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第七章 立体几何第1节 小题篇
考向1 空间点线面的位置关系
题型1 三垂线定理速证垂直
三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直．
已知是平面的垂线，垂足为，是平面的斜线，斜足为，直线．
求证：（1）若，则；
若，则．
证明：（1），又，故；
（2），又，故．
【例1】如图，在长方体中，体对角线与面对角线的位置关系一定是　　
A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面
【例2】在正方体中，点，分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线　　
A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有且仅有3条 D．有无数条
【例3】（2021 浙江）如图，已知正方体，，分别是，的中点，则　　
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
跟踪训练
【训练1】如图，正方体中，是底面的中心，，，，分别为棱，，，的中点，则下列与垂直的是　　
A． B． C． D．
【训练2】如图，在正四棱柱，，分别是，的中点，则下面结论一定成立的是　　
A．与平行 B．与所成角大小为
C．与垂直 D．与垂直
题型2 几何法求解距离问题
①两点间的距离：构造直角三角形，利用勾股定理处理；
②点到平面的距离：等体积法；
③直线到平面的距离：转化为求点到面的距离；
④平面到平面间的距离：转化为求点到面的距离．
注意：若二面角非直角，可以考虑用向量转化求解距离，如训练5．
【例1】在矩形ABCD中，，，沿对角线AC将矩形折成一个直二面角，则点B与点D之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【例2】如图，已知在矩形ABCD中，，，M为边BC的中点，将，分别沿着直线AM，MD翻折，使得B，C两点重合于点P，则点P到平面MAD的距离为 ．

【例3】已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为
A．2 B． C． D．1
【例4】直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点，求平面与平面的距离．

跟踪训练
【训练1】（2009 全国1卷）已知二面角为，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【训练2】在三棱锥中，底面，则点到平面的距离是（ ）
A． B． C． D．
【训练3】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离．
【训练4】在长方体中，已知，，与平面ABCD所成角的大小是，那么平面ABCD到平面的距离是 ．
【训练5】已知矩形，，，沿对角线将折起，若二面角的大小为，则，两点之间的距离为 　 　．
题型3 几何法处理夹角问题
知识点1：线与线的夹角
（1）位置关系的分类：
（2）异面直线所成的角
①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）．
②范围：
③求法：平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．
知识点2：线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
②范围：
③求法：
常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；
知识点3：二面角
（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面．（二面角或者是二面角）
（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围．
（3）二面角的求法
法一：定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．
法二：三垂线法
在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点，作于；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接；
③计算：为二面角的平面角，在中解三角形．
图1 图2 图3
法三：射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小；
法四：补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．
例如：过二面角内一点作于，作于，面交棱于点，则就是二面角的平面角．如图3．此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了．
角度1 几何法求异面直线所成角
【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：
（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；
（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值．
【例1】（2021 乙卷文）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，连接，因为∥，所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，设正方体棱长为2，则，
，所以．
【训练1】（2018 全国卷II文）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，
设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则．

角度2 几何法求二面角
【例1】（2013 全国大纲卷理）已知正四棱柱中，，则CD与平面所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【训练2】（2014 四川卷理）如图在正方体中，点为线段的中点． 设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
角度3 射影面积法求二面角
【例1】如图，在正方体中，，，求二面角一一的余弦值．
【训练3】如图△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB =BC =BD，∠ABC =∠DBC =，则二面角 A-BD-C的余弦值为 ．
考向2 静态立体几何
题型1 常见几何体与重要特殊几何体
1．常见空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点
轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆面
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式
3．空间几何体的表面积与体积公式
名称 几何体　　 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱)
锥体(棱锥和圆锥)
台体(棱台和圆台)
球
3． 常考其他几何体
阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵．
再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个．以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马．余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑．
4．正四面体
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．（正四面体的棱长为正方体棱长倍）
在棱长为的正四面体中
结论1：高．
结论2：内切球半径．
结论3：外切球半径．
【例1】（2021 新高考Ⅰ）圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为　　
A．2 B． C．4 D．
【例2】（2022 甲卷）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则　　
A． B． C． D．
【例3】（2023 多选 新高考Ⅱ）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，
，点在底面圆周上，且二面角为，则　　
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为
C． D．的面积为
【例4】（2021 新高考Ⅱ）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为，半径为的球，其上点的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，该卫星信号覆盖地球表面的表面积（单位：，则占地球表面积的百分比约为　　
A． B． C． D．
【例5】（2020 新课标Ⅲ）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为　 　．
【例6】小张同学将一块棱长为的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为　　
A． B． C． D．
【例7】正四面体中，棱长为，高为，外接球半径为，内切球半径为，与平面所成角为，二面角的大小为，则　　
A． B． C． D．
【例8】已知正四面体，点为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 　 　．
【例9】《九章算术商功》：“斜解立方，得两堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一．”如图解释了这段话中由一个长方体得到堑堵、阳马、鳖臑的过程．在一个长方体截得的堑堵和鳖臑中，若堑堵的内切球（与各面均相切）半径为1，则鳖臑体积的最小值为　　
A． B． C． D．
【例10】《九章算术商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．意思是：如图，沿正方体对角面截正方体可得两个堑堵，再沿平面截堑堵可得一个阳马（四棱锥，一个鳖臑（三棱锥，若为线段上一动点，平面过点，平面，设正方体棱长为1，，与图中的鳖臑截面面积为，则点从点移动到点的过程中，关于的函数图象大致是　　
A． B．
C． D．
跟踪训练
【训练1】（2015 山东）在梯形中，，，，将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为　　
A． B． C． D．
【训练2】（2021 新高考Ⅱ）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为　　
A． B． C． D．
【训练3】（2023 甲卷）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，则该棱锥的体积为　　
A．1 B． C．2 D．3
【训练4】（2022 新高考Ⅱ）如图，四边形为正方形，平面，，．记三棱锥，，的体积分别为，，，则　　
A． B． C． D．
【训练5】（2022 新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为　　
A． B． C． D．
【训练6】（2016 新课标Ⅲ）在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是　　
A． B． C． D．
【训练7】（2022 新高考Ⅰ）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为　　
A． B． C． D．
【训练8】若正四面体的表面积为，则其外接球的体积为　　
A． B． C． D．
【训练9】在棱长为1的正四面体中，、分别为、的中点，则下列命题正确的是　　
A． B．
C．平面 D．和夹角的正弦值为
【训练10】《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵中，，且．下列说法正确的是　　
A．四棱锥为“阳马”
B．四面体为“鳖臑”
C．四棱锥体积的最大值为
D．过点分别作于点，于点，则
题型2 截面问题
一、立体几何与截面问题
1．定义
①截面:一个无限长的平面去截几何体，该平面与几何体的交面，为该几何体的截面
②截线:该平面与几何体表面上的交线叫做截线．
③截点:该平面与几何体各棱上的交点叫做截点．连接各截点形成的线段即为截线(在表面上)，连接各截线形成的封闭图形即为截面．
2．作截面的基本逻辑
(1)找截点→连截线→围截面
(2)作截面的理论依据：
①任意两点确定唯一直线，不共线的三点确定唯一平面；
②处于两个平面中的两条直线的交点，在这两条直线所在的平面的交线上；
③若两个平面互相平行，且第三个平面与它们相交，则两条交线平行；
④若一条直线平行于一个平面，经过该直线的平面与该此平面相交，则直线与交线平行：
(3)如何确定该截面是否“完整”
①所画的线是否围成了一个封闭图形
②题目所要求过的点是否都在截面上
③该截面的各个边是否都在几何体的表面(不能在几何体内部)
3．作截面的具体方法
（1）平行线法：适用于有两个或两个以上截面线段在表面上
（2）延长线法：适用于只有一个截面线段在表面上
【例1】正方体的棱长为2，为棱的中点，用过点，，的平面截取该正方体，则截面的面积为　　
A． B． C．5 D．
【例2】正方体中，，分别是，的中点，则过，，三点的平面截正
方体所得的截面形状是　　
A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形
【例3】如图正方体，棱长为1，为中点，为线段上的动点，过点、、的平面截该正方体所得的截面记为．则下列命题正确的是　①②④　（写出所有正确命题的编号）．
①当时，为四边形；
②当时，为等腰梯形；
③当时，为六边形；
④当时，的面积为．
跟踪训练
【训练1】在正方体中，，分别为，的中点，过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为　　
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
【训练2】在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，则经过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为　　
A． B． C． D．
【训练3】正方体的棱长为2，点，，分别是棱，，中点，则过点，，三点的截面面积是　　
A． B． C． D．
【训练4】如图，在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上一个动点，则下列说法不正确的是　　
A．存在点，使直线平面
B．存在点，使平面平面
C．三棱锥的体积为定值
D．平面截正方体所得截面的最大面积为
二、正方体截面问题:
1．正方体的基本截面:
任意三角形 正三角形 梯形 平行四边形 正方形
菱形 矩形 任意五边形 任意六边形 正六边形
正方体的截面不会出现以下图形: 直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形．
2．正方体截面面积最大值:
截面为三角形正三角形
截面为四边形矩形
截面为六边形正六边形
注意：正方体的体对角线与所有棱所成角都相等．
【例1】（2018 新课标Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2023 多选 新高考Ⅰ）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有　　
A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体
C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体
三、球体的截面问题
1．球的截面一定是圆或者是圆的一部分；
2．确定球心与半径，建立直角三角形，计算截面与球心的距离；
3． 最大的截面半径，最小的截面半径．
【例1】正四面体的棱长为4，为棱的中点，过作此正四面体的外接球的截面，则该截面面积的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【例1】【多选】在边长为4的正方形中，如图1所示，，，分别为，，的中点，分别沿，及所在直线把，和折起，使，，三点重合于点，得到三棱锥，如图2所示，则下列结论中正确的是　　
A．
B．三棱锥的体积为4
C．三棱锥外接球的表面积为
D．过点的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为，
【例2】已知三棱锥的各个顶点都在球的表面上，底面，，，，是线段上一点，且．过点作球的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为　　
A． B． C． D．
【训练1】已知两平行的平面截球所得截面圆的面积分别为和，且两截面间的距离为1，则该球的体积为 　 　．
【训练2】如图，正方体的棱长为，以顶点为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于　　
A． B． C． D．
题型3 几何体外接球
一、长方体切割体的外接球
图1墙角体 图2鳖臑 图3挖墙角体 图4对角线相等的四面体
【例1】（2020 天津）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为　　
A． B． C． D．
【例2】（2019 新课标Ⅰ）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为　　
A． B． C． D．
二、锥体的外接球
【例1】（2021 甲卷）已知，，是半径为1的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为　　
A． B． C． D．
【例2】（2020 新课标Ⅰ）已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆．若的面积为，，则球的表面积为　　
A． B． C． D．
【例3】（2021 天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为　　
A． B． C． D．
【例4】（2015 新课标Ⅱ）已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为　　
A． B． C． D．
三、含垂面and二面角的外接球
1．双半径单交线公式：
．
【例1】已知在三棱锥中，面面，和均是边长为的正三角形，则该三棱锥的外接球体积为　 ．
【例2】已知平面图形，为矩形，，是以为顶点的等腰直角三角形，如图所示，将沿着翻折至△，当四棱锥体积的最大值为，此时四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．双距离单交线公式：．证明：如图，若空间四边形中，
二面角的平面角大小为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，
为公共弦中点，则，，，，，
由于四点共圆，且，余弦定理，
得．
【例1】已知三棱锥所有顶点都在球的球面上，为边长为的正三角形，是以为斜边的直角三角形，且，二面角为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型4 几何体内切球
1．棱锥的内切球半径：等体积法
第一步、先求出四个表面的面积和整个锥体的体积．
第二步、设内切球半径为，建立等式：．
第三步、解出．
注意：正四面体（棱长为）的外接球半径与内切球半径之比为．
外接球半径：，内切球半径：．
【例1】正三棱锥，底面边长为，侧棱长为，则其外接球和内切球的半径是多少
2．圆锥的内切球问题
【例2】（2023 合肥月考）已知某圆锥的高为4，其内切球的体积为，则该圆锥的侧面积　　
A． B． C． D．
【例3】点是棱长为4的正四面体表面上的动点，是该四面体内切球的一条直径，则的最大值是　 ．
跟踪训练
【训练1】（2016 新课标Ⅱ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为　　
A． B． C． D．
【训练2】（2017 新课标Ⅰ）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径．若平面平面，，，三棱锥的体积为9，则球的表面积为　　．
解：三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径，若平面平面，，，三棱锥的体积为9，可知三角形与三角形都是等腰直角三角形，
设球的半径为，可得，解得．球的表面积为：．故答案为：．
【训练3】（2022 乙卷）已知球的半径为1，四棱锥的顶点为，底面的四个顶点均在球的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为　　
A． B． C． D．
【训练4】在三棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，，则该三棱锥外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【训练5】在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面，，且，则其内切球表面积为　　
A． B． C． D．
题型5 几何体棱切球
1．常用结论：
①已知正方体的棱长为，则它的棱切球半径为．
②已知正三棱柱的棱长均为，则它的棱切球半径为．
③已知正四面体的棱长为，则它的棱切球半径为．
解题技巧：
①找切点，找球心，构造直角三角形．
②正棱柱的棱切球的球心为上下底面中心连线的中点，正棱锥的棱切球的球心在其高线上，可以通过对称性或者截面圆心的垂心确定．
③棱长都为的正棱柱，则棱切球的半径为．
【例1】已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为
A． B． C． D．
【题2】已知球的表面积为，若球与正四面体的六条棱均相切，则此四面体的体积为（ ）
A．9 B． C． D．
【题3】已知正三棱柱的高等于1，一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为　　
A． B． C． D．
【训练1】已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【训练2】已知三棱锥的棱长均为，则与其各条棱都相切的球的体积为 .
【训练3】已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，，则　 　．
【训练4】正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，若球H与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
考向3 动态立体几何
立体几何中的动态翻折问题
1．关于点的轨迹：某些点、线、面按照一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹的关键是找到关键点和翻折过程中不变的数量关系与位置关系．
2．证明或探索位置关系：
①确定翻折前后变与不变的关系，一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决．
②确定翻折后关键点的位置，所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算
3．关于体积最值问题，将一个多边形沿一条线折叠得到一个棱锥,当该棱锥的体积最大时,以折线为交线的两个半平面垂直，当在折叠过程中棱锥的底面积和高度同时变化时，则需要构建目标函数，通过自变量的范围,求函数最值解决．
4．旋转问题，两线段距离之和最值问题，将不共面的两线段旋转到同一平面，再利用平面几何知识进行求解．
题型1 轨迹问题
【例1】如图，矩形中，，为边的中点，将沿翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，点的轨迹为（ ）
A．椭圆的一段 B．直线的一段 C．抛物线的一段 D．一段圆弧
【例2】已知正方形ABCD的边长为2，将沿AC翻折到的位置，得到四面体，在翻折过程中，点始终位于所在平面的同一侧，且的最小值为，则点D的运动轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
题型2 最值问题
【例3】（2021 上海）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则的面积的取值范围为 　 　．
【例4】在梯形中，，将沿直线翻折成，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为_______．
【例5】（2017 新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为．、、为圆上的点，，，分别是以，，为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得、、重合，得到三棱锥．当的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：的最大值为 　 　．
【例6】如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
题型3 旋转问题
【例1】如图，正方体的棱长为2，是面对角线上一动点，是底面上一动点，则的最小值是 　 　．
【例2】在棱长为1的正方体中，点满足，，，，，则以下说法正确的是　　
A．当时，平面
B．当时，存在唯一点使得与直线的夹角为
C．当时，的最小值为
D．当点落在以为球心，为半径的球面上时，的最小值为
跟踪训练
【训练1】如图，将四边形中，沿着翻折到，则翻折过程中线段中点的轨迹是（ ）
A．椭圆的一段 B．抛物线的一段
C．双曲线的一段 D．一段圆弧
【训练3】如图1，直线将矩形分为两个直角梯形和，将梯形沿边翻折，如图2，在翻折过程中（平面和平面不重合），下列说法正确的是（ ）
A．在翻折过程中，恒有直线平面 B．存在某一位置，使得平面
C．存在某一位置，使得 D．存在某一位置，使得平面
【训练4】已知矩形中，，，F为线段上一动点（不含端点），现将沿直线进行翻折，在翻折的过程中不可能成立的是（ ）
A．存在某个位置，使直线与垂直
B．存在某个位置，使直线与垂直
C．存在某个位置，使直线与垂直
D．存在某个位置，使直线与垂直
【例4】已知平面四边形ABCD，连接对角线BD，得到等边三角形ABD和直角三角形BCD，且，，，将平面四边形ABCD沿对角线BD翻折，得到四面体，则当四面体的体积最大时，该四面体的外接球的表面积为（ ）
A．12π B．18π C．21π D．28π
【训练5】（2022 新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【训练6】在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面平面，活动弹子分别在正方形对角线，上移动，则长度的最小值是 ．
【训练7】已知棱长为2的正方体中，为棱上一动点，则的最小值为 　 　．
【训练8】【多选】如图，已知正方体的棱长为1，是线段上的动点，是线段的中点，则下列说法正确的是　　
A．
B．三棱锥的体积为定值
C．的最小值是
D．如果点是线段的中点，则平面截正方体所得的截面周长为
拓展思维1 新定义问题
【例1】如图，撑开的伞面可近似看作一个球冠．球冠是球面被平面所截得的一部分曲面，其中截得的圆面是底面，垂直于圆面的直径被截得的部分是高．球冠的面积，其中R为球冠对应球面的半径，为球冠的高，则撑开的伞面的面积大约为（ ）

