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4.3 图像性质课后练习
1．（2024 陕西期中）函数 y sin(2 x )( 0)的周期为 ，则 ( )
6
A 1． B．1 C．2 D．4
2
2 ．（2024 山东模拟）记函数 f (x) sin( x )( 0) 的最小正周期为T．若 T ，且 f (x) | f ( ) |，
4 2 3
则 ( )
A 3． B 9． C 15． D 27．
4 4 4 4
3．（2024 江苏模拟）设函数 f (x) cos( x ) （是常数， 0 0 5 ， )，若 f (x)在区间 [ , ]上
2 24 24
5 11
具有单调性，且 f ( ) f ( ) f ( )，则函数是 f (x)的最小正周期是 ( )
24 24 24
A ． B． C 3． D． 2
2 2
4．（2024 广东月考）函数 y 2sin(2x )的一个单调递减区间是 ( )
4
A [3 , 7 ] B [ , 3 ． ． ] C． [3 , 5 ] D [ , ． ]
8 8 8 8 4 4 4 4
5．（2024 湖南模拟）函数 y Asin( x )(A 0) 的一个周期内的图象如图所示，下列结论错误的是 ( )
A． f (x)的解析式是 f (x) 2sin(2x )
3
B．函数 f (x)的最小正周期是
C．函数 f (x)的最大值是 2
D ．函数 f (x)的一个对称中心是 ( ,0)
6
6．（2022 甲卷）将函数 f (x) sin( x )( 0)的图像向左平移 个单位长度后得到曲线C，若C 关于 y
3 2
轴对称，则 的最小值是 ( )
A 1． B 1 1 1． C． D．
6 4 3 2
7 2024 y sin(2x ) P( ．（ 安徽月考）将函数 图象上的点 , t)向左平移 s(s 0)个单位长度得到点 P ，若 P
4 4
位于函数 y cos2x的图像上，则 ( )
A t 2 1 ． ， s的最小值为 B． t ， s的最小值为
2 8 2 8
C t 2 s 3 D t 1 3 ． ， 的最小值为 ． ， s的最小值为
2 8 2 8
8 2024 f (x) 2 3 sin( x )sin( x．（ 山西模拟）已知函数 ) sin x，将函数 f (x)的图象上所有点的横坐
4 2 4 2
1
标缩短为原来的 ，纵坐标不变，然后再向左平移 ( 0)个单位长度，所得的图象关于 y轴对称，则 的
4
值可能为 ( )
A B C 3 D ． ． ． ．
24 24 8 4
9．（2024 天津期中）函数 f (x) Asin( x )( 0， 0 )的部分图象如图所示，则 ( )
A． f (x)的单调递增区间是 [ k , 5 k ],k Z
8 8
B． f (x) 5 图象的一条对称轴方程是 x
8
C． f (x)图象的对称中心是 (k ,0)， k Z
8
D f (x) 7 ．函数 的图象向左平移 个单位后得到的是一个奇函数的图象
8
10．（2024 云南模拟）已知函数 f (x) sin( x )( 0)，若函数 f (x)在区间 (0, )上有且只有两个零点，
6
则 的取值范围为 ( )
A (7． ,13) B． (7 ,13] C (6 ,11) D (6 11． ． , ]
6 6 6 6 5 6 5 6
11 ．（2024 盐城期中）设函数 f (x) sin( x )在区间 (0, )恰有三条对称轴、两个零点，则 的取值范围
3
是 ( )
A [5 ,13] B [5 ,19) C (13 , 8] D (13 ,19． ． ． ． ]
3 6 3 6 6 3 6 6
12．（2024 甘肃模拟）已知函数 g(x) sin(2 x )( 0) 在区间 ( , )上是单调的，则 的取值范围是 (
3 2
)
A 1 7． [ , ] B 1． [ , 7 ]
6 12 3 12
C 1 1 7． (0, ] [ , ] D． (0, 1] [ 1 , 7 ]12 6 12 6 3 12
13 ．（2024 泉州模拟）已知函数 f (x)的图象是由 y 2 sin( x )( 0)的图象向右平移 个单位得到的，
3 3
若 f (x)在 [ , ]上仅有一个零点，则 的取值范围是 ( )．
2
A． [0, 5) B．[1， 3) C． [1, 5) D．[1， 4)
2 2
14．（ 2024 北京模拟）已知半圆的直径 AB 2 ， O 为圆心，圆周上有两动点 C ， D 满足
AOC COD , (0, )．设弦CD与弦 BD的长度之和 y与 的关系为 y f ( )，则 f ( )最大值为 (
2
