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数列第3节课后练习
1．(2017 课标Ⅲ卷理)等差数列的首项为，公差不为．若成等比数
列，则前项的和为(　　)
A． B． C． D．
2．(2016 课标Ⅰ卷理)设等比数列满足，，则的最大值为 ．
3．(2015 新课标2卷)已知等比数列满足，，则
(　　)
A．21 B．42 C．63 D．84
4.（2024 哈尔滨月考）设等比数列满足，，则使最大的为　　
A． B．3 C．3或4 D．4
5.（2024 广西月考）若，，为实数，数列，，，，是等比数列，则的值为　　
A．5 B． C． D．
6.（2024 广州月考），，，若是，的等差中项，正数是，的等比中项，则（ ）
A． B． C． D．
7.（2024 沈阳月考）在各项均为正数的等比数列中，，则　　
A．1 B． C．4 D．
8.（2024 呼和浩特月考）已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
9.（2024 青岛月考）若等比数列中的，是方程的两个根，则等于　　
A． B．1011 C． D．1012
10.（2024 唐山月考）设单调递增的等比数列满足，，则公比　　
A． B． C．2 D．
11.（2024 深圳月考）已知方程的四个根组成一个首项为的等比数列，则　　
A．1 B． C． D．
12.(2019 全国Ⅰ卷)记为等比数列的前项和．若，，则 ．
13.(2019 课标Ⅲ卷理)已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则(　　)
A．16 B．8 C．4 D．2
14.(2017 新课标Ⅰ卷)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件．为激
发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码
为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一项是,接下来的两
项是,,再接下来的三项是,,,依此类推．求满足如下条件的最小整数:
且该数列的前项和为的整数幂．那么该款软件的激活码是(　　)
A． B． C． D．
15.(2017 新课标Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，
共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是
上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
16.（2024 湛江月考）等比数列的前项和，则　　
A． B． C．2 D．
17.（2024 运城月考）设等比数列的前项和为，若，则　　
A． B． C． D．
18.（2024 芜湖月考）已知数列是等比数列，为其前项和，若，，则　　
A．26 B．24 C．18 D．12
19.（2024 泉州月考）在等比数列中，前项的和为，，，则（ ）
A．22 B．210 C．640 D．2560
20.（2024 十堰月考）已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．32 B．28 C．48 D．60
21.（2024 遵义月考）设等比数列的前项和为，若，则的值是　　
A． B．3 C． D．4
22.（2024 常州月考）在等比数列中，，，则（ ）
A．90 B．70 C．40 D．30
23.（2024 苏州月考）一个球从高的地方自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第6次着地时，经过的路程是　　
A． B．
C． D．
24.（2024 凉山月考）某银行设立了教育助学低息贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息（利息按月以复利计算）．如果小新同学贷款10000元，一年还清，假设月利率为，那么小新同学每月应还的钱约为　　
A．833 B．858 C．883 D．902
25.（2024 湖南期末）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，可以形成一个新的数列，再把所得数列按照同样的方法可以不断构造出新的数列．现将数列1，3进行构造，第1次得到数列1，4，3；第2次得到数列1，5，4，7，3；依次构造，第次得到数列1，，，，，，3．记，若成立，则的最小值为　　
A．6 B．7 C．8 D．9
26.（2023 湖北月考）古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从点走向点，要先走完总路程的三分之一，再走完剩下路程的三分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无限个“剩下路程的三分之一”要走，这个人永远走不到终点．另一方面，我们可以从上述第一段“三分之一的路程”开始，通过分别计算他在每一个“三分之一距离”上行进的时间并将它们逐个累加，不难推理出这个人行进的总时间不会超过一个恒定的实数．记等比数列的首项，公比为，前项和为，则造成上述悖论的原理是　　
A． B．
C． D．
27.（2024 河南月考）德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一操作，将边长为1的正方形分成9个边长为的小正方形，保留靠角的4个，删除其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删除；以此方法继续下去，经过次操作后，若要使保留下来的所有小正方形的面积之和不超过，则至少需要操作的次数为　 　．
28.（2017 新课标Ⅰ）记为等比数列的前项和．已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并判断，，是否成等差数列．
29.（2023 深圳模拟）已知数列的首项，且满足．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
30.（2024 江门月考）已知数列满足：，且．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
31.（2024 太原月考）已知，点，在函数的图象上，其中．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)数列第 3节 等比数列
考向一 等比数列的概念及通项公式
知识点一 等比数列的概念
1．定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列
叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q表示(q≠0)．
2 an q ( n N n 2 ) a．递推公式形式的定义： 且 （ n 1 q， n N ）.
an 1 an
知识点二 等比中项
如果在 a与 b中间插入一个数 G，使 a，G，b成等比数列，那么 G叫做 a与 b的等比中项，此时，G2＝ab.
