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5.1 解三角形小题篇
考向 1 公式问题
题型 1 利用公式解三角形
一．基本定理公式
1．正弦定理和余弦定理： a，b，c指△ABC的内角 A，B，C的对边， R指△ABC的外接圆半径
定理 正弦定理 余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A；
基本 a = b = c 2R b2 c2 a2 2ac cosB；
公式 sinA sinB sinC
c2 a2 b2 2abcosC．
（1） a 2R sin A，b 2R sinB， c 2R sinC； 2 2
cosA b c a
2
；
2bc
（2） sin A a ， sinB b ，
2R 2R sinC
c
；
常见 2R 2 2 2
cosB c a b ；
推论 （3） a：b：c sin A：sin B：sinC； 2ac
a b c k1a k2a k3a
2 2
cosC a b c
2
（4） = = ． ．
sinA sinB sinC k1sinA k2 sinB k3 sinC 2ab
注意：（1）涉及三角形两边以及对角的问题优先考虑正弦定理，其中包含①已知两边＋其中一边的对角类
型；②已知两角+其中一角的对边类型．
（2）涉及三角形三边加一个内角的问题选择余弦定理，其中包含①已知三边求一内角的类型；②已知两边
和一内角，求另一边的类型（若该内角为两边的夹角，直接使用公式求解；若内角不为夹角，则用公式建
立方程求解．）
2．三角形的面积公式
1
（1） S absinC 1 bc sin A 1 ac sin B；
2 2 2
（2） S 1 (a b c)r (r为三角形内切圆半径)；
2
（3） S p( p a)(p b)(p c) ( p a b c )；
2
（4） S 2R2 sin Asin B sinC abc (R为三角形外接圆半径)；
4R
【例 1】（2017 新课标Ⅲ） ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知C 60 ，b 6 ，c 3，
则 A ．
【例 2】（2023 乙卷）在 ABC 中，内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 a cosB bcos A c，且C ，
5
则 B ( )
A B C 3 2 ． ． ． D．
10 5 10 5
【例 3】（2023 上海）已知 ABC 中，角 A， B，C所对的边 a 4，b 5， c 6，则 sin A ．
【例 4】（2021 乙卷）记 ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，面积为 3，B 60 ，a2 c2 3ac，
则 b ．
【例 5】（2023 北京）在 ABC 中， (a c)(sin A sinC) b(sin A sin B) ，则 C ( )
A ． B 2 5 ． C． D．
6 3 3 6
跟踪训练
【训练 1】（2023 全国）在 ABC 中， A 2B， a 6，b 4，则 cosB ．
【训练 2】（2017 新课标Ⅱ） ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 2bcosB a cosC ccos A，
则 B ．

【训练 3】（2019 新课标Ⅱ） ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c．若 b 6，a 2c，B ，
3
则 ABC的面积为 ．
【 训 练 4 】（ 2018 新 课 标 Ⅰ ） ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ． 已 知
bsinC csin B 4a sin B sinC，b2 c2 a2 8，则 ABC的面积为 ．
【训练 5】（2019 新课标Ⅰ） ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c．已知 a sin A bsin B 4csinC，
cos A 1 b ，则 ( )
4 c
A．6 B．5 C．4 D．3
题型 2 判断三角形解的个数
1．判断三角形解的情况
A 为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a bsin A bsin A a b a b a b a b
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
大角求小角一解（锐角）

两解— sin A （1 一锐角、一钝角）
总结：
小角求大角 一解— sin A （1 直角）

无解— sin A 1
3 2
【例 1】在 ABC中，若 b 3， c ， B 45 ，则此三角形解的情况为 ( )
2
A．无解 B．两解
C．一解 D．解的个数不能确定
【例 2】若 ABC 中， a x,b 3, A ，若该三角形有两个解，则 x范围是 ( )
4
A． ( 3,6) B． (2,2 3) C [ 6． , 3) D 6． ( , 3)
2 2
跟踪训练
【训练 6】在 ABC 中， a 6，b 8， A 40 ，则 B的解的个数是 ( )
A．0个 B．2个 C．1个 D．1个或 2个

【训练 7】在 ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 B ， a 4，且该三角形有两解，
3
则 b的范围是 ( )
A． (2 3, ) B． (2 3,4) C． (0,4) D． (3 3,4)
题型 3 判断三角形的形状
1．判断三角形的形状
（1）余弦定理推形状：三角形三条边从小到大排列，即 a b c，
