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期末专题复习5 不等式与不等式组
1 不等式的概念
像、、这样用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式；像这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式.
2 不等式的解和解集
使不等式的未知数的值叫做不等式的解。
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。
3 不等式的性质
① 性质1：不等式两边同时加(或减)同一个数(或式子)，不等式的方向不变；
用字母表示：如果，那么.
② 性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等式的方向不变；
用字母表示：如果，，那么(或).
③ 性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等式的方向改变。
用字母表示：如果，，那么(或).
4解一元一次不等式组
解一元一次不等式组的一般步骤：
① 求出不等式组中各个不等式的解集；
② 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，得到这个不等式的解集.
5 确定不等式组的解的口诀
大大取大，小小取小，小大大小取中间，大大小小无处找.
下表中，
不等式 图示 解集
无解
【题型一】不等式的性质
【典题1】 表示数a，b，c的点在数轴上的位置如图所示，下列选项中一定成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式的性质，实数与数轴等知识点，根据图示，可得且，，，据此逐项判断即可，正确理解不等式的性质是解此题的关键．
【详解】由图可知，，且，，，
∵，
∴，
∴选项A不符合题意；
∵，
∴，
∴选项B不符合题意；
∵，，
∴，
∴选项C不符合题意；
∵，，
∴，
∴选项D符合题意．
故选：D．
变式练习
1. 如果，那么下列不等式正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
【详解】解：A、由可得，则，原式错误，不符合题意；
B、由可得，原式错误，不符合题意；
C、由可得，原式错误，不符合题意；
D、由可得，原式正确，符合题意；
故选：D．
2.下列命题中，错误的是( )
A．若，则 B．若且，则
C．若且，则 D．若，则
【答案】D
【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
根据不等式的性质判断即可．
【详解】解：对于A选项，若，则，正确，不符合题意；
对于B选项，若且，则，正确，不符合题意；
对于C选项，若且，则，正确，不符合题意；
对于D选项，当，，，则，错误，符合题意；
故选D．
3.下列变形错误的是( )
A．由得 B．由得
C．由得 D．由得
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
【详解】解：A、由得，原式变形正确，不符合题意；
B、由得，原式变形正确，不符合题意；
C．由得，原式变形正确，不符合题意；
D、由得，原式变形错误，符合题意；
故选：D．
4.下列变形中不正确的是( )
A．由得 B．由得
C．由得 D．由得
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐个判断即可，能灵活运用不等式的性质进行变形是解此题的关键．
【详解】解：A、，，原变形正确，故本选项不符合题意；
B、，，原变形正确，故本选项不符合题意；
C、，，原变形错误，故本选项符合题意；
D、 ，，原变形正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
5.已知，下列不等式成立的是：( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质进行逐一判断即可得到答案.
【详解】解：A．，当，时，，，，故A不符合题意；
B．，当时，，故B不符合题意；
C．，当，时，，故C不符合题意；
D．，，则成立，故D符合题意；
故选：D．
【题型二】解一元一次不等式组
【典题1】 解不等式组，并求它的所有整数解．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式①得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为．
【典题2】若关于x的不等式组 有且只有3个整数解，则a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解两个不等式可得，，根据不等式组有且只有3个整数解，可得，解不等式即可．
【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组有且只有3个整数解，
该不等式组的解集为，3个整数解分别为2，1，0，
，
，
故选：B．
变式练习
1. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查不等式组的解法、不等式组解集在数轴上的表示．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
