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第七章 立体几何第二节 大题篇
考点一 平行的判定
1.直线与平面平行
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行.
性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.
2.平面与平面平行
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
性质定理 如果两个平行平面时与第三个平面相交，那么它们的交线平行
法一 线面平行构造之三角形中位线法（又称“A”型平行）
【例1】四棱椎底面为平行四边形，分别为中点，证明：
图一 图二 图三 图四
法二 线面平行构造之平行四边形法（又称“ ”型平行）
【例2】四棱椎底面为平行四边形，分别为中点，证明：
图一 图二 图三 图四
法三 线面平行构造之面面平行推导法（做一个辅助平行平面）
【例3】四棱椎底面为平行四边形，分别为中点，证明：
【例4】如图，在四棱锥中，，设分列为棱的中点，证明：平面．
跟踪训练
【训练1】如图，在三棱柱中，侧面为菱形，侧面为正方形．点为的中点，点为AB的中点，证明：平面．

【训练2】如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
【训练3】如图，AD//BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG//AD且，且，
DG⊥平面ABCD，，若M为的中点，N为的中点，
求证：MN//平面．
【训练4】如图，四边形ABCD为矩形，P是四棱锥P－ABCD的顶点，E为BC的中点，请问在PA上是否存在点G，使得EG∥平面PCD，并说明理出
考点三 垂直的判定
1．直线和平面垂直的定义
直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直
2．性质定理与判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行
3.平面与平面垂直
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
性质定理 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面
题型1 线面垂直与面面垂直的判定定理
【例1】图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，
．将其沿，折起使得与重合，连结，如图2．证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面
【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，证明：平面平面PBC
题型2 异面直线垂直
【例3】如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．
证明：（1）当时，；（2）点在平面内．
题型3 等腰三角形三线合一构造法
在没有特殊的重垂线和水平面，证一些线面垂直则需要一些特殊的几何性质,由有着共底边的两个等腰三角形构成的立体图形，则两个顶点的连线一定垂直于底边．
【例4】如图，已知空间四边形中，，，是的中点．
求证：（1）平面；
（2）平面平面；
（3）若为的重心，试在线段上确定一点，使得平面．
【例5】如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面是等边三角形，且平面垂直于底面．
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）求证：；
（3）求二面角的大小．
题型4 面面垂直的性质定理
【例6】如图，在平面四边形中，为的中点，，且.将此平面四边形沿折成直二面角，连接.证明：平面平面.
题型5 鳖臑几何体中的垂直
定理：若一条直线垂直于一个平面，如果在被垂直的平面内找到相互垂直的两条线（与相交），则与异面的直线垂直于和构成的平面．鳖臑是最典型的例子．
当出现重垂线时，就需要在水平面内找到两条垂直相交的直线，由于与重垂线相交，故能得到，同理，作为被垂直的平面，在平面内找到，与相交，故可以得到，作为被垂直的平面，需要在这个面内找到垂直的两条直线，当时（或），能得到．
【例7】如图，几何体中，平面，，于，于．
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）证明：；
（4）证明：．
跟踪训练
【训练1】如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，平面，分别是，的中点，证明：直线平面．
【训练2】如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，证明：平面平面；
【训练3】如图，在三棱锥中，平面平面，且，,E为棱的中点，F为棱上的点，证明：

【训练4】如图，在直角梯形中，，，是上一点，，，，将沿着翻折，使运动到点处，得到四棱锥，证明：．
【训练5】（2023·乙卷）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.

(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面BEF；
考向2 空间向量与立体几何
知识点一：空间向量的数量积运算
（1）两向量夹角
已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作．
（2）数量积定义
已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，．
（3）空间向量的数量积满足的运算律：
，（交换律）；
（分配律）．
知识点二：空间向量的坐标运算及应用
（1）设，，则；
；
；
；
；
．
（2）设，，则．
这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标．
（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式．
①已知，，则；
；
；
；
②已知，，则，
或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式．
（4）向量在向量上的投影为．
知识点三：法向量的求解与简单应用
（1）平面的法向量：
如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量．
几点注意：
①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有．
第一步：写出平面内两个不平行的向；
第二步：那么平面法向量，满足．
（2）判定直线、平面间的位置关系
①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，．
若∥，即，则；
若，即，则．
②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且．
若∥，即，则；
若，即，则．
（3）平面与平面的位置关系
平面的法向量为，平面的法向量为．
若∥，即，则；若⊥，即，则⊥．
知识点四：空间角公式．
（1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则．
（2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为
与所成角的大小，则．
（3）二面角公式：
设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中．
知识点五：空间中的距离
求解空间中的距离
（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．
如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．
（2）点到平面的距离
为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线．
题型1 空间向量的基本运算
【例1】如图.空间四边形OABC中，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【例2】若点，，在同一条直线上，则（ ）
A．21 B．4 C．4 D．10
【例3】（多选题）已知向量，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例4】在四面体OABC中，点M，N分别为OA、BC的中点，若，且G、M、N三点共线，则 ．
跟踪训练
【训练1】若、、三点共线，则（ ）．
A． B． C． D．
【训练2】如图，M在四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，且，设，，，则下列向量与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【训练3】（多选题）已知空间向量，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若在上的投影向量为，则
D．若与夹角为锐角，则
【训练4】已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
题型2 利用空间向量证明平行
【例1】如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．

