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5.1 直线与平面垂直
第六章　立体几何初步
§5　垂直关系
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.了解直线与平面垂直的定义，并会用定义判定线面垂直.
2.掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题.
3.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直.
观察下列生活中的现象：
（1）感受桥柱与水面是怎样的位置关系？
桥柱与水面垂直
实例引入
（2）感受旗杆与地面是怎样的位置关系？
旗杆与地面垂直
观察下列生活中的现象：
实例引入
旗杆
A
B
C
（3）旗杆AB所在的直线与地面内任何一条过点B的直线是否都垂直？
（4）旗杆AB所在的直线与地面内任何一条不过点B的直线是否都垂直？
观察下列生活中的现象：
是
是
旗杆AB与地面的任何一条直线都垂直.
随着太阳的移动，旗杆AB的影子BC始终与旗杆垂直.
实例引入
（3）旗杆AB所在的直线与地面内任何一条过点B的直线是否都垂直？
（4）旗杆AB所在的直线与地面内任何一条不过点B的直线是否都垂直？
观察下列生活中的现象：
旗杆AB与地面的任何一条直线都垂直.
随着太阳的移动，旗杆AB的影子BC始终与旗杆垂直.
如何定义一条直线与一个平面垂直呢？

A
l
抽象概括
直线与平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直.
抽象概括
l
平面的垂线
直线的垂面
垂足
记作：

A
线面垂直的画法
如图，通常把表示直线的线段画成和表示平面的平行四边形的横边垂直.

A
l
抽象概括
思考1：
如果一条直线垂直于一个平面内的
所有直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
（是）
思考2：
如果一条直线垂直于一个平面内的
无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
（否）
定义理解
l
α
a
┐
如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线.
利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本的方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质：
线面垂直
线线垂直
问：判定直线与平面不垂直，只需要在平面内找一条直线和已知直线不垂直即可，那如何来判定一条直线与一个平面垂直呢？
定义理解
探究1：
a
α
l
如果直线l与平面α内的一条直线垂直，
那么直线l和平面α是否互相垂直
（否）
定理探究
b
α
a
探究2：
l
如果这两条直线平行
那如果这两条直线相交呢？
如果直线l与平面α内的两条直线垂直，
那么直线l和平面α是否互相垂直
（否）
定理探究
b
α
a
探究3：
l
如果直线l与平面α内的两条相交直线垂直，
那么直线l和平面α是否互相垂直
定理探究
过 ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放在桌面上（BD,DC与桌面接触）
（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直？
动手实验：
A
B
D
C
请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做一个实验：
A
B
C
D
探究3：
如果直线l与平面α内的两条相交直线垂直，
那么直线l和平面α是否互相垂直
（是）
定理探究
D
A
C
B
┐
α
D
A
C
B
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，
那么该直线与此平面垂直．
线面垂直的判定定理
α
A
b
a
l
简述为：线线垂直 线面垂直
定理探究
符号表示：
a α
b α
a b ＝A
例1　(多选)下列命题中，不正确的是
A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α
B.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线
C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直
D.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α
一、直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解
√
√
√
解析　当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；
当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；
若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，故D错误.
定理应用
反思感悟
对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事.
跟踪训练1　如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是________.(填序号)
①③④
解析　根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，
而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.
例2.已知空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的位置关系是_______.
垂直
解析：如图，取BD的中点O，连接AO，CO，
则BD⊥AO，BD⊥CO，AO∩OC＝O，
AO、OC 平面AOC
∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC.
例3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD.
证明　∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
又AA1⊥平面ABCD，
∴AA1⊥BD且AA1∩AC＝A，
∴BD⊥平面AA1O，
∴BD⊥A1O，
令正方体的棱长为2，连接OM，A1M(图略)，
∴A1O2＋OM2＝A1M2，
∴A1O⊥OM，
又OM∩BD＝O，
∴A1O⊥平面MBD.
跟踪训练3　如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.
(1)求证：AN⊥平面PBM；
证明　∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM 平面ABM，∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，PA，AM 平面PAM，
又AN 平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM 平面PBM，
∴BM⊥平面PAM.
∴AN⊥平面PBM.
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
证明　由(1)知AN⊥平面PBM，
PB 平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ 平面ANQ，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ 平面ANQ，∴PB⊥NQ.
1.利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：
证明线面垂直的关键是分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．
2.找线线垂直的常用方法:
三角形中的勾股定理、等腰三角形底边上的中线、菱形的对角线、三角形相似或全等、梯形的高、线面垂直的性质等．
反思感悟
　线面垂直的判定定理
线线垂直
线面垂直
线面垂直的基本性质
课堂小结
1. 线面垂直的定义
2.

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