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数列第4节课后练习
1.（2024 枣庄月考）已知数列的前项和为，且．求数列的通项公式．
2.（2024 咸阳月考）已知数列满足．求数列的通项公式．
3.（2024 东莞月考）数列中，，对所有的都有，求．
4.（2024 洛阳月考）已知数列的前项和为，，且．
（1）求证：数列是从第二项开始的等比数列；
（2）求数列的通项公式．
5.（2024 长春月考）已知数列的前项和为，，，其中．
判断数列是否为等比数列，并说明理由．
6.（2024 银川月考）已知数列满足，，求an的值．
7.（2024 廊坊月考）在正项数列中，为其前项和，且，求通项公式.
8.（2024 徐州月考）已知数列满足: ,,.求数列的通项公式.
9.（2024 乌兰察布月考）数列满足且对任意，，，则　　
A．3027 B．3030 C．2018 D．2020
10.（2024 义务月考）已知数列的前项和为，且，，求数列的通项公式．
11（2024 盐城月考）数列满足,,求数列的通项公式.
12.（2024 江苏月考）数列满足且对任意，，，则　　
A． B． C． D．
13.（2024 徐州月考）已知正项数列的前项和为，且，数列满足.，求数列，的通项公式.
14.（2024 开封月考）已知数列中，，，且，则______.
15.（2024 泸州期末）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多 斐波那契以兔子繁殖
为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用an表示斐波那契数列的
第n项，则数列{an}满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+1+an，记，则下列结论正确的是
（　　）
A．a9＝34 B．3an＝an﹣2+an+2（n≥3） C． D．
16.（2024 珠海期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列
数：1，1，2，3，5，8，13，21， ．该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等
于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列{an}称为斐波那契数列，现将{an}中的各项除以2所
得的余数按原来的顺序构成的数列记为{bn}，数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，下列说
法正确的是（　　）
A．T2022＝1348 B．若Tn＝2022，则n＝3033
C．S1000＝a1002﹣1 D．a12+a22+a32+ +a5002＝a500a501
17.（2024 镇海月考）已知数列满足（，为自然对数的底数），且对任意的都存在，使得成立，则数列的首项须满足（ ）
A． B． C． D．
18.（2024 上海期中）已知数列满足：，，前项和为，则下列选项错误的是　　（参考数据：，
A．是单调递增数列，是单调递减数列 B．
C． D．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)数列第 4节课后练习
1. 2024 {a } S S S2 S3 S 1 1（ 枣庄月考）已知数列 n 2n 的前 n项和为 n ，且 1 n n．求数列{an}的通2 3 n 2 2
项公式．
2.（2024 咸阳月考）已知数列{an}满足 a1 2a2 3a3 na
n 1
n (n 1)2 2(n N
*)．求数列{an}的通项
公式．
3.（2024 东莞月考）数列{an}中， a1 1，对所有的 n 2都有 a a
2
1 2a3 an n ，求 an．
4.（2024 洛阳月考）已知数列{an}的前 n项和为 Sn ， a2 3，且 an 1 2Sn 2(n N
*)．
（1）求证：数列{an}是从第二项开始的等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
5.（2024 长春月考）已知数列{an}的前 n项和为 Sn ， a1 a，3an 1 5Sn 10(n N*)，其中 a R
．
判断数列{an}是否为等比数列，并说明理由．
6.（2024 银川月考）已知数列{an}满足 a1 2， an 1 a
1
n ，求 an的值．n(n 1)
7.（2024 廊坊月考）在正项数列{an}中， Sn为其前 n项和，且 S 2 2n (n n 1)Sn (n2 n) 0，求通项公
式 an .
8.（2024 徐州月考）已知数列 an 满足: a1 10 , a2 5 , an an 2 2 .求数列 an 的通项公式.
9（. 2024 乌兰察布月考）数列{an}满足 a1 1且对任意 k N *，a2k 1 a2k 1，a2k a2k 1 2，则 a2020 ( )
A．3027 B．3030 C．2018 D．2020
10.（2024 义务月考）已知数列{an}的前 n项和为 Sn ，且 a1 1，a a 2n 1(n N )，求数列
{an}
n 1 n 的通
项公式．
11（2024 盐城月考）数列{an}满足 a1 0 , an 1 an 2n ,求数列 an 的通项公式.
12.（2024 江苏月考）数列{an}满足 a1 1且对任意 k N *， a2k 1 a2k 1， a2k 2a2k 1，则 a2020 ( )
A． 21011 B． 21011 2 C． 21010 D． 21010 2
13.（ 2024 徐州月考）已知正项数列 a 2n 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn 1 Sn an 1 ，数列 bn 满足
b b 3ann n 1 . b1 1，求数列 an ， bn 的通项公式 .