该解集在数轴上表示为：
．
故选：A
2.不等式组的解集为( )
A． B． C． D．无解
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找．
分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
不等式组的解集为
故选C．
3.若关于x的不等式组的解集中任何一个x值均不在范围内，则a的取值范围为( )
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．先求出不等式组的解集，然后根据关于的不等式组的解集中任何一个值均不在范围内，即可求得的取值范围．
【详解】解：由不等式组可得：，
关于的不等式组的解集中任何一个值均不在范围内，
或，
解得或，
故选：A．
4.不等式组的所有整数解的和为7，则整数的值有( )
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【分析】本题考查由不等式组整数解的情况求参数，涉及解含参数不等式组、不等式组的整数解等知识，根据题意，求出不等式组的解集为，再由不等式组整数解的情况求出或，由不等式的性质分情况讨论求解即可得到答案，熟练掌握由不等式组整数解的情况求参数的方法是解决问题的关键．
【详解】解：，
由①得；
由②得；
不等式组的解集为，
不等式组的所有整数解的和为7，
或，
当时，解得，则整数的值有共3个；
当时，解得，则整数的值有共3个；
综上所述，满足题意的整数的值有个，
故选：B．
5.解不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为。
6.先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式
解：，
，可化为．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，
得情况①；或情况②
解不等式组①，得；解不等式组②，得，
的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或．
(1)一元二次不等式的解集为______；
(2)解一元二次不等式；
(3)解分式不等式．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】此题考查了不等式组的解法，利用了转化的思想，这种转化思想的依据为：两数相乘(除)，同号得正，异号得负的取符号法则．
(1)仿照题意求解即可；
(2)先因式分解得到，再根据由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，
得情况①；或情况②，解两个不等式组即可；
(3)根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，得情况①；或情况②解两个不等式组即可．
【详解】(1)解：∵，
∴，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，
得情况①；或情况②
解不等式组①，得；解不等式组②，得，
∴的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或，
故答案为：或．
(2)解：∵，
∴，
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，
得情况①；或情况②
解不等式组①，得；解不等式组②，得不等式组无解，
∴的解集为，
即一元二次不等式的解集为；
(3)解：由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，
得情况①；或情况②
解不等式组①，得；解不等式组②，得不等式组无解，
∴的解集为．
【题型三】实际问题与一元一次不等式组
【典题1】 某班为了丰富学生的课外活动，计划购买10个足球和20根跳绳，一共需要1600元，其中足球的单价是跳绳单价的3倍多10元．
(1)问跳绳和足球的单价各是多少
(2)若学校计划用不超过2000元的经费购买足球和跳绳，足球和跳绳的总数为40，且跳绳的数量不多于足球数量的3倍，则最多可购买多少个足球
【答案】(1)跳绳的单价为每根30元，足球的单价为每个元
(2)最多可购买11个足球
【分析】(1)设跳绳的单价为每根x元，则可得足球的单价，根据等量关系：10个足球和20根跳绳，一共需要1600元，列出方程即可求解；
(2)设购买y个足球，则购买跳绳根，根据题中不等关系列出关于y的一元一次不等式组，即可求解．
【详解】(1)解：设跳绳的单价为每根x元，则足球的单价为每个元，
由题意，得：，
解得：，
则(元)
答：跳绳的单价为每根30元，足球的单价为每个元；
(2)解：设购买y个足球，则购买跳绳根，
由题意，得：，
解不等式组得：，
由于y取整数，故y最大取11；
答：最多可购买11个足球．
【典题2】学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元．
(1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价；
