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6.2 数量积
考向1 利用内积公式求解问题
题型1 求模长、夹角和内积
1．基底的定义
如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，，使得．我们把不共线的向量、叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的直角坐标运算
特殊基底的应用:非0基底向量垂直时，可利用平面直角坐标系坐标化解题，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴正方向相同的两个单位向量，作为基底，对平面内任一向量，有且仅有一个实数对，使得，则实数对叫做向量的坐标，记作，其中，分别叫做在轴、轴上的坐标，相等向量的坐标相同，坐标相同的向量是相等向量．
①已知点，，则，
②已知，，则，，
3．数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
①；
②；
③．
4．数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积
夹角
的充要条件
的充要条件
与的关系 (当且仅当时等号成立)
【例1】（2023 北京）已知向量，满足，，则　　
A． B． C．0 D．1
【例2】（2020 新课标Ⅲ）已知向量，满足，，，则，　　
A． B． C． D．
【例3】（2022 乙卷）已知向量，满足，，，则　　
A． B． C．1 D．2
【例4】（2023 上海）已知向量，，则　 　．
跟踪训练
【训练1】（2022 乙卷）已知向量，，则　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【训练2】（2019 新课标Ⅲ）已知向量，，则，　 　．
【训练3】（2018 新课标Ⅱ）已知向量，满足，，则　　
A．4 B．3 C．2 D．0
【训练4】已知向量，，则　　
A． B． C．3 D．5
【解题总结】
题型2 利用投影法求范围
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0． 　　　　　　　　　　　　　　　
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
【例1】（2020 山东）已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例2】如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点）则的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
跟踪训练
【训练5】已知是腰长为2的等腰直角斜边上的动点，则的取值范围是　　
A． B． C．， D．，
【训练6】已知在直角三角形中，，以斜边的中点为圆心，为直径，在点的另一侧作半圆弧，为半圆弧上的动点，则的取值范围为　　
A． B．， C． D．
考向2 利用坐标转换求解问题
题型1 利用向量平行垂直关系求解
①已知点，，则，
②已知，，则，，
，． ，
【例1】（2018 新课标Ⅲ）已知向量，，．若，则　　．
【例2】已知向量，满足，，且，则与的夹角的余弦值为　　
A． B． C． D．
跟踪训练
【训练1】已知向量，，若，则　　
A． B．3 C． D．2
【训练2】已知，且，则　　
A． B． C． D．
【解题总结】
题型2 特殊几何图形与建系法求解
1．常见特殊几何图形的建系处理
边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形
平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆
对于向量中的特殊几何图形的数量积问题，我们可以参考以上图形的建系方法来转换成坐标运算降低思维难度，注意向量的代数问题也可以设坐标来表示，从而转化为函数或者不等式去求取值范围.
【例1】（2022 北京）在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【例2】如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为4，设、分别为线段、上的动点，且，，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例3】已知点，点，点都在单位圆上，且，则的取值范围是　　
A． B．， C．， D．，
跟踪训练
【训练3】在正方形中，已知，点在射线上运动，则的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
【训练4】若是边长为1的等边三角形，是边的中点，是边的中点，为线段上任意一点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【训练5】在矩形中，，．若，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【解题总结】
题型3 极化恒等式
2．极化恒等式
在中，若AM是的BC边中线，有以下两个重要的向量关系：
定理1 平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍.以此类推到三角形，若AM是的中线，则.
定理2 在中，若M是BC的中点，则有
向量数量积问题中，夹角未知，向量动点变化，极化恒等式具有重要的作用.
【例1】在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例2】窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是　　
A．， B．， C． D．
跟踪训练
【训练6】若正的边长为4，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是　　
A．， B． C． D．
【训练7】已知图中正六边形的边长为6，圆的圆心为正六边形的中心，直径为4，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【解题总结】
考向3 奔驰定理与向量四心
题型1 奔驰定理
1．奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点.
已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为.
注意：（1）在中，若为重心，则．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示：．
奔驰定理：，则、、的面积之比等于
奔驰定理证明：
奔驰定理最直观的体现就是以中心为起点引出的三个向量，每个向量与其对面的三角形面积构成的向量数乘之和为0.
【例1】已知点O为内一点，且，则、、的面积之比等于（ ）
A．9∶4∶1 B．1∶4∶9 C．3∶2∶1 D．1∶2∶3
跟踪训练
【训练1】已知为正内的一点，且满足，若的
面积与的面积的比值为3，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
题型2 外心向量定理
外心：三条边垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等，即；
，；；
，，；
，，
证明：
推论：
【例2】在中，，，是的外心，则的值为　　
A．8 B．6 C．4 D．3
跟踪训练
【训练2】在中，，为的外心，则　　
A． B． C． D．
题型3 垂心定理
若AD为三角形ABC底边BC上的高，P为高AD上任意一点，则一定有
证明：
垂心定理：三角形三边上的高相交于一点（如图右），故点O是的垂心，
则一定有．
，即，以此类推即可证明．
垂心的向量乘积定理：
如下图，若O是的垂心，G是边BC所在直线上的一点，则
证明：
推论：
【例3】在中，，为边上一点（不含端点），，则　　
A．1 B． C． D．2
跟踪训练
【训练3】若是的垂心，且，则的值为 　 　．
题型4 角平分线向量定理
若，，则平分线上的向量为 ，由决定
角平分线定理证明：和分别为和方向上的单位向量，是以和为一组邻边的平行四边形过点的的一条对角线，而此平行四边形为菱形，故在平分线上，但平分线上的向量终点的位置由决定.当时，四边形构成以的菱形．
内心定理
（1）角平分线的交点，到三条边的距离相等；
（2） ；
证明：
推论：
【例4】（多选）如图．为内任意一点，角，，的对边分别为，，，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理．则以下命题是真命题的有　　
A．若是的重心，则有
B．若成立，则是的内心
C．若，则
D．若是的外心，，，则
跟踪训练
【训练4】（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，为平面内一点，下列说法正确的有　　
A．若为的外心，且，则
B．若为的内心，，则
C．若为的重心，，则角
D．若为的外心，且到，，三边距离分别为，，，则
【训练5】（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且．设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有　　
A．若，则
B．若，，，则
C．若为的内心，，则
D．若为的垂心，，则
题型2 向量四心的轨迹问题
【例1】已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，，则点的轨迹一定通过三角形的　 　心．
【例2】已知是三角形所在平面内一定点，动点满足
，，则动点的轨迹一定通过的　 　心．
【例3】已知是三角形所在平面内一定点，动点满足
，，，则动点的轨迹一定通过的　 　心．
【例4】已知是锐角所在平面内的一定点，动点满足：
，，则动点的轨迹一定通过的　 　心．
【例5】（多选）在中，，，为内的一点，
设，则下列说法正确的是　　
A．若为的重心，则 B．若为的内心，则
C．若为的外心，则 D．若为的垂心，则
跟踪训练
【训练6】若是平面上的定点，、、是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹一定过的　　
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【训练7】、、是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定经过的　　
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【训练8】设为所在平面上一点，动点满足，其中，，为的三个内角，则点的轨迹一定通过的　　
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【训练9】（多选）下列说法正确的是　　
A．向量，能作为平面内所有向量的一组基底
B．已知中，点为边的中点，则必有
C．若，则是的垂心
D．若是的重心，则点满足条件
【训练10】（多选）在所在的平面上存在一点，，则下列说法错误的是
A．若，则点的轨迹不可能经过的外心
B．若，则点的轨迹不可能经过的垂心
C．若，则点的轨迹可能经过的重心
D．若，则点的轨迹可能经过的内心
【解题总结】
拓展思维
拓展1 矩形大法
如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：① ；②
证明：
【例1】（2013 重庆卷）在平面内，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B. C. D.
【例2】（2012 江西卷）在中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于（ ）
A．2 B．4 C． 5 D． 10
拓展2 隐圆问题
极化恒等式向量乘积型：
平面内，若为定点，且,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆．
证明：
【例1】（2017 江苏）在平面直角坐标系中，，，点在圆O：上，若，则的横坐标范围是 ．
与向量模和向量数量积构成隐圆
【例2】已知平面向量，，满足对任意都有，成立，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2008 浙江卷）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【例4】（2018 浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是　　
A． B． C．2 D．
拓展3 向量新定义问题
【例1】我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“@未来坐标系”如图所示，，两分别为，正方向上的单位向量若向量，则把实数对叫做向量的“@未来坐标”，记，已知分别为向量的@未来坐标．

