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4.2 恒等变换课后练习
1．（2024 重庆月考） sin 400 cos20 cos40 cos110 ( )
A 1． B 1 3 3． C． D．
2 2 2 2
2．（2024 河北月考） sin14 cos46 sin 46 cos14 ( )
A 3． B 3． C 1． D 1．
2 2 2 2
3．（2024 10 南京月考）已知 为锐角， cos( ) ，则 cos(2 ) ( )
3 10 3
A 3 3 4． B． C． D 4．
5 5 5 5
4．（2024 7 1 浙江期中）已知 , ( , )， cos(2 2 ) ， sin sin ，则 cos( ) ( )
4 4 9 4
A 1 B 1 1． ． C． D 5．
6 6 3 6
5．（2024 广东期中）已知函数 f (x) 3sin 2 x sin xcos x 3 ，则 f (x)的最小正周期为 ( )
2
A．1 B． C．2 D． 2
6．（2022 新高考Ⅱ）若 sin( ) cos( ) 2 2 cos( )sin ，则 ( )
4
A． tan( ) 1 B． tan( ) 1 C． tan( ) 1 D． tan( ) 1
7 2．（2020 新课标Ⅱ）若 sin x ，则 cos 2x ．
3
8．（2020 浙江）已知 tan 2，则 cos2 tan( ， ) ．
4
9 2．（2020 江苏）已知 sin2 ( ) ，则 sin 2 的值是 ．
4 3
10．（2024 1 天津模拟）已知 ， 为锐角，且 tan ， cos( ) 2 5 ，则 cos2 ( )
7 5
A 3 B 2 C 4 7 2． ． ． D．
5 3 5 10
11．（2024 福建期中）已知 ,sin 2cos 2,cos 2sin 1，则 sin( ) ( )
2 4 3
A 3 B 6 C 3 6． ． ． D．
3 3 6 6
12．（2024 10 淮安月考）已知 为锐角， cos( ) ，则 cos(2 ) ( )
3 10 3
A 3 3． B． C 4 4． D．
5 5 5 5
13．（2024 吉林月考）化简 cos40 (1 3 tan10 ) 的结果是 ( )
A 3．1 B． C．2 D 1．
2 2
14．（2024 广西月考）化简 cos40 (1 3 tan10 ) 的结果是 ( )
A 1 B 3 C 2 D 1． ． ． ．
2 2
cos4 sin415 ．（2024 青海期中）已知 sin 5cos 0，则 ( )
sin2 sin 2
A 8 B 8 C 8． ． ． D 8．
5 5 3 3
16．（2024 湖北月考）数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美
的共性与黄金分割相关．古希腊的毕达哥拉斯学派发现了黄金分割常数约 0.618，该值也可用三角函数
m m 4 m
2
2sin18 来表示，则 ( )
sin 216
A．2 B 1． C． 2 D 1．
2 2
17．（2024 山东月考）函数 f (x) cos2 x sin x 3 ， x [0, ]的最大值是 ．
4 2
18．（2004 贵州）函数 f (x) 1 cos x cos2x(x R)的最大值等于 ．
2
19．（2024 cos20 sin30 cos40 江西模拟） ( )
3 sin 40
A 1 3 1． 3 B． C． D．
2 3 3
20 2024 1 1 1．（ 福州月考） ．
sin 30 sin 31 sin 31 sin 32 sin 59 sin 60
21．（2024 2sin80 cos20 武汉月考）求值： ( )
1 4cos20 sin2 50
A 3 B 2． ． C 3．1 D．
3 2 2
22．（2024 广东月考）在 ABC中， C 120 ， tan A tan B 2 3，则 tan A tan B的值为 ( )
3
A 1． B 1． C 1 D 5． ．
4 3 2 3
23．（2024 3 新疆月考）已知 ，则 (1 tan )(1 tan )等于 ( )
4
A．2 B． 2 C．1 D． 1
24．（2024 河南月考）已知 sin sin( 3 2 ) ．
4 5
（1 ）利用三角函数的积化和差或和差化积公式，求 cos(2 )的值；
4
（2）求 tan 的值．
25．（2024 多选 成都期中）由两角和差公式我们得到倍角公式 cos2 2cos 2 1，实际上 cos3 也可以表
示为 cos 的三次多项式，像18 、 36 、 54 、 72 这些非特殊角我们可以通过观察发现它们之间的相互关
系，进而求出各自的三角函数值．则 ( )
A． cos3 4cos3 3cos
B． cos72 5 1
2
C 1．已知方程 4x3 3x 0在 ( 1,1)上有三个根，记为 x1， x ， x ，则 4x
3 4x32 3 1 2 4x
3 3
