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专题14 函数模型及其应用（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 5
【考点1】利用函数图象刻画实际问题的变化过程 5
【考点2】已知函数模型解决实际问题 11
【考点3】构造函数模型解决实际问题 15
【分层检测】 20
【基础篇】 20
【能力篇】 29
【培优篇】 33
考试要求：
1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.
2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.
1.指数、对数、幂函数模型性质比较
　　函数 性质　　　 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0)
在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象 的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值 变化而 各有不同
值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax2.几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.
2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.
一、单选题
1．（2020·山东·高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
2．（2020·全国·高考真题）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
二、多选题
3．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A． B．
C． D．
参考答案：
1．B
【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
2．B
【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】由题意，第二天新增订单数为，
，故至少需要志愿者名.
故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
3．ACD
【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD.
【考点1】利用函数图象刻画实际问题的变化过程
一、单选题
1．（2021·吉林长春·一模）中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感. 为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度随时间变化的规律（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三上·福建泉州·期末）函数的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（ ）
-2 -1 0 1 2 3 5
2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）小菲在学校选修课中了解了艾宾浩斯遗忘曲线．为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量y与时间（单位：天）之间的函数关系．则下列说法中正确的是（ ）
A．随着时间的增加：小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C．天后，小菲的单词记忆保持量不低于40%
D．天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
4．（2021·福建厦门·一模）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（ ）
A．
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为时
三、填空题
5．（2023·北京·模拟预测）农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：

根据上表所提供信息，第 号区域的总产量最大．
6．（2022·北京丰台·二模）如图，某荷塘里浮萍的面积y（单位：）与时间t（单位：月）满足关系式：（a为常数），记（）．给出下列四个结论：
①设，则数列是等比数列；
②存在唯一的实数，使得成立，其中是的导函数；
③常数；
④记浮萍蔓延到，，所经过的时间分别为，，，则．
其中所有正确结论的序号是 ．
参考答案：
1．C
【分析】根据函数图象的变化可直接判断.
【详解】由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型.
故选：C.
【点睛】本题考查函数模型的判断，属于基础题.
2．A
【分析】由函数的数据即可得出答案.
【详解】由函数的数据可知，函数，
偶函数满足此性质，可排除B，D；
当时，由函数的数据可知，函数增长越来越快，可排除C.
故选：A.
3．AB
【分析】根据艾宾浩斯遗忘曲线对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由函数解析式和图象可知随着的增加而减少，故A正确．
由图象的减少快慢可知：第一天小菲的单词记忆保持量下降最多，B正确．
当时，，
则，
即天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C错误．
，故D错误．
故选：AB
4．AD
【分析】利用图象分别求出两段函数解析式，再进行逐个分析，即可解决．
【详解】由函数图象可知，
当时，，即，解得，
，故正确，
药物刚好起效的时间，当，即，
药物刚好失效的时间，解得，
故药物有效时长为小时，
药物的有效时间不到6个小时，故错误，正确；
注射该药物小时后每毫升血液含药量为微克，故错误，
故选：．
5．5
【分析】分别求出种植密度函数和单株产量函数的解析式，再求总产量的函数解析式，由此确定其最大值及取最大值的条件即可.
【详解】设区域代号为，种植密度为，单株产量为，则，
由图象可得种植密度是区域代号的一次函数，
故设，，
由已知函数的图象经过点,，
所以，解得，
所以，
由图象可得单株产量是区域代号的一次函数，
故可设，，
观察图象可得当时，，当时，，
所以，解得，
所以，
所以总产量
当时，函数有最大值，即号区域总产量最大，最大值为.
故答案为：5.
6．①②④
【分析】根据、求出的取值范围，即可判断③，再根据等比数列的定义判断①，构造函数利用导数说明函数的单调性，再结合零点存在性定理判断②，根据指数对数的关系及对数函数的性质判断④；
【详解】解：依题意，因为，所以且，
又，所以，所以，即，
因为，所以，，故③错误；
由已知可得，则，，
所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，故①正确；
令，则，，，
令，则，，
因为，所以，即，在上单调递增，
因为，所以，，，
令，，则，所以，在上单调递减，
且，即，
令，，则，所以在上单调递增，
又，所以，
所以，
，
故存在上，，故②正确；
依题意、、，所以，
所以，则，即，
所以，
因为，所以，所以，所以，
所以，即，故④正确；
故答案为：①②④
反思提升：
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况.
