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6.1 线性运算
考向 1 线性运算与共线定理
题型 1 加减法运算
一．向量的基本概念
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．

（2）向量的模：向量 AB的大小，也就是向量 AB的长度，记作 | AB |．
（3）特殊向量：
①零向量：长度为 0的向量，其方向是任意的．
②单位向量：长度等于 1个单位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0 与任一向量平行．
④相等向量：长度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．
二．向量的线性运算
（1）向量的线性运算
运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
求两个向量和的 ①交换律 a b b a
加法
运算 ②结合律 (a b) c = a (b c)
三角形法则 平行四边形法则
求 a 与 b 的相反
向量 b 的和的运
减法 a b a ( b)
算，叫做 a 与 b 的
差 三角形法则
（1） | a | | || a | ， R
求实数 与向量 （2）当 0时， a 与 a 的方向相同； ( a) ( )a
数乘
a 的积的运算 当 0 时， a 与 a 的方向相反；当 ( )a a a

0时， a 0 (a b) a b
【提示】
1．向量表达式中的零向量写成 0，而不能写成 0．
2．两个向量共线要区别于两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，
而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．
3．要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，
和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，
否则就要把向量进行平移，使之符合条件．

4．向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活，如：OA OB BA， AM AN NM ，

OA OB+CA OA OB CA BA CA 0 BA AC 0 BC 0
三．常用结论
（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边
形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．

即 A1A2 A2A3 An 1An A1An ．
（2） || a | | b || | a b | | a | | b |，当且仅当 a，b 至少有一个为 0时，向量不等式的等号成立．
（3）特别地： || a | | b || | a b |或 | a b | | a | | b |当且仅当 a，b 至少有一个为 0 时或者两向量共线时，向
量不等式的等号成立．

（4）减法公式： AB AC CB，常用于向量式的化简．

（5） A、 P、 B三点共线，则OP (1 )OA OB ( R)，这是直线的向量式方程．

【例 1】（2014 新课标Ⅰ）设D，E，F 分别为 ABC的三边 BC，CA，AB的中点，则 EB FC ( )
1 A． AD B． AD C． BC D 1． BC
2 2
【例 2】（多选）下列各式中结果为零向量的为 ( )

A．OA OC BO CO B． AB MB BO OM

C． AB (AC BD) CD D． AB BC CA
跟踪训练

【训练 1】设M 是平行四边形 ABCD的对角线的交点，则 2MA 3MB 3MC 2MD ( )

A． AB B． BC C．CD D．5AB

【训练 2】（多选）化简下列各式，结果为 0的是 ( )

A．OA OD AD B． NQ QP MN MP

B．C． AB BC CA D． AB AC DB CD
题型 2 三点共线
四．向量的共线定理

（1）如果 a b 且 b 0，则 a∥ b ；反之 a∥ b 且 b 0，则一定存在唯一一个实数 ，使 a b ．

推论：三点 A， B，C共线 AB， AC共线（功能：证明三点共线）；

【例 1】（2015 新课标Ⅱ）设向量 a， b不平行，向量 a b 与 a 2b平行，则实数 ．

【例 2】已知 a，b是平面内两个不共线向量，AB ma 2b，BC 3a b，A，B，C三点共线，则m ( )
A 2 B 2． ． C． 6 D．6
3 3
跟踪训练

【训练 3】设向量 a，b不平行，向量 a 2b与 a 3b平行，则实数 ( )
A 2 2 3 3． B． C． D．
3 3 2 2

【训练 4】已知 e1 ， e2 是两个不共线的向量， AB e1 2e2 ， BC 2e1 ke2 ，若 A， B，C三点共线，则
实数 k的值为 ( )
A． 4 B． 1 C．1 D．4
题型 3 交叉分解定理
五．交叉分解定理