14.（2024 开封月考）已知数列 an 中， a1 1， a2 2，且 an 2 a
1 *
n 1 an n N ，则 an ______.4
15.（2024 泸州期末）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多 斐波那契以兔子繁殖
为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用 an表示斐波那契数列的
第 n项，则数列{an}满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+1+an，记 =1 = 1 + 2 + + ，则下列结论正确的是
（ ）
A．a9＝34 B．3an＝an﹣2+an+2（n≥3） C．2021 2 2019 =1 = 2021 2022 D． =1 = 2021
16.（2024 珠海期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列
数：1，1，2，3，5，8，13，21， ．该数列的特点如下：前两个数均为 1，从第三个数起，每一个数都等
于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列{an}称为斐波那契数列，现将{an}中的各项除以 2所
得的余数按原来的顺序构成的数列记为{bn}，数列{an}的前 n项和为 Sn，数列{bn}的前 n项和为 Tn，下列说
法正确的是（ ）
A．T2022＝1348 B．若 Tn＝2022，则 n＝3033
C．S1000＝a1002﹣1 D．a12+a22+a32+ +a5002＝a500a501
17.（2024 a 2 镇海月考）已知数列 an 满足 a nn 1 e 1（ n N*， e为自然对数的底数），且对任意的M 0
都存在 n N*，使得 an 2 M 成立，则数列 an 的首项 a1须满足（ ）
A． a1 1 B．1 a1 2 C．a1 2 D． a1 2
18.（2024 上海期中）已知数列{a }满足： a 0， a ln(ean *n 1 n 1 1) an (n N )，前 n项和为 Sn ，则下列选
项错误的是 ( )（参考数据： ln2 0.693， ln3 1.099)
A．{a2n 1}是单调递增数列，{a2n}是单调递减数列 B． an an 1 ln3
C． S2020 670 D． a2n 1 a2n第 4节 数列的递推与通项公式
考向一 利用 Sn与 an的关系
S ,n 1
1 1．关系： an ，要注意验证 n 1与 n 2两种情况能否统一.
Sn Sn 1,n 2
2．已知 Sn与 an 的关系式，记为 f an ,Sn 0，求它的通项公式 an ，一般有两种思路：
（1）消 Sn：容易直接求 an 的情况，可利用阶差公式: Sn Sn 1 an n 2 ，消去 Sn，转化为等差或等
比数列直接求出 an ；
（2）消 an ：难以直接求 an 的情况，可利用阶差公式: an Sn Sn 1 n 2 ，消去 an ，得出 Sn与 Sn 1的
递推关系式，先求出 Sn后，即可转化为“第 1种情形”，从而间接求出 an ，如例 3.
在求解具体的题目时，应根据条件灵活恰当地选择两种方法，确定变形方向.通常情况下，先求 Sn要
比直接求 an 麻烦；但也有时先直接求 an 会比先求 Sn麻烦得多.
题型 1 消 Sn
【例 1】设数列{an}的前 n项和为 Sn，且 3Sn 4an 2．求数列{an}的通项公式．
【例 2】设数列{an}的前 n项和为 Sn ， Sn 2an 2n 6(n N
*)．求数列{an}的通项公式．
题型 2 消 an
【例 3】已知数列 an 的前 n项和为 Sn，且满足 an+2SnSn 1 0 n 2 ， a 11 ，求 an .2
1
【例 4】在正项数列 an 中， Sn是数列 an 的前 n项和，且 an+ 2Sn ，求 aa n .n
跟踪训练
【训练 1】已知正整数列 an 的前 n项和为 Sn，且对任意的自然数满足 2 Sn an 1.求 an 的通项公式.
【训练 2】已知数列{a } a 3 n S 1n 中， 1 ，前 项和 n (n 1)(an 1) 1．求数列{an}的通项公式．2
考向二 累加法
累加法适用于邻项差结构 an an 1 f (n) an an 1 f (n)
利用 an (an an 1) (an 1 an 2) (a3 a2) (a2 a1) a1 ，将问题转化为基本数列求和，
从而得到所求数列的通项．以下①②③为三种累加后可裂项相消求和的题型：
1 1 1 1
①若 f (n)是关于 n的分式函数， f n ( )；
n(n k) k n n k
f (n) n f n ln(1 1②若 是关于 的对数函数， ) ln(n 1) lnn ；
n
③若 f (n) 1 1是关于 n的无理式函数， f n ( n k n).
n k n k
④若 f n 是关于 n的一次函数， f n kn b，累加后可转化为等差数列求和；
⑤若 f n 是关于 n的二次函数， f n an2 bn c，累加后可分组求和；
⑥若 f n n是关于 n的指数函数， f n p ，累加后可转化为等比数列求和；
1 1
【例 1】在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋ － ，求 an.n n＋1
1
【例 2】已知数列{an}中， a1 2， an 1 an ln(1 )，求 an .n
跟踪训练
【训练 1】已知数列{an}满足 a1＝1，an＝an－1＋ n＋1－ n(n≥2)，求 an.