(1)证明：
(2)若向量的“@未来坐标”分别为，已知，，求函数的最值．
【例2】个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个维向量，若，，称为维信号向量.设，，则和的内积定义为，且.
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量；
(3)已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：.
【例3】三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：．若，则称为空间向量与的叉乘，其中（），（），为单位正交基底．以O为坐标原点、分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知A，B是空间直角坐标系中异于O的不同两点．
(1)①若，，求；
②证明：．
(2)记的面积为，证明：．
(3)证明：的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的6倍．
【例4】对于三维向量，定义“变换”：，其中，．记，．
(1)若，求及；
(2)证明：对于任意，经过若干次变换后，必存在，使；
(3)已知，将再经过次变换后，最小，求的最小值．
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6.2 数量积课后练习
1．（2019 新课标Ⅱ）已知向量，，则　　
A． B．2 C． D．50
2．（2024 邯郸月考）已知向量的夹角为，且，，则　　
A． B． C． D．1
3．（2024 浙江月考）已知，，则的最小值为　　
A． B． C． D．1
4．（2024 安徽月考）已知向量满足，且，则的值为　　
A．2 B． C．1 D．
5．（2024 湖北期中）向量，，则　　
A． B．14 C． D．
6．（2024 福建期中）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为　　
A． B． C． D．
7．（2024 四川期中）已知单位向量，满足，若向量，则　　
A． B． C． D．
8．（2024 长春月考）已知单位向量，的夹角为，则　　
A．1 B． C． D．3
9．（2024 湖北模拟）已知平面向量，，满足，，，，则　　
A． B． C． D．
10．（2024 青岛期中）在中，，，，为边上的动点，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．
11．（2024 湖南模拟）已知在中，，以斜边的中点为圆心，为直径，在点的另一侧作半圆弧，点在圆弧上运动，则的取值范围为　　
A． B．， C．， D．
12．（2024 甘肃模拟）如图所示，边长为2的正，以的中点为圆心，为直径在点的另一侧作半圆弧，点在圆弧上运动，则的取值范围为　　
A． B．， C．， D．
13．（2024 广西月考）已知向量，，若，则　　
A．2 B． C． D．
14．（2024 宁夏期中）已知向量，，若，则　　
A．3 B． C． D．
15．（2024 河南模拟）剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为2，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
16．（2024 内蒙古模拟）如图为等腰三角形，，，以为圆心，1为半径的圆分别交，与点，，点是劣弧上的一点，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
17．（2024 江苏月考）在中，，，，为的中点，点在斜边的中线上，则的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
18．（2024 重庆月考）如图，已知正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是　　
A． B． C．， D．，
19．（2024 浙江月考）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾．如图，是圆的一条直径，且，，是圆上任意两点，，点在线段上，则的取值范围是　　
A． B． C． D．，
20．（2024 河北月考）已知、、是平面上不共线的三点，是的重心，点满足，则与面积比为　　
A． B． C． D．
21．（2024 赣州期中）奔驰定理：已知点是内的一点，若，，的面积分别记为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知是的垂心，且，则　　
A． B． C． D．
22．（2024 江苏月考）在中，为垂心，，则　　
A． B． C． D．
23．（2024 开封月考）已知点是所在平面内的一个动点，满足，则射线经过的　　
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
24．（2024 江苏月考）动点满足，动点一定会过的　　
A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心
25．（2024 新疆月考）已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点的轨迹一定通过三角形的　　
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
26．（2024 泉州月考）已知为的外心，，，，则的面积为
A．12 B． C．6 D．
27．（2021 多选 新高考Ⅰ）已知为坐标原点，点，，，，，则　　
A． B．
C． D．
28．（2024 多选 重庆月考）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是　　
A．若，则点在线段上
B．若，则点是三角形的重心
C．若，则点的轨迹必过的内心
D．若，且，则的面积是面积的
29．（2024 多选 孝感期中）点是所在平面内的一点，下列说法正确的有　　
A．若则为的重心
B．若，则点为的垂心
C．在中，向量与满足，且，则为等边三角形
D．若，，分别表示，的面积，则
30．（2024 多选 吉林月考）生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．”这就是著名的欧拉线定理．在中，，，分别是外心、垂心和重心，为边的中点，下列四个选项中正确的是　　
A． B．
C． D．
31．（2024 多选 江苏月考）在中，角，，所对的边分别为，，，为平面内一点，下列说法正确的有　　
A．若为的外心，且，则
B．若为的内心，，则
C．若为的重心，，则角
D．若为的外心，且到，，三边距离分别为，，，则
32．（2024 多选 广东期中）在中，，，为内的一点，设，则下列说法正确的是　　
A．若为的重心，则
B．若为的内心，则
C．若为的外心，则
D．若为的垂心，则
33．（2022 甲卷）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则　　．
34．（2021 甲卷）若向量，满足，，，则　　．
35．（2020 上海）三角形中，是中点，，，，则　　．
36．（2019 新课标Ⅲ）已知，为单位向量，且，若，则，　　．
37．（2024 威海模拟）已知向量，，，若，则　　．
38．（2016 新课标Ⅱ）已知向量，，且，则　　．
39．（2024 广东期中）已知向量，，，，则　　．
40．（2024 北京月考）已知向量，若，则　　．
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1