【考点2】已知函数模型解决实际问题
一、单选题
1．（2023·云南·二模）下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：
一次购买件数 5-10件 11-50件 51-100件 101-300件 300件以上
每件价格 37元 32元 30元 27元 25元
张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（ ）
A．116件 B．110件 C．107件 D．106件
2．（2024·重庆·模拟预测）物理学家本·福特提出的定律：在进制的大量随机数据中，以开头的数出现的概率为，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误．根据此定律，在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的（ ）倍（参考数据：
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
二、多选题
3．（2024·重庆·二模）英国经济学家凯恩斯（1883-1946）研究了国民收入支配与国家经济发展之间的关系，强调政府对市场经济的干预，并形成了现代西方经济学的一个重要学派一凯恩斯学派.机恩斯抽象出三个核心要素：国民收入，国民消费和国民投资，假设国民收入不是用于消费就是用于投资，就有：.其中常数表示房租 水电等固定消费，为国民“边际消费倾向”.则（ ）
A．若固定且，则国民收入越高，“边际消费倾向”越大
B．若固定且，则“边际消费倾向”越大，国民投资越高
C．若，则收入增长量是投资增长量的5倍
D．若，则收入增长量是投资增长量的
4．（2024·重庆·模拟预测）放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数量随时间的衰变公式，表示物质的初始数量，是一个具有时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知，右表给出了铀的三种同位素τ的取值：若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为，，，则（ ）
物质 τ的量纲单位 τ的值
铀234 万年 35.58
铀235 亿年 10.2
铀238 亿年 64.75
A． B．与成正比例关系
C． D．
三、填空题
5．（2024·河南洛阳·模拟预测）在高度为的竖直墙壁面上有一电子眼，已知到天花板的距离为，电子眼的最大可视半径为．某人从电子眼正上方的天花板处贴墙面自由释放一个长度为0.2m的木棒（木棒竖直下落且保持与地面垂直），则电子眼A记录到木棒通过的时间为 s．（注意：位移与时间的函数关系为，重力加速度取）
6．（2023·北京海淀·三模）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下图所示：
横轴为投资时间（单位：天），纵轴为回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法正确的是 ；
①投资3天以内（含3天），采用方案一；
②投资4天，不采用方案三；
③投资6天，采用方案二；
④投资10天，采用方案二.
参考答案：
1．C
【分析】根据题意，设购买的件数为，花费为元，根据表中的数据列出满足的函数关系式，当时，求出的最大值即可.
【详解】设购买的件数为，花费为元，
则，当时，，
当时，，所以最多可购买这种产品件，
故选：C.
2．C
【分析】根据题意，分别求得，结合对数的运算法则，即可求解.
【详解】由题意，以开头的数出现的概率为，
可得，
所以.
故选：C.
3．AC
【分析】利用已知可得，可判断A；由，可判断B；若，可得，由导数的意义可判断C；同理可判断D.
【详解】由题意可得固定且，又，所以，
所以，由于为定值，所以可得增大时(国民收入越高)，
增大(“边际消费倾向”越大)，故A正确；
由上可得，为定值，故增大，减小(投资越小)，故B错误；
若，由，可得，
由导数的定义可得，所以可得收入增长量是投资增长量的倍，故C正确；
同C项讨论可得若，可得，因此收入增长量是投资增长量的倍，故D错误.
故选：AC.
4．BD
【分析】A选项，根据半衰期的定义得到，从而得到方程，求出；B选项，由A选项得到结论；C选项，由B选项可得C错误；D选项，计算出，作商得到D正确.
【详解】A选项，由题意得，
又，故，两边取对数得，，
，A错误；
B选项，由A可知，与成正比例关系，B正确；
C选项，由B可知，与成正比例关系，由于铀234的值小于铀235的值，
故，C错误；
D选项，，
，
故，D正确.
故选：BD
5．
【分析】由题意中的函数关系建立方程组，解之即可求解.
【详解】由已知得，木棒做自由落体运动，
设从开始下落到木棒的下端开始进入电子眼的视线和木棒的上端开始离开电子眼的视线所需要的时间分别为，
位移分别为，
所以，则，
所以电子眼A记录到木棒通过的时间为．
故答案为：
6．①②③
【分析】观察给定的图象，逐一分析各个命题即可判断作答.
【详解】观察图象，从每天回报看，
在第一天到第三天，方案一最多，①正确；
在第四天，方案一、方案二一样多，方案三最少，②正确；
在第五到第八天，方案二最多，③正确；
从第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报都多，④不正确.
故答案为：①②③.
反思提升：
1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.
2.利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
【考点3】构造函数模型解决实际问题
一、单选题
1．（23-24高三上·江苏南通·期末）某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm和20cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西商洛·模拟预测）净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则棉滤芯的层数最少为（参考数据：，）（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
3．（2023·湖北武汉·模拟预测）一个半球体状的雪堆，假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，其体积变化的速率与半球面面积成正比，已知半径为的雪堆在开始融化的3小时，融化了其体积的，则该雪堆全部融化需要（ ）小时
A． B．4 C．5 D．6
二、填空题
4．（2023·上海崇明·二模）在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设 ．
5．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报，我们想选用一个函数来近似描述这一天港口的水深与时间之间的关系，该函数的表达式为 ．已知一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），则该船可以在此港口停留卸货的时间最长为 小时（保留整数）．
时刻 水深m 时刻 水深m 时刻 水深m
0：00 5.0 9：18 2.5 18：36 5.0
3：06 7.5 12：24 5.0 21：42 2.5
6：12 5.0 15：30 7.5 24：00 4.0
6．（20-21高三下·陕西西安·阶段练习）现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取粒红豆，乙每次取粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩粒；第二轮，甲每次取粒红豆，乙每次取粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩粒.则红豆和白豆共有 粒.
参考答案：
1．D
【分析】由已知作图如图所示，设，利用三角函数表示各边长，借助三角函数性质计算可得结果.