)
A．3 B 9． C．1 2 D． 2 2
4
15．（2024 深圳月考）半径为 2m的水轮如图所示，水轮的圆心O距离水面 3m．已知水轮按逆时针方向
每分钟转 4 圈，水轮上的点 P 到水面的距离 y （单位： m) 与时间 x （单位： s) 满足关系式
y Asin( x ) k．从点 P离开水面开始计时，则点 P到达最高点所需最短时间为 ( )
3
A 85 s B 25 s C 35． ． ． s D．10s
4 4 4
16．（2024 上饶月考）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，其工作示意图如图所示，设水车的半
径为 4m，其中心O到水面的距离为 2m，水车逆时针匀速旋转，旋转一周的时间为120s，当水车上的一个
水筒 A从水中 (A0 处）浮现时开始计时，经过 ts后水筒 A距离水面的高度为 f (t)（单位：m，在水面下，
高度为负数），则 f (160) ( )
A．1 B．2 C．4 D．6
17．（2024 宝鸡月考）我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图 1．由物
理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移 y(m)和时间 t(s)的函数关
系为 y sin( t )( 0， | | )，如图 2．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别
为 t1 ， t2 ， t3 (0 t1 t2 t3 )，且 t1 t2 2， t2 t3 5，则 1 分钟内阻尼器由其它位置摆动经过平衡位置的
次数最多为 ( )
A．19 B．40 C．20 D．41
18．（2024 1 多选 新疆月考）已知函数 f (x) cos x sin(x )，则下列结论中错误的是 ( )
2 3
A． f (x)既是奇函数又是周期函数
B． f (x) 的图象关于直线 x 对称
12
C． f (x)的最大值为 1
D． f (x)在区间 [0, ]上单调递减
4
19 2023 f (x) sin(2x ．（ 多选 辽宁模拟）关于函数 ) 1(x R)，下列说法正确的是 ( )
3
A．函数 f (x) 3在 [0, ]上最大值为 1
2 2
B 2 ．函数 f (x)的图像关于点 ( ,1)对称
3
C ．函数 f (x)在 (0, )上单调递增
2
D．函数 f (x)的最小正周期为
20．（2020 多选 海南）如图是函数 y sin( x ) 的部分图象，则 sin( x ) ( )
A． sin(x ) B sin( 2x) C cos(2x 5 ． ． ) D． cos( 2x)
3 3 6 6
21 ．（2020 江苏）将函数 y 3sin(2x )的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与 y轴最近的
4 6
对称轴的方程是 ．
22．（2024 河北月考）已知函数 f (x) sin x 3，如图， A， B是直线 y 与曲线 y f (x)的两个交点，
2
若 | AB | ，则 ．
6
23．（2024 呼和浩特月考）已知实数 x， y满足方程 (x 2)2 y2 3．则 x y的最小值为 ( )
A． 6 2 B． 6 2 C． 6 2 D． 6 2
24．（2024 海口模拟）函数 f (x) sin x sin 2x 的最大值为 ( )
2
A 3 3 3 5 3 5． B． C． D．
2 4 8 4
25．（2024 成都期中）已知 0 2 ， t R，则 (cos 3t)2 (sin 4t 10)2的最小值是 ( )
A．5 B．25 C．7 D．49
26.（2024 东莞月考）已知函数 f (x) 3sin 2x sin x， x (0， )，则函数 f (x)的最大值为 ．
2
27．（2024 云南月考）求函数 y x 2 1 (x 1)2 的值域．中小学教育资源及组卷应用平台
4.3 图像性质课后练习
1．（2024 陕西期中）函数的周期为，则　　
A． B．1 C．2 D．4
2．（2024 山东模拟）记函数的最小正周期为．若，且，则　　
A． B． C． D．
3．（2024 江苏模拟）设函数（是常数，，，若在区间上具有单调性，且，则函数是的最小正周期是　　
A． B． C． D．
4．（2024 广东月考）函数的一个单调递减区间是　　
A． B． C． D．
5．（2024 湖南模拟）函数的一个周期内的图象如图所示，下列结论错误的是　　
A．的解析式是
B．函数的最小正周期是
