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数列第 1 节课后练习
1．（2024 贵阳期末）根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
（1 4 1 4 2） ， ， ， ， ；（2） 2 ， 5 ， 10， 17， ；
5 2 11 7
3 1 3 7 15 31 4 3 5 7 9（ ） ， ， ， ， ， ；（ ） ， ， ， ， ；
2 4 8 16 32 5 8 11 14
5 1 8 15 24（ ） ， ， ， ， ；（6）7，77，777， ．
5 7 9
2
2．（2024 梅州期末）已知数列{9n 9n 2
9n2
}．
1
（1 98）求这个数列的第 10项；（2） 是不是该数列中的项？为什么？（3）求证：数列中的各项都在区间 (0,1)
101
1 2
内；（4）在区间 ( ， )内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由．
3 3
3．（2024 郴州期末）数列 an 中，a －n＝2n－1－k·2n 1， n N ，若 an 是递减数列，求实数 k 的取值范围．
4．（2024 1 襄阳期末）已知(－1)na＜1－ 对任意 n N 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ．
2n
(3 a)n 8,n 6
5．（2024 郸城月考）已知数列{an}满足：a

(n N *n n 6 )，且数列{an}是递增数列，则实数 a
a ,n 6
的取值范围是 ( )
A． (2,3) B 10． [2， 3) C． ( ,3) D． (1,3)
7
6．（2024 7 福州期末）已知数列 an 的通项公式为 an n ( )n 1， n N ，则该数列是否有最大项，若有，9
求出最大项的项数；若无，说明理由．
n 2021 n－ 2 0188．（2024 济宁月考）在数列 an 中，an an＝ ，求该数列前 100项中的 最大项与最小n 2022 n－ 2 019
项的 项数．
9．（2024 2 大理期末）已知数列{an}的前 n 项和 Sn n n 1，求数列的通项公式 an ．
10．（2024 n 1 漳州期末）数列{an}的前 n 项和 Sn ( 1) n ，求数列的通项公式 an ．
11．（2024 钦州期末）数列{an}的前 n 项和 Sn 3 2
n
，求数列的通项公式 an ．
12．（2024 昆明月考）在数列 a 中 a 1，且对所有 n 2， n N *n 1 ，数列的前 n项之积 n2 ，求数列的通项
公式．
n,n为奇数
13．（2024 宜昌期末）我们可以利用数列{an}的递推公式 an n n N * ，求出这个数列各项的值，
,n偶数 2
使得这个数列中的每一项都是奇数研究发现该数列中的奇数都会重复出现，那么第 4 个 5 是该数列的第
项．
an，an为偶数，
13．（2024 衡阳期末）已知数列{an}满足：a 21＝m(m 为正整数)，an＋1＝ 若 a4＝4，求
3an＋1，an为奇数.
m 所有可能的取值．
14．（2024 韶关期末）如果数列{an}各项成周期性变化，那么称数列{an}为周期数列．若数列{bn}满足 b1 2，
b 1n (n 2)，观察数列{bn}的周期性，b2024 的值为 ( )1 bn 1
A．2 B． 1 C 1． D． 2
2
15．（2025 1 冀州月考）已知数列{an}满足 an＋1＝1－ ，且 a1＝2，则 a2 022的值为( )an
A 1． B．－1 C．2 D．1
2
16．（2024 苏州月考 多选）（多选）已知数列{xn}满足 x1 a ， x2 b ， xn 1 xn xn 1(n 2)，则下列结论
正确的是
( )
A． x2020 a B． x2022 a b
C． x11 x2021 D． x1 x2 x2020 2b a
2an ,n是奇数
17 ．（2024 杭州月考 多选）设数列{an}的前 n项和为 Sn ，且满足 a1 1，an 1 1 ，则下列说法
,n是偶数
an
中正确的有 ( )
A． a4 2 B．{an}是周期数列 C． a2022 2 D． S18 21
18．（2024 郑州）若数列{an}满足 an 2 an 1 an (n N )， Sn 为{an}的前 n项和，且 S2 2008，
S3 2010，求 S2026．中小学教育资源及组卷应用平台
第1节 数列的概念
考向一 数列的通向公式与递推公式
一、数列及其有关概念
1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第1项也叫做首项；第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示；……；第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示．类比函数中的定义域，容易得到数列中项的下角标．
2． 数列的一般形式可以写成，，，…，，…，简记为．
二、数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的个数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
三、数列的通项公式与递推公式
