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数列第5节 数列前项和
考向一 公式法
1．等差数列求和公式：．
特别地，当项数为奇数时，，即前项和等于项数乘以中间项，
用此公式可以简化运算．
2．等比数列求和公式：
（1），；
（2），，特别要注意对公比的讨论．
3．常用公式
（1）平方和公式：；
（2）立方和公式：．
4．如果一个数列通过适当分组可写成的形式，而数列，可利用公式求和或可转化为能够求和的数列，进而分别求和，再将其合并从而得出原数列的和．
【例1】己知等差数列中，，公差；等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项．
求数列，的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【训练1】已知数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前项和．
考向二 奇偶讨论、并项分类
题型一 常规四大：类型：
1.常见模型
①通项含或或或型；
②型；
③型；
④．
2．解题策略：①并项求和：将与并项，把看作一个整体；
②分组求和．
3．注意事项：
①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”．
②如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇．若通项公式确定，则求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项；若通项公式不确定，则按照求偶的方式求奇即可；
③并项后要注意新数列的项数．
【例1】已知，数列的前项和为，求数列的前项和.
【例2】已知数列满足，．
若为等差数列，求；
（2）若，求．
【例3】数列中，，为数列的前项和，求．
【例4】记为数列的前项和，若，，且，则的值为 ．
A．5050 B．2600 C．2550 D．2450
【例5】已知数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)，求数列的前项和；
【例6】已知为数列的前项和，且．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）设，求数列的前项和．
跟踪训练
【训练1】已知，设，求数列的前项和．
【训练2】已知数列的前项和为，，，则 ．
【训练3】（2021 新高考I卷）已知数列满足，．
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前项和．
【训练4】已知等差数列的首项为1，公差为2．正项数列的前项和为，且．
(1)求数列和数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．
【训练5】（2023 新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
题型二 非常规找规律型
1．隔四项出规律的递推数列——形如型
定理：若数列满足，为其前项和，则数列是以为首项，为公差的等差数列．
证明：，
同理．
故数列是以为首项，为公差的等差数列，此类型题可以求出通项，但花的时间太多，显然每项为一个整体操作更简单．一些数列含有周期性，需要列举几项，先发现规律后再简化要简单得多．
【例1】已知数列满足，，则数列的前项的和为（ ）
A．0 B．1010 C．2020 D．2024
【训练1】（2012 全国新课标文）数列满足，求前项和．
2．二阶等差数列的求和公式
在数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列，
即成为一个等差数列，则称数列为二阶等差数列．
记，，其通项公式为；
二阶等差数列的前项和公式为．
【例2】（2020 新课标Ⅰ文）数列满足，前项和为，则 ．
【训练2】南宋数学家在《详解九章算法》和《算术通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，例如：3，4，6，9，13，为二阶等差数列．现有数列，其前7项分别为1，3，13，31，57，91，133，则该数列的前20项和为 ．（参考公式：
考向三 倒序相加法
1．等差数列的前项和公式即是用此法推导的，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到个．
2．如果一个数列，与首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求其和可以用倒序相加法．
【例1】求的值．
【例2】已知函数．
(1)证明函数的图像关于点对称;
(2)若，求；
【训练1】已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A．100 B．105 C．110 D．115
【训练2】已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)令，求数列的前2020项和.
考向四 分段求和法
求数列的前项和，关键在于分清哪些项为非负的，哪些项为负的，最终应化为去掉绝对值符号后的数列进行求和．
【例1】在数列中，，且满足．
（1）求数列的通项公式；（2）设，求．
【训练1】（2023 乙卷）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
考向五 裂项相消法
1．适用于分式型，是各项不为0的等差数列；部分无理数列．
可用待定系数法对通项公式拆项，把每一项都裂成正负两项，使其正负抵消，只剩下开头和结尾的有限几项，再求和．相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．这是分解与组合思想（分是为了更好地合）在数列求和中的具体应用．裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．
2．裂项原理：，其中．
3．裂项公式
（1）裂差型
①，；②；
③；④；
⑤，；
⑥ ；；
⑦，；⑧；
（3）裂和型
①，，
，，
②；
先分离，再裂项
①；②．
（4）阶乘及三角型
①；②；
③．
题型一 裂差型
【例1】已知数列的前项和为，，，．
（1）求；
（2）求．
【例2】（2022 新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
【例3】已知正项数列的前项和，满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，设数列的前项和为，求证．
【例4】已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
题型二 裂和型
【例5】设数列的前项和为，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，求数列的前项和．
【例6】（2014 山东理）已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．
题型三 三角型
【例7】数列各项均为正数，的前n项和记作，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前2023项和．
跟踪训练
【训练1】已知等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【训练2】已知等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【训练3】已知数列的前n项和为，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【训练4】已知数列的前n项和为，，且．
(1)求的通项公式；
(2)设的前n项和为，求．
(3)记数列的前n项和为，若恒成立，求的最小值．
【训练5】设数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和为.
【训练6】设等比数列的前项和为，数列为等差数列，且公差，.
(1)求数列的通项公式以及前项和；
(2)数列的前项和为，求证：.
【训练7】已知数列中，，设为前n项和，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
考向六 错位相减法
题型一 错位相减法
1．设数列为等差数列，数列为等比数列，则不妨称为差比数列．教材中给出了这类数列的前项和的求法——错位相减法，消除中的各项系数差异，转化为等比数列（中间项构成一个等比数列）求和问题．
2．错位相减法解题步骤细化
（1）表达前项和，得 ①
（2）①式乘公比，可得②
（书写时，尾首加零，并将“＋”号对齐，①与②自动对齐，避免出错）
（3）两式相减，①②得
（4）代入等比数列求和公式
①中间项一定是等比数列；②求和公式用，避免项数出错．
（5）化简：有负号给括号，能约分的约分
3．万能公式法
（1）若差比数列的通项公式为，则数列的前项和，
其中，．
若差比数列的通项公式为，则数列的前项和，
其中，．
注：在考试书写时可以按照错位相减法的具体步骤进行书写，再结合万能公式对所求结果进行检验，确保我们最后得到结果就是正确的答案，完美闭环！
【例1】（2023 甲卷）已知数列中，，设为前项和，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【例2】已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式.