【详解】如图所示，，
令，则，则，
，则
周长
，
故选：D．
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用三角函数的定义表示出所求周长，再利用三角恒等变换即可得解.
2．A
【分析】首先由条件抽象出经过层棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量的函数，再结合指对运算，解不等式.
【详解】设经过层棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为，则，
令，解得，两边取常用对数得，即
即，因为，，
所以，解得，因为，所以的最小值为9．
故选：A
3．D
【分析】设雪堆在时刻的体积为，侧面积，依题意令，即可求出，令（为常数），求出，再根据求出，即可得解．
【详解】设雪堆在时刻的体积为，侧面积．
令，即于是，
令（为常数），由，得，故．
又，即，得，从而，
因雪堆全部融化时，，故，即雪堆全部融化需小时．
故选：D．
4．①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（或②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；或③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；或④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等）；（答案不唯一，只要写出一个即可）
【分析】利用数学建模，根据题意这次建模就只考虑小轿车的情况，根据小轿车的长度差距不大，对相关因素进行分析，从而可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设即可.
【详解】根据题意可知和相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设，例如①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等；
②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；
③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；
④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等；
故答案为：等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（不唯一）.
5． 4
【分析】第一空根据表中数据的周期性规律判断为正弦型函数，先由周期计算出，再由最值计算出A和b，最后由最大值处的数据计算出，即可得到函数的表达式；第二空先判断出水深的最小值，再由前面求得的函数列不等式，求出解集的宽度即为安全停留时长.
【详解】观察表中数据可知，水深与时间近似为正弦型函数.
设该函数表达式为，
由表中数据可知，一个周期为12小时24分，即744分钟，
所以，
，，
则该函数的表达式为：.
由题可知，水深为米以上时安全，
令，
解得，
即安全时间为分钟，约4小时.
故答案为：；4.
6．
【分析】设红豆有粒，白豆有粒，由两轮的结果可构造方程组，根据的范围可计算求得，加和即可得到结果.
【详解】设红豆有粒，白豆有粒，
由第一轮结果可知：，整理可得：；
由第二轮结果可知：，整理可得：；
当时，由得：（舍）；
当时，由得：（舍）；
当时，由得：，，
即红豆和白豆共有粒.
故答案为：.
反思提升：
(1)在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型.
②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.
③解模：求解函数模型，得出数学结论.
④还原：将数学结论还原为实际意义的问题.
(2)通过对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识和方法构建函数模型解决问题，提升数学建模核心素养.
【基础篇】
一、单选题
1．（2022·广东·一模）已知函数，，则图象如图的函数可能是( )
A． B． C． D．
2．（2022·甘肃酒泉·模拟预测）如图，在矩形中，，，是的中点，点沿着边、与运动，记，将的面积表示为关于的函数，则（ ）

A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，
3．（2024·江西·模拟预测）酒驾最新标准规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，达到及以上认定为醉酒驾车．如果某驾驶员酒后血液中酒精浓度为，从此刻起停止饮酒，血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据：）（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（2024·北京朝阳·二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力满足公式 ，其中是空气密度，是该飞行器的迎风面积，是该飞行器相对于空气的速度， 是空气阻力系数（其大小取决于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率. 当不变，比原来提高时，下列说法正确的是（ ）
A．若不变，则比原来提高不超过
B．若不变，则比原来提高超过
C．为使不变，则比原来降低不超过
D．为使不变，则比原来降低超过
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为，继续排气4分钟后又测得浓度为．由检验知该地下车库一氧化碳浓度（单位：）与排气时间（单位：分钟）之间满足函数关系（为常数，是自然对数的底数）．若空气中一氧化碳浓度不高于，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．排气12分钟后浓度为
D．排气32分钟后，人可以安全进入车库
6．（2024·河南郑州·一模）溶液酸碱度是通过来计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．例如纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，则纯净水的是7．当时，溶液呈酸性，当时，溶液呈碱性，当（例如：纯净水）时，溶液呈中性．我国规定饮用水的值在之间，则下列选项正确的是（ ）（参考数据：取）
A．若苏打水的是8，则苏打水中的氢离子浓度为摩尔/升
B．若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的是
C．若海水的氢离子浓度是纯净水的倍，则海水的是
D．若某种水中氢离子的浓度为摩尔/升，则该种水适合饮用
7．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）设，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （ ）
A．的增长速度最快， 的增长速度最慢
B．的增长速度最快， 的增长速度最慢
C．的增长速度最快， 的增长速度最慢
D．的增长速度最快， 的增长速度最慢
三、填空题
8．（2022·河北·模拟预测）劳动实践是大学生学习知识 锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会 回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x件时，售价为s元/件，且满足，每天的成本合计为元，请你帮他计算日产量为 件时，获得的日利润最大，最大利润为 万元.