【训练 2】已知数列 满足 1 = 1

，且 +1 = 1 ，求 的通项公式； +1 +1
考向三 累乘法
a
累乘法适用于邻项商结构 n f n an a f n ，a n 1n 1
a an a利用 n 1 a an 3 2 a1，将问题转化为基本数列求和，从而得到所求数列的通项．an 1 an 2 a2 a1
n 2
【例 1】已知数列{an}中， a1 2， an 1 an，求数列{an}的通项公式；n
【例 2】设{a } 2 2n 是首项为1的正项数列， (n 1)an 1 anan 1 nan 0 （ n N ），求{an}的通项公式.
【训练 1】数列 中， +1 = ∈ N ，且 3 = π，则 等于 .
【训练 2】已知数列 中， 2 = 1，设 为 前 n项和，2 = ，求 的通项公式．
考向四 构造法
题型一 一阶线性递推型 an 1 kan b（ k 1，b 0）
转化方法：
b
①待定系数法，令 an 1 k an ，化简整理后与原来的递推式比较系数可知 k - =b，于是 ，k 1
b
故数列 an
b
是以 a1 为首项，以 k为公比的等比数列.
k 1 k 1
②由 an 1 kan b得， an kan 1 b（ n 2）两式相减，得 an 1 an k (an an 1)，当 a2 a1 0时，
数列 an 1 an 是公比为 k的等比数列．
【例 1】已知数列 满足 1 = 1， +1 = 2 + 3，则 9 =（ ）
A．29 3 B．29 + 3 C．210 3 D．210 + 3
【例 2】已知数列{a } 3n 的首项 a1 ,a
3a
n (n N *n 1 )，求数列{an}的通项公式．5 2an 1
跟踪训练
【训练 1】在数列 中， 1 = 1， +1 = 2 + 2，则 为（ ）．
A．3 × 2 1 B．3 × 2 1 2 C．4 × 2 1 3 D．2 1
【训练 2】已知数列{an}的前 n项和为 Sn ， 2a2 a1 2， Sn 3 an 1，求数列{an}的通项公式．
题型二 一阶线性递推型 an 1 pan qn r ( p 1,q 0)
转化方法：待定系数法，令 an 1 (n 1) p(an n )，化简整理后与已知递推式比较系数得
q

p 1 q p 1
，解得 ,从而转化为 an n 是公比为 p的等比数列.
p 1 r q r
p 1
2 p 1
【例 1】已知数列{an}满足 a
7
1 ， an 1 3an 4n 2，求出数列{an}的通项公式．3
1
【训练 3】已知数列{an}满足： a1 ，对 n
a n
N ，都有 a nn 1 1，求出数列{an}的通项公式．2 2 2
n
题型三 含指数幂型递推关系式an kan 1 Ap 或 an kan 1 Ap
n 1
n a k a k
转化方法：①等式两边同时除以 p ： n n 1n n 1 1，当 1时，再构造等比数列求解（题型一）；p p p p
a pn k (a pn 1) a ka (k ②待定系数法，令 n n 1 ，化简整理得 n n 1 )p
n
，与原递推关系式比
p
k p n 1 1
较系数可得 1，解得 .对于 an kan 1 p ，同理可得 ．p k p k p
注意，当 k p时，只能构造等差数列，如例 2．
【例 1】已知数列{an}的前 n项和为 Sn ，满足 2Sn 3an 2
n 1，则数列 的通项公式为 ．
【例 2】已知 数列满足 1 = 2， +1 +1 2 = 2 ，则数列 的通项公式为 ．
【训练 4】在数列 中， 1 = 2 且 ∈ N*， = 3 + 2 × 3 ，则数列 的通项公式为 ．
【训练 5】已知正项数列 中， 1 = 2, +1 = 2 + 3 × 5 ，则数列 的通项 =（ ）
A． 3 × 2 1 B．3 × 2 1
C．5 + 3 × 2 1 D．5 3 × 2 1
a pa题型四 分式型递推关系式 nn 1 .qan r
1 r 1 q r
转化方法：取倒数+待定系数，两边取倒数可得： ，当 1时，可转化为题型一中结构，
an 1 p an p p
再待定系数构造等比数列即可.