A． B． C． D．
【例2】北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各项点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为．已知多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足，则八面体的总曲率为（ ）

A． B． C． D．
【例3】祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等.由曲线围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为，满足的点组成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为，则满足以下哪个关系式（ ）
A． B． C． D．
【例4】“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi-regularsolid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（ ）
A．该半正多面体的体积为
B．该半正多面体过三点的截面面积为
C．该半正多面体外接球的表面积为
D．该半正多面体的顶点数、面数、棱数满足关系式
跟踪训练
【训练1】若给定一向量组和向量，如果存在一组实数，使得，则称向量能由向量组A线性表示，或称向量是向量组A的线性组合，若为三个不共面的空间向量，且向量是向量组的线性组合，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【训练2】刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为.根据曲率的定义，正方体在每个顶点的曲率为 ，四棱锥的总曲率为 .
【训练3】如果一个凸n面体共有m个面是直角三角形，那么我们称这个凸n面体的直度为，则（ ）
A．三棱锥的直度的最大值为1
B．直度为的三棱锥只有一种
C．四棱锥的直度的最大值为1
D．四棱锥的直度的最大值为
【训练4】空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面α的方程为，经过点的直线l的方程为，则直线l与平面α所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【训练5】如图①，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.某航空制造公司研发一种新的机械插件，其左右两部分为圆柱，中间为球切除两个相同的“球缺”剩余的部分，制作尺寸如图②所示（单位：cm）.则该机械插件中间部分的体积约为（）（ ）
A． B．
C． D．
【训练6】18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式)(其中分别为的高、上底面面积、中截面面积、下底面面积)，我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为，可得该球的体积为；已知正四棱锥的底面边长为，高为，可得该正四棱锥的体积为.类似地，运用该公式求解下列问题:如图，已知球的表面积为，若用距离球心都为的两个平行平面去截球，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为 .

