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第2节 等差数列
考向一 等差数列的概念及通项
知识点一　等差数列的概念
1．定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，即或者（），那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零．
2．递推公式形式的定义：（且）或者．
知识点二　等差中项的概念
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b．
①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数，任意两实数a，b的等差中项存在且唯一；
②三个数,,成等差数列的充要条件是．
知识点三　等差数列的通项公式
1．首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d．
知识点四　从函数观点看等差数列——等差数列与一次函数
由等差数列的通项公式，可得．
当时，是的一次函数，一次项系数是等差数列的公差，它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点．
（1）当时数列为递增数列；（2）当时数列为递减数列；（3）当时，，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上均匀分布的一群孤立的点．
从图象上看（如下图），表示数列的各点，即点，均匀分布在一条直线上．
知识点五　等差数列通项公式的变形及推广
1．公式变形
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
①d＝(m，n∈N*，且m≠n)，可用来由等差数列任两项求公差．
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1．
证明：∵，，∴，∴．
由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式可以看成是时的特殊情况．
③，已知首项，末项，公差即可计算出项数．
2．基本量法
（1）等差数列可以由首项a1和公差d确定，我们把a1和d称为基本量，所有关于等差数列的计算和证明，都可围绕a1和d进行．在基本量法中，不拘泥于，有可直接用．
解题时没有思路了，可以回归基本量法．
（2）求等差数列的通项公式的两种思路：
①设出基本量，，利用条件构建方程组，通过加减消元法或代入消元法求出，，即可写出等差数列的通项公式；
②已知等差数列中的两项时，则可不必求而直接写出等差数列的通项公式．
③设项技巧——对称设项
（i）三个数成等差数列可设为：，，或，，；
（ii）四个数成等差数列可设为：，，，或，，，．
【例1】（2020 上海）已知数列是公差不为零的等差数列，且，则　　．
【例2】设，，分别是内角，，的对边，若依次成公差不为0的等差数列，则　　
A．，，依次成等差数列 B．，，依次成等差数列
C．依次成等差数列 D．依次成等差数列
【例3】(2022 新II卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，
是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．
其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0．1的等差数列，
且直线的斜率为0．725，则(　　)
A．0．75 B．0．8 C．0．85 D．0．9
【例4】函数图像上存在不同的三点到原点的距离构成等差数列，则以下不可能成为公差的数是　　
A． B． C．1 D．
【例5】(2023 乙卷)已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
跟踪训练
【训练1】（2018 北京）设是等差数列，且，，则的通项公式为　 　．
【训练2】在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28．5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为　　
A．25．5尺 B．34．5尺 C．37．5尺 D．96尺
【训练3】已知等差数列的公差为；集合，若，，则　　
A． B．0 C． D．1
【训练4】图1是第七届国际数学教育大会（简称的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，则第个三角形的面积为　　
A． B． C． D．
【训练5】函数的四个零点是以0为首项的等差数列，则　 　．
考向2　等差数列的性质
1．由等差数列生成新的等差数列
（1）公差为的等差数列具有如下性质：下标成公差为的等差数列的项组成以md为公差的等差数列，即在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列．
（2）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数．
（3）若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列 结论
{c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k} 公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
2．角标和对称性：若，则．
（1）若，则；
（2）若，则．
（3）有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和：