【例2】在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利于采光，其中一角如图所示，为多面体，，，，底面，四边形是边长为2的正方形且平行于底面，，，的中点分别为，，，．
证明：平面；
跟踪训练
【训练1】如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：.
【训练2】如图，且，，且，且，平面，，若为的中点，为的中点，求证：平面；

题型3 利用空间向量证明垂直
【例1】如图，在平行六面体中，.
(1)求的长；
(2)求证：.
【例2】如图，在四棱锥中，底面，底面
是边长为2的正方形，，，分别是，的中点．求证：平面；

【例3】如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且，求证：平面平面.
跟踪训练
【训练1】如图，直三棱柱中，，，，D为BC的中点，E为上的点，且，求证：BE⊥平面.

【训练2】如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，，
证明：平面平面；

题型4 利用空间向量求夹角、长度、体积
【例1】如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，.
(1)求证：平面；
(2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．
【例2】如图，四棱锥的底面为正方形，，平面，分别是线段的中点，是线段上的一点.

(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，且点不是线段的中点，求三棱锥体积.
【例3】如图，在菱形中，，，将沿着翻折，形成三棱锥.
(1)当时，证明：；
(2)当平面平面时，求直线与平面所成角的余弦值.
跟踪训练
【训练1】在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面，，.

(1)证明：平面平面；
(2)若E为PC的中点，异面直线BE与PA所成角为，求四棱锥的体积.
【训练2】如图1所示，四边形ABCD中，，，，，M为AD的中点，N为BC上一点，且．现将四边形ABNM沿MN翻折，使得AB与EF重合，得到如图2所示的几何体MDCNFE，其中．

(1)证明：平面FND；
(2)若P为FC的中点，求二面角的正弦值．
题型4 利用空间向量求距离
【例1】如图，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，，
.
(1)求直线与平面的夹角；
(2)求点到平面的距离.
【例2】如图所示，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，平面，，是棱上的动点.

(1)当是棱的中点时，求证：平面；
(2)若，，求点到平面距离的范围.
跟踪训练
【训练1】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为的正三角形，平面平面，．

(1)求证：平行四边形为矩形；
(2)若为侧棱的中点，且平面与平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离．
【训练2】在直三棱柱中，，，D是AC的中点，则直线到平面的距离为 ．
题型5 探索性问题
与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些是题中已给出），设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．
【例1】等边三角形的边长为3，点分别是边上的点，且满足，如图甲，将沿折起到的位置，使二面角为直二面角，连接，如图乙.

(1)求证：平面.
(2)在线段上是否存在点，使平面与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
【例2】在如图所示的多面体中，四边形为正方形，四点共面，且和均为等腰直角三角形，，平面平面，.

(1)求证：直线平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若点在直线上，求直线与平面所成角的最大值.
跟踪训练
【训练1】在（图1）中，为边上的高，且满
足，现将沿翻折得到三棱锥（图2），使得二面角为.

(1)证明：平面；
(2)在三棱锥中，为棱的中点，点在棱上，且，若点到平面的距离为，求的值.
【训练2】如图，在三棱台中，若平面，为中点，为棱上一动点（不包含端点）.
(1)若为的中点，求证：平面.
(2)是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由.
【训练3】如图，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于的点.

(1)在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由；
(2)若四棱锥的体积为，设平面平面，求的最小值.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)立体几何第二节 大题篇课后练习

a (2x, 1, 3) b (1, 3, 9) 1.（2024 广西月考）已知 ， ，如果 a与b为共线向量，则 x （ ）
1 1
A．1 B 1． 2 C． D．3 6
2（. 2024 昆明月考）如图所示，在平行六面体 ABCD A1B1C D

1 1中，M 为 A1C BD

1与 1 1的交点，若 AB=a，AD b，

AA1 c，则 BM （ ）
1 1 1 1
A． a b c B． a b c
2 2 2 2
1 1 1 1
C． a b c D． a b c
2 2 2 2

3.（2024·全国模拟·多选题）空间直角坐标系中，已知O 0,0,0 ，OA 1, 2,1 ，OB 1,2, 1 ，

OC 2,3, 1 ，则（ ）

A． AB 2
B． ABC是等腰直角三角形
6 6 6 6 6
C．与OA平行的单位向量的坐标为 , , 或 , ,
6
6 3 6 6 3 6
2 4 2
D．OA在OB方向上的投影向量的坐标为 , ,
3 3 3