拓展思维2 折叠中的向量不变性
斯坦纳定理
对角线向量定理之折痕向量乘积不变性
①
如左图所示，在中，由余弦定理的向量式有；在中，同理有．所以在四边形ABCD中，,即,这就是对角线向量定理（斯坦纳定理）．
推论1：cos②
说明：式子①②既适用于平面向量也适用于空间向量
推论2：在空间向量中涉及折叠的问题，一定有折痕的向量与任意向量在折叠前后对应的向量的乘积不变；
证明：如右图所示，在四边形中，沿着折叠后，移到了位置，则．
【例1】（2005 浙江）如图所示，、是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E，现将沿DE折起，使二面角为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则、的连线与AE所成的角的大小为 ．
【例2】（2015 浙江）如图，三棱锥中，，，点，分别是，的中点，则异面直线，所成的角的余弦值是 ．
【例3】（2009 浙江）如图在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上的动点，现将沿折起，使平面平面，在平面内过点做，为垂足，设，则的取值范围是 ．
【例4】（2012 浙江）已知矩形ABCD，AB=1，BC=，将沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ）
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线AC与BD，AB与CD，AD与BC均不垂直
【例5】（2016 浙江）如图已知平面四边形，，，,，沿直线AC将翻折成，直线与所成角的余弦值的最大值是 ．
类型三．异面直线两点间距离公式与对角线向量定理
（1）作于点.于点，（2）平移交于点，（3）于点，（4）连接，.
则：.其中也是二面角的平面角；
其实对角线向量定理可以完整解决这个问题，不妨看看例题.
【例6】如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，则的长为（　　）
A． B．7 C． D．9
线线角，线面角与二面角分析与计算
1.三余弦定理（最小角定理）：如图所示，设为平面上一点，过点的斜线在平面上的射影为，为平面内的一条直线，那么，，三角的余弦关系为
【证明】如图，过点作于点，过点作于点，连，则，，均为直角三角形.令，，，则，，
显然，且，即斜线与射影所成的角是斜线与平面内的任何直线所成的角中的最小的角.
2．三正弦定理（最大角定理）:对于一个锐二面角，在其中一个半平面内的任一条直线与另一个半平面所成的线面角的最大值等于二面角的平面角，即二面角是最大的线面角.(由三正弦定理可得)
证明 如图，过平面内一点作底平面的垂线，垂足为，则为与底平面所成的角，即，所以，在平面中，过点作棱的垂线，垂足为B，连接，则，为二面角的平面角，即，所以.又，
因此.
类型一 最大角和最小角定理判断角度大小
关于异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角，这三个角度比大小成为了近年考试的热点和重难点，根据最小角定理，即异面角线面角，再根据最大角定理，即二面角线面角，所以通常线面角最小，二面角和异面角则需要具体情况具体分析.
【例1】(2022·浙江卷)如图，已知正三棱柱，，，分别是棱，上的点.记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A. B. C. D.
【例2】(2019·浙江卷)设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点(不含端点).记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（ ）
A.， B.， C.， D.，
【例3】（2018·浙江卷）已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点）.设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）.
A. B. C. D.
【例4】如图，在正四面体中，已知，分别为，的中点，为线段上的动点（包括端点）.记与所成角的最小值为，与平面所成角的最大值为，则（ ）.
A. B. C. D.
【例5】如图，在四棱锥中，已知底面是边长为2的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面，点是线段上的动点（不含端点）.若线段上存在点（不含端点），使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【例6】（2023四省联考）下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算.图中的，，，都是以为圆心的圆弧，是为计算所做的矩形，其中M，N，K，分别在线段OD，OB，OA上，，.记，，，，则
A. B. C. D.
类型二 二面角小题的方法选取
在一些二面角的小题中，我们通常在三正弦定理和面积射影定理中进行选取，这里考查我们立体几何的基本功.
【例7】（2024·多选·广东模拟）直棱柱中，，E分别是，的中点，.则下列判断正确的是　　
A.面 B. C. D.二面角的平面角的正弦值为
【例8】(2024·多选·武汉模拟)如左图，在直三棱柱中，，，，是的中点.则下列判断正确的是　　
A.面 B.异面直线与所成角的余弦值为
C. D.面与面的平面角的正弦值为
【例9】(2024·多选·广州模拟)如图，在四面体中，平面.，，.是的中点，是的中点，点在线段上，且,二面角的大小为，则下列判断正确的是　　
A.平面 B.二面角的大小为 C. D.体积为
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第七章 立体几何小题篇课后练习
1．（2024 和平区期末）正方体中，为的中点，则直线垂直于　　
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
2．（2024 贵州期末）在棱长为4的正方体中，点到平面的距离为 ．
3．（2024 黑龙江模拟）在直三棱柱中，，，则点A到平面的距离为 ．
4．（2024 昆明模拟）如图，棱长为2的正方体ABCD –A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过E作平面，使得//平面BDF，求平面与平面的距离．
5．（2008 全国卷II理）已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2007 全国大纲卷文）已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2024 深圳模拟）如图所示，四棱锥中，平面，，
，．求平面和平面所成锐二面角的余弦值．
8．（2024 南海区月考）正四面体中，二面角的余弦值等于　　
A． B． C． D．
9．（2024 六盘水期末 多选）已知正四面体的棱长为2，、分别是和的中点，下列说法正确的是　　
A．直线与直线互相垂直
B．线段的长为
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．正四面体内存在点到四个面的距离都为
10．（2020 浙江）已知圆锥的侧面积（单位：为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：是　 　．
11．（2018 新课标Ⅰ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为　　
A． B． C． D．
12．（2021 甲卷）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为，则该圆锥的侧面积为　　．
13．（2023 乙卷）已知圆锥的底面半径为，为底面圆心，，为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为　　
A． B． C． D．
14．（2023 新高考Ⅰ）在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为 　　．
15．（2023 新高考Ⅱ）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，
高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 　 　．
16．（2023 天津）在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为　　
A． B． C． D．
17．（2021 天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为　　
A． B． C． D．
18．（2020 新课标Ⅰ）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为　　
A． B． C． D．
19．（2020 海南）已知正方体的棱长为2，、分别为、的中点，则三棱锥的体积为　 　．
20．（2019 江苏）如图，长方体的体积是120，为的中点，则三棱锥的体积是 　 　．
21．（2018 江苏）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 　 　．
22．（2018 天津）已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点，，，，（如图），则四棱锥的体积为　 　．
23．（2017 江苏）如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是　 　．
24．（2019 新课标Ⅲ）学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为．不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 　 　．
25．（2024 四川模拟）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称作鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为　　
A． B． C． D．
26．（2024 武昌区月考）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．现有鳖臑，其中平面，，过作，，记四面体，四棱锥，鳖臑的外接球体积分别为，，，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
27．（2024 衡水月考）如图，正方体的棱长为6，是的中点，点在棱上，且.作出过点，，的平面截正方体所得的截面，写出作法；
28．（2024 河南月考）棱长为6的正方体中，点E是线段的中点，点F在线段上，，则正方体被平面所截得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
29．（2024 江西月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，为的中点.过作截面将此四棱锥分成上 下两部分，记上 下两部分的体积分别为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
30．（2024 长沙月考）如图，在棱长为1的正方体的对角线上任取一点，以为球心，为半径作一个球．设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图象最有可能的是　　
A． B．
C． D．
31．（2024 深圳期末）如图，棱长为2的正方体的外接球的球心为，、分别为棱、的中点，在棱上，则　　
A．对于任意点，平面
B．存在点，使得平面平面
C．直线被球截得的弦长为
D．过直线的平面截球所得的截面圆面积的最小值为
32．（2017 天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体
积为　 ．
33．（2013 江苏）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
34．（2024 山西模拟）一圆锥的高为4，该圆锥体积与其内切球体积之比为，则其内切球的半径是　　
A． B．1 C． D．
35．（2024 江苏月考）在四面体中，，，为等边三角形，二面角的余弦值为，则四面体的外接球表面积为 ．
36．（2024 镇海月考）已知矩形，，，、分别为边、的中点.沿直线将翻折成，在点从至的运动过程中，的中点的轨迹长度为______.
37．（2024 武汉月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2a，E是AB的中点，将△ADE沿DE翻折至△A1DE的位置，使三棱锥A1﹣CDE的体积取得最大值，若此时三棱锥A1﹣CDE外接球的表面积为16π，则a＝（ ）
A．2 B． C． D．4
38．（2024 佛山月考）是边长为的等边三角形，、分别在、上滑动，，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，则四棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．2
39．（2024 苏州月考）已知矩形，，，现将沿对角线向上翻折，若翻折过程中的长度在范围内变化，则点的运动轨迹的长度是（ ）
A． B． C． D．
40．（2024 武汉月考）在中，，，，是边上的动点，设，把沿翻折为△，若存在某个位置，使得异面直线与所成的角为，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
41．（2024·衡水模拟）已知正方体的棱长为1，是棱的中点，为棱上的动点（不含端点），记 面直线与所成的角为，则的取值范围是 .
42．（2024 潍坊月考）如图，棱长为3的正方体中，，分别为线段上和线段上任意一点，则的最小值为　　
A． B．4 C． D．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第七章 立体几何小题篇课后练习
1．（2024 和平区期末）正方体 ABCD A1B1C1D1中， E为 A1C1的中点，则直线CE垂直于 ( )
A．直线 AC B．直线 B1D1 C．直线 A1D1 D．直线 A1A
2．（2024 贵州期末）在棱长为 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点B1到平面 A1BC1的距离为 ．
3．（2024 黑龙江模拟）在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB AC BC 2， AA1 1，则点 A到平面 A1BC的
距离为 ．
4．（2024 昆明模拟）如图，棱长为 2 的正方体 ABCD –A1B1C1D1中，E，F分别是棱 AA1，CC1的中点，过
E作平面 ，使得 //平面 BDF，求平面 与平面 BDF 的距离．
5．（2008 全国卷 II 理）已知正四棱锥 S ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是 SB的中点，则 AE，SD所
成的角的余弦值为（ ）
1 2
A B 2 3． ． C． D．
3 3 3 3
6．（2007 全国大纲卷文）已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的 2 倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）
A 3 B 3 C 2 D 3． ． ． ．
6 4 2 2
7．（2024 深圳模拟）如图所示，四棱锥 S ABCD中， SA 平面 ABCD， AD / /BC ，
SA AB BC CD 1， AD 2．求平面 SAB和平面 SCD所成锐二面角的余弦值．
8．（2024 南海区月考）正四面体 A BCD中，二面角 A BC D的余弦值等于 ( )
A 1． B 1． C 1． D 1．
2 3 4 6
9．（2024 六盘水期末 多选）已知正四面体 ABCD的棱长为 2， E、 F 分别是 AB和CD的中点，下列说法
正确的是 ( )
A．直线 BD与直线 AC互相垂直
B．线段 EF 2的长为
2
C．直线 AB与平面 BCD 6所成角的正弦值为
3
D 6．正四面体 ABCD内存在点到四个面的距离都为
6
10．（2020 浙江）已知圆锥的侧面积（单位：cm2 )为 2 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底
面半径（单位： cm)是 ．
11．（2018 新课标Ⅰ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2 ，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截
面是面积为 8的正方形，则该圆柱的表面积为 ( )
A．12 2 B．12 C．8 2 D．10
12．（2021 甲卷）已知一个圆锥的底面半径为 6，其体积为 30 ，则该圆锥的侧面积为 39 ．
13．（2023 乙卷）已知圆锥 PO的底面半径为 3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线， AOB 120 ，
PAB 9 3若 的面积等于 ，则该圆锥的体积为 ( )
4
A． B． 6 C．3 D．3 6
14．（2023 新高考Ⅰ）在正四棱台 ABCD A1B1C1D1中，AB 2，A1B1 1，AA1 2 ，则该棱台的体积为 ．
15．（2023 新高考Ⅱ）底面边长为 4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 2，
高为 3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
16．（2023 1 天津）在三棱锥 P ABC 中，线段 PC 上的点 M 满足 PM PC ，线段 PB上的点 N 满足
3
PN 2 PB，则三棱锥 P AMN 和三棱锥 P ABC的体积之比为 ( )
3
A 1 B 2 C 1． ． ． D 4．
9 9 3 9
17 2021 32 ．（ 天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个圆锥
3
的高之比为1: 3，则这两个圆锥的体积之和为 ( )
A．3 B． 4 C．9 D．12
18．（2020 新课标Ⅰ）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四
棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正
方形的边长的比值为 ( )
A 5 1 B 5 1 C 5 1 D 5 1． ． ． ．
4 2 4 2
19．（2020 海南）已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，M 、 N分别为 BB1 、 AB的中点，则三棱锥
A NMD1的体积为 ．
20．（2019 江苏）如图，长方体 ABCD A1B1C1D1的体积是 120， E为CC1的中点，则三棱锥 E BCD的体
积是 ．
21．（2018 江苏）如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．
22．（2018 天津）已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，除面 ABCD外，该正方体其余各面的中心分别
为点 E， F ，G，H ，M （如图），则四棱锥M EFGH 的体积为 ．
23．（2017 江苏）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2
V
的体积为V1，球O的体积为V ，则 12 的值是 ．V2
24．（2019 新课标Ⅲ）学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体
ABCD A1B1C1D1挖去四棱锥O EFGH 后所得的几何体，其中O为长方体的中心， E， F ，G ，H 分别
为所在棱的中点， AB BC 6cm， AA1 4cm.3D打印所用原料密度为 0.9g / cm
3．不考虑打印损耗，制作
该模型所需原料的质量为 g．
25．（2024 四川模拟）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称作鳖臑．如图，在鳖臑 S ABC
中，SC 平面 ABC， ABC是以点 B为直角顶点的等腰直角三角形，且 SC AB，E，F 分别为 SA，BC
的中点，则异面直线 EF与 BS 所成角的大小为 ( )
A．90 B． 60 C． 45 D．30
26．（2024 武昌区月考）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，
将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．现有鳖臑 S ABC，其中 SA 平面 ABC，AB BC，过 A
作 AD SB，AE SC，记四面体 S ADE，四棱锥 A BCED，鳖臑 S ABC的外接球体积分别为V1，V2，
V V1 V，则 2 的取值范围是 ( )
V
A 2． [ ,1) B． (1, 2] C． [ 2,2) D．[ 3,2)
2
27．（2024 衡水月考）如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 6，M 是 A1B1的中点，点N在棱CC1上，且
CN 2NC1 .作出过点D，M ， N的平面截正方体 ABCD A1B1C1D1所得的截面，写出作法；
28．（2024 河南月考）棱长为 6的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E是线段C1D1的中点，点 F在线段 BB1上，
BF 4，则正方体 ABCD A1B1C1D1被平面 AEF 所截得的截面面积为（ ）
A 27 17 B 21 17 C 15 17． ． ． D 13 17．
2 2 2 2
29．（2024 江西月考）如图，在四棱锥Q EFGH 中，底面是边长为 2 2的正方形，QE QF QG QH 4，
V
M 为QG的中点. 1过 EM 作截面将此四棱锥分成上 下两部分，记上 下两部分的体积分别为V1，V2，则V 的2
最小值为（ ）
1 1 1
A 1． 2 B． C． D．3 4 5
30．（2024 长沙月考）如图，在棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1的对角线 AC1上任取一点 P，以 A为球
心， AP为半径作一个球．设 AP x，记该球面与正方体表面的交线的长度和为 f (x)，则函数 f (x)的图象
最有可能的是 ( )
A． B．
C． D．
31．（2024 深圳期末）如图，棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1的外接球的球心为O，E、F 分别为棱 AB、
CC1的中点，G在棱 BC上，则 ( )
A．对于任意点G，OA / /平面 EFG
B．存在点G，使得平面OAD 平面 EFG
C．直线 EF 被球O截得的弦长为 10
D ．过直线 EF 的平面截球O所得的截面圆面积的最小值为
2
32．（2017 天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体
积为 ．
33．（2013 江苏）一个四面体的所有棱长都为 2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A．3 B． 4 C．3 3 D． 6
34．（2024 山西模拟）一圆锥的高为 4，该圆锥体积与其内切球体积之比为 2 :1，则其内切球的半径是 ( )
A 2． B．1 C． 2 D． 3
2
35．（2024 江苏月考）在四面体 S ABC中， AB BC， AB BC 2 ，△SAC为等边三角形，二面角
S AC B 3的余弦值为 ，则四面体 S ABC的外接球表面积为 ．
3
36．（2024 镇海月考）已知矩形 ABCD，AB 4，BC 2，E、F分别为边 AB、CD的中点.沿直线DE将
ADE翻折成 PDE，在点 P从A至 F 的运动过程中，CP的中点G的轨迹长度为______.
37．（2024 武汉月考）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2AD＝2a，E 是 AB 的中点，将△ADE 沿 DE 翻折至△A1DE
的位置，使三棱锥 A1﹣CDE 的体积取得最大值，若此时三棱锥 A1﹣CDE 外接球的表面积为 16π，则 a＝（ ）
A．2 B． 2 C．2 2 D．4
38．（2024 佛山月考） ABC是边长为 2 3的等边三角形，E、F 分别在 AB、AC上滑动，EF∥BC ，沿 EF
把△AEF 折起，使点A翻折到点 P的位置，连接 PB、 PC，则四棱锥 P BCFE的体积的最大值为（ ）
A． 2 2 B． 3 C．3 D．2
39．（2024 苏州月考）已知矩形 ABCD， AB 3， AD 1，现将 ACD沿对角线 AC向上翻折，若翻折过
7 13
程中 BD的长度在 , 范围内变化，则点D的运动轨迹的长度是（ ）
2 2

