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第八章 二元一次方程组章末总复习十四题型
【人教版】
【题型一 二元一次方程的定义】 2
【题型二 二元一次方程的解】 4
【题型三 用含x的式子表示y】 7
【题型四 二元一次方程组整数解】 8
【题型五 判断是否为二元一次方程组】 10
【题型六 判断是否为二元一次方程组的解】 13
【题型七 已知二元一次方程组求参数】 17
【题型八 墨水遮盖部分值的问题】 19
【题型九 解二元一次方程组】 21
【题型十 二元一次方程组看错类型】 25
【题型十一 二元一次方程组同解问题】 29
【题型十二 “整体法”解二元一次方程组】 31
【题型十三 “换元法”解二元一次方程组】 34
【题型十四 定义新运算】 43
题型一：二元一次方程的定义
【例题1-1】下列方程是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了二元一次方程的概念：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．根据二元一次方程的定义求解可得答案．
【详解】解：A、，只含有1个未知数，且未知数的项的次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
B、是二元一次方程，故此选项符合题意；
C、含有3个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
D、不是整式方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
故选：B．
【例题1-2】若是关于的二元一次方程，则的值是 ．
【答案】
【分析】此题考查了二元一次方程的定义，利用二元一次方程的定义判断即可．
【详解】∵是关于、的二元一次方程，
∴，，
解得：，
故答案为：
【变式训练1-1】下列方程是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是二元一次方程的概念，掌握含有两个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫二元一次方程是解题的关键．
根据二元一次方程的概念判断即可．
【详解】解：A．是二元一次方程，符合题意；
B．是一元一次方程，不符合题意；
C．是代数式，不是方程，不符合题意；
D．不是一元一次方程，不符合题意．
故选：A．
【变式训练1-2】下列各式中，是关于，的二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是掌握：二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程；②方程中共含有两个未知数；③所有未知项的次数都是一次，不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．据此依次逐一分析即可作出判断．
【详解】解：A．是代数式，故此项不符合题意；
B．是二元一次方程，故此选项符合题意；
C．是二元二次方程，故此选项不符合题意；
D．不是整式方程，故此选项不符合题意．
故选：B．
【变式训练1-3】已知是二元一次方程，则 ；
【答案】
【分析】此题考查了二元一次方程的定义，利用二元一次方程的定义判断即可，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．
【详解】解：∵是二元一次方程，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
【变式训练1-4】若是关于的二元一次方程，则m的值为 ．
【答案】0
【分析】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，据此逐个判断即可．
【详解】解：∵是关于的二元一次方程，
∴且，
解得，
故答案为：0．
【变式训练1-5】已知方程是关于x，y的二元一次方程，则的立方根是 .
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程的定义以及立方根的求算，掌握二元一次方程组的定义以及立方根的定义是解题关键．根据二元一次方程组的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程，进行求解即可．
【详解】解：∵方程是关于 x，y 的二元一次方程，
∴ ，
∴，
∴，
∵
∴的立方根是：，
故答案为：．
题型二：二元一次方程的解
【例题2】下列二元一次方程中，有一个解是的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程的解，分别把代入四个选项中计算即可判断求解，掌握二元一次方程解的定义是解题的关键．
【详解】解：、把代入方程得，
左边右边，
∴不是方程的解；
、把代入方程得，
左边右边，
∴不是方程的解；
、把代入方程得，
左边右边，
∴不是方程的解；
、把代入方程得，
左边右边，
∴是方程的解；
故选：．
【变式训练2-1】已知是二元一次方程的解，则的值为（ ）
A．11 B．5 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次方程，由题意得出，解一元一次方程即可得出答案．
【详解】解：是二元一次方程的解，
，
解得：，
故选：B．
【变式训练2-2】下列选项中，是方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把四个选项中的x、y的值代入原方程看方程左右两边是否相等即可得到答案．
【详解】解：A、把代入方程中，左边，方程左右两边相等，则是方程的解，符合题意；
B、把代入方程中，左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，不符合题意；
C、把代入方程中，左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，不符合题意；
D、把代入方程中，左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，不符合题意；
故选：A．
【变式训练2-3】表中给出的每一对x，y的值都是二元一次方程的解，则m等于（ ）
x 1 2 3
y m
A． B． C．3 D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解以及求二元一次方程的解，根据表格当，时求出a的值，然后再求当时，m的值即可．
【详解】解：当，时，
，
解得：，
∴二元一次方程为：，
当时，，
故选：A．
【变式训练2-4】若，是关于x，y的二元一次方程的一组解，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，将代入，即可求得，熟知能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解，是解题的关键．
【详解】解：是关于x，y的二元一次方程的一组解，
，解得
故答案为：．
题型三：用含x的式子表示y
【例题3】已知，用含x的式子表示y，则 ．