．（2019 新课标Ⅱ）已知向量 a (2,3)， b (3,2)，则 | a b | ( )
A． 2 B．2 C．5 2 D．50

2 2024 a ．（ 邯郸月考）已知向量 ,b 的夹角为 ，且 | a | 2， | b | 1 a ，则 (b a ) ( )
6
A． 3 4 B．3 3 4 C． 2 D．1

3．（2024 浙江月考）已知 | a b | 3， | a | 2 | b | cos a ,a ，则 b 的最小值为 ( )
A 1 B 2 C 3． ． ． D．1
2 2 2
4．（2024 安徽月考）已知向量 a,b满足 | a b | | a |，且 | b | 2，则 a b的值为 ( )
A．2 B． 2 C．1 D． 1
5．（2024 湖北期中）向量 a (2,4)， b (5,3) a ，则 (a b) ( )
A． 10 B．14 C． ( 6,4) D． 2
6．（2024 福建期中）已知非零向量 a， b满足 | b | 2 3 | a |，且 a (3a b)，则 a 与 b的夹角为 ( )
A B ． ． C D 2 ． ．
6 4 3 3

7．（2024 四川期中）已知单位向量 a， b满足 a b 0，若向量 c a 3b，则 cos b,c ( )
A 3 B 1 C 3． ． ． D 1．
2 2 4 4
8 2024 a

b 60

．（ 长春月考）已知单位向量 ， 的夹角为 ，则 | 2a b | ( )
A．1 B． 3 C． 5 D．3

9．（2024 湖北模拟）已知平面向量 a，b，c 满足 a (2,1)，b (1,2) ，a c ，b c 3 2，则 | c | ( )
A． 10 B． 2 5 C．5 2 D．3 5

10．（2024 青岛期中）在 ABC 中， AB 2 3， BC 4， B 30 ， P为边 AC 上的动点，则 BC BP的取
值范围是 ( )
A． [0，12] B．[12，16] C． [4，12] D．[4 13,16]
11．（2024 湖南模拟）已知在Rt ABC中，CA CB 2，以斜边 AB的中点O为圆心， AB为直径，在点C

的另一侧作半圆弧 AB，点M 在圆弧上运动，则CA CM 的取值范围为 ( )
A．[0,2 2 2] B． [0， 4] C． [0， 6] D．[2 2 2,4]
12．（2024 甘肃模拟）如图所示，边长为 2的正 ABC，以 BC的中点O为圆心， BC为直径在点 A的另一
侧作半圆弧 BC，点 P在圆弧上运动，则 AB AP的取值范围为 ( )
A．[2,2 3] B． [2， 4] C． [2， 5] D．[4,3 3]

13．（2024 广西月考）已知向量 a ( 1,1)， b (2, x) ，若 a b，则 | a b | ( )
A．2 B． 2 2 C． 10 D． 2 3

14．（2024 宁夏期中）已知向量 a (2, )， b ( 1,2) a ，若 b，则 | a b | ( )
A．3 B． 10 C． 2 2 D． 2 3
15．（2024 河南模拟）剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一
张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形 ABCD的边长

为 2，点 P在四段圆弧上运动，则 AP AB的取值范围为 ( )
A． [ 1，3] B． [ 2， 6] C． [ 3，9] D． [ 3， 6]
16．（2024 内蒙古模拟）如图 ABC 为等腰三角形， BAC 120 ， AB AC 4，以 A为圆心，1 为半径

的圆分别交 AB， AC 与点 E， F ，点 P是劣弧 EF 上的一点，则 BP PC 的取值范围是 ( )
A． [9，11] B．[10，11] C． [9，12] D．[10，12]
17．（2024 江苏月考）在Rt ABC中， A 90 ， AB 2， AC 4，D为 BC的中点，点 P在 ABC斜边

BC的中线 AD上，则 PB PC的取值范围为 ( )
A． [ 5， 0] B． [ 3， 0] C． [0， 3] D．[0， 5]
18．（2024 重庆月考）如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长为 2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为