（1）若 a2 b2 c2 0，则△ABC是锐角三角形；
（2）若 a2 b2 c2 0，则△ABC是直角三角形；
（3）若 a2 b2 c2 0，则△ABC是钝角三角形；
2.三角恒等变换推形状：
①直角三角形判定： sin A sinBcosC或 sinB sinC cos A或 sinC sin AcosB
证明：
②等腰三角形判定： sin A 2sin BcosC或 sin B 2sinCcos A或 sinC 2sin AcosB
证明：
③等腰或直角三角形判定： sin Acos A sin BcosB
证明：
④等边三角形判定： A、B、C成等差数列， a、b、c成等比数列
证明：
【例 1】（2012 上海）在 ABC中，若 sin2 A sin2 B sin2 C，则 ABC的形状是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【例 2】（2013 陕西）设 ABC 的内角 A， B，C所对的边分别为 a， b， c，若 bcosC ccosB a sin A，
则 ABC 的形状为 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【例 3】在 ABC 中，若 a sin B 3bcos A，且 sinC 2sin Acos B，那么 ABC一定是 ( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
跟踪训练
【训练 8】设 ABC的内角 A， B，C的对边分别为 a，b， c，若 b2 c2 a2 ca，且 sin A 2sinC ，则
ABC的形状为 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【训练 9】 ABC C中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 (a cosB bcos A)cosC 2a cos2 a， ABC
2
为 ( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
【训练 10】在 ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知 2cosB(acosC 3 ccos A) b，sinC ，
2
则 ABC 的形状为 ( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【解题总结】
考向 2 图形问题
二．图形应用模型
解三角形的图形应用部分包含嵌套三角形和实际应用部分的问题，解题过程中常涉及中线、角平分线以及
求距离和角度的问题，我们用下面的模型帮助大家解决选择填空题.
1.嵌套三角形问题
（1）射影定理
在△ABC中， a = bcosC + c cosB， b = c cos A + a cosC ， c = a cosB + bcos A .
证明：
题型 1 中线定理
中线定理
（1）如图，在△ABC中， D为 BC边上的中点，连接 AD，则有： AB2 AC 2 2(AD2 BD2 ) .
证明：
【例 1】已知 ABC 中， AB 6， BC 8， B 60 ，则 AB边上的中线长为 ( )
A． 78 B．8 C．7 D．6
跟踪训练
【训练 1】已知 ABC 中， AB 5， AC 15， AD为边 BC的中线，且 AD 4，则 BC边的长为 ( )
A．3 B．3 2 C． 2 3 D．4
题型 2 张角定理
1）张角定理
如图，在△ABC中， D为 BC边上的一点，连接 AD，设 AD = l， BAD ， CAD ，则一定有
sin(a+b)= sina sin b+ ．
l b c
证明：
2）角平分线张角定理
1 AD AD
根据张角定理：①当a = b 时， cosa = +2 b c （角平分线张角定理）
S 1② △ABC = AD×(b + c)sina AD
2 tana （角平分线面积问题）
2
证明：
【例 1】（2013 2 2福建）如图，在△ABC中，已知点D在 BC边上，AD AC，sin BAC ，AB 3 2，
3
AD 3，则CD的长为 ．
【例 2】在 ABC 中， BAC 60 ， AB 2， BC 6 ， BAC的角平分线交 BC于 D，则 AD ( )
A． 3 B．2 C． 2 2 D． 2 3
跟踪训练
【训练 2】在中△ABC，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c， ABC 120 ，BD BC交 AC于点D，
且 BD 1，则 2a c的最小值为 ．
【训练 3】在 ABC 中， BAC 120 ， AB 2， AC 3，D为 BC上一点， AD为 BAC的角平分线，则
AD ．
题型 3 斯库顿定理
如图，AD是△ABC的角平分线，则 AD2 AB·AC BD·CD.就其位置关系而言，可记忆：中方=上积一下积.
已知：在△ABC 中， AD是 BAC 的平分线，求证： AD2 BD·DC AB·AC
证明：
【例 1】在 ABC中，AD为 A的角平分线，D在线段 BC上，若 | AB | 2，| AD | | AC | 1，则 | BD | ( )
A 2． B． 2 C．2 D 3 2．
2 2
跟踪训练
【训练 4】在 ABC 中， AM 是 BAC的角平分线，且交 BC于M ．已知 AM 2 3， BM 2，MC 3，
则 AC ．
【解题总结】
题型 2 实际应用问题
2.实际应用问题
（1）距离问题
类型 图形 方法
两点间不可到达的距离 余弦定理
两点间可视不可到达的距离 正弦定理
先用正弦定理，
两个不可到达的点之间的距离
再用余弦定理
1.两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解.