（1）如果平面上O， A， B三点不共线，D在直线 AB上，且 AD AB ,令OA a，OB b，OD x，

则有 x b (1 )a
其表达意思就是从一个顶点O引出三个向量，且它们共线，每一个向量 a，b分别乘以它对面的比值，简称
对面的女孩看过来．
1
特殊点：当 D 为 AB 中点时， ， x 1b 1
2 2 2
a（中线定理）

2 DB AD 1

（ ）若 ，则OD OA OB．
1 1

【例 1】（2022 新高考Ⅰ）在 ABC 中，点 D在边 AB上，BD 2DA ．记CA m，CD n，则CB ( )
A 3m 2n B 2m 3n C 3m 2n D 2m 3n ． ． ． ．
3 2
【例 2】在 ABC中， AD DC， P是直线 BD上的一点，若 AP t AB AC 则实数 t的值为 ( )
2 5
A 1 B 1 C 2． ． ． D 2．
3 3 3 3
【例 3】在 ABC 中， D是 BC边的中点， E 是 AC 边上一点且满足 AE 2EC， AD与 BE 交于 F ，若

AF AD,BF BE，则 的值是 ( )
A 1 B 7 C 7 D 3． ． ． ．
6 5 2
跟踪训练

【训练 5】设D为 ABC 所在平面内一点， BC 2CD，则 ( )
1 4 1 A． AD AB AC B． AD AB 3 AC
3 3 2 2
3 1 3 1 C． AD AB AC D． AD AB AC
2 2 2 2
1
【训练 6】在 ABC中，D为 AC上一点且满足 AD DC，若 P为 BD的中点，且满足 AP AB AC ，
2
则 的值是 ( )
A 1 1 3 2． B． C． D．
6 2 4 3

【训练 7】如图， ABC 中，点M 是 BC的中点，点 N满足 AN 2NB，AM 与CN 交于

点D， AD AM ，则 ( )
A 2． B 3 4． C． D 5．
3 4 5 6
【解题总结】
拓展思维
拓展 1 等和线定理
如图设 e1， e2是平面内两个不共线向量，若OP = xe1 ye2，且 x y 1，OQ x'e1 y'e2 且 x' y' k ，则

OQ
有 k .
OP
证明：
同理，我们来分析等差线：
如图设 AB e1， AC e2 是平面内两个不共线向量，若 AP = xe1 ye2，反向延长 AC到 E ,使 AE AC ，

AQ
当 P位于直线 BE 上时，一定有 x y 1，若 AQ x'e1 y'e2 且 x' y' k ，则有 k .特殊的，当 Q 位于
AP
直线 CF 上时，有 x y 1，当 Q 位于直线 AD 上时，有 x y 0，

【例 1】如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为 30°，

且 OA OB 1， OC 2 3 ．若OC mOA nOB(m，n R) ，则m n的值为 ．

【例 2】给定两个长度为 1的平面向量OA和OB，它们的夹角为 90 ，点C在以O为圆心的圆弧 AB上运动，

若OC xOA yOB，其中 x， y R，则 3x 5y的最大值为（ ）
A． 34 B．5 C． 37 D．6
拓展 2 等商线定理
OD OE OP PE BC
如图所示，令 k，若OP OA OB，根据等和线定理可得 ，所以直线
OA OB OC PD CA
OC 就是一条等商线，特别的，当 M为 AB 中点时，OM 为等商 1线.

【例 1】在 ABC 中，点 D 满足 4BD 3BC ，当点 E 在线段 AD （不含端点 A ， D) 上移动时，若

AE AB AC ，则 ．


【例 2】在矩形 ABCD中，AB 1，AD 2，动点 P在以点C为圆心且与 BD相切的圆上，若 AP mAB nAD ，
则m n的最大值为（ ）
A． 3 B． 2 2 C． 5 D． 26.1 线性运算课后练习

1．（2024 广东期中）化简OP PS SQ的结果等于 ( )

A．QP B．OQ C． SP D． SQ

2．（2024 重庆期中）已知 AD为 ABC的中线，则 AD ( )
1 1 A． AB AC B． AB AC C． AB AC D 1 AB 1． AC
2 2 2 2