【答案】/
【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的基本步骤及正确根据等式的性质进行变形．利用等式的性质进行变形解答即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为： ．
【变式训练3-1】请把二元一次方程改写成用含的式子表示的形式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程，把看成已知数表示出即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：把二元一次方程改写成用含的式子表示的形式为，
故答案为：．
【变式训练3-2】已知方程，用含的式子表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解二元一次方程，移项，再把y的系数化为即可求解，掌握等式的性质是解题的关键．
【详解】解：方程移项得，，
两边同时除以得，，
故选：．
【变式训练3-3】把方程改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了解二元一次方程，把x看做已知，求出y即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
题型四：二元一次方程的整数解
【例题4】二元一次方程的正整数解共有（ ）组．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，令，根据方程求出y，再找出方程的正整数解即可．
【详解】方程，
移项得：，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
…，
则二元一次方程的正整数解共有3组，
故选：C．
【变式训练4-1】二元一次方程的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】把看作已知数表示出，即可确定出正整数解．
【详解】解：方程，
解得：，
当时，；，；，，
∴正整数解有3个．
故选：C．
【变式训练4-2】二元一次方程的正整数解有 组．
【答案】2
【分析】本题考查二元一次方程的整数解，先将方程做适当变形，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．
【详解】解：二元一次方程的正整数解有，，共2组，
故答案为：2．
【变式训练4-3】二元一次方程的正整数解有 组．
【答案】2
【分析】本题考查二元一次方程的解，求出二元一次方程的正整数解即可．
【详解】解：，
∴，
∵都是正整数，
∴或，
故答案为：2．
【变式训练4-4】已知是二元一次方程的一个解．
(1)则_________
(2)试直接写出二元一次方程的所有正整数解．
【答案】(1)5
(2)，
【分析】（1）将代入二元一次方程2x+y=a中，即可求得a的值；
（2）将a的值代入方程2x+y=a，再用列举法求出方程的解即可．
【详解】（1）将代入二元一次方程2x+y=a中可得：，a=5；
故答案为：5
（2）把a=5代入方程2x+y=a中可得：2x+y=5，所以可列出所有正整数解为：
，．
题型五：判断是否为二元一次方程组
【例题5】下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，其中要求每一个方程都是一次方程是解答本题的关键．根据二元一次方程组的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．此方程组是由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组，是二元一次方程组；
B．此方程组中有3个未知数，不是二元一次方程组；
C．此方程组中第2个方程不是一次方程，不是二元一次方程组；
D．此方程组中第1个方程不是一次方程，不是二元一次方程组；
故选：A．
【变式训练5-1】下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟记定义是解题关键．根据二元一次方程组的定义“二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程；两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程．”判断即可．
【详解】解：A、是二元二次方程组，此项不符合题意；
B、是二元一次方程组，此项符合题意；
C、是二元二次方程组，此项不符题意；
D、不是整式方程组，此项不符题意．
故选B．
【变式训练5-2】下列方程组是二元一次方程组的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．
【详解】解：A、此方程组含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意；
B、第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意；
C、第一个方程是二元二次方程，不是二元一次方程组，不符合题意；
D、是二元一次方程组，本选项符合题意．
故选：D．
【变式训练5-3】下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程满足的条件：为整式方程；含有2个未知数；最高次项的次数是1；以及二元一次方程组的定义是解题的关键．根据二元一次方程组的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、其中一个方程不是整式方程，故不是二元一次方程组，故A不符合题意；
B、方程组中的第一个方程有三个未知数，故不是二元一次方程组，故B不符合题意；
C、是二元一次方程组，故C符合题意；
D、方程组中的第一个方程的最高次数为2次，故D不符合题意；
故选：C．
【变式训练5-4】下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二元一次方程组的基本概念，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组．根据二元一次方程组的定义逐项分析即可．
【详解】解：A、，不属于二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B、，不属于二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C、，不属于二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D、，属于二元一次方程组，故本选项符合题意．
故选：D．
题型六：判断是否为二元一次方程组的解
【例题6】下列方程组中，解为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了方程组的解的定义，即适合方程组的每一个方程的解是方程组的解．运用代入排除法进行选择或分别解每一个方程组求解．
【详解】解：A、不是方程组的解，故该选项不符合题意；
B、是方程组的解，故该选项符合题意；
C、不是方程的解，故该选项不符合题意；