(2)学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？
【答案】(1)乒乓球拍的单价是60元，羽毛球拍的单价是45元
(2)3种
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
(1)设乒乓球拍的单价是元，羽毛球拍的单价是元，根据“购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买副乒乓球拍，则购买副羽毛球拍，根据“购买乒乓球拍的数量不少于羽毛球数量的，且购买费用不超过2535”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出学校共有3种购买方案．
【详解】(1)解：设乒乓球拍的单价是元，羽毛球拍的单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：乒乓球拍的单价是60元，羽毛球拍的单价是45元；
(2)解：设购买副乒乓球拍，则购买副羽毛球拍，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为17，18，19，
学校共有3种购买方案．
变式练习
1. 某汽车专卖店销售，两种型号的新能源汽车．上周售出辆型车和辆型车，销售额为万元．本周已售出辆型车和辆型车，销售额为万元．
(1)求每辆型车和型车的售价各为多少万元？
(2)甲公司拟向该店购买，两种型号的新能源汽车共辆，且型号车不少于辆，购车费不少于万元，通过计算说明有哪几种购车方案？
【答案】(1)每辆型车的售价为万元，每辆型车的售价为万元
(2)共有种购车方案：方案：购买型车辆，型车辆；方案：购买型车辆，型车辆
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用：
(1)设每辆型车的售价为万元，每辆型车的售价为万元，根据售出辆型车和辆型车，销售额为万元，售出辆型车和辆型车，销售额为万元列出方程组求解即可；
(2)设甲公司购买型车辆，则购买型车辆，根据型号车不少于辆，购车费不少于万元，列出不等式组求出m的取值范围，再根据m为整数即可得到答案．
【详解】(1)解：设每辆型车的售价为万元，每辆型车的售价为万元，
依题意得：，
解得：．
答：每辆型车的售价为万元，每辆型车的售价为万元．
(2)解：设甲公司购买型车辆，则购买型车辆，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
或，
共有种购车方案：方案：购买型车辆，型车辆；
方案：购买型车辆，型车辆．
2.为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，攀枝花市教体局向木里县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套
(1)求书籍和实验器材各有多少套？
(2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来
【答案】(1)书籍和实验器材各有240套，120套；
(2)有5种方案：①运输部门安排甲种型号的货车0辆，乙种型号的货车8辆；②运输部门安排甲种型号的货车1辆，乙种型号的货车7辆；③运输部门安排甲种型号的货车2辆，乙种型号的货车6辆；③运输部门安排甲种型号的货车3辆，乙种型号的货车5辆；③运输部门安排甲种型号的货车4辆，乙种型号的货车4辆．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键．
(1)设书籍有x套，实验器材有y套，根据书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套建立方程组，解方程组即可得；
(2)设运输部门安排甲种型号的货车m辆，乙种型号的货车辆，根据两种型号的货车运输量建立不等式组，解不等式组即可得．
【详解】(1)解：设书籍和实验器材各有x套，y套，
由题意得，，
解得，
答：书籍和实验器材各有240套，120套；
(2)解：设运输部门安排甲种型号货车m辆，则运输部门安排乙种型号货车辆，
由题意得，，
解得，
∴有5种方案：①运输部门安排甲种型号的货车0辆，乙种型号的货车8辆；②运输部门安排甲种型号的货车1辆，乙种型号的货车7辆；③运输部门安排甲种型号的货车2辆，乙种型号的货车6辆；③运输部门安排甲种型号的货车3辆，乙种型号的货车5辆；③运输部门安排甲种型号的货车4辆，乙种型号的货车4辆．
3.某乡镇为倡导绿色生活，建设美丽家园，需购买A，B两种型号的垃圾处理设备，已知1台A型设备和3台B型设备的日处理能力为44吨；3台A型设备和1台B型设备的日处理能力为60吨．
(1)分别求1台A型设备、1台B型设备的日处理能力．
(2)根据实际情况，该乡镇需购买A，B两种型号的垃圾处理设备共8台，要求A型设备不超过5台，且购回设备的日处理能力超过100吨．已知A型设备每台7万元，B型设备每台4万元，请你利用不等式的知识为该乡镇设计出最省钱的购买方案．
【答案】(1)1台A型设备的日处理能力为17吨，1台B型设备的日处理能力为9吨
(2)购买A型设备3台，B型设备5台
【分析】本题主要查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的应用：