3．（2024 新疆月考） AB BC等于 ( )

A． AC B．CA C． BA D．CB

4．（2024 四川期中） PA BC BA ( )

A． PB B．CP C． AC D． PC

5．（2024 承德月考）设O为平行四边形 ABCD的对角线的交点，则OA OB 2OC ( )

A． AC B． BD C． AD D． AB

6．（2024 驻马店月考）已知矩形 ABCD的对角线相交于点O，则 AO BC ( )

A． AB B． AC C．OC D．OB

7 1．（2024 北京模拟）在平行四边形 ABCD中， AC AB ( )
2

A 1 1． BD B．DB C． BD D． NN
2 2

8．（2024 深圳期中）如图，在正六边形 ABCDEF 中， AF ED EF 2AB ( )

A． 0 B． AB C． AD D．CF

9．（2024 湖南期中）在平行四边形 ABCD中， AC BC ( )

A．DA B． BD C． BA D．DC

10．（2024 10(a 西安期中） b) (a b) ( )
A．9a 9b B．9a 11b C．11a 9b D．11a 11b

11．（2024 内蒙古月考）如图，在平行四边形 ABCD中， AC AB ( )

A．CB B． AD C． BD D．CD

12．（2024 山东月考）在平行四边形 ABCD中， AB AD等于 ( )

A． AC B．DB C．CA D． BD

13．（2024 1 成都月考）如图，在平行四边形 ABCD中， BD AD ( )
2
1 1 A．CA B． AC C． AC D． CA
2 2

14．（2011 四川）如图，正六边形 ABCDEF 中， BA CD EF ( )

A． 0 B． BE C． AD D．CF

15．（2024 广西月考）化简：（1）AB BC CA，（2）AB AC BD CD，（3）FQ QP EF EM ，（4）

OA OB AB，结果为零向量的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4

16．（2024 深圳月考）若 A， B，C 是三个互不相同的点，则“ AB AC( 0)”是“ A， B，C 三点
共线”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
17．（2024 东莞期中）已知MN a 5b， NP 2(a 4b )， PQ 3(a b )，则 ( )
A．M ， N， P三点共线 B．M ， N，Q三点共线
C．M ， P，Q三点共线 D． N， P，Q三点共线

18．（2024 上海月考）AB e1 e2 ，BC 3e1 2e2 ，CD ke1 2e2 ，且 A、C、D三点共线，则 k ( )
A．8 B．4 C．2 D．1

19．（2024 重庆期中）在 ABC中，D为 AB的中点，G为线段CD上一点，若 AG 1 AB AC，则 的
3
值为 ( )
A 1 B 1． ． C 2 5． D．
6 3 3 6

20．（2024 南京模拟）如图，在 ABC 中，点 D是线段 BC上的动点（端点除外），且 AD xAB yAC ，
9 1
则 的最小值为 ( )
x y
A．16 B．17 C．18 D．19
21．（2024 日照期中）在 ABC 中，点 M 是边 AC 上靠近点 A的三等分点，点 N 是 BC 的中点，若

MN xAB yAC，则 x y ( )
A．1 B 2 2． C． D． 1
3 3

22．（2024 2 1 山东期中）如图，在 ABC 中， AD AC， BP BD，若 AP AB AC ，则 的值
3 3
为 ( )
A 4． B 8 C 2． ． D 4．
9 9 3 3

23．（2024 内蒙古期中）已知向量 a b ， 不共线，且向量 a b 与 a (2 1)b的方向相反，则实数 的值
为 ( )
A．1 B 1． C 1 1． 或 D 1． 1或
2 2 2

24．（2024 开封模拟）在 ABC 中， D为 AC的中点，CE 2EB，则DE ( )

A 1． AB 1 1 1 1 2 2 1 AC B． AB AC C． AB AC D． AB AC
2 3 3 2 6 3 3 6

25．（2024 多选 韶关模拟）已知 a ， b为非零向量，则下列命题中正确的有 ( )