4.（2024·濮阳月考）已知 a 2, 1,3 ,b 1, 4, 2 ,c 7,5, ，若 a,b,c三向量共面，则 等于（ ）
62 64 65
A． B．9 C． D．
7 7 7
5（. 2024·蚌埠模拟）在三棱柱 ABC - A1B1C1中，平面 A1B1BA 平面 ABC，AB AC AB1 AA1 2，AC AB1，
D为 AC的中点．求证：平面 ACC1A1 平面 A1B1BA .
6．（2024·广州一模）如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是边长为 2的菱形， DCP是等边三角形，
DCB PCB π ，点M ， N分别为DP和 AB的中点.
4
(1)求证：MN / /平面 PBC；
(2)求证：平面 PBC 平面 ABCD；
7.（2024·佛山模拟）如图，在四边形 ABCD中， AB AD, AD∥BC, AD 6, BC 2AB 4，点 E，F分别在
BC, AD上运动，且EF∥AB，现将四边形 ABEF 沿 EF 折起，使平面 ABEF 平面CDFE．
若 E为BC的中点，求证：CD 平面 ACF；
8.（2024·青岛期末）如图，四棱锥P ABCD中，底面 ABCD 为正方形， PAB为等边三角形，面 PAB 底
面 ABCD，E 为 AD 的中点.
(1)求证： AC PE；
(2) 5在线段 BD 上存在一点 F，使直线 AP 与平面 PEF 所成角的正弦值为 .
5
①确定点 F 的位置；
②求点 C 到平面 PEF 的距离.
9.（2024·石家庄月考）在三棱台 ABC DEF 中，G为 AC中点， AC 2DF ， AB BC， BC CF .
(1)求证： BC 平面DEG；
π
(2)若 AB BC 2，CF AB，平面 EFG 与平面 ACFD所成二面角大小为 ，求三棱锥 E DFG的体积.
3
10．（2023·全国乙卷（理））如图，在三棱锥 P ABC中， AB BC， AB 2，BC 2 2，PB PC 6，
BP，AP，BC的中点分别为 D，E，O， AD 5DO，点 F在 AC上， BF AO .
(1)证明： EF / /平面 ADO；
(2)证明：平面 ADO 平面 BEF；
(3)求二面角D AO C的正弦值.
11．（2023·新课标全国Ⅰ）如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AB 2, AA1 4．点 A2 ,B2 ,C2 ,D2分别在
棱 AA1,BB1,CC1 ,DD1上， AA2 1,BB2 DD2 2,CC2 3．
(1)证明： B2C2∥A2D2 ；
(2)点 P在棱 BB1上，当二面角 P A2C2 D2为150 时，求 B2P．
12．（2023·新课标全国Ⅱ）如图，三棱锥 A BCD中，DA DB DC，BD CD， ADB ADC 60 ，
E为 BC的中点．
(1)证明： BC DA；

