2）根据平行线的性质及角平分线证明、，过点P作，进而可证，再根据分别求得，的度数即可解答；
（3）由（2）可知、，由角平分线可得，过点M作，可证，由，，分别表示出，的度数,再根据可得，然后整理即可解答．
【解题过程】
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知，则，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，则，
∴，
过点P作，则，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
（3）解：由（2）可知：，，
∵平分，
∴，
过点M作，则，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
则，即：，整理得：，
∴．
7．（22-23七年级下·湖北武汉·期末）【问题情境】如图1，，直线交于点H，交于点G，点F在直线上．直接写出之间的数量关系为 ．

【实践运用】如图2，，直线交于点H，交于点G，点F在直线上．平分，平分，若，求的度数．

【拓广探索】如图3，，直线交于点H，交于点G，点P为平面内不在直线，，上的一点，若，，则 （直接写出答案，用x，y表示）．

【思路点拨】
问题情境：如图，作，而，则，再利用平行线的性质可得结论；
实践运用：设，平分，可得，由（1）得：，可得．过点M作，则，可得．，再利用角的和差关系可得答案；
拓广探索：对P点的位置有六种可能，再分情况画出图形，利用数形结合的方法解题即可．
【解题过程】
【问题情境】如图，作，而，
∴，

∴，
∵，
∴，
∴．
【实践运用】设，平分，
∴，

由（1）得：，
∴．
∵平分．
∴．
过点M作，则，
∴．
∵，
∴，
∴．
【拓广探索】对P点的位置有六种可能，
①如图所示，作，而

∴，而，，
∴，，
∴，
②如图所示，作，而

∴，
∴，，
∴，
③如图所示，作，而

∴，而，，
∴，，
∴，
④如图所示，作，而记的交点为，

∴，而，，
∴，，
∴，
⑤如图所示，作，而

∴，而，，
∴，，
∴，
⑥如图所示，作，而

∴，而，，
∴，，
∴，
综上：的大小为或或或．
8．（23-24七年级上·福建泉州·期末）大龙湖音乐喷泉灯光秀成为茶乡一道美丽的风景．“灯光秀”为了强化灯光效果，在湖的两岸安置了可旋转探照灯．假定湖两岸是平行的，如图1所示，，，灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至后立即回转，灯B射线从开始绕点B顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯A、灯B转动的速度分别是a度/秒、b度秒．且满足．
（1）填空：______，______；
（2）若灯A射线转动20秒后，灯B射线开始转动，在灯A射线到达之前，B灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯B射线到达之前，两灯射出的光束交于点C．点D在射线上，且，则在转动过程中，是否存在一点D，使得k为定值？若存在，请求出的度数和k的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）利用非负数的性质，进而得出a、b的值；
（2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当和当时，根据平行线的性质列式计算求解即可；
（3）设灯B射线转动时间为秒，根据，，即可得出，当时，在转动过程中，是否存在一点D，使得k为定值，据此求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵，
∴，，
∴，，
故答案为：1，3；
（2）解：设B灯转动秒，两灯的光束互相平行，
当时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得 ；
当时，如图，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行；
（3）解：．
理由：设灯B射线转动时间为秒，

∵，
∴，
又∵，
∴，而，
∴，
∴当时，在转动过程中，是否存在一点D，使得k为定值，
此时，．
9．（22-23七年级下·浙江金华·期末）佛堂古镇的万善浮桥，其夜晚的灯光秀美轮美轮，两岸景观照明还荣获了中国照明学会第十六届照明奖的一等奖．如图1所示，记浮桥两岸所在直线分别为，且，浮桥上装有两种不同的激光灯A和激光灯B（假设以及由A、B两点发出的光射线始终在同一平面内），灯A的光射线以2度每秒的速度从射线顺时针旋转至射线后继续回转，灯B的光射线以5度每秒的速度从射线顺时针旋转到射线后也继续回转，当打开激光灯的总开关时，激光灯A和激光灯B同时开始转动．

（1）若购买2盏灯A和4盏灯B共需10万元，购买3盏灯A和2盏灯B共需8.6万元，请问：购买灯A和灯B的单价分别是多少万元？
（2）打开总开关，当灯A的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，求灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间．
（3）如图2，打开总开关，当灯B的光射线第一次从射线旋转至射线BS的过程中，若灯A和灯B的光射线有交点（记为点O），延长至点E，作与的角平分线并交于点F，求与的数量关系．
【思路点拨】
（1）列二元一次方程组求解即可；
（2）分三种情况画出图形，根据角的关系列出方程求解即可；
（3）过点作，根据平行线的性质和角平分线的定义推导即可.
【解题过程】
（1）解：设买灯A和灯B的单价分别是万元和万元，根据题意，得：
解得：
答：买灯A单价是万元，买灯B的单价是万元．
（2）解：设旋转时间为秒，
灯A的光射线第一次从射线顺时针旋转至射线所需的时间为：(秒)，
灯B的光射线从射线顺时针旋转到射线所需的时间为：(秒)，
①当时，灯A和灯B的光射线恰好互相垂直，如图所示：