A．若 || a | | b || | a b | a ，则 与 b方向相同
B．若 | a | | b | | a b | ，则 a与 b方向相反

C | a |

．若 | b | | a b |，则 a 与 b有相等的模
D || a

| | b || | a b | a

．若 ，则 与 b方向相同

26．（2024 多选 贵州月考）关于向量 a,b下列命题中不正确的是 ( )

A．若 | a | | b | ，则 a b B ．若 a b，则 a / /b
C．若 | a | | b |，则 a b D．若 a / /b ， b / /c ，则 a / /c

27．（2024 多选 湖北月考）下列四式可以化简为 PQ的是 ( )

A． AB (PA BQ) B． (AB PC) (BA QC)

C．QC CQ QP D． PA AB BQ

28．（2024 多选 浙江期中）设两个非零向量 e1 与 e2 不共线，如果 ke1 9e2 和 e1 ke2 共线，那么 k的可能
取值是 ( )
A．1 B． 1 C．3 D． 3
2 1 29．（2024 云南月考）在 ABC 中， AE AB， AF AC， D是 BC的中点， AD和 EF 相交于点O，
3 3

若 AO xAB yAC ，则 x y ．

30．（2024 成都模拟）已知 S是 ABC 所在平面外一点， D是 SC 的中点，若 BD xAB yAC zAS ，则
x y z ．中小学教育资源及组卷应用平台
6.1 线性运算
考向1 线性运算与共线定理
题型1 加减法运算
一．向量的基本概念
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．
（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　 　　　
（3）特殊向量：
①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
②单位向量：长度等于1个单位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．
④相等向量：长度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．
二．向量的线性运算
（1）向量的线性运算
运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ①交换律 ②结合律
减法 求与的相反向量的和的运算，叫做与的差 三角形法则
数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相反；当时，
【提示】
1．向量表达式中的零向量写成0，而不能写成0．
2．两个向量共线要区别于两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．
3．要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．
4．向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活，如：，，
三．常用结论
（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．
即．
（2），当且仅当至少有一个为0时，向量不等式的等号成立．
（3）特别地：或当且仅当至少有一个为0时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．
（4）减法公式：，常用于向量式的化简．
（5）、、三点共线，则，这是直线的向量式方程．
【例1】（2014 新课标Ⅰ）设，，分别为的三边，，的中点，则　　
A． B． C． D．
【例2】（多选）下列各式中结果为零向量的为　　
A． B．
C． D．
跟踪训练
【训练1】设是平行四边形的对角线的交点，则　　
A． B． C． D．
【训练2】（多选）化简下列各式，结果为的是　　
B．
C． D．
题型2 三点共线
四．向量的共线定理
（1）如果且，则；反之且，则一定存在唯一一个实数，使．
推论：三点，，共线，共线（功能：证明三点共线）；
【例1】（2015 新课标Ⅱ）设向量，不平行，向量与平行，则实数　　．
【例2】已知，是平面内两个不共线向量，，，，，三点共线，则
A． B． C． D．6
跟踪训练
【训练3】设向量，不平行，向量与平行，则实数　　
A． B． C． D．
【训练4】已知，是两个不共线的向量，，，若，，三点共线，则实数的值为　　
A． B． C．1 D．4
题型3 交叉分解定理
五．交叉分解定理
（1）如果平面上，，三点不共线，在直线上，且,令，，，则有
其表达意思就是从一个顶点引出三个向量，且它们共线，每一个向量，分别乘以它对面的比值，简称对面的女孩看过来．
特殊点：当D为AB中点时，，（中线定理）
（2）若，则．
【例1】（2022 新高考Ⅰ）在中，点在边上，．记，，则　　
A． B． C． D．
【例2】在中，，是直线上的一点，若则实数的值为　　
A． B． C． D．