【例 6】已知数列{a } a a 1n 满足 1 1， an 1 n (n N ) .求证：数列 3 为等比数列，并求出数列 a .2 3an a
n
n
【训练 6】已知数列 满足 1 = 1, +1 =
1，设 的前 n项和为
+2
，则 2024 2024 + 2024 =（ ）

A．22024 1 B．22024 2 C．1 D．2
p q
题型五 平方式递推型 an ran 1
转化方法：取对数法，当数列 an 和 an 1的递推关系涉及到高次时，一般先对已知递推关系式进行适当的变
2
形（同加减、同乘除）整理成类似 kan b kan 1 b 形式，将等式两边分别取对数降次得到
lg(kan b) 2lg(kan 1 b)，数列 lg(kan b) 即为等比数列.
【例 8】已知数列 满足 1 = 2, 2 +1 = ，则数列 的通项公式为 = ．
【训练 7】已知 a1 2，点 (an ， an 1)在函数 f (x) x
2 2x的图象上，其中 n N ，则数列 的通项公式
为 = ．
题型六 二阶线性递推关系 an 1 pan qan 1（ n 2）
转化方法：找到中间项，通过中间项与前一项和后一项的特征，寻求合理的构造方式解决问题．
【例】已知数列 满足 +2 + 3 = 4 +1，且 2 = 5， 3 = 17，则数列 的通项公式是 ．
【训练 8】已知 1 = 1， 2 = 1， = 1 + 2 2 + 1（ ≥ 3， ∈ N ）， 为其前 项和，则 60 =（ ）
A．230 31 B．430 31 C．230 30 D．430 30
考向五 隔项型
题型一 隔项等差型 an 2 an d
1.分奇偶讨论法：通过对数列下标 n进行换元，分为奇数项与偶数项两种情况.
①当 n为奇数时，可令 n 2k 1 k N k n 1 （ ），反解得 ，
2
n 1
于是 an a2k 1 a1 (k 1)d a1 ( 1)d a
n 1
1 d ；2 2
②当 n为偶数时，可令 n 2k （ k n N ），反解得 k ，
2
于是 an a2k a2 (k 1)d a
n n 2
2 ( 1)d a2 d .2 2
a n 1 1 d n为奇数
综上所述， an
2
.

a
n 2
2
d n为偶数
2
注意换元后，要将最后的结果还原成关于 n的表达式.
2.待定系数法：（此方法限小题）此类型题由于 a1和 a2作为数列奇数项和偶数项首项，会使得数列一些变形
出现一些计算难度，故可以采用待定系数法来求统一的通项公式，考虑首项的因素，需要在原始的待定系
数的前面加上 1 n．具体操作如下：
令 a xn y z 1 n dn ，其中 x ，代入 n 1和 n 2即可确定 y和 z .2
【例 1】数列 an 中， a1 1,a2 4,an an 2 2 n 3 ，数列 an 的通项公式.
【例 2】(2014 新课标 1卷理)已知数列{ an }的前 n项和为 Sn，a1=1，an 0，anan 1 Sn 1，其中 为
常数.
（1）证明：an 2 an ；
（2）是否存在 ，使得{ an }为等差数列？并说明理由.
【训练 1】已知数列{an}的首项 a1 a， an an 1 3n 54，求数列{an}的通项公式．
an 2
题型二 隔项等比型 qan
1.分奇偶讨论法：通过对数列下标 n进行换元，分为奇数项与偶数项两种情况.
n 1 n 1 1 n 1
①当 n为奇数时，可令 n 2k 1（ k N ），反解得 k ，于是 a a a qk 1n 2k 1 1 a1 q 2 a1 q 2 ；2
n 1 n 2
②当 n为偶数时，可令 n 2k （ k N n），反解得 k ，于是 an a2k a2 q
k 1 a2 q 2 a q 22 .2
n 1
a1 q
2 n为奇数
综上所述， an .
n 2
a q 22 n为偶数
注意换元后，要将最后的结果还原成关于 n的表达式.
2. 待定系数法：a q xn y z 1
n
，a q x(n 1) y z 1
n 1
，a a q2xn x 2 y An B An n 1 n n 1 q ，对比系数可得出 x ，2
y 2B A ，再代入 a 即可确定 z .
4 1
【例 2】已知数列{a nn}满足 a1 1,an an 1 2 ,求此数列的通项公式.
【训练 2】已知数列{an}满足 an 2 qan (q 1),n N
*,a1 1,a2 2 ，且 a2 + a3 ,a3 + a4 ,a4 + a5 成等差数列.求数
列{an}的通项公式.
考向六 特征根法与不动点法
1.不动点的概念：对于函数 y f x ，我们称方程 f x x的根为函数 f x 的不动点.