1，若点 P在正六边形的边上运动，MN 为圆O的直径，则 PM PN 的取值范围是 ( )
A． [3 ,3] B 3． [ , 4] C． [2， 3] D．[2， 4]
2 2
19．（2024 浙江月考）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的
中国人所崇拜的图腾．如图， AB是圆O的一条直径，且 | AB | 6，C，D是圆O上任意两点， |CD | 3，

点 P在线段CD上，则 PA PB的取值范围是 ( )
A 27． [ ,9] B [3． ,3] C 9．[ ,0] D．[ 9， 0]
4 4 4
20．（2024 河北月考）已知 A、 B、C是平面上不共线的三点，O是 ABC的重心，点 P满足

OP 1OB 1

OC 2 OA，则 ACP与 BCP面积比为 ( )
6 6 3
A．5 : 6 B．1: 4 C． 2 : 3 D．1: 2
21．（2024 赣州期中）奔驰定理：已知点O是 ABC 内的一点，若 BOC， AOC， AOB的面积分别记

为 S1， S2 ， S3，则 S1 OA S2 OB S3 OC 0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这
个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是 ABC的

垂心，且OA 2OB 3OC 0，则 cosC ( )
A 3 10 B 10 C 2 5 5． ． ． D．
10 10 5 5

22．（2024 江苏月考）在 ABC中，H 为垂心， HA 2HB 3HC 0，则 A ( )
A B ． ． C． D．
2 4 3 6

23．（2024 开封月考）已知点 P是 ABC 所在平面内的一个动点，满足 AP ( A B A C )( 0)，则射
| AB | | AC |
线 AP经过 ABC 的 ( )
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

24．（2024 1 江苏月考）动点 P满足OP [(1 )OA (1 )OB (1 2 )OC]( R)，动点 P一定会过 ABC
3
的 ( )
A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心
25．（2024 新疆月考）已知O是三角形 ABC所在平面内一定点，动点 P满足

OP OA AB AC ( )( 0) ，则 P点的轨迹一定通过三角形 ABC的 ( )
| AB | sin B | AC | sinC
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心

26 1 4．（2024 泉州月考）已知O为 ABC的外心，AB 4，AC 6，AO AB AC，则 ABC的面积为 ( )
6 9
A．12 B．12 3 C．6 D． 6 3
27．（2021 多选 新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，点 P1(cos ,sin ) ， P2 (cos , sin )， P3 (cos( )，
sin( ))， A(1,0)，则 ( )

A． |OP1 | |OP2 | B． | AP1 | | AP2 |

C．OA OP3 OP1 OP2 D．OA OP1 OP2 OP3
28．（2024 多选 重庆月考）设点M 是 ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是 ( )

A．若 AM 2AB AC，则点M 在线段 BC上
1 1 B．若 AM AB AC，则点M 是三角形的重心
3 3

C．若OM OA ( A B A C )( R)，则点M 的轨迹必过 ABC 的内心
| AB | | AC |

D 1 1．若 AM xAB yAC ，且 x y ，则 MBC的面积是 ABC面积的
2 2
29．（2024 多选 孝感期中）点O是 ABC 所在平面内的一点，下列说法正确的有 ( )

A．若OA OB OC 0则O为 ABC的重心

B．若 (OA OB) AB (OB OC) BC 0，则点O为 ABC的垂心

C ABC AB AC ( A B A C
BA
．在 中，向量 与 满足 ) BC 0，且 B C 1 ，则 ABC 为等边三角
| AB | | AC | | BA | | BC | 2
形

D．若 2OA OB 3OC 0， S AOC ， S ABC分别表示 AOC， ABC的面积，则 S AOC : S ABC 1: 6
30．（2024 多选 吉林月考）生于瑞士的数学巨星欧拉在 1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样
一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．”这就是著名的欧拉线定理．在 ABC中，O，H ，
G分别是外心、垂心和重心， D为 BC边的中点，下列四个选项中正确的是 ( )

A．GH 2OG B．GA GB GC 0
C． AH 2OD D． S ABG S BCG S ACG
31．（2024 多选 江苏月考）在 ABC中，角 A， B，C所对的边分别为 a， b， c，O为平面内一点，下
列说法正确的有 ( )

A．若O为 ABC 的外心，且 3OA 4OB 5OC 0，则OA OB

B．若O为 ABC 的内心， AB AC 5,BC 5 8,AO mAB nBC (m,n R) ，则m n
6
3 C．若O为 ABC 的重心， aOA bOB cOC 0，则角 A 60
3
D．若O为 ABC的外心，且O到 a，b， c三边距离分别为 k，m， n，则 k :m : n sin A : sin B : sinC

32．（2024 多选 广东期中）在 ABC中，AB AC 3，BC 4，O为 ABC内的一点，设 AO AB AC，
则下列说法正确的是 ( )
A O ABC 2．若 为 的重心，则
3
B．若O为 ABC 2的内心，则
5
C 9．若O为 ABC 的外心，则
10
D．若O 1为 ABC的垂心，则
5

33．（2022 1 甲卷）设向量 a，b的夹角的余弦值为 ，且 | a | 1， | b | 3，则 (2a b) b ．
3

34．（2021 a 甲卷）若向量 ，b满足 | a | 3 ， | a b | 5， a b 1，则 | b | ．

35．（2020 上海）三角形 ABC中， D是 BC中点， AB 2， BC 3， AC 4，则 AD AB ．

36．（2019 新课标Ⅲ）已知 a， b为单位向量，且 a b 0，若 c 2a 5b ，则 cos a ， c ．

37．（2024 威海模拟）已知向量 a (2,1)， b (0,1)， c a tb，若 a c 6，则 t ．

38．（2016 新课标Ⅱ）已知向量 a (m, 4)，b (3, 2) ，且 a / /b ，则m ．

39．（2024 广东期中）已知向量 a ( 2,1)， b ( 2,3) ， c (m, 1) c ， b ，则 | a c | ．

40．（2024 北京月考）已知向量 a (k 3,3),b (k 2,2)(k R) a ，若 / /b ，则 | a b | ．6.2 数量积
考向 1 利用内积公式求解问题
题型 1 求模长、夹角和内积
1．基底的定义
如果 e1 、e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且仅有一对实数 1， 2，
使得 a 1e1 2e2 ．我们把不共线的向量 e1 、 e2 叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的直角坐标运算
特殊基底的应用:非 0 基底向量垂直时，可利用平面直角坐标系坐标化解题，在平面直角坐标系内，分别取
与 x轴、y轴正方向相同的两个单位向量 i ，j 作为基底，对平面内任一向量 a ，有且仅有一个实数对 (x，y)，
使得 a xi yj ，则实数对 (x，y)叫做向量 a 的坐标，记作 a (x，y) ，其中 x， y分别叫做 a 在 x轴、 y轴
上的坐标，相等向量的坐标相同，坐标相同的向量是相等向量．