【例3】在中，是边的中点，是边上一点且满足，与交于，若，则的值是　　
A．1 B． C． D．
跟踪训练
【训练5】设为所在平面内一点，，则　　
A． B．
C． D．
【训练6】在中，为上一点且满足，若为的中点，且满足，则的值是　　
A． B． C． D．
【训练7】如图，中，点是的中点，点满足，与交于点，，则　　
A． B． C． D．
【解题总结】
拓展思维
拓展1 等和线定理
如图设，是平面内两个不共线向量，若=，且，且，则有.
证明：
同理，我们来分析等差线：
如图设，是平面内两个不共线向量，若=，反向延长到,使，当P位于直线BE上时，一定有，若且，则有.特殊的，当Q位于直线CF上时，有，当Q位于直线AD上时，有，
【例1】如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为，与的夹角为，且，．若，则的值为　　　　　．
【例2】给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，，则的最大值为（ ）
A． B．5 C． D．6
拓展2 等商线定理
如图所示，令，若，根据等和线定理可得，所以直线OC就是一条等商线，特别的，当M为AB中点时，OM为等商1线.
【例1】在中，点满足，当点在线段（不含端点，上移动时，若，则　　．
【例2】在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
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6.1 线性运算课后练习
1．（2024 广东期中）化简的结果等于　　
A． B． C． D．
2．（2024 重庆期中）已知为的中线，则　　
A． B． C． D．
3．（2024 新疆月考）等于　　
A． B． C． D．
4．（2024 四川期中）　　
A． B． C． D．
5．（2024 承德月考）设为平行四边形的对角线的交点，则　　
A． B． C． D．
6．（2024 驻马店月考）已知矩形的对角线相交于点，则　　
A． B． C． D．
7．（2024 北京模拟）在平行四边形中，　　
A． B． C． D．
8．（2024 深圳期中）如图，在正六边形中，　　
A． B． C． D．
9．（2024 湖南期中）在平行四边形中，　　
A． B． C． D．
10．（2024 西安期中）　　
A． B． C． D．
11．（2024 内蒙古月考）如图，在平行四边形中，　　
A． B． C． D．
12．（2024 山东月考）在平行四边形中，等于　　
A． B． C． D．
13．（2024 成都月考）如图，在平行四边形中，　　
A． B． C． D．
14．（2011 四川）如图，正六边形中，　　
A． B． C． D．
15．（2024 广西月考）化简：（1），（2），（3），（4），结果为零向量的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
16．（2024 深圳月考）若，，是三个互不相同的点，则“”是“，，三点共线”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
17．（2024 东莞期中）已知，，，则　　
A．，，三点共线 B．，，三点共线
C．，，三点共线 D．，，三点共线
18．（2024 上海月考），，，且、、三点共线，则　　
A．8 B．4 C．2 D．1
19．（2024 重庆期中）在中，为的中点，为线段上一点，若，则的值为　　
A． B． C． D．
20．（2024 南京模拟）如图，在中，点是线段上的动点（端点除外），且，则的最小值为　　
A．16 B．17 C．18 D．19
21．（2024 日照期中）在中，点是边上靠近点的三等分点，点是的中点，若，则　　
A．1 B． C． D．
22．（2024 山东期中）如图，在中，，，若，则的值为　　
A． B． C． D．
23．（2024 内蒙古期中）已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为　　
A．1 B． C．1或 D．或
24．（2024 开封模拟）在中，为的中点，，则　　
A． B． C． D．
25．（2024 多选 韶关模拟）已知，为非零向量，则下列命题中正确的有　　
A．若，则与方向相同
B．若，则与方向相反
C．若，则与有相等的模
D．若，则与方向相同
26．（2024 多选 贵州月考）关于向量下列命题中不正确的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
27．（2024 多选 湖北月考）下列四式可以化简为的是　　
A． B．
C． D．
28．（2024 多选 浙江期中）设两个非零向量与不共线，如果和共线，那么的可能取值是　　
A．1 B． C．3 D．
29．（2024 云南月考）在中，，，是的中点，和相交于点，若，则　　．
30．（2024 成都模拟）已知是所在平面外一点，是的中点，若，则　　．
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