(2)点 F满足 EF DA，求二面角D AB F的正弦值．
13．（2023·天津）三棱台 ABC - A1B1C1中，若 A1A 面 ABC ,AB AC ,AB AC AA 1 2,A 1C 1 1 ，M ,N分
别是 BC , BA中点.
(1)求证： A1N //平面C1MA；
(2)求平面C1MA与平面 ACC1A1所成夹角的余弦值；
(3)求点C到平面C1MA的距离．
14．（2022·全国甲卷（理））在四棱锥P ABCD中， PD 底面
ABCD,CD∥ AB, AD DC CB 1, AB 2,DP 3．
(1)证明： BD PA；
(2)求 PD与平面 PAB所成的角的正弦值．
15．（2022·全国乙卷（理））如图，四面体 ABCD中，AD CD, AD CD, ADB BDC，E为 AC的中点．
(1)证明：平面 BED 平面 ACD；
(2)设 AB BD 2, ACB 60 ，点 F在 BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面 ABD所成的角的正
弦值．
16．（2022·新高考全国Ⅱ）如图， PO是三棱锥 P ABC的高， PA PB， AB AC，E是 PB的中点．
(1)证明：OE / /平面 PAC；
(2)若 ABO CBO 30 ， PO 3，PA 5，求二面角C AE B的正弦值．
17．（2021·全国甲卷（理））已知直三棱柱 ABC - A1B1C1中，侧面 AA1B1B为正方形， AB BC 2，E，F分
别为 AC和CC1的中点，D为棱 A1B1上的点． BF A1B1
（1）证明： BF DE；
（2）当 B1D为何值时，面 BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小
18．（2020·新高考全国Ⅰ（山东卷））如图，四棱锥 P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面 ABCD．设平面 PAD
与平面 PBC的交线为 l．
（1）证明：l⊥平面 PDC；
（2）已知 PD=AD=1，Q为 l上的点，求 PB与平面 QCD所成角的正弦值的最大值．
19．（2020·新课标Ⅰ（理））如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD． ABC
6
是底面的内接正三角形， P 为DO 上一点， PO DO ．
6
（1）证明： PA 平面 PBC；
（2）求二面角B PC E的余弦值．
20．（2024·河北沧州月考）如图，在四棱锥 P ABCD中， PAD为正三角形，底面 ABCD为直角梯形，
AD∥BC， AD CD， AD 2BC 2，CD 3，PB 6．
(1)求证：平面 PAD 平面 ABCD；
(2)棱 PC上是否存在点 M，使得二面角M AB D的大小为 45 ，若存在，求出MB的长；若不存在，请说
明理由．
21．（2024·广东深圳模拟）三棱柱 ABC - A1B1C1中，侧面 BCC1B1是矩形， AC AA1， AC1 A1B .
(1)求证：面 ACC1A 面 ABC；
(2)若 BC 1， AC 2， A1AC 60 ，在棱 AC上是否存在一点 P，使得二面角 B A1P C的大小为 45°？若
存在求出，不存在，请说明理由.
22．（2024·湖南师大附中校考阶段练习）如图所示，已知三棱柱 ABC - A1B1C1的所有棱长均为 1．
(1)从下面①②③中选择两个作为条件，证明另一个成立；
①B 61C ；② A1B1C为直角；③平面 ABC 平面 ABB1A1．2
(2)设点 P是棱 BB1上一点．在（1）中条件都成立的情况下，试确定点 P的位置，使得直线CP与平面 ACC1A1
所成的角最大．
23．（2024·江苏镇江模拟）如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是边长为 2的菱形， ABC 60 ， PAB
为正三角形，平面 PAB 平面 ABCD， E为线段 AB的中点，M 是线段 PD（不含端点）上的一个动点．
(1)记平面 BCM 交 PA于点 N ，求证：MN //平面 PBC；
(2) 10是否存在点M ，使得二面角P BC M的正弦值为 ，若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说
10
明理由．
24．（2024·吉林模拟）如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是正方形， AB 2，PA PD 5，E为
BC的中点．
(1)证明： AD PE．
2
(2)若二面角 P AD B的平面角为 ，G是线段 PC上的一个动点，求直线 DG与平面 PAB所成角的最大3
值．第七章 立体几何第二节 大题篇
考点一 平行的判定
1.直线与平面平行
文字语言 图形语言 符号语言
平面外一条直线与此平面内
判定
的一条直线平行，则直线与
定理
此平面平行.
如果一条直线和一个平面平
性质
行，经过这条直线的平面和
定理
这个平面相交，那么这条直
线就和交线平行.
2.平面与平面平行
文字语言 图形语言 符号语言
一个平面内有两条相交直线
判定 与另一个平面平行，则这两
定理 个平面平行
如果两个平行平面时与第三
性质
个平面相交，那么它们的交
定理
线平行
法一 线面平行构造之三角形中位线法（又称“A”型平行）
【例 1】四棱椎 P ABCD底面为平行四边形， E、F分别为 PD、BC中点，证明： PB∥平面ACE
图一 图二 图三 图四
法二 线面平行构造之平行四边形法（又称“ ”型平行）
【例 2】四棱椎 P ABCD底面为平行四边形， E、F分别为 PD、BC中点，证明： EF∥平面PAB
图一 图二 图三 图四
法三 线面平行构造之面面平行推导法（做一个辅助平行平面）
【例 3】四棱椎P ABCD底面为平行四边形， E、F分别为PD、BC中点，证明： EF 平面PAB
【例 4】如图，在四棱锥 P ABCD中， AB∥CD, AB BC, 2AB 2BC CD PD PC，设 E,F ,M 分列为
棱 AB,PC,CD的中点，证明： EF / /平面 PAM ．
跟踪训练
【训练 1】如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，侧面 ACC1A1为菱形，侧面CBB1C1 为正方形．点M 为 A1C的中
点，点 N 为 AB 的中点，证明：MN //平面 BCC1B1．
1
【训练 2】如图所示，在四棱锥 P ABCD中， BC//平面 PAD， BC AD， E是 PA的中点．
2
【训练 3】如图，AD//BC 且 AD＝2BC，AD⊥CD，EG//AD 且EG AD，CD / /FG且CD 2FG，
DG⊥平面 ABCD，DA DC DG，若 M 为CF的中点，N 为EG的中点，
求证：MN//平面CDE．
【训练 4】如图，四边形 ABCD 为矩形，P 是四棱锥 P－ABCD 的顶点，E 为 BC 的中点，请
问在 PA 上是否存在点 G，使得 EG∥平面 PCD，并说明理出
考点三 垂直的判定
1．直线和平面垂直的定义
直线 l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线 l 与平面α互相垂直
2．性质定理与判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
一条直线与平面内的两条相交直
判定
线都垂直，则该直线与此平面垂
定理
直
如果在两条平行直线中，有一条
推论 垂直于平面，那么另一条直线也
垂直这个平面
垂直于同一个平面的两条直线平
性质定理 行
3.平面与平面垂直
文字语言 图形语言 符号语言
一个平面过另一个平面的一条垂
判定定理
线，则这两个平面互相垂直
两个平面互相垂直，则一个平面
性质定理
内垂直于交线的直线垂直于另一
个平面
题型 1 线面垂直与面面垂直的判定定理
【例 1】图 1 是由矩形 ADEB，Rt ABC和菱形 BFGC组成的一个平面图形，其中 AB 1， BE BF 2，
FBC 60 ．将其沿 AB，BC折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2．证明：图 2 中的 A，C，G，
D四点共面，且平面 ABC 平面 BCGE
【例 2】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA 底面 ABCD，PA AB 2，E为线段 PB 的
中点，F 为线段 BC 上的动点，证明：平面 AEF 平面 PBC
题型 2 异面直线垂直
【例 3】如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E， F 分别在棱DD1， BB1上，且 2DE ED1， BF 2FB1．
证明：（1）当 AB BC时， EF AC；（2）点C1在平面 AEF 内．
题型 3 等腰三角形三线合一构造法
在没有特殊的重垂线和水平面，证一些线面垂直则需要一些特殊的几何性质,由有着共底边的两个等腰三角形构
成的立体图形，则两个顶点的连线一定垂直于底边．
【例 4】如图，已知空间四边形 ABCD中， BC AC ， AD BD， E是 AB的中点．
求证：（1） AB 平面CDE；
（2）平面CDE 平面 ABC；
（3）若G为 ADC的重心，试在线段 AE上确定一点 F ，使得GF / /平面CDE．
【例 5】如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCd 是 DAB 60 且边长为 a的菱形，侧面 PAD是等边三
角形，且平面 PAD垂直于底面 ABCD．
（1）若G为 AD的中点，求证： BG 平面 PAD；
（2）求证： AD PB；
（3）求二面角 A BC P的大小．
题型 4 面面垂直的性质定理
【例 6】如图，在平面四边形 ABCP中，D为 PA的中点，PA AB,CD / / AB，且 PA CD 2AB 4 .将此
平面四边形 ABCP沿CD折成直二面角 P DC B，连接 PA,PB,BD .证明：平面 PBD 平面 PBC .
题型 5 鳖臑几何体中的垂直
定理：若一条直线 l 垂直于一个平面，如果在被垂直的平面内找到相互垂直的两条线 l1 l2（ l1与 l 相交），
则与 l 异面的直线 l2垂直于 l 和 l1构成的平面．鳖臑是最典型的例子．
当出现重垂线 PA 时，就需要在水平面 ACB内找到两条垂直相交的直线 AC BC，由于 AC 与重垂线
PA 相交，故能得到 BC 面PAC ，同理， PAC 作为被垂直的平面，在平面内找到 AD PC， BC与 PC相
交，故可以得到 AD 面PBC，PBC 作为被垂直的平面，需要在这个面内找到垂直的两条直线，当 DE PB
时（或 AE PB），能得到 PB 面ADE．
【例 7】如图，几何体 P ABC中，PA 平面 ABC，AC CB，AM PB于M ，AN PC于 N ．
（1）证明： BC 平面PAC ；
（2）证明： PB 平面AMN ；
（3）证明：平面PBC 平面AMN ；
（4）证明： PB MN ．
跟踪训练
【训练 1】如图，在四棱锥 P ABCD中，四边形 ABCD为菱形， ABC 60 ，PA AD，PA 平面 ABCD，
E,F 分别是BC，PC的中点，证明：直线 AE 平面 PAD．
【训练 2】如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是正方形，平面 PCD 平面 PAD，证明：平面 PAD
平面 ABCD；
【训练 3】如图，在三棱锥 P ABC中，平面 PAC 平面 ABC，且 PA AC BC ， PAC ACB 90 ,E
为棱PC的中点，F 为棱 PB上的点，证明： AE PB
【训练 4】如图，在直角梯形 ABCD中， AB∥CD， AB BC， E是CD上一点， AB DE 2，CD 3，
BC 3，将VADE沿着 AE翻折，使D运动到点 P处，得到四棱锥 P ABCE，证明： PB AE．
【训练 5】（2023·乙卷）如图，在三棱锥 P ABC中， AB BC， AB 2，BC 2 2， PB PC 6，
BP，AP，BC的中点分别为 D，E，O， AD 5DO，点 F在 AC上， BF AO .
(1)证明： EF / /平面 ADO；
(2)证明：平面 ADO 平面 BEF；
考向 2 空间向量与立体几何
知识点一：空间向量的数量积运算
（1）两向量夹角