A． B 3 C 5 ． ． D 5 ．
2 6 6 3
40．（2024 武汉月考）在Rt ABC中， C ， AC 1，BC 3，D是 AB边上的动点，设 BD x，把
2
BDC沿DC 翻折为△ B DC，若存在某个位置，使得异面直线 B C 与 AD所成的角为 ，则实数 x的取值
3
范围是 ( )
A 0 x 3 3 B 3 3 x 2 3 2 2． ． 2 C． 0 x D． x 2
2 2 2 2
41．（2024·衡水模拟）已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，E是棱 A1D1的中点，G为棱 BC上的动点
（不含端点），记 面直线 AB 与 EG所成的角为 ，则 sin 的取值范围是 .
42．（2024 潍坊月考）如图，棱长为 3的正方体 ABCD A1B1C1D1中，M ，N分别为线段 AC1上和线段C1D
上任意一点，则 A1M MN的最小值为 ( )
A． 2 5 B．4 C．3 2 D． 2 3第七章 立体几何第 1 节 小题篇
考向 1 空间点线面的位置关系
题型 1 三垂线定理速证垂直
三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂
直．
已知 PO是平面 的垂线，垂足为O， PA 是平面 的斜线，斜足为 A，直线 l ．
求证：（1）若 l PA ，则 l OA；
（2）若 l OA，则 l PA ．
PO
PO l
证明：（1） l l 平面OPA ，又OA 平面OPA，故 l OA；
l PA，PO PA P
PO
PO l
（2） l l 平面OPA，又 PA 平面OPA ，故 l PA ．
l OA，PO PA P
【例 1】如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，体对角线 AC1与面对角线 BD的位置关系一定是 ( )
A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面
【例 2】在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点M ，N分别是棱 DD1 和线段 BC1 上的动点，则满足与 DD1 垂直的
直线MN ( )
A．有且仅有 1 条 B．有且仅有 2 条 C．有且仅有 3 条 D．有无数条
1
【例 3】（2021 浙江）如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 ，M ， N分别是 A1D，D1B的中点，则 ( )
A．直线 A1D与直线 D1B垂直，直线MN / / 平面 ABCD
B．直线 A1D与直线D1B平行，直线MN 平面 BDD1B1
C．直线 A1D与直线D1B相交，直线MN / / 平面 ABCD
D．直线 A1D与直线 D1B异面，直线MN 平面 BDD1B1
跟踪训练
【训练 1】如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，O是底面 ABCD的中心，M ，N，P，Q分别为棱 AA1 ，DD1 ，
A1B1， B1C1 的中点，则下列与 B1C垂直的是 ( )
A．OM B．ON C．OP D．OQ
【训练 2】如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 ， E， F 分别是 AB1， BC1 的中点，则下面结论一定成立的
是 ( )
A． EF 与 A1C1 平行 B． BC1 与 AB1所成角大小为 3
C． EF 与 BB1 垂直 D． EF 与 BD垂直
2
题型 2 几何法求解距离问题
①两点间的距离：构造直角三角形，利用勾股定理处理；
②点到平面的距离：等体积法；
③直线到平面的距离：转化为求点到面的距离；
④平面到平面间的距离：转化为求点到面的距离．
注意：若二面角非直角，可以考虑用向量转化求解距离，如训练 5．
【例 1】在矩形 ABCD中， AB 1， AD 3 ，沿对角线 AC将矩形折成一个直二面角 B AC D，则点 B
与点 D之间的距离为（ ）
A． 3 B． 5 C 10 D 5． ．
2 2
【例 2】如图，已知在矩形 ABCD中， AD 4， AB 3，M为边 BC的中点，将 ABM ，VCDM 分别沿着
直线 AM，MD翻折，使得 B，C两点重合于点 P，则点 P到平面 MAD的距离为 ．
【例 3】已知正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= 2 2 E 为 CC1的中点，则直线 AC1与平面 BED
的距离为
A．2 B． 3 C． 2 D．1
3
【例 4】直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD为正方形，边长为 2 ，侧棱 A1A 3，M、N分别为 A1B1、A1D1
的中点， E、F分别是C1D1, B1C1的中点，求平面 AMN与平面 EFBD的距离．
跟踪训练
【训练 1】（2009 全国 1 卷）已知二面角 l 为60 ，动点 P、Q分别在面 、 内，P到 的距离为
3 ，Q到 的距离为 2 3，则 P、Q两点之间距离的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． 2 3 D．4
【训练 2】在三棱锥 P ABC中，PC 底面 ABC, BAC 90 , AB AC 4, PBC 45 ，则点C到平面 PAB
的距离是（ ）
A 4 6 B 2 6 C 4 3 D 4 2． ． ． ．
3 3 3 3
【训练 3】如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1，证明直线 BC1平行于平面 DA1C，
并求直线 BC1 到平面 D1AC 的距离．
【训练 4】在长方体 ABCD A1B1C1D1中，已知 AB 3，BC 4， AC1与平面 ABCD所成角的大小是30 ，那
么平面 ABCD到平面 A1B1C1D1的距离是 ．
4
【训练 5】已知矩形 ABCD， AB 1，BC 3 ，沿对角线 AC 将 ABC折起，若二面角 B AC D的大小
为120 ，则 B，D两点之间的距离为 ．
题型 3 几何法处理夹角问题
知识点 1：线与线的夹角
平行直线
共面直线
1 （ ）位置关系的分类： 相交直线

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
（2）异面直线所成的角
①定义：设 a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线 a ∥a，b ∥b，把 a 与 b 所成的锐角（或
直角）叫做异面直线 a与 b所成的角（或夹角）．
②范围： (0 ， ]
2
③求法：平移法：将异面直线 a，b平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．
知识点 2：线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
②范围： [0 ， ]
2
③求法：
常规法：过平面外一点 B做 BB 平面 ，交平面 于点 B ' ；连接 AB ，则 BAB 即为直线 AB与平