(1)设1台A型设备的日处理能力为x吨，1台B型设备的日处理能力为y吨，根据题意，列出方程组，即可求解；
(2)设购买A型设备m台，根据题意得到关于m的不等式组，可得，再求出购买费用为元，即可求解．
【详解】(1)解：设1台A型设备的日处理能力为x吨，1台B型设备的日处理能力为y吨，根据题意得：
，
解得：，
答：1台A型设备的日处理能力为17吨，1台B型设备的日处理能力为9吨；
(2)解：设购买A型设备m台，根据题意得：
，
解得：，
∵m为整数，
∴m取3，4，5，
购买费用为元，
当时，；
当时，；
当时，；
∵，
∴最省钱的购买方案为购买A型设备3台，B型设备5台．
4.“全民阅读”深入人心，读书好，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书，经了解，本文学名著和本动漫书共需元，本文学名著与本动漫书的费用一样(注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样)．
(1)求每本文学名著和动漫书各多少元？
(2)若学校要求购买文学名著比动漫书多本，动漫书和文学名著总数不低于本，总费用不超过元，请问有几种购书方案？
(3)在()的条件下，若学校实际购买时，文学名著单价上调元本，动漫书单价下调了元本，此时购买这两种书籍所需最少费用为元，则的值为_____．
【答案】(1)每本文学名著元，每本动漫书为元；
(2)文学名著本，则动漫书本；文学名著本，则动漫书本，文学名著本，则动漫书本；文学名著本，则动漫书本；
(3)．
【分析】()每本文学名著和动漫书分别为，元，根据等量关系列出二元一次方程组，再解即可；
()设购买文学名著本，则动漫书本，列出不等式，再解即可；
()由每本文学名著和动漫书分别为元，元，列出不等式，再解即可；
此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．
【详解】(1)每本文学名著和动漫书分别为，元，
根据题意，得：，解得：，
答：每本文学名著元，每本动漫书为元；
(2)设购买文学名著本，则动漫书本，
由题意得，解得：，
∵为正整数，
∴有四种方案：
文学名著本，则动漫书本，
文学名著本，则动漫书本，
文学名著本，则动漫书本，
文学名著本，则动漫书本，
(3)上调后每本文学名著和动漫书分别为元，元，
根据题意得，
∵，
∴，
由()得：
，解得：，
∴，
，解得：，
∴，
，解得：，
∴，
，解得：，
∴，
由，
∴的值为．
【A组---基础题】
1.若，则下列不等式中正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
根据不等式的性质对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴，A错误，故不符合要求；
∴，B正确，故符合要求；
∴，C错误，故不符合要求；
∴，即，D错误，故不符合要求；
故选：B．
2.不等式组的解集是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
3.已知关于的不等式组有两个整数解，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得答案．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组有2个整数解，
∴，
故选C．
4.若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到结合不等式组的解集可得答案，
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是解题的关键．
【详解】解：，解得：，
∵不等式组无解，
∴，
故答案为：．
5.若关于的一元一次不等式组有3个整数解，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解得出关于m的不等式组是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，再根据“大取大小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”确定不等式组的解集，再结合不等式组的整数解的个数得出关于m的不等式组，解之可得答案．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组有3个整数解，
∴不等式组的解集为，从而得到不等式组的整数解为1、2、3，
则，
故答案为：．
6.解不等式组：，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来．
【答案】，见解析
【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴解不等式①，得，解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，数轴表示如下：
．
7.某学校准备到文化用品商店购买数学实验器材A和B，若购买4件器材A和3件器材B共需要580元，若购买3件器材A和3件器材B共需要450元．
(1)求每件器材A，B的销售价格；