注：①并非任何两数总有等比中项．仅当实数 a,b同号，即 ab 0时，实数 a,b存在等比中项．对同号两实
数 a,b的等比中项不仅存在，而且有一对互为相反数的等比中项G ab．也就是说，两实数要么没有等
比中项（非同号时），如果有，必有一对（同号时）．在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中
项关系”转化求解．
2
②G ab是 a、G、b成等比数列的必要不充分条件.
知识点三 等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则 a a qn 1n 1 (n∈N*)．
知识点四 从函数观点看等比数列——等比数列与指数函数
1.等比数列的图象
对于等比数列{an}，通项公式 an a qn 1
a
11 q
n a．当 q 1且 a1 1时，它们都是一个非零常数 c(c＝
1 )
q q
与指数函数 y＝qx的乘积：y＝cqx.
由指数函数 y＝qx的图象可以得出 y＝cqx的图象，而 y＝cqx的图象上横坐标为正整数 n的孤立点(n，an)
组成如下图等比数列的图象．
当等比数列的公比 q＝1时等比数列的各项都为常数 a1，其图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点．
2.等比数列的单调性
（1）已知等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则
1
a1 0 a1 0 a{a } 1
0 a1 0
①当 或 时， n 是递增数列；②当 或 时，{a }是递减数列；
q 1 0 q 1

0 q

1 q 1 n
③当 q 1时，{an}为常数列 (an 0)．
（2）对于等比数列{an}，借助函数 y＝cqn的性质，可分析等比数列{an}的增减性如下表．
a1 a1>0 a1<0
q的范围 01 01
数列{an}的增减性 递减数列 常数列 递增数列 递增数列 常数列 递减数列
（3）等比数列{an}，当公比 q<0时，是摆动数列，即不递增也不递减，所有的奇数项（偶数项）同号，奇
数项与偶数项异号，反应在图象上是一系列上下波动的孤立的点(如图)
注：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为 1的等比数列.
知识点五 等比数列通项公式的推广和变形
1.通项公式变形
等比数列{an}的公比为 q，则
① qn m a n ，可用来由等比数列任两项求公比.
am
② a n mn am q ，可以用来利用任一项及公比直接得到通项公式，不必求 a1.
n 1
a a q n 1证明：∵ n 1 ， a a q
m 1 a a q
m 1 ，∴
n 1 m 1 q
n m
，∴ an am q
n m
.
am a1 q
由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式
an a1 q
n 1 (n N *，a1 q 0)可以看成是m 1时的特殊情况.
③ qn a n ，已知首项，末项，公比即可计算出项数.
a1
2.基本量法
（1）等比数列可以由首项 a1和公比 q确定，我们把 a1和 q称为基本量，所有关于等比数列的计算和证明，
都可围绕 a1和 q进行.在基本量法中，不拘泥于 a1，有 am 可以直接用 am .
解题时没有思路了，可以回归基本量法.
（2）求等比数列的通项公式的两种思路：
2
①设出基本量 a1、 q，利用条件构建方程组，通过两式相除法或者代入消元法求出 a1， q，即可写出等比
数列 an 的通项公式；
a a qn 1 a
②已知等比数列中的两项 an ,am (n,m

N* ,n m) n 1 n n m时，则 qa 可不必求
a1而直接写
a a qm 1 m 1 m
出等比数列{an}的通项公式．
③设项技巧——对称设项
a
（i）三个数成等比数列可设为： ， a， aq或 a， aq， aq2 ；
q
（ii a a）四个数成等比数列可设为： ， ， aq， aq33 或 a， aq， aq
2 ， aq3 .
q q
【例 1】(2022 乙卷理)已知等比数列 an 的前 3项和为 168， a2 a5 42，则 a6 ( )
A．14 B．12 C．6 D．3
【例 2】（2020 新课标Ⅰ文）设{an}是等比数列，且 a1 a2 a3 1，a2 a3+a4 2，则 a6 a7 a8 （ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
【例 3】（2019 全国 III卷理）已知各项均为正数的等比数列 an 的前 4项和为 15，且
a5 3a3 4a1，则 a3 （ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
跟踪训练
【训练 1】已知{an}是等比数列，且 a6 a4 24， a7 a5 48，则 a1 ( )
A． 1 B 1． C．1 D．2
2
3
【训练 2】设{an}
a a
为等比数列， a2 2a4 3a 4 76 ，则 ( )a2 a5
A 1 B 1． ． C．3 D．9
9 3
【训练 3】（2023 乙卷）已知{an}为等比数列， a2a4a5 a3a6， a9a10 8，则 a7 ．
1 a a
【训练 4】已知在正项等比数列{an}中 3a1， a3， 2a2 成等差数列，则 2022 2021 ．2 a2020 a2019
考向二 等比数列的常用性质
一、由等比数列生成新的等比数列
若数列{a }是公比为 qn 的等比数列，由等比数列的定义可得等比数列具有如下性质：
1.数列 an ( 0)仍是公比为 q的等比数列；
1 1
2. 数列 an （ 为常数）为等比数列；特别地，当 1时，即 是公比为 的等比数列；
a

n q
3.若数列 bn 是公比为 q'的等比数列，则数列 anbn 是公比为 qq'的等比数列；
4．在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，an＋k，an＋2k，an＋3k 为
等比数列，公比为 qk ．
二、等差数列与等比数列的联系
1. a若数列{an}是公差为 d的等差数列，则数列{b n}（b 0且b 1
d
）是公比为b 的等比数列．
2.若数列{an}是公比为 q等比数列，则数列{logb | an |}（b 0且b 1）公差为 logb | q |的等差数列．
3.如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列；但数列{an}是常数数列仅是数
列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．
4
三、项的性质
1.对称性：若m n p q，则 aman apaq ；若m n 2k，则 a 2m an ak ．
推广：①若m n t p q r，则 amanat apaqar ．②有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积
都相等，都等于首末两项的积： a1 an a2 an 1 am an 1 m．
2.若m,n, p成等差数列，则 am ,an ,ap 成等比数列．
am k a3.等比性质： 1 m2 k
amn k qk ．
am a a1 m2 mn
a3 a6 a99 q a3 a6 a a a a 99 q2 7 8 9 q3 a a a例如：① ；② ；③ ； 7 8 9 q6．
a2 a5 a98 a1 a4 a97 a4 a5 a6 a1 a2 a3
【例 1】在正项等比数列 an 中，a3与 a8是方程 x2 30x 10 0 的两个根，则
lga1 lga2 lga10 .