面 的夹角．接下来在 Rt△ABB BB h中解三角形．即 sin BAB （其中 h即点 B到面 的距离，
AB 斜线长
可以采用等体积法求 h，斜线长即为线段 AB的长度）；
知识点 3：二面角
（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，
这两个平面称为二面角的面．（二面角 l 或者是二面角 A CD B）
（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于
棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围 [0， ]．
5
（3）二面角的求法
法一：定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，
如图在二面角 l 的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面 和 内作垂直于棱的射线OA和
OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就
相当于求两条异面直线的夹角即可）．
法二：三垂线法
在面 或面 内找一合适的点 A，作 AO 于O，过 A作 AB c于 B，则 BO为斜线 AB在面 内的
射影， ABO为二面角 c 的平面角．如图 1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点 A，作 AO 于O；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过 A作 AB c于 B，连接 BO；
③计算： ABO为二面角 c 的平面角，在 Rt△ABO中解三角形．
图 1 图 2 图 3
法三：射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面
S S
积公式（ cos 射 = A 'B 'C ' ，如图 2）求出二面角的大小；
S S
斜 ABC
法四：补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为
补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面
积法解题．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是
二面角的平面角．
例如：过二面角内一点 A作 AB 于 B，作 AC 于C，面 ABC交棱 a于点O，则 BOC就是二面
6
角的平面角．如图 3．此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了．
角度 1 几何法求异面直线所成角
【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：
（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所
在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；
（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余
弦取绝对值即为直线所成角的余弦值．
【例 1】（2021 乙卷文）在正方体 ABCD A1B1C1D1中，P为 B1D1的中点，则直线 PB与 AD1 所成的角为（ ）
π π π π
A． B． C． D．
2 3 4 6
【答案】D
【详解】如图，连接 BC1,PC1,PB，因为 AD1 ∥ BC1，所以 PBC1 或其补角为直线 PB与 AD1 所成的角，
因为 BB1 平面 A1B1C1D1，所以BB1 PC1，又 PC1 B1D1， BB1 B1D1 B1，
所以 PC1
1
平面 PBB1 ，所以PC1 PB， 设正方体棱长为 2，则 BC1 2 2,PC1 D1B1 2 ，2
sin PC 1 PBC1 1