2.两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解.
（2）高度问题
类型 简图 计算方法
测得 BC＝a，∠BCA＝C，AB＝
底部可达
a·tan C.
测得 CD＝a及 C与∠ADB 的度
点 B 与 C， 数.
D 共线 先由正弦定理求出 AC 或 AD，
再解三角形得 AB 的值.
底部不可达
测得 CD＝a 及∠BCD，∠BDC，
点 B 与 C， ∠ACB 的度数.
D 不共线 在△BCD 中由正弦定理求得
BC，再解三角形得 AB 的值.
1.仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角.
2.高度问题大多通过正(余)弦定理构造直角三角形来解决.
【例 1】（2021 乙卷）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的
高．如图，点 E，H ，G在水平线 AC上，DE和 FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为
“表高”， EG称为“表距”， GC和 EH 都称为“表目距”， GC与 EH 的差称为“表目距的差”，则海岛
的高 AB ( )
A 表高 表距 B 表高 表距． 表高 ． 表高
表目距的差 表目距的差
C 表高 表距 D 表高 表距． 表距 ． 表距
表目距的差 表目距的差
【例 2】（2021 甲卷）2020年 12月 8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86（单位：m)，
三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有 A， B，C三点，
且 A， B，C在同一水平面上的投影 A ， B ，C 满足 A C B 45 ， A B C 60 ．由C 点测得 B点的
仰角为15 ， BB 与CC 的差为 100；由 B点测得 A点的仰角为 45 ，则 A，C两点到水平面 A B C 的高度
差 AA CC 约为 ( )( 3 1.732)
A．346 B．373 C．446 D．473
跟踪训练
【训练 5】如图，在山脚 A测得山顶 P的仰角为 ，沿倾斜角为 的斜坡向上走 a米到 B，在 B处测得山
顶 P的仰角为 ，则山高 h ( )
A a cos sin( ) B a sin sin( )． ．
sin( ) sin( )
C a cos sin( ) D a sin sin( )． ．
sin( ) sin( )
【训练 6】《中国建筑史》（梁思成著）载：“大雄殿之左侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔．“该塔位于蓬溪县
赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼阁式砖石塔，塔身白色，共十三层，自宋代始建以来至今已 800余
年，充分体现了中国传统建筑技术水平．某数学兴趣小组为了测得塔高，如图，在 A点测得塔底位于北偏
东 60 方向上的点 D处，塔顶C 的仰角为 30 ，在 A的正东方向且距 D点 44m的 B点测得塔底位于北偏西
45 方向上 (A， B， D在同一水平面），则塔的高度CD约为 ( )（参考数据： 6 2.45)
A． 42m B． 45m C．36m D．38m
考向 3 范围问题
解三角形的一类取值范围题型，我们分类为求单元素（边或角的取值范围）和比值类范围问题两种.一般采
取正弦定理实现边角互换后消元保留成要求元素的函数关系式，角度和边长问题利用三角函数的有界性求
值域.分式齐次化问题也是相同的处理.下面我们分析一下锐角三角形的角度范围的限定方式：
1.锐角三角形的角度限定

0 B
（1）若锐角△ABC 的定角 A (0 A ) ，则 2
2
；

0 C

A B
2

0

A
2
ABC A (0 A （2）若锐角△ 的定角 )，若 B 2A ，则 0 B

2A ；
2 2
0 C A B 3A 2
1 1
（3）若锐角△ABC 的定角 A (0 A )，若 sin A sin B，则 sin B sin A ，可推出 B的范围.
2
2.齐次式的处理
b
（ 1） 锐 角三 角 形 △ABC 中 处 理齐 次 式 类 型 ，可 以 先 通 过 正弦 定 理 进 行边 角 互 换 ， 即
a
b sin B sin[ (A C)] sin A cos A
（角C为定值， 和 为常数），用角度的限定方
a sin A sin A sin A tan A
法求出角 A的范围即可.
bc
（2）锐角三角形△ABC 中处理非齐次式 类型，若知道三角形外接圆半径，根据正弦定理得到
a
bc 2R sin B 2R sinC sinC
（角 B为定值， 为常数），后续处理转化为齐次化.