【例 2 12 2 1 1 1】在等比数列{an}中， a1 a2 a8 ， a4a5 ，则 ( )5 5 a1 a2 a8
A． 6 B 24． C 14． D．2
25 5
【例 3】在各项均为正数的等比数列 an 中， a26 2a a a25 9 8 25，则 a6a8的最大值是（ ）
25 2
A．25 B．5 C． D．
4 5
跟踪训练
11 1 1 1 1 1 1
【训练 1】在等比数列 an 中， a1 a2 a3 a4 a5 ， a4 3 ，则

a a a a a （ ）4 1 2 3 4 5
64 16
A． 44 B． C． D．11
11 11
5
【训练 2】等比数列 an 满足： a1 0,q 0,a1a3a5a7a9 32，则 a2 a8的最小值为 ．
【训练 3】已知在等比数列 an 中，a3、a7分别是函数 y x3 6x2 6x 1的两个驻点，则 a5 ．
考向三 等比数列的前 n项和公式及其性质
已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项
a1 1－qn q 1 a －a q ≠ 1 n， q≠1 ，
求和公式 Sn＝ 1－q S ＝ 1－qn
na1 q＝1 na1 q＝1
1.推导方法：
a a a
由等比数列的定义，有 2 3 n q
a1 a2 an 1
a2 a3 a S a根据等比性质，有 n n 1 q (1 q)S a a q
a1 a2 a S a
n 1 n
n 1 n n
a a q a (1 q n )
∴当 q 1时， S 1 nn 或 Sn
1 .
1 q 1 q
2.基本量法
（1）对于等比数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程求出 a1，q .如果再给出第三个条件就可以完
成 an，a1， q， n，Sn的“知三求二”问题．这体现了利用方程思想通过两式相除法或代入消元法求出基本量
解决问题．解题时没有思路了，可以考虑“回归基本量法”.
注：往往要用到乘法公式 a2 b2 (a b)(a b)， a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) .
（2）和式代换法：将 Sn层的计算先降维到 an 层，再进行下一步计算
S1 ,n 1
① an ；② Sn Sm a a aS S ,n 2 m 1 m 2 n
.
n n 1
6
3.前 n项和 Sn 的常用性质
① S S m nm n m q Sn Sn +q Sm ．例如： S10=S5+q
5S5 ；
证明： Sm n Sm am 1 am n，
而 am 1 a
m m m m m m
m n a1q a2q anq a1 a2 an q Snq ，于是 Sm n Sm q Sn .
特别地， Sn 1 a1 qSn .
② Sm ,S S
m
2m m ,S3m S2m ，…构成公比为 q 的等比数列( q 1 ).
若 a1 a2 am Sm ,am 1 am 2 a2m S2m Sm ,
a2m 1 a a S S , S ,S S ,S S , q
m
2m 2 3m 3m 2m ，则 m 2m m 3m 2m 成公比为 的等比数列.