对于选填中的二元问题，单条件暗示考性质，可利用从一般到特殊思想，直接考虑特殊化的情形，令可简化计算．
3．角标项对偶性：若，则．
证明：由 得，，
【例1】（2018 上海）已知是等差数列，若，则　 　
【例2】已知数列为等差数列，且，则　　
A． B． C． D．
【例3】已知，均为等差数列，且，，，则　　
A．2026 B．2025 C．2024 D．2023
【例4】已知数列为等差数列，，，则　　
A．16 B．19 C．25 D．29
跟踪训练
【训练1】已知数列，则“”是“为等差数列”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【训练2】已知等差数列满足，则（ ）
A． B．5 C．5或－5 D．或
【训练3】已知数列为等差数列，且，则　　
A． B． C． D．
【训练4】已知数列为等差数列，，，则　　
A．19 B．22 C．25 D．27
考向3　等差数列的前n项
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d
①；②．
1． an与Sn之间一步转换
例：；．
公式一：（其中为奇数） 例：．
公式二： 例：；．
当也成等差数列时，均有．
2．只有S的模型与最值问题
性质1．等差数列中：，则有可以求出，甚至．
注意：①若，则一定有：；．
②，，成等差数列，公差为
性质2．等差数列中：为首项是，公差是的等差数列，若，则特别的，若，则有．
性质3．有最大值；有最小值，若，则有同时取得最值
，的最大值；,的最大值．
题型一 与的关系
【例1】（2023 甲卷）记为等差数列的前项和．若，，则　　
A．25 B．22 C．20 D．15
【例2】(2020 新高考I卷)将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得 到数列{an}，则{an}的前n项
和为________．
【例3】已知等差数列，，其前项和为，若，则　　
A．0 B． C．2025 D．
【例4】（2013 新课标Ⅰ）设等差数列{}的前项和为，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【例5】设等差数列的前项和为，若，则　　
A． B． C． D．
【例6】设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，
则：（1）___________；（2）___________；（3）___________；
（4）___________；（5）___________；（6）求使为整数的正整数的集合．
【例7】等差数列和的前项和分别记为与，若，则　　
A． B． C． D．2
跟踪训练
【训练1】已知为等差数列的前项和，若，，则　　
A．26 B．27 C．28 D．29
【训练2】（2019 新课标Ⅲ）记为等差数列的前项和．若，，则　 　．
【训练3】记等差数列与的前项和分别为与，若，则　　
A． B． C． D．
【训练4】已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数可以是　　
A．1 B．2 C．3 D．6
【训练5】已知等差数列的前项和为，则的值为　　
A．8 B．11 C．13 D．17
题型二 与有关的最值问题
【例1】若是等差数列，表示的前项和，，，则中最小的项是　　
A． B． C． D．
【例2】多选公差为的等差数列，其前项和为，，，下列说法正确的有　　
A． B． C．中最大 D．
【例3】（2019 北京）设等差数列的前项和为，若，，则　 　，的最小值为 　　．
跟踪训练
【训练1】已知等差数列前项和为，满足，，若，则　　
A．18 B．19 C．20 D．21
【训练2】设等差数列的前项和为，满足，，数列中最大的项为第　　项．
A．4 B．5 C．6 D．7
【训练3】多选已知为等差数列的前项和，，，则下列选项错误的是　　
A．数列是单调递增数列 B．当时，最大
C． D．
题型三 奇数项和与偶数项和
（1）①若数列共有项，则（为中间项），，；，；
②若数列共有项，则S2n＝n(an＋an＋1)（，为中间两项），，＝．
【例1】等差数列共个项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则　　
A．10 B．13 C．11 D．22
【例2】一个等差数列共有项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10．5，则该数列的项数是　　
A．4 B．8 C．12 D．20
【例3】 一个等差数列的前10项和为30，前30项的和为10，则前40项的和为____________．
跟踪训练
【训练1】已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则　10　．
【训练2】已知等差数列中，前为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且，则数列的通项公式为　 　．
考向四　等差数列的判定方法
1．定义法：利用定义，an－an－1＝d(常数)(n≥2)，
2．等差中项法：即2an＝an＋1＋an－1(n≥2)．
3．通项公式法：若数列的通项公式为的一次函数，即an＝An＋B(A、B是常数)，则是等差数列．
4．前n项和法：若数列的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)，则为等差数列．
注：①解答题可利用（1）或（2）进行严格证明；②选择、填空题时，可直接用(3)或(4)直接判断．
5．常见的等差数列
（1）为等差数列，．
（2）（），即是从第二项开始为等差数列．
注：选填题可以直接用，解答题在规范书写的基础上结合结论可以简化计算过程，避实就虚！
（3）若，则是等差数列，且．