作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
于是有：，
解得：；
②当时，灯A和灯B的光射线恰好互相垂直，如图所示：

此时，，，
于是有：，
解得：；
③当时，灯A和灯B的光射线恰好互相垂直，如图所示：

此时，，
，
于是有：，
解得：；
综上可得，当灯A的光射线第一次从射线AQ旋转至射线AP的过程中，灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间为：秒，秒，秒
（3）解：与的数量关系是：
过点作，如图所示：

∵，
∴，
∴，
∵作与的角平分线并交于点F，
∴，
∴
即.
10．（22-23七年级下·北京海淀·期末）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，．

（1）依题意在图1中补全图形，并证明：；
（2）过点C作直线．在直线上取点，使．
①当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系；
②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是________（用含的式子表示）．
【思路点拨】
（1）作，根据平行线的性质证明即可；
（2）①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可；②先确定点到直线的最大距离就是线段的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可．
【解题过程】
（1）证明：补全图形如图所示，作，
∵将线段沿平移得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
即
（2）解：①分两种情况：
点在直线的上方时，如图所示：

由平移的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理，得；
点在直线的下方时，如图所示：

，
∴，
整理，得；
②作，如图所示：

∵，
∴点到直线的距离就是线段的长，
∵，
∴点到直线的最大距离就是线段的长，此时，作于点，如图所示：

由平移的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
11．（22-23七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．

（1）已知点A的坐标为．
①则点A的“长距”是 ．
②在点，，中，为点A的“等距点”的是______；
③若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则m的值为______；
（2）若，两点为“等距点”，求k的值．
【思路点拨】
（1）①根据定义分别求得点A到x轴，y轴的距离，即可求解；
②求出点E，F，G的“长距”，找到与点A是“等距点”的点；
③根据“等距点”的定义可得点的“长距”是3，从而得到，解方程即可求解；
（2）由于点到x轴的距离为，到y轴的距离为1，点到x轴的距离为，到y轴的距离为4，又，为“等距点”，可分两种情况讨论：①若，则，②若，则，解之即可解答．
【解题过程】
（1）①∵点A的坐标为，
∴点A到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，
∴点A的“长距”是3．
故答案为：3
②∵点的“长距”是3，
点的“长距”是3，
点的“长距”是5，
∴点A的“等距点”是点E，F．
故答案为：E，F
③∵点A，B两点为“等距点”，且，
∴，
解得或．
故答案为：或
（2）∵点到x轴的距离为，到y轴的距离为1，
点到x轴的距离为，到y轴的距离为4，
又，为“等距点”，
∴①若，则，
解得（舍去）或．
②若，则，
解得或（舍去）
综上所述，或．
12．（22-23七年级下·四川南充·期末）如图，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴负方向平移，平移后的图形为三角形，且点的坐标为．

（1）点E的坐标为________，点B的坐标为________；
（2）在四边形中，点从点出发，沿“”移动．若点的速度为每秒1个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题：
①当________时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
②当时，设，，，试问，，之间的数量关系能否确定？若能，请用含，的式子表示；若不能，请说明理由．
③当点运动到什么位置时，直线将四边形的面积分成两部分？
【思路点拨】
（1）依据平移的性质可知轴，，然后依据点和点的坐标可得到点和点的坐标；
（2）①依据点的坐标可得到和的长，当点在上时，点的纵坐标为2，然后依据横坐标与纵坐标互为相反数可求得的值，当点在上时，横坐标为，然后依据横坐标与纵坐标互为相反数可得到问题的答案；②先由的范围可得到点在线段上时，点的坐标为．过点作交于点，则，然后依据平行线的性质可得到，，最后，再依据角的和差关系进行解答即可；
③分以下两种情况：点在上和点当在上两种情况，然后依据直线将四边形的面积分成两部分求解即可．
【解题过程】
（1）解：将三角形沿轴负方向平移，
∴轴，．
，，
，．
故答案为：；．
（2）解：①点的坐标为，
，．
点的横坐标与纵坐标互为相反数，
点在线段上，
，即，
当秒时，点的横坐标与纵坐标互为相反数．
故答案为：2．
②能确定．，
点在线段上时，点的坐标为．
如图，过点作交于点，则，