4． S奇 与 S 的性质偶
等比数列{an}中，所有奇数项之和 S奇 与所有偶数项之和 S 具有的性质，设公比为 q．偶
S S a
（1）若共有 2n项，则 偶 q；（2）若共有 2n 1项， 奇 1 q．
S奇 S偶
S
【例 1】（2020 n 新课标Ⅱ文）记 Sn为等比数列{an}的前 n项和．若 a5–a3=12，a6–a4=24，则 a =（ ）n
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
【例 2】（2020 新课标Ⅱ）数列{an}中，a1 2，am n a a ．若 a a 15 5m n k 1 k 2 ak 10 2 2 ，则 k (
)
A．2 B．3 C．4 D．5
1
【例 3】（2019 全国 1）记 S 2n为等比数列{an}的前 n项和．若 a1 ，a4 a6 ，则 S5=___________．3
【例 4】在等比数列{an}中，已知前 n项和 S
n
n 2 a，则 a的值为 ( )
A．1 B． 1 C．2 D． 2
7
【例 5】（2021 甲卷文）记 Sn为等比数列 an 的前 n项和.若 S2 4， S4 6，则 S6 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
S S
【例 6】设等比数列{a 3 6n}的前 n项和为 Sn，若 3，则 （ ）S6 S9
2 8 3A. B. C. D.3
3 7
跟踪训练
【训练 1】（2023 新高考Ⅱ）记 Sn 为等比数列{an}的前 n项和，若 S4 5， S6 21S2，则 S8 ( )
A．120 B．85 C． 85 D． 120
【训练 2】（2023 甲卷）已知正项等比数列{an}中，a1 1，Sn 为{an}前 n项和，S5 5S3 4，则 S4 ( )
A．7 B．9 C．15 D．30
【训练 3】（2019 上海）已知数列{an}前 n项和为 Sn ，且满足 Sn an 2，则 S5 ．
【训练 4】设 Sn是等比数列 an 的前 n项和，若 S3 ,S9 ,S6 成等差数列， a1 2，则 a7的值为（ ）
1
A． 2 B． C 1． 2 D．12
8
【训练 5】（1）已知等比数列{an}共有 2n项，其和为 240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公比
q _______．
（2）设等比数列{an}的前 n项和记为 Sn ，若 S10 : S5 1: 2，则 S15 : S5 _______．
考向四 等比数列的判定方法
1. an＋1 q(q an定义法：若 ＝ 为非零常数)或 ＝q(q为非零常数且 n≥2)，则 an 是等比数列．an an－1
2.等比中项法：若数列 an 中 an≠0且 a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列 an 是等比数列．
3.通项公式法：若数列通项公式可写成 an＝c·qn－1(c，q均为不为 0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
4.前 n项和法：若数列 an 的前 n项和 Sn＝k·qn－k(k为常数且 k≠0，q≠0,1)，则 an 是等比数列．
需要说明的是：对于方法 (1)、 (2)适用于任何题型，强调推理过程，而方法(3)、 (4)适合于选择、填空题，
强调结论的应用，若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可．
5.常见的等比数列
（1）若 Sn A q
n B，当 A B 0时，{an}是等比数列；当 A B 0时，{an}是从第二项开始的等比
数列．
（2） Sn Aan B（ A 1），则{an}是等比数列．
（3）若 Sn Aan 1 B（ A 0），则 an 是从第二项 a2为首项的等比数列．
【例 1】（2019·全国卷Ⅱ）数列{an}和{bn}满足 a1 1， b1 0， 4an＋1 3an bn 4， 4bn＋1 3bn an 4
（1）证明：{an bn}是等比数列，{an bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式．
9
【例 2】已知数列{an}的前 n项和为 Sn ， a2 3，且 an 1 2Sn 2(n N
*)．
（1）求证：数列{an}是从第二项开始的等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
【例 3】记 Sn 为数列{an}的前 n项和，Tn 为数列{Sn}的前 n项和，已知 Sn Tn 2．
（1）求证：数列{Sn}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
3 3a
【例 4】已知数列{an}的首项 a1 ,a n
*
n 1 (n N )．5 2an 1

1 1

（ ）求证：数列 1a
是等比数列；
n
（2）求数列{an}的通项公式．
10
跟踪训练
【训练 1】已知数列{an}的前 n项和为 Sn ， a1 a，3an 1 5Sn 10(n N*)，其中 a R
．
判断数列{an}是否为等比数列，并说明理由．
【训练 2】已知数列{an}的前 n项和为 Sn ，满足 2Sn 3a
n
n 2 1．
求证：数列{an 2
n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式．
【训练 3】（2006 山东）已知 a 2，点 (a ， a )在函数 f (x) x2 2x的图象上，其中 n N 1 n n 1 .
（1）证明数列{lg(1 an )}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项．
【训练 4】数列{an}的前 n项和 Sn 满足 a1 3， a2 0， an 6Sn 2， n 3， n N
*．
（1）证明：数列{Sn 2Sn 1}为等比数列；
（2）求{an}的通项公式．
11
考向五 等比数列前 n项和的实际应用
1．解应用问题的核心是建立数学模型．
2．解决应用题的一般步骤：
（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
（2）建模：将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学（数列）问题，弄清该数列的结
构和特征；
（3）解模：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．
3．注意问题是求什么(n，an，Sn)．
注意：
（1）解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．
（2）在归纳或求通项公式时，一定要将项数 n计算准确．
（3）在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．
（4）在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求．
4.实际应用题常见的数列模型
（1）储蓄的复利公式：本金为 a元，每期利率为 r，存期为 n期，则本利和 y ＝a(1＋r)n.