C．函数的最大值是2
D．函数的一个对称中心是
6．（2022 甲卷）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是　　
A． B． C． D．
7．（2024 安徽月考）将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点，若位于函数的图像上，则　　
A．，的最小值为 B．，的最小值为
C．，的最小值为 D．，的最小值为
8．（2024 山西模拟）已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，所得的图象关于轴对称，则的值可能为　　
A． B． C． D．
9．（2024 天津期中）函数，的部分图象如图所示，则　　
A．的单调递增区间是
B．图象的一条对称轴方程是
C．图象的对称中心是，
D．函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象
10．（2024 云南模拟）已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
11．（2024 盐城期中）设函数在区间恰有三条对称轴、两个零点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
12．（2024 甘肃模拟）已知函数在区间上是单调的，则的取值范围是　　
A． B．
C． D．
13．（2024 泉州模拟）已知函数的图象是由的图象向右平移个单位得到的，若在上仅有一个零点，则的取值范围是　　．
A． B．， C． D．，
14．（2024 北京模拟）已知半圆的直径，为圆心，圆周上有两动点，满足．设弦与弦的长度之和与的关系为，则最大值为　　
A．3 B． C． D．
15．（2024 深圳月考）半径为的水轮如图所示，水轮的圆心距离水面．已知水轮按逆时针方向每分钟转4圈，水轮上的点到水面的距离（单位：与时间（单位：满足关系式．从点离开水面开始计时，则点到达最高点所需最短时间为　　
A． B． C． D．
16．（2024 上饶月考）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，其工作示意图如图所示，设水车的半径为，其中心到水面的距离为，水车逆时针匀速旋转，旋转一周的时间为，当水车上的一个水筒从水中处）浮现时开始计时，经过后水筒距离水面的高度为（单位：，在水面下，高度为负数），则　　
A．1 B．2 C．4 D．6
17．（2024 宝鸡月考）我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，，如图2．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则1分钟内阻尼器由其它位置摆动经过平衡位置的次数最多为　　
A．19 B．40 C．20 D．41
18．（2024 多选 新疆月考）已知函数，则下列结论中错误的是　　
A．既是奇函数又是周期函数
B．的图象关于直线对称
C．的最大值为1
D．在区间上单调递减
19．（2023 多选 辽宁模拟）关于函数，下列说法正确的是　　
A．函数在上最大值为
B．函数的图像关于点对称
C．函数在上单调递增
D．函数的最小正周期为
20．（2020 多选 海南）如图是函数的部分图象，则　　
A． B． C． D．
21．（2020 江苏）将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是 　　．
22．（2024 河北月考）已知函数，如图，，是直线与曲线的两个交点，若，则　　．
23．（2024 呼和浩特月考）已知实数，满足方程．则的最小值为　　
A． B． C． D．
24．（2024 海口模拟）函数的最大值为　　
A． B． C． D．
25．（2024 成都期中）已知，，则的最小值是　　
A．5 B．25 C．7 D．49
26.（2024 东莞月考）已知函数，，则函数的最大值为 ．
27．（2024 云南月考）求函数的值域．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)4.3 图像性质
考向 1 y Asin x 的图像与性质
一、正弦函数、余弦函数和正切函数的图像性质
函数 y sin x y cos x y tan x
图象
定义域 R R {x | x R，x k }
2
值域 [ 1，1] [ 1，1] R
周期性 2 2
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