，，
，
；
③分以下两种情况：
．如图2所示：点在上．

当时，点在上，
此时，，，，，
则，．
依题意得或，
解得（不合题意，舍去）或，
点的坐标为；
．如图3所示：点当在上．

时，点当在上，此时，，
直线将四边形分为五边形和三角形两部分．
，
．
依题意得或，
解得（不合题意，舍去）或，
，
点的坐标为．
综上所述，当点运动到或的中点时，直线将四边形的面积分成两部分，此时，点的坐标为或．
13．（22-23七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，点，，，满足．
（1）求点A，的坐标；
（2）如图1，平移线段至，使点A的对应点落在轴正半轴上，连接，．若，求点的坐标；
（3）如图2，平移线段至，点的对应点的坐标为，与轴的正半轴交于点，求点的坐标．
【思路点拨】
本题考查的是坐标与图形面积，坐标系内点的平移规律，算术平方根的非负性的性质：
（1）根据非负数的性质先求解，的值，从而可得答案；
（2）如图，过作轴的平行线，与过A，作轴的平行线交于点，，设，结合，再建立方程求解即可；
（3）确定平移方式为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，可得，如图，过作轴的平行线与过作轴的平行线交于点，与轴交于点，求解，设，可得，再解方程可得答案；
熟练运用等面积法建立方程是解本题的关键．
【解题过程】
（1）解： ，，
，，
，，
，；
（2）解：如图，过作轴的平行线，与过A，作轴的平行线交于点，，
，横坐标为0，
则A到向右平移了1个单位，，
设，
，
，
，
，
由平移的性质可得：，即；
（3）解：，，
平移方式为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，
，
，
如图，过作轴的平行线与过作轴的平行线交于点，与轴交于点，
，，
，
设，
，
解得：，
，
．
14．（22-23七年级下·天津西青·期末）如图①，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，且，满足关系式：，现同时将点，向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，的对应点，，连接，，．

（1）______，b=______，点C的坐标为_________，点D的坐标为_________；
（2）连接 ，在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）如图②，点是直线上一个动点连接，，当点在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系．
【思路点拨】
（1）根据算术平方根和绝对值的意义得没从而得出，的值，根据平移的性质，进一步得出结果；
（2）根据，得出，结合，得出，进一步得出结果；
（3）分为：当点在上时，可延长，交轴于，可推出，，从而；当点在的延长线上时，设交于，可推出，，从而得出；当点在的延长线时，设交于，可推出，，从而．
【解题过程】
（1）解：由题意得，
，
，
，，
，，，
，，
故答案为：，2，，；
（2）由题意得，
，
，
，
，
，
，，
，或；
（3）如图，

当点在上时，延长，交轴于，
，
由平移可得，
，
，
如图2，

当点在的延长线上时，设交于，
，
，
，
，
如图3，

当点在的延长线时，设交于，
，
，
，
．
15．（22-23七年级下·河南洛阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，．

（1）直接写出坐标：点（_____，______），点（_____，______）；
（2），分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长，点从点出发向点运，速为每秒个单位长度，两点同时出发，求几秒后轴？
（3）若点是轴正半轴上一动点（不与点重合），问、与存在怎样的数量关系？请直接写出结论．
【思路点拨】
（1）利用平移变换的性质求解；
（2）设秒后轴，构建方程求解即可；
（3）分两种情形：①当点在点左侧时；②当点在点右侧时，利用平行线的性质分别求解即可．
【解题过程】
（1）解：由题意，可得 ，．
故答案为：，3，，；
（2）设秒后轴，如下图，则，，

∵，
∴，
∴，，
∵轴，
∴，
，
解得，
∴秒时，轴；
（3）①如下图中，当点在点左侧时，

作，连接，，
∴，
由平移的性质可知，
∴，
∴，
∴，
即；
②如图2中，当点在点右侧时，

作，连接，，
∴，
由平移的性质可知，
∴，
∴，
即．
综上所述，、与存在的数量关系为或．
16．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将线段平移后得到线段，点在轴上，连接、，交轴于点，轴．

（1）直接写出点、点的坐标；
（2）点为线段上一点，点的横坐标为，连接、，用含的式子表示三角形的面积（不要求写出取值范围）；
（3）在（2）的条件下，线段与线段重合（点与点重合，点与点重合），将线段沿轴向下平移，连接、、、、，当三角形的面积比三角形的面积大2时，，求点的坐标．
【思路点拨】
（1）根据轴，得到点纵坐标为，利用平行的性质，得到点坐标，进而得到点坐标；
（2）根据题意画出图形，利用三角形的面积公式进行求解即可；
（3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解．
【解题过程】
（1）∵点平移后在轴上，
∴点先向右平移4个单位，
∵轴，
∴点纵坐标为，
∴点向上平移2个单位，
∴平移规则为，先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，
∴；
（2）如图：

∵
∴，
∵的横坐标为，
∴的画积为；
（3）①当在上时，如图：

设，则，
∵，，
∴，，
∴，，
∵的面积比三角形的面积大2，
∴，
解得：，
∴，
∴；
②当在的延长线上时，如图：

设，则，
∴，，
∵的面积比三角形的面积大2，
∴，
解得：，
∴，
∴；
综上：或．
17．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移至线段，使点的对应点恰好落在轴的正半轴上，设点的坐标为，点的对应点在第一象限．

