资源简介

2024年山东中考最后一卷
数学
注意事项：
1．本试卷共有三个大题，分为单项选择题、填空题、解答题，满分150分，考试时间120分钟。
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。
一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.）
1．2024的相反数是（ ）
A．2024 B． C． D．
2．下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．一根直尺和一个角的三角板按如图方式叠合在一起，若经，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．2022年10月12号，“神舟十四号”飞行乘组在距地面约390000米的中国空间站问天实验舱开展第三次“天宫课堂”，大大激发了广大青少年对航天的兴趣．数据“390000”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若关于的方程无解，则的值为（ ）．
A．0 B．4 C．0或4 D．4或6
7．为激发青少年对科学的兴趣，某校组织了中学生应急科普教育活动，九（1）班的小安和另外2名学生以及九（2）班的小徽、小美共5名学生成绩名列前茅．若学校决定从九（1）班的这3名学生中抽取1人，从九（2）班的这2名学生中抽取1人共同去参观防灾减灾科普馆，则抽到的恰好是小安和小徽的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图是古诗《登飞来峰》，如果“云”用表示，“千”用表示，那么“升”可以表示为（ ）
登 飞 来 峰
飞 来 山 上 千 寻 塔 ，
闻 说 鸡 鸣 见 日 升 ，
不 畏 浮 云 遮 望 眼 ，
自 缘 身 在 最 高 层 ．
A． B． C． D．
9．如图反比例函数与的一个交点为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．若抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）
11．分解因式： ．
12．袋中有5个黑球，3个白球和2个红球，每次摸一个球，摸出后再放回，在连续摸9次且9次摸出的都是黑球的情况下，第10次摸出红球的概率为 ．
13．如图1是我国古建筑墙上常用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个内角的度数是 ．
14．若，则 ．
15．小明和小亮的家分别位于新华书店的东西两边，他们相约同时出发到新华书店购买书籍，小明骑车小亮步行．小明、小亮到新华书店的距离（m），（m）与时间（min）之间的关系如图所示，经过 min，他们途中到书店的距离相等．
16．如图，在矩形中，，，点E是边上一动点．把沿着折叠，当点的对应点恰好落在矩形的对称轴上时， ．

三、解答题（共86分）
17．（本题6分）计算：；
18．（本题6分）解不等式组，并写出它的整数解．
19．（本题6分）已知点，分别是平行四边形的边，的中点．求证：．

20．（本题8分）为了增进学生对航天知识的了解，某校举行了以“航空知识”为主题的知识竞赛活动．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取若干名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图．其中的“”数据如下：
61，73，62，78，75，63，65，77，79，65，67，68，75，78，69，71，72，74，75，76
竞赛成绩分组统计表
组别 竞赛成绩分组 频数 平均分
A 8 65
B a 75
C 20 88
D b 95
竞赛成绩扇形统计图
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)______；______；
(2)“”这组数据的众数是 分；
(3)随机抽取的这些学生竞赛成绩的平均分是______分；
(4)若学生竞赛成绩达到75分以上（含75分）获奖，请你估计全校1200名学生中获奖的人数．
21．（本题8分）为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡长米，坡角（即）为，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线的休闲平台和一条新的斜坡（下面两个小题结果都保留根号）．
(1)若修建的斜坡的坡比为，求休闲平台的长是多少米？
(2)一座建筑物距离A点33米远（即米），小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角（即）为．点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且，问建筑物高为多少米？
22．（本题8分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品．欧几里得使用了公理化的方法，这一方法后来成了建立任何知识体系的典范，在差不多二千年间，被奉为必须遵守的严密思维的范例．这本著作是欧几里得几何的基础，在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍．
小明在研究《几何原本》时，对定理4.2展开分析研讨：
定理4.2 在一个已知圆内作一个与已知三角形等角的内接三角形．
原书作法如下：
如图1，为已知三角形，为已知圆，过上一点P作的切线，作，交于点F，作，交于点E，连接，即为所求．
小明准备将原命题证明并进行拓展研究，请分析并帮助小明完成．
(1)已知：直线切于点P，点E，F为上一点，若______，
求证：____________．
请将已知和求证补充完整并证明．
(2)若，，，求的半径．
23．（本题10分）今年荆州马拉松比赛召开前，某体育用品专卖店抓住商机，计划购进两种跑鞋共双进行销售．已知元全部购进种跑鞋数量是全部购进种跑鞋数量的倍，种跑鞋的进价比B种跑鞋的进价每双多元，两种跑鞋的售价分别是每双元，元．
(1)求两种跑鞋的进价分别是多少元？
(2)该体育用品专卖店根据以往销售经验，决定购进种跑鞋的数量不多于种跑鞋的，销售时对种跑鞋每双降价出售．若这批跑鞋能全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？