已知两个非零向量 a， b，在空间任取一点O，作OA a，OB b，则 AOB叫做向量 a， b的夹角，

记作 a,b ，通常规定 0 a,b ，如果 a,b ，那么向量 a，b互相垂直，记作 a b．
2
（2）数量积定义

已知两个非零向量 a，b，则 a b cos a,b 叫做 a，b的数量积，记作 a b，即 a b a b cos a,b ．零
2
向量与任何向量的数量积为 0，特别地， a a a ．
（3）空间向量的数量积满足的运算律：

a b a b ， a b b a（交换律）；
a b c a b a c（分配律）．
知识点二：空间向量的坐标运算及应用

（1）设 a a1,a2 ,a3 ， b b1,b2 ,b3 ，则 a b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3 ；

a b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3 ；

a a1, a2 , a3 ；

a b a1b1 a2b2 a3b3 ；
a / /b b 0 a1 b1,a2 b2,a3 b3 ；

a b a1b1 a2b2 a3b3 0．

（2）设 A x1, y1, z1 ， B x2 , y2 , z2 ，则 AB OB OA x2 x1, y2 y1, z2 z1 ．
这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标．
（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式．
2
①已知 a a1,a2 ,a3 ， b b1,b2 ,b3 ，则 a a a 21 a 2 22 a3 ；
2
b b b 2 b 2 21 2 b3 ；

a b a1b1 a2b2 a3b3 ；

cos a,b a1b1 a2b2 a 3b3 ；
a 21 a
2
2 a
2 2
3 b1 b
2
2 b
2
3
2 2 2
②已知 A x1, y1, z1 ， B x2 , y2 , z2 ，则 AB x1 x2 y1 y2 z1 z2 ，