（1）求点的坐标（用含的式子表示）；
（2）连接，．如图2，若三角形的面积为8，求的值；
（3）连接，如图3，分别作和的平分线，交于点，试探究，和之间的等量关系，并说明理由．
【思路点拨】
（1）由A，C的坐标变化得出平移方式，从而可得答案；
（2）如图，过作轴于，过作轴于H，可得，，结合，，，可得，，由，再建立方程求解即可；
（3）如图，过作，由平移的性质可得：，可得，可得，，，，证明，再结合角平分线可得结论．
【解题过程】
（1）解：∵点，，设点的坐标为，
∴平移方式为向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，
∴；
（2）如图，过作轴于，过作轴于H，
∴，，而，，，

∴，，
∴，
∴，
解得：；
（3）；理由如下：
如图，过作，

由平移的性质可得：，
∴，
∴，，，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴．
18．（22-23七年级下·湖北武汉·期末）已知，d为4的算术平方根，点，，，且．

（1）直接写出 ， ， ；
（2）如图1，若点C在直线AB上，求a的值 ；
（3）平移线段AB，点A的对应点M在y轴的正半轴上，点B的对应点N恰好在x轴的负半轴上，点P以每秒3个单位长度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒2个单位长度从N点向x轴正半轴运动，直线NP，MQ交于点D，设点P，Q运动的时间为t秒．
①如图2，当时，探究三角形MPD的面积和三角形NQD的面积的数量关系，并说明理由；
②若三角形MDN的面积为10，直接写出点D的坐标．
【思路点拨】
（1）由算术平方根、绝对值的非负性知，解得，，；
（2）过A作轴，连接，则， ，求得.（3）根据题意，，沿y轴负方向平移2个单位，得，，①，， ，，于是， 可证. ② 时，，，，点D不存在.当，如图1，点D在三角形内部，此时，不符合题意.当时，如图2，点D在第四象限，设，由①得，得，连接OD，则，解得；当时，如图3，点D在第二象限，得，连接OD，则，解得．
【解题过程】
（1）由知，
，，解得，
；
（2）过A作轴，连接.

由（1）得，，，
，
，，

，
解得.
（3）依题意，平移后点的对应点M在y轴的正半轴上，点的对应点N在x轴的负半轴上，
∴，沿y轴负方向平移2个单位，
∴，
①.
理由如下：由题意得，，
，，
，

，
，
，
即.
②或.
当 时，，
PQ可以看作由MN向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度得到，
此时，点D不存在.
当，如图1，点D在三角形内部，此时，不符合题意.

当时，如图2，点D在第四象限，
设，由①得
连接OD，
，
当时，如图3，点D在第二象限，

连接OD，
，
综上，点D的坐标为或.
19．（22-23七年级下·重庆开州·期末）（1）如图1，在平面直角坐标系中，满足．直接写出a、b的值：__________；__________；
（2）如图2，在（1）问条件下将线段向右平移，平移后A、B的对应点分别为D、E，线段交y轴于点C，当和面积相等时，求点D、点E的坐标；
（3）在（2）问的条件下，延长交x轴于点F，点F的坐标为，过点E作直线轴，动点P从点E沿直线l以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点F沿x轴以每秒个单位的速度向右运动，当最小时，直接写出三角形的面积．

【思路点拨】
（1）利用算术平方根的非负性求解即可；
（2）由（1）知：，设平移的距离为m，则点D、E的坐标分别为，过点D作轴于点M，过点E作轴于点N，则由，得，即，解得，即可求得点D，E的坐标；
（3）过点D作轴于点H，过点E作轴于点G，由，，求得，由垂线段最短可知，当最小时，则，得运动时间为秒，易得，由即可求得三角形的面积．
【解题过程】
解：（1）∵，
∴
∴；
故答案为：4，；
（2）由（1）知：，
设平移的距离为m，则点D、E的坐标分别为：，
过点D作轴于点M，过点E作轴于点N，

则，
若，则，
，
，
解得：，
∴点D的坐标为，点E的坐标为；
（3）由（2）可知点D的坐标为，点E的坐标为，过点D作轴于点H，过点E作轴于点G，则，，，，，

则，
∴，

∵轴，点P从点E沿直线l以每秒2个单位长度的速度向左运动，
∴点的纵坐标始终为8，，，
由垂线段最短可知，当最小时，，即轴，
则，此时点的横坐标始为，则，
∴，则运动时间为：秒，
∵动点Q从点F沿x轴以每秒个单位的速度向右运动，
∴，
∵点F的坐标为，
∴
∴．
20．（22-23七年级下·广东广州·期末）已知点，，，过点C作x轴的平行线m，交y轴于点D，一动点P从C点出发，在直线m上以1个单位长度/秒的速度向右运动，