1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．有的数列不止有一个通项公式（可类比相同函数），例如；，这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成，也可以写成an＝(n∈N*)或an＝(n∈N*)．有的数列没有通项公式，比如无理数和中的数依次排成的数列．
2．通项公式：数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
3．递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，比如数列满足：，且（），那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
【例1】写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：
（1）4，6，8，10，；
（2）1，3，6，10，15，；
（3），，，，，；
（4）2，3，5，9，17，33，；
（5）3，0，，0，3，0，，0，．；
（6）8，88，888，8888，；
【例2】是数列，，，中的第几项　　
A．第98项 B．第99项 C．第100项 D．第101项
【例3】设数列{an}满足an＝
写出这个数列的前5项．
跟踪训练
【训练1】数列1，3，6，10，，21，28，中，由给出的数之间的关系可知的值是　　
A．12 B．15 C．17 D．18
【训练2】下列选项中能满足数列1，0，1，0，1，0，的通项公式的有　　
A． B．
C． D．
【训练3】我们可以利用数列的递推公式，求出这个数列各项的值，使得
这个数列中的每一项都是奇数，则　 　．
考向2 数列的前n项和Sn（积）与an的关系
题型1 数列的前n项和Sn与an的关系
1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an．
2．．
3．已知与的关系式，记为，它可由阶差公式直接求出通项，但要注意验证与两种情况能否统一，具体分三步进行：
(1)时，由，求的值；
(2)时，由，求得的表达式；
(3)检验的值是否满足（2）中的表达式．
①若满足，则合写；
②若不满足，则写成分段函数的形式：．
4．前项和与通项的关系
（1）为等差数列，．
（2）（），即从第二项开始为等差数列．
注：选填题可以直接用，解答题在规范书写的基础上结合结论可以简化计算过程，避实就虚！
【例1】已知数列的前项和为．求数列的通项公式．
【例2】已知数列的前项和为．求数列的通项公式．
【例3】在正项数列中，为其前项和，且，求通项公式．
【例4】数列的前项和，求数列的通项公式．
跟踪训练
【训练1】已知数列的前项和，那么它的通项公式为　 　．
【训练2】数列的前项和，那么它的通项公式是　 　．
【训练3】已知数列满足，且其前项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式　 　．
【训练4】已知数列满足，则中的最小项的值为 　　．
【训练5】已知数列的前项和，则的最大值为 　 　．
题型2 数列的前n项积与an的关系
1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之积，称为数列{an}的前n项积，记作，即．
2．．
3．已知与的关系式，记为，它可由阶商公式直接求出通项，但要注意验证与两种情况能否统一，具体分三步进行：
(1)时，由，求的值；(2)时，由，求得的表达式；
(3)检验的值是否满足（2）中的表达式．
①若满足，则合写；
②若不满足，则写成分段函数的形式：．
【例1】已知数列的前项积．求的通项公式．
跟踪训练
【训练1】已知数列的前项积．求数列的通项公式．
考向3 数列的性质
题型1 数列的单调性与最值问题
一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即，那么这个数列叫做递增数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{an}的各项都相等，即，那么这个数列叫做常数列．
1．利用定义法判断数列的单调性
（1）作差比较法，即较与的大小
单调性 是递增数列 是递减数列 是常数列
（2）作商比较法，即比较与的大小
是递增数列 是递减数列 是常数列
是递减数列 是递增数列
（3）转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性．常见的数列母函数有一次函数、二次函数、分式函数、分段函数、类指数函数等等．
【例1】数列的通项公式为，．求证：为递增数列．
【例2】已知数列的通项公式，
（1）求证：；
（2）判断是递增数列还是递减数列，并说明理由．
【训练1】已知数列的通项公式为，求证：此数列为递增数列．
【训练2】已知函数()，构造数列()．试判断数列的单调性．
2．利用数列的单调性求参数的取值范围
常利用以下等价关系：数列递增 恒成立；数列递减 恒成立，通过分离变量法转化为代数式的最值来解决．
【例3】已知数列是单调递增数列，，，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【训练3】在数列中，已知，则“”是“为单调递减数列”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．求数列中的最大(小)项问题
（1）先利用作差法或作商法判断函数的单调性，再进一步求出数列的最值．