D、不是方程的解，故该选项不符合题意．
故选：B．
【变式训练6-1】关于x，y的二元一次方程组的解为，则整式A可以是 ．
【答案】(答案不唯一)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，准确理解方程组的定义是解题的关键．
根据方程组的解得定义，应该满足方程组的每一个方程，即可得解
【详解】∵关于，的二元一次方程组的解为，
∴，
∴多项式A可以是；
故答案是：(答案不唯一)．
【变式训练6-2】写出一个以为解的二元一次方程组 ．
【答案】(答案不唯一)
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，是开放题，根据方程组的解的定义，应满足所写方程组的每一个方程．选取两组适当的m和n值求出的值，即可建立这样的方程组．
【详解】解：∵，
∴，
∴这个方程组可以是
故答案为： (答案不唯一)．
【变式训练6-3】 方程组的解（填“是”或“不是”）．
【答案】不是
【分析】
本题考查的是方程组的解的含义，掌握方程组的解满足方程组的每一个方程是解题的关键．把代入原方程组的两个方程即可得到答案．
【详解】解：把代入原方程组中的中，
方程左边右边，所以不是原方程组的解．
故答案为：不是．
【变式训练6-4】已知是关于、的二元一次方程组的解，则△和？代表的数分别是（ ）
A．3和 B．和3 C．1和5 D．5和1
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组解的定义，将代入①可求得，即可求解；理解二元一次方程组解的定义：“使得二元一次方程组中每个方程都成立的未知数的值，叫做二元一次方程组解．”是解题的关键．
【详解】
解：将代入①得，
，
解得：，
，
△和？代表的数分别是和；
故选：D．
【变式训练6-5】已知下列三组数值：，，
(1)哪几组数值是方程的解？
(2)哪几组数值是方程的解？
(3)哪几组数值是方程组的解？
【答案】(1)和是是方程的解
(2)和是是方程的解
(3)是方程组的解
【分析】本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，二元一次方程组的解是使方程组左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
（1）分别把三组值代入方程，计算出方程左边和右边的值，看是否相等即可；
（2）同（1）求解即可；
（3）根据（1）（2）所求同时满足是方程和方程的解即为方程组的解．
【详解】（1）解：把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解；
把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边相等，则是方程的解；
把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边相等，则是方程的解；
综上所述，和是是方程的解；
（2）解：把代入方程中可得方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解；
把代入方程中可得方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解；
把代入方程中可得方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解；
综上所述，和是是方程的解；
（3）解；由（1）（2）得只有同时满足是方程和方程的解，
∴只有是方程组的解．
题型七：已知二元一次方程组求参数
【例题7】已知 是二元一次方程组的解，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据题意求出的值是解题的关键．将代入二元一次方程组可得：，计算出的值即可得到答案．
【详解】解：将代入二元一次方程组可得：，
解得：，
，
故选：D．
【变式训练7-1】如果是方程组的解，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据题意得出，解出a，b的值，再代入即可
【详解】解：根据题意得出：，
解得：，
，
故选：C
【变式训练7-2】若关于x、y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的定义，先把代入原方程组得到，解方程组求出a、b的值即可得到答案．
【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【变式训练7-3】已知是二元一次方程组的解，则的值为 ．
【答案】9
【分析】本题考查方程组的解，解二元一次方程组，将代入方程组，再将两个方程相加即可得出结果．
【详解】解：把代入，得：，
，得：；
故答案为：9．
【变式训练7-4】若方程组的解为，则的值为 ．
【答案】
【分析】将代入，得，代入，即可求解，
本题考查二元一次方程组的解，已知字母的值求代数式的值，解题的关键是：理解二元一次方程组的解的含义．
【详解】解：∵方程组的解为，
∴，解得：，
∴，
故答案为：．
【变式训练7-5】若关于x，y的二元一次方程组的解为，则 ．
【答案】16
【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据二元一次方程组的解的定义，求得，再代入计算即可求解．
【详解】解：把代入得，
解得，
∴，
故答案为：16．
题型八：墨水遮盖部分值的问题
【例题8】亮亮求得方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和☆，请你帮他找回这两个数，“●”“☆”表示的数分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据方程组的解满足方程组，将代入②时，求出y，再代入①式即可得到答案
【详解】解：∵方程组的解为，
∴，解得：，
将，代入①式得，
，
故选：A．
【变式训练8-1】小明同学解方程组时的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了“ ”和“*”处的两个数，则“●”，“*”分别代表的数是（　　）
A．，1 B．， C．2，1 D．2，
【答案】A
【分析】此题主要考查二元一次方程组的解和已知二元一次方程组的解求参数，先把代入求出，把代入即可．
【详解】解：先把代入，
得：，
解得：，
把代入，
则“●”，“*” 分别代表的数是，1．
故选：A．
【变式训练8-2】方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为（ ）
A．1，2 B．1，3 C．5，1 D．2，4
【答案】C
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，根据题意，把代入方程中可求出的值，由此即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
【详解】解：根据题意，把代入方程得，
，
把代入方程得，
，
∴被遮盖的两个数分别是，
故选：．