a 2R sin A sin A
题型 1 单元素范围
【例 1】已知在锐角三角形 ABC中，角 A， B，C所对的边分别为 a，b， c，若 a c 2a cosB．则角 A
的取值范围是 ( )
A (0, ． ) B． (0, ) C ． ( , ) D ． ( , )
4 6 6 4 4 3

【例 2】在锐角 ABC中，C ， AC 4，则 BC的取值范围是 ( )
6
A (0, 8 3) B (2 3, 8 3． ． ) C． (2 3, ) D (4, 8 3． )
3 3 3
【例 3】在锐角三角形 ABC中， B 60 ， AB 2，则 AB边上的高的取值范围是 ( )
A ( 3． , 2) B ( 3． , 3) C 3． ( , 3) D 3． ( ,2 3)
4 4 2 2
跟踪训练
【训练 1】锐角 ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c2 a(a b)，则 sin A的取值范围是 ( )
A． (0, 2 ) B 1． ( , 2 ) C (1． , 3 ) D． (0, 3 )
2 2 2 2 2 2

【训练 2】在锐角 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，b 2，C ，则 c的取值范围为 ( )
3
A． (2,2 3) B． (2 3, ) C． ( 3,2 3) D． (2, )
【训练 3】在锐角三角形 ABC中， B 60 ， AB 1，则 AB边上的高的取值范围是 ( )
A． ( 3 ，1) B ( 3 3 ) C 3 3． ， ． ( ， 3) D． ( ， 3)
4 4 2 2 4
题型 2 比值类范围
【例 1】在锐角 ABC中，若 B sin A 2A，则 的取值范围是 ( )
sin B
A． ( 2, 3) B [ 1． , 1] C 3 2． ( , ) D ( 1 , 1． )
2 2 3 2 2 2
【例 2】在锐角 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，S为 ABC的面积，且 2S a2 (b c)2，
b2 c2
则 的取值范围为 ( )
bc
A (34． , 41) B 41 34．[2, ) C．[2, ) D．[2， )
15 15 15 15
【例 3】已知锐角 ABC 的内角 A， B，C所对的边分别为 a， b， c，若 a cosB bcos2A c且 ABC 外
a2
接圆半径为 2，则 的取值范围是 ( )
b c
A．[2 3,4) B．[2 3,6) C． [ 3,2) D．[ 3,4)
跟踪训练
【训练 4】在 ABC 中，若 B 3A b，则 的取值范围是 ( )
a
A． (1,2) B． (2,3) C． (1,3) D． (0,3)
【训练 5】在锐角 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，S为 ABC的面积，且 a2 2S (b c)2 ，
2sin2B sin2C
则 的取值范围为 ( )
sinBsinC
A (43 , 59． ) B． [2 2, 43) C． [2 2, 59) D．[2 2, )
15 15 15 15
2
【训练 6】锐角 ABC中，角 A， B，C的对边分别为 a，b， c，若 c2 a(a b) sin A，则 的取值范
sin(C A)
围是 ( )
A (0, 2 ) B (1 , 2． ． ) C (1 , 3． ) D． (0, 3 )
2 2 2 2 2 2
【解题总结】
拓展思维
拓展 1 托勒密定理
圆内接四边形之托勒密定理
托勒密定理：在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．
如图上，设四边形 ABCD内接于圆O，则有 AB CD AD BC AC BD，
【证明】
广义托勒密定理：在四边形 ABCD中，有 AB CD AD BC AC BD ，当且仅当四边形 ABCD 四点共圆时，
等号成立.