BC 2 ，所以 PBC1 ．1 6
【训练 1】（2018 全国卷 II 文）在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E为棱CC1 的中点，则异面直线 AE与CD所
成角的正切值为（ ）
A 2． B 3 5． C． D 7．
2 2 2 2
【答案】C
【详解】在正方体 ABCD A1B1C1D1中，CD //AB，所以异面直线 AE与CD所成角为 EAB，
设正方体边长为 2a，则由 E为棱CC1 的中点，可得CE a
BE 5a 5
，所以 BE 5a，则 tan EAB ．
AB 2a 2
7
角度 2 几何法求二面角
【例 1】（2013 全国大纲卷理）已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AA1 2AB，则 CD 与平面 BDC1 所成
角的正弦值等于（ ）
1
A 2． 3 B
3 2
． C． D．
3 3 3
【训练 2】（2014 四川卷理）如图在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点． 设点 P在线段CC1
上，直线OP与平面 A1BD所成的角为 ，则 sin 的取值范围是（ ）
A [ 3 ,1] B [ 6 ,1] C [ 6 , 2 2 ] D [2 2． ． ． ． ,1]
3 3 3 3 3
角度 3 射影面积法求二面角
【例 1】如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB 3 ，CE 2EC1，求二面角D一 BE 一C 的余弦值．
8
【训练 3】如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且 AB =BC =BD，∠ABC =∠DBC =1200 ，则二面角 A-BD-C
的余弦值为 ．
考向 2 静态立体几何
题型 1 常见几何体与重要特殊几何体
1．常见空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
相交于一点，但不一定
侧棱 平行且相等 延长线交于一点
相等
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
互相平行且相等，垂
母线 相交于一点 延长线交于一点
直于底面
轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆面
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
9
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧 =2 rl S圆锥侧 = rl S = (r＋r )l圆台侧
3．空间几何体的表面积与体积公式
名称
表面积 体积
几何体
柱体(棱柱和圆柱) S表面积=S侧+2S底 V =Sh
1
锥体(棱锥和圆锥) S表面积=S侧+S底 V= Sh3
1
台体(棱台和圆台) S表面积=S侧+S上+S下 V= (S +S下+ S S3 上 上 下
) h
4
球 S=4 R2 V= R33
3． 常考其他几何体
阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样
的三棱柱，称为堑堵．
再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个．以矩形为底，另有一棱与底面垂直的
四棱锥，称为阳马．余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑．
10
4．正四面体
2
如图，设正四面体ABCD 的的棱长为a ，将其放入正方体中，则正方体的棱长为 a ，显然正四面体和正
2
方体有相同的外接球．（正四面体的棱长为正方体棱长 2 倍）
在棱长为 a的正四面体中
结论 1 6：高 h a．
3
2 6结论 ：内切球半径 r a．
12
6
结论 3：外切球半径 R a．
4
【例 1】（2021 新高考Ⅰ）圆锥的底面半径为 2 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 ( )
A．2 B． 2 2 C．4 D． 4 2
【例 2】（2022 甲卷）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2 ，侧面积分别为 S甲和
S V
S乙 ，体积分别为V甲和V乙．若
甲 2，则 甲 ( )
S乙 V乙
A． 5 B． 2 2 C． 10 D 5 10．
4
【例 3】（2023 多选 新高考Ⅱ）已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为O， AB为底面直径， APB 120 ，
PA 2 ，点C在底面圆周上，且二面角 P AC O为 45 ，则 ( )
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为 4 3
C． AC 2 2 D． PAC的面积为 3
11
【例 4】（2021 新高考Ⅱ）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，
地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 36000km（轨道高度是指卫星到地球表
面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径 r 为 6400km的球，其上点 A的纬度是指OA与赤道平面所
成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，该卫星信号覆
盖地球表面的表面积 S 2 r2 (1 cos ) （单位： km2 )，则 S占地球表面积的百分比约为 ( )
A． 26% B．34% C． 42% D．50%
【例 5】（2020 新课标Ⅲ）已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．
【例 6】小张同学将一块棱长为 2 的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），
则该四面体外接球的体积为 ( )
A． 6 B． 2 6 C．3 6 D．9 6
【例 7】正四面体 ABCD中，棱长为 a，高为 h，外接球半径为 R，内切球半径为 r， AB与平面 BCD所成
角为 ，二面角 A BD C 的大小为 ，则 ( )
A 6． h a B． R 2r C 6 1． sin D． cos
3 3 2
【例 8】已知正四面体 ABCD，点M 为棱CD的中点，则异面直线 AM 与 BC所成角的余弦值为 ．
12
【例 9】《九章算术 商功》：“斜解立方，得两堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一．”
如图解释了这段话中由一个长方体得到堑堵、阳马、鳖臑的过程．在一个长方体截得的堑堵和鳖臑中，若
堑堵的内切球（与各面均相切）半径为 1，则鳖臑体积的最小值为 ( )
A． 2 2 2 B 4 2 ．3 3 C． 2 D． 2 3
3 3
【例 10】《九章算术 商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳
马居二，鳖臑居一，不易之率也．意思是：如图，沿正方体对角面 A1B1CD截正方体可得两个堑堵，再沿平
面 B1C1D截堑堵可得一个阳马（四棱锥 D A1B1C1D1)，一个鳖臑（三棱锥D B1C1C) ，若 P为线段CD上一
动点，平面 过点 P，CD 平面 ，设正方体棱长为 1，PD x， 与图中的鳖臑截面面积为 S，则点 P
从点 D移动到点C的过程中， S关于 x的函数图象大致是 ( )
A． B．
C． D．
13
跟踪训练
【训练 1】（2015 山东）在梯形 ABCD中， ABC ， AD / /BC ， BC 2AD 2AB 2 ，将梯形 ABCD
2
绕 AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ( )
A 2 ． B 4 5 ． C． D． 2
3 3 3
【训练 2】（2021 新高考Ⅱ）正四棱台的上、下底面的边长分别为 2，4，侧棱长为 2，则其体积为 ( )
A． 20 12 3 B． 28 2 C 56． D 28 2．
3 3
【训练 3】（2023 甲卷）在三棱锥 P ABC中， ABC 是边长为 2 的等边三角形，PA PB 2 ，PC 6 ，
则该棱锥的体积为 ( )
A．1 B． 3 C．2 D．3
【训练 4】（2022 新高考Ⅱ）如图，四边形 ABCD为正方形，ED 平面 ABCD，FB / /ED，AB ED 2FB．记
三棱锥 E ACD， F ABC， F ACE的体积分别为V1 ，V2 ，V3 ，则 ( )
A．V3 2V2 B．V3 V1 C．V3 V1 V2 D． 2V3 3V1
14
【训练 5】（2022 新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为 1，上、下底面边长分别为 3 3 和 4 3 ，其顶点都在同
一球面上，则该球的表面积为 ( )
A．100 B．128 C．144 D．192
【训练 6】（2016 新课标Ⅲ）在封闭的直三棱柱 ABC A1B1C1 内有一个体积为V 的球，若 AB BC，AB 6，
BC 8， AA1 3，则V 的最大值是 ( )
A． 4 B 9 ． C． 6 D 32 ．
2 3
【训练 7】（2022 新高考Ⅰ）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水
库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2 ；水位为海拔157.5m时，相应水面的面
积为180.0km2 ．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m
时，增加的水量约为 ( 7 2.65)( )
A．1.0 109m3 B．1.2 109m3 C．1.4 109m3 D．1.6 109m3
【训练 8】若正四面体的表面积为8 3 ，则其外接球的体积为 ( )
A． 4 3 B．12 C．8 6 D．32 3
【训练 9】在棱长为 1 的正四面体 ABCD中，E、F 分别为 BC、AD的中点，则下列命题正确的是 ( )
1 A． EF (AB AC AD) B 2． EF
2 2
C． BC 2 平面 AEF D． AE和CF 夹角的正弦值为
3
15
【训练 10】《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，
一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑
堵 ABC A1B1C1 中， AC BC，且 AA1 AB 2．下列说法正确的是 ( )
A．四棱锥C A1B1BA为“阳马”
B．四面体 A1CC1B1 为“鳖臑”
C 2．四棱锥 B A1ACC1 体积的最大值为 3
D．过 A点分别作 AE A1B于点 E， AF A1C 于点 F ，则 EF A1B
16
题型 2 截面问题
一、立体几何与截面问题
1．定义
①截面:一个无限长的平面去截几何体，该平面与几何体的交面，为该几何体的截面
②截线:该平面与几何体表面上的交线叫做截线．
③截点:该平面与几何体各棱上的交点叫做截点．连接各截点形成的线段即为截线(在表面上)，连接各截线
形成的封闭图形即为截面．
2．作截面的基本逻辑
(1)找截点→连截线→围截面
(2)作截面的理论依据：
①任意两点确定唯一直线，不共线的三点确定唯一平面；
②处于两个平面中的两条直线的交点，在这两条直线所在的平面的交线上；
③若两个平面互相平行，且第三个平面与它们相交，则两条交线平行；
④若一条直线平行于一个平面，经过该直线的平面与该此平面相交，则直线与交线平行：
(3)如何确定该截面是否“完整”
①所画的线是否围成了一个封闭图形
②题目所要求过的点是否都在截面上
③该截面的各个边是否都在几何体的表面(不能在几何体内部)
3．作截面的具体方法
（1）平行线法：适用于有两个或两个以上截面线段在表面上
（2）延长线法：适用于只有一个截面线段在表面上
17
【例 1】正方体 ABCD A B C D 的棱长为 2，E为棱 BB 的中点，用过点 A，E，C 的平面截取该正方体，
则截面的面积为 ( )
A． 2 6 B． 2 5 C．5 D． 4 2
【例 2】正方体 ABCD A1B1C1D1 中，M ， N分别是CC1 ， B1C1 的中点，则过 A1，M ， N三点的平面截正
方体所得的截面形状是 ( )
A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形
【例 3】如图正方体 ABCD A1B1C1D1 ，棱长为 1，P为 BC中点，Q为线段CC1 上的动点，过点 A、P、Q
的平面截该正方体所得的截面记为 S．则下列命题正确的是 ①②④ （写出所有正确命题的编号）．
1
①当 0 CQ 时， S为四边形；
2
1
②当CQ 时， S为等腰梯形；
2
3
③当 CQ 1时， S为六边形；
4
④当CQ 1时， S 6的面积为 ．
2
18
跟踪训练
【训练 1】在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，M ， N分别为 AD，C1D1 的中点，过M ， N， B1三点的平面截
正方体 ABCD A1B1C1D1 所得的截面形状为 ( )
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
【训练 2】在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 P，Q分别是棱 AD，DD1 的中点，则经过 B，P，
Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为 ( )
A．3 2 B 3 15． C 9 9． D． 2
2 2 2
【训练 3】正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，点 P，Q，R分别是棱 A1D1，C1D1 ，BC中点，则过点 P，
Q， R三点的截面面积是 ( )
A 3． B． 3 C． 2 3 D．3 3
2
19
【训练 4】如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E， F 分别为棱 A1D1， AA1 的中点，G为线段
B1C上一个动点，则下列说法不正确的是 ( )
A．存在点G，使直线 B1C 平面 EFG
B．存在点G，使平面 EFG / / 平面 BDC1
C．三棱锥 A1 EFG的体积为定值
D EFG 3 3．平面 截正方体所得截面的最大面积为
4
二、正方体截面问题:
1．正方体的基本截面:
任意三角形 正三角形 梯形 平行四边形 正方形
菱形 矩形 任意五边形 任意六边形 正六边形
正方体的截面不会出现以下图形: 直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形．
20
2．正方体截面面积最大值:
截面为三角形→正三角形
截面为四边形→矩形
截面为六边形→正六边形
注意：正方体的体对角线与所有棱所成角都相等．
【例 1】（2018 新课标Ⅰ)已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正
方体所得截面面积的最大值为（ ）
A 3 3 B 2 3 C 3 2 3． ． ． D．
4 3 4 2
【例 2】（2023 多选 新高考Ⅰ）下列物体中，能够被整体放入棱长为 1（单位：m) 的正方体容器（容器
壁厚度忽略不计）内的有 ( )
A．直径为 0.99m的球体 B．所有棱长均为1.4m的四面体
C．底面直径为 0.01m，高为1.8m的圆柱体 D．底面直径为1.2m，高为 0.01m的圆柱体
21
三、球体的截面问题
1．球的截面一定是圆或者是圆的一部分；
2．确定球心与半径，建立直角三角形，计算截面与球心的距离；
3． 最大的截面半径 r R，最小的截面半径 r R2 d 2min ．
【例 1】正四面体 ABCD的棱长为 4， E为棱 AB的中点，过 E作此正四面体的外接球的截面，则该截面面
积的取值范围是 ( )
A．[4 ， 6 ] B．[4 ，12 ] C．[ ， 4 ] D．[ ， 6 ]
【例 1】【多选】在边长为 4 的正方形 ABCD中，如图 1 所示，E，F ，M 分别为 BC，CD，BE 的中点，
分别沿 AE， AF 及 EF 所在直线把 AEB， AFD和 EFC 折起，使 B，C， D三点重合于点 P，得到三
棱锥 P AEF ，如图 2 所示，则下列结论中正确的是 ( )
A． PA EF
B．三棱锥M AEF的体积为 4
C．三棱锥 P AEF 外接球的表面积为 24
D．过点M 的平面截三棱锥 P AEF 的外接球所得截面的面积的取值范围为 [ ， 6 ]
22
【例 2】已知三棱锥 P ABC的各个顶点都在球O的表面上，PA 底面 ABC，AB AC，AB 6，AC 8，
D是线段 AB上一点，且 AD 5DB．过点 D作球O的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为 28 ，
则球O的表面积为 ( )
A．128 B．132 C．144 D．156
【训练 1】已知两平行的平面截球所得截面圆的面积分别为 9 和16 ，且两截面间的距离为 1，则该球的
体积为 ．
【训练 2】如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 3 ，以顶点 A为球心，2 为半径作一个球，则图中球面
与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于 ( )
A 5 B 2 7 ． ． C． D．
6 3 6
23
题型 3 几何体外接球
一、长方体切割体的外接球
图 1 墙角体 图 2 鳖臑 图 3 挖墙角体 图 4 对角线相等的四面体
【例 1】（2020 天津）若棱长为 2 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ( )
A．12 B． 24 C．36 D．144
【例 2】（2019 新课标Ⅰ）已知三棱锥 P ABC的四个顶点在球O的球面上， PA PB PC， ABC是边
长为 2 的正三角形， E， F 分别是 PA， AB的中点， CEF 90 ，则球O的体积为 ( )
A．8 6 B． 4 6 C． 2 6 D． 6
二、锥体的外接球
【例 1】（2021 甲卷）已知 A，B，C是半径为 1 的球O的球面上的三个点，且 AC BC， AC BC 1，
则三棱锥O ABC 的体积为 ( )
A 2 3 2 3． B． C． D．
12 12 4 4
【例 2】（2020 新课标Ⅰ）已知 A， B，C 为球O的球面上的三个点， O1 为 ABC 的外接圆．若 O1 的
面积为 4 ， AB BC AC OO1，则球O的表面积为 ( )
A． 64 B． 48 C．36 D．32
24
32
【例 3】（2021 天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个
3
圆锥的高之比为1: 3，则这两个圆锥的体积之和为 ( )
A．3 B． 4 C．9 D．12
【例 4】（2015 新课标Ⅱ）已知 A， B是球O的球面上两点， AOB 90 ，C 为该球面上的动点，若三
棱锥O ABC 体积的最大值为 36，则球O的表面积为 ( )
A．36 B． 64 C．144 D． 256
三、含垂面 and 二面角的外接球
2
1 l．双半径单交线公式： R2 R 2 R 21 2 4
2
R2 OD2 OO 2 1 l1 O D
2
1 O E
2
2 O1D
2 (O C 22 CE
2 ) O D21 O
2 2 2 2 2
2C ( BC) O1D R2 1
R2 ．4
【例 1】已知在三棱锥 A BCD中，面 ABD 面 BCD， BCD和 ABD均是边长为 2 3 的正三角形，则该
三棱锥的外接球体积为 ．
25
【例 2】已知平面图形 PABCD， ABCD为矩形， AB 4 ， PAD是以 P为顶点的等腰直角三角形，如图所
16
示，将△PAD沿着 AD翻折至△ P AD，当四棱锥 P ABCD体积的最大值为 ，此时四棱锥 P ABCD外
3
接球的表面积为（ ）
A．12 B．16 C． 24 D．32
m2 n2 2mncos l 2
2．双距离单交线公式： R2 2 ．证明：如图，若空间四边形 ABCD中，sin 4
二面角C AB D的平面角大小为 ， ABD的外接圆圆心为O1， ABC的外接圆圆心为O2 ，
E l为公共弦 AB中点，则 O1EO2 ，O1E m，O2E n， AE ，OA R，2
由于O、O O O 21、E、O2 四点共圆，且OE 2R 1 2 ，余弦定理 O1O2 m
2 n2 2mncos ，
sin
2
R2 OE 2 AE 2 m n
2 2mncos l 2
得
sin 2
．
4
【例 1】已知三棱锥D ABC所有顶点都在球O的球面上，△ABC为边长为 2 3 的正三角形，△ABD是以
BD为斜边的直角三角形，且 AD 2 ，二面角C AB D为120 ，则球O的表面积为（ ）
A 148 ． B． 28 C 37 ． D．36
3 3
26
题型 4 几何体内切球
1．棱锥的内切球半径：等体积法
第一步、先求出四个表面的面积和整个锥体的体积．
第二步、设内切球半径为 r，建立等式：
V 1P ABC VO ABC VO PAB VO PAC VO PBC VP ABC (S3 ABC
S PAB S PAC S PBC ) r．
3V
第三步、解出 r P ABC ．
S ABC S PAB S PAC S PBC
注意：正四面体（棱长为 a）的外接球半径 R与内切球半径 r 之比为 R : r 3:1．
6
外接球半径： R a 6，内切球半径： r a．
4 12
【例 1】正三棱锥 S ABC，底面边长为 3，侧棱长为 2，则其外接球和内切球的半径是多少
2．圆锥的内切球问题
【例 2】（2023 4 合肥月考）已知某圆锥的高为 4，其内切球的体积为 ，则该圆锥的侧面积 S ( )
3
A． B．3 C． 6 D．12
27