（4），，型递推关系式．
转化步骤：方程两边分别同除以“积式”结构，，，即可分别得到，，为等差数列．可以类比基本不等式中的“整体代换”来理解记忆，见到结构，同除积式得．
（5）用于含指数幂型已知条件．
转化方法：同除指数项，等式两边同时除以：，所以为等差数列．
（6）对于分式型递推关系式型已知条件，且分子只有一项．
转化方法：取倒数法，等式两边同时取倒数可得，故数列为等差数列．
【例1】(2022甲卷理科)记为数列的前n项和．已知．证明：是等差数列．
【例2】在数列中，，其中．
求证：数列是等差数列．
【例3】已知数列满足．
证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式．
【例4】(2015 新课标2理)设是数列的前项和，且，，则
________．
跟踪训练
【训练1】已知数列满足：且，求证：为等差数列．
【训练2】已知数列满足，，令．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式．
【训练3】若数列的前项和为，且满足，，
（1）求证：成等差数列；
（2）求数列的通项公式．
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数列第2节 课后练习
1．（2024 河西月考）等差数列中，已知公差，且，则等于　　
A．145 B．170 C．150 D．120
2．（2024 镇雄月考）数列是首项为1，公差为4的等差数列，若，则等于　　
A．503 B．504 C．505 D．506
3．（2024 桂林月考）已知3为，的等差中项，2为，的等比中项，则　　
A． B． C．1 D．2
4．（2024 岳阳月考）在中，，，分别是角，，所对的边，是、的等差中项，则与的大小关系是　　
A． B． C． D．
5．（2024 东湖区一模）设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角的正弦值为　　
A． B． C． D．
6．（2024 合肥月考）在等差数列中，若，则的值为　　
A． B．1 C． D．0
7．（2024 厦门月考）已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则的值等于　　
A． B． C． D．
8．（2024 南昌模拟）已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，设锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，且，，则的取值范围为　 　．
9.（2019 全国III卷理）记Sn为等差数列{an}的前项和，，则________．
10.（2019江苏卷）已知数列是等差数列，是其前项和．若
，则的值是_________．
11.（2017 新课标1卷理）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）
A．1 B．2
C．4 D．8
12.(2016 课标Ⅰ卷理)已知等差数列前9项的和为27，，则(　　)
(A)100 (B)99 (C)98 (D)97
13．（2024 长沙模拟）是等差数列的前项和，若，则　　
A． B． C． D．
14．（2024 武汉模拟）已知等差数列的前项和为，若，且，，则等于 ．
15．（2024 蚌埠模拟）设等差数列的前项和为，若，，则 ．
16．（2024 清远模拟）等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为（ ）
A．130 B．170 C．210 D．260
17．（2024 石家庄模拟）在等差数列中，其前项和为，若，则　　
A． B． C． D．
18.（2023 淮南二模）已知等差数列的前项和为，若，，则　　
A．8 B．12 C．14 D．20
19．（2024 北京期末）在等差数列中，，其前项和为，若，则　　
A．2021B． C． D．2022
20．（2024 赣州模拟）设等差数列，的前项和分别是，，若，则　　
A． B． C．1 D．
21．（2024 佛山月考）设等差数列与等差数列的前项和分别为，，若对任意自然数都有，则的值为　　
A． B． C． D．
22．（2024 信阳月考）已知两个等差数列和的前项和分别为，，且，则使得为整数的正整数的个数是　　．
23．（2024 武汉月考）等差数列，的前项和分别为，则下列说法正确的有　　
A．数列是递增数列 B．
C． D．
24.（2024 辽宁模拟）设是等差数列的前项和，，，当取得最小值时，　　
A．10 B．9 C．8 D．7
25.（2024 西城区期中）等差数列中，，，则当前项和最小时，　　
A．7 B．8 C．6或7 D．7或8
26.（2024 海淀区月考）已知公差的等差数列的前项和为，若，则　　
A． B．
C． D．
27.（2018 新课标Ⅱ）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
28.（2024 西安期中）已知各项均为正数的无穷数列的前项和为，且满足，．证明数列是等差数列，并求出的通项公式．
29.（2024 大庆月考）已知数列中，，，数列满足．
证明是等差数列，并求的通项公式．
30.（2024 大连月考）在数列中，，为数列的前项和，且满足．
证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；
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1 1．（2024 河西月考）等差数列{an}中，已知公差 d ，且 a1 a3 a99 60，则 a2 1
a2 a3 a100 等
于 ( )
A．145 B．170 C．150 D．120