【证明】
【例 1】克罗狄斯 托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制
作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，
当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形 ABCD内接于半径
为 2 3的圆， A 120 ， B 45 ， AB AD，则四边形 ABCD的周长为 ( )
A． 4 3 6 2 B．10 3 C． 4 3 4 2 D． 4 3 5 2
【例 2】克罗狄斯 托勒密 (Ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意
凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．根据以上材
料，完成下题：如图，半圆O的直径为 2， A为直径延长线上的一点，OA 2，B为半圆上一点，以 AB为
一边作等边三角形 ABC，则当线段OC的长取最大值时， AOC ．5.1 解三角形小题篇练习
1．（2017 新课标Ⅰ） ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 sin B sin A(sinC cosC) 0 ，
a 2， c 2，则C ( )
A ． B． C ． D．
12 6 4 3
2．（2024 湖北期中）在 ABC中， a 5， b 8， A ，则此三角形 ( )
6
A．有两解 B．有一解
C．无解 D．解的个数不确定
3．（2024 开封月考）在 ABC 中，内角 A， B，C的对边分别为 a， b， c．已知 a 2 2,b 4, A ，
6
则此三角形 ( )
A．无解 B．有一解
C．有两解 D．解的个数不确定
4．（2024 重庆月考）在 ABC 中，角 A， B，C所对的边分别为 a， b， c，且 c 8,B ．若 ABC 有
6
两解，则 b的值可以是 ( )
A．4 B．6 C．8 D．10
5．（2024 西安月考）在 ABC中，已知 A ， a 2，若 ABC有两解，则 ( )
6
A． 2 b 4 B．b 4 C． 2 b 4 D． 0 b 2
6 2024 ABC sin A cosB cosC．（ 广东月考）在 中，若 ，则 ABC是 ( )
a b c
A．正三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．有一内角为 60 的直角三角形
7．（2024 惠州月考）在 ABC中，已知 b2 c2 a2 bc，且 2cosB sinC sin A，则该三角形的形状是 ( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
8．（2024 河北期中）在 ABC中，若 a cosB c，则 ABC 的形状是 ( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
9．（2024 上海期中）在 ABC中， a2 b2 c2 2bc cosA 2ac cosB，则 ABC一定是 ( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
10．（2024 内蒙古月考）在 ABC中，已知 sin 2A sin 2B，则 ABC 的形状为 ( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
11．（2024 广西月考）如图，已知 ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且b 2，b2 c2 a2 bc，
若 BC边上的中线 AD 7 ，则 BC的长为 ( )
A． 2 3 B． 2 6 C． 2 2 D．3 2
12．（2024 南阳月考）已知 ABC 中，sin A : sin B 2 : 3 ， ACB ，且 ABC的面积为 6 3 ，则 ABC的
3
边 AB上的中线长为 ( )
A 3 19． B． 19 C．3 2 D．3 3
2
13．（2024 杭州期中）在 ABC 中， BAC 90 ， AD是 BAC的角平分线， AB 3， AC 4， E是 AC
的中点，则DE的长度为 ( )
A 2 37． B 2 17 C 37 D 17． ． ．
7 7 7 7
14．（2024 甘肃模拟）在 ABC 中，角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，若 a sin A bsin B (c b)sinC ，
AD为 ABC的角平分线，且 AD 2 3， c 2b，则 a的值为 ( )
A． 2 3 B．3 3 C． 4 7 D． 6 7
15．（2024 贵州期中）已知 ABC 的边 AB，AC的长分别为 20，18， BAC 120 ，则 ABC的角平分线 AD
的长为 ( )
A 180． 3 B 90 180 90． C． D． 3
19 19 19 19
16．（2014 四川）如图，从气球 A上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75 ，30 ，此时气球的
高度是 60m，则河流的宽度 BC等于 ( )
A．30( 3 1)m B．120( 3 1)m C．180( 2 1)m D． 240( 3 1)m
17．（2024 浙江月考）如图，在坡度一定的山坡 A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15 ，
向山顶前进100m到达 B处，在 B处测得C 对于山坡的斜度为 45 ．若CD 50m，山坡对于地平面的坡度
为 ，则 cos 等于 ( )
A 3 B 2． ． C． 3 1 D． 2 1
2 2
18．（2024 齐齐哈尔期中）世界上最大的球形建筑是位于瑞典斯德哥尔摩的爱立信球形体育馆（瑞典语：
EricssonGlobe)，在世界上最大的瑞典太阳系模型中，由该体育馆代表太阳的位置，其外形像一个大高尔夫
球，可容纳 16000名观众观看表演和演唱会，或 14119名观众观看冰上曲棍球比赛．某数学兴趣小组为了
测得爱立信体育馆的直径，在体育馆外围测得 AB 40 6m，CD 80m， ACB 45 ， ABC ACD 60
（其中 A， B，C，D四点共面），据此可估计该体育馆的直径 AD大约为 ( )
（参考数据： 3 1.732， 7 2.646)
A．98m B．102m C．106m D．122m
19．（2024 驻马店月考）如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M ， N间架设一条索道．为测量M ，
N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度MC 100 3m,NB 50 2m，在 BC同一水平面
上选一点 A，测得M 点的仰角为 60 ，N点的人仰角为 30 ，以及 MAN 45 ，则M ，N间的距离为 ( )
A．100 2m B．120m C．100 3m D． 200m
20．（2024 泰州模拟）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了
数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点 A是球体建筑物与水平地面的接触