（2）构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值．
（3）利用“两边夹”，()求数列中的最大项；利用()求数列中的最小项．
注：适用于单峰函数，若解不唯一时，比较各解大小即可确定．
【例4】已知数列中，，．
（1）若是递增数列，求λ的取值范围；
（2）若的第7项是最小项，求λ的取值范围．
【例5】已知数列的通项公式为，求该数列的最大项．
【例6】已知，则数列中有没有最大项？如果有，求出最大项；
如果没有，请说明理由．
【训练4】已知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，令，则取最小值时，　　．
【训练5】已知，求该数列前30项中的最大项和最小项．
题型2 数列的周期性
1．定义
类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列，如果存在一个常数，使得对任意的正整数恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列．若，则称数列为纯周期数列，若，则称数列为混周期
数列，的最小值称为最小正周期，简称周期．
2．常见的周期数列
以下类型针对非常数数列，即．
类型一 邻项等和
①若，则；特别地，则；
②若，则；特别地，则；
类型二 邻项等积
①若，则；证明：，两式作商得．
特别地，则；
②若，则；证明同上．
特别地，则；
类型三 错号等值
①若，则；证明类比类型一．
特别地，则；
②若，则；证明类比类型二．
特别地，即，则；
类型四 一次分式之
若，其中，则．
特别地，若，即为前面类型二（邻项之积）
类型五 一次分式之
若，其中，则．
类型六 一次分式之
若，其中，则．
类型七 一次分式之
若，其中，则．
【例1】在数列中，，，设为数列的前项和，则
（　 　）
A． B． C．3 D．2
【例2】若数列满足，，则该数列的前2025项的乘积
等于　　
A．2023 B．2024 C． D．
【例3】已知数列中，，则能使的的数值是（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
【例4】已知实数列满足（为实数），()，求．
跟踪训练
【训练1】已知是的前项和，，则下列选项错误的是　　
A． B．
C． D．是以3为周期的周期数列
【训练2】数列满足，，则　　　．
【训练3】已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则等于(　　)
A．－ B．0 C． D．3
【训练4】已知数列的前项和为，，，则下列结论不正确的是　　
A． B．
C．， D．是以4为周期的周期数列
【训练5】数列满足，，，，则下面正确的是　　
A．， B．，
C．， D．，
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第 1节 数列的概念
考向一 数列的通向公式与递推公式
一、数列及其有关概念
1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的
第一个位置上的数叫做这个数列的第 1项，常用符号 a1表示，第 1项也叫做首项；第二个位置上的数叫做
这个数列的第 2项，用 a2表示；……；第 n个位置上的数叫做这个数列的第 n项，用 an表示．类比函数中
的定义域，容易得到数列中项的下角标 n N ．
2． 数列的一般形式可以写成 a1， a2， a3 ，…， an，…，简记为 an ．
二、数列的分类
分类标准 名称 含义
有穷数列 项数有限的数列
按项的个数
无穷数列 项数无限的数列
三、数列的通项公式与递推公式
1．如果数列{an}的第 n项 an与它的序号 n之间的对应关系可以用一个式子 an f (n)来表示，那么这个式子
叫做这个数列的通项公式．有的数列不止有一个通项公式（可类比相同函数），例如； 0,1,0,1, ，这个数
0,n为奇数
列中的项是 0与 1交替出现，奇数项都是 0，偶数项都是 1，所以通项公式可以写成 an ，也可
1,n为偶数
n
以写成 a 1＋ －1 n＝ (n N*) a
1＋cos nπ
∈ 或 n＝ (n∈N*)．有的数列没有通项公式，比如无理数 e和 中的数依
2 2
次排成的数列．
2．通项公式：数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离
散的数的函数．
3．递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，比如数列 an 满足：
a1 1， a2 1且 an an 2 an 1（ n 3），那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
【例 1】写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：
（1）4，6，8，10， ；
（2）1，3，6，10，15， ；
3 2 4 6 8 10（ ） ， ， ， ， ， ；
3 15 35 63 99
（4）2，3，5，9，17，33， ；
（5）3，0， 3，0，3，0， 3，0， ．；
（6）8，88，888，8888， ；
【例 2】 401是数列 5， 9， 13， 17中的第几项 ( )
A．第 98项 B．第 99项 C．第 100项 D．第 101项
1，n＝1，
【例 3】设数列{an}满足 an＝ 1 1＋ ，n≥2，n∈N*.