或者 d A,B AB ．其中 d A,B 表示 A与 B两点间的距离，这就是空间两点的距离公式．

4 a a b（ ）向量 在向量 b上的投影为 a cos a,b ．
b
知识点三：法向量的求解与简单应用
（1）平面的法向量：

如果表示向量 n的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作 n ，如果

n ，那么向量 n叫做平面 的法向量．
几点注意：

①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量 n是平面的法向量，向量m是

与平面平行或在平面内，则有m n 0．

第一步：写出平面内两个不平行的向 a x1，y1，z1 ，b x2 ，y2 ，z2 ；

n a 0 xx yy zz 0
第二步：那么平面法向量 n x，y，z ，满足 1 1 1 ．
n b 0 xx2 yy2 zz2 0
（2）判定直线、平面间的位置关系

①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线 a， b的方向向量分别为 a， b ．

若 a∥ b ，即 a b，则 a∥b；

若 a⊥b，即 a b 0，则 a⊥b．

②直线与平面的位置关系：直线 l的方向向量为 a，平面 的法向量为 n ，且 l⊥ ．

若 a ∥ n ，即 a n，则 l⊥ ；

若 a⊥n，即 a n 0 ，则 a∥ ．
（3）平面与平面的位置关系
n n 平面 的法向量为 1，平面 的法向量为 2．
n n 若 1∥ 2，即 n1 n

2，则 ∥ ；若 n1⊥ n2，即 n1 n2 0，则 ⊥ ．
知识点四：空间角公式．

（1）异面直线所成角公式：设 a，b分别为异面直线 l1， l2 上的方向向量， 为异面直线所成角的大

a b
小，则 cos cos a,b ．
a b

（2）线面角公式：设 l为平面 的斜线， a为 l的方向向量， n为平面 的法向量， 为

a n
l与 所成角的大小，则 sin cos a,n ．
a n
（3）二面角公式：

设 n1，n2分别为平面 ， 的法向量，二面角的大小为 ，则 n1,n2 或 n1,n2 （需要根据具体

n1 n2
情况判断相等或互补），其中 cos ．
n1 n2
知识点五：空间中的距离
求解空间中的距离
（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直
接计算．
如图，设两条异面直线 a b ， 的公垂线的方向向量为 n ，这时分别在 a，b上任取 A，B两点，则向量在 n

上的正射影长就是两条异面直线 a，b n | AB n |的距离．则 d | AB | 即两异面直线间的距离，等于两异
| n | | n |
面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．
（2）点到平面的距离
A 为平面 外一点（如图）， n 为平面 的法向量，过 A作平面 的斜线 AB及垂线 AH ．

| AH | | AB | sin | AB | | cos AB,n | = | AB | | AB n | | AB n |
AB n n

d | AB n |
| n |
题型 1 空间向量的基本运算

【例 1】如图.空间四边形 OABC 中，OA a,OB b,OC c，点 M 在 OA 上，且满足OM 2MA，点 N 为 BC

的中点，则MN （ ）
1 2 1 a b c 2

a 2 b 1

A． B． c
2 3 2 3 3 2
1 1 1 2 1 a 1

C． b c D． a b c
2 2 2 3 2 2
【例 2】若点 A(2, 5, 1)， B( 1, 4, 2)，C(m 3, 3,n)在同一条直线上，则m n （ ）
A．21 B．4 C． 4 D．10

【例 3】（多选题）已知向量 a 1,1,1 ，b 1,0,2 ，则下列正确的是（ ）
a b
π
A． 0,1,3 B． a 3 C． a ×b = 2 D． a,b
4
1
【例 4】在四面体 OABC 中，点 M，N 分别为 OA、BC 的中点，若OG OA xOB yOC，且 G、M、N 三
3
点共线，则 x y ．
跟踪训练
【训练 1】若 A(m 1，n 1，3)、 B(2m，n，m 2n)、C (m 3，n 3，9)三点共线，则m n （ ）．
A． 0 B．1 C． 2 D．3
1
【训练 2】如图，M 在四面体 OABC 的棱 BC 的中点，点 N 在线段 OM 上，且MN OM ，设
3 OA a
，OB b，

OC c，则下列向量与 AN相等的向量是（ ）
1 1 1 1
A． a b c B． a b c
3 3 3 3
1 1 1 1
C． a b c D． a b c
6 6 6 6

【训练 3】（多选题）已知空间向量 a 2, 1,3 ，b 4,2, x ，下列说法正确的是（ ）
A

．若 a b，则 x
10

3

B．若3a b 2, 1,10 ，则 x 1
1
C．若 a在b 上的投影向量为 b，则 x 43
10
D．若 a 与b 夹角为锐角，则 x , 3
【训练 4】已知空间A、 B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，设 P为空间中任意一点，若