（2）总产值模型：基数为 N，平均增长率为 p，期数为 n，则总产值 y＝ N (1＋p)n.
（3）传染病模型：第一天确诊患者数 a1人，每个人的传染力为 q，则经过 n 1轮传染后，则患者总人数为
n
S a1(1 q )n .1 q
【例 1】某银行在 2024年初给出的大额存款的年利率为 3%，某人存入大额存款 a0 元，按照复利计算，10
a
年后得到的本利和为 a10 ，下列各数中与 10 最接近的是 ( )a0
A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34
【例 2】（多选）在流行病学中，基本传染数 R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的
情况下，一个感染者平均传染的人数．初始感染者传染 R0个人为第一轮传染，第一轮被传染的 R0个
人每人再传染 R0个人为第二轮传染， ．假设某种传染病的基本传染数 R0 4，平均感染周期为 7
天，初始感染者为 1人，则 ( )
A．第三轮被传染人数为 16人 B．前三轮被传染人数累计为 80人
C．每一轮被传染的人数组成一个等比数列 D．被传染人数累计达到 1000人大约需要 35天
12
【例 3】某牧场今年初牛的存栏数为 1200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且每年年底卖出 100头
牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为 c1，c2，c3 ，Sn 为{cn}的前 n项和，则 S6 .（结
果保留成整数）（参考数据：1.15 1.611，1.16 1.771，1.17 1.949)
跟踪训练
【训练 1】按复利计算，存入一笔 5万元的三年定期存款，年利率为 4%，则 3年后支取可获得利息为 ( )
A． (5 0.04)3万元 B．5(1 0.04)3 万元
C． 5(1 0.04)3 5万元 D． 3 (5 0.04)万元
【训练 2】在流行病学中，基本传染数 R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个
感染者平均传染的人数． R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的
概率决定．假定某种传染病的基本传染数 R0 3，那么感染人数由 1个初始感染者增加到 2000人大约需要
的传染轮数为 ( )
注：初始感染者传染 R0个人为第一轮传染，每个感染者再传染 R0个人为第二轮感染．
A．5 B．6 C．7 D．8
【训练 3】甲型 Hln1流感病毒是寄生在宿主的细胞内的，若该细胞开始时 2个，记为 a0 2，它们按以下规
律进行分裂，1小时后分裂成 4个并死去 1个，2小时后分裂成 6个并死去 1个，3小时后分裂成 10个并死
去 1个， ，记 n小时后细胞的个数为 an，则 an 2
n 1 （用 n表示）．
13
【训练 4】某牧场今年初牛的存栏数为 1200，预计以后每年存栏数的增长率为 5%，且在每年年底卖出 100
头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为数列 c1，c2，c3， ，且满足递推公式：cn 1 k r(cn k)，
{Sn}为数列{cn}的前 n项和，则 S10 (1.05
10 1.63答案精确到1)．
14中小学教育资源及组卷应用平台
数列第3节 等比数列
考向一 等比数列的概念及通项公式
知识点一　等比数列的概念
1．定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．递推公式形式的定义：(且)（，）.
知识点二　等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
注：①并非任何两数总有等比中项．仅当实数同号，即时，实数存在等比中项．对同号两实数的等比中项不仅存在，而且有一对互为相反数的等比中项．也就是说，两实数要么没有等比中项（非同号时），如果有，必有一对（同号时）．在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”转化求解．
②是、、成等比数列的必要不充分条件.
知识点三　等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则(n∈N*)．
知识点四　从函数观点看等比数列——等比数列与指数函数
1.等比数列的图象
对于等比数列，通项公式．当且时，它们都是一个非零常数c(c＝)与指数函数y＝qx的乘积：y＝cqx.
由指数函数y＝qx的图象可以得出y＝cqx的图象，而y＝cqx的图象上横坐标为正整数n的孤立点(n，an)组成如下图等比数列的图象．
当等比数列的公比q＝1时等比数列的各项都为常数a1，其图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点．
2.等比数列的单调性
（1）已知等比数列的首项为，公比为，则
①当或时，是递增数列；②当或时，是递减数列；
③当时，为常数列．
（2）对于等比数列{an}，借助函数y＝cqn的性质，可分析等比数列{an}的增减性如下表．
a1 a1>0 a1<0
q的范围 01 01
数列{an}的增减性 递减数列 常数列 递增数列 递增数列 常数列 递减数列
（3）等比数列{an}，当公比q<0时，是摆动数列，即不递增也不递减，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号，反应在图象上是一系列上下波动的孤立的点(如图)
注：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列.
知识点五　等比数列通项公式的推广和变形
1.通项公式变形
等比数列{an}的公比为q，则
①，可用来由等比数列任两项求公比.
②，可以用来利用任一项及公比直接得到通项公式，不必求a1.
证明：∵，，∴，∴.
由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况.
③，已知首项，末项，公比即可计算出项数.
2.基本量法
（1）等比数列可以由首项a1和公比确定，我们把a1和称为基本量，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a1和进行.在基本量法中，不拘泥于，有可以直接用.