递增区间 [2k ，2k ] [ 2k ，2k ] (k ，k )
2 2 2 2
3
递减区间 [2k ，2k ] [2k ， 2k ] 无
2 2
k
对称中心 (k ，0) (k ，0) ( ，0)
2 2

对称轴方程 直线 x k 直线 x k 无
2
二、正弦函数 y sin x与 y Asin x 的图像性质关系
y sin x y Asin x
2
周期 2

定义域 R R
1 x 2k 2k


最大值 ，当 取得
2 A，当 x 2 取得
3 2k 3
最小值 -1，当 x 2k 取得
2 -A，当 x 2 取得

2k
2k
类比于研
单调增区间 2k ,2k
究 y sin x
2 2
2 , 2
的性质，只 需 将

2k 2k 3 2k ,2k 3

单调减区间 2 , 2 2 2



k x k 对称轴
2 x 2
k
对称中心 k ,0 ,0

y Asin x 中的 x 看成 y＝sin x 中的 x，但在求 y Asin x 的单调区间时，要特别注意 A
和ω的符号，通过诱导公式先将ω化为正数．研究函数 y Acos x ， y Ata n x 的性质的方法
与其类似，也是类比、转化．
题型 1 求解对称性与最小正周期

【例 1】（2020 新课标Ⅰ）设函数 f (x) cos( x )在 [ ， ]的图象大致如图，则 f (x)的最小正周期为
6
( )
A 10 B 7 4 3 ． ． C． D．
9 6 3 2
【例 2】（2022 新高考Ⅰ）记函数 f (x) sin( x ) b( 2 0)的最小正周期为T．若 T ，且 y f (x)
4 3
3
的图像关于点 ( ， 2) 中心对称，则 f ( ) ( )
2 2
A．1 B 3． C 5． D．3
2 2
【例 3】（2014 新课标Ⅰ）在函数① y cos | 2x |，② y | cos x |，③ y cos(2x ) ，④ y tan(2x )中，
6 4
最小正周期为 的所有函数为 ( )
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
跟踪训练
3
【训练 1】（2019 新课标Ⅱ）若 x1 ，x2 是函数 f (x) sin x( 0)两个相邻的极值点，则 ( )4 4
A 3 1．2 B． C．1 D．
2 2
【训练 2】（2017 天津）设函数 f (x) 2sin( x ) ，x R，其中 0，| | 5 11 ．若 f ( ) 2， f ( ) 0，
8 8
且 f (x)的最小正周期大于 2 ，则 ( )
A 2 2 11 ． ， B． ，
3 12 3 12
C 1 11 1 7 ． ， D． ，
3 24 3 24
【训练 3】在下列四个函数，① y sin | x |② y | cos x |（3） y 2sin(2x )④ y 2 tan(x )中，最小正
3 10
周期为 的所有函数为 ( )
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④
题型 2 求解单调区间与最值

【例 1】函数 y sin( 2x )的单调递增区间是 ( )
4
A [2k 3． , 2k 7 ](k Z ) B [k 3 ,k 7 ． ](k Z )
8 8 8 8
C． [k 1 ,k 3 ](k Z ) D 5． [k ,k 1 ](k Z )
8 8 8 8
2 f (x) 2cos( x【例 】已知函数 )
3 2
（1）求函数的最小正周期；
（2）求 f (x)的单调递增区间；
（3）若 x [ ， ]，求 f (x)的最大值和最小值．
跟踪训练
【训练 4】已知 f (x) sin(2x )，则 f (x)的最小正周期和一个单调增区间分别为 ( )
4
A． ，[ ] B 3 ， ． ，[ ， ] C． 2 [ 3 ， ， ] D． 2 ， [ ， ]
4 4 8 8 4 4 4 4
【训练 5】已知函数 f (x) 2cos( x )．
3 2
（1）求 f (x)的单调递增区间；
（2）若 x [ ， ]求 f (x)的最大值和最小值．
题型 3 求解三角函数解析式

【例 1】（2021 甲卷）已知函数 f (x) 2cos( x )的部分图像如图所示，则 f ( ) ．
2
1
【例 2】（2023 新高考Ⅱ）已知函数 f (x) sin( x ) ，如图， A， B是直线 y 与曲线 y f (x)的两个
2

交点，若 | AB | ，则 f ( ) ．
6
跟踪训练
【训练 6】（2016 新课标Ⅱ）函数 y Asin( x )的部分图象如图所示，则 ( )
A． y 2sin(2x ) B． y 2sin(2x )
6 3
C． y 2sin(x ) D． y 2sin(x )
6 3
【训练 7】已知函数 f (x) sin( x 1 ) ，如图，A，B是直线 y 与曲线 y f (x)的两个交点，若 | AB | ，
2 6
f (3 ) ．
4
【解题总结】
考向 2 三角函数图像的平移与变换
题型 1 三角函数图像的平移伸缩
三、正弦函数的平移和伸缩变换
函数 y Asin( x )的图象可以通过下列两种方式得到：
1
横坐标缩短到原来的 倍
1. y sin x 图 象 左 移 y sin(x ) y sin( x )
纵 坐 标 伸 长 为 原 来 的 A倍 y Asin( x )
1
横坐标缩短到原来的 倍 图象左移
2. y sin x y sin( x) y sin( x )
纵 坐 标 伸 长 为 原 来 的 A倍 y Asin( x )
关键：把握先移后缩和先缩后移的区别．类比可以得到： y Acos( x )， y A tan( x )的图像

定理： y Asin( x ) y Asin( x ) 则平移单位为 2 11 2 （注意平移方向）
【例 1】（2023 f (x) y cos(2x ) 1 1 甲卷）已知 为函数 向左平移 个单位所得函数，则 y f (x)与 y x
6 6 2 2
的交点个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【例 2】（2021 1 乙卷）把函数 y f (x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲
2