【变式训练8-3】已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据方程组的解使方程组中的每一个方程都成立，求出的值，再将方程组的解分别代入各个选项中，进行判断即可．
【详解】解：∵二元一次方程组的解是，
∴，
∴，
∴，
∴，，，；
故*表示的方程可能是；
故选A．
题型九：解二元一次方程组
【例题9】解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法、加减消元法解方程式解题的关键．
（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解： ，
把①代入②，得，
解得，
把代入①，得，
所以方程组的解是；
（2），
，得，
，得，
解得，
把代入①，得，
所以方程组的解是．
【变式训练9-1】解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组：
（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：
得，，解得： ，
将代入①，得： ，解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：
整理得，
得，，解得，
把代入①得，，解得，
原方程组的解为．
【变式训练9-2】解方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算．
（1）用代入消元法解二元一次方程组；
（2）用加减消元法解二元一次方程组．
【详解】（1）解：，
把①代入②，得．
把代入①，得．
所以这个方程组的解是；
（2）解：化简得，
，得．
把代入②，得．
∴这个方程组的解是．
【变式训练9-3】解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组：
（1）利用加减消元法解方程组即可 ；
（2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：
得：，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为；
（2）解：
整理得：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为．
【变式训练9-4】解方程（组）：
(1)；
(2)解方程组．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方，二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键；
（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次方程即可求解；
（2）根据代入消元法解二元一次方程组，即可求解．
【详解】（1）解：去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，．
（2）
解：由②：③，
将③代入①：，
解得：，
把代入③：，
∴原方程组的解是．
题型十：二元一次方程组看错问题
【例题10】已知关于的方程组，甲看错得到的解为，乙看错了得到的解为，他们分别把错看成的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把甲的结果代入第一个方程求出a的值，把乙的结果代入第二个方程求出b的值，求解即可．
【详解】解：把代入得：，
把代入得：，
解得：a=5，b=-1，
故选A．
【变式训练10-1】已知关于的方程组，望望由于看错了方程①中的，因此得到方程组的解为，贝贝看错了方程②中的，从而得到方程组的解为，那么的值为 ．
【答案】2
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，难度较大，需同学们仔细阅读，弄清题意再解答．
把甲乙所求的解分别代入方程②和①，求出正确的a、b，然后用适当的方法解方程组．然后即可求出式子的值．
【详解】解：把代入方程，把代入方程，
得，
解得，
当时，
．
故答案为：2．
【变式训练10-2】解方程组时，一学生把a看错后得到，而正确的解为，
(1)求a，b，c的值；
(2)求的立方根．
【答案】(1)，，
(2)2
【分析】
本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
（1）将代入第二个方程，将代入第二个方程，组成方程组求出c与d的值，将正确解代入第一个方程求出a即可；
（2）由（1）知a，b，c的值，代入即可求解．
【详解】（1）解：将；分别代入得： ，
解得：，
将代入中得：，
解得：，
则，，；
（2）解：把，，代入得，
8的立方根是2，
的立方根为2．
【变式训练10-3】甲、乙两人解方程组,甲因看错a,解得,乙将其中一个方程的b写成了它的相反数,解得,求a、b的值.
【答案】a=-2,b=3.
【分析】根据二元一次方程组的解的定义，将x=2，y=3分别代入4x-by=-1，可以求出b的值，再将x=-1，y=-2代入求出a的值，据此即可得解．
【详解】解：由于甲看错了方程组中②的a,得到的解为
将这组解代入①,可得4×2-3b=-1，
解得：b=3，
又因为乙将其中一个方程的b写成了它的相反数，
即方程组变为或
所以①-②消去b和y，得4x-ax=-6，
把乙解得的结果代入，
可得-4+a=-6，
求解可得a=-2，
即a=-2，b=3.
【变式训练10-4】解方程组时，小明本应该解出，由于看错了系数c，从而得到解，试求出的值
【答案】
【分析】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
将第一对x与y的值代入方程组第二个方程求出c的值，将两对x与y的值代入方程组中第一个方程，求出a，b的值即可．
【详解】解：把代入，得，解得，
把代入，得①，
把代入，得②，
①，②联立方程组，得
解得，
∴．
题型十一：二元一次方程组同解问题
【例题11】已知关于x、y的方程组和的解相同，则（a+b）2022的值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2022
【答案】A
【分析】原方程组可化为：，用加减消元法解出x、y，把y＝1，x＝2代入其它方程组成新的方程组，，用加减消元法解出a、b，代入（a+b）2022计算即可．
【详解】解：原方程组可化为：，
①×5+②×3，得x＝2，
把x＝2代入②，得y＝1，
把y＝1，x＝2代入，得，
②×2+①，得b＝2，
把b＝2代入②，得a＝﹣2，
∴（a+b）2022＝（﹣2+2）2022＝0，
故选：A．
【变式训练11-1】已知方程组和的解相同，则、的值分别是（ ）
A．2，3 B．3，2 C．2，4 D．3，4
【答案】B
【分析】由于这两个方程组的解相同，所以可以把这两个方程组中的第一个方程联立再组成一个新的方程组，然后求出x、y的解，把求出的解代入另外两个方程，得到关于a，b的方程组，即可求出a、b的值．
【详解】根据题意，得：，
解得：，
将、代入，
得：，
解得：，
∴、的值分别是、．
故选：B．
【变式训练11-2】若关于x，y的二元一次方程组的解与方程x+y＝5的解相同，则k的值是 ．
【答案】/
【分析】先解方程组，用含k的代数式表示x、y，再把x、y的值代入二元一次方程中，求出k.