(2)设数列的前项和为，点在直线上，，求以及的最小值.
【训练1】（2021 乙卷）设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前项和．证明：．
【训练2】已知数列的首项，且满足，等比数列的首项，且满足.
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
题型二 裂项相消破错位相减法
①若差比数列的通项公式为，利用待定系数法将差比数列通项进行裂项：
不妨设，
则，
比较系数得，，，
于是．
②若差比数列的通项公式为，不妨设，
后面同①中的操作待定系数裂项即可．
【例1】（2022 天津卷）设是等差数列，是等比数列，．
（1）求与的通项公式；
（2）设的前项和为，求证：；
（3）求．
【例2】（2021 浙江卷）已知数列的前n项和为，，且．
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【训练1】（2021·乙卷）设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
考向七 放缩求和法
1．命题规律：数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度．此类问题往往从通项公式入手，若需要放缩也是考虑对通项公式进行变形；在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向可裂项相消的数列与等比数列进行靠拢．
2．核心考点：①裂项放缩核心；②等比放缩．
3．常见放缩公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
（15）二项式定理
①由于，
于是．
②，；
，．
（16）糖水不等式
若，则；若，则．
题型一 放缩成裂项
对于放缩后，再裂项相消求和类型，通过放缩后的裂项公式的首项或前几项的和即可判断放缩的精度是否满足题设要求，常见的题目无非是从第一项开始放缩、从第二项开始放缩或者从第三项开始放缩这三种．比如：，从第二项开始放缩，放缩的精度为；保留前两项，从第三项开始放缩，放缩的精度为．
【例1】记为数列的前项和，已知是首项为3，公差为1的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【例2】（2013 广东理19）设数列的前项和为．已知．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对一切正整数，有．
【例3】（2019 浙江）设等差数列的前项和为，，，数列满足：
对任意成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，证明：．
【训练1】已知数列{an}的前n项和为Sn，且，a1＝1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设，数列{bn}的前n项和为Tn，证明．
【训练2】若数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【训练3】已知数列满足，记．
(1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
(3)设，记数列的前项和为，求证：．
题型二 放缩成等比
【例1】（2012 广东理）设数列的前项和为，满足（），且，，
成等差数列．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式．
（3）证明：对一切正整数，有．
【例2】（2014 新课标2理17）已知数列满足，．
（1）证明是等比数列，并求的通项公式；
（2）证明：．
【训练1】记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【训练2】已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记数列的前项和为，证明：．
【训练3】（2021·天津卷）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)数列第 5节 数列前 n项和
考向一 公式法
S n(a1 an) n(n 1)1．等差数列求和公式： n na1 d ．2 2
特别地，当项数 n为奇数时， S2k 1 (2k 1) ak 1，即前 n项和等于项数乘以中间项，
用此公式可以简化运算．
2．等比数列求和公式：
（1） q 1， Sn na1；
q 1 S a 1 q
n a a q
（2） ， 1n
1 n ，特别要注意对公比的讨论．
1 q 1 q
3．常用公式
n
（1）平方和公式： k 2 12 22 1 32 n2 n(n 1)(2n 1 1) n(n 1 )(n 1) ；
k 1 6 3 2
n
（2）立方和公式： k 3 13 23 33 L n3 [ n(n 1) ]2 ．
k 1 2
4．如果一个数列通过适当分组可写成 cn = an ±bn 的形式，而数列 an ， bn 可利用公式求和或可转化为
能够求和的数列，进而分别求和，再将其合并从而得出原数列的和．
【例 1】己知等差数列 an 中，a2 3，公差 d 0；等比数列 bn 中，b3 a1 ，b1是 a2和a3的等差中项，b2
是 a1和 a2的等差中项．
(1) 求数列 an ， bn 的通项公式；
(2)求数列 an bn 的前 n项和 Sn .
【训练 1 2】已知数列 an 的前 n项和为 Sn n 2n 3．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)求数列 Sn 前 n项和Tn ．
1
考向二 奇偶讨论、并项分类
题型一 常规四大：类型：
1.常见模型
①通项含 ( 1)n或 ( 1)n 1或 sin n 或 cosn 型；
② an an 1 f (n) An B型；
③ an 2 an f (n) An B 型；
f (n)，n为奇
④ an ．
g(n)，n为偶
2．解题策略：①并项求和：将 an与 an 1并项，把 an an 1看作一个整体；
②分组求和．
3．注意事项：
①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”．
②如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇．若通项公式确定，则求奇时候，直接代入偶数项
公式，再加上最后的奇数项通项；若通项公式不确定，则按照求偶的方式求奇即可；
③并项后要注意新数列的项数．
【例 1】已知bn 2n 1(n N
)，数列 bn 的前 n项和为 Sn，求数列 ( 1)n Sn 的前 n项和Tn .
【例 2】已知数列 an 满足 a n 1 an 4n 3， n N ．
（1）若 an 为等差数列，求 a1；
（2）若 a1 2，求 Sn ．
2
【例 3】数列{an}中， a1 1，a2 4，an an 2 2(n 3)， Sn 为数列{an}的前 n项和，求 Sn ．
【例 4】记 Sn 为数列{an}的前 n项和，若 a1 1， a 2，且 a a 1 ( 1)
n 1
2 n 2 n ，则 S100的值为 ．
A．5050 B．2600 C．2550 D．2450
【例 5】已知数列 an 的前 n项和为 Sn 1 2a
1
n 1，且 a2 4
(1)求数列 an 的通项公式；
log0.5an，n为奇数
(2)bn n N * ，求数列 bn 的前 2n项和T ；
a
2n
n ，n为偶数
【例 6】已知 Sn 为数列{an}的前 n项和，且 S 2a n2n n 3n 1．
（1）求证：数列{an 2n}为等比数列；
（2）设 bn an cosn ，求数列{bn}的前 n项和Tn ．
3
跟踪训练
【训练 1】已知 an 2n 1，设bn ( 1)nan ，求数列 bn 的前 n项和Tn ．
【训练 2】已知数列{a 2 *n}的前 n项和为 Sn ， a1 1， Sn Sn 1 4n (n 2,n N )，则 a100 ．
a 1，n为奇数
【训练 3】（2021 新高考 I卷）已知数列{an}满足 a1 1， a
n
n 1 ．
an 2，n为偶数
（1）记 bn a2n ，写出b1， b2，并求数列{bn}的通项公式；
（2）求{an}的前 20项和．
【训练 4】已知等差数列 an 的首项为 1，公差为 2．正项数列 bn 的前 n 2项和为 Sn，且 2Sn bn bn．
an ,n为奇数(1)求数列 an 和数列 bn 的通项公式；(2)若 cn b ，求数列 cn 的前 2n项和．
2 n ,n为偶数
4
an 6,n为奇数【训练 5】（2023 新高考Ⅱ）已知{an}为等差数列，bn ，记 Sn ，Tn 为{an}，{bn}的前 n项
2an ,n为偶数
和， S4 32，T3 16．
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：当 n 5时，Tn Sn．
题型二 非常规找规律型
1．隔四项出规律的递推数列——形如 a nn 1 ( 1) an An B型
定理：若数列 a nn 满足 an 1 ( 1) an An B，Sn 为其前 n项和，则数列 S4 ,S8 S4 ,S12 S8 , 是以 6A 2B
为首项，8A为公差的等差数列．
a2 a1 A B （1）