(2)学校准备用不多于2460元的金额购买这两种器材共24件，其中购买器材A不少于15件，请求出学校购买这些器材的所有可能的方案．
【答案】(1)每件器材A的销售价格为130元，每件器材B的销售价格为20元
(2)四种方案，详见解析
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组以及二元一次方程组的应用．
(1)设每件器材A为x元，每件器材B为y元，根据已知条件列方程组求解即可．
(2)设器材A买a件，器材B买件，先列出不等式组求出未知数的大小范围，然后根据要求选择合适的方案即可．
【详解】(1)解：设每件器材A为x元，每件器材B为y元，
由题可得方程组为：
解得：
所以每件器材A的销售价格为130元，每件器材B的销售价格为20元；
(2)解：设器材A买a件，器材B买件，
由题可得方程组为：
解得：，
因为a为整数，
所以，
故有以下四种方案：
方案一：买A器材15件，B器材9件：
方案二：买A器材16件，B器材8件；
方案三：买A器材17件，B器材7件：
方案四：买A器材18件，B器材6件．
8.阅读下面材料：
分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式时，是这样思考的：
根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①得，
解不等式组②得．
所以原不等式的解集为或．
请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式 ．
【答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”是解题的关键．
根据题意把原不等式化为两个不等式组，求出不等式组的解集即可．
【详解】解：根据两数相除，同号得正，异号得负，原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组得，
解不等式组得无解，
所以原不等式的解集为．
故答案为：．
【B组---提高题】
1.已知实数a，b满足：，，则下列结论不正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式的性质．把代入求出，再根据得出，最后根据不等式的性质进行计算和推理一一判断即可求解．
【详解】解：A．把代入，得，解得：，故该选项正确，
B．∵，∴，∴，即，故该选项正确，
C．，∵，∴，即，故该选项正确．
D．把变形为：，∵，，∴，，∴，即故该选项错误．
故选：D．
2.阅读材料：定义：若关于的一元一次方程的解及解的二倍都在一元一次不等式组的解集范围内，则称这个方程为该不等式组的“完全子方程”．例如：方程的解为，则；不等式组的解集是，可以发现方程的解及都在不等式组的解集的范围内，则称方程是不等式组的“完全子方程”．
请根据以上材料回答下面问题：
(1)在方程①；②中，是不等式组的“完全子方程”的是______；(填序号)
(2)若方程是不等式组的“完全子方程”，求的取值范围．
【答案】(1)①
(2)
【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，一元一次不等式组的解法，掌握新定义的含义是解本题的关键；
(1)先解两个方程得到方程的解，再解不等式组，得到不等式组的解，再根据新定义的含义判定即可；
(2)先解不等式组得到解集为，再由方程可得，，再结合新定义的含义建立不等式组，即可得到答案．
【详解】(1)解：解方程①得：
∴，
∴，
解方程②得：
∴，而，
∵，
解不等式得：
∴，
解不等式得：
∴，
解得：
∴，
∵，都在范围内，不在范围内，
不等式组的“完全子方程”是①．
故答案为：①．
(2)∵，
解不等式，得．
解不等式，得．
不等式组的解集是．
解方程，得．
方程是不等式组的“完全子方程”，
，即，
解得；
且，即，
解得．
综上所述，的取值范围是．中小学教育资源及组卷应用平台
期末专题复习5 不等式与不等式组
1 不等式的概念
像、、这样用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式；像这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式.
2 不等式的解和解集
使不等式的未知数的值叫做不等式的解。
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。
3 不等式的性质
① 性质1：不等式两边同时加(或减)同一个数(或式子)，不等式的方向不变；
用字母表示：如果，那么.
② 性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等式的方向不变；
用字母表示：如果，，那么(或).
③ 性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等式的方向改变。
用字母表示：如果，，那么(或).
4解一元一次不等式组
解一元一次不等式组的一般步骤：
① 求出不等式组中各个不等式的解集；
② 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，得到这个不等式的解集.
5 确定不等式组的解的口诀
大大取大，小小取小，小大大小取中间，大大小小无处找.