线向右平移 个单位长度，得到函数 y sin(x )的图像，则 f (x) ( )
3 4
A sin( x 7 ． ) B． sin( x 7 ) C． sin(2x ) D． sin(2x )
2 12 2 12 12 12
跟踪训练
【训练 1】（2022 浙江）为了得到函数 y 2sin3x的图象，只要把函数 y 2sin(3x )图象上所有的点 ( )
5
A ．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
5 5
C ．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
15 15

【训练 2】为了得到函数 y sin(2x )的图象，只需要把函数 y sin x的图象上 ( )
3
A 1 ．各点的横坐标缩短到原来的 ，再向左平移 个单位长度
2 3
B 1 ．各点的横坐标缩短到原来的 ，再向左平移 个单位长度
2 6
C ．各点的横坐标伸长到原来的 2倍，再向左平移 个单位长度
3
D ．各点的横坐标伸长到原来的 2倍，再向左平移 个单位长度
6
题型 2 涉及二倍角与函数名变换问题
【例 1】（2017 新课标Ⅰ）已知曲线C : y cos x C : y sin(2x 2 1 ， 2 )，则下面结论正确的是 ( )3
A．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得6
到曲线C2
B ．把C1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得12
到曲线C2
C 1 ．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到2 6
曲线C2
D．把C 1 1上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到2 12
曲线C2
【例 2】若将函数 y sin( x )( 0) 的图像向右平移 个单位长度后，与函数 y cos( x )的图像重
4 3 6
合，则 的最小值是 ( )
A 21． B 19． C 17 D 15． ．
4 4 4 4
跟踪训练
2
【训练 3】已知曲线C1 : y cos x，C2 : y sin(2x )，则下面结论正确的是 ( )3
A C ．把 1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得2
到曲线C2
B C 2 ．把 1上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得12
到曲线C2
C．把C1 1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得
2 6
到曲线C 2
D 1 ．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得2 12
到曲线C2
【训练 4】将函数 f (x) cos( x )( 0)的图象向左平移 个单位长度后得到函数 y sin x的图象，则
4 3
正实数 的最小值为 ( )
A 21 B 15 C 9． ． ． D．2
4 4 4
【解题总结】
考向 3 三角函数 范围问题
四、三角函数 取值范围
1.整体换元法解决区间 (0，b)类型
（1）单调性问题：
若 y Asin( x ) (A 0， 0， 0)，在区间 (0，b)上单调递增，求 的取值范围：令 x t ，
t ( ， b ) ， 根 据 正 弦 函 数 y sin t 的 单 调 性 的 性 质 ， 单 调 递 增 区 间 要 满 足 ：

2k
( ， b ) ( 2k ， 2k )(k )，所以有 b 2k ，k z，即 2 (k z) .
2 2 2 b
（2）零点数问题：
若 y Asin( x ) (A 0， 0，0 )，在区间 (0，b)上有 n个零点，求 的取值范围：令 x t ，
t ( ， b )，根据正弦函数 y sin t的零点区间分布情况：则 n b (n 1) .
2.周期卡根法解决区间 (a，b)类型
（1）单调性问题：
k k
y Asin( x )在区间 (a,b) T内单调 b a 且 2 a，b 2
2
图 1
（2）零点数问题：
y Asin( x )在区间 (a,b) n (n 1)T内有 个零点 b a (n 1)T
2 2
(k 1)
a
k


且 （图 3图 4）
(k n) b (k n+1)

图 3 图 4
题型 1 区间 (0，b)类型
【例 1 f (x) sin( x )( 0) (0, 】若函数 在 )上单调，则 的取值范围是 ( )
6 3
A． (1, ) B．[1， ) C． (0,1) D． (0，1]
【例 2】（2023 新高考Ⅰ）已知函数 f (x) cos x 1( 0) 在区间 [0，2 ]有且仅有 3个零点，则 的取值
范围是 ．
【例 3】（2022 甲卷）设函数 f (x) sin( x )在区间 (0, )恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围
3
是 ( )
A [5 13) B [5 19 13 8 13 19． ， ． ， ) C． ( ， ] D． ( ， ]
3 6 3 6 6 3 6 6
跟踪训练