证明： a3 a2 2A B （2） （2） （1） （2） （3）得：a1 a2 a3 a4 6A 2B，

a4 a3 3A B （3）
a6 a5 5A B （4）

同理 a7 a6 6A B （5） （5） （4） （5） （6）得：a5 a6 a7 a8 14A 2B．

a8 a7 7A B （6）
故数列{S4 ，S8 S4 ，S12 S8 ， }是以 6A 2B为首项，8A为公差的等差数列，此类型题可以求出通项，
但花的时间太多，显然每 4项为一个整体操作更简单．一些数列含有周期性，需要列举几项，先发现规律后
再简化要简单得多．
n(n 1)
【例 1】已知数列{an}满足 a1 a2 0， a 2n 2 ( 1) an 2，则数列{an}的前 2020项的和为（ ）
A．0 B．1010 C．2020 D．2024
【训练 1】（2012 n全国新课标文）数列 an 满足 an 1 1 an 2n 1，求 an 前 60项和．
5
2．二阶等差数列的求和公式
在数列{an}中，从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列，
即 a2 a1,a3 a2 ,a4 a3 , ,an an 1, 成为一个等差数列，则称数列{an}为二阶等差数列．
记 d1 a2 a1， d2 (a3 a2 ) (a2 a1)
(n 1)(n 2)d
，其通项公式为 an a1 (n 1)d1 2 ；2
二阶等差数列 an 的前 n S na
n(n 1)d1 n(n 1)(n 2)d项和公式为 n 1 2 ．2 6
【例 2】（2020 新课标Ⅰ文）数列{an}满足 a
n
n 2 ( 1) an 3n 1，前16项和为540，则 a1 ．
【训练 2】南宋数学家在《详解九章算法》和《算术通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶
等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成
等差数列，例如：3，4，6，9，13， 为二阶等差数列．现有数列，其前 7 项分别为 1，3，13，31，57，
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1)91，133，则该数列的前 20 项和为 ．（参考公式： )
6
考向三 倒序相加法
1．等差数列的前 n项和公式即是用此法推导的，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，
就可以得到 n个 (a1 an )．
2．如果一个数列 an ，与首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求其和可以用倒序相加法．
1 2 2 2 2 2 【例 】求 sin 1 sin 2 sin 3 sin 88 sin 89 的值．
3x
【例 2】已知函数 f (x) log3 ．1 x
1
(1)证明函数 f (x)的图像关于点 ( ,1)对称;
2
1 2 n 1
(2)若 Sn f ( ) f ( ) ... f ( )(n N ,n 2)，求 S ；n n n n
6
【训练 1】已知函数 y f (x)满足 f (x) f (1 x) 1，若数列 an 满足
a 1 f (0) f f 2 f n 1 n f (1)，则数列 an 的前 20 项和为（ ）
n n n
A．100 B．105 C．110 D．115
1 2 1 *
【训练 2】已知函数 f x x x ，数列 an 的前 n项和为 Sn，点 n,Sn n N 均在函数 f x 的图象2 2
4x
上，函数 g x
4x
.
2
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)求 g x g 1 x 的值；
b g an (3) *令 n n N ，求数列 bn 的前 2020项和T2021 2020 .
考向四 分段求和法
求数列 an 的前 n项和，关键在于分清哪些项为非负的，哪些项为负的，最终应化为去掉绝对值符号
后的数列进行求和．