（1）如图，当点P在第四象限时，连接，作射线平分，过点O作．
①填空；若，则______；
②设，求a的值．
（2）若与此同时，直线m以2个单位长度/秒的速度竖直向上运动，设运动时间为t秒，点P的坐标为
①在坐标轴上是否存在满足条件的点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②求x和y的关系式．
【思路点拨】
（1）①由轴直线m可得，，由角平分线的定义得到，由垂直的定义知，即可求得；
②由角平分线的定义，可把表示为，因此，由于，故可得到a的值为2；
（2）①由题意，经过t秒后，点P的坐标为，然后分点P在x轴上和点P在y轴上两种情况求点P的坐标，进而求出，可得到点P坐标为时符合题意；
②由①知，消去t，即可得到x和y的关系式为．
【解题过程】
（1）解：① 轴直线m，
，
，
，
平分，
，
，
，
．
故答案为：
②平分，
，
，
，
，
即a的值为2．
（2）解：①存在符合题意的点P．
由题意，经过t秒后，点P的坐标为，
若点P在x轴上，则，解得，
，
∵，
，
∴，不合题意；
若点P在y轴上，则，解得，
，
，，符合题意．
故使得的点P的坐标为；
②由①知，
由得，
代入，得，
故x和y的关系式为．
21．（22-23七年级下·湖北鄂州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B均在x轴上，点C在第一象限，直线AC与y轴交于点D，且直线AC上所有点的坐标都是二元一次方程的解，直线BC上所有点的坐标都是二元一次方程的解．
（1）求点C的坐标时，小聪是这样想的：先设点C的坐标为，因为点C在直线AC上，所以是方程的解；又因为点C在直线BC上，所以是方程的解，从而m，n满足据此可求出点C的坐标为______，再求出点A的坐标为______，点B的坐标为 ；
（2）求四边形BODC的面积；
（3）点是线段BC上一点，若点E的纵坐标，则点E的横坐标x的取值范围是 ；
（4）在y轴上是否存在点P，使三角形ACP的面积等于三角形ABC面积的倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）解方程组可求出点坐标，解方程可求出和点坐标；
（2）连接OC，计算出点D坐标，根据，即可计算出四边形BODC的面积；
（3）因为点是线段BC上一点，把代入，根据和点坐标，确定点E的横坐标x的取值范围；
（4）画图分析（小问4详解），设点，分两种情况：点P在直线AC上方时；点P在直线AC下方时，讨论计算得到相应点P的坐标．
【解题过程】
（1） ，满足，
，
点，
点在轴上，又在直线上，
令，则，
，
同理，令，则，
，
；
故答案为：，，；
（2）直线AC与y轴交于点D，
点，
连接OC，
即．
（3）点是线段BC上一点，
，
，
，
，
，
点E是线段BC上一点且，
．
故答案为：；
（4）存在
，
设点，如下图，
点P在直线AC上方时，，则有，
解得；
点P在直线AC下方时，，则有，
解得；
符合条件的点P存在，其坐标为或．
22．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练面直角坐标系中，有三个点A、B、C，，m，n满足（t为实数）其中a，b，c为满足．

（1） ______， _______
（2）当时，将线段竖直向上平移3个单位长度，再水平平移e个单位长度到，点B对应，点C对应，若A，，三点共线，求线段的水平平移方式；（提示：面积法）
（3）若A点和C点关于y轴对称，在x轴上是否存在一点，使，若存在，求出k的取值范围．
【思路点拨】
（1）根据题意利用二次根式有意义可得，解得，再根据绝对值非负性
和二次根式非负性得，解得；
（2）当时，求出，再根据平移得到，再过点A作轴交过点作轴于点D，连接，得到，利用面积等式即可得到；
（3）根据题意得到，，，即，继而得到，再延长交x轴于点D，设点D坐标为，利用面积等式即可得到．
【解题过程】
（1）解：∵，
∴，即，
∴，
∴，解得，
故答案为：3，1；
（2）解：当时，原方程组为：，解得：，
∴，
∵线段竖直向上平移3个单位长度，再水平平移e个单位长度到，
∴，
如图，过点A作轴交过点作轴于点D，连接，
，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴线段的水平向左平移1个单位长度；
（3）解：存在，
∵A点和C点关于y轴对称，
∴，
又∵，
∴解得：，，，
∴，
∴，
延长交x轴于点D，设点D坐标为，
，
过点B作轴交于x轴点E，
∴，连接，
∵，
∴，
解得：，
∴点D坐标为，
，
∵，
∴且，
∴且，
∴且，
∴存在，k的取值范围为：且．
23．（22-23七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，，，，且，满足．
（1）求点的坐标；（用含的式子表示）
（2）过点作交轴于点，当时，
①求的面积；
②若点在直线上，且点的横坐标为5，求点的纵坐标．
【思路点拨】
（1）运用加减消元法，分别求得，，即可求解；
（2）①连接，根据题意求得，设，根据平行线的性质可得，列式求得，即可求解；
②设的纵坐标为，连接，根据，列式求解可得，即可求解．
【解题过程】
（1）解：由①+②，得：，
∴，
由① ②，得，
∴，
∴
（2）解：①如图，连接，