an－1
写出这个数列的前 5项．
跟踪训练
【训练 1】数列 1，3，6，10， x，21，28， 中，由给出的数之间的关系可知 x的值是 ( )
A．12 B．15 C．17 D．18
【训练 2】下列选项中能满足数列 1，0，1，0，1，0， 的通项公式的有 ( )
1 ( 1)n 1A． an B a
n
．
2 n
sin
2
1,n是奇数
C． an cos
2 (n 1) D． a
2 n

0,n是偶数
n,n为奇数时
【训练 3】我们可以利用数列{an}的递推公式 an

an ,n为偶数时 n N ，求出这个数列各项的值，使得 2
这个数列中的每一项都是奇数，则 a64 a65 ．
考向 2 数列的前 n项和 Sn（积Tn ）与 an的关系
题型 1 数列的前 n项和 Sn与 an的关系
1．把数列{an}从第 1项起到第 n项止的各项之和，称为数列{an}的前 n项和，记作 Sn，即 Sn＝a1＋a2＋…＋
an．
S1 ,n 12．an ．
Sn Sn 1,n 2
S ,n 1
3．已知 Sn与 n的关系式，记为 Sn f n 1，它可由阶差公式 an 直接求出通项 a ，但要
Sn S
n
n 1,n 2
注意验证 n 1与 n 2两种情况能否统一，具体分三步进行：
(1)n 1时，由 a1 S1，求 a1的值；
(2)n 2时，由 an Sn Sn 1，求得 an 的表达式；
(3)检验 a1的值是否满足（2）中 an 的表达式．
①若满足，则合写；
S ,n 1
②若不满足，则写成分段函数的形式： a 1n ．
Sn Sn 1,n 2
4．前 n项和 Sn与通项 an 的关系
（1） Sn an
2 bn {an}为等差数列，an 2an b a．
2 a b c,n 1
（2） Sn an bn c（ c 0） an ，即{a }从第二项开始为等差数列．
2an b a,n 2
n
注：选填题可以直接用，解答题在规范书写的基础上结合结论可以简化计算过程，避实就虚！
【例 1】已知数列{an}的前 n项和为 S
2
n n 2n．求数列{an}的通项公式．
【例 2】已知数列{an}的前 n项和为 S n
2
n 2n 1．求数列{an}的通项公式．
【例 3】在正项数列{an}中， Sn为其前 n项和，且 S 2n (n2 n 1)Sn (n2 n) 0，求通项公式 an ．
【例 4 n 1】数列{an}的前 n项和 Sn ( 1) n，求数列的通项公式 an ．
跟踪训练
【训练 1】已知数列{an}的前 n项和 S n
2
n 2n，那么它的通项公式为 an ．
【训练 2】数列的前 n项和 S 2n 2n n 1，那么它的通项公式是 ．
【训练 3】已知数列{an}满足 an 1 an ，且其前 n项和 Sn 满足 Sn 1 Sn ，请写出一个符合上述条件的数列的
通项公式 an ．
a a a
【训练 4】已知数列{an}满足 a 21 2
3
2
n
2 n
2 10n，则{an}中的最小项的值为 ．2 3 n
【训练 5】已知数列{an}的前 n项和 Sn 20n
2 3n 2n，则 an的最大值为 ．
题型 2 数列的前 n项积Tn 与 an的关系
1．把数列{an}从第 1项起到第 n项止的各项之积，称为数列{an}的前 n项积，记作Tn ，即Tn a1a2 an．
T1 ,n 1
2． an

Tn ．
,n 2 Tn 1
T1 ,n 1
3．已知Tn 与 n的关系式，记为Tn f n ，它可由阶商公式 an Tn ,n 2直接求出通项 an ，但要注意
Tn 1
验证 n 1与 n 2两种情况能否统一，具体分三步进行：
(1)n 1 T时，由 a1 T1，求 a1的值；(2) n 2时，由 a nn ，求得 aT n
的表达式；
n 1
(3)检验 a1的值是否满足（2）中 an 的表达式．
①若满足，则合写；
T
1
,n 1
②若不满足，则写成分段函数的形式： an Tn
,n 2
．
Tn 1
2
【例 1】已知数列{an}的前 n项积T
n 2n
n 2 ．求{an}的通项公式．
跟踪训练
n
【训练 1】已知数列{a 2n}的前 n项积Tn ．求数列{an}的通项公式．n 1
考向 3 数列的性质
题型 1 数列的单调性与最值问题
一般地，一个数列{an}，如果从第 2项起，每一项都大于它的前一项，即 an 1 an 0，那么这个数列叫做
递增数列．如果从第 2项起，每一项都小于它的前一项，即 an 1 an 0，那么这个数列叫做递减数列．如
果数列{an}的各项都相等，即 an 1 an 0，那么这个数列叫做常数列．
1．利用定义法判断数列的单调性
（1）作差比较法，即较 an 1 an与 0的大小
an 1 an 0 an 1 an 0 an 1 an 0
单调性 an 是递增数列 an 是递减数列 an 是常数列
（2 a）作商比较法，即比较 n 1 与1的大小
an
an 1 1 a n 1 1 a n 1 1
an an an
an 0 an 是递增数列 an 是递减数列
a 0 a a a 是常数列n n 是递减数列 n 是递增数列 n