点（切点），地面上 B，C 两点与点 A在同一条直线上，且在点 A的同侧．若在 B，C处分别测得球体建
筑物的最大仰角为 60 和 20 ，且 BC 100m，则该球体建筑物的高度约为 ( )(cos10 0.985)
A．49.25 m B．50.76 m C．56.74 m D．58.60 m
21．（2024 湖南月考）在锐角 ABC 中，角 A， B，C 的对边分别为 a， b， c，若 a2 2S (b c)2 ，其
中 S为 ABC 的面积，则 sin B的取值范围为 ( )
A (0, 3． ) B 4 3 4． (0, ) C． ( ,1) D． ( ,1)
5 5 5 5
22．（2024 福建模拟）已知锐角 ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 a 3，b2 c2 bc 3，
则 ABC 面积的取值范围是 ( )
A ( 3 , 3 3． ] B ( 3 , 3 3． ) C 3． ( , 3 3 ) D ( 3． , 3 3]
2 4 2 4 4 4 4 4
23．（2024 云南月考）在锐角 ABC 中，角 A， B，C 的对边分别为 a， b， c， S为 ABC 的面积，且
2S a2 (b c)2 b，则 的取值范围为 ( )
c
A (1 ,2) B (2 , 3． ． ) C 3 5 3 4． ( , ) D． ( , )
2 3 2 5 3 4 3
24．（2024 珠海模拟）锐角 ABC 中，角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，若 2sin A(acosC ccos A) 3a ，
c
则 的取值范围是 ( )
b
A． (1 2) B ( 3 2 3， ． ， ) C． (1,2) D 3． ( ，1)
2 3 3 2
25．（2024 烟台期中）在锐角 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c．若 2ccosB sin(A C) a c，则
sin B
的取值范围为 ( )
A． (1, 3) B． (0,1) C． (0, 2) D． ( 2, 3)
26．（2024 湖北期中）已知锐角 ABC， AB 2 3，C ，则 AB边上的高的取值范围为 ( )
3
A． (0， 3] B． (0,3) C． (2， 3] D． (2,3)
27．（2019 上海）在 ABC中， AC 3， 3sin A 2sin B，且 cosC 1 ，则 AB ．
4
28．（2019 新课标Ⅱ） ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c．已知 bsin A a cosB 0，则 B ．
29．（2022 上海）已知在 ABC中， A ， AB 2， AC 3，则 ABC的外接圆半径为 ．
3
30．（2018 浙江）在 ABC中，角 A， B，C所对的边分别为 a，b， c．若 a 7 ，b 2， A 60 ，则
sin B ， c ．中小学教育资源及组卷应用平台
5.1 解三角形小题篇
考向1 公式问题
题型1 利用公式解三角形
一．基本定理公式
1．正弦定理和余弦定理：指的内角的对边，指的外接圆半径
定理 正弦定理 余弦定理
基本公式 ； ； ．
常见 推论 （1），，； （2），，； （3）； （4）． ； ； ．
注意：（1）涉及三角形两边以及对角的问题优先考虑正弦定理，其中包含①已知两边＋其中一边的对角类型；②已知两角+其中一角的对边类型．
（2）涉及三角形三边加一个内角的问题选择余弦定理，其中包含①已知三边求一内角的类型；②已知两边和一内角，求另一边的类型（若该内角为两边的夹角，直接使用公式求解；若内角不为夹角，则用公式建立方程求解．）
2．三角形的面积公式
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
【例1】（2017 新课标Ⅲ）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则　　．
【例2】（2023 乙卷）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则　　
A． B． C． D．
【例3】（2023 上海）已知中，角，，所对的边，，，则　　．
【例4】（2021 乙卷）记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则　　．
【例5】（2023 北京）在中，，则　　
A． B． C． D．
跟踪训练
【训练1】（2023 全国）在中，，，，则　　．
【训练2】（2017 新课标Ⅱ）的内角，，的对边分别为，，，若，则　　．
【训练3】（2019 新课标Ⅱ）的内角，，的对边分别为，，．若，，，则的面积为　　．
【训练4】（2018 新课标Ⅰ）的内角，，的对边分别为，，．已知，，则的面积为　 　．
【训练5】（2019 新课标Ⅰ）的内角，，的对边分别为，，．已知，，则　　
A．6 B．5 C．4 D．3
题型2 判断三角形解的个数
1．判断三角形解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
总结：
【例1】在中，若，，，则此三角形解的情况为　　
A．无解 B．两解
C．一解 D．解的个数不能确定
【例2】若中，，若该三角形有两个解，则范围是　　
A． B． C． D．
跟踪训练
【训练6】在中，，，，则的解的个数是　　
A．0个 B．2个 C．1个 D．1个或2个
【训练7】在中，角，， 所对的边分别为，，．若，，且该三角形有两解，则的范围是　　
A． B． C． D．
题型3 判断三角形的形状
1．判断三角形的形状
（1）余弦定理推形状：三角形三条边从小到大排列，即，
若，则是锐角三角形；
若，则是直角三角形；
若，则是钝角三角形；
2.三角恒等变换推形状：
①直角三角形判定：或或
证明：
②等腰三角形判定：或或
证明：
③等腰或直角三角形判定：
证明：
④等边三角形判定：成等差数列，成等比数列
证明：
【例1】（2012 上海）在中，若，则的形状是　　
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【例2】（2013 陕西）设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为　　
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【例3】在中，若，且，那么一定是　　
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
跟踪训练
【训练8】设的内角，，的对边分别为，，，若，且，则的形状为　　
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【训练9】中，角，，的对边分别为，，，且，为　　
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
【训练10】在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则的形状为　　
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【解题总结】
考向2 图形问题
二．图形应用模型
解三角形的图形应用部分包含嵌套三角形和实际应用部分的问题，解题过程中常涉及中线、角平分线以及求距离和角度的问题，我们用下面的模型帮助大家解决选择填空题.