下表中，
不等式 图示 解集
无解
【题型一】不等式的性质
【典题1】 表示数a，b，c的点在数轴上的位置如图所示，下列选项中一定成立的是( )
A． B． C． D．
变式练习
1. 如果，那么下列不等式正确的是( )
A． B．
C． D．
2.下列命题中，错误的是( )
A．若，则 B．若且，则
C．若且，则 D．若，则
3.下列变形错误的是( )
A．由得 B．由得
C．由得 D．由得
4.下列变形中不正确的是( )
A．由得 B．由得
C．由得 D．由得
5.已知，下列不等式成立的是：( )
A． B． C． D．
【题型二】解一元一次不等式组
【典题1】 解不等式组，并求它的所有整数解．
【典题2】若关于x的不等式组 有且只有3个整数解，则a的取值范围是( )
A． B． C． D．
变式练习
1. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A． B． C． D．
2.不等式组的解集为( )
A． B． C． D．无解
3.若关于x的不等式组的解集中任何一个x值均不在范围内，则a的取值范围为( )
A．或 B．或
C． D．
4.不等式组的所有整数解的和为7，则整数的值有( )
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
5.解不等式组，并写出它的所有整数解．
6.先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式
解：，，可化为．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，
得情况①；或情况②
解不等式组①，得；解不等式组②，得，
的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或．
(1)一元二次不等式的解集为______；
(2)解一元二次不等式；
(3)解分式不等式．
【题型三】实际问题与一元一次不等式组
【典题1】 某班为了丰富学生的课外活动，计划购买10个足球和20根跳绳，一共需要1600元，其中足球的单价是跳绳单价的3倍多10元．
(1)问跳绳和足球的单价各是多少
(2)若学校计划用不超过2000元的经费购买足球和跳绳，足球和跳绳的总数为40，且跳绳的数量不多于足球数量的3倍，则最多可购买多少个足球
【典题2】学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元．
(1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价；
(2)学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？
变式练习
1. 某汽车专卖店销售，两种型号的新能源汽车．上周售出辆型车和辆型车，销售额为万元．本周已售出辆型车和辆型车，销售额为万元．
(1)求每辆型车和型车的售价各为多少万元？
(2)甲公司拟向该店购买，两种型号的新能源汽车共辆，且型号车不少于辆，购车费不少于万元，通过计算说明有哪几种购车方案？
2.为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，攀枝花市教体局向木里县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套
(1)求书籍和实验器材各有多少套？
(2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来
3.某乡镇为倡导绿色生活，建设美丽家园，需购买A，B两种型号的垃圾处理设备，已知1台A型设备和3台B型设备的日处理能力为44吨；3台A型设备和1台B型设备的日处理能力为60吨．
(1)分别求1台A型设备、1台B型设备的日处理能力．
(2)根据实际情况，该乡镇需购买A，B两种型号的垃圾处理设备共8台，要求A型设备不超过5台，且购回设备的日处理能力超过100吨．已知A型设备每台7万元，B型设备每台4万元，请你利用不等式的知识为该乡镇设计出最省钱的购买方案．
4.“全民阅读”深入人心，读书好，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书，经了解，本文学名著和本动漫书共需元，本文学名著与本动漫书的费用一样(注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样)．
(1)求每本文学名著和动漫书各多少元？
(2)若学校要求购买文学名著比动漫书多本，动漫书和文学名著总数不低于本，总费用不超过元，请问有几种购书方案？
(3)在()的条件下，若学校实际购买时，文学名著单价上调元本，动漫书单价下调了元本，此时购买这两种书籍所需最少费用为元，则的值为_____．
【A组---基础题】
1.若，则下列不等式中正确的是(　　)
A． B．
C． D．
2.不等式组的解集是( )
A． B． C． D．
3.已知关于的不等式组有两个整数解，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
4.若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ．
5.若关于的一元一次不等式组有3个整数解，则的取值范围为 ．
6.解不等式组：，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来．
7.某学校准备到文化用品商店购买数学实验器材A和B，若购买4件器材A和3件器材B共需要580元，若购买3件器材A和3件器材B共需要450元．
(1)求每件器材A，B的销售价格；
(2)学校准备用不多于2460元的金额购买这两种器材共24件，其中购买器材A不少于15件，请求出学校购买这些器材的所有可能的方案．
8.阅读下面材料：
分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式时，是这样思考的：
根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①得，
解不等式组②得．
所以原不等式的解集为或．
请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式 ．
【B组---提高题】
1.已知实数a，b满足：，，则下列结论不正确的是( )
A． B． C． D．
2.阅读材料：定义：若关于的一元一次方程的解及解的二倍都在一元一次不等式组的解集范围内，则称这个方程为该不等式组的“完全子方程”．例如：方程的解为，则；不等式组的解集是，可以发现方程的解及都在不等式组的解集的范围内，则称方程是不等式组的“完全子方程”．
请根据以上材料回答下面问题：
(1)在方程①；②中，是不等式组的“完全子方程”的是______；(填序号)
(2)若方程是不等式组的“完全子方程”，求的取值范围．

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