解题时没有思路了，可以回归基本量法.
（2）求等比数列的通项公式的两种思路：
①设出基本量、，利用条件构建方程组，通过两式相除法或者代入消元法求出，，即可写出等比数列的通项公式；
②已知等比数列中的两项时，则可不必求而直接写出等比数列的通项公式．
③设项技巧——对称设项
（i）三个数成等比数列可设为：，，或，，；
（ii）四个数成等比数列可设为：，，，或，，，.
【例1】(2022 乙卷理)已知等比数列的前3项和为168，，则(　　)
A．14 B．12 C．6 D．3
【例2】（2020 新课标Ⅰ文）设是等比数列，且，，则（ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
【例3】（2019 全国III卷理）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且
，则（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
跟踪训练
【训练1】已知是等比数列，且，，则　　
A． B． C．1 D．2
【训练2】设为等比数列，，则　　
A． B． C．3 D．9
【训练3】（2023 乙卷）已知为等比数列，，，则　 　．
【训练4】已知在正项等比数列中，，成等差数列，则　 　．
考向二　等比数列的常用性质
一、由等比数列生成新的等比数列
若数列是公比为的等比数列，由等比数列的定义可得等比数列具有如下性质：
1.数列仍是公比为的等比数列；
2.数列（为常数）为等比数列；特别地，当时，即是公比为的等比数列；
3.若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列；
4．在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为
等比数列，公比为．
二、等差数列与等比数列的联系
1.若数列是公差为的等差数列，则数列（且）是公比为的等比数列．
2.若数列是公比为等比数列，则数列（且）公差为的等差数列．
3.如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列；但数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．
三、项的性质
1.对称性：若，则；若，则．
推广：①若，则．②有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，都等于首末两项的积：．
2.若成等差数列，则成等比数列．
3.等比性质：．
例如：①；②；③；．
【例1】在正项等比数列中，与是方程 的两个根，则 .
【例2】在等比数列中，，，则　　
A． B． C． D．2
【例3】在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（ ）
A．25 B．5 C． D．
跟踪训练
【训练1】在等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．11
【训练2】等比数列满足：，则的最小值为 ．
【训练3】已知在等比数列中，、分别是函数的两个驻点，则 ．
考向三 等比数列的前n项和公式及其性质
已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项
求和公式 Sn＝ Sn＝
1.推导方法：
由等比数列的定义，有
根据等比性质，有
∴当时，或.
2.基本量法
（1）对于等比数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程求出a1，.如果再给出第三个条件就可以完成an，a1，，，Sn的“知三求二”问题．这体现了利用方程思想通过两式相除法或代入消元法求出基本量解决问题．解题时没有思路了，可以考虑“回归基本量法”.
注：往往要用到乘法公式，.
（2）和式代换法：将层的计算先降维到层，再进行下一步计算
①；②.
3.前n项和的常用性质
①．例如：；
证明：，
而，于是.
特别地，.
②，…构成公比为的等比数列().
若
，则成公比为的等比数列.
4．与的性质
等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为．
（1）若共有项，则；（2）若共有项，．
【例1】（2020 新课标Ⅱ文）记Sn为等比数列{an}的前项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
【例2】（2020 新课标Ⅱ）数列中，，．若，则　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【例3】（2019 全国1）记Sn为等比数列{an}的前项和．若，则S5=___________．
【例4】在等比数列中，已知前项和，则的值为　　
A．1 B． C．2 D．
【例5】（2021 甲卷文）记为等比数列的前项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【例6】设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
跟踪训练
【训练1】（2023 新高考Ⅱ）记为等比数列的前项和，若，，则　　
A．120 B．85 C． D．
【训练2】（2023 甲卷）已知正项等比数列中，，为前项和，，则　　
A．7 B．9 C．15 D．30
【训练3】（2019 上海）已知数列前项和为，且满足，则　　．
【训练4】设是等比数列的前项和，若成等差数列，，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【训练5】（1）已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大，则公比_______．
（2）设等比数列的前项和记为，若，则_______．
考向四 等比数列的判定方法
1.定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则是等比数列．
2.等比中项法：若数列中an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列是等比数列．
3.通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
4.前n项和法：若数列的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则是等比数列．
需要说明的是：对于方法(1)、(2)适用于任何题型，强调推理过程，而方法(3)、(4)适合于选择、填空题，强调结论的应用，若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可．
5.常见的等比数列
（1）若，当时，是等比数列；当时，是从第二项开始的等比数列．
（2）（），则是等比数列．
（3）若（），则是从第二项为首项的等比数列．
【例1】（2019·全国卷Ⅱ）数列和满足，，，
（1）证明：是等比数列，是等差数列；
（2）求和的通项公式．
【例2】已知数列的前项和为，，且．
（1）求证：数列是从第二项开始的等比数列；
（2）求数列的通项公式．
【例3】记为数列的前项和，为数列的前项和，已知．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式．
【例4】已知数列的首项．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式．
跟踪训练
【训练1】已知数列的前项和为，，，其中．
判断数列是否为等比数列，并说明理由．
【训练2】已知数列的前项和为，满足．
求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式．
【训练3】（2006 山东）已知，点，在函数的图象上，其中.