2．（2024 镇雄月考）数列{an}是首项为 1，公差为 4的等差数列，若 an 2013，则 n等于 ( )
A．503 B．504 C．505 D．506
3．（2024 1 1 桂林月考）已知 3为 a， b的等差中项，2为 a，b的等比中项，则 ( )
a b
A 3． B 3． C．1 D．2
2 3
4．（2024 岳阳月考）在 ABC 中， a， b， c分别是角 A， B，C 所对的边， B是 A、C的等差中项，则
a c与 2b的大小关系是 ( )
A． a c 2b B． a c 2b C． a c 2b D． a c 2b
5．（2024 东湖区一模）设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角的正弦值为 ( )
A 3 B 4 5 2 5． ． C． D．
5 5 5 5
6．（2024 合肥月考）在等差数列{an}中，若 a1 a4 a8 a12 a15 ，则 sin(a3 a4 13
)的值为 ( )
A 1． B．1 C． 1 D．0
2
1
7．（2024 厦门月考）已知方程 (x2 2x m)(x2 2x n) 0 1的四个根组成一个首项为 的等差数列，则m n
4
的值等于 ( )
A 3 1 3 1． B． C． D．
4 2 4 2
8．（2024 南昌模拟）已知方程 (x2 2x m)(x2 2x n) 0 1的四个根组成一个首项为 的等差数列，设锐角
4
三角形 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 b 4 |m n |，A 2B，则 a的取值范围为 ．
S
9.（2019 全国 III卷理）记 Sn为等差数列{an}的前 n项和， a1≠0，a2 3a
10
1，则 S ________．5
10. *（2019江苏卷）已知数列{an}(n N )是等差数列， Sn是其前 n项和．若
a2a5 a8 0,S9 27，则 S8 的值是_________．
11.（2017 新课标 1卷理）记 Sn为等差数列{an}的前 n项和．若 a4 a5 24，S6 48，则{an}的公差为
（ ）
A．1 B．2
C．4 D．8
12.(2016 课标Ⅰ卷理)已知等差数列 an 前 9项的和为 27， a10=8，则 a100= ( )
(A)100 (B)99 (C)98 (D)97
2
13．（2024 a 4 S 长沙模拟） Sn 是等差数列{an}的前 n项和，若 7 ，则 13 ( )a9 5 S17
A 13 52 17 85． B． C． D．
17 85 13 52
14．（2024 2 武汉模拟）已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若m 1，且 am 1 am 1 a m 1 0，S2m 1 39，
则m等于 ．
15．（2024 蚌埠模拟）设等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 S12 288， S9 162，则 S6 ．
16．（2024 清远模拟）等差数列{an}的前m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前3m项和为（ ）
A．130 B．170 C．210 D．260
17．（2024 石家庄模拟）在等差数列{an}中，其前 n项和为 Sn ，若 S21 : S7 6 :1，则 S28 : S14 ( )
A．16 :1 B． 6 :1 C．12 :1 D．10 : 3
18.（2023 淮南二模）已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn ，若 Sn 2， S2n 6，则 S4n ( )
A．8 B．12 C．14 D．20
3
19．（2024 S S 北京期末）在等差数列{an}中，a1 2022，其前 n项和为 Sn ，若 10 8 2，则 S ( )10 8 2022
A．2021B． 2021 C． 2022 D．2022
20．（2024 S 2n a 赣州模拟）设等差数列{an}，{bn}的前 n项和分别是 Sn ，Tn ，若 n ，则 3 ( )Tn 3n 7 b3
A 3． B 5 22． C．1 D．
8 11 17
21．（2024 佛山月考）设等差数列{an}与等差数列{bn}的前 n项和分别为 Sn ，Tn ，若对任意自然数 n都有
Sn 2n 3 a9 a ，则 3 的值为 ( )
Tn 4n 3 b5 b7 b8 b4
A 3． B 7． C 19． D． 1
7 9 41
22．（2024 信阳月考）已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n项和分别为 Sn ，Tn ，且 (n 1)Sn (7n 23)Tn ，
a
则使得 n 为整数的正整数 n的个数是 ．
bn
23．（2024 a 2n 1 武汉月考）等差数列{an}，{bn}的前 n项和分别为 S ,T nn n , ,n N
* ，则下列说法正确的
bn n 1
有 ( )

A an
S 5
．数列 b
是递增数列 B． 3
n T3 3
C S 35． 3 D S1 S2 S． n n 2
T5 36 T1 T2 Tn 2(n 1)
24（. 2024 辽宁模拟）设 Sn 是等差数列{an}的前 n项和，a2 7，S5 2a1，当 | Sn |取得最小值时，n ( )
A．10 B．9 C．8 D．7
4
25.（2024 西城区期中）等差数列{an}中， a6 a8 ， a6 a8 0，则当前 n项和 Sn 最小时， n ( )
A．7 B．8 C．6或 7 D．7或 8
26.（2024 海淀区月考）已知公差 d 0的等差数列{an}的前 n项和为 Sn ，若 a2021a2022 0 a2021 a2022 ，则 (