9．（22-23高一上·江苏常州·期末）某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1％，这种溶液最初的杂质含量为3％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则至少经过 次过滤才能达到市场要求．（参考数据：，）
10．（2023·四川宜宾·模拟预测）当生物死亡后，它机体内碳14会按照确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，照此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式，（其中为生物死亡之初体内的碳14含量，为死亡时间（单位：年），通过测定发现某古生物遗体中碳14含量为，则该生物的死亡时间大约是 年前．
四、解答题
11．（2023·江西鹰潭·二模）某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量（单位：万件）与月销售单价（单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量和月销售单价数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：
月销售单价（单位：元/件） 4 5 6 7 8 9
月销售量（万件） 89 83 82 79 74 67
(1)若用线性回归模型拟合与之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：，和，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的.请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；
(2)已知该商品的月销售额为（单位：万元），利用（1）中的计算正确的结果回答问题：当月销售单价为何值时，啇品的月销值额预报值最大，并求出其最大值.
12．（2021·全国·模拟预测）2021年2月1日教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知中明确“中小学生原则上不得将个人手机带入校园”，为此某学校开展了一项“你能否有效管控手机”调查，并从调查表中随机抽取200名学生(其中男 女生各占一半)的样本数据，其2×2列联表如下：
性别 能管控 不能管控 总计
男 30
女
总计 90 200
（1）完成上述2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为能否管控手机与性别有关？
（2）若学生确因需要带手机进入校园需向学校有关部门报告，该校为做好这部分学生的手机管理工作，学校团委从能管控的学生中按样本中的比例抽取了6名学生组成一个团队.
①从该团队中选取2名同学作个人经验介绍，求选取的2人中恰有一名女生的概率.
②某老师根据以往学生自从玩手机导致成绩下降的数据构建了一个函数模型：，其中k为没有玩手机时的原始成绩分数，I(t)是开始玩手机t天后的成绩，试根据该模型，求某学生自从玩手机后经过多少天成绩大约下滑到原来成绩的一半？
参考公式及数据：K2=，其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
参考答案：
1．D
【分析】结合函数图像的奇偶性和单调性即可判断.
【详解】由图可知，该函数为奇函数，和为非奇非偶函数，故A、B不符；
当x＞0时，单调递增，与图像不符，故C不符；
为奇函数，当x→＋时，∵y＝的增长速度快于y＝lnx的增长速度，故＞0且单调递减，故图像应该在x轴上方且无限靠近x轴，与图像相符.
故选：D.
2．C
【分析】分、、三种情况讨论，求出的边上的高，结合三角形的面积公式可得出的表达式.
【详解】，则，易得，，
所以，，则.

当时，点在线段上（不包括点），则，
此时，；

当时，点在线段上（不包括点），此时；

当时，点在线段上（不包括点），

此时，则，则.
故选：C.
3．B
【分析】由题意得到不等式，两边取对数求出答案.
【详解】由．即，两边取对数可得，
，
故至少经过7个小时才能驾驶.
故选：B
4．C
【分析】由题意可得，，结合选项，依次判断即可.
【详解】由题意，，所以，，
A：当，不变，比原来提高时，
则，
所以比原来提高超过，故A错误；
B：由选项A的分析知，，
所以比原来提高不超过，故B错误；
C：当，不变，比原来提高时，，
所以比原来降低不超过，故C正确；
D：由选项C的分析知，比原来降低不超过，故D错误.
故选：C
5．ACD
【分析】由题意列式，求出，即可判断A，B；可得函数解析式，将代入，即可判断C；结合解析式列出不等关系，求出人可以安全进入车库的排气时间，判断D.
【详解】设，代入，得,
解得，A正确，B错误．
此时，所以，C正确．
当时，即，得，所以，
所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，D正确．
故选:ACD．
6．ABC
【分析】利用的计算公式可得A正确，将溶液中氢离子的浓度代入计算式利用参考数据可分别求得选项BCD的值，可得结论.
【详解】对于A，若苏打水的是8，即，所以，
即苏打水中的氢离子浓度为摩尔/升，所以A正确；
对于B，若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则，即B正确；
对于C，若海水的氢离子浓度是纯净水的倍，则海水的氢离子浓度是，
因此，即海水的是，所以C正确；
对于D，若某种水中氢离子的浓度为摩尔/升，则；
而不在范围内，即可得该种水不适合饮用，即D错误；
故选：ABC
7．ACD
【分析】
做出三个函数的图象，结合图象，即可求解
【详解】画出函数的图象，如图所示，
结合图象，可得三个函数中，
当时，函数增长速度最快，增长速度最慢.
所以选项B正确；选项ACD不正确.
故选：ACD.

8． 200 7.94
【分析】将利润表示为关于的一个二次函数，求出该函数的最值即可.
【详解】由题意易得日利润，
故当日产量为200件时，获得的日利润最大，最大利润为7.94万元，
故答案为：200，7.94.
9．9
【分析】根据题意列不等式，运算求解即可.
【详解】由题意可得：经过次过滤后该溶液的杂质含量为，
则，解得，
∵，则的最小值为9，
故至少经过9次过滤才能达到市场要求.
故答案为：9.
【点睛】方法点睛：函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序：
（1）常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题；
（2）应用函数模型解决实际问题的一般程序：读题（文字语言） 建模（数学语言） 求解（数学应用） 反馈（检验作答）；
（3）解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式的有关知识加以综合解答．
10．
【分析】根据题意，列出方程，求得的值，即可得到答案.