2.不动点法：当我们遇到 an 1 f an ，且 f an 是一个关于 an的多项式（或分式多项式）这种类型的递推
pa q
公式时，可以采用不动点法来求 an，常见的题型有 2类： a Aa B型， a nn 1 n n 1 型.man t
（1） an 1 Aan B型：（参考例 1）
第一步，构造函数 f x Ax B，并令 f x x，求出 f x 的不动点；
第二步，在递推公式 an 1 Aan B两端同时减去 x0 ，化简使得左右两侧结构一致；
第三步，构造数列求通项.
pa q
（2） a nn 1 型：（三种情况的例题分别为后续的例 2、例 3、例 4）man t
px q
第一步，构造函数 f x ，并令 f x x，求出 f x 的不动点；
mx t
pa q
第二步，若 f x 有 2个不动点，则用 a nn 1 两端分别减去两个不动点，得到两个式子，两式相除可man t
pa q
以产生优良结构，进而构造数列求通项；若 f x 只有 1个不动点，则用 a nn 1 两端减去该不动点，man t
再取倒数，化简可以产生优良结构，进而构造数列求通项；若 f x 没有不动点，则在考题中， an 往往是
pa q
周期较小的周期数列，直接根据首项和递推公式 a nn 1 求出前几项找规律即可.man t
3.特征根法：形如 a1 m1，a2 m2， an 2 p an 1 q an（ p、q是常数）的二阶递推数列都可用特征根
法求得通项 an，其特征方程为 x
2 px q（*）．（以下两种情况的例题分别为后续的例 5、例 6）
n n
（1）若方程（*）有二异根 、 ，则可令 an c1 c2 （ c1、 c2是待定常数）；
（2）若方程（*）有二重根 ，则可令 an (c1 nc2 )
n（ c1、 c2是待定常数）．
(其中 c1、 c2可利用 a1 m1， a2 m2求得)
【例 1】已知数列 an 满足 a1 1， an 1 2an 2 n N* ，则 an _______.
2 2a 1【例 】已知数列 an 满足 a1 2， an 1 n ，则 an _______.an 2
2a 1
【例 3】已知数列 an 满足 a n1 2， an 1 ，则 an _______.an 4
a 1
【例 4】已知数列 an 满足 a n1 2， an 1 ，则 aa 2 2023 _______.n
【例 5】已知数列 an 中， a1 2， a2 4，且 a *n 2 2an 1 3an n N ，则 an _______.
【例 6】已知数列 an 中， a1 2， a2 4，且 an 2 4an 1 4an n N* ，则 an _______.
跟踪训练
【训练 1】已知数列 an 满足 a1 1， a *n 1 an 1 n N ，则 an _______.
a a 2 a 1【训练 2】已知数列 n 满足 1 ， n 1 ，则 an ______.an 2
1 1 a
【训练 3】设数列 an 满足 a1 ，且 a nn 1 n N* ，则 a20 ______.2 1 an
【训练 4】已知数列 an 中， a1 1， a2 2，且 a *n 2 an 1 2an n N ，则 an ______.
考向七 斐波那契数列
1．定义：一个数列，前两项都为 1，从第三项起，每一项都是前两项之和，那么这个数列称为斐波那契数
列，又称黄金分割数列；表达式 F0 1,F1 1,Fn Fn 1 Fn 2 (n N
)．
①逐项罗列：1，1，2，3、5，8，13，21，34，55， ；
②递推公式： a1 a2 1,an an 1 an 2 (n 3) ；
1
③通项公式： an [(
1 5 )n (1 5 )n]．（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例）．
5 2 2
2．求和问题：
①前 n项和： Sn a1 a2 an an 2 1；
②奇数项和： a1 a3 a5 a2n 1 a2n；
③偶数项和： a2 a4 a6 a2n a2n 1 1．
证明：① an 2 Sn 2 Sn 1 an 2 an 1 an 1 an a2 a1 a1 an an 1 a1 a1 Sn 1，
故 Sn an 2 1，此证明方法也是错位相减的一种特例．
② a1 a3 a2n 1 a1 a1 a2 a3 a4 a2n 3 a2n 2 a1 S2n 2 a2n，
此证明过程也需要利用①的结论．
③ a2 a4 a2n a1 a2 a3 a4 a5 a2n 2 a2n 1 S2n 1 a2n 1 1．
这三个式子用数学归纳法证明也非常简单，无需强化记忆，每次列出前几项比划一下，考试中如果出现需
要这些结论的，拿出前几项及时推导即可．
3．平方和问题： a 2 21 a2 a
2
n anan 1（根据面积公式推导，如下图）
构造正方形来设计面积，a 21 a
2 2
2 a3 S1 S2 S3 a1 a2 a2 a3 a3a4 ，以此类推，也可以用数学归
纳法证明，知道一个大致的方向即可．
4．余数列周期性：
被 2除的余数列周期为 3：1,1,0,
被 3除的余数列周期为 8：1,1,2,0,2,2,1,0,
被 4除的余数列周期为 6：1,1,2,3,1,0,
5．裂项问题：
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1

