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2024年安徽中考最后一卷
数学
注意事项：
1．本试卷共有八个大题，分为单项选择题、填空题、解答题，满分150分，考试时间120分钟.
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效.
一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．实数的绝对值是（ ）
A． B．3 C． D．
2．如图所示的几何体的俯视图（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．不等式x＞2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列式子中，不是的函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．某学校开设了劳动教育课程，小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，折叠矩形纸片，使与重合，折痕为；把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，折痕为与相交于点N，直线交于点G，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
10．如图，中，，，，若D，E是边上的两个动点，F是边上的一个动点，，则的最小值为（　　）
A．3 B． C． D．3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．计算： ．
12．统计显示，2023年合肥全市义务教育阶段共招收万人，其中万用科学记数法表示为 ．
13．如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是 ．
14．已知在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限内，的边与反比例函数有交点．
（1）如图①，点A在反比例函数的图象上，轴，垂足为点B，的面积为6，则k的值为 ．
（2）如图②，反比例函数的图象经过的顶点A和边的中点C．若的面积为6，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．先化简，再求值：，其中．
16．学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳，已知购买2根A型跳组和1根B型跳绳共需35元；购买3根A型跳绳和2根B型跳绳共需60元，求购买1根A型跳绳和1根B型跳绳各需多少元？
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为，点、均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留作图痕迹．

(1)在图①中，以线段为腰画一个等腰直角三角形，则的面积为 ．
(2)在图②中，以线段为直角边画一个直角三角形，使其面积为．
(3)在图③中，画，使．
18．【观察思考】
用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推．
【规律发现】
（1）第6个图形中有____________个圆形棋子；
（2）第n个图形中有____________个圆形棋子；（用含n的代数式表示）
【规律应用】
将2024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不能，请说明理由．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．小林想利用无人机测量某塔（图的高度．阳光明媚的一天，该塔倒映在平静的河水中，如图2所示，当无人机飞到点处时，点到水平面的高度米，在点处测得该塔顶端的仰角为．该塔顶端在水中倒影的俯角为．已知，，、、三点共线，，求该塔的高度．（光线的折射忽略不计．，
20．已知是的直径，且，点是上一点，过点作的切线，与的延长线交于点，连接．
(1)如图①，若，求的大小和的长；
(2)如图②，若，过点作交于点，连接交于点，求的长．
六、解答题（本题满分12分）
21．某工厂在全厂青年工人中开展生产技能大赛，组委会随机抽取n名参赛者在相同工作条件下加工的合格产品数作为样本进行统计整理，并绘制了频数分布表和扇形统计图，部分信息如下．
生产技能大赛合格产品数频数分布表
合格产品数/件 频数
A a
B 10
C 15
D 20
已知C组的全部数据如下．
合格产品数/件 70 80 90
人数/人 3 7 5
请根据以上信息，完成下列问题．
(1)__________，__________．
(2)抽取的n名参赛者合格产品数的中位数是__________，扇形统计图中“C”部分所对应的圆心角的度数为__________．
(3)已知本次生产技能大赛共有2000名青年工人参赛，若加工的合格产品数超过60件的青年工人被授予“优秀青工”称号，则根据样本数据可判断本次生产技能大赛获得“优秀青工”称号的青年工人大约有多少名？
七、解答题（本题满分12分）
22．【阅读理解】如图，
(1)如图1，在四边形中，，E是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的数量关系，并说明理由．
某同学给出了解决这个问题的一种思路：如图2，延长交的延长线于点F，通过证明，得到，从而把，，转化到一个三角形中，由此即可判断，，之间的数量关系．请利用该同学的解题思路或用你自己的方法直接写出，，之间的数量关系；
(2)如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长；
(3)如图4，是的中线，是的中线，且，请判断线段与线段的数量关系，并说明理由．
八、解答题（本题满分14分）
23．如图，在平面直角坐标系中，，点B的坐标为．抛物线 经过A、B两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使
①求点 P的坐标；
②在直线上是否存在点M，使为等腰三角形 若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页2024年安徽中考最后一卷
数学参考答案
一、选择题
1．B