1.嵌套三角形问题
（1）射影定理
在中，，，.
证明：
题型1 中线定理
中线定理
（1）如图，在中，为边上的中点，连接，则有：.
证明：
【例1】已知中，，，，则边上的中线长为　　
A． B．8 C．7 D．6
跟踪训练
【训练1】已知中，，，为边的中线，且，则边的长为　　
A．3 B． C． D．4
题型2 张角定理
1）张角定理
如图，在中，为边上的一点，连接，设，，，则一定有．
证明：
2）角平分线张角定理
根据张角定理：①当时，（角平分线张角定理）
②（角平分线面积问题）
证明：
【例1】（2013 福建）如图， 在中， 已知点在边上，，，，，则的长为　　 ．
【例2】在中，，，，的角平分线交于，则　　
A． B．2 C． D．
跟踪训练
【训练2】在中，角，，所对的边分别为，，，，交AC于点，且，则的最小值为 ．
【训练3】在中，，，，为上一点，为的角平分线，则　　．
题型3 斯库顿定理
如图，是的角平分线，则就其位置关系而言，可记忆：中方=上积一下积.
已知：在中，是的平分线，求证：
证明：
【例1】在中，为的角平分线，在线段上，若，，则　　
A． B． C．2 D．
跟踪训练
【训练4】在中，是的角平分线，且交于．已知，，，则　　．
【解题总结】
题型2 实际应用问题
2.实际应用问题
（1）距离问题
类型 图形 方法
两点间不可到达的距离 余弦定理
两点间可视不可到达的距离 正弦定理
两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理
1.两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解.
2.两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解.
（2）高度问题
类型 简图 计算方法
底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C.
底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值.
点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值.
1.仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角.
2.高度问题大多通过正(余)弦定理构造直角三角形来解决.
【例1】（2021 乙卷）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和都称为“表目距”， 与的差称为“表目距的差”，则海岛的高　　
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
【例2】（2021 甲卷）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影，，满足，．由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约为　　
A．346 B．373 C．446 D．473
跟踪训练
【训练5】如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，则山高　　
A． B．
C． D．
【训练6】《中国建筑史》（梁思成著）载：“大雄殿之左侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔．“该塔位于蓬溪县赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼阁式砖石塔，塔身白色，共十三层，自宋代始建以来至今已800余年，充分体现了中国传统建筑技术水平．某数学兴趣小组为了测得塔高，如图，在点测得塔底位于北偏东方向上的点处，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得塔底位于北偏西方向上，，在同一水平面），则塔的高度约为　　（参考数据：
A． B． C． D．
考向3 范围问题
解三角形的一类取值范围题型，我们分类为求单元素（边或角的取值范围）和比值类范围问题两种.一般采取正弦定理实现边角互换后消元保留成要求元素的函数关系式，角度和边长问题利用三角函数的有界性求值域.分式齐次化问题也是相同的处理.下面我们分析一下锐角三角形的角度范围的限定方式：
1.锐角三角形的角度限定
若锐角的定角，则；
（2）若锐角的定角，若，则；
（3）若锐角的定角，若，则，可推出的范围.
2.齐次式的处理
（1）锐角三角形中处理齐次式类型，可以先通过正弦定理进行边角互换，即（角为定值，和为常数），用角度的限定方法求出角的范围即可.
（2）锐角三角形中处理非齐次式类型，若知道三角形外接圆半径，根据正弦定理得到（角为定值，为常数），后续处理转化为齐次化.