BD 5PA 4PB PC，则 （ ）
A． 2 B． 2 C．1 D． 1
题型 2 利用空间向量证明平行
【例 1】如图所示，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形，PD 平面 ABCD，E为CP的中点，N 为
1
DE的中点，DM DB,DA DP 1,CD 2，求证：MN //AP．
4
【例 2】在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利于采光，其中一角如图所示，为多面体
ABCDE A1B1C1D1E1， AB AE， AE∥BC， AB∥ED， AA1 底面 ABCDE，四边形 A1B1C1D1是边长为 2
的正方形且平行于底面，AB∥A1B1，D1E，B1B的中点分别为 F ，G，AB AE 2DE 2BC 4，AA1 1．
证明： FG∥平面C1CD；
跟踪训练
【训练 1】如图，四边形 ABCD 和 ABEF 都是平行四边形，且不共面，M，N 分别是 AC，BF 的中点，求证：
CE / /MN .
【训练 2】如图， AD //BC且 AD 2BC， AD CD， EG //AD且 EG AD，CD//FG且CD 2FG，DG
平面 ABCD，DA DC DG 2，若M 为CF 的中点， N 为 EG的中点，求证：MN //平面CDE；
题型 3 利用空间向量证明垂直
【例 1】如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， AB AD 4, AA1 5, DAB DAA1 BAA1 60
.
(1)求 AC1的长；
(2)求证： AC1 BD .
【例 2】如图，在四棱锥P ABCD中， PD 底面 ABCD，底面 ABCD
是边长为 2 的正方形， PD DC， F，G分别是 PB， AD的中点．求证：GF 平面 PCB；
【例 3】如图，在四棱锥 P ABCD中，PA 平面 ABCD，AD CD，AD //BC，PA AD CD 2，BC 3 . E
PF 1
为 PD的中点，点 F 在PC上，且 ，求证：平面 AEF 平面 PCD .
FC 2
跟踪训练
【训练 1】如图，直三棱柱 ABC - A1B1C1中， BAC 90 ， AB AC 2， AA1 4，D 为 BC 的中点，E
1
为CC1上的点，且 CE CC1 ，求证：BE⊥平面 ADB1 .4
1
【训练 2】如图，正三棱柱 ABC - A1B1C1中， E,F 分别是棱 AA1,BB1上的点， A1E BF AA1，3
证明：平面CEF 平面 ACC1A1；
题型 4 利用空间向量求夹角、长度、体积
【例 1】如图，在三棱锥 P ABC中，PA 底面 ABC， BAC 90 .点D、E、N 分别为棱 PA、PC、BC
的中点，M 是线段 AD的中点， PA AC 4， AB 2 .
(1)求证：MN //平面 BDE；
(2) 7已知点 H在棱 PA上，且直线 NH 与直线 BE所成角的余弦值为 ，求线段 AH的长．
21
【例 2】如图，四棱锥P ABCD的底面为正方形，AB AP 2，PA 平面 ABCD，E,F 分别是线段PB,PD
的中点，G是线段PC上的一点.
(1)求证：平面 EFG 平面 PAC；
1
(2)若直线 AG与平面 AEF 所成角的正弦值为 ，且G点不是线段 PC的中点，求三棱锥 E ABG体积.
3
【例 3】如图，在菱形 ABCD中， AB 2， DAB 60 ，将△BCD沿着 BD翻折，形成三棱锥 A BCD .
(1)当 AC 2时，证明： AD BC；
(2)当平面 ABD 平面 BDC时，求直线BC与平面 ACD所成角的余弦值.
跟踪训练
【训练 1】在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD 平面 PAB， PAD 45 ， AB 2 .
(1)证明：平面 PAD 平面 ABCD；
(2)若 E为 PC 的中点，异面直线 BE 与 PA所成角为30 ，求四棱锥 P ABCD的体积.
π
【训练 2】如图 1 所示，四边形 ABCD 中 AD//BC， AB 1， AD 2， BC 3， ABC ，M 为 AD 的中
2
点，N 为 BC 上一点，且MN //AB．现将四边形 ABNM 沿 MN 翻折，使得 AB 与 EF 重合，得到如图 2 所示的
几何体 MDCNFE，其中FD 3．
(1)证明：CD 平面 FND；
(2)若 P 为 FC 的中点，求二面角 F ND P的正弦值．
题型 4 利用空间向量求距离
【例 1】如图，已知菱形 ABCD和矩形 ACEF所在的平面互相垂直， AB AF 2， ADC 60
.
(1)求直线 BF与平面 ABCD的夹角；
(2)求点A到平面 FBD的距离.
【例 2】如图所示，在四棱锥 P ABCD中，侧面 PAD是正三角形，且与底面 ABCD垂直，BC //平面 PAD，
BC 1 AD 1， E是棱 PD上的动点.
2
(1)当 E是棱 PD的中点时，求证：CE //平面 PAB；
(2)若 AB 1， AB AD，求点 B到平面 ACE距离的范围.
跟踪训练
【训练 1】如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为平行四边形，侧面 PAD是边长为 2的正三角形，平
面 PAD 平面 ABCD， AB PD．
(1)求证：平行四边形 ABCD为矩形；
(2)若 E 6为侧棱 PD的中点，且平面 ACE与平面 ABP所成角的余弦值为 ，求点 B到平面 ACE的距离．
4
【训练 2】在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，AA1 AB BC 3，AC 2，D 是 AC 的中点，则直线B1C到平面 A1BD
的距离为 ．
题型 5 探索性问题
与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面
角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些是题中已给出），设
出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．
AD CE 1
【例 1】等边三角形 ABC的边长为 3，点D,E分别是边 AB, AC上的点，且满足 ，如图甲，将
DB EA 2
VADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角 A1 DE B为直二面角，连接 A1B,A1C ，如图乙.
(1)求证： BD 平面 A1DE .
(2)在线段 BC上是否存在点 P，使平面 PA1E与平面 A1BD所成的角为60 ？若存在，求出 PB的长；若不存在，
请说明理由.
【例 2】在如图所示的多面体中，四边形 ABCD为正方形， A,E,B,F四点共面，且 ABE和△ABF 均为等
腰直角三角形， BAE AFB 90 ，平面 ABCD 平面 AEBF， AB 2 .
(1)求证：直线 BE 平面 ADF；
(2)求平面CBF与平面 BFD夹角的余弦值；
(3)若点 P在直线DE上，求直线 AP与平面 BCF所成角的最大值.
跟踪训练
【训练 1】在 ABC（图 1）中，BC 3, C 45 , AD为 BC边上的高，且满