（3）转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性．常见的数列母函
数有一次函数、二次函数、分式函数、分段函数、类指数函数等等．
【例 1】数列 an 的通项公式为 an 3 2n 2 2 3n 1， n N ．求证： an 为递增数列．
【例 2】已知数列{an}
n
的通项公式 an 2 (n N )，n 1
（1）求证： 0 an 1；
（2）判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由．
【训练 1】已知数列{an}的通项公式为 an n n 1，求证：此数列为递增数列．
【训练 2 1 2x】已知函数 f (x) ( x 1 )，构造数列 an f (n) ( n N
)．试判断数列的单调性．
x 1
2．利用数列的单调性求参数的取值范围
常利用以下等价关系：数列 an 递增 an 1 an恒成立；数列 an 递减 an 1 an恒成立，通过分离变量法
转化为代数式的最值来解决．
【例 3】已知数列{an}是单调递增数列， a m(2
n
n 1) n
2 ， n N * ，则实数m的取值范围为 ( )
A． (2, ) B． (1,2) C． (3 , ) D． (2,3)
2
n2
【训练 3】在数列{an}中，已知 an n ，则“ 1”是“{an}为单调递减数列”的 ( )2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．求数列中的最大(小)项问题
（1）先利用作差法或作商法判断函数的单调性，再进一步求出数列的最值．
（2）构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值．
a
（3）利用“两边夹”， n
an 1 a a
( n 2 )求数列中的最大项 a
n n 1
a a n
；利用 ( n 2 )求数列中的最小项 an．
n n 1 an an 1
注：适用于单峰函数，若解不唯一时，比较各解大小即可确定．
【例 4】已知数列 a 2 n 中， an n n， n N ．
（1）若 an 是递增数列 ，求λ的取值范围；
（2）若 an 的第 7项是最小项，求λ的取值范围．
【例 5】已知数列{an}的通项公式为 a
2
n n 21n，求该数列的最大项．
9na (n 1)【例 6】已知 n n (n N*)，则数列{an}中有没有最大项？如果有，求出最大项；10
如果没有，请说明理由．
8
【训练 4】已知数列{an}的前 8 项为 1，1，2，3，5，8，13，21，令 f (x) (x a )2i ，则 f (x)取最小值
i 1
时， x ．
【训练 5】已知 a n 98n ，求该数列前 30项中的最大项和最小项．n 99
题型 2 数列的周期性
1．定义
类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列{an}，如果存在一个常数T (T N
)，使得对任意的正整
数 n n0 恒有 an T an成立，则称数列{an}是从第 n0 项起的周期为T 的周期数列．若 n0 1，则称数列
{an}为纯周期数列，若 n0 2，则称数列{an}为混周期
数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期．
2．常见的周期数列
以下类型针对非常数数列，即 an an 1．
类型一 邻项等和
①若 an an 1 k，则T 2；特别地 an an 1 0，则T 2；
②若 an an 1 an 2 k ，则T 3；特别地 an an 1 an 2 0，则T 3；
类型二 邻项等积
①若 an an 1 k (k 0)，则T 2；证明： an 1 an 2 k，两式作商得 an 2 an ．
特别地 an an 1 1，则T 2；
②若 an an 1 an 2 k (k 0)，则T 3；证明同上．
特别地 an an 1 an 2 0，则T 3；
类型三 错号等值
①若 an 2 an 1 an k ，则T 6；证明类比类型一．
特别地 an 2 an 1 an 0，则T 6；
②若 an 2 an 1 an k (k 0) ，则T 6；证明类比类型二．
a
特别地 an 2 an 1 an 1，即 an 2
n 1 ，则T 6；
an
类型四 一次分式之T 2
a a b
若 a nn 1 ，其中 a d 0，则T 2．c an d
k
特别地，若 a d 0，即为前面类型二（邻项之积 an 1 ）an
类型五 一次分式之T 3
a an b若 an 1 ，其中 (a d )
2 ad bc，则T 3．
c an d
类型六 一次分式之T 4
a a b
若 a n 2n 1 ，其中 (a d ) 2(ad bc)，则T 4．c an d
类型七 一次分式之T 6
a an b若 an 1 ，其中 (a d )
2 3(ad bc)，则T 6．
c an d