24．（本题10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)设直线与x轴交于点C，若为y轴上的一动点，连接，当的面积为3时，求点P的坐标．
25．（本题12分）综合与实践：
【问题情景】
综合与实践课上，王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动．
【实践操作】
王老师让同学们先画出两个等边和，将绕点A旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决．
（1）如图①，“慎思组”的同学们连接、，与的数量关系是 ；与的数量关系是 ；的度数是 度．
（2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接，他们认为，如果，且，就可以求出的长，请写出求解过程．
【类比探究】
（3）如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角和，其中，，；且点恰好落在上，那么、和之间一定存在某种数量关系，请你探究后直接写出它们之间的数量关系．
26．（本题12分）抛物线（a，b为常数，a≠0）与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C，点D为线段上的一个动点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当的周长最小时，求点D的坐标；
(3)连结，过点D作，与抛物线在第一象限的部分相交于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页2024年山东中考最后一卷
数学解析及参考答案
一、单选题
1．B
【分析】本题考查了相反数，“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据相反数的定义即可求解．
【详解】解：2024的相反数是,
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，理解三视图的定义是解题的关键．
从正面看得到主视图，据此判定即可．
【详解】从正面看，上层有1个正方形，下层有3个正方形，
∴它的主视图是：
故选：A．
3．A
【分析】本题考查的是平行线的性质，平角的定义，先求解，再利用平行线的性质可得答案．
【详解】解：如图，∵，，
∴，
∵，
∴，
故选A
4．C
【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数是关键，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，是正整数；当原数的绝对值小于1时，是负整数．根据科学记数法的表示方法求解即可；
【详解】，
故选：C；
5．D
【分析】根据幂的乘方运算法则判断A，根据单项式除以单项式的运算法则判断B，根据完全平方公式判断C，根据幂的乘方与积的乘方运算法则判断D．
【详解】解：A、原式=a12，故此选项不符合题意；
B、原式=2a2，故此选项不符合题意；
C、原式=x2+2xy+y2，故此选项不符合题意；
D、原式=，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查整式的混合运算，掌握幂的乘方（am）n=amn，积的乘方（ab）n=anbn运算法则，完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2是解题关键．
6．C
【分析】本题考查了分式方程无解的情况，熟练掌握分式方程无解的条件是解题关键．分式方程无解，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解．先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，或，进行计算即可．
【详解】解：方程两边同时乘以，得，
整理得，
∵原方程无解，
∴当时，，此时符合条件；
当时，或，
此时，
解得或，
当时，无解；
当时，，解得．
综上所述，的值为0或4．
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，概率为所求情况数与总情况数之比，熟练掌握知识点以及概率计算公式是解题的关键．
根据题意列出表格，由表格找出所有的等可能结果数以及抽到小安和小徽的结果，再根据概率计算公式计算即可．
【详解】解：由题意可列表为
小安 学生A 学生B
小徽 小安/小徽 学生A/小徽 学生B/小徽
小美 小安/小美 学生A/小美 学生B/小美
所有的等可能结果有6种，其中抽到小安和小徽只有1种情况，
∴抽到小安和小徽的概率为：，
故选：C．
8．B
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据升的位置相当于千向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度得到的进行求解即可．
【详解】解：观察可知，升的位置相当于千向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度得到的，
∵“千”用表示，
∴“升”可以表示为，
故选：B．
9．C
【分析】本题主要考查反比例函数图象的性质和勾股定理，扇形面积；根据反比例函数的图象的性质可得：图中两个阴影面积的和是圆的面积，再根据点，即可求出圆的半径．
【详解】解：∵圆和反比例函数一个交点，
∴可知圆的半径，
∵反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形，
∴图中两个阴影面积的和是圆的面积，
∴．
故选：C．
10．C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；
将抛物线解析式化成顶点式，可得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据题意得出关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∵抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题
11．
【分析】本题考查了用提公因式法分解因式；提出公因式x即可．
【详解】解：；
故答案为：．
12．
【分析】根据“每次摸一个球，摸出后再放回”可知，每一次摸球互不影响，则无论第几次摸，摸出红球的概率都不变.