a1a3 a2a4 a2n 3a2n 1 a2n 2a2n a 2 a a 1 3 a3 a2 a4 a2n 2 a2n 3 a2n 1
1

1 1

1 1
．
a 2n 1 a2n 2 a2n a1a2 a2n 1a2n
注意：如果是斐波那契数列的部分项求和也可以，比如
p p p p 1 1
,前提就是必须隔项，否则无法裂项相消．
amam 2 a m 1am 3 am n 2am n am 1 am am n
【例 1】著名的波那契列{ }：1，1，2，3，5，8，…，满足 1 = 2 = 1， +2 = +1 + ( ∈ )，那么
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + 2021是斐波那契数列中的 ( )
A. 第 2020项 B. 第 2021项 C. 第 2022项 D. 第 2023项
【例 2】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5， ，从
第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，即 +2 = +1 + ( ∈ )，后来人们把这样的一列数组成的
数列{ }称为“斐波那契数列”.设数列{ }的前 项和为 ，记 2023 = ， 2024 = ，则 2023 =( )
A. + 2 B. + C. + 1 D. + + 1
【例 3】已知数列{an}满足：a
1 1
1 ，a2 ，an 1 an an 1(n N
* ,n 2) 1 1 1 1，则
3 3 a1a3 a2a4 a3a5 a2021a2023
的整数部分为（ ）
A． 6 B． 7 C．8 D． 9
【例 4】意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列
被誉为是最美的数列，斐波那契数列 an 满足 a1 1， a2 1， an an 1 an 2 n 3,n N* .若将数列的每一
项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为 1，记前 n项所占的格子的面积之和为 Sn，每段螺旋线
与其所在的正方形所围成的扇形面积为 cn，则其中不正确结论的是（ ）
A． Sn 1 a
2
n 1 an 1 an B．a1 a2 a3 an an 2 1
C． a1 a3 a5 a2n 1 a2n 1 D． 4 cn cn 1 an 2 an 1(n 3)
【例 5】意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，
34，55，…，即 (1) = (2) = 1， ( ) = ( 1) + ( 2) ≥ 3, ∈ ，此数列在现代物理“准晶体结构”
化学等领域都有着广泛的应用.若此数列的各项除以 2的余数构成一个新数列 ，则数列 的前 2021项
的和为 ( )
A. 2020 B. 1348 C. 1347 D. 672
跟踪训练
【训练 1】斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家斐波那契研究兔子繁殖问题时引入．已知斐波那契数
列 an 满足 a1 0，a2 1，an 2 a a n N*n 1 n ，若记 a1 a3 a5 a2019 M，a2 a4 a6 a2020 N，
则 a2022 ________．（用M ， N表示）
【训练 2】（多选）若数列{F }满足 F 1，F 1，F F F ，(n 3,n N*n 1 2 n n 1 n 2 )，则称数列{Fn}为 Fibonacci
数列，该数列是由意大利数学家斐波那契于 1202年提出，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都
有着广泛的应用．则下列结论正确的是 ( )
A． F1 F3 F5 F2023 F2024
B．数列{Fn}各项除以 2后所得的余数构成一个新数列{an}，若数列{an}的前 n项和为 Sn ，则 S2023 1349
C．记 F2023 m，则数列{Fn}的前 2021项的和为m 2
F 2 2D 1 F2 F
2
． 2022 F
F 20232022
【训练 3】（多选）2024年 11月 23日是斐波那契纪念日，其提出过著名的“斐波那契”数列，其著名的爬
楼梯问题和斐波那契数列相似，若小明爬楼梯时一次上 1或 2 个台阶，若爬上第 n个台阶的方法数为 bn ，
则 ( )
A．b7 21 B．b1 b2 b3 b5 b7 51
C． b2 2 21 b2 bn bn bn 1 1 D． bn 2 bn 2 3bn中小学教育资源及组卷应用平台
第4节 数列的递推与通项公式
考向一 利用Sn与an的关系
1．关系：，要注意验证与两种情况能否统一.
2．已知与的关系式，记为，求它的通项公式，一般有两种思路：
（1）消：容易直接求的情况，可利用阶差公式:，消去，转化为等差或等比数列直接求出；
（2）消：难以直接求的情况，可利用阶差公式:，消去，得出与的递推关系式，先求出后，即可转化为“第1种情形”，从而间接求出，如例3.
在求解具体的题目时，应根据条件灵活恰当地选择两种方法，确定变形方向.通常情况下，先求要比直接求麻烦；但也有时先直接求会比先求麻烦得多.