2 3 2
D．对于任意的 R，当 72 时一定有 cos cos( ) cos( 2 ) cos( 3 ) cos( 4 ) 04.2 恒等变换
考向 1 基本公式
题型 1 和差公式的应用
1．两角和与差的正余弦与正切
① sin( ) sin cos cos sin ； ② cos( ) cos cos sin sin ；
tan( ) tan tan ③ ；
1 tan tan
【例 1】（2015 新课标Ⅰ） sin 20 cos10 cos160 sin10 ( )
A 3 3 1 1． B． C． D．
2 2 2 2
【例 2 1 1】（2023 新高考Ⅰ）已知 sin( ) ， cos sin ，则 cos(2 2 ) ( )
3 6
A 7 B 1． ． C 1 D 7． ．
9 9 9 9
【解题总结】
跟踪训练
【训练 1】（2017 全国） cos20 cos25 sin 20 sin 25 ( )
A 2 1． B． C．0 D 2．
2 2 2
1 1
【训练 2】已知 sin( ) ， cos sin ，则 cos(2 2 ) ( )
3 6
A 1． B 1 C 7 7． ． D．
9 9 9 9
题型 2 二倍角公式的应用
2．二倍角公式
① sin 2 2sin cos 2 2 tan ；② cos2 cos sin2 2cos2 1 1 2sin2 ；③ tan 2 ；
1 tan 2
其他常用变式
sin 2 2sin cos 2 tan cos2 cos
2 sin 2 1 tan2 sin 1 cos
2 2 2 ； 2 2 2 ； tan ．sin cos 1 tan sin cos 1 tan 2 1 cos sin
1 5
【例 1】（2023 新高考Ⅱ）已知 为锐角， cos ，则 sin ( )
4 2
A 3 5 B 1 5 C 3 5． ． ． D 1 5．
8 8 4 4
【例 2】（2021 5 乙卷） cos2 cos2 ( )
12 12
A 1 B 3 2 3． ． C． D．
2 3 2 2
跟踪训练
【训练 3】（2018 新课标Ⅲ）若 sin 1 ，则 cos2 ( )
3
A 8 7 7 8． B． C． D．
9 9 9 9
【训练 4】（2023 上海）已知 tan 3，则 tan 2 ．
题型 3 辅助角公式的应用
3．辅助角公式
（1）一次辅助角：a sin bcos a2 b2 sin( )（其中 sin b ，cos a ，tan b ，
a2 b2 a2 b2 a
）．常见形式： sin x cos x 2 sin(x )， sinx 3cosx 2sin(x )， 3sinx cosx 2sin(x ) ．
2 4 3 6
2 2
（2）二次辅助角： a sinωx cosωx b cos2 ωx
a b b
sin(2 x ) b， tan ．
2 2 a
【例 1】（2016 上海）若函数 f (x) 4sin x a cos x的最大值为 5，则常数 a ．
【例 2】（2016 浙江）已知 2cos2 x sin 2x Asin( x ) b(A 0)，则 A ， b ．
跟踪训练
【训练 5】（2020 新课标Ⅲ）已知 sin sin( ) 1，则 sin( ) ( )
3 6
A 1 3 2 2． B． C． D．
2 3 3 2
【训练 6】（2021 全国）函数 y cos2 x sin xcos x图像的对称轴是 ( )
A x k (k Z ) B x k ． ． (k Z )
2 8 2 8
C． x k (k Z ) D． x k (k Z )
4 4
【解题总结】
考向 2 三角恒等变换求值
题型 1 利用角的拆分求值
1．拆分角问题：① =2 ；② =( + )- ； ( ) 1；③ [( ) ( )]；
2 2
1 [( ) ( )] ；④ 2 ( ) ( )；⑤ ( )． 注意 特殊的角也看成已知
2 4 2 4
角，如 ( )．
4 4
2． (cos cos )2 (sin sin )2 2 2cos cos 2sin sin 2 2cos( )
【例 1】已知 0 ，且 cos( ) 12 ， cos2 3 ，则 cos( ) ( )
2 13 5
A 16 B 33． ． C 56 63． D．
65 65 65 65
【例 2】（2011 1 3 浙江）若 0 ， 0，cos( ) ，cos( ) ，则 cos( ) ( )
2 2 4 3 4 2 3 2
A 3． B 3 5 3 6． C． D．
3 3 9 9
【例 3】若 sin 2 5 ， sin( ) 10 ，且 [ ， ]， [ 3 ， ]，则 的值是 ( )
5 10 4 2
A 7 ． B 9 C 5 7 ． ． 或 D 5 9 ． 或
4 4 4 4 4 4
跟踪训练
【训练 1】锐角 ， 满足 cos 12 ， cos(2 ) 3 ，那么 sin( ) ( )
13 5
A 63 B 53． ． C 43 33． D．
65 65 65 65
1 1