)
A． a1d 0 B． | S2021 | | S2022 |
C． S4042S4043 0 D． a2022S4042S4043 0
27.（2018 新课标Ⅱ）记 Sn 为等差数列{an}的前 n项和，已知 a1 7， S3 15．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求 Sn ，并求 Sn 的最小值．
28.（2024 西安期中）已知各项均为正数的无穷数列{an}的前 n项和为 Sn ，且满足 a1 1，
nS (n 1)S n(n 1)n 1 n (n N
* )．证明数列{an}是等差数列，并求出{an}的通项公式．2
5
29（. 2024 23 1 1 大庆月考）已知数列{an}中，a1 ，an 2 (n 2,n N * )，数列{b }满足 b (n N *25 a n n )．n 1 an 1
证明{bn}是等差数列，并求{bn}的通项公式．
30.（2024 大连月考）在数列{bn}中，b1 1， S
2b
n 为数列{bn}的前 n项和，且满足 n 2 1(n 2)．bnSn Sn
1
证明数列 成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；
Sn
6第 2节 等差数列
考向一 等差数列的概念及通项
知识点一 等差数列的概念
1．定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，即 an 1 an d或者
an an 1 d（ n 2），那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d
表示，公差可正可负可为零．
2．递推公式形式的定义： an an 1 d（ n N
且 n 2）或者 an 1 an d．
知识点二 等差中项的概念
由三个数 a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做 a与 b的等差中项且 2A＝a
＋b．
①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数，任意两实数 a，b的等差中项存在且唯一；
②三个数 a , A ,b a b成等差数列的充要条件是 A ．
2
知识点三 等差数列的通项公式
1．首项为 a1，公差为 d的等差数列{an}的通项公式 an＝a1＋(n－1)d．
知识点四 从函数观点看等差数列——等差数列与一次函数
由等差数列的通项公式 an a1 (n 1)d ，可得 an dn (a1 d )．
当 d 0时， an dn b是 n的一次函数，一次项系数是等差数列的公差 d，它的图象是在直线
y dx b上均匀排列的一群孤立的点．
（1）当 d 0时数列{an}为递增数列；（2）当 d 0时数列{an}为递减数列；（3）当 d 0时，an a1，
等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于 x轴的直线（或 x轴）上均匀分布的一群孤立的点．
从图象上看（如下图），表示数列{an}的各点，即点 (n,an )，均匀分布在一条直线上．
知识点五 等差数列通项公式的变形及推广
1．公式变形
设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，则
1
d an－am① ＝ (m，n∈N*，且 m≠n)，可用来由等差数列任两项求公差．
n－m
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求 a1．
证明：∵ an a1 (n 1)d，am a1 (m 1)d ，∴ an am [a1 (n 1)d ] [a1 (m 1)d ] (n m)d ，
∴ an am (n m)d ．
由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式 an a1 (n 1)d可以看成是
m 1时的特殊情况．
a
③ n n a1 1，已知首项，末项，公差即可计算出项数．
d
2．基本量法
（1）等差数列可以由首项 a1和公差 d确定，我们把 a1和 d称为基本量，所有关于等差数列的计算和证明，
都可围绕 a1和 d进行．在基本量法中，不拘泥于 a1，有 am 可直接用 am ．
解题时没有思路了，可以回归基本量法．
（2）求等差数列的通项公式的两种思路：
①设出基本量 a1， d ，利用条件构建方程组，通过加减消元法或代入消元法求出 a1， d ，即可写出等差数
列 an 的通项公式；
a a (n 1)d a a
a ,a (n,m N* ,n m) n 1
d m n
②已知等差数列中的两项 n m 时，则 m n ，可不
am a1 (m 1)d an am (n m)d
必求 a1而直接写出等差数列{an}的通项公式．
③设项技巧——对称设项
（i）三个数成等差数列可设为： a d ， a， a d 或 a， a d ， a 2d；
（ii）四个数成等差数列可设为： a 3d， a d ， a d ， a 3d 或 a， a d ， a 2d， a 3d ．
【例 1】（2020 上海）已知数列{a } a a a 27n 是公差不为零的等差数列，且 a1 a 1 2 910 a9 ，则 ．a10 8
2 a b c ABC 1 1 1【例 】设 ， ， 分别是 内角 A， B，C的对边，若 , , 依次成公差不为 0的等差
tan A tan B tanC
数列，则 ( )
A． a， b， c依次成等差数列 B． a2 ， b2， c2 依次成等差数列
C． a , b, c D 1 , 1依次成等差数列 ． , 1 依次成等差数列
a b c
2
【例 3】(2022 新 II卷)图 1是中国古代建筑中的举架结构， AA ,BB ,CC ,DD