【例 3】点 P是棱长为 4 的正四面体表面上的动点，MN 是该四面体内切球的一条直径，则 PM PN 的最大
值是 ．
跟踪训练
【训练 1】（2016 新课标Ⅱ）体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 ( )
A．12 B 32． C．8 D． 4
3
【训练 2】（2017 新课标Ⅰ）已知三棱锥 S ABC的所有顶点都在球O的球面上， SC是球O的直径．若
平面 SCA 平面 SCB， SA AC， SB BC，三棱锥 S ABC的体积为 9，则球O的表面积为 36 ．
解：三棱锥 S ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面 SCA 平面 SCB，SA AC，
SB BC，三棱锥 S ABC的体积为 9，可知三角形 SBC与三角形 SAC都是等腰直角三角形，
1 1
设球的半径为 r ，可得 2r r r 9，解得 r 3．球O的表面积为： 4 r 2 36 ．故答案为： 36 ．
3 2
【训练 3】（2022 乙卷）已知球O的半径为 1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，
则当该四棱锥的体积最大时，其高为 ( )
A 1． B 1 3． C． D 2．
3 2 3 2
28
【训练 4】在三棱锥 P ABC中，平面 PAB 平面 ABC， ABC是边长为 2 3 的等边三角形，PA PB 7 ，
则该三棱锥外接球的表面积为 ( )
A．16 B 65 65 49 ． C． D．
16 4 4
【训练 5】在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑 A BCD中， AB 平
面 BCD， BC CD，且 AB BC CD 1，则其内切球表面积为 ( )
A．3 B． 3 C． (3 2 2) D． ( 2 1)
题型 5 几何体棱切球
1．常用结论：
a2 a2 2a
①已知正方体的棱长为 a，则它的棱切球半径为 R ．
2 2
3a
②已知正三棱柱的棱长均为 a，则它的棱切球半径为 R ．
3
2a
③已知正四面体的棱长为 a，则它的棱切球半径为 R ．
4
2．解题技巧：
①找切点，找球心，构造直角三角形．
②正 n棱柱的棱切球的球心为上下底面中心连线的中点O，正棱锥的棱切球的球心在其高线上，可以通过
对称性或者截面圆心的垂心确定．
a
③棱长都为 a的正 n棱柱，则棱切球的半径为 R ．
2sin
n
29
【例 1】已知一个表面积为 24 的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为
4
A B 4 3 C 24 6 D 8 2 ． ． ． ．
3 3 3
【题 2】已知球O的表面积为9π，若球O与正四面体 S ABC的六条棱均相切，则此四面体的体积为（ ）
A．9 B．3 2 C
9 2
． D 9 2．
2 8
【题 3】已知正三棱柱的高等于 1，一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为 ( )
A B 4 3 4 4 3 ． ． C． D．
6 27 3 3
【训练 1】已知某棱长为 2 2 的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（ ）
π π
A． B 3π 2π． C． D．
2 3 3 2
【训练 2】已知三棱锥 S ABC的棱长均为2 6 ，则与其各条棱都相切的球的体积为 .
【训练 3】已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为
S S1 ， S2 ，则 1 ．S2
30
【训练 4】正三棱锥 P ABC的底面边长为 2 3，侧棱长为 2 2 ，若球 H与正三棱锥所有的棱都相切，则
这个球的表面积为（ ）
17
A．
9
B． (44 16 6) C． D． 32
4 2
考向 3 动态立体几何
立体几何中的动态翻折问题
1．关于点的轨迹：某些点、线、面按照一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹的关键是找
到关键点和翻折过程中不变的数量关系与位置关系．
2．证明或探索位置关系：
①确定翻折前后变与不变的关系，一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，
而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而
对于变化的关系则要在立体图形中解决．
②确定翻折后关键点的位置，所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会
带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只
有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与
计算
3．关于体积最值问题，将一个多边形沿一条线折叠得到一个棱锥,当该棱锥的体积最大时,以折线为交线的
两个半平面垂直，当在折叠过程中棱锥的底面积和高度同时变化时，则需要构建目标函数，通过自变量的
范围,求函数最值解决．
4．旋转问题，两线段距离之和最值问题，将不共面的两线段旋转到同一平面，再利用平面几何知识进行求
解．
题型 1 轨迹问题
【例 1】如图，矩形 ABCD中，AB 2AD 2，E为边 AB的中点，将VADE沿DE翻折成△A1DE，若M 为
线段 A1C的中点，则在翻折过程中，M 点的轨迹为（ ）
A．椭圆的一段 B．直线的一段 C．抛物线的一段 D．一段圆弧
31
【例 2】已知正方形 ABCD的边长为 2，将 ACD沿 AC翻折到△ACD 的位置，得到四面体D ABC，在翻
折过程中，点D 始终位于 ABC所在平面的同一侧，且 BD 的最小值为 2 ，则点 D的运动轨迹的长度为（ ）
A B 2 C 2 2π D 4 2π． ． ． ．
3 3
题型 2 最值问题
【例 3】（2021 上海）已知圆柱的底面圆半径为 1，高为 2， AB为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周
上的一个动点，则 ABC的面积的取值范围为 ．
1
【例 4】在梯形 ABCD中， ABC BAD 90 , AB BC AD 1，将 ABC沿直线 AC翻折成VAB
2 1
C，
当三棱锥 B1 ACD的体积最大时，三棱锥 B1 ACD的外接球的表面积为_______．
【例 5】（2017 新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形 ABC的中心
为O．D、E、F 为圆O上的点， DBC， ECA， FAB分别是以 BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿
虚线剪开后，分别以 BC，CA， AB为折痕折起 DBC， ECA， FAB，使得 D、 E、 F 重合，得到三
棱锥．当 ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位： cm3) 的最大值为 ．
32
【例 6】如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，底面 ABC是边长为 2 3的正三角形， AA1 7 ，顶点 A1在底面
的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线 AC1,A1B上的动点，则 P，Q两点间距离的最小值是
（ ）
A 7． B．2 C 6． 6 D．
2 2
题型 3 旋转问题
【例 1】如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2， P是面对角线 BC1 上一动点，Q是底面 ABCD上一动
点，则D1P PQ的最小值是 ．

【例 2】在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 P满足DP DD1 DA， [0，1]， [0 ，1]，
则以下说法正确的是 ( )
A．当 时， BP / / 平面CB1D1
B 1 ．当 时，存在唯一点 P使得 DP与直线CB
2 1
的夹角为
3
C．当 1时，DP PB的最小值为 2 2
D．当点 P落在以 B1为球心， 2 为半径的球面上时， 的最小值为 2 2
33
跟踪训练
【训练 1】如图，将四边形 ABCD中，△ADC沿着 AC翻折到 AD1C，则翻折过程中线段DB中点M 的轨迹
是（ ）
A．椭圆的一段 B．抛物线的一段
C．双曲线的一段 D．一段圆弧
【训练 3】如图 1，直线 EF 将矩形 ABCD分为两个直角梯形 ABFE和CDEF，将梯形CDEF沿边 EF 翻折，
如图 2，在翻折过程中（平面 ABFE 和平面CDEF不重合），下列说法正确的是（ ）
A．在翻折过程中，恒有直线 AD / / 平面 BCF B．存在某一位置，使得CD / /平面 ABFE
C．存在某一位置，使得 BF / /CD D．存在某一位置，使得DE 平面 ABFE
【训练 4】已知矩形 ABCD中，AB 2,BC 1，，F为线段CD上一动点（不含端点），现将△ADF沿直线
AF进行翻折，在翻折的过程中不．可．能．成立的是（ ）
A．存在某个位置，使直线 AF与 BD垂直
B．存在某个位置，使直线 AD与 BF垂直
C．存在某个位置，使直线 AB与DA垂直
D．存在某个位置，使直线 AB与DF垂直
34
【例 4】已知平面四边形 ABCD，连接对角线 BD，得到等边三角形 ABD和直角三角形 BCD，且 AB 3，
BDC π ，BC 3 2 ，将平面四边形 ABCD沿对角线 BD翻折，得到四面体 A BC D，则当四面体 A BC D2
的体积最大时，该四面体的外接球的表面积为（ ）
A．12π B．18π C．21π D．28π
【训练 5】（2022 新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为 l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36 ，
且 3 l 3 3 ，则该正四棱锥体积的取值范围是 ( )
A [18 81 27 81 27 64． ， ] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[18， 27]
4 4 4 4 3
【训练 6】在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是 1，且平面 ABCD 平面 ABEF，活动弹子M ,N
分别在正方形对角线 AC， BF上移动，则MN长度的最小值是 ．
35
【训练 7】已知棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P为棱 DD1 上一动点，则 PB1 PC的最小值
为 ．
【训练 8】【多选】如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，P是线段 AB1上的动点，N是线段CC1
的中点，则下列说法正确的是 ( )
A． PD CD1
B．三棱锥C1 A1PD的体积为定值
C． (CP PA ) 2 31 的最小值是 2
D．如果点 P是线段 AB 171的中点，则平面 PDN截正方体所得的截面周长为 5 2
36
拓展思维 1 新定义问题
【例 1】如图，撑开的伞面可近似看作一个球冠．球冠是球面被平面所截得的一部分曲面，其中截得的圆面
是底面，垂直于圆面的直径被截得的部分是高．球冠的面积 S 2πRh，其中 R为球冠对应球面的半径， h为
球冠的高，则撑开的伞面的面积大约为（ ）
A． 2500πcm2 B．3600πcm2 C． 4800πcm2 D．6000πcm2
【例 2】北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：
多面体的顶点的曲率等于 2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度
用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各项点的曲率之和．例如：
π π
正四面体在每个顶点有 3 个面角，每个面角是 ，所以正四面体在每个顶点的曲率为 2π 3 π ，故其总
3 3
曲率为4π．已知多面体的顶点数 V，棱数 E，面数 F满足V E F 2 ，则八面体的总曲率为（ ）
10π
A． 3π B． C． 4π D．5π
3
【例 3】祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，
“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等.由曲线
x2 4y, x2 4y, x 4, x 4围成的图形绕 y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1，满足
x2 y2 16, x2 y 2 2 4, x2 y 2 2 4的点 x, y 组成的图形绕 y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2 ，
则V1、V2 满足以下哪个关系式（ ）
1
A．V1 V
2
2 B．V1 V2 C．V1 2V2 D．V2 3 1
V2
37
【例 4】“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi-regularsolid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的
多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共
可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知 AB 2 ，则关于
如图半正多面体的下列说法中，正确的有（ ）
20
A．该半正多面体的体积为
3
B 3 3．该半正多面体过 A,B,C三点的截面面积为
2
C．该半正多面体外接球的表面积为8
D．该半正多面体的顶点数V 、面数 F 、棱数 E满足关系式V F E 2
跟踪训练

【训练 1】若给定一向量组 A a1,a2 ,an 和向量 c，如果存在一组实数 k1,k2 , ,kn ，使得

c k1a1 k2a2 knan，则称向量 c能由向量组 A线性表示，或称向量 c是向量组 A的线性组合，若

A e1 e2 ,e2 e3 ,c e1 me3 ,e1,e2 ,e3 为三个不共面的空间向量，且向量 c是向量组A 的线性组合，则m
（ ）
A． 4 B． 3 C．0 D．1
【训练 2】刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶
点的曲率等于 2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），
多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个
π 2π 3 π顶点有 3 个面角，每个面角是 ，所以正四面体在每个顶点的曲率为 π ，故其总曲率为 4π .根据
3 3
曲率的定义，正方体在每个顶点的曲率为 ，四棱锥的总曲率为 .
38
m
【训练 3】如果一个凸 n面体共有 m个面是直角三角形，那么我们称这个凸 n面体的直度为 ，则（ ）
n
A．三棱锥的直度的最大值为 1
3
B．直度为 的三棱锥只有一种
4
C．四棱锥的直度的最大值为 1
4
D．四棱锥的直度的最大值为
5