【训练 2】已知 ， 为锐角， tan( ) ， tan( ) ，则 tan( 2 ) ( )
6 3 12 2
A 9 B 13 C 13 9． ． ． D．
13 9 9 13

【训练 3】设 (0, )， (0, )，且 tan cos 1 sin ，则 ( )
2 2
A． sin(3 ) 1 B． sin(3 ) 1 C． sin(2 ) 1 D． sin(2 ) 1
题型 2 利用升降幂求值
sin2 1 cos2 cos2 1 cos2 13．降幂公式与升幂公式 ； ；sin cos sin2 ；
2 2 2
1 cos2 2cos2 ；1 cos2 2sin 2 ；1 sin2 (sin cos )2；1 sin2 (sin cos )2．
【例 1】设 fn (x) cos xcos
x cos x cos x 8
2 4 2n 1
，则 f5 ( ) ( )3
A 3 3 3． B． C 1 3． D．
32 16 16 16
【例 2】公元前 6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割比
约为 0.618，这一数值恰好等于m 2sin18 ，则m(2 m2 ) ( )
A． tan18 B 1 ． C 1． D．1
tan18 2
跟踪训练
【训练 4】设 fn (x) cos xcos
x cos x cos x 4 n 1 ，则 f4 ( ) ( )2 4 2 3
A 3 B 3 1 3． ． C． D．
32 16 16 16
16 2
【训练 5】若圆周率 的近似值可以表示成 4cos38 ，则 2 的近似值为 ( )1 2sin 7
A 1 B 1． ． C．8 D． 8
8 8
题型 3 统一函数名换元求值
4．若遇到 sin2 ，利用基本公式 sin2 1 cos2 进行函数名的统一，采取换元的思想转化为二次函数的问
题．
【例 1】（2021 北京）函数 f (x) cos x cos2x是 ( )
A．奇函数，且最大值为 2 B．偶函数，且最大值为 2
C 9 9．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
8 8
【例 2】函数 f (x) 2cos2 x sin x 1的最大值是 ．
跟踪训练
【训练 6】（2019 新课标Ⅰ）函数 f (x) sin(2x 3 ) 3cos x的最小值为 ．
2
【训练 7】函数 y 3 3sin x 2cos2 x的最小值是 ．
题型 4 综合求值问题
1 2sin80 cos20 【例 】求值： ( )
1 4cos20 sin2 50
A 3． B 2． C 3．1 D．
3 2 2
【例 2】（2018 新课标Ⅱ）已知 sin cos 1， cos sin 0，则 sin( ) ．
2cos2 x 1
【例 3】设 f (x) 2 ，则 f (1 ) f (2 ) f (59 ) ．
sin(60 x)
跟踪训练
【训练 8】已知 2sin sin 3 ， 2cos cos 1，则 cos(2 2 ) ( )
A 1 B 7 C 1 D 15． ． ． ．
8 8 4 4
3 4sin 20 8sin320
【训练 9】 ( )
2sin 20 sin 480
A 2 3． B 3 2． C． D．2
3 3 3
10 f (x) cos x【训练 】设 ，则 f (1 ) f (2 ) f (59 ) ．
cos(30 x)
【解题总结】
拓展思维
拓展 1 和差化积与积化和差
1.和化积公式
+ +
sinα + sinβ = 2 sin cos sinα sinβ = 2 cos sin
2 2 2 2
+ +
cosα + cosβ = 2 cos cos cosα cosβ = 2 sin sin
2 2 2 2
(由和差公式可得)
2.积化和公式
1
sinα cosβ = sin + + sin
2
1
cosα cosβ = [ cos + + cos ]
2
1
sinα sinβ = [ cos cos + ]
2
(由和差公式可得)
【例 1】计算 sin215 cos2 45 sin15 cos45 的值是 ( )
A 1 B 3． ． C 1 D 1． ．
4 2 4
【例 2】在 ABC 中，内角 A， B，C 所对的边分别为 a， b， c，已知 sin(B A) sin(B A) 3sin 2A ，
且 c 7，C ，则 a ( )
3
A 1 B 2 21 C 1 2 21 D 21． ． ． 或 ．
3 3 3
拓展 2 正切恒等式
tan A tan B tanC tan A tan B tanC 当A B C k 时
【证明】
A B 1
【推论】 tan tan tan A tan B 1 （当 A B C 时）
2 2 tan C 2 2 tan C
2 2
【例 3】已知 (0, )， ，且 2sin tan tan 2sin tan tan ，则 ( )
A ． B ． C D 2 ． ．
6 4 3 3