【详解】由题意，生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式 ，
因为测定发现某古生物遗体中碳14含量为，
令，可得，所以，解得年.
故答案为：年.
11．(1)甲，理由见解析
(2)时，商品的月销售额预报值最大，最大值为万元
【分析】（1）首先由数据可得，负相关，排除乙，再计算样本中心点，代入方程检验即可；
（2）由题意知，根据二次函数的性质计算可得.
【详解】（1）根据数据知，负相关，故排除乙，
又，，
由，可得过点，
由，可得不过点，
所以甲满足，丙不满足，故甲计算正确.
（2）根据题意
，
当时有最大值，
故当时，商品的月销售额预报值最大，最大值为万元.
12．（1）2×2列联表见解析，，有99.9%的把握认为能否管控手机与性别有关；（2）；（3）天
【分析】（1）首先根据题意得到2×2列联表，计算，从而得到有99.9%的把握认为能否管控手机与性别有关.
（2）①首先求出抽样比为，从而得到男生抽取人，女生抽取人，再利用古典概型公式求解即可.②根据题意得到，再解方程即可.
【详解】（1）2×2列联表如下
性别 能管控 不能管控 总计
男 30 70 100
女 60 40 100
总计 90 110 200
，
所以有99.9%的把握认为能否管控手机与性别有关.
（2）①抽样比，
男生抽取人，设为，女生抽取人，设为，
从人中选人，共有：，，，，，
，，，，，，，，，，共15个基本事件，
设事件：选取的2人中恰有一名女生，事件包含8个基本事件，
.
②由题知：，
化简得到，解得.
所以某学生自从玩手机后经过30天成绩大约下滑到原来成绩的一半.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）2023年10月31日，国务院新闻办举行“权威部门话开局”系列主题新闻发布会的第28场发布会.会上提出蒙古国 中国，包括东北亚的日本 韩国，都是沙漠化的受害者，所以防沙治沙 植树造林符合本地区各国和人民当前及长远利益.根据对中国国家整理的中国沙尘暴资料的分析，发现持续时间大于的沙尘暴次数满足，目前经测验地情况气象局发现，时，次数时，次数，据此计算时对应的持续时间约为（ ）
（参考数据：）
A．389 B．358 C．423 D．431
二、多选题
2．（2024·辽宁·二模）半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用表示从开始，晶体管数量随时间变化的函数，若，则下面选项中，符合摩尔定律公式的是（ ）
A．若是以月为单位，则
B．若是以年为单位，则
C．若是以月为单位，则
D．若是以年为单位，则
三、填空题
3．（23-24高一下·广东梅州·期中）如图，在扇形中，半径，，在半径上，在半径上，是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形的周长的取值范围是 ．
四、解答题
4．（2024·浙江金华·模拟预测）太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组件，太阳能板通过电池板将太阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中．已知在一定条件下，入射光功率密度（E为入射光能量且为入射光入射有效面积），电池板转换效率与入射光功率密度成反比，且比例系数为k．
(1)若平方米，求蓄电池电能储存量Q与E的关系式；
(2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量，锂离子蓄电池的放电量．设，给定不同的Q，请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好，应该选择哪种蓄电池？
注：①蓄电池电能储存量；
②当S，k，Q一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好．
参考答案：
1．D
【分析】由题意可得，利用指数和对数的运算解出，再代入，利用对数的运算化简求出时间即可.
【详解】两式相比，得，
又两边取对数可得，
所以，
令，即，
取对数并化简可得，
因为，
所以
所以.
故选：D.
2．BC
【分析】对AC，计算，满足，，，可确定，对CD，计算，满足，，，可确定．
【详解】选项A，，，A不符合；
选项B，，，，，符合；
选项C，，则，，，，，符合，
选项D，，，
，，不符合．
故选：BC．
3．
【分析】设，利用平行四边形性质，结合勾股定理求出周长的函数关系，再求出函数的值域即可.
【详解】设，则，由，得，显然，
连接，由，，得，
，
因此的周长
显然，当，即时，，而时，，
所以的周长的取值范围是.
故答案为：
4．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用题目所给公式及数据计算即可得；
（2）用S，k，Q表示出两种蓄电池的放电量后作差比大小即可得.
【详解】（1），
若平方米，则；
（2）由，即，
铅酸蓄电池的放电量为：，
锂离子蓄电池的放电量为：，
则
，
令，可得，
即时，，此时应选择铅酸蓄电池，
当时，，此时应选择锂离子蓄电池，
当时，，两种电池都可以.
【培优篇】
一、单选题
1．（2022·上海徐汇·二模）已知函数，，对于不相等的实数、，设，，现有如下命题：
①对于任意的实数，存在不相等的实数、，使得；
②对于任意的实数，存在不相等的实数、，使得，
下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
二、多选题
2．（2023·辽宁大连·三模）甲乙两队进行比赛，若双方实力随时间的变化遵循兰彻斯特模型：
其中正实数分别为甲 乙两方初始实力，为比赛时间；分别为甲 乙两方时刻的实力；正实数分别为甲对乙 乙对甲的比赛效果系数.规定当甲 乙两方任何一方实力为0时比赛结束，另一方获得比赛胜利，并记比赛持续时长为.则下列结论正确的是（ ）
A．若且，则
B．若且，则
C．若，则甲比赛胜利
D．若，则甲比赛胜利
三、填空题
3．（2021·北京西城·一模）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数=（水库实际蓄水量）÷（水库总蓄水量）×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；
（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；
（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．
记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：
①；②；③；④．
则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是 ．
参考答案：
1．D
【分析】假设①中的结论成立，构造，取，判断函数的单调性，可判断①；假设②中的结论成立，构造函数，判断出函数的单调性，可判断②.