【详解】解：，
①+②，得4（x+y）=3k+3，
把x+y=5代入，得20=3k+3，
解得k=．
故答案为：．
【变式训练11-3】已知关于x，y的方程组与方程3x﹣y＝8的解相同，则a2+2a＝ ．
【答案】15
【分析】先解方程组得，再方程组的解代入代入得，接着解关于的方程，然后利用代入法计算的值．
【详解】解：解方程组得，
把，代入得，
解得，
所以．
故答案为15．
【变式训练11-4】已知方程组和方程组的解相同，则（2a+b）3=
【答案】1
【分析】联立两方程组中的第一个方程求出与的值，代入剩下的两方程求出与的值，即可确定出所求式子的值．
【详解】解：联立得：，
①②得：，即，
将代入①得：，
将，代入得：，
解得： ，
则．
故答案为1
题型十二：“整体法”解二元一次方程组
【例题12】方程组的解是，则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用整体的思想，得，解得；
【详解】解：由题意，得，解得，
故选：A
【变式训练12-1】已知关于x、y的二元一次方程组的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握整体代值的数学思想．首先利用整体代值的数学思想可以得到与的值，然后解关于m、n的方程组即可求解．
【详解】解：∵二元一次方程组的解为，
∴关于m、n的二元一次方程组中，
解得：，
故选D．
【变式训练12-2】已知方程组的解是，则方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把所求的方程组变形为：，结合已知条件可得次方程组的解满足，进而求解.
【详解】解：方程组可变形为：，
因为方程组的解是，
所以方程组的解满足，
解得：；
故选：D.
【变式训练12-3】若方程组的解是则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先观察两方程组的特点,由于两方程组的形式相同，故可用换元法把它们化为同一方程组，再令其解相同即可．
【详解】观察两个方程组可设，，
∵，
∴，，
∴，
故选：．
【变式训练12-4】若关于、的二元一次方程组的解是，则关于、的二元一次方程组的解是 .
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，正确得出关于、的方程组是解题关键．根据已知得出关于、的方程组，进而得出答案．
【详解】解：关于关于、的二元一次方程组的解是，
方程组中，
解得：．
故答案为：．
题型十三：“换元法”解二元一次方程组
【例题13】63．阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，．原方程组化为，解得，
把代入，，得，解得，
原方程组的解为．
(1)学以致用：
运用上述方法解方程组：
(2)拓展提升：
已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了换元法解二元一次方程组：
（1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即即可求解；
（2）结合题意，利用整体代入法求解，令，，则可化为，且解为则有，求解即可．
【详解】（1）解：令，，
原方程组化为，
解得，
，
解得：，
∴原方程组的解为 ；
（2）解：在中，令，，
则可化为，
∵方程组解为，
∴，
，
故答案为：．
【变式训练13-1】我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法．
(1)已知关于、y的二元一次方程组的解为，求关于、n的二元一次方程组的解；
(2)请用上面的换元法解方程组．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键．
（1）设，得到，然后解方程组即可；
（2）设，得到，然后解方程组即可．
【详解】（1）设，
则原方程组可化为
∴，
解之得；
（2）设，
则原方程组可化为，
化简整理得，
解之得，
∴，
解之得．
【变式训练13-2】【阅读材料】解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，原方程组可变形为，解得即再解这个方程得．
这种解方程组的方法叫做整体换元法．
【知识应用】
（1）已知关于的二元一次方的解为，那么关于的二元一次方程组中的值分别为多少，请求出来．
【知识迁移】
（2）用材料中的方法解二元一次方程组
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，结合题目给出的示例，合理换元是解题的关键．
（1）设，原方程组可化为，根据的解为，即可求解；
（2）方程组可变形为设，可得即解二元一次方程即可．
【详解】解：（1）设则原方程组可化为，
根据的解为，可得：
解得
即；
（2）方程组可变形为：
设，
原方程可化为
解得：
即，解得
原方程组的解为
【变式训练13-3】阅读与思考
阅读下列材料，完成后面的任务．
善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把看成一个整体，设，．
原方程组可化为，解得原方程组的解为．
任务：
(1)方程组的解是，则方程组的解是______；
(2)仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组．
【答案】(1)
(2)．
【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键．
（1）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可．
（2）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可．
【详解】（1）解：∵方程组的解是，
∴，
解得：；
故答案为：；
（2）解：对于，令，
则原方程组可化为，
解得：，
∴，
解得：．
【变式训练13-4】阅读材料，回答问题．
解方程组，时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可变形为，解得，即，再解这个方程组得．这种解方程组的方法叫做整体换元法．
(1)已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么在关于a，b的二元一次方程组，中，______，______；
(2)用材料中的方法解二元一次方程组．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，结合题目给出的示例，合理换元是解题的关键．
（1）设，，原方程组可化为，根据的解为，即可求解；
（2）设，，原方程组可化为，解得，即，即可求解．
【详解】（1）解：设，，
原方程组可化为，
的解为，
，
故答案为：，；
（2）
设，，
原方程组可化为，
解得，
即，
解得，
原方程组的解为．
【变式训练13-5】阅读探索
（1）知识积累
解方程组
解：设，，原方程组可变为，
解方程组，得
即
所以有
此种解方程组的方法叫换元法．
（2）拓展提高运用上述方法解方程组：