是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图 2是某古代建筑屋顶截面的示意图．
其中DD1,CC1,BB1, AA1 是举，OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为
DD1 0.5, CC 1 k , BB1 k , AA 1 k k ,k ,k
OD DC 1 CB 2 BA 3．已知 1 2 3成公差为 0．1的等差数列，1 1 1 1
且直线OA的斜率为 0．725，则 k3 ( )
A．0．75 B．0．8 C．0．85 D．0．9
【例 4】函数 y 1 (x 2)2 图像上存在不同的三点到原点的距离构成等差数列，则以下不可能成为公差的
数是 ( )
A 3 B 1． ． C．1 D． 3
3 2
【例 5】(2023 乙卷)已知等差数列 a 2 *n 的公差为 ，集合 S cosan n N ，若 S a,b ，则 ab （ ）3
1
A 1 B C 0 D 1．－ ． ． ．
2 2
跟踪训练
【训练 1】（2018 北京）设{an}是等差数列，且 a1 3， a2 a5 36，则{an}的通项公式为 ．
3
【训练 2】在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬
至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个
节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为 31．5 尺，小寒、雨水，清明日影长
之和为 28．5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为 ( )
A．25．5尺 B．34．5尺 C．37．5尺 D．96尺
【训练 3】已知等差数列{an}的公差为 ；集合 S {sin an | n N
*}，若 S {a， b}，则 a b ( )
A． 1 B．0 C 1． D．1
2
【训练 4】图 1是第七届国际数学教育大会（简称 ICME 7)的会徽图案，会徽的主题图案是由如图 2所示
的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1 A1A2 A2A3 A7A8 1，如果把图 2中的直角三角形继续作
下去，则第 n个三角形的面积为 ( )
2
A n． B n． C n． D． n
2 2 2
【训练 5】函数 f (x) (x2 6x m)(ex 3 e3 x n)的四个零点是以 0为首项的等差数列，则m n ．
4
考向 2 等差数列的性质
1．由等差数列生成新的等差数列
（1）公差为d 的等差数列 an 具有如下性质：下标成公差为m的等差数列的项 ak ,ak m ,ak 2m ,L组成以
md为公差的等差数列，即在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差
数列．
（2）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公
差是原两等差数列公差的最小公倍数．
（3）若{an}，{bn}分别是公差为 d，d′的等差数列，则有
数列 结论
{c＋an} 公差为 d的等差数列(c为任一常数)
{c·an} 公差为 cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k} 公差为 kd的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差为 pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
2．角标和对称性：若m n p q，则 a *m an a p aq (m,n, p,q N )．
（1）若m n 2k，则 am an 2ak (m,n, p N*) ；
（2）若m n t p q r，则 am an at ap a *q ar (m,n, p,q,t,r N ) ．
（3）有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和：
a1 an a2 an 1 L ai an 1 i L.
对于选填中的二元问题，单条件暗示考性质，可利用从一般到特殊思想，直接考虑特殊化的情形，令
an x可简化计算．
3．角标项对偶性：若an m,am n，则 am n 0．
a a m n
证明：由 an am n m d 得， d n m 1， am n am m n m d n n 0n m n m
【例 1】（2018 上海）已知{an}是等差数列，若 a2 a8 10，则 a3 a5 a7
【例 2】已知数列{an}为等差数列，且 a1 a7 a13 4 ，则 sin a7 ( )
A 1 B 1 3 3． ． C． D．
2 2 2 2
5
【例 3】已知{an}，{bn}均为等差数列，且 a1 1，b1 2， a3 b3 5，则 a2023 b2023 ( )
A．2026 B．2025 C．2024 D．2023
【例 4】已知数列{an}为等差数列， a4 a5 a6 6， a7 a8 a9 11，则 a10 a11 a12 ( )
A．16 B．19 C．25 D．29
跟踪训练
【训练 1】已知数列{an}，则“ a2 a4 a1 a5”是“{an}为等差数列”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【训练 2】已知等差数列 an 满足 a1a3 a2a7 a3a9 a7a8 100，则 a5 （ ）
5 5 5
A． B．5 C．5或－5 D． 或
2 2 2
【训练 3】已知数列{an}为等差数列，且 a1 a5 a9 4 ，则 tan(a3 a7 ) ( )