【例 1】在数列 an 中， a1 8,a4 2，且满足 an 2 2an 1 an 0 n N ．
（1）求数列 an 的通项公式；（2）设Tn a1 a2 an ，求Tn ．
【训练 1】（2023 乙卷）记 Sn 为等差数列{an}的前 n项和，已知 a2 11， S10 40．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{| an |}的前 n项和Tn ．
7
考向五 裂项相消法
c
1．适用于分式型{ }， an 是各项不为 0 的等差数列；部分无理数列．an an 1
可用待定系数法对通项公式拆项，把每一项都裂成正负两项，使其正负抵消，只剩下开头和结尾的有限几
项，再求和．相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．这是分解与组合思想（分是为了
更好地合）在数列求和中的具体应用．裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使
之能消去一些项，最终达到求和的目的．
k k 1 1
2．裂项原理： ( )，其中m n．
m n n m m n
3．裂项公式
（1）裂差型
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
① ， ( )；② ( )；
n (n 1) n n 1 n (n k) k n n k (2n 1) (2n 1) 2 2n 1 2n 1
1 1 1 1 n 1 1 1 1
③ ；④ ；
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
n2 (n 2)2 4 n
2 n 2 2
2n 1 1 2 3n 1 1
⑤ ， ；
(2n 1) (2n 1 1) 2n 1 2n 1 1 (3n 1) (3n 1 1) 3n 1 3n 1 1
a q
n 1 1 q n qn qn 1 qna k 1 q
k n qn qn k
⑥ n ； n ；n n 1 n n 1 n n k n n k
1
⑦ n 1 n 1 1， ( n k n )；⑧ ln(n 1) ln n 1 ln n；
n 1 n n k n k n
（3）裂和型
n n n 1
① ( 1) n
2 n 1
( 1) n ( 1 1 ) ， ( 1)n
(3n 1) 2
( 1)n( 2 2 )
n ( n 1) n n ， 1 n(n 1) n n 1
( 1)n 4n ( 1)n ( 1 1 ) ( 1)n 1 4(n 1)， ( 1)n 1( 1 1 )，
(2n 1)(2n 1) 2n 1 2n 1 (2n 1) (2n 3) 2n 1 2n 3
② 1 n ln n n 1 1 n ln n 1 ln n ；
（3）先分离，再裂项
(2n)2 2 2
① 1 1 ( 1 1 ) 4n 4n 1 4n 1 4n 1 1 ；② 1 ( )．
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 (2n 1)(2n 1) 4n2 1 2n 1 2n 1
（4）阶乘及三角型
n 1 1 sin1
① ；② tan(n 1)
tan n ；
(n 1)! n! (n 1)! cosn cos(n 1)
1 1
③ (tan tan )．
cos cos sin( )
8
题型一 裂差型
【例 1】已知数列{an}的前 n项和为 Sn ， a1 2 ， an 0， an 1 (Sn 1 Sn ) 2．
（1）求 Sn ；
（2 1 1 1）求 ．
S1 S2 S2 S3 Sn Sn 1
【例 2】（2022 新高考Ⅰ）记 Sn 为数列{a }
S
n 的前 n
1
项和，已知 a1 1，{ n }是公差为 的等差数列．an 3
（1）求{an}的通项公式；
1 1 1
（2）证明： 2．
a1 a2 an
2
【例 3】已知正项数列 an 的前 n项和 S a 1 n，满足： S nn ．
2
(1)求数列 an 的通项公式；
n 1 5
(2)记bn b n T T S S ，设数列 n 的前 项和为 n，求证 n ．n n 2 16
9
【例 4】已知数列 an 的前 n项和为 Sn，且 Sn 2an 1,n N ．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若数列
n 2
bn 满足bn ,n N b Ta n 2 n (n 1)
，求数列 n 的前 n项和 n．
题型二 裂和型
【例 5】设数列{an}的前 n项和为 Sn ，已知 S
2
n n n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2 2n 1）已知数列{bn}满足 bn ( 1)
n 1 ，求数列{b
a a n
}的前 2n项和T2n．
n n 1
【例 6】（2014 山东理）已知等差数列{an}的公差为 2，前 n项和为 Sn ，且 S1，S2 ，S4 成等比数列．
（1）求数列{a }的通项公式；（2）令 b ( 1)n 1 4nn n ，求数列{ba a n
}的前 n项和Tn．
n n 1
题型三 三角型
2
【例 7】数列 an 各项均为正数， an 的前 n项和记作 Sn，已知 S1 1，an an 2Sn 1 0,(n 2)．
(1)求 an 的通项公式；
(2)设bn tan an tan an 1 ，求数列 bn 的前 2023项和．
10
跟踪训练
【训练 1】已知等差数列 an 的前 n项和为 S2， a3 2a5 29， S8 80．
(1)求 an 的通项公式；
1
(2)设bn a a ，求数列 bn 的前 n项和Tn．n n 1
a a
【训练 2】已知等差数列 a 满足 n n 1n n 1 .4
(1)求 an 的通项公式；
1
(2)设bn a 1 a 1 ，数列 bn
3
的前 n项和为Tn，证明：Tn .
n n 1 16
2
【训练 3】已知数列 an 的前 n项和为 Sn n ，
(1)求数列 an 的通项公式 an ；
1 1
(2)设bn 1 ，求数列 bS S n 的前 n项和Tn．n n 1
11
【训练 4】已知数列 an 的前 n项和为 Sn， an 0，且 a2n 2an 4Sn 1．