【训练 4】空间直角坐标系O xyz中，经过点 P x0 , y0 , z0 且法向量为m (A,B,C)的平面方程为

A x x0 B y y0 C z z0 0，经过点 x0 , y0 , z0 且一个方向向量为 n (a,b,c) abc 0 的直线 l的方
x x
程为 0
y y0 z z 0 0，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面α的方程为 2x 3y z 0，经
a b c
过点 (0,0,0)
x y z
的直线 l的方程为 ，则直线 l与平面α所成角的正弦值为（ ）
1 2 3
5 3 5 3
A． B． C． D．
14 14 13 13
【训练 5】如图①，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的
π
直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为V 3R h h2 ，其中 R是球的半径， h是球缺的
3
高.某航空制造公司研发一种新的机械插件，其左右两部分为圆柱，中间为球切除两个相同的“球缺”剩余的
部分，制作尺寸如图②所示（单位：cm）.则该机械插件中间部分的体积约为（ π 3）（ ）
A．62326cm3 B．62328cm3
C．62352cm3 D．62356cm3
39
【训练 6】18 世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体
1
的统一体积公式V h(L 4M N )(其中 h,L,M ,N分别为 的高、上底面面积、中截面面积、下底面面积)，
6
1 2 4
我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为 R，可得该球的体积为V 2R 0 4 πR 0 πR3 ；6 3
a V 1
2
已知正四棱锥的底面边长为 ，高为 h，可得该正四棱锥的体积为 h 0 4
a 1
a
2 a2h .类似地，6 2 3
运用该公式求解下列问题:如图，已知球O的表面积为36πcm2 ，若用距离球心O都为1cm的两个平行平面去
截球O，则夹在这两个平行平面之间的几何体 的体积为 cm3 .
40
拓展思维 2 折叠中的向量不变性
1. 斯坦纳定理
对角线向量定理之折痕向量乘积不变性

2 2 2
AC BD (AD BC ) (AB CD
2 )
①
2

CA2 CB2 AB2
如左图所示，在 ABC 中，由余弦定理的向量式有CA CB ；在 CAD中，同理有
2
CA2CA CD CD
2 AD2 (AD2 BC 2 ) (AB2 CD2 )
．所以在四边形ABCD中，AC BD AC (CD CB) ,
2 2
(AD2 BC 2 ) (AB2 CD2 )
即 AC BD ,这就是对角线向量定理（斯坦纳定理）．
2
AD2 BC 2 AB2 CD2
推论 1：cos AC,BD ②
2 AC BD
说明：式子①②既适用于平面向量也适用于空间向量
推论 2：在空间向量中涉及折叠的问题，一定有折痕的向量与任意向量在折叠前后对应的向量的乘积不变；
证明：如右图所示，在四边形 ABCD中，沿着 BD折叠后， A移到了 A'位置，则
AC BD AD
2 BC2 AB2 CD2 A'D2 BC2 A'B2 CD2
A'C BD．
2 2
【例 1】（2005 浙江）如图所示，M 、 N 是直角梯形 ABCD两腰的中点，DE⊥AB于 E，现将 ADE沿
DE折起，使二面角 A DE B为 45°，此时点 A在平面 BCDE内的射影恰为点 B，则M 、 N的连线与 AE
所成的角的大小为 ．
【例 2】（2015 浙江）如图，三棱锥 A BCD中， AB AC BD CD 3， AD BC 2 ，点M ，N分别
是 AD， BC的中点，则异面直线 AN，CM 所成的角的余弦值是 ．
41
【例 3】（2009 浙江）如图在长方形 ABCD中， AB 2 ， BC 1， E为 DC的中点， F 为线段 EC（端点
除外）上的动点，现将△AFD沿 AF 折起，使平面 ABD 平面 ABCF ，在平面 ABD内过点D做 DK AB，
K为垂足，设 AK t，则 t的取值范围是 ．
【例 4】（2012 浙江）已知矩形 ABCD，AB=1，BC= 2 ，将 ABD沿矩形的对角线 BD所在的直线进行翻
折，在翻折过程中（ ）
A．存在某个位置，使得直线 AC与直线 BD垂直
B．存在某个位置，使得直线 AB与直线 CD垂直
C．存在某个位置，使得直线 AD与直线 BC垂直
D．对任意位置，三对直线 AC与 BD，AB与 CD，AD与 BC均不垂直
【例 5】（2016 浙江）如图已知平面四边形 ABCD， AB BC 3，CD 1， AD 5 , ADC 90 ，沿直
线 AC将△ACD翻折成△ACD ，直线 AC 与 BD 所成角的余弦值的最大值是 ．
42
类型三．异面直线两点间距离公式与对角线向量定理
（1）作 AB b于点 A . AB a于点 B，（2）平移 b交 a于点 B，（3） PN BN 于点 N，（4）连接 PQ，
NQ .
2 2 2
则： l d m n
2 2mncos .其中 也是二面角 P AB Q的平面角；
其实对角线向量定理可以完整解决这个问题，不妨看看例题.
【例 6】如图，60°的二面角的棱上有 A，B两点，直线 AC， BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都
垂直于 AB．已知 AB 4 ， AC 6， BD 8 ，则CD的长为（ ）
A． 17 B．7 C． 2 17 D．9
2. 线线角，线面角与二面角分析与计算
1.三余弦定理（最小角定理）：如图所示，设 A为平面 上一点，过点 A的斜线 AO在平面 上的射影为 AB，
AC为平面 内的一条直线，那么 OAC， OAB， BAC三角的余弦关系为
cos OAC cos BAC cos OAB
【证明】如图，过点O作OB AB于点 B，过点 B作 BC AC 于点C，连OC，则△OAC，△ABC，△OAB
AB AC AC
均为直角三角形.令 OAB 1， BAC 2 ， OAC ，则 cos 1 ， cos 2 ， cos AO AB AO
显然 cos cos 1 cos 2 ，且 1 ，即斜线与射影所成的角是斜线与平面内的任何直线所成的角中的最小的
角.
43
2．三正弦定理（最大角定理）:对于一个锐二面角，在其中一个半平面内的任一条直线与另一个半平面所
成的线面角的最大值等于二面角的平面角，即二面角是最大的线面角.(由三正弦定理 sin sin sin PAB
可得)
证明 如图，过平面 2 内一点 P作底平面 1 的垂线，垂足为O，则 PAO为 PB与底平面所成的角，即
PAO ，所以 sin PO ，在平面 1 中，过点 A作棱OB的垂线，垂足为 B，连接OB，则OP AB， PBOPA
P AB O PBO sin OP . sin PAB PB为二面角 的平面角，即 ，所以 又 ，
PB PA
因此 sin sin sin PAB .
类型一 最大角和最小角定理判断角度大小
关于异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角，这三个角度比大小成为了近年考试的热点和重
难点，根据最小角定理，即异面角 线面角，再根据最大角定理，即二面角 线面角，所以通常线面角最小，
二面角和异面角则需要具体情况具体分析.
【例 1】(2022·浙江卷)如图，已知正三棱柱 ABC A1B1C1 ，AC AA1，E，F 分别是棱 BC，A1C1 上的点.
记 EF与 AA1 所成的角为 ， EF 与平面 ABC所成的角为 ，二面角 F BC A的平面角为 ，则（ ）
A. B. C. D.
【例 2】(2019·浙江卷)设三棱锥V ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点).
记直线 PB与直线 AC所成角为 ，直线 PB与平面 ABC所成角为 ，二面角 P AC B的平面角为 ，则
（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
44
【例 3】（2018·浙江卷）已知四棱锥 S ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段 AB上的点（不
含端点）.设 SE与 BC所成的角为 1， SE与平面 ABCD所成的角为 2 ，二面角 S AB C的平面角为 3 ，
则（ ）.
A. 1 2 3 B. 3 2 1 C. 1 3 2 D. 2 3 1
【例 4】如图，在正四面体 ABCD中，已知M ，N分别为 AD，BC的中点，P为线段MB上的动点（包括
端点）.记 PN 与CD所成角的最小值为 ， PN 与平面 BCD所成角的最大值为 ，则（ ）.
A. B. C. D.
2
【例 5】如图，在四棱锥 P ABCD中，已知底面是边长为 2 的正方形，△PAD是以 AD为斜边的等腰直角
三角形， AB 平面 PAD，点 E是线段 PD上的动点（不含端点）.若线段 AB上存在点 F（不含端点），使
得异面直线 PA与 EF成 30 的角，则线段 PE 长的取值范围是（ ）.
A. (0 , 2 ) B. (0 , 6 ) C. ( 2 , 2) D. ( 6 , 2)
2 3 2 3
45
【例 6】（2023 四省联考）下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在
编制《授时历》时所做的天文计算.图中的 AB， AC， B D，C D都是以O为圆心的圆弧，CMNK 是为计算
所做的矩形，其中 M，N，K，分别在线段 OD，OB，OA上，MN OB，KN OB .记 AOB， AOC ，
BOD， COD，则
A. sin sin cos B. cos cos cos C. sin sin D. cos cos cos
cos cos
类型二 二面角小题的方法选取
在一些二面角的小题中，我们通常在三正弦定理和面积射影定理中进行选取，这里考查我们立体几
何的基本功.
【例 7】（2024·多选·广东模拟）直棱柱 ABC A1B1C1 中， D ，E 分别是 AB ， BB1 的中点，
AA1 AC CB
2
AB .则下列判断正确的是 ( )
2
A. BC1∥面 A1CD B.面A1CD 面AB1C1 C. A1E EC D.
6
二面角D A1C E的平面角的正弦值为 3
46
【例 8】(2024·多选·武汉模拟)如左图，在直三棱柱 A1B1C1 ABC 中， AB AC， AB AC 2， AA1 4，
D是 BC的中点.则下列判断正确的是 ( )
A. A B 3 101 ∥面 AC1D B.异面直线 A1B与C1D所成角的余弦值为 10
C. A1D BC D.面 AA1B与面 ADC
5
1的平面角的正弦值为 3
【例 9】(2024·多选·广州模拟)如图，在四面体 A BCD中， AD 平面 BCD . BC CD， AD 2 ，
BD 2 2 .M 是 AD的中点， P是 BM 的中点，点Q在线段 AC 上，且 AQ 3QC ,二面角C BM D的大
小为 60 ，则下列判断正确的是 ( )
A. PQ∥平面 BCD B.二面角 B MC D的大小为 60 C. BDC 60 D. A 2 3 BCD体积为
3
47

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