【分析】本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．利用绝对值的定义求解即可．
【详解】解：的绝对值是3．
故选B．
2．D
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的边都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．
【详解】解：从上面看，底面是一个矩形，上面一条边能看到，用实线表示，如图所示：
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3．D
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、原式=16x2，不符合题意；
B、原式=，不符合题意；
C、原式=x2+2xy+y2，不符合题意；
D、原式=，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及公式是解题的关键．
4．C
【分析】直接利用在数轴上表示时点是否为空心或实心，方向是向左或向右进行判断即可．
【详解】解：x>2在数轴上表示时，其点应是空心，方向为向右，
因此，综合各选项，只有C选项符合；
故选：C．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题时，首先要能正确画出数轴，其次是能正确确定点的实心或空心，以及方向的左右等．
5．D
【分析】本题考查函数的定义．在一个变化过程中，有两个变量，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量．
【详解】解：A．对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，此项不符合题意；
B．对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，此项不符合题意；
C．对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，此项不符合题意；
D．对于的每一个取值，都有两个确定的值与之对应，不是的函数，此项符合题意．
故选：D．
6．C
【分析】本题考查正多边形的性质．根据题意，由正八边形内接于知，．
【详解】解：正八边形内接于
．
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算即可；掌握概率的求法是解题的关键．
【详解】解：选择“种植”“烹饪”“陶艺”“木工” 共有中结果，“烹饪”有中结果，
；
故选：C．
8．A
【分析】此题考查了矩形的折叠问题、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识， 先证明，N是的中点，再证明，，进一步得到，，即可得到的长．
【详解】解：由题意可知，点E是的中点，，
∴
∴
∴，
∴，N是的中点，
由折叠可知，，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故选：A．
9．C
【分析】本题主要考查反比例函数，二次函数，一次函数的性质和图像；先根据抛物线过原点排除A，再根据反比例函数图象确定的符号，再由的符号确定抛物线与直线在直角坐标系中的位置即可．
【详解】∵抛物线的常数项为0，
抛物线一定经过原点，故A错误.
∵反比例函数的图象在第一、三象限，
，即同号
当，抛物线的对称轴在轴左侧，直线经过第二、三、四象限，故D错误.
当，抛物线的对称轴在轴右侧，直线经过第一、二、三象限，故B错误，C正确．
故选：C．
10．A
【分析】首先是含有角的直角三角形，因此可以得知各边的长分别为，．因为点，点是边上的两个动点，是边上的一个动点，求的最小值，就是需要转换成同一直线上求解，即求关于的对称点，作．构建平行四边形，作于点，交于点．利用平行四边形和对称图形的性质，找出线段之间的关系,求出的长度即为所求最小值．
【详解】解：如图，过点C作关于的对称点，连接，交于点N；过作，且，过作于点F，交AB于点E，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵关于对称，
∴，
∴，
即的最小值为，
∵，，
∴，
∴，，
过作，则，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴’
故选：A．
【点睛】本题主要考查动点构成的线段中最小值问题，转换成三点共线，并在垂直的时候最小，找到对称点，构建最短路径是解题的关键．
二、填空题
11．4
【分析】本题考查了实数的运算，立方根的定义，零指数幂，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据立方根的定义，零指数幂分别化简计算即可．
【详解】解：，
故答案为：4．
12．
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：万，
故答案为：．
13．
【分析】展开成平面图形，根据勾股定理，即可求解，本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：利用两点之间线段最短．
【详解】解：将台阶展开成平面图形：
在中，，，
，
其爬行的最短长度，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何图形的综合，k的几何意义，以及三角形中位线性质．
（1）根据k的几何意义得到求解，再结合，即可解题；
（2）根据三角形中位线性质得到的面积为6，的面积为12，设，表示出点B，点C的坐标，利用点A，点C都在反比例函数图象上建立等式求解出，即可解题．
【详解】（1）解：的面积为6，
，
，
，
．
故答案为：．
（2）解：边的中点为C．的面积为6，
的面积为6，的面积为12，
设，
，
，即，
，
，
整理得，
解得，
k的值为，
故答案为：．
15．；
【分析】本题主要考查分式的化简求值，先将原式约分化简后，再把x的值代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，．
三、解答题
16．购买1根A型跳绳需要10元，1根B型跳绳需要15元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设购买1根A型跳绳需要x元，1根B型跳绳需要y元，根据购买2根A型跳组和1根B型跳绳共需35元；购买3根A型跳绳和2根B型跳绳共需60元列出方程组求解即可．