，
，
，
，
设，
根据图象，得点在轴正半轴
，
，
，
，
，
，
②设的纵坐标为，如图，连接，

根据图象，得点在第一象限
，
即点的纵坐标为．
24．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）规定：若是以为未知数的二元一次方程的整数解，则称此时点为二元一次方程的“理想点”．请回答以下关于的二元一次方程的相关问题．
（1）已知，请问哪些点是方程的“理想点”？哪些点不是方程的“理想点”？并说明理由；
（2）已知为非负整数，且，若是方程的“理想点”，求的平方根；
（3）已知是正整数，且是方程和的“理想点”，求点的坐标．
【思路点拨】
本题考查二元一次方程组与新定义的综合，理解“理想点”的含义并灵活运用是解题的关键.
（1）根据“理想点”定义进行判断即可；
（2）根据题意求出和的值，进一步求解即可；
（3）解二元一次方程组，得出 ，再根据“理想点”定义求出和的值即可.
【解题过程】
（1）点是方程的“理想点”， 点， 点不是方程的“理想点”， 理由如下：
∵时，；
时，；
时；
∴点是方程的“理想点”， 点， 点不是方程的“理想点”；
（2）解：把代入方程，得，
又∵，解得 ，
∵为非负整数，
，
，
；
（3）根据题意，得 ，
解得 ，
∵是整数，
或 ，
∵是整数，
或 或，
或 ，
当时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
综上，点坐标为或 或或
25．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足，就称点为“郡麓点”．例如：点，令，得，，所以不是“郡麓点”；点，令，得，所以是“郡麓点”．
（1）请判断点点，是否为“郡麓点”：______；
（2）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求的值；
（3）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求正整数a，b的值．
【思路点拨】
（1）根据“郡麓点”的定义分别判断即可；
（2）先关于x，y的方程组的解，直接利用“郡麓点”的定义得出关于方程，解方程求出的值进而得出答案．
（3）先关于x，y的方程组的解，直接利用“郡麓点”的定义得出关于、的二元一次方程求出正整数解即可．
【解题过程】
（1）解：点，令，
得，
，
不是“郡麓点”，
点，令，
得，
，
是“郡麓点”；
故答案为：B．
（2）解：方程组的解为，
点，是“郡麓点”，
，
，
，
，
解得
的值为10．
（3）解：方程组的解为，
点是“郡麓点”，
，
，
，
，
解得，
a，b为正整数，
或或或．
26．（22-23八年级下·全国·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 6 9 10
汽车运费（元/辆） 500 600 600
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，要求三种车同时参与运货，你能求出几种车型的辆数吗？
（3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．
【思路点拨】
（1）找准等量关系：甲运物资乙运物资，甲运费乙运费，列二元一次方程组求解即可．
（2）找准等量关系：甲运物资乙运物资丙运物资，甲车数量乙车数量丙车数量辆，列三元一次方程组然后消元变成二元一次方程组，注意结合实际情况，甲乙丙车辆数均为非负整数，列出可行的方案．
（3）分别计算各个方案需要的运费，对比得出最省运费．
【解题过程】
（1）解：设需要甲车x辆，需要乙车y辆．
根据题意可得：，
解得：．
答：需要甲车8辆，乙车10辆．
（2）设三种车同时参与时，需要甲车x辆，乙车y辆，丙车z辆．
根据题意得：，
消去z可得：，即：．
由于x、y、z均是非负整数，且三种车共16辆要求同时参与所以x与y都不能大于14，得： 3，4，5．
解得：，，．
所以共有三种方案：①甲车3辆，乙车10辆，丙车3辆；②甲车4辆，乙车6辆，丙车6辆；③甲车5辆，乙车2辆，丙车9辆．
（3）三种方案的运费分别是：
①（元）；②（元）；③（元）．
对比可知第三种方案，甲车5辆、乙车2辆、丙车9辆时运费最省，最省是9100元．
27．（22-23八年级下·黑龙江大庆·期末）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，．
购进的台数 购进所需要的费用（元）
A型 B型
第一次 10 20 3000
第二次 15 10 4500
（1）求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？
（2）A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．
①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？
②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？
【思路点拨】
（1）根据等量关系式：第一次购买台A型台灯的费用第一次购买台B型台灯的费用元，第二次购买台A型台灯的费用第二次购买台B型台灯的费用元，列出方程组，接可求解；