(1)求 an 的通项公式；
S
(2) n设bn 的前 n项和为 Pa a n，求
Pn．
n n 1
an 1
1 2 1
(3) 记数列 的前 n项和为Tn，若 Tn tT 恒成立，求 t 的最小值． 2 n
【训练 5】设数列 an 的前 n项和为 Sn，且 Sn 2an n， n N* .
(1)求数列 an 的通项公式；
1 n 1
(2) b 3a令 n 1 n ，求数列 bn 的前 2n项和为T2n .anan 1
【训练 6】设等比数列 an 的前 n项和为 Sn，数列 bn 为等差数列，且公差d 0,a1 b1 2，a3 b3,S3 b5 .
(1)求数列 an 的通项公式以及前 n项和 Sn；
2n 1
(2) 1数列 2 2 的前 n项和为Tn，求证：Tn .
n bn 4 9
【训练 7】已知数列 an 中， a2 1，设 Sn为 an 前 n项和， 2Sn nan．
(1)求 an 的通项公式；
sin1
(2)若bn cos an 1 cos a 1 ，求数列
bn 的前 n项和Tn .
n 1
12
考向六 错位相减法
题型一 错位相减法
1．设数列 an 为等差数列，数列 bn 为等比数列，则不妨称 an bn 为差比数列．教材中给出了这类数列
的前 n项和的求法——错位相减法，消除 bn 中的各项系数差异，转化为等比数列（中间 n 1项构成一个
等比数列）求和问题．
2．错位相减法解题步骤细化
（1）表达前n项和，得 Sn a1 a2 an 0 ①
（2）①式乘公比，可得 qSn 0 a1q an qq anq②
（书写时，尾首加零，并将“＋”号对齐，①与②自动对齐，避免出错）
（3）两式相减，① ②得
（4）代入等比数列求和公式
①中间 n 1 a a q项一定是等比数列；②求和公式用 Sn 1 n ，避免项数出错．1 q
（5）化简：有负号给括号，能约分的约分
3．万能公式法
（1）若差比数列 cn 的通项公式为 cn kn b qn 1，则数列 cn 的前 n项和 Sn An B qn B，
k B b A其中 A ， ．
q 1 q 1
（2）若差比数列 cn 的通项公式为 cn kn b qn n 1，则数列 cn 的前 n项和 Sn An B q qB，
k B b A其中 A ， ．
q 1 q 1
注：在考试书写时可以按照错位相减法的具体步骤进行书写，再结合万能公式对所求结果进行检验，确保
我们最后得到结果就是正确的答案，完美闭环！
【例 1】（2023 甲卷）已知数列{an}中， a2 1，设 Sn 为{an}前 n项和， 2Sn nan ．
（1）求{an}的通项公式；
a 1
（2）求数列{ n n }的前 n项和Tn ．2
13
【例 2】已知数列 an 的前项和为 Sn ,Sn 2an 2,n N .
(1)求数列 an 的通项公式.
b T ,b 1 T ,T x y 1 2b 2b(2) 1 2设数列 n 的前项和为 n 1 ，点 n 1 n 在直线 上，Pn
2b
n
a a a ，求
P以及P
n 1 n 2 n n1 2 n
的最小值.
na
【训练 1】（2021 乙卷）设{an}是首项为 1的等比数列，数列{bn}满足 b nn ，已知 a1，3a2 ，9a3成等差3
数列．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）记 Sn 和Tn 分别为{an}和{bn}
S
的前 n项和．证明：T nn ．2
1 2
【训练 2】已知数列 an 的首项 a1 1，且满足an 1 2an n 1，等比数列 bn 的首项b1 ，且满足b2 2n bn .
(1)求证：数列 an n 是等比数列，并求数列 an 的通项公式；
(2)求数列 anbn 的前 n项和 Sn．
14
题型二 裂项相消破错位相减法
①若差比数列 cn 的通项公式为 cn kn b qn 1，利用待定系数法将差比数列通项进行裂项：
不妨设 cn An B qn A n 1 B qn 1 bn 1 bn，
则 cn An B qn A n 1 B qn 1 q 1 An q 1 B A qn 1 kn b qn 1，
b kk
比较系数得， A B b A q 1 b k， ，
q 1 q 1 q 1 q 1 q 1 2
于是Tn c1 c2 cn b2 b1 b3 b2 bn 1 bn bn 1 b1．
c c kn b qn②若差比数列 n 的通项公式为 n ，不妨设 cn An B qn 1 A n 1 B qn bn 1 bn，
后面同①中的操作待定系数裂项即可．
【例 1】（2022 天津卷）设 an 是等差数列， bn 是等比数列，a1 b1 a2 b2 a3 b3 1．
（1）求 an 与 bn 的通项公式；
（2）设 an 的前 n项和为 Sn，求证： (Sn 1 an 1)bn Sn 1bn 1 Snbn ；
2n
（3）求 (a ( 1)kn 1 ak )bk ．
k 1
15
【例 2】（2021 浙江卷）已知数列 an 的前 n项和为 S a
9
n， 1 ，且 4S4 n 1
3Sn 9．
（1）求数列 an 的通项；
（2）设数列 bn 满足3bn (n 4)an 0(n N *)，记 bn 的前 n 项和为Tn ，若Tn bn对任意 n N 恒
成立，求实数 的取值范围．
na
【训练 1】（2021·乙卷）设 an 是首项为 1的等比数列，数列 bn 满足b nn ，已知 a1，3a2 ，9a3 3成
等差数列．
（1）求 an 和 bn 的通项公式；
S
（2）记 Sn和Tn 分别为 an 和 bn 的前 n 项和．证明：T nn ．2
16
考向七 放缩求和法
1．命题规律：数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，
难度趋减，将稳定在中等偏难程度．此类问题往往从通项公式入手，若需要放缩也是考虑对通项公式进行
变形；在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向可裂项相消的数列与等
比数列进行靠拢．
2．核心考点：①裂项放缩核心；②等比放缩．
3．常见放缩公式：
1 1 1 1
（1） 2 n 2 ；n n 1 n n 1 n
（2 1 4 4 1 1） 2 2