①已知点 A(x1，y1)， B(x2 ，y2 )，则 AB (x2 x1，y2 y1)， | AB | (x2 x
2 2
1) (y2 y1)
②已知 a (x1，y1)， b (x2 ，y2 )，则 a b (x1 x2 ，y1 y2 )， a ( x1， y1)，
3．数量积的运算律
已知向量 a 、 b 、 c 和实数 ，则：
① a b b a ；
② ( a) b = (a b) a ( b) ；
③ (a b) c = a c b c ．
4．数量积的坐标运算
已知非零向量 a (x1，y1)， b (x2 ，y2 )， 为向量 a 、 b 的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模 | a | a a | a | x2 y2
数量积 a b | a || b | cos a b x1x2 y1y2
x x y y
夹角 cos
a b
cos 1 2 1 2
| a || b | x2 y2 2 21 1 x2 y2
a b的充要条件 a b 0 x1x2 y1y2 0
a∥b 的充要条件 a （b b 0） x1y2 x2 y1 0
| a b | | a || b |(当且仅当
| a b |与 | a || b |的关系 | x1x2 y1y2 |≤ x
2 y2 x2 y21 1 2 2
a∥b时等号成立)

【例 1】（2023 北京）已知向量 a，b满足 a b (2,3) ， a b ( 2,1)，则 | a |2 | b |2 ( )
A． 2 B． 1 C．0 D．1

2 2020 a b | a | 5 | b | 6 a b 6 cos a

【例 】（ 新课标Ⅲ）已知向量 ， 满足 ， ， ，则 ， a b ( )
A 31 B 19． ． C 17． D 19．
35 35 35 35

【例 3】（2022 乙卷）已知向量 a，b满足 | a | 1， | b | 3 ， | a 2b | 3，则 a b ( )
A． 2 B． 1 C．1 D．2

【例 4】（2023 上海）已知向量 a ( 2,3)， b (1,2)，则 a b ．
跟踪训练

【训练 1】（2022 乙卷）已知向量 a (2,1)， b ( 2,4)，则 | a b | ( )
A．2 B．3 C．4 D．5

【训练 2】（2019 新课标Ⅲ）已知向量 a (2,2)， b ( 8,6)，则 cos a，b ．

3 2018 a b | a | 1 a

【训练 】（ 新课标Ⅱ）已知向量 ， 满足 ， b 1，则 a (2a b) ( )
A．4 B．3 C．2 D．0

【训练 4 】已知向量 a (2,1)，b (3,2)，则 a (a b) ( )
A． 5 B． 3 C．3 D．5
【解题总结】
题型 2 利用投影法求范围
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量 a 与 b ，我们把数量 | a || b | cos 叫做 a 与 b 的数量积（或内积），记作 a b ，即
a b = | a || b | cos ，规定：零向量与任一向量的数量积为 0．
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：| a | cos 叫做向量 a 在 b 方向上的投影数量，当 为锐角时，它是正数；当 为钝角时，
它是负数；当 为直角时，它是 0．
② a b的几何意义：数量积 a b等于 a 的长度 | a |与 b 在 a 方向上射影 | b | cos 的乘积．

【例 1】（2020 山东）已知 P是边长为 2的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 AP AB的取值范围是 ( )
A． ( 2,6) B． ( 6,2) C． ( 2,4) D． ( 4,6)

【例 2】如图，ABCD是边长 2的正方形，P为半圆弧 BC上的动点（含端点）则 AB AP的取值范围为 ( )
A． [2， 6] B． [2， 3] C． [4， 6] D．[4，8]
跟踪训练

【训练 5】已知 D是腰长为 2的等腰直角 ABC 斜边 BC上的动点，则 AB AD的取值范围是 ( )
A． [ 2,4] B． [ 2,2] C． [0， 4] D．[2， 4]
【训练 6】已知在直角三角形 ABC中，CA CB 1，以斜边 AB的中点O为圆心，AB为直径，在点C的另

一侧作半圆弧 AB，M 为半圆弧上的动点，则CA CM 的取值范围为 ( )
A 1 2 3 1 2． [0, ] B． [0，1] C． [0, ] D．[ ,1]
2 2 2
考向 2 利用坐标转换求解问题
题型 1 利用向量平行垂直关系求解

①已知点 A(x1，y1)， B(x2 ，y2 )，则 AB (x2 x
2 2
1，y2 y1)， | AB | (x2 x1) (y2 y1)
②已知 a (x1，y1)， b (x2 ，y2 )，则 a b (x1 x2 ，y1 y2 )， a ( x1， y1)，
a b= x1x2 y1y2， a x
2 2
1 y1 ． a∥b x1y2 x2 y1 0， a b x1x2 y1y2 0

【例 1】（2018 新课标Ⅲ）已知向量 a (1,2)，b (2, 2)， c (1, )．若 c / /(2a b)，则 ．

【例 2】已知向量 a，b满足 | a | 3， | b | 1 (2a ，且 9b) a ，则 2a 9b 与 b的夹角的余弦值为 ( )
A 5 B 5 2 5． ． C． D．
3 9 3 9
跟踪训练