【详解】布袋中共有小球10个，其中红球2个
所以每一次摸出红球的概率都是
则第10次摸出红球的概率为
故答案为.
【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果 那么事件 A 的概率 P ( A )＝ .
13．
【分析】本题考查的是正多边形的内角与外角问题，由正八边形的外角和为，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可．
【详解】解：正八边形的外角和为，
∴正八边形的每一个外角为，
∴正八边形的每一个内角为，
故答案为：．
14．3
【分析】本题考查了学生能否熟练掌握非负数的性质并应用于解题，根据非负数的性质求出，的值即可．
【详解】解：，
，，
，，
，
故答案为：3．
15．1.5
【分析】分别求出函数的函数解析式，然后求出它们的交点坐标即可得到答案．
【详解】解：设函数，
∴，
∴，
∴，
联立，
解得，
∴经过1.5分钟，他们途中到书店的距离相等，
故答案为：1.5．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
16．或
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用，分两种情况：当点落在对边和的中垂线上时，过点作垂直，分别交、于点、，求出，再由计算即可；当点落在对边和的中垂线上时，则，证明，得出，设，即，求解即可．
【详解】解：分两种情况：（1）如图1，当点落在对边和的中垂线上时，过点作垂直，分别交、于点、．
，，
，则，
，
，
；
（2）如图2，当点落在对边和的中垂线上时，则，
，则，
．
，
，
，
，
，
，
设，即，
解得．
，
综上所述，或，
故答案为：或．
三、解答题
17．
【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂、特殊角三角函数值、绝对值，再进行加减运算即可．
【详解】解：
．
18．，
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为．
19．见解析
【分析】根据平行四边形的性质，可得到，，结合点，分别是平行四边形的边，的中点，即可证明结论．
【详解】∵四边形为平行四边形，
∴，．
又点，分别是平行四边形的边，的中点，
∴．
∴四边形为平行四边形．
∴．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，牢记平行四边形的判定方法和性质是解题的关键．
20．(1)12；
(2)75
(3)
(4)912人
【分析】本题主要考查了扇形统计图，频数分布表，用样本估计总体，求平均数和众数：
（1）根据 “”数据共有20个，即A、B两组共20人，减去A组的频数，即可得到a的值，再用a的值除以B组的百分比得出抽取的总人数，进一步即可求得m的值；
（2）找出“”中数据中“”的数据，再根据众数的定义即可求解；
（3）每组的平均分乘以频数，再求和后除以总人数即可求解；
（4）用50名学生竞赛成绩达到75分以上（含75分）的学生所占的百分比乘以1200，即可求出获奖人数．
【详解】（1）解：∵“”共20个数据，
∴，
解得，即B组的频数为12，
∴抽取学生的总人数为（人）；
∴，
故答案为：12，；
（2）解：∵“”数据如下：
61，73，62，78，75，63，65，77，79，65，67，68，75，78，69，71，72，74，75，76
其中“”这组数据为：71，72，73，74，75， 75， 75，76，77， 78， 78， 79，
出现次数最多的是75，共出现了3次，故“”这组数据的众数是75分，
故答案为：75；
（3）解：，
∴随机抽取的这50名学生竞赛成绩的平均分为：分；
故答案为：．
（4）解：由“”这组数据为：71，72，73，74，75， 75， 75，76，77， 78， 78， 79，其中成绩达到75分以上（含75分）的有8人，故随机抽取的这50名学生竞赛成绩达到75分以上（含75分）的有（人），
全校1200名学生中获奖的人数为（人），
答：估计全校1200名学生中获奖的是912人．
【点睛】本题考查扇形统计图、众数、平均数以及样本估计总体，掌握平均数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提．
21．(1)休闲平台的长是米
(2)建筑物的高为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，解决本题的关键是熟练应用坡度和坡角．
（1）根据得，由为中点得，进而可求，，再根据斜坡的坡比为即可求得的长；
（2）可以设，则可得，再根据特殊角三角函数即可求得的高．
【详解】（1）解：根据题意可知：，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，
∵斜坡的坡比为，
∴，
解得，
∴米；
（2）由（1）可得，
则，
设米，则米，
米，
在中，即，
解得：，
答：建筑物别的高为米．
22．(1)，，，证明过程见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相关几何结论是解题关键.