【训练 1】将函数 f (x) sin( x )( 0) 图象向左平移 后，得到 g(x) 的图象，若函数 g(x)在[0, ]上
6 2 2
单调递减，则 的取值范围为 ( )
A． (0， 3] B 4 5． (0， 2] C． (0, ] D． (0, ]
3 3
【训练 2】（2019 新课标Ⅲ）设函数 f (x) sin( x )( 0)，已知 f (x)在 [0，2 ]有且仅有 5个零点．下
5
述四个结论：
① f (x)在 (0,2 )有且仅有 3个极大值点；
② f (x)在 (0,2 )有且仅有 2个极小值点；
③ f (x)在 (0, )单调递增；
10
12 29
④ 的取值范围是 [ ， )．
5 10
其中所有正确结论的编号是 ( )
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【训练 3】已知函数 f (x) 2cos( x )( 0)，若 f (x)在区间[0， )内有且仅有 3个零点和 3条对称轴，
6
则 的取值范围是 ( )
A (17 ,10] B (17． ． , 23] C [17 ,10] D (7 ,10． ． ]
6 3 6 6 6 3 3 3
题型 2 区间 (a，b)类型

【例 1】已知 0，函数 f (x) sin xcos x cos2 x在 ( , )单调递减，则 的取值范围为 ( )
2
A [1 , 5． ] B．[1 , 3] C． (0, 1] D 1．[ , 5]
2 8 2 4 4 4 8
2 3 【例 】若函数 f (x) 2sin x( 0)在区间 [ , ]内仅有 1个零点，则 的取值范围是 ( )
4 4
A． [4 ,4) B (4． , 4] C．[4 , 8) D (4． , 8]
3 3 3 3 3 3
2 1
【例 3】将函数 f (x) cos(x )图象上所有点的横坐标变为原来的 ( 0)，纵坐标不变，所得图象在
3
2
区间 [0, ]上恰有两个零点，且在 [ , ]上单调递减，则 的取值范围为 ( )
3 12 12
A [9． ,3] B． [9 ,4) C 11． [ , 4] D (11． ,6]
4 4 4 4
跟踪训练
【训练 4】已知函数 f (x) sin( x )( 0)在 ( , )上单调递减，则 的取值范围是 ( )
6 2
A 4． (0, ] B [4 , 5． ] C 1． (0, ] D [5． ,1]
3 3 3 2 3
【训练 5 】已知函数 f (x) sin( x )( 0)在 ( , )上恰有 1个零点，则 的取值范围是 ( )
3 3
A (0, 2) [ 5 , 8] B (2 , 5] [2, 8] C [5 ,2) [ 8 ,11] D (0,2] [ 8 11． ． ． ． , ]3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
【训练 6】已知函数 f (x) sin x 3 cos x( 0) (0, ) 3 在 上存在零点，且在 ( , )上单调，则 的取值
3 2 4
范围为 ( )
A (2 4] B [2, 7] C [7 , 26 7． ， ． ． ] D．[ , 4]
2 3 9 3
考向 3 三角函数实际应用问题
五、三角函数实际应用问题
以三角函数的图像和性质作为命题背景，解决实际生活中的数学问题，创新性比较强，体现数形结合和建
模思想.一般以三角函数的最值为常考点，也考查三角形相关的周长和面积等问题.
【例 1】（2019 北京）如图， A， B是半径为 2 的圆周上的定点， P为圆周上的动点， APB是锐角，大
小为 ，图中阴影区域的面积的最大值为 ( )
A． 4 4cos B． 4 4sin C． 2 2cos D． 2 2sin
【例 2】水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，其工作示意图如图所示，设水车的半径为 4m，其中
心O到水面的距离为 2m，水车逆时针匀速旋转，旋转一周的时间为 60s，当水车上的一个水筒 A从水中 (A0
处）浮现时开始计时经过 t（单位：s)后水筒 A距离水面的高度为 f (t)（在水面下高度为负数），则 f (130) ( )
A．3m B． 4m C．5m D． 6m
跟踪训练
【训练 1】如图，已知OAB是半径为 2千米的扇形，OA OB，C是弧 AB上的动点，过点C 作CH OA，
垂足为H ，某地区欲建一个风景区，该风景区由 AOC和矩形ODEH 组成，且OH 2OD，若风景区的修
建费为 100万元 /平方千米，则该风景区的修建最多需要 ( )
A．260万元 B．265万元 C．255万元 D．250万元
【训练 2】如图，一圆形摩天轮的直径为 100米，圆心O到水平地面的距离为 60米，最上端的点记为Q．现
在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，摩天轮
从开始转动一圈，点Q距离水平地面的高度不超过 85米的时间为 ( )
A．20分钟 B．22分钟 C．24分钟 D．26分钟
拓展思维
拓展 1 三角换元与斜率最值问题
1 y sin x 1【例 】求函数 的最大值和最小值．
cos x 2
m
【例 2】已知函数 y 1 x x 3 的最大值为 M，最小值为 m，则 的值为（ ）
M
A 1． B 1 2 3． C． D．
4 2 2 2
拓展 2 三角换元与隐半圆问题
隐半圆常常出现的结构为：① a2 x2 ；② a2 (x b)2 ．
隐半圆的结构特点：根式下为二次代数式，且二次项系数为 1．如 y a2 x2 表示以原点为圆心，|a|为