足DC 2BD，现将△ABD沿 AD翻折得到三棱锥 A BCD（图 2），使得二面角 B AD C为60 .
(1)证明：BC 平面 ABD；
1
(2)在三棱锥 A BCD 中，M 为棱CD的中点，点 P在棱 AC上，且 AP AC 0 ，若点C到平面 PBM
2
3 13
的距离为 ，求 的值.
13
【训练 2】如图，在三棱台 ABC - A1B1C1中，若 A1A 平面 ABC, AB AC, AB AC AA1 2，A1C1 1,N为
AB中点，M 为棱 BC上一动点（不包含端点）.
(1)若M 为 BC的中点，求证： A1N / /平面C1MA .
(2)是否存在点M ，使得平面C1MA与平面 ACC1A
2
1所成角的余弦值为 7？若存在，求出
BM长度；若不存在，
请说明理由.
【训练 3】如图，圆台O1O2的轴截面为等腰梯形 A1ACC1，AC 2AA1 2A1C1 4,B为底面圆周上异于 A,C 的
点.
(1)在平面 BCC1内，过C1作一条直线与平面 A1AB平行，并说明理由；
(2)若四棱锥 B A1ACC1的体积为 2 3，设平面 A1AB 平面C1CB l,Q l，求 CQ 的最小值.中小学教育资源及组卷应用平台
立体几何第二节 大题篇课后练习
1.（2024 广西月考）已知，，如果与为共线向量，则（ ）
A． B． C． D．
2.（2024 昆明月考）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（ ）

A． B．
C． D．
3.（2024·全国模拟·多选题）空间直角坐标系中，已知，，，，则（ ）
A．
B．是等腰直角三角形
C．与平行的单位向量的坐标为或
D．在方向上的投影向量的坐标为
4.（2024·濮阳月考）已知，若三向量共面，则等于（ ）
A． B．9 C． D．
5.（2024·蚌埠模拟）在三棱柱中，平面平面ABC，，，D为AC的中点．求证：平面平面.

6．（2024·广州一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形，，点，分别为和的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
7.（2024·佛山模拟）如图，在四边形中，，点E，F分别在上运动，且，现将四边形沿折起，使平面平面．
若E为的中点，求证：平面；

8.（2024·青岛期末）如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，为等边三角形，面底面ABCD，E为AD的中点.

(1)求证：；
(2)在线段BD上存在一点F，使直线AP与平面PEF所成角的正弦值为.
①确定点F的位置；
②求点C到平面PEF的距离.
9.（2024·石家庄月考）在三棱台中，为中点，，，.
(1)求证：平面；
(2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积.
10．（2023·全国乙卷（理））如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.

(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
11．（2023·新课标全国Ⅰ）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
12．（2023·新课标全国Ⅱ）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．

(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
13．（2023·天津）三棱台中，若面，分别是中点.

(1)求证：//平面；
(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
14．（2022·全国甲卷（理））在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
15．（2022·全国乙卷（理））如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
16．（2022·新高考全国Ⅱ）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
17．（2021·全国甲卷（理））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小
18．（2020·新高考全国Ⅰ（山东卷））如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
19．（2020·新课标Ⅰ（理））如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
20．（2024·河北沧州月考）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，．

(1)求证：平面平面；
(2)棱上是否存在点M，使得二面角的大小为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
21．（2024·广东深圳模拟）三棱柱中，侧面是矩形，，.

(1)求证：面面ABC；
(2)若，，，在棱AC上是否存在一点P，使得二面角的大小为45°？若存在求出，不存在，请说明理由.
22．（2024·湖南师大附中校考阶段练习）如图所示，已知三棱柱的所有棱长均为1．
(1)从下面①②③中选择两个作为条件，证明另一个成立；
①；②为直角；③平面平面．
(2)设点是棱上一点．在（1）中条件都成立的情况下，试确定点的位置，使得直线与平面所成的角最大．
23．（2024·江苏镇江模拟）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，平面平面，为线段的中点，是线段（不含端点）上的一个动点．
(1)记平面交于点，求证：平面；
(2)是否存在点，使得二面角的正弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．
24．（2024·吉林模拟）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E为BC的中点．

(1)证明：．
(2)若二面角的平面角为，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平面PAB所成角的最大值．
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