【例 4】在锐角 ABC 中， tan A t 1， tan B t 1，则实数 t的取值范围是 ( )
A． ( 2 ， ) B． (1, ) C． (1, 2) D． ( 1,1)
拓展 3 “ n”倍角模型
余弦的 n倍角公式： cosn 2cos cos(n 1) cos(n 2)
正弦的 n倍角公式： sin n 2cos sin(n 1) sin(n 2)
【例 5】（多选）由倍角公式 cos2x 2cos2 x 1，可知 cos2x可以表示为 cos x的二次多项式．一般地，存
在一个 n(n N*)次多项式 Pn (t) a t
n a tn 10 1 a2t
n 2 an (a0，a1，a2， an R)，使得 cosnx Pn (cos x)，
这些多项式 Pn (t)称为切比雪夫 (P．L．Tschebyscheff )多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得 ( )
A． P3(t) 4t
3 3t B． P4 (t) 8t
4 8t2 1
C 5 1 5 1． sin18 D． cos18
4 4
拓展 4 三角函数新定义问题
【例 1】人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频
或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似
度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点 A x1, y1 ，
B x2 , y2 ，则曼哈顿距离为： d A,B x1 x2 y1 y2 ，余弦相似度为：
cos A,B x x y y 1 2 1 2
2 2 ，余弦距离为1 cos A,B x1 y1 x2 2 2 2 2 22 y2 x1 y1 x2 y2
3 4
(1)若 A 1, 2 ， B , ，求 A，B之间的曼哈顿距离 d A,B 和余弦距离；
5 5
(2)已知M sin ,cos ，N sin ,cos ，Q sin , cos 1 2，若 cos M ,N ，cos M ,Q ，求 tan tan
5 5
的值
【例 2】如果实数 x, y 0, 2π ，且满足cos x y cos x cos y ，则称 x、y为“余弦相关”的.
(1)若 x π 2 ，请求出所有与之“余弦相关”的实数
y；
(2)若两数 x、 y为“余弦相关”的，求证： π x y 3π；
(3)若不相等的两数 x、 y为“余弦相关”的，求证：存在唯一的实数 z 0,2π ，使得 x、z为“余弦相关”的，
y、z也为“余弦相关”的.中小学教育资源及组卷应用平台
4.2 恒等变换
考向1 基本公式
题型1 和差公式的应用
1．两角和与差的正余弦与正切
①； ②；③；
【例1】（2015 新课标Ⅰ）　　
A． B． C． D．
【例2】（2023 新高考Ⅰ）已知，，则　　
A． B． C． D．
【解题总结】
跟踪训练
【训练1】（2017 全国）　　
A． B． C．0 D．
【训练2】已知，，则　　
A． B． C． D．
题型2 二倍角公式的应用
2．二倍角公式
①；②；③；
其他常用变式
；；．
【例1】（2023 新高考Ⅱ）已知为锐角，，则　　
A． B． C． D．
【例2】（2021 乙卷）　　
A． B． C． D．
跟踪训练
【训练3】（2018 新课标Ⅲ）若，则　　
A． B． C． D．
【训练4】（2023 上海）已知，则　 　．
题型3 辅助角公式的应用
3．辅助角公式
（1）一次辅助角：（其中，）．常见形式：，．
（2）二次辅助角：，．
【例1】（2016 上海）若函数的最大值为5，则常数　 　．
【例2】（2016 浙江）已知，则　　，　　．
跟踪训练
【训练5】（2020 新课标Ⅲ）已知，则　　
A． B． C． D．
【训练6】（2021 全国）函数图像的对称轴是　　
A． B．
C． D．
【解题总结】
考向2 三角恒等变换求值
题型1 利用角的拆分求值
1．拆分角问题：①；②；；③；
；④；⑤． 注意 特殊的角也看成已知角，如．
2．
【例1】已知，且，，则　　
A． B． C． D．
【例2】（2011 浙江）若，，，，则　　
A． B． C． D．
【例3】若，，且，，，，则的值是　　
A． B． C．或 D．或
跟踪训练
【训练1】锐角，满足，，那么　　
A． B． C． D．
【训练2】已知，为锐角，，，则　　
A． B． C． D．
【训练3】设，，且，则　　
A． B． C． D．
题型2 利用升降幂求值
3．降幂公式与升幂公式；
；．
【例1】设，则　　
A． B． C． D．
【例2】公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割比约为0.618，这一数值恰好等于，则　　
A． B． C． D．1
跟踪训练
【训练4】设，则　　
A． B． C． D．
【训练5】若圆周率的近似值可以表示成，则的近似值为　　
A． B． C．8 D．