【详解】对于①，假设对于任意的实数，存在不相等的实数、，使得，
则，可得，
即，取，可得，
令，因为函数、在上均为增函数，
所以，当、，且时，；
当时，函数的增长速度比函数的速度增长得更快，
任取、，且，记点、、、，
则直线比直线的斜率更大，即，
故，故①错；
对于②，假设对于任意的实数，存在不相等的实数、，使得，
则，可得，
构造函数，
因为函数为上的增函数，函数在上为增函数，
所以，函数在上为增函数，
取，则，
记，
当时，，则，
所以，存在区间，使得函数在上不是增函数，
故对任意的实数，函数不单调，
故对于任意的实数，存在不相等的实数、，使得，②对.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查的是有关函数命题真假的判断，解题的关键在于假设结论成立，通过等式的结构构造新函数，转化为新函数的单调性问题来处理.
2．ABD
【分析】计算，A正确，确定，化简得到B正确，甲方获得比赛胜利，则甲方可比赛时间大于乙方即可，计算得到，C错误D正确，得到答案.
【详解】对选项A：若且，则，
所以，由可得，正确；
对选项B：当时根据A中的结论可知，所以乙方实力先为0，
即，化简可得，
即，两边同时取对数可得，
即，即，正确；
对选项C：，若甲方获得比赛胜利，则甲方可比赛时间大于乙方即可，
设甲方实力为0时所用时间为，乙方实力为0时所用时间为，
即，可得，
同理可得，即，解得，
又因为都为正实数，所以可得，甲方获得比赛胜利，错误；
对选项D：根据C知正确；
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查了利用函数的性质比较函数值大小，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用作差法比较函数值的大小关系是解题的关键.
3．②④
【分析】需满足四个条件：1.自变量的取值范围为；
2.函数值域为的子集；
3.该函数在上恒有；
4.该函数为上增函数；
逐一对照分析求解即可.
【详解】① ，该函数在时函数值为，超过了范围，不合题意；
② 为增函数，且
且，则，符合题意；
③ ，当时，不合题意
④ ，当时，，故该函数在上单调递增，又
设
即，
易知在上为减函数
令，则存在，有
当，；当，；
故在递增，在递减.
，
故上
即上
故④符合题意
故答案为：②④
【点睛】本题考查学生实际运用数学的能力.需要学生具备一定的数学建模思想，将文字语言描述的要求转化为数学表达式，再用数学方法分析求解.
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专题14 函数模型及其应用（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 4
【考点1】利用函数图象刻画实际问题的变化过程 4
【考点2】已知函数模型解决实际问题 6
【考点3】构造函数模型解决实际问题 8
【分层检测】 10
【基础篇】 10
【能力篇】 14
【培优篇】 15
考试要求：
1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.
2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.
1.指数、对数、幂函数模型性质比较
　　函数 性质　　　 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0)
在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象 的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值 变化而 各有不同
值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax2.几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.
2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.
一、单选题
1．（2020·山东·高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
2．（2020·全国·高考真题）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
二、多选题
3．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A． B．
C． D．
【考点1】利用函数图象刻画实际问题的变化过程
一、单选题
1．（2021·吉林长春·一模）中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感. 为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度随时间变化的规律（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三上·福建泉州·期末）函数的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（ ）
-2 -1 0 1 2 3 5
2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）小菲在学校选修课中了解了艾宾浩斯遗忘曲线．为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量y与时间（单位：天）之间的函数关系．则下列说法中正确的是（ ）
A．随着时间的增加：小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C．天后，小菲的单词记忆保持量不低于40%
D．天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
4．（2021·福建厦门·一模）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（ ）
A．
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为时
三、填空题
5．（2023·北京·模拟预测）农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：

根据上表所提供信息，第 号区域的总产量最大．
6．（2022·北京丰台·二模）如图，某荷塘里浮萍的面积y（单位：）与时间t（单位：月）满足关系式：（a为常数），记（）．给出下列四个结论：
①设，则数列是等比数列；
②存在唯一的实数，使得成立，其中是的导函数；
③常数；
④记浮萍蔓延到，，所经过的时间分别为，，，则．
其中所有正确结论的序号是 ．
反思提升：
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况.