（2）①根据等量关系式：第一次的台A型台灯的利润第一次的台B型台灯的利润元，第二次的台A型台灯的利润第二次购买台B型台灯的利润元，列出方程组，接可求解；
②设再购进A型台灯a台，B型台灯台，由按第二次购买的价格购买，a台A型台灯售出获得利润 台B型台灯售出获得利润元，列方程即可求解．
【解题过程】
（1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元．
（2）解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元，
由题意得：，
解得，，
答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；
②第二次购进的A型台灯的价格为：（元），B型台灯的价格为：（元），
设购进A型台灯a台，B型台灯台，
由题意得：，
整理得：，
∴
a、b为自然数，
或或或，
有4种购进方案：
①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台．
28．（22-23七年级下·四川·期末）定义：对于任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相等，且都不为零，那么称这个两位数为“柠安数”．将一个“柠安数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新的两位数32，新两位数与原两位数的和为，和55与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：①下列两位数：60、58、88、31中，“柠安数”为__________；②计算：__________；
（2）如果一个“柠安数”的十位数字为，个位数字是，且，请求出“柠安数”；
（3）如果一个“柠安数”满足，求满足条件的的值．
【思路点拨】
（1）①有“柠安数“的定义可得；
②根据定义计算即可；
（2）根据一个“柠安数”m的十位数字为n，个位数字是，则，由于，则，建立方程求n即可求m的值；
（3）设x十位数字为a，个位数字为b，根据列出不等式，即可写出满足条件的x的值．
【解题过程】
（1）解：①由“柠安数”的定义：个位数字与十位数字互不相等，且都不为零，可知“柠安数”为：58，31；
②，
故答案为：①58，31；②6；
（2）∵任意一个“柠安数”m的十位上的数字是n，个位上的数字是，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
（3）设x的十位上的数字是a，个位上的数字是b，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵a为整数，
a可取7，8，9，
当时，，
∴，
∴，，
当时，，
∴，
∴或2，或82，
当时，，
∴，
∴或2或3，或92或93，
综上所述，满足条件的x的值为71，81，82，91，92，93．
29．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或．
（1）方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ；
（2）已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值；
（3）已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”求的值．
【思路点拨】
（1）先根据定义写出方程的“交换系数方程”，联立组成方程组，解方程组即可；
（2）先求出与它的“交换系数方程”组成的方程组的解，代入，得到p，m，n的关系，再代入即可求解；
（3）先写出的“交换系数方程”，令的各未知数的系数与2个“交换系数方程”的对应系数相等，得到2个方程组，最后求出符合条件的m的值即可．
【解题过程】
（1）解：由题意知，方程的“交换系数方程”为或，
方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为：
①或②，
解方程组①，得，
解方程组②，得，
故答案为：或；
（2）解：与它的“交换系数方程”组成的方程组为：
①或②，
解方程组①，得，
由，得，
因此方程组①的解为，
解方程组②，得，
由，得，
方程组②的解为，
与它的“交换系数方程”组成的方程组为，
将代入，得，
．
（3）解：关于，的二元一次方程的“交换系数方程”为，或，
当与的各系数相等时，
可得方程组，
解方程组可得，与m为整数不符，不合题意；
当与的各系数相等时，
可得方程组，
解得，
∵，
∴，即
解得，
∵m为整数，
∴．
30．（22-23七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知点，，连接．
（1）若，，求线段的长；
（2）若，
①平移线段，使点A，B的对应点分别为点，，求c的值；
②连接，，记三角形的面积为S，若，，时，求b的取值范围．
【思路点拨】
（1）可求，，可得纵坐标相同，故线段轴，即可求解；
（2）①由平移得，结合，即可求解；②可求，，当时，可求，从而可求；当且时，可得，从而可求；当时，可求，从而可求；综上即可求解．
【解题过程】
（1）解：当，时，
，，
纵坐标相同，
线段轴，
．
故线段的长为．
（2）①解：由题意得
，
整理得：，
，
，
解得：，
故的值为．
②解： ，
，
当时，
，，
如图，当时，