题型3 统一函数名换元求值
4．若遇到，利用基本公式进行函数名的统一，采取换元的思想转化为二次函数的问题．
【例1】（2021 北京）函数是　　
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【例2】函数的最大值是　 　．
跟踪训练
【训练6】（2019 新课标Ⅰ）函数的最小值为 　 　．
【训练7】函数的最小值是 　 　．
题型4 综合求值问题
【例1】求值：　　
A． B． C．1 D．
【例2】（2018 新课标Ⅱ）已知，，则　　．
【例3】设，则　　．
跟踪训练
【训练8】已知，，则　　
A． B． C． D．
【训练9】　　
A． B． C． D．2
【训练10】设，则　　．
【解题总结】
拓展思维
拓展1 和差化积与积化和差
1.和化积公式
(由和差公式可得)
2.积化和公式
(由和差公式可得)
【例1】计算的值是　　
A．1 B． C． D．
【例2】在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且，，则　　
A．1 B． C．1或 D．
拓展2 正切恒等式
【证明】
【推论】（当时）
【例3】已知，，且，则
A． B． C． D．
【例4】在锐角中，，，则实数的取值范围是　　
A．， B． C． D．
拓展3 “”倍角模型
余弦的倍角公式：
正弦的倍角公式：
【例5】（多选）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个次多项式，，，，使得，这些多项式称为切比雪夫．．多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得　　
A． B．
C． D．
拓展4 三角函数新定义问题
【例1】人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为
(1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)已知，，，若，，求的值
【例2】如果实数，且满足，则称x、y为“余弦相关”的.
(1)若，请求出所有与之“余弦相关”的实数；
(2)若两数、为“余弦相关”的，求证：；
(3)若不相等的两数、为“余弦相关”的，求证：存在唯一的实数，使得x、z为“余弦相关”的，y、z也为“余弦相关”的.
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4.2 恒等变换课后练习
1．（2024 重庆月考）　　
A． B． C． D．
2．（2024 河北月考）　　
A． B． C． D．
3．（2024 南京月考）已知为锐角，，则　　
A． B． C． D．
4．（2024 浙江期中）已知，，，则　　
A． B． C． D．
5．（2024 广东期中）已知函数，则的最小正周期为　　
A．1 B． C．2 D．
6．（2022 新高考Ⅱ）若，则　　
A． B． C． D．
7．（2020 新课标Ⅱ）若，则　　．
8．（2020 浙江）已知，则　，　　．
9．（2020 江苏）已知，则的值是　 　．
10．（2024 天津模拟）已知，为锐角，且，，则　　
A． B． C． D．
11．（2024 福建期中）已知，则　　
A． B． C． D．
12．（2024 淮安月考）已知为锐角，，则　　
A． B． C． D．
13．（2024 吉林月考）化简的结果是　　
A．1 B． C．2 D．
14．（2024 广西月考）化简的结果是　　
A．1 B． C．2 D．
15．（2024 青海期中）已知，则　　
A． B． C． D．
16．（2024 湖北月考）数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关．古希腊的毕达哥拉斯学派发现了黄金分割常数约0.618，该值也可用三角函数来表示，则　　
A．2 B． C． D．
17．（2024 山东月考）函数，的最大值是 　　．
18．（2004 贵州）函数的最大值等于　　．
19．（2024 江西模拟）　　
A． B． C． D．
20．（2024 福州月考）　 　．
21．（2024 武汉月考）求值：　　
A． B． C．1 D．
22．（2024 广东月考）在中，，，则的值为　　
A． B． C． D．
23．（2024 新疆月考）已知，则等于　　
A．2 B． C．1 D．
24．（2024 河南月考）已知．
（1）利用三角函数的积化和差或和差化积公式，求的值；
（2）求的值．
25．（2024 多选 成都期中）由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式，像、、、这些非特殊角我们可以通过观察发现它们之间的相互关系，进而求出各自的三角函数值．则　　
A．
B．
C．已知方程在上有三个根，记为，，，则
D．对于任意的，当时一定有
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