【考点2】已知函数模型解决实际问题
一、单选题
1．（2023·云南·二模）下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：
一次购买件数 5-10件 11-50件 51-100件 101-300件 300件以上
每件价格 37元 32元 30元 27元 25元
张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（ ）
A．116件 B．110件 C．107件 D．106件
2．（2024·重庆·模拟预测）物理学家本·福特提出的定律：在进制的大量随机数据中，以开头的数出现的概率为，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误．根据此定律，在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的（ ）倍（参考数据：
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
二、多选题
3．（2024·重庆·二模）英国经济学家凯恩斯（1883-1946）研究了国民收入支配与国家经济发展之间的关系，强调政府对市场经济的干预，并形成了现代西方经济学的一个重要学派一凯恩斯学派.机恩斯抽象出三个核心要素：国民收入，国民消费和国民投资，假设国民收入不是用于消费就是用于投资，就有：.其中常数表示房租 水电等固定消费，为国民“边际消费倾向”.则（ ）
A．若固定且，则国民收入越高，“边际消费倾向”越大
B．若固定且，则“边际消费倾向”越大，国民投资越高
C．若，则收入增长量是投资增长量的5倍
D．若，则收入增长量是投资增长量的
4．（2024·重庆·模拟预测）放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数量随时间的衰变公式，表示物质的初始数量，是一个具有时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知，右表给出了铀的三种同位素τ的取值：若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为，，，则（ ）
物质 τ的量纲单位 τ的值
铀234 万年 35.58
铀235 亿年 10.2
铀238 亿年 64.75
A． B．与成正比例关系
C． D．
三、填空题
5．（2024·河南洛阳·模拟预测）在高度为的竖直墙壁面上有一电子眼，已知到天花板的距离为，电子眼的最大可视半径为．某人从电子眼正上方的天花板处贴墙面自由释放一个长度为0.2m的木棒（木棒竖直下落且保持与地面垂直），则电子眼A记录到木棒通过的时间为 s．（注意：位移与时间的函数关系为，重力加速度取）
6．（2023·北京海淀·三模）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下图所示：
横轴为投资时间（单位：天），纵轴为回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法正确的是 ；
①投资3天以内（含3天），采用方案一；
②投资4天，不采用方案三；
③投资6天，采用方案二；
④投资10天，采用方案二.
反思提升：
1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.
2.利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
【考点3】构造函数模型解决实际问题
一、单选题
1．（23-24高三上·江苏南通·期末）某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm和20cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西商洛·模拟预测）净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则棉滤芯的层数最少为（参考数据：，）（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
3．（2023·湖北武汉·模拟预测）一个半球体状的雪堆，假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，其体积变化的速率与半球面面积成正比，已知半径为的雪堆在开始融化的3小时，融化了其体积的，则该雪堆全部融化需要（ ）小时
A． B．4 C．5 D．6
二、填空题
4．（2023·上海崇明·二模）在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设 ．
5．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报，我们想选用一个函数来近似描述这一天港口的水深与时间之间的关系，该函数的表达式为 ．已知一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），则该船可以在此港口停留卸货的时间最长为 小时（保留整数）．
时刻 水深m 时刻 水深m 时刻 水深m
0：00 5.0 9：18 2.5 18：36 5.0
3：06 7.5 12：24 5.0 21：42 2.5
6：12 5.0 15：30 7.5 24：00 4.0
6．（20-21高三下·陕西西安·阶段练习）现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取粒红豆，乙每次取粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩粒；第二轮，甲每次取粒红豆，乙每次取粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩粒.则红豆和白豆共有 粒.
反思提升：
(1)在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型.
②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.
③解模：求解函数模型，得出数学结论.
④还原：将数学结论还原为实际意义的问题.
(2)通过对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识和方法构建函数模型解决问题，提升数学建模核心素养.
【基础篇】
一、单选题
1．（2022·广东·一模）已知函数，，则图象如图的函数可能是( )
A． B． C． D．
2．（2022·甘肃酒泉·模拟预测）如图，在矩形中，，，是的中点，点沿着边、与运动，记，将的面积表示为关于的函数，则（ ）

A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，
3．（2024·江西·模拟预测）酒驾最新标准规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，达到及以上认定为醉酒驾车．如果某驾驶员酒后血液中酒精浓度为，从此刻起停止饮酒，血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据：）（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（2024·北京朝阳·二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力满足公式 ，其中是空气密度，是该飞行器的迎风面积，是该飞行器相对于空气的速度， 是空气阻力系数（其大小取决于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率. 当不变，比原来提高时，下列说法正确的是（ ）
A．若不变，则比原来提高不超过
B．若不变，则比原来提高超过
C．为使不变，则比原来降低不超过
D．为使不变，则比原来降低超过
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为，继续排气4分钟后又测得浓度为．由检验知该地下车库一氧化碳浓度（单位：）与排气时间（单位：分钟）之间满足函数关系（为常数，是自然对数的底数）．若空气中一氧化碳浓度不高于，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．排气12分钟后浓度为
D．排气32分钟后，人可以安全进入车库
6．（2024·河南郑州·一模）溶液酸碱度是通过来计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．例如纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，则纯净水的是7．当时，溶液呈酸性，当时，溶液呈碱性，当（例如：纯净水）时，溶液呈中性．我国规定饮用水的值在之间，则下列选项正确的是（ ）（参考数据：取）
A．若苏打水的是8，则苏打水中的氢离子浓度为摩尔/升
B．若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的是
C．若海水的氢离子浓度是纯净水的倍，则海水的是
D．若某种水中氢离子的浓度为摩尔/升，则该种水适合饮用
7．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）设，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （ ）
A．的增长速度最快， 的增长速度最慢
B．的增长速度最快， 的增长速度最慢
C．的增长速度最快， 的增长速度最慢
D．的增长速度最快， 的增长速度最慢
三、填空题
8．（2022·河北·模拟预测）劳动实践是大学生学习知识 锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会 回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x件时，售价为s元/件，且满足，每天的成本合计为元，请你帮他计算日产量为 件时，获得的日利润最大，最大利润为 万元.