（1）连接并延长交于点，连接，根据、即可求证；
（2）连接交于点，连接，根据可得；根据题意推出即可求解．
【详解】（1）已知：直线切于点P，点E、F为上的点，若，；求证：
证明：连接并延长交于点，连接，如图所示：
由题意得：
∵为的直径
∴
∵
∴
∵
∴
同理可得
∴
（2）解：连接交于点，连接，如图所示：
则
∵，
∴
∵，，，
∴
由题意得：
∵
∴
∴
∴
设的半径为，在中：，
解得：
23．(1)种跑鞋进价为元双，种跑鞋的进价为元双；
(2)购进种鞋双，种鞋双，可获利润最大，最大利润为元．
【分析】（）设种跑鞋的进价为元双，则种跑鞋进价为元双，根据题意，列出分式方程，解方程即可求解；
（）设种鞋购进双，则种鞋购进双，根据题意求出取值范围，设获利元，求出与一次函数，再根据一次函数的性质解答即可求解；
本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意，正确列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设种跑鞋的进价为元双，则种跑鞋进价为元双，
由题意得， ，
解得 ，
经检验是原方程的解，
∴种跑鞋进价为元双，种跑鞋的进价为元双；
（2）解：设种鞋购进双，则种鞋购进双，
则 ，
解得，
设获利元，
则，
∵，随的增大而增大，
∴当时，取得最大，元，
即购进种鞋双，种鞋双，可获利润最大，最大利润为元．
24．(1)，图见解析
(2)或
(3)或．
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）先根据反比例函数的解析式，求出的坐标，待定系数法，求出一次函数的解析式即可，连接，画出一次函数的图象即可；
（2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案；
（3）设直线与轴交于点，求出，则，再根据列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，
∴，
∴，
∴、，
把、代入中得，
解得：，
∴一次函数解析式为，
图象如图所示：
（2）解：由图象可知：当一次函数的图象在反比例函数图象下方时，自变量的取值范围为或，
∴不等式的解集为或；
（3）解：

设直线与轴交于点，
在，当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
解得或
∴或．
25．（1），，；（2）；（3）
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．
（1）证明，可以得到，，根据，即可得到；
（2）由（1），，根据等边三角形性质求出，，进而求出，根据勾股定理即可求出；
（3））连接， 证明得到，，进而得到，根据勾股定理得到，即可得到．
【详解】解：（1）如图1，
与均为等边三角形
，，
又，
，
在与中，
，
，
，，
又∵，
∴．
故答案为：，，；
（2）由（1）可知，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
在中，由勾股定理可得；
（3）．理由如下：
如图③，连接，
，，；
，，
在与中，
，
，
，，
，
，
．
26．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的表达式为；
（2）作点O关于直线的对称点E，连接，求出，证明四边形为正方形，知，由对称性得，而A，D，E共线，可知此时的周长最小，求出直线的表达式为，直线解析式为；联立，即可解得；
（3）设，求出直线的表达式为，由设直线表达式为，把代入可得直线的表达式为：，联立，可解得，故，由二次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：∵抛物线（a，b为常数，a≠0）与x轴相交于点和点，
∴把和代入 得：，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：作点O关于直线的对称点E，连接，如图1：
在中，令得，
∴，
∵，
∴，
∵O、E关于直线对称，
∴，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
连接，交于点D，此时有最小值为的长，
∴此时的周长最小，
设直线的表达式为，
将代入 得：，
解得，
∴直线的表达式为，
同理，由可得直线解析式为
联立，
解得，
∴，
（3）解：由已知点，
设 （如图2）
设直线的表达式为，
把代入得，
，
解得，，
∴直线的表达式为，
由设直线表达式为，
把代入得，，
∴，
∴直线的表达式为：，
联立，
解得，
∴，
∵P，D都在第一象限，
∴
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为，此时P点为．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求二次函数及一次函数解析式，点的对称性，二次函数的性质等知识，解决问题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