【详解】解：设购买1根A型跳绳需要x元，1根B型跳绳需要y元，
由题意，得，
解得，
答：购买1根A型跳绳需要10元，1根B型跳绳需要15元．
17．(1)5
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，解直角三角形；
（1）根据等腰直角三角形的定义，画出图形即可；
（2）作等腰直角三角形，利用平行线分线段成比例定理，在上截取，使得：：，连接即可；
（3）取格点，连接，使得，利用平行线分线段成比例定理，在上得到点与网格线的交点，，连接．
【详解】（1）解：如图①中，即为所求，
，
，
的面积．
故答案为：；
（2）如图②中，即为所求；
（3）如图③中，即为所求．
理由：由作图可知，，，，
，
．
18．（1）（2）（3）不能，理由见解析
【分析】本题主要考查数与形结合的规律，以及列代数式相关知识，发现每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个是解本题的关键．
（1）观察得到每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个，即可得出答案；
（2）根据（1）中规律表示出第n个图形中的棋子数，即可得解；
（3）由（2）中的规律可知，，解方程并分析即可解题．
【详解】（1）解：由图知，第1个图形中有个圆形棋子，
第2个图形中有个圆形棋子，
第3个图形中有个圆形棋子，
第4个图形中有个圆形棋子，
，依此类推，
第6个图形中有个圆形棋子，
故答案为：．
（2）解：由（1）中规律可知，第个图形中有个圆形棋子，
故答案为：．
（3）解：不能，理由如下：
由题知，，解得，不为整数．
2024个圆形棋子不能按照题中的规律一次性摆放．
19．该塔的高度约为99米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．过点作，垂足为，根据题意可得：米，，然后设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后根据，列出关于的方程进行计算，即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
由题意得：米，，
设米，
在中，，
（米，
在中，，
（米，
，
，
，
解得：，
（米，
（米，
该塔的高度约为99米．
20．(1)，
(2)
【分析】本题考查了本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理及勾股定理等知识，
（1）连接，根据切于点得，由是的直径，得，根据得，即，在中，根据勾股定理即可求解；
（2）连接，根据，得是等边三角形，由，得，根据是等边三角形，，得，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：连接．
切于点，
，即．
是的直径，，
．
．
．
．
．
．
在中，．
（2）解：连接．
，，
是等边三角形．
．
同（1）可得，
，
．
，
．即，
又是的直径，
．
是等边三角形，，
．
在中，．
．
21．(1)50；5；
(2)85；
(3)1400名
【分析】（1）用B组频数除以B所占的百分比即可求出n的值；用n的值减去B，C，D的频数可求出a；
（2）根据中位数的定义求中位数即可；用乘以C占的比例可求出“C”部分所对应的圆心角的度数；
（3）用2000乘以加工的合格产品数超过60件的青年工人在样本中所占的比例即可求解．
【详解】（1）人，
（人）．
故答案为：50；5；
（2）∵从小到大排列后排在第25和26位是80和90，
∴中位数是；
“C”部分所对应的圆心角的度数为：．
故答案为：85；；
（3）（名）．
答：本次生产技能大赛获得“优秀青工”称号的青年工人大约有1400名．
【点睛】本题考查频数分布表，中位数，扇形统计图，由样本估计总体等内容，通过条形统计图和扇形统计图得到关联信息是解题的关键．
22．(1)，理由见解析
(2)4
(3)，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中线的定义，垂直平分线的性质等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
（1）先判断出，推出，再通过等量代换证明，根据等角对等边得出，即可得出；
（2）延长，交于点．先利用证明，推出，，结合，可知是的垂直平分线，进而可得；
（3）延长至F，使，先证，推出，，再证，由全等三角形的性质可得结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
延长交的延长线于点F，
，
，，
又点E是的中点，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图，延长，交于点．
，
，
，
是的中线，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
是的垂直平分线，
；
（3）解：，理由如下：
如图，延长至F，使，
是的中线，
．
在和中，
，
，
，．
，
，．
是的中线，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
23．(1)
(2)①；②存在，点 M的坐标为：或或或或
【分析】（1）根据条件求出,，根据待定系数法求解即可；
（2）先求出的解析式，然后表示出，，根据即可求解；分情况讨论，分别求出，根据等腰三角形的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中， ，
∴，即
∴，
∴，
把代入． 得：
解得：
∴抛物线的解析式为：
（2）①设的解析式为：，
∵,，所以解得，
所以的解析式为：，
设， 则，
∵
∴
解得：（舍） 或，
∴；
②∵M在直线上， 且， 设，
∴
分三种情况：
i） 当时，
∴
解得：
∴
ii） 当时，
∴
解得：或
∴，
iii） 当时，
∴
解得：或
∴或
综上，点 M的坐标为：
或或或或
【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理的运用，等腰三角形的性质等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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