（1）证明数列是等比数列；
（2）求数列的通项．
【训练4】数列的前项和满足，，，，．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求的通项公式．
考向五 等比数列前n项和的实际应用
1．解应用问题的核心是建立数学模型．
2．解决应用题的一般步骤：
（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
（2）建模：将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学（数列）问题，弄清该数列的结构和特征；
（3）解模：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．
3．注意问题是求什么(n，an，Sn)．
注意：
（1）解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．
（2）在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确．
（3）在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．
（4）在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求．
4.实际应用题常见的数列模型
（1）储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和y ＝a(1＋r)n.
（2）总产值模型：基数为N，平均增长率为p，期数为n，则总产值y＝ N (1＋p)n.
（3）传染病模型：第一天确诊患者数人，每个人的传染力为，则经过轮传染后，则患者总人数为.
【例1】某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算，10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是　　
A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34
【例2】（多选）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．初始感染者传染个人为第一轮传染，第一轮被传染的个人每人再传染个人为第二轮传染，．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，初始感染者为1人，则　　
A．第三轮被传染人数为16人 B．前三轮被传染人数累计为80人
C．每一轮被传染的人数组成一个等比数列 D．被传染人数累计达到1000人大约需要35天
【例3】某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，为的前项和，则　 　（结果保留成整数）（参考数据：，，
跟踪训练
【训练1】按复利计算，存入一笔5万元的三年定期存款，年利率为，则3年后支取可获得利息为　　
A．万元 B．万元
C．万元 D．万元
【训练2】在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假定某种传染病的基本传染数，那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为　　
注：初始感染者传染个人为第一轮传染，每个感染者再传染个人为第二轮感染．
A．5 B．6 C．7 D．8
【训练3】甲型流感病毒是寄生在宿主的细胞内的，若该细胞开始时2个，记为，它们按以下规律进行分裂，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，，记小时后细胞的个数为，则　　（用表示）．
【训练4】某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为数列，，，，且满足递推公式：，为数列的前项和，则　 　答案精确到．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)数列第 3节课后练习
1．(2017 课标Ⅲ卷理)等差数列 an 的首项为1，公差不为0．若 a2 ,a3 ,a6 成等比数
列，则 an 前6项的和为( )
A． 24 B． 3 C．3 D．8
2．(2016 课标Ⅰ卷理)设等比数列满足 a1 a3 10， a2 a4 5，则 a1a2...an的最大值为 ．
3．(2015 新课标 2卷)已知等比数列 an 满足 a1 3， a1 a3 a5 21，则
a3 a5 a7 ( )
A．21 B．42 C．63 D．84
4.（2024 哈尔滨月考）设等比数列{an}满足 a1 a3 10， a2 a4 5，则使 a1a2 an 最大的 n为 ( )
A 7． B．3 C．3或 4 D．4
2
5.（2024 广西月考）若 a，b， c为实数，数列 1， a，b， c， 25是等比数列，则 b的值为 ( )
A．5 B． 5 C． 5 D． 13
6.（2024 广州月考）a，b R ，a b，若 A是 a，b的等差中项，正数G是 a，b的等比中项，则（ ）
A． ab AG B． ab AG C． ab AG D． ab AG
1
7.（2024 沈阳月考）在各项均为正数的等比数列{an}中， a1a5 2a4a6 a5a9 8，则 a3 a7 ( )
A．1 B． 2 C．4 D． 2 2
8（. 2024 S 呼和浩特月考）已知等比数列{an}的前 n项和为 Sn ，若 a4 a2 12，a5 a3 24，则 4 （ ）a1 a3
A．6 B．3 C．2 D．1
9.（2024 青岛月考）若等比数列{an}中的 a5， a2019是方程 x
2 4x 3 0的两个根，则
log3 a1 log3 a2 log3 a3 log3 a2023等于 ( )
A 2024． B．1011 C 2023． D．1012
3 2
10.（2024 1 1 13 唐山月考）设单调递增的等比数列{an}满足 ， a1a5 36，则公比 q ( )a2 a4 36
A 3 B 9 5． ． C．2 D．
2 4 2
11.（2024 1 深圳月考）已知方程 (x2 mx 2)(x2 nx 2) 0的四个根组成一个首项为 的等比数列，则
2
|m n | ( )
A．1 B 3 C 5 9． ． D．
2 2 2
12.(2019 全国Ⅰ卷)记 Sn为等比数列{an}的前 n项和．若 a
1
1 ， a
2
4 a6 ，则 S5 ．3
2
13.(2019 课标Ⅲ卷理)已知各项均为正数的等比数列 an 的前 4项和为 15，且 a5 3a3 4a1，则 a3 ( )
A．16 B．8 C．4 D．2