9．（22-23高一上·江苏常州·期末）某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1％，这种溶液最初的杂质含量为3％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则至少经过 次过滤才能达到市场要求．（参考数据：，）
10．（2023·四川宜宾·模拟预测）当生物死亡后，它机体内碳14会按照确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，照此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式，（其中为生物死亡之初体内的碳14含量，为死亡时间（单位：年），通过测定发现某古生物遗体中碳14含量为，则该生物的死亡时间大约是 年前．
四、解答题
11．（2023·江西鹰潭·二模）某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量（单位：万件）与月销售单价（单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量和月销售单价数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：
月销售单价（单位：元/件） 4 5 6 7 8 9
月销售量（万件） 89 83 82 79 74 67
(1)若用线性回归模型拟合与之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：，和，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的.请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；
(2)已知该商品的月销售额为（单位：万元），利用（1）中的计算正确的结果回答问题：当月销售单价为何值时，啇品的月销值额预报值最大，并求出其最大值.
12．（2021·全国·模拟预测）2021年2月1日教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知中明确“中小学生原则上不得将个人手机带入校园”，为此某学校开展了一项“你能否有效管控手机”调查，并从调查表中随机抽取200名学生(其中男 女生各占一半)的样本数据，其2×2列联表如下：
性别 能管控 不能管控 总计
男 30
女
总计 90 200
（1）完成上述2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为能否管控手机与性别有关？
（2）若学生确因需要带手机进入校园需向学校有关部门报告，该校为做好这部分学生的手机管理工作，学校团委从能管控的学生中按样本中的比例抽取了6名学生组成一个团队.
①从该团队中选取2名同学作个人经验介绍，求选取的2人中恰有一名女生的概率.
②某老师根据以往学生自从玩手机导致成绩下降的数据构建了一个函数模型：，其中k为没有玩手机时的原始成绩分数，I(t)是开始玩手机t天后的成绩，试根据该模型，求某学生自从玩手机后经过多少天成绩大约下滑到原来成绩的一半？
参考公式及数据：K2=，其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）2023年10月31日，国务院新闻办举行“权威部门话开局”系列主题新闻发布会的第28场发布会.会上提出蒙古国 中国，包括东北亚的日本 韩国，都是沙漠化的受害者，所以防沙治沙 植树造林符合本地区各国和人民当前及长远利益.根据对中国国家整理的中国沙尘暴资料的分析，发现持续时间大于的沙尘暴次数满足，目前经测验地情况气象局发现，时，次数时，次数，据此计算时对应的持续时间约为（ ）
（参考数据：）
A．389 B．358 C．423 D．431
二、多选题
2．（2024·辽宁·二模）半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用表示从开始，晶体管数量随时间变化的函数，若，则下面选项中，符合摩尔定律公式的是（ ）
A．若是以月为单位，则
B．若是以年为单位，则
C．若是以月为单位，则
D．若是以年为单位，则
三、填空题
3．（23-24高一下·广东梅州·期中）如图，在扇形中，半径，，在半径上，在半径上，是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形的周长的取值范围是 ．
四、解答题
4．（2024·浙江金华·模拟预测）太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组件，太阳能板通过电池板将太阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中．已知在一定条件下，入射光功率密度（E为入射光能量且为入射光入射有效面积），电池板转换效率与入射光功率密度成反比，且比例系数为k．
(1)若平方米，求蓄电池电能储存量Q与E的关系式；
(2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量，锂离子蓄电池的放电量．设，给定不同的Q，请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好，应该选择哪种蓄电池？
注：①蓄电池电能储存量；
②当S，k，Q一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好．
【培优篇】
一、单选题
1．（2022·上海徐汇·二模）已知函数，，对于不相等的实数、，设，，现有如下命题：
①对于任意的实数，存在不相等的实数、，使得；
②对于任意的实数，存在不相等的实数、，使得，
下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
二、多选题
2．（2023·辽宁大连·三模）甲乙两队进行比赛，若双方实力随时间的变化遵循兰彻斯特模型：
其中正实数分别为甲 乙两方初始实力，为比赛时间；分别为甲 乙两方时刻的实力；正实数分别为甲对乙 乙对甲的比赛效果系数.规定当甲 乙两方任何一方实力为0时比赛结束，另一方获得比赛胜利，并记比赛持续时长为.则下列结论正确的是（ ）
A．若且，则
B．若且，则
C．若，则甲比赛胜利
D．若，则甲比赛胜利
三、填空题
3．（2021·北京西城·一模）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数=（水库实际蓄水量）÷（水库总蓄水量）×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；
（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；
（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．
记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：
①；②；③；④．
则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是 ．
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