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，设，则原方程组可变为，解方程组得到，据此求解即可．
【详解】解：设，则原方程组可变为，
解得，
∴，
∴．
题型十四：定义新运算
【例题14】对于有理数，定义新运算：，，其中是常数．已知，．
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)若关于的方程组的解也满足方程，求的值；
(4)若关于的方程组的解为，直接写出关于的方程组的解
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；
（2）由，得到，，代入，求解即可；
（3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可；
（4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．
【详解】（1）解：由题意得，
解得：；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
即，
解得；
（3）解：依题意得，
解得：，
∵，
∴，
解得：；
（4）解：由题意得：的解为，
由方程组得：，
∴，即，
解得：．
【变式训练14-1】对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数.例如，．
(1)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值；
(2)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可；
（2）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法求解即可．
【详解】（1）解：依题意得，解得：，
∵，
∴，
解得：．
（2）解：由题意得：的解为，
由方程组得：，
∴，解得：．
【变式训练14-2】【阅读感悟】
对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值．如已知实数、满足，求和的值．
方法一：解方程组，分别求出、的值，代入代数式求值；
方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值．解法如下：
①－②，得：；①＋②×2，得：．
比较：方法一运算量较大，是常规思路；方法二运算较为简单，这种解题思路就是通常所说的“整体思想”．
【问题解决】
（1）已知二元一次方程组，则__________；__________．
（2）某班级因组织活动购买奖品．买13支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需48元；买25支铅笔、7块橡皮、3本笔记本共需84元．则购买5只铅笔、5块橡皮、5本笔记本共需__________元．
（3）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，，那么的值是__________．
【答案】（1）2，；（2）60；（3）-11
【分析】（1）直接把两式相加和相减，即可求出答案；
（2）设买1支铅笔为a元，买1块橡皮为b元，买1本笔记本为c元，由题意：买13支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需48元；买25支铅笔、7块橡皮、3本笔记本共需84元．列出方程组，求出a+b+c=12，即可求解；
（3）由题意得：1※1=a+bc，3※5=3a+5bc=15①，4※7=4a+7bc=28②，求出a+bc=11即可．
【详解】解：（1）∵，
由①②，得；
由①+②，得，
∴；
故答案为：2；；
（2）设买1支铅笔为a元，买1块橡皮为b元，买1本笔记本为c元，
由题意得：
，
①×2②得：a+b+c=12，
∴5a+5b+5c=60，
故答案为：60；
（3），
由得：，
∴．
故答案为：．
【变式训练14-3】定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的“交换系数方程”为或．
(1)方程的“交换系数方程”为______；
(2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求的值；
(3)已知m，n，t都是整数，并且是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求解含参数的二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键．
（1）根据题目所给“交换系数方程”的定义进行解答即可；
（2）先求出与它的“交换系数方 程”组成的方程组的解，将其代入方程，得到，然后代入计算即可；
（3）根据题意根据题目所给“交换系数方程”的定义，分和两种情况求解即可．
【详解】（1）解：根据“交换系数方程”的定义可知方程“”的交换系数方程为或．
故答案为：或．
（2）解：当的“交换系数方程”为时，
联立，解得：，
∵，
∴，
∴，
当的“交换系数方程”为时，
联立，解得：，
∵，
∴，
∴．
综上：与它的“交换系数方 程”组成的方程组的解为．
把代入方程得：，即
∴．
（3）解：∵是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”，
∴或，
①当时，整理得：，解得：；
；
②当时，解得：，
∴．
综上：．
【变式训练14-4】阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数、满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
请根据上述思想解决下列问题：
(1)已知二元一次方程组，求和的值；
(2)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
【答案】(1)11，5
(2)2
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键．
（1）将两方程相加可求的值，将两方程相减可求的值；
（2）由题意列出方程组，即可求解．
【详解】（1）解：，
①②可得：，
①②可得：；
（2）∵，，
∴，，
∴，
①②可得：．
题型梳理
典例分析
如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项的次数都为1次，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，有无数个解，若加条件限定有有限个解。二元一次方程的一般形式:ax+by+c=0其中a、b不为零，这就是二元一次方程的定义。
典例分析
二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程，有无穷个解，若加条件限定有有限个解。
典例分析
把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
二元一次方程组的解：一般的，二元一次方程组的两个二元一次方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