2

；
n 4n 4n2 1 2n 1 2n 1
（3 1 1 1 1） ；
n2 n n 1 n n 1
n

（5） 1
1
1 1 1 1 1 3；
n 1 2 2 3 n 1 n
6 1 2 2（ ） 2 n 1 n n 2 ；
n n n n 1 n
1 2 2
（7） 2 n n 1 ；
n n n n n 1
8 1 2 2 2 2（ ） 2 2n 1 2n 1 ；
n n n n 1 n 1 2n 1 2n 1
2 2
2n 2n 2n 2n 19 1 1（ ） 2 n 2 ； 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 2 2n 1 2n 1 1 2n 1 n

1 2 1
1 1 1 n 1 n 1 1
（10）
n3 n n2 n 1 n n 1 n 1 n n 1 n 1 n 1

1 1


1 2 1 1 n 1 n 1


n 1 n n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1

2 n
2 1 1 n 2 ；
n 1 n 1
（11 1 2 2 2）
n3 n2 n n n2 n n 1 n 1 n n 1 n n n 1
2 n 1 n 2 2
n 2 ；
n 1 n n 1 n
12 1 1 1 2 2 2（ ） ；
2n 1 1 1 n 1 C 0 1 2n Cn Cn 1 n n 1 n n 1
17
1 2n 113 1 1（ ） n n 1 n n 2 ．2 1 2n 1 1 2n 1 2 1 2 1
14 2( ) 2 1 2（ ） n 1 n 2( n n 1)．
n 1 n n n n 1
（15）二项式定理
①由于 2n 1 (1 1)n 1 C0n C1 C n n(n 1)n n 1 C1 2n Cn (n 3)，2
1 2
于是 2 1 1 (n 3)．
2n 1 n(n 1) n n 1
② 2n 2n 1(n 3)， 2n (1 1)n C0 C1 Cn 1 n 0 1n n n Cn Cn 2Cn 2n 1；
2n n2 n 2(n 5)， 2n (1 1)n C0 C1 C2 Cn 2 Cn 1 n 0 1 2 2n n n n n Cn 2Cn 2Cn 2Cn n n 2．
（16）糖水不等式
若b a 0,m 0，则 a m a ；若b a m 0，则 a m a ．
b m b b m b
题型一 放缩成裂项
对于放缩后，再裂项相消求和类型，通过放缩后的裂项公式的首项或前几项的和即可判断放缩的精度
是否满足题设要求，常见的题目无非是从第一项开始放缩、从第二项开始放缩或者从第三项开始放缩这三
1 1 1 1 1
种．比如： (n 1)，从第二项开始放缩，放缩的精度为 s 1 2；保留前两项，
n2 n(n 1) n 1 n n 2 1
1 1 7
从第三项开始放缩，放缩的精度为 Sn 1 2 ．2 3 1 4
S 1
【例 1】记 Sn为数列 an 的前 n项和，已知 nn 是首项为 3，公差为 1的等差数列．
(1)求 an 的通项公式；
1 1 1 a 1 1
(2) n证明：当 n 2时， S2 S3 Sn a
．
n 1 2
18
【例 2】（2013 广东理 19）设数列{a 2S 1n}的前 n项和为 Sn ．已知 a 1， n1 an 1 n
2 n 2 ，n N *．
n 3 3
（1）求 a2的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3 1 1 1 7）证明：对一切正整数 n，有 ．
a1 a2 an 4
【例 3】（2019 浙江）设等差数列{an}的前 n项和为 Sn， a3 4， a4 S3，数列{bn}满足：
对任意 n N ，Sn bn ， Sn 1 bn ，Sn 2 bn成等比数列．
（1）求数列{an},{bn}的通项公式；
a
（2）记C n n ,n N ，证明：C1 C2+ C2b n
2 n，n N ．
n
【训练 1】已知数列{an}的前 n项和为 Sn，且 4Sn 2n 1 an 1 1，a1＝1．
(1)求数列{an}的通项公式；
1 3
(2)设bn a S ，数列{bn}的前 n项和为 Tn，证明Tn ．n n 2
19
【训练 2】若数列 an 满足 a1 1， an 1 an 2n．
(1)求 an 的通项公式；
1 1 1(2)证明： 2a1 a a
．
2 n
a 1,n为奇数【训练 3】已知数列 an 满足 a1 2,a nn 1 ，记b a ．
2an 2,n
n 2n 1
为偶数
(1)证明：数列 bn 为等比数列，并求出数列 bn 的通项公式；
(2)求数列 an 的前 2n项和 S2n．
1 3
(3)设 cn n 1 log b ，记数列 cn 的前 n项和为Tn，求证：Tn ．2 n 1 4
题型二 放缩成等比
【例 1】（2012 广东理）设数列{an}的前 n项和为 Sn，满足 2S n 1 n an 1 2 1（ n N ），且 a1， a2 5，
a3成等差数列．
（1）求 a1的值；
（2）求数列{an}的通项公式．
1 1 1 3
（3）证明：对一切正整数 n，有 ．
a1 a 2 an 2
20
【例 2】（2014 新课标 2理 17）已知数列{an}满足 a1 1， an 1 3an 1．
（1）证明{an 1}是等比数列，并求{an}的通项公式；2
（2）证明： 1 1 …+ 1 3a1 a2 a
．
n 2
【训练 1】记 Sn为数列 an 的前 n项和，已知 a1=2， 3an 2Sn 是公差为 2的等差数列．
(1)求 an 的通项公式；
1 1 1
(2)证明： 1a ．1 a2 an
【训练 2】已知数列 an 的前 n项和为 Sn， a1 3， Sn 2 an 1．
(1)证明：数列 Sn 2 为等比数列；
1
(2)记数列 的前 n项和为Tn，证明：Tn 2．
Sn
21
【训练 3】（2021·天津卷）已知 an 是公差为 2的等差数列，其前 8项和为 64． bn 是公比大于 0的等比数
列， b1 4,b3 b2 48．
（I）求 an 和 bn 的通项公式；
1
（II）记 cn b *2n ,n Nb ，n
i 2（ ）证明 cn c2n 是等比数列；
n a a
（ii k k 1 *）证明 c2 2 2c n N k 1 k 2k
22中小学教育资源及组卷应用平台
第五节课后练习
1.（2024 绍兴月考）已知数列满足，设数列的前项和为，其中，则下列四个结论中，正确的是　　
A．的值为2 B．数列的通项公式为
C．数列为递减数列 D．
2.（2024 运城期末）设首项为的数列的前项和为，且，若，则正整数的最小值为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
3.（2024 沙市期末）已知数列满足，，（且），则数列的前10项和为（ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
4.（2024 新乡模拟）已知数列满足，，则数列的前40项和（ ）
A． B． C． D．
5.（2024 西城期中）若数列的前项和为，，，，，则　 　，　 　．
6.（2024 临汾模拟）设数列的前项和为，且，，，则　 　．
7.（2023 昆明一模）已知数列的前项和为，，，则 　．
8.（2024 温州月考）数列满足，则数列的前60项和等于（ ）
A．1830 B．1820 C．1810 D．1800
9.（2024 潍坊期中）数列满足，则的前44项和为（ ）
A． B． C． D．
10.（2024 山东模拟）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，的第五个数应是　 　 ，第2021个数是　 　 ．
11.（2024 南京月考）设为数列的前项和，，则　（ ）
A． B． C． D．
12.（2024 浙江月考）已知数列的前项和满足，则（ ）
A． B． C． D．
13.（2024 太原模拟）已知函数，则的值为　　
A．2022 B．2021 C．4043 D．4042
14.（2024 中山月考）设，若，求．
15.（2023 江苏模拟）已知数列满足，其前项和，数列满足，其前项和为若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16.（2024 广州期末）已知数列{an}满足a1+3a2+ +（2n﹣1）an＝2n，其中，Sn为数列{bn}的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（　　）
A．a1＝2 B．数列{an}的通项公式为：
C．数列{bn}的前n项和为： D．数列{an}为递减数列
17（2024 重庆模拟）设数列，的前项和分别为，，，，且，则下列结论正确的是　　
A． B．
C． D．
18.（2024 四川模拟）等差数列，为其前项和，，，记数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
19.（2023 安徽模拟）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，
设，数列的前项的和为，则　 　．
20.（2024 永州期末）已知函数且，则等于（ ）
A．0 B．100 C． D．10200
21.（2024 无锡模拟）在数列中，．
（1）若，求通项；
（2）设是数列的前项和，试说明当时，存在自然数，使得时，和均取得最小值，并求出此时的值．
22.（2024 广西模拟）设为等差数列，是正项等比数列，且，．在①，②，这两个条件中任选一个，回答下列问题：
（1）写出你选择的条件并求数列和的通项公式；