【训练 1】已知向量 a ( 1,1)， b (2, x)，若 a / /b ，则 | a b | ( )
A．3 2 B．3 C． 2 2 D．2

【训练 2 】已知 a (2, 1),b (x 1,4) ，且 a b，则 | 2a b | ( )
A． 5 B． 2 5 C． 10 D． 2 10
【解题总结】
题型 2 特殊几何图形与建系法求解
1．常见特殊几何图形的建系处理
边长为 a的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形
平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆
对于向量中的特殊几何图形的数量积问题，我们可以参考以上图形的建系方法来转换成坐标运算降低思维
难度，注意向量的代数问题也可以设坐标来表示，从而转化为函数或者不等式去求取值范围.
【例 1】（2022 北京）在 ABC中，AC 3，BC 4， C 90 ．P为 ABC所在平面内的动点，且 PC 1，

则 PA PB的取值范围是 ( )
A． [ 5， 3] B． [ 3，5] C． [ 6， 4] D．[ 4， 6]

【例 2】如图所示，梯形 ABCD中， AD / /BC ，点 E为 AB的中点， BA BC 0， BD BA BD AD 4，

若向量CE 在向量CB上的投影向量的模为 4，设M 、 N分别为线段CD、 AD上的动点，且CM CD，
1 AN AD，则 EM EN 的取值范围是 ( )
9
A 11． [ , ) B． [11,13] C 13 61 11 61． [ , ] D．[ , ]
9 9 9 9 9 9 9

【例 3】已知点 A，点 B，点 P都在单位圆上，且 | AB | 3 ，则 PA PB的取值范围是 ( )
A． [ 1 , 3] B． [ 1，3] C． [ 2， 3] D． [ 1， 2]
2 2
跟踪训练

【训练 3】在正方形 ABCD中，已知 AB 1，点 P在射线CD上运动，则 PA PB的取值范围为 ( )
A． [0，1] B．[1 3 3， ) C． [ ，1] D． [ ， )
4 4
【训练 4】若 ABC是边长为 1的等边三角形，G是边 BC的中点，H 是边 AC的中点，M 为线段 AG上任

意一点，则MB MH 的取值范围是 ( )
A [ 1． , ) B [ 1 , 1] C [ 11 11 1． ． , ) D．[ , ]
8 8 4 64 64 4

【训练 5】在矩形 ABCD中， AB 3， BC 4．若 AP 1，则 BP BD的取值范围是 ( )
A． [4，13] B． [4，14] C． [6，13] D．[9，14]
【解题总结】
题型 3 极化恒等式
2．极化恒等式
2 2
a×b 1= a + b - a - b
4 ( ) ( )
1 AM AC AB
在△ABC中，若 AM 是△ABC 的 BC 边中线，有以下两个重要的向量关系： 2
BM 1

AC AB
2
定理 1 平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍.以此类推到三角形，若AM是 ABC的
中线，则 AB2 AC2 2 AM 2 BM 2 .
2 2 2 2
定理 2 在 ABC 中，若 M是 BC 的中点，则有 AB AC AM 1 BC AM BM .
4
向量数量积问题中，夹角未知，向量动点变化，极化恒等式具有重要的作用.
【例 1】在 ABC 中，AB 2，cos(A B)cos(B C)cos(C A) 1，P为 ABC所在平面内的动点，且 PA 1，

则 PB PC的取值范围是 ( )
A [ 3 , 9] B [ 1 ,11． ． ] C． [3 2 3,3 2 3] D．[3 3,3 3]
2 2 2 2
【例 2】窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多
地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿
望．图 1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图 2中正六边形 ABCDEF 的边长为 2 3，

圆O的圆心为正六边形的中心，半径为 2，若点 P在正六边形的边上运动，MN 为圆的直径，则 PM PN 的
取值范围是 ( )
A [5 8] B [2 3] C [5． ， ． ， ． , 4] D 3． [ ,3]
2 2
跟踪训练

【训练 6】若正 ABC的边长为 4，P为 ABC 所在平面内的动点，且 PA 1，则 PB PC的取值范围是 ( )
A． [3，15] B．[9 2 3,9 2 3] C． [9 3 3,9 3 3] D．[9 4 3,9 4 3]
【训练 7】已知图中正六边形 ABCDEF 的边长为 6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为 4，若点 P在正

六边形的边上运动，MN 为圆O的直径，则 PM PN 的取值范围是 ( )
A． [26，35] B． [24，33] C． [25，35] D． [23，32]
【解题总结】
考向 3 奔驰定理与向量四心
题型 1 奔驰定理
1．奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点.
已知△ABC x x x y y y的顶点 A(x1，y1)，B(x2 ，y2 )，C(x ，y )，则△ABC的重心坐标为G( 1 2 3 ， 1 2 33 3 ) .3 3

注意：（1）在△ABC 中，若O为重心，则OA +OB +OC = 0．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为 2:1，且分的三个三角形面积相等．
1
重心的向量表示： AG = AB 1+ AC ．
3 3

奔驰定理： 1 OA 2 OB 3 OC 0，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于 3 : 2 : 1
奔驰定理证明：
奔驰定理最直观的体现就是以中心O为起点引出的三个向量，每个向量与其对面的三角形面积
构成的向量数乘之和为 0.