题型1 消
【例1】设数列的前项和为，且．求数列的通项公式．
【例2】设数列的前项和为，．求数列的通项公式．
题型2 消
【例3】已知数列的前项和为，且满足，，求.
【例4】在正项数列中，是数列的前项和，且，求.
跟踪训练
【训练1】已知正整数列的前项和为，且对任意的自然数满足.求的通项公式.
【训练2】已知数列中，，前项和．求数列的通项公式．
考向二 累加法
累加法适用于邻项差结构
利用，将问题转化为基本数列求和，
从而得到所求数列的通项．以下①②③为三种累加后可裂项相消求和的题型：
①若是关于的分式函数，；
②若是关于的对数函数，；
③若是关于的无理式函数，.
④若是关于的一次函数，，累加后可转化为等差数列求和；
⑤若是关于的二次函数，，累加后可分组求和；
⑥若是关于的指数函数，，累加后可转化为等比数列求和；
【例1】在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，求an.
【例2】已知数列中，，，求.
跟踪训练
【训练1】已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋－(n≥2)，求an.
【训练2】已知数列满足，且，求的通项公式；
考向三 累乘法
累乘法适用于邻项商结构，
利用，将问题转化为基本数列求和，从而得到所求数列的通项．
【例1】已知数列中，，，求数列的通项公式；
【例2】设是首项为的正项数列，（），求的通项公式.
【训练1】数列中，，且，则等于 .
【训练2】已知数列中，，设为前n项和，，求的通项公式．
考向四 构造法
题型一 一阶线性递推型（，）
转化方法：
①待定系数法，令，化简整理后与原来的递推式比较系数可知，于是，故数列是以为首项，以为公比的等比数列.
②由得，（）两式相减，得，当时，数列是公比为的等比数列．
【例1】已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知数列的首项，求数列的通项公式．
跟踪训练
【训练1】在数列中，，，则为（ ）．
A． B． C． D．
【训练2】已知数列的前项和为，，，求数列的通项公式．
题型二 一阶线性递推型
转化方法：待定系数法，令，化简整理后与已知递推式比较系数得，解得,从而转化为是公比为的等比数列.
【例1】已知数列满足，，求出数列的通项公式．
【训练3】已知数列满足：，对，都有，求出数列的通项公式．
题型三 含指数幂型递推关系式或
转化方法：①等式两边同时除以：，当时，再构造等比数列求解（题型一）；
②待定系数法，令，化简整理得，与原递推关系式比较系数可得，解得.对于，同理可得．
注意，当时，只能构造等差数列，如例2．
【例1】已知数列的前项和为，满足，则数列的通项公式为 ．
【例2】已知数列满足，，则数列的通项公式为 ．
【训练4】在数列中，且，则数列的通项公式为 ．
【训练5】已知正项数列中，，则数列的通项（　　）
A． B．
C． D．
题型四 分式型递推关系式.
转化方法：取倒数+待定系数，两边取倒数可得：，当时，可转化为题型一中结构，再待定系数构造等比数列即可.
【例6】已知数列满足，.求证：数列为等比数列，并求出数列.
【训练6】已知数列满足，设的前n项和为，则（ ）
A． B． C．1 D．2
题型五 平方式递推型
转化方法：取对数法，当数列和的递推关系涉及到高次时，一般先对已知递推关系式进行适当的变形（同加减、同乘除）整理成类似形式，将等式两边分别取对数降次得到，数列即为等比数列.
【例8】已知数列满足，则数列的通项公式为 ．
【训练7】已知，点，在函数的图象上，其中，则数列的通项公式为 ．
题型六 二阶线性递推关系（）
转化方法：找到中间项，通过中间项与前一项和后一项的特征，寻求合理的构造方式解决问题．
【例】已知数列满足，且，，则数列的通项公式是 ．
【训练8】已知，，（，），为其前项和，则（ ）
A． B． C． D．
考向五 隔项型
题型一 隔项等差型
1.分奇偶讨论法：通过对数列下标进行换元，分为奇数项与偶数项两种情况.
①当为奇数时，可令（），反解得，
于是；
②当为偶数时，可令（），反解得，
于是.
综上所述，.
注意换元后，要将最后的结果还原成关于的表达式.
2.待定系数法：（此方法限小题）此类型题由于和作为数列奇数项和偶数项首项，会使得数列一些变形出现一些计算难度，故可以采用待定系数法来求统一的通项公式，考虑首项的因素，需要在原始的待定系数的前面加上．具体操作如下：
令，其中，代入和即可确定和.
【例1】数列中，，数列的通项公式.
【例2】(2014 新课标1卷理)已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.
（1）证明：；
（2）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.