14.(2017 新课标Ⅰ卷)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件．为激
发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码
为下面数学问题的答案:已知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,, 0其中第一项是 2 ,接下来的两
20 ,21 , 20项是 再接下来的三项是 , 21 , 22 ,依此类推．求满足如下条件的最小整数N :N 100
且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )
A．440 B．330 C． 220 D．110
15.(2017 新课标Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，
共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是
上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
16.（2024 湛江月考）等比数列{an}的前 n项和 Sn a 2
n 1 b a，则 ( )
b
A． 2 B 3． C 3．2 D．
2 2
17.（2024 运城月考）设等比数列{an}的前 n项和为 S
S10 1 S，若 ，则 15n ( )S5 2 S5
A 1 B 1 2 3． ． C． D．
3 2 3 4
3
18.（2024 芜湖月考）已知数列{an}是等比数列， Sn 为其前 n项和，若 a1 a2 a3 2，a4 a5 a6 6，则
S9 ( )
A．26 B．24 C．18 D．12
19（. 2024 泉州月考）在等比数列{an}中，前 n项的和为 Sn ，S5 10，S10 50，则 a16 a17 a20 （ ）
A．22 B．210 C．640 D．2560
20.（2024 十堰月考）已知等比数列{an}的前 n项和为 Sn ，若 S3 4， S6 12，则 S12 （ ）
A．32 B．28 C．48 D．60
21.（2024 1 S 遵义月考）设等比数列{an}的前 n项和为 S ，若 S 12n 4 S8，则 的值是 ( )2 S8 S4
A 3． 4 B．3 C． D．4
2
22.（2024 常州月考）在等比数列中， S30 13S10 ， S10 S30 140，则 S20 （ ）
A．90 B．70 C．40 D．30
23.（2024 苏州月考）一个球从100m高的地方自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它
第 6次着地时，经过的路程是 ( )
A．[100 200(1 2 5 )]m B．[100 100(1 2 5 )]m
C． 200(1 2 5 )m D．100(1 2 5 )m
4
24.（2024 凉山月考）某银行设立了教育助学低息贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息（利息
按月以复利计算）．如果小新同学贷款 10000元，一年还清，假设月利率为 0.25%，那么小新同学每月应还
的钱约为 ( )(1.002512 1.03)
A．833 B．858 C．883 D．902
25.（2024 湖南期末）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，可以形成一个新的数列，再把所得数列
按照同样的方法可以不断构造出新的数列．现将数列 1，3进行构造，第 1次得到数列 1，4，3；第 2次得
到数列 1，5，4，7，3；依次构造，第 n(n N*)次得到数列 1，x1，x2 ，x3 ， ，xk ，3．记 an 1 x1 x2 xk 3，
若 an 4378成立，则 n的最小值为 ( )
A．6 B．7 C．8 D．9
26.（2023 湖北月考）古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从 A点走向 B点，要先
走完总路程的三分之一，再走完剩下路程的三分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有
无限个“剩下路程的三分之一”要走，这个人永远走不到终点．另一方面，我们可以从上述第一段“三分
之一的路程”开始，通过分别计算他在每一个“三分之一距离”上行进的时间并将它们逐个累加，不难推
1
理出这个人行进的总时间不会超过一个恒定的实数．记等比数列{an}的首项 a1 ，公比为 q，前 n项和为3
Sn ，则造成上述悖论的原理是 ( )
A 1． q , t R, n N * ,S t B 1n ． q , t R, n N
* ,Sn t6 3
C 1． q , t R, n N * ,S t D． q 2 , t R, n N * ,S t
2 n 3 n
5
27.（2024 河南月考）德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第
1
一操作，将边长为 1的正方形分成 9个边长为 的小正方形，保留靠角的 4个，删除其余 5个；第二次操
3
作，将第一次剩余的每个小正方形继续 9等分，并保留每个小正方形靠角的 4个，其余正方形删除；以此
1
方法继续下去，经过 n次操作后，若要使保留下来的所有小正方形的面积之和不超过 20 ，则至少需要操作2
的次数为 ．
(lg2 0.3010, lg3 0.4771)
28.（2017 新课标Ⅰ）记 Sn 为等比数列{an}的前 n项和．已知 S2 2， S3 6．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求 Sn ，并判断 Sn 1， Sn ， Sn 2 是否成等差数列．
29.（2023 深圳模拟）已知数列{an}的首项 a1 2，且满足 an 1 a
n
n 4 3 (n N*)．
（1）证明：数列{a nn 3 }是等比数列；
（2）求数列{an}的前 n项和 Sn ．
6
30.（2024 1 江门月考）已知数列{an}满足： a
n
n 1 an 2 ，且 a1 1, b a
n
n n 2 ．3
（1）求证：数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的前 n项和 Sn ．
31.（2024 太原月考）已知 a 21 1，点 (an， an 1)在函数 f (x) x 4x 2的图象上，其中 n N
．
（1）证明：数列{lg(an 2)}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
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