，
，
，
解得：，
；
如图，当且时，

，
，
，
且时，一定成立；
如图，当时，

，
，
，
解得：，
；
综上所述：且．
31．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．
例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”
（1）已知①，②，③，试判断方程解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”；
（2）若关于x，y的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且m为整数，求m的值．
（3）若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围．
【思路点拨】
（1）先求出方程的解和不等式组的解集，即可判断；
（2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出，解不等式组即可；
（3）先求出不等式组的解集，不等式组有7个整数解，即可得出，然后解方程得：，，根据“梦想解”的定义得出，即可得出．
【解题过程】
（1）解方程得，
解①得：，故方程不是①的“梦想解”；
解②得：，故方程不是②“梦想解”；
解③得：，故方程是③的“梦想解”；
故答案为：③
（2）解方程
得：
∴
∵解是不等式组的梦想解
∴
∴
m为整数，
∴m为14或15；
（3）解不等式组得：，
不等式组的整数解有7个，
令整数的值为，，，，，，
则有：，．
故，
且，
，
，
，
，
解方程得：，
方程是关于的不等式组的“梦想解”，
，
解得，
综上的取值范围是．
32．（22-23七年级下·北京石景山·期末）对于二元一次方程的任意一个解给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”．
（1）写出方程的一个解，并指明此时方程的“关联值”；
（2）若“关联值”为4，写出所有满足条件的方程的解；
（3）直接写出方程的最小“关联值”为______；当关联值为时，直接写出x的取值范围是______．
【思路点拨】
（1）根据“关联值”的概念求解即可；
（2）根据“关联值”为4分情况列方程求解即可；
（3）根据题意得到，进而得到当增大时，先减小到0，然后再增大，然后联立求解即可；根据题意分四种情况分别列出不等式求解即可．
【解题过程】
（1）当时，即，
解得，
∵
∴此时方程的“关联值”为1，方程的解为（答案不唯一）；
（2）∵“关联值”为4，
∴①当时，即，解得，
∴方程的解为；
②当时，即，解得，
∴方程的解为；
③当时，即，解得，
∵，
∴不符合题意，应舍去；
④当时，即，解得，
∵，
∴不符合题意，应舍去；
综上所述，所有满足条件的方程的解有，；
（3）∵
∴，
∵当时，，
当增大时，先减小到0，然后再增大，
∴当时，方程取得最小“关联值”，
∴联立，解得
∴方程的最小“关联值”为；
当关联值为时，即，
∴，
∴
∴①当，时，即，时，
∴，解得，
∴；
②当，时，即，时，
∴，解得，
∴；
③当，时，即，时，
∴，解得，
∴；
④当，时，即，时，
∴，解得，
∴；
综上所述，当或时，关联值为．
33．（22-23七年级下·四川凉山·期末）某体育用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳根，乙种跳绳5根，需要元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要元．
（1）求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？
（2）若该体育用品店刚好用了元购进这两种跳绳，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量不少于根，那么该文具店共有哪几种购买方案？
（3）若该体育用品店销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【思路点拨】
（1）设购进甲种跳绳每根需要a元，购进乙种跳绳每根需要b元，然后根据题意建立二元一次方程组求出其解即可；
（2）设购进甲种跳绳x个，则购进乙种跳绳个，然后根据题意建立不等式组求出其解即可；
（3）根据（2）的结论，结合题意，分别求得利润，比较即可求解．
【解题过程】
（1）解：设购进甲种跳绳每根需要a元，购进乙种跳绳每根需要b元，由题意得：
，解得：，
答：购进甲种跳绳每根需要元，购进乙种跳绳每根需要元．
（2）解：设购进甲种跳绳x个，则购进乙种跳绳个，根据题意得，
解得：，
∵为正整数，
∴，
当时，，
当时，，不是整数，不符合题意，舍去，
当时，，
当时，，不是整数，不符合题意，舍去，
当时，，
答：该商店有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案②购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案③购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；
（3）解：∵销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，
由（2）可知，方案①：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，则利润为；
方案②：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，则利润为；
方案③：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，则利润为；
∵，
∴方案③：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，获利最大，最大利润是元．
34．（22-23七年级下·福建莆田·期末）莆阳“开春、开河、开街、开村”活动中发放兴化府历史文化街“美食节”消费券．每人可领取A型消费券（满25减10元）张，B型消费券（满58减20元）张，C型消费券（满168减60元）1张．王明一家5人都领到了消费券，使用消费券共减了380元．
（1）若王明一家用了2张A型消费券，6张B型消费券，他们用了 张C型消费券．
（2）若王明一家用了12张A，B，C型的消费券消费，其中A型比C型的消费券多1张，求A，B，C型的消费券各用了多少张？
（3）若王明一家仅用两种不同类型的消费券消费，如何搭配使用消费券，使得实际支付的最少金额不超过680元？
【思路点拨】
（1）可求型消费券减免的金额数，即可求解；
（2）设C型消费券为x张，则A型消费券张，B型消费券为张，由共共减了380元，列方程，即可求解；
（3）设用了C型消费券为x张，B型消费券用了y张，A型消费券用了z张，则，，且x，y，z为非负整数；进行分类讨论：①当用B，C型消费券时，②当用A、C型消费券时，③当用A、B型消费券时，分别求出符合的情况，进行比较即可求解．
【解题过程】
（1）解：（元），
（张），
故答案：．
（2）解：设C型消费券为x张，则A型消费券张，B型消费券为张，由题意得，
，
解得：，
，，
答：A型消费券用了6张，B型消费券用了张，C型消费券用了张．
（3）解：设用了C型消费券为x张，B型消费券用了y张，A型消费券用了z张，则，，且x，y，z为非负整数；
①当用B，C型消费券时，
，
，
，
，
，
，
不合题意，舍去．
②当用A、C型消费券时，
，
，
，
，
，
，且x为整数，
又时，，不合题意，舍去，
则，此时，实际支付金额最少；
③当用A、B型消费券时，
，
，
，
，
，
，
，
不合题意，舍去．
综上所述：使用A型消费券8张，C型消费券5张使得实际支付的最少金额不超过680元．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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