（2）在（1）的条件下，若，求数列的前项和．
23.（2024 山东模拟）设为数列的前项和，已知，．若数列满足，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和．
24.（2024 山东模拟）已知数列的各项均为正数，对任意，它的前项和，满足
，并且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式．
（2）设，为数列的前项和，求．
25.（2023 湖南模拟）已知正项数列的前项和为，．
（1）证明：数列是等差数列．
（2）若，求数列的前项和为．
26.（2024 河北模拟）已知正项数列的前项和为，且．
(1)求的值和数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
27.（2024 广东模拟）已知等差数列满足，且，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
28.（2024 金太阳模拟）已知正项等比数列满足，请在①，②，③，，中选择一个填在横线上并完成下面问题：
(1)求的通项公式；
(2)设，的前和为，求证：．
29.（2024 佛山模拟）已知数列是等差数列，为的前项和，且，；数列对任意，总有成立．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
30.（2017 山东卷）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且．
(I)求数列{an}通项公式；
(II){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和．
31.（2024 浙江模拟）已知等差数列的前项和为，且，，数列的前项和为，且．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
32.（2024·哈尔滨模拟）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围.
33.（2024·海伦市月考）在各项均为正数的数列中，，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，证明：．
34．（2024·济宁市月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，且，a1＝1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设，数列{bn}的前n项和为Tn，证明．
35．（2024天津月考）已知数列满足记.
(1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
(3)设，记数列的前项和为，求证：.
36．（2024名校联盟）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且.
(1)求的通项公式，并证明数列是等比数列；
(2)若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.
(3)求证：对于任意正整数，.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第五节课后练习
3n21. 2024 {a } 2a 22a 2na 5n（ 绍兴月考）已知数列 n 满足 1 2 n ，设数列{cn}的前 n项和为 Sn，2
1
其中 cn 2n 1 ，则下列四个结论中，正确的是 ( )2 an an 1
A． a1的值为 2 B．数列{an}的通项公式为 an (3n 1) 2
n
C．数列{an}为递减数列 D． S
n
n 12n 16
a 3，n 2k，k N*
2.（2024 运城期末）设首项为1的数列{an}的前 n项和为 Sn ，且 an
n 1 ，若
2an 1 3，n 2k 1，k N
*
Sm 4042，则正整数m的最小值为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
2 a ,n 2k 1
3（. 2024 沙市期末）已知数列{an}满足 a1 0，a
n 2
2 1，an （ k N 且 k 2），则数列{a }
2an 2 ,n 2k
n
的前 10 项和为（ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
4.（2024 新乡模拟）已知数列{an}满足 a2n a
n n
2n 1 3 1， a2n 1 a2n 3 5(n N
)，则数列{an}的前 40
项和 S40 （ ）
21
A 3 197 B 3
20 197
． ． C．910 98 D．920 98
2 2
5.（2024 西城期中）若数列{an}的前 n项和为 Sn ， a1 1， a2 2， a2n 1 2a2n 1 1， a2n 2 a2n 1，则
a7 ， S20 ．
6.（2024 临汾模拟）设数列{an}的前 n项和为 Sn ，且 a1 1， a2n an 1， a2n 1 n an，则 S100 ．
7.（2023 昆明一模）已知数列{an}的前 n项和为 S ，a
2 *
n 1 1，Sn Sn 1 4n (n 2,n N )，则 S25 ．
8.（2024 温州月考）数列{a }满足 a ( 1)n 1n n 1 an 2n，则数列{an}的前 60 项和等于（ ）
A．1830 B．1820 C．1810 D．1800
9.（2024 潍坊期中）数列{an}满足 an 1 ( 1)
nan 2n 1，则{an}的前 44 项和为（ ）
A． 990 B．870 C． 640 D． 615
10.（2024 山东模拟）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如 1，3，9，19，33， 就是一个数列，
如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，
这个常数叫做这个等差数列的公差．如 2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为 2．如果一个数列
的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列 1，3，9，
19，33， ，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是 2，6，10，14， ，这是一个公差为 4的等差
数列，所以，数列 1，3，9，19，33， 是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列 1，3，7，13，
的第五个数应是 ，第 2021个数是 ．
11（. 2024 1南京月考）设 Sn 为数列{an}的前 n项和，S ( 1)
n
n an n ,n N
*，则 S1 S2 S100 2 （ ）
A 1． [(1)100 1] B 1 1 ． [( )98 1] C 1． [(1)50 1] D 1． [(1)49 1]
3 2 3 2 3 2 3 2
12.（2024 1浙江月考）已知数列{an}的前 n项和 S 满足 S ( 1)
n
n n an 2n 6 n ， (n N*)则 S （ ）2 100
A．196 B 1 1． 200 C．194 D．198
2100 2102
13.（2024 太原模拟）已知函数 f (x) 2 1 1 ，则 f ( ) f ( ) 1 f ( ) f (1) f (2) f (2022) 的
1 x 2022 2021 2
值为 ( )
A．2022 B．2021 C．4043 D．4042
x
14.（2024 中山月考）设 f x 4 S f ( 1 ) f ( 2 ) f (2022x ，若 )，求 S．4 2 2023 2023 2023
2
15.（2023 a 2a 3江苏模拟）已知数列{an}满足 an 0，其前 n项和 S
n n
n ，数列{bn}满足4
b ( 1)n 1 n 1 n ，其前 n项和为Tn .若T2n 对任意 n N *恒成立，则实数 的取值范围是（ ）an an 1 n
A ( , 1 ) B 1 4 4． ． ( , ) C． ( , ) D． ( , )
21 15 33 21
16.（2024 广州期末）已知数列{an}满足 a1+3a2+ +（2n﹣1）a ＝2n，其中 = n (2 +1)，Sn为数列{bn}
的前 n项和，则下列四个结论中，正确的是（ ）
A．a1＝2 B．数列{an}
2
的通项公式为： = 2 +1
C．数列{bn}的前 n
2
项和为： = 2 +1 D．数列{an}为递减数列
2
17（2024 a 重庆模拟）设数列{an}，{bn} n S T S 1 S
n 2
的前 项和分别为 ， ， ， S ，且b n 1n n 1 n 1 n n ，n anan 2
则下列结论正确的是 ( )
A a n(n 1)． 2021 2021 B． Sn 2
C b 1． n 1 D
1
． T 3 n
n(n 2) 3 n 4
18.（2024 四川模拟）等差数列{an}，Sn 为其前 n项和，a1 1，S6 36，记数列{( 1)
nan}的前 n项和为Tn ，
则T10 T21 （ ）
A． 11 B． 9 C． 13 D． 7
19.（2023 安徽模拟）已知{an}是公差不为零的等差数列， a5 14，且 a1， a3 ， a11成等比数列，
设 bn ( 1)
n 1an，数列{bn}的前 n项的和为 Sn ，则 S2021 ．