A． 3 B 3 3． C． 3 D．
3 3
【训练 4】已知数列{an}为等差数列， a1 a2 a3 7， a7 a8 a9 13，则 a13 a14 a15 ( )
A．19 B．22 C．25 D．27
6
考向 3 等差数列的前 n项 Sn
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
S n a1＋an S na n n－1 求和公式 n＝ n＝ 1＋ d
2 2
S ,n 1
① an
1
；② S S a a a ．
Sn Sn 1,n 2
n m m 1 m 2 n
1． an与 Sn之间一步转换
am am am am na1 2 3 n m1 m2 m3 ...... mn
n
例： a2 a6 a7 3a5 ；3a8 a12 2a6．
公式一： Sn a1 a2 a3 an Sn n an 1 （其中 n为奇数） 例： S5 5a3 ．
2
S S S
公式二： a 2n 1 9 15n 例： a ； a2n 1 5 9 8
．
15
当m1、m2、m3、…、mn 也成等差数列时，均有 am am am a1 2 3 m nan m m ．1 n
2
2．只有 S的模型与最值问题
S S S
m n m n
S
性质 1．等差数列中： ，则有 2m m
S
2m
Sm 可以求出 S ，甚至 S ．
m n m n 2m m 2m m
3m 4m
a 0
注意：①若 Sm Sn，则一定有： S 0； m n 1m n ．
2
② Sn ， S2n Sn， S3n S2n成等差数列，公差为 n
2d
S d S S S
2 p
Sq
性质 ．等差数列{a nn}中：{ }为首项是 a1，公差是 的等差数列，若m n p q，则 m n n 2 m n p q
2S
特别的，若m n 2p S S，则有 m n p ．
m n p
an 0 a 0
性质 3． Sn 有最大值 ； S 有最小值
n
，若 a 0，则有 S S 同时取得最值
an 1 0
n a 0 n n n 1 n 1
Sn 0 Sn 0Sn 0， n的最大值 ； Sn 0 , n的最大值 S 0 ． n 1 Sn 1 0
题型一 an与 Sn 的关系
【例 1】（2023 甲卷）记 Sn 为等差数列{an}的前 n项和．若 a2 a6 10， a4a8 45，则 S5 ( )
A．25 B．22 C．20 D．15
7
【例 2】(2020 新高考 I卷)将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得 到数列{an}，则{an}的前 n项
和为________．
S S
【例 3】已知等差数列{an}， a1 4048，其前 n项和为 S ，若 20 18n 4，则 S2025 ( )20 18
A．0 B． 20242 C．2025 D． 20252
【例 4】（2013 新课标Ⅰ）设等差数列{ an }的前 n项和为 Sn ，若 Sm 1 2，Sm 0，Sm 1 3，则m （ ）
A． 3 B． 4 C．5 D． 6
【例 5 S S】设等差数列{an}的前 n项和为 Sn ，若 14 7，则 21 ( )S7 S14
A 18 B 3 C 11． ． ． D 11．
7 2 7 6
6 a b n S T S n 31n 101【例 】设{ n }与{ n }是两个等差数列，它们的前 项和分别为 n 和 n，若 ，Tn n 3
a9 a a a则：（1） ___________；（2） 5 ___________；（3） 1 11 ___________；
b9 b4 b1 b11
a
（4） 1
a4 a7 a a ___________；（5） n ___________；（6）求使 n 为整数的正整数 n的集合．
b1 b4 b7 bn bn
【例 7】等差数列{an}和{b }
S 8n a a
n 的前 n项和分别记为 Sn 与T ，若 2n ，则 2 9n ( )Tn 3n 5 b3
A 12 32 16． B． C． D．2
7 17 7
8
跟踪训练
【训练 1】已知{Sn}为等差数列{an}的前 n项和，若 S4 14， S6 S2 22，则 S6 ( )
A．26 B．27 C．28 D．29
【训练 2】（2019 新课标Ⅲ）记 Sn 为等差数列{an}的前 n项和．若 a1 0， a2 3a
S
1，则
10 ．
S5
{a } {b } S T S3 n n n 1 a10b【训练 】记等差数列 5n 与 n 的前 项和分别为 n 与 n ，若 ，则 ( )Tn 2n 3 a5b10
A 82 B 81． ． C 42 D 41． ．
81 82 41 42
【训练 4】已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n项和分别为 An和 B
An 7n 45 an
n ，且 ，则使得 为整数的Bn n 3 bn
正整数 n可以是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．6
【训练 5】已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn ,S4 3,Sn 4 12(n 5,n N
*),Sn 17，则 n的值为 ( )
A．8 B．11 C．13 D．17
题型二 与 Sn 有关的最值问题
【例 1】若{an}是等差数列， Sn 表示{an}的前 n项和， a3 a8 0， S9 0，则{Sn}中最小的项是 ( )
A． S4 B． S5 C． S6 D． S7
9
【例 2】 (多选 )公差为 d的等差数列{an}，其前 n项和为 Sn ， S11 0， S12 0，下列说法正确的有 ( )
A． d 0 B． a7 0 C．{Sn}中 S6 最大 D． | a4 | | a9 |