题型1 单元素范围
【例1】已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若．则角的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例2】在锐角中，，，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例3】在锐角三角形中，，，则边上的高的取值范围是　　
A． B． C． D．
跟踪训练
【训练1】锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是
A． B． C． D．
【训练2】在锐角中，角，，的对边分别为，，，，，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【训练3】在锐角三角形中，，，则边上的高的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
题型2 比值类范围
【例1】在锐角中，若，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例2】在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为　　
A． B． C． D．，
【例3】已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，若且外接圆半径为2，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
跟踪训练
【训练4】在中，若，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【训练5】在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【训练6】锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解题总结】
拓展思维
拓展1 托勒密定理
圆内接四边形之托勒密定理
托勒密定理：在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．
如图上，设四边形内接于圆，则有，
【证明】
广义托勒密定理：在四边形中，有，当且仅当四边形ABCD四点共圆时，等号成立.
【证明】
【例1】克罗狄斯托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为　　
A． B． C． D．
【例2】克罗狄斯托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．根据以上材料，完成下题：如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则当线段的长取最大值时，　 　．
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5.1 解三角形小题篇练习
1．（2017 新课标Ⅰ）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则　　
A． B． C． D．
2．（2024 湖北期中）在中，，，，则此三角形　　
A．有两解 B．有一解
C．无解 D．解的个数不确定
3．（2024 开封月考）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，则此三角形　　
A．无解 B．有一解
C．有两解 D．解的个数不确定
4．（2024 重庆月考）在中，角，，所对的边分别为，，，且．若有两解，则的值可以是　　
A．4 B．6 C．8 D．10
5．（2024 西安月考）在中，已知，，若有两解，则　　
A． B． C． D．
6．（2024 广东月考）在中，若，则是　　
A．正三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．有一内角为的直角三角形
7．（2024 惠州月考）在中，已知，且，则该三角形的形状是　　
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
8．（2024 河北期中）在中，若，则的形状是　　
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
9．（2024 上海期中）在中，，则一定是　　
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
10．（2024 内蒙古月考）在中，已知，则的形状为　　
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
11．（2024 广西月考）如图，已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，若边上的中线，则的长为　　
A． B． C． D．
12．（2024 南阳月考）已知中，，，且的面积为，则的边上的中线长为　　
A． B． C． D．
13．（2024 杭州期中）在中，，是的角平分线，，，是的中点，则的长度为　　
A． B． C． D．
14．（2024 甘肃模拟）在中，角、、所对的边分别为、、，若，为的角平分线，且，，则的值为　　
A． B． C． D．
15．（2024 贵州期中）已知的边，的长分别为20，18，，则的角平分线的长为　　
A． B． C． D．
16．（2014 四川）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高度是，则河流的宽度等于　　
A． B． C． D．
17．（2024 浙江月考）如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为．若，山坡对于地平面的坡度为，则等于　　
A． B． C． D．
18．（2024 齐齐哈尔期中）世界上最大的球形建筑是位于瑞典斯德哥尔摩的爱立信球形体育馆（瑞典语：，在世界上最大的瑞典太阳系模型中，由该体育馆代表太阳的位置，其外形像一个大高尔夫球，可容纳16000名观众观看表演和演唱会，或14119名观众观看冰上曲棍球比赛．某数学兴趣小组为了测得爱立信体育馆的直径，在体育馆外围测得，，，（其中，，，四点共面），据此可估计该体育馆的直径大约为　　
（参考数据：，
A． B． C． D．
19．（2024 驻马店月考）如图，某景区为方便游客，计划在两个山头，间架设一条索道．为测量，间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度，在同一水平面上选一点，测得点的仰角为，点的人仰角为，以及，则，间的距离为　　
A． B． C． D．
20．（2024 泰州模拟）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧．若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为　　
A．49.25 B．50.76 C．56.74 D．58.60
21．（2024 湖南月考）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，其中为的面积，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
22．（2024 福建模拟）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，，则面积的取值范围是　　
A． B． C． D．
23．（2024 云南月考）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
24．（2024 珠海模拟）锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，则的取值范围是　　
A．， B．， C． D．，
25．（2024 烟台期中）在锐角中，角，，所对的边分别为，，．若，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
26．（2024 湖北期中）已知锐角，，，则边上的高的取值范围为　　
A．， B． C．， D．
27．（2019 上海）在中，，，且，则　 　．
28．（2019 新课标Ⅱ）的内角，，的对边分别为，，．已知，则　　．
29．（2022 上海）已知在中，，，，则的外接圆半径为 　　．
30．（2018 浙江）在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则　　，　　．
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