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第八章 二元一次方程组章末总复习十四题型
【人教版】
【题型一 二元一次方程的定义】 2
【题型二 二元一次方程的解】 2
【题型三 用含x的式子表示y】 3
【题型四 二元一次方程组整数解】 3
【题型五 判断是否为二元一次方程组】 4
【题型六 判断是否为二元一次方程组的解】 5
【题型七 已知二元一次方程组求参数】 5
【题型八 墨水遮盖部分值的问题】 6
【题型九 解二元一次方程组】 6
【题型十 二元一次方程组看错类型】 7
【题型十一 二元一次方程组同解问题】 8
【题型十二 “整体法”解二元一次方程组】 9
【题型十三 “换元法”解二元一次方程组】 10
【题型十四 定义新运算】 13
题型一：二元一次方程的定义
【例题1-1】下列方程是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【例题1-2】若是关于的二元一次方程，则的值是 ．
【变式训练1-1】下列方程是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】下列各式中，是关于，的二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】已知是二元一次方程，则 ；
【变式训练1-4】若是关于的二元一次方程，则m的值为 ．
【变式训练1-5】已知方程是关于x，y的二元一次方程，则的立方根是 .
题型二：二元一次方程的解
【例题2】下列二元一次方程中，有一个解是的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-1】已知是二元一次方程的解，则的值为（ ）
A．11 B．5 C． D．
【变式训练2-2】下列选项中，是方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】表中给出的每一对x，y的值都是二元一次方程的解，则m等于（ ）
x 1 2 3
y m
A． B． C．3 D．5
【变式训练2-4】若，是关于x，y的二元一次方程的一组解，则 ．
题型三：用含x的式子表示y
【例题3】已知，用含x的式子表示y，则 ．
【变式训练3-1】请把二元一次方程改写成用含的式子表示的形式为 ．
【变式训练3-2】已知方程，用含的式子表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-3】把方程改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型四：二元一次方程的整数解
【例题4】二元一次方程的正整数解共有（ ）组．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练4-1】二元一次方程的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练4-2】二元一次方程的正整数解有 组．
【变式训练4-3】二元一次方程的正整数解有 组．
【变式训练4-4】已知是二元一次方程的一个解．
(1)则_________
(2)试直接写出二元一次方程的所有正整数解．
题型五：判断是否为二元一次方程组
【例题5】下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】下列方程组是二元一次方程组的是 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-3】下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）．
A． B．
C． D．
【变式训练5-4】下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
题型六：判断是否为二元一次方程组的解
【例题6】下列方程组中，解为的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】关于x，y的二元一次方程组的解为，则整式A可以是 ．
【变式训练6-2】写出一个以为解的二元一次方程组 ．
【变式训练6-3】 方程组的解（填“是”或“不是”）．
【变式训练6-4】已知是关于、的二元一次方程组的解，则△和？代表的数分别是（ ）
A．3和 B．和3 C．1和5 D．5和1
【变式训练6-5】已知下列三组数值：，，
(1)哪几组数值是方程的解？
(2)哪几组数值是方程的解？
(3)哪几组数值是方程组的解？
题型七：已知二元一次方程组求参数
【例题7】已知 是二元一次方程组的解，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练7-1】如果是方程组的解，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练7-2】若关于x、y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是 ．
【变式训练7-3】已知是二元一次方程组的解，则的值为 ．
【变式训练7-4】若方程组的解为，则的值为 ．
【变式训练7-5】若关于x，y的二元一次方程组的解为，则 ．
题型八：墨水遮盖部分值的问题
【例题8】亮亮求得方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和☆，请你帮他找回这两个数，“●”“☆”表示的数分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式训练8-1】小明同学解方程组时的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了“ ”和“*”处的两个数，则“●”，“*”分别代表的数是（　　）
A．，1 B．， C．2，1 D．2，
【变式训练8-2】方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为（ ）
A．1，2 B．1，3 C．5，1 D．2，4
【变式训练8-3】已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
题型九：解二元一次方程组
【例题9】解下列方程：
(1)；
(2)．
【变式训练9-1】解方程组：
(1)
(2)
【变式训练9-2】解方程组：
(1)；
(2)．
【变式训练9-3】解方程组：
(1)
(2)
【变式训练9-4】解方程（组）：
(1)；
(2)解方程组．
题型十：二元一次方程组看错问题
【例题10】已知关于的方程组，甲看错得到的解为，乙看错了得到的解为，他们分别把错看成的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练10-1】已知关于的方程组，望望由于看错了方程①中的，因此得到方程组的解为，贝贝看错了方程②中的，从而得到方程组的解为，那么的值为 ．
【变式训练10-2】解方程组时，一学生把a看错后得到，而正确的解为，
(1)求a，b，c的值；
(2)求的立方根．
【变式训练10-3】甲、乙两人解方程组,甲因看错a,解得,乙将其中一个方程的b写成了它的相反数,解得,求a、b的值.