【训练1】已知数列的首项，，求数列的通项公式．
题型二 隔项等比型
1.分奇偶讨论法：通过对数列下标进行换元，分为奇数项与偶数项两种情况.
①当为奇数时，可令（），反解得，于是；
②当为偶数时，可令（），反解得，于是.
综上所述，.
注意换元后，要将最后的结果还原成关于的表达式.
待定系数法：，，，对比系数可得出，
，再代入即可确定.
【例2】已知数列满足,求此数列的通项公式.
【训练2】已知数列满足，且成等差数列.求数列的通项公式.
考向六 特征根法与不动点法
1.不动点的概念：对于函数，我们称方程的根为函数的不动点.
2.不动点法：当我们遇到，且是一个关于的多项式（或分式多项式）这种类型的递推公式时，可以采用不动点法来求，常见的题型有2类：型，型.
（1）型：（参考例1）
第一步，构造函数，并令，求出的不动点；
第二步，在递推公式两端同时减去，化简使得左右两侧结构一致；
第三步，构造数列求通项.
（2）型：（三种情况的例题分别为后续的例2、例3、例4）
第一步，构造函数，并令，求出的不动点；
第二步，若有2个不动点，则用两端分别减去两个不动点，得到两个式子，两式相除可以产生优良结构，进而构造数列求通项；若只有1个不动点，则用两端减去该不动点，再取倒数，化简可以产生优良结构，进而构造数列求通项；若没有不动点，则在考题中，往往是周期较小的周期数列，直接根据首项和递推公式求出前几项找规律即可.
3.特征根法：形如，，（是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为（*）．（以下两种情况的例题分别为后续的例5、例6）
（1）若方程（*）有二异根、，则可令（、是待定常数）；
（2）若方程（*）有二重根，则可令（、是待定常数）．
(其中、可利用，求得)
【例1】已知数列满足，，则_______.
【例2】已知数列满足，，则_______.
【例3】已知数列满足，，则_______.
【例4】已知数列满足，，则_______.
【例5】已知数列中，，，且，则_______.
【例6】已知数列中，，，且，则_______.
跟踪训练
【训练1】已知数列满足，，则_______.
【训练2】已知数列满足，，则______.
【训练3】设数列满足，且，则______.
【训练4】已知数列中，，，且，则______.
考向七 斐波那契数列
1．定义：一个数列，前两项都为1，从第三项起，每一项都是前两项之和，那么这个数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列；表达式．
①逐项罗列：，，，、，，，，，， ；
②递推公式：；
③通项公式：．（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例）．
2．求和问题：
①前项和：；
②奇数项和：；
③偶数项和：．
证明：①，
故，此证明方法也是错位相减的一种特例．
②，
此证明过程也需要利用①的结论．
③．
这三个式子用数学归纳法证明也非常简单，无需强化记忆，每次列出前几项比划一下，考试中如果出现需要这些结论的，拿出前几项及时推导即可．
3．平方和问题：（根据面积公式推导，如下图）
构造正方形来设计面积，，以此类推，也可以用数学归纳法证明，知道一个大致的方向即可．
4．余数列周期性：
被2除的余数列周期为3：1,1,0,
被3除的余数列周期为8：1,1,2,0,2,2,1,0,
被4除的余数列周期为6：1,1,2,3,1,0,
5．裂项问题：
．
注意：如果是斐波那契数列的部分项求和也可以，比如,前提就是必须隔项，否则无法裂项相消．
【例1】著名的波那契列：，，，，，，，满足，，那么是斐波那契数列中的( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
【例2】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，，，，，，从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”设数列的前项和为，记，，则( )
A. B. C. D.
【例3】已知数列满足：，，，则
的整数部分为（ ）
A． B． C． D．
【例4】意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则其中不正确结论的是（ ）
A． B．
C． D．
【例5】意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，，，，，，，，，，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”化学等领域都有着广泛的应用若此数列的各项除以的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为( )
A. B. C. D.
跟踪训练
【训练1】斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家斐波那契研究兔子繁殖问题时引入．已知斐波那契数列满足，，，若记，，则________．（用，表示）
【训练2】（多选）若数列满足，，，，则称数列为数列，该数列是由意大利数学家斐波那契于1202年提出，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．则下列结论正确的是　　
A．
B．数列各项除以2后所得的余数构成一个新数列，若数列的前项和为，则
C．记，则数列的前2021项的和为
D．
【训练3】（多选）2024年11月23日是斐波那契纪念日，其提出过著名的“斐波那契”数列，其著名的爬楼梯问题和斐波那契数列相似，若小明爬楼梯时一次上1或2个台阶，若爬上第个台阶的方法数为，则　　
A． B．
C． D．
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