【例 1】已知点 O为 ABC 内一点，且OA 2OB 3OC 0，则 AOB、 AOC、 BOC的面积之比等于（ ）
A．9∶4∶1 B．1∶4∶9 C．3∶2∶1 D．1∶2∶3
跟踪训练

【训练 1】已知O为正△ABC内的一点，且满足OA OB (1 )OC 0，若△OAB的
面积与△OBC的面积的比值为 3，则 的值为（ ）
A 1 B 5． ． C．2 D．3
2 2
题型 2 外心向量定理
外心：三条边垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等，即 OA OB OC ；
1 2 1 2 2
（1） AO AB AB ， AO AC AC ； BO BC 1 BC ；
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 AO 1
2 1 2
（2） AF AB AC ， BO BE AB BC ，CO CD BC AC ；
4 4 4 4 4 4
1 2 1 2 1 2 2 2 2
（3） AO BC AC AB ， BO AC BC
1
BA ，CO AB
1
BC 1 AC .
2 2 2 2 2 2
证明：
推论：

【例 2】在 ABC 中， AC 3， AB 1，O是 ABC 的外心，则 BC AO的值为 ( )
A．8 B．6 C．4 D．3
跟踪训练

【训练 2】在 ABC 中，CA 2CB 4， F 为 ABC 的外心，则CF AB ( )
A． 6 B． 8 C． 9 D． 12
题型 3 垂心定理

若 AD 为三角形 ABC 底边 BC 上的高，P为高 AD 上任意一点，则一定有 AP ×PB = AP ×PC
证明：
垂心定理：三角形三边上的高相交于一点（如图右），故点 O是 ABC的垂心，

则一定有OA OB OB OC OC OA．

OA OB OC OB OB (OA OC ) = 0 OB CA = 0，即OB ^ CA，以此类推即可证明．
垂心的向量乘积定理：
如下图，若 O 是 ABC的垂心，G是边 BC 所在直线上的一点，则 AB AC AO AC AO AB AO AG
证明：
推论：

【例 3】在 ABC 中，OA OB OB OC OC OA， D为 BC 3边上一点（不含端点）， AB AC ，则
2

AO AD ( )
A．1 B． 3 C 3． D．2
2
跟踪训练

【训练 3】若H 是 ABC的垂心，且 2HA 2HB 3HC 0，则 tanC的值为 ．
题型 4 角平分线向量定理

若OA a，OB b，则 AOB平分线上的向量OM 为 ( a b )， 由OM 决定
| a | | b |
a b
角平分线定理证明： 和 分别为OA和OB方向上的单位向量，
a b 是以 a 和 b 为一组邻边的
| a | | b | | a | | b | | a | | b |

平行四边形过O点的的一条对角线，而此平行四边形为菱形，故 a b 在 AOB平分线上，但 AOB平
| a | | b |

分线上的向量OM 终点的位置由OM 决定.当 1时，四边形OAMB构成以 AOB 120 的菱形．
内心定理
（1）角平分线的交点，到三条边的距离相等；
（2） OA a OB b OC c 0；
证明：
推论：
【例 4】（多选）如图． P为 ABC 内任意一点，角 A， B ，C的对边分别为 a， b， c ，总有优美等式

S PBC PA S PAC PB S PAB PC 0成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理．则以下命题是真
命题的有 ( )

A．若 P是 ABC 的重心，则有 PA PB PC 0

B．若 aPA bPB cPC 0成立，则 P是 ABC 的内心
2 1 C．若 AP AB AC，则 S
5 5 ABP
: S ABC 2 : 5

D．若 P是 ABC 的外心， A ， PA mPB nPC ，则m n [ 2,1)
4
跟踪训练
【训练 4】（多选）在 ABC中，角 A， B，C所对的边分别为 a， b， c，O为平面内一点，下列说法正
确的有 ( )

A．若O为 ABC 的外心，且 3OA 4OB 5OC 0，则OA OB

B．若O为 ABC 5的内心， AB AC 5,BC 8,AO mAB nBC (m,n R) ，则m n
6
3 C．若O为 ABC 的重心， aOA bOB cOC 0，则角 A 60
3
D．若O为 ABC的外心，且O到 a，b， c三边距离分别为 k，m， n，则 k :m : n sin A : sin B : sinC
【训练 5】（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿
车 (Mercedesbenz)的 logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是 ABC内一点， BOC，

AOC， AOB的面积分别为 SA，SB ，SC ，且 SA OA SB OB SC OC 0．设O是锐角 ABC 内的一点，
BAC， ABC， ACB分别是 ABC的三个内角，以下命题正确的有 ( )

A．若OA 2OB 3OC 0，则 SA : SB : SC 1: 2 : 3
5 B．若 |OA | |OB | 2， AOB ， 2OA 3OB 4OC 0 9 ，则 S
6 ABC

2

C O ．若 为 ABC 的内心， 3OA 4OB 5OC 0，则 C
2

D O ABC 3OA 4OB 5OC 0 cos AOB 6．若 为 的垂心， ，则
6
题型 2 向量四心的轨迹问题

【例 1 | AB | AB | AC | AC】已知O是三角形 ABC所在平面内一定点，动点 P满足OP OA ( )， R，
sinC sin B
则 P点的轨迹一定通过三角形 ABC的 心．
【例 2】已知O是三角形 ABC所在平面内一定点，动点 P满足

OP OA ( AB AC ) ， (0， )，则动点 P的轨迹一定通过 ABC 的 心．
| AB | cosB | AC | cosC
【例 3】已知O是三角形 ABC所在平面内一定点，动点 P满足

OP OB OC ( AB AC ) ， [0， )，则动点 P的轨迹一定通过 ABC 的 心．
2 | AB | cosB | AC | cosC
【例 4】已知O是锐角 ABC所在平面内的一定点，动点 P满足：

OP OA ( AB AC 2 2 )， (0， )，则动点 P的轨迹一定通过 ABC的 心．
| AB | sin ABC | AC | sin ACB
【例 5】（多选）在 ABC中， AB AC 3， BC 4，O为 ABC内的一点，

设 AO AB AC，则下列说法正确的是 ( )
A．若O为 ABC 2 2的重心，则 B．若O为 ABC的内心，则
3 5
C 9 1．若O为 ABC 的外心，则 D．若O为 ABC的垂心，则
10 5
跟踪训练

【训练 6】若O是平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，且满足OP OC (CB CA)( R)，
则 P点的轨迹一定过 ABC的 ( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【训练 7】 A、 B、C是平面上不共线的三个点，动点 P满足 AP ( A B A C )( [0, ))，则点 P的
| AB | | AC |
轨迹一定经过 ABC的 ( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【训练 8】设O为 ABC P OB OC AB AC所在平面上一点，动点 满足OP ( ) ，其中 A，
2 | AB | cosB | AC | cosC
B，C为 ABC 的三个内角，则点 P的轨迹一定通过 ABC的 ( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【训练 9】（多选）下列说法正确的是 ( )