【变式训练10-4】解方程组时，小明本应该解出，由于看错了系数c，从而得到解，试求出的值
题型十一：二元一次方程组同解问题
【例题11】已知关于x、y的方程组和的解相同，则（a+b）2022的值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2022
【变式训练11-1】已知方程组和的解相同，则、的值分别是（ ）
A．2，3 B．3，2 C．2，4 D．3，4
【变式训练11-2】若关于x，y的二元一次方程组的解与方程x+y＝5的解相同，则k的值是 ．
【变式训练11-3】已知关于x，y的方程组与方程3x﹣y＝8的解相同，则a2+2a＝ ．
【变式训练11-4】已知方程组和方程组的解相同，则（2a+b）3=
题型十二：“整体法”解二元一次方程组
【例题12】方程组的解是，则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练12-1】已知关于x、y的二元一次方程组的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练12-2】已知方程组的解是，则方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【变式训练12-3】若方程组的解是则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练12-4】若关于、的二元一次方程组的解是，则关于、的二元一次方程组的解是 .
题型十三：“换元法”解二元一次方程组
【例题13】63．阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，．原方程组化为，解得，
把代入，，得，解得，
原方程组的解为．
(1)学以致用：
运用上述方法解方程组：
(2)拓展提升：
已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______．
【变式训练13-1】我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法．
(1)已知关于、y的二元一次方程组的解为，求关于、n的二元一次方程组的解；
(2)请用上面的换元法解方程组．
【变式训练13-2】【阅读材料】解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，原方程组可变形为，解得即再解这个方程得．
这种解方程组的方法叫做整体换元法．
【知识应用】
（1）已知关于的二元一次方的解为，那么关于的二元一次方程组中的值分别为多少，请求出来．
【知识迁移】
（2）用材料中的方法解二元一次方程组
【变式训练13-3】阅读与思考
阅读下列材料，完成后面的任务．
善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把看成一个整体，设，．
原方程组可化为，解得原方程组的解为．
任务：
(1)方程组的解是，则方程组的解是______；
(2)仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组．
【变式训练13-4】阅读材料，回答问题．
解方程组，时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可变形为，解得，即，再解这个方程组得．这种解方程组的方法叫做整体换元法．
(1)已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么在关于a，b的二元一次方程组，中，______，______；
(2)用材料中的方法解二元一次方程组．
【变式训练13-5】阅读探索
（1）知识积累
解方程组
解：设，，原方程组可变为，
解方程组，得
即
所以有
此种解方程组的方法叫换元法．
（2）拓展提高运用上述方法解方程组：
题型十四：定义新运算
【例题14】对于有理数，定义新运算：，，其中是常数．已知，．
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)若关于的方程组的解也满足方程，求的值；
(4)若关于的方程组的解为，直接写出关于的方程组的解
【变式训练14-1】对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数.例如，．
(1)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值；
(2)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
【变式训练14-2】【阅读感悟】
对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值．如已知实数、满足，求和的值．
方法一：解方程组，分别求出、的值，代入代数式求值；
方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值．解法如下：
①－②，得：；①＋②×2，得：．
比较：方法一运算量较大，是常规思路；方法二运算较为简单，这种解题思路就是通常所说的“整体思想”．
【问题解决】
（1）已知二元一次方程组，则__________；__________．
（2）某班级因组织活动购买奖品．买13支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需48元；买25支铅笔、7块橡皮、3本笔记本共需84元．则购买5只铅笔、5块橡皮、5本笔记本共需__________元．
（3）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，，那么的值是__________．
【变式训练14-3】定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的“交换系数方程”为或．
(1)方程的“交换系数方程”为______；
(2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求的值；
(3)已知m，n，t都是整数，并且是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值．
【变式训练14-4】阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数、满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
请根据上述思想解决下列问题：
(1)已知二元一次方程组，求和的值；
(2)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
题型梳理
典例分析
如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项的次数都为1次，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，有无数个解，若加条件限定有有限个解。二元一次方程的一般形式:ax+by+c=0其中a、b不为零，这就是二元一次方程的定义。
典例分析
二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程，有无穷个解，若加条件限定有有限个解。
典例分析
把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
二元一次方程组的解：一般的，二元一次方程组的两个二元一次方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
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