【例 1】在数列 an 中， a1 2， an 1 1 an n N ，设 Sn为数列 an 的前项和，则
S2022 2S2023 S2024 （ ）
A． 3 B． 2 C．3 D．2
2 {a } a 1 a 1 a【例 】若数列 n 满足 n1 ， n 1 (n N )，则该数列的前 2025项的乘积 a2 1 a 1
a2 a3 a2025
n
等于 ( )
A．2023 B．2024 C 3． D 1．
2 2
a a b(b 0) a 13 (n N 【例 】已知数列 n 中， 1 ， n 1 )则能使 an b的 n的数值是（ ）an 1
A．14 B．15 C．16 D．17
【例 4】已知实数列{an}满足 a1 a（a
3a 1
为实数），an
n 1 ( n N )，求 a2024．
3 an 1
跟踪训练
1 S {a } n a 2,a 1 1【训练 】已知 n 是 n 的前 项和， 1 n ，则下列选项错误的是 ( )an 1
A． a2021 2 B． S2021 1012
C． a3n a3n 1 a3n 2 1 D．{an}是以 3为周期的周期数列
【训练 2】数列 an a
1 a
满足 n 1n (n
1
2)， a1 ，则 a2023 ．1 an 1 100
an－ 3
【训练 3】已知数列{an}满足 a1＝0，an 1＝ (n∈N*＋ )，则 a
3a 1 2024
等于( )
n＋
A．－ 3 B．0 C． 3 D．3
【训练 4】已知数列{an}的前 n项和为 Sn ， a1 3， an 1 anan 1 1(n 2)，则下列结论不正确的是 ( )
A a 1． 2022 B． S19 222
C． n N *， a3n a3n 1 a3n 2 1 D．{an}是以 4为周期的周期数列
【训练 5】数列{xn}满足 xn 1 xn xn 1(n 2)，x1 a，x2 b，Sn x1 x2 xn，则下面正确的是 ( )
A． x100 a， S100 2b a B． x100 b， S100 2b a
C． x100 b， S100 b a D． x100 a， S100 b a中小学教育资源及组卷应用平台
数列第1节课后练习
1．（2024 贵阳期末）根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
（1），，，，；（2），，，，；
（3），，，，，；（4），，，，；
（5），，，，；（6）7，77，777，．
2．（2024 梅州期末）已知数列．
（1）求这个数列的第10项；（2）是不是该数列中的项？为什么？（3）求证：数列中的各项都在区间内；（4）在区间，内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由．
3．（2024 郴州期末）数列中，an＝2n－1－k·2n－1，，若是递减数列，求实数k的取值范围．
4．（2024 襄阳期末）已知(－1)na＜1－对任意恒成立，则实数a的取值范围是 ．
5．（2024 郸城月考）已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数的取值范围是　　
A． B．， C． D．
6．（2024 福州期末）已知数列的通项公式为，，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．
8．（2024 济宁月考）在数列中，an＝，求该数列前100项中的最大项与最小项的项数．
9．（2024 大理期末）已知数列的前项和，求数列的通项公式．
10．（2024 漳州期末）数列的前项和，求数列的通项公式．
11．（2024 钦州期末）数列的前项和，求数列的通项公式．
12．（2024 昆明月考）在数列中，且对所有，，数列的前项之积，求数列的通项公式．
13．（2024 宜昌期末）我们可以利用数列的递推公式，求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数研究发现该数列中的奇数都会重复出现，那么第4个5是该数列的第　　项．
（2024 衡阳期末）已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a4＝4，求m所有可能的取值．
14．（2024 韶关期末）如果数列各项成周期性变化，那么称数列为周期数列．若数列满足，，观察数列的周期性，的值为　　
A．2 B． C． D．
15．（2025 冀州月考）已知数列{an}满足an＋1＝1－，且a1＝2，则a2 022的值为(　　)
A． B．－1 C．2 D．1
16．（2024 苏州月考 多选）（多选）已知数列满足，，，则下列结论正确的是
　　
A． B．
C． D．
17．（2024 杭州月考 多选）设数列的前项和为，且满足，，则下列说法中正确的有　　
A． B．是周期数列 C． D．
18．（2024 郑州）若数列满足，为的前项和，且，，求．
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