A．向量 e1 (2,
1 3
3)， e2 ( , )能作为平面内所有向量的一组基底2 4
1 B．已知 OAB中，点 P为边 AB的中点，则必有OP (OA OB)
2

C．若 PA PB PB PC PC PA，则 P是 ABC的垂心

D．若G是 ABC的重心，则点G满足条件GA GB CG 0

【训练 10】（多选）在 ABC 所在的平面上存在一点 P，AP AB AC ( , R )，则下列说法错误的是 ( )
A．若 1，则点 P的轨迹不可能经过 ABC的外心
B．若 2，则点 P的轨迹不可能经过 ABC的垂心
C．若 1 ，则点 P的轨迹可能经过 ABC的重心
2
D．若 ，则点 P的轨迹可能经过 ABC的内心
【解题总结】
拓展思维
拓展 1 矩形大法
如图，在矩形 ABCD中，若对角线 AC 和 BD交于点O，P为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：

① PA2 + PC 2 = PB2 + PD2 ；② PA × PC = PB × PD.
证明：
1 【例 1】（2013 重庆卷）在平面内， AB1 AB2 ， OB1 OB2 1， AP AB1 AB2 若 OP < ，则 OA 的取值2
范围是（ ）
5 5 7 A 0 , 5
7
． 2
B. ,2 2
C. , 2 D. , 2
2 2


PA 2 PB 2
【例 2】（2012 江西卷）在 Rt△ABC 中，点 D是斜边 AB的中点，点 P为线段 CD的中点，则 等
PC 2
于（ ）
A．2 B．4 C． 5 D． 10
拓展 2 隐圆问题

极化恒等式向量乘积型： PA PB

平面内，若 A，B 1为定点，且 PA PB ,则 P的轨迹是以 AB中点M 为圆心， AB2 为半径的圆．
4
证明：
【例 1】（2017 江苏）在平面直角坐标系 xOy中， A( 12，0)， B(0，6)，点 P在圆 O： x2 y2 50上，若

PA PB 20，则 P的横坐标范围是 ．
与向量模和向量数量积构成隐圆

【例 2 】已知平面向量 a， b， c满足对任意 x R都有 | a xb | | a b |， | a xc | | a c |成立，

| a c | | b c | 1 | a b | 3 | a ， ，则 |的值为（ ）
A．1 B． 3 C． 2 D． 7

【例 3】（2008 浙江卷）已知 a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c满足 (a c) (b c) 0，则

| c |的最大值是（ ）
A．1 B． 2 C 2． 2 D．
2

【例 4】（2018 浙江）已知 a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量 a与 e的夹角为 ，向量 b满
3

足 b 2 4e b 3 0，则 | a b |的最小值是 ( )
A． 3 1 B． 3 1 C．2 D． 2 3
拓展 3 向量新定义问题

【例 1】我们把由平面内夹角成60 的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“@未来坐标系”．如图所示，e1 ，

e2 两分别为Ox，Oy正方向上的单位向量．若向量OP xe1 ye2 ，则把实数对 x, y 叫做向量OP的“@未来

坐标”，记OP x, y ，已知 x1, y1 , x2 , y2 分别为向量 a,b的@未来坐标．
(1)证明： x , y x , y x x y y 11 1 2 2 1 2 1 2 x1y2 x2 y1 2

(2)若向量 a,b的“@未来坐标”分别为 sin x,1 , cos x,1 ，已知 f x a b， x R ，求函数 f x 的最值．

【例 2】n个有次序的实数 a1,a2 , ,an 所组成的有序数组 a1,a2 , ,an 称为一个 n维向量，其中 ai i 1, 2 ,n

称为该向量的第 i个分量.特别地，对一个n维向量 a a1,a2 , ,a n ，若 ai 1，i 1, 2 n，称 a为n维信号

n
向量.设 a a1,a2 , ,a n ，b b1,b2 , ,bn ，则 a和b的内积定义为 a b ai bi ，且 a b a b 0 .
i 1
(1)直接写出 4个两两垂直的 4维信号向量；
(2)证明：不存在 14个两两垂直的 14维信号向量；

(3)已知 k个两两垂直的 2024维信号向量 x1, x2 , , xk 满足它们的前m个分量都是相同的，求证： km 45 .
【例 3】三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：

a1 a2 a3 i j k
b1 b2 b3 a1b2c3 a2b3c1 a3b1c2 a3b2c1 a2b1c a b c a
b x y z 3 1 3 2．若 1 1 1 ，则称 a b为空间向量 a与b
c1 c2 c3 x2 y2 z2
a

的叉乘，其中 x1i y1 j z1k （ x1, y1, z1 R），b x2i y2 j z2k（ x2 , y2 , z2 R）， i , j ,k 为单位正交基

底．以 O为坐标原点、分别以 i , j ,k 的方向为 x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知 A，B
是空间直角坐标系中异于 O的不同两点．

(1)①若 A 1,2,1 ， B 0, 1,1 ，求OA OB；

②证明：OA OB OB OA 0．

(2)记 AOB 1的面积为 S AOB，证明： S AOB OA OB ．2

(3)证明： OA OB 2 的几何意义表示以 AOB为底面、 OA OB为高的三棱锥体积的 6倍．

【例 4】对于三维向量 ak xk , yk , zk xk , yk , zk N, k 0,1,2, ，定义“ F 变换”： ak 1 F ak ，其中，

xk 1 xk yk , yk 1 yk zk , zk 1 zk xk ．记 ak xk yk zk ， ak xk yk zk ．

(1)若a0 3,1,2 ，求 a2 及 a2 ；
uur
(2)证明：对于任意 a0 ，经过若干次 F 变换后，必存在K N*，使 aK 0；

(3)已知 a1 p, 2,q q p , a1 2024，将 a1再经过m次 F变换后， am 最小，求m的最小值．

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