半径的圆的上半圆， y a2 (x b)2 表示以 (b，0)为圆心，|a|为半径的圆的上半圆，必要的时候可以进行
三角换元， y a2 x2 上的任意一点可以表示为 (a cos ，a sin )， y a2 (x b)2 上的任意一点可以表
示为 (b a cos ，a sin )，此时 的范围为 [0， ]．
2
【例 1】函数 f (x) 1 x 的最小值为 ．
x 2
拓展 3 导数与三角函数最值问题
sin 2x 2cos x与 sin 2x 2sin x类型和 sin xcos x msin x ncos x
此类型题虽然是二次和一次的关系，但是换元无法解决问题，所以本类问题通常用数形结合或者求导
来解决．
【例 1】（2018 全国Ⅰ卷）已知函数 f (x) 2sin x sin 2x，则 f (x)的最小值是 ．
【例 2】函数 f (x) sin x xcos x 在区间 [ , ]上的最小值为 ( )
2 2
A 3 3 ． B． 1 C 3 6． D．0
6 12中小学教育资源及组卷应用平台
4.3 图像性质
考向1 的图像与性质
一、正弦函数、余弦函数和正切函数的图像性质
函数
图象
定义域 R R
值域 R
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间
递减区间 无
对称中心
对称轴方程 直线 直线 无
二、正弦函数与的图像性质关系
周期
定义域 R R
最大值 1，当取得 A，当取得
最小值 -1，当取得 -A，当取得
单调增区间
单调减区间
对称轴
对称中心
类比于研究的性质，只需将中的看成y＝sin x中的x，但在求的单调区间时，要特别注意A和ω的符号，通过诱导公式先将ω化为正数．研究函数，的性质的方法与其类似，也是类比、转化．
题型1 求解对称性与最小正周期
【例1】（2020 新课标Ⅰ）设函数在，的图象大致如图，则的最小正周期为　　
A． B． C． D．
【例2】（2022 新高考Ⅰ）记函数的最小正周期为．若，且的图像关于点，中心对称，则　　
A．1 B． C． D．3
【例3】（2014 新课标Ⅰ）在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为　　
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
跟踪训练
【训练1】（2019 新课标Ⅱ）若，是函数两个相邻的极值点，则　　
A．2 B． C．1 D．
【训练2】（2017 天津）设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则　　
A．， B．，
C．， D．，
【训练3】在下列四个函数，①②（3）④中，最小正周期为的所有函数为　　
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④
题型2 求解单调区间与最值
【例1】函数的单调递增区间是　　
A． B．
C． D．
【例2】已知函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）求的单调递增区间；
（3）若，，求的最大值和最小值．
跟踪训练
【训练4】已知，则的最小正周期和一个单调增区间分别为　　
A．，， B．，， C．，， D．，，
【训练5】已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若，求的最大值和最小值．
题型3 求解三角函数解析式
【例1】（2021 甲卷）已知函数的部分图像如图所示，则　　．
【例2】（2023 新高考Ⅱ）已知函数，如图，，是直线与曲线的两个交点，若，则　　．
跟踪训练
【训练6】（2016 新课标Ⅱ）函数的部分图象如图所示，则　　
A． B．
C． D．
【训练7】已知函数，如图，，是直线与曲线的两个交点，若，　 　．
【解题总结】
考向2 三角函数图像的平移与变换
题型1 三角函数图像的平移伸缩
三、正弦函数的平移和伸缩变换
函数的图象可以通过下列两种方式得到：1.
2.
关键：把握先移后缩和先缩后移的区别．类比可以得到：，的图像
定理：则平移单位为（注意平移方向）
【例1】（2023 甲卷）已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【例2】（2021 乙卷）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则　　
A． B． C． D．
跟踪训练
【训练1】（2022 浙江）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点　
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【训练2】为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上　　
A．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
B．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
C．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度
D．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度
题型2 涉及二倍角与函数名变换问题
【例1】（2017 新课标Ⅰ）已知曲线，，则下面结论正确的是　　
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