【例 3】（2019 北京）设等差数列{an}的前 n项和为 Sn ，若 a2 3， S5 10，则 a5 ， Sn 的最小值
为 ．
跟踪训练
【训练 1】已知等差数列{an}前 n项和为 Sn ，满足 S39 0， S40 0，若 am am 1 0，则m ( )
A．18 B．19 C．20 D．21
S
【训练 2】设等差数列{an}的前 n项和为 Sn ，满足 S11 0， S12 0，数列{ n }(1 n 11)中最大的项为第 (an
)项．
A．4 B．5 C．6 D．7
【训练 3】(多选 )已知 Sn 为等差数列{an}的前 n项和，a9 a10 a11 0，a9 a12 0，则下列选项错误的是
( )
A．数列{an}是单调递增数列 B．当 n 11时， Sn 最大
C． S19 S20 0 D． S11 S9
10
题型三 奇数项和与偶数项和
S n
（1）①若数列{an}共有 2n 1
奇
项，则 S2n 1=(2n 1)an （ an 为中间项）， S奇 S 偶 an ， S n 1；
偶
( S n(a1 a其中 2n 1) na S (n 1)(a a )奇 n，
2 2n 2 (n 1)a )
2 偶 2 n
；
②若数列{an}共有 2n项，则 S2n＝n(an＋an 1)（ an ， an 1为中间两项）， S S奇 nd
S 偶 an＋1
＋ 偶 ， ＝ ．S 奇 an
【例 1】等差数列{an}共 2n 1个项，且奇数项和为 165，偶数项和为 150，则 n ( )
A．10 B．13 C．11 D．22
【例 2】一个等差数列共有 2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为 24和 30，且末项比首项大 10．5，则该
数列的项数是 ( )
A．4 B．8 C．12 D．20
【例 3】 一个等差数列的前 10项和为 30，前 30项的和为 10，则前 40项的和为____________．
跟踪训练
【训练 1】已知等差数列{an}共有 2n 1项，奇数项之和为 60，偶数项之和为 54，则 n 10 ．
【训练 2】已知等差数列{an}中，前m(m为奇数）项的和为 77，其中偶数项之和为 33，且 a1 am 18，则
数列{an}的通项公式为 an ．
11
考向四 等差数列的判定方法
1．定义法：利用定义，an－an－1＝d(常数)(n≥2)，
2．等差中项法：即 2an＝an＋1＋an－1(n≥2)．
3．通项公式法：若数列 an 的通项公式为 n的一次函数，即 an＝An＋B(A、B是常数)，则 an 是等差数列．
4．前 n项和法：若数列 an 的前 n项和 Sn是 Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)，则 an 为等差数列．
注：①解答题可利用（1）或（2）进行严格证明；②选择、填空题时，可直接用(3)或(4)直接判断．
5．常见的等差数列
（1） Sn an
2 bn {an}为等差数列， an 2an b a．
2 a b c,n 1
（2） Sn an bn c（ c 0） an ，即{a }是从第二项开始为等差数列．
2an b a,n 2
n
注：选填题可以直接用，解答题在规范书写的基础上结合结论可以简化计算过程，避实就虚！
2 1
（3）若 Sn pan an c，则2 an
1
是等差数列，且 d ．
2p
（4） pan pan 1 can an 1， pSn pSn 1 cSn Sn 1， nSn 1 n 1 Sn n n 1 型递推关系式．
1 1
转化步骤：方程两边分别同除以“积式”结构 an an 1， Sn Sn 1， n n 1 ，即可分别得到 ， ，
an S

n
Sn 为等差数列．可以类比基本不等式中的“整体代换”来理解记忆，见到mx ny txy结构，同除积
n
式 xy n m得 t．
x y
n
（5）用于含指数幂 an pan 1 p 型已知条件．
n a
转化方法：同除指数项，等式两边同时除以 p ： n an 1

1 a n n 1 ，所以
n
n 为等差数列．p p p
ca
（6）对于分式型递推关系式 an 1 n 型已知条件，且分子只有一项．pan c
1 1 p 1
转化方法：取倒数法，等式两边同时取倒数可得 ，故数列 为等差数列．an 1 an c an
12
2S
【例 1】(2022甲卷理科)记 Sn为数列 an 的前 n项和．已知 n n 2an 1．证明： an 是等差数列．n
1 1
【例 2】在数列{a *n}中， a1 1,an 1 1 ,bn ，其中 n N ．4an 2an 1
求证：数列{bn}是等差数列．
1 a
【例 3】已知数列{an}满足 a1 ,a n3 n 1
．
2an 1
1
证明：数列 为等差数列，并求数列{an}的通项公式 aa n
．
n
【例 4】(2015 新课标 2理)设 Sn是数列 an 的前 n项和，且 a1 1， an 1 SnSn 1，则
Sn ________．
跟踪训练
【训练 1 1】已知数列{an}满足： a1 6，a a

n 1 n 6an 1 9 0，n N 且 n 2，求证：{ }为等差数列．an 3
13
【训练 2】已知数列{an}满足 (an＋1 1)(a 1) 3(a a
1
n n n＋1)， a1 2，令 bn ．an 1
（1）求证：数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
【训练 3】若数列{an}的前 n项和为 Sn ，且满足 Sn (Sn an ) 2an 0(n 2)， a1 2，
1
（1）求证：{ }成等差数列；
Sn
（2）求数列{an}的通项公式．
14

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