【例2】若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值是　　
A． B． C． D．
跟踪训练
【训练3】已知曲线，，则下面结论正确的是　　
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
【训练4】将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则正实数的最小值为　　
A． B． C． D．2
【解题总结】
考向3 三角函数范围问题
四、三角函数取值范围
1.整体换元法解决区间类型
（1）单调性问题：
若，在区间上单调递增，求的取值范围：令，，根据正弦函数的单调性的性质，单调递增区间要满足：，所以有，即.
（2）零点数问题：
若，在区间上有个零点，求的取值范围：令，，根据正弦函数的零点区间分布情况：则.
2.周期卡根法解决区间类型
（1）单调性问题：
在区间内单调且，
图1
（2）零点数问题：
在区间内有个零点
且（图3图4）
图3 图4
题型1 区间类型
【例1】若函数在上单调，则的取值范围是　　
A． B．， C． D．，
【例2】（2023 新高考Ⅰ）已知函数在区间，有且仅有3个零点，则的取值范围是 　 　．
【例3】（2022 甲卷）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
跟踪训练
【训练1】将函数图象向左平移后，得到的图象，若函数在上单调递减，则的取值范围为　　
A．， B．， C． D．
【训练2】（2019 新课标Ⅲ）设函数，已知在，有且仅有5个零点．下述四个结论：
①在有且仅有3个极大值点；
②在有且仅有2个极小值点；
③在单调递增；
④的取值范围是，．
其中所有正确结论的编号是　　
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【训练3】已知函数，若在区间，内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
题型2 区间类型
【例1】已知，函数在单调递减，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【例2】若函数在区间内仅有1个零点，则的取值范围是　
A． B． C． D．
【例3】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为
A． B． C． D．
跟踪训练
【训练4】已知函数在上单调递减，则的取值范围是　
A． B． C． D．
【训练5】已知函数在上恰有1个零点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【训练6】已知函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为　　
A．， B． C． D．
考向3 三角函数实际应用问题
五、三角函数实际应用问题
以三角函数的图像和性质作为命题背景，解决实际生活中的数学问题，创新性比较强，体现数形结合和建模思想.一般以三角函数的最值为常考点，也考查三角形相关的周长和面积等问题.
【例1】（2019 北京）如图，，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，是锐角，大小为，图中阴影区域的面积的最大值为　　
A． B． C． D．
【例2】水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，其工作示意图如图所示，设水车的半径为，其中心到水面的距离为，水车逆时针匀速旋转，旋转一周的时间为，当水车上的一个水筒从水中处）浮现时开始计时经过（单位：后水筒距离水面的高度为（在水面下高度为负数），则
A． B． C． D．
跟踪训练
【训练1】如图，已知是半径为2千米的扇形，，是弧上的动点，过点作，垂足为，某地区欲建一个风景区，该风景区由和矩形组成，且，若风景区的修建费为100万元平方千米，则该风景区的修建最多需要　　
A．260万元 B．265万元 C．255万元 D．250万元
【训练2】如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心到水平地面的距离为60米，最上端的点记为．现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，摩天轮从开始转动一圈，点距离水平地面的高度不超过85米的时间为　　
A．20分钟 B．22分钟 C．24分钟 D．26分钟
拓展思维
拓展1 三角换元与斜率最值问题
【例1】求函数的最大值和最小值．
【例2】已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ）
A． B． C． D．
拓展2 三角换元与隐半圆问题
隐半圆常常出现的结构为：①；②．
隐半圆的结构特点：根式下为二次代数式，且二次项系数为．如表示以原点为圆心，为
半径的圆的上半圆，表示以为圆心，为半径的圆的上半圆，必要的时候可以进行
三角换元，上的任意一点可以表示为，上的任意一点可以表
示为，此时的范围为．
【例1】函数的最小值为　 　 ．
拓展3 导数与三角函数最值问题
与类型和
此类型题虽然是二次和一次的关系，但是换元无法解决问题，所以本类问题通常用数形结合或者求导来解决．
【例1】（2018 全国Ⅰ卷）已知函数，则的最小值是 ．
【例2】函数在区间上的最小值为　　
A． B． C． D．0
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