20. 2024 n
2，(n为奇数)
（ 永州期末）已知函数 f (n) 且2 an f (n) f (n 1)，则 a1 a a n n 2 3
a100等于
，( 为偶数)
（ ）
A．0 B．100 C． 100 D．10200
21.（2024 无锡模拟）在数列{an}中， an 1 an 3n 54．
（1）若a1 20 0，求通项 an ；
（2）设 Sn是数列{an}的前 n项和，试说明当 a1 27 0时，存在自然数 n，使得 n m时，Sn和 an 1 an
均取得最小值，并求出此时的m值．
22（. 2024 广西模拟）设 an 为等差数列， bn 是正项等比数列，且 a1 b1 2，a3 2b2．在①b5 b3 12b1，
②a5 2 b4，这两个条件中任选一个，回答下列问题：
（1）写出你选择的条件并求数列 an 和 bn 的通项公式；
（2）在（1）的条件下，若 cn an bn n N* ，求数列 cn 的前 n项和 Sn．
23.（2024 山东模拟）设 Sn为数列 an 的前 n项和，已知 an 0， a2n 2a 4S 3 n N n n ．若数列 bn 满
足b1 2，b2 4
2
，bn 1 bnbn 2 n N ．
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
1
, n 2k 1, k N
(2)设 cn Sn ，求数列 cn 的前 2n项的和T2n．

bn , n 2k ,k N
24.（2024 山东模拟）已知数列{an}的各项均为正数，对任意 n N
*，它的前 n项和 Sn ，满足
S 1n (an 1)(an 2)，并且 a2， a4， a9 成等比数列．6
（1）求数列 (an}的通项公式．
（2）设 b n 1n ( 1) anan 1，Tn 为数列{bn}的前 n项和，求Tn ．
25.（2023 湖南模拟）已知正项数列{an}的前 n项和为 S ， 2S
2
n n an an 2．
（1）证明：数列{an}是等差数列．
（2）若 b n 2n ( 1) an，求数列{bn}的前 2n项和为T2n．
26.（2024 2 2 2河北模拟）已知正项数列 an 的前 n项和为 Sn，且 Sn n n 2 Sn 2 n n 0．
(1)求 a1的值和数列 an 的通项公式；
(2)设b
1
n a a ，求数列 bn 的前 n项和Tn．n n 2
27.（2024 广东模拟）已知等差数列 an a a *满足 n 1 n 0 n N ，且 a1 a4 a10 15， a2， a4， a8成等比
数列．
(1)求数列 an 的通项公式；
an
(2)若b
an 2
n ，求数列 bn 的前 n项和 Sa n．n 1 an 2
28.（2024 金太阳模拟）已知正项等比数列 an 满足 a1 a3 30，请在① S4 120，② a4 81，
③ a2 a 2 *n n 1an 12an 1 0， n 2， n N 中选择一个填在横线上并完成下面问题：
(1)求 an 的通项公式；
n
(2) b
2 3
1设 n a 1 a 1 ，
bn 的前 n和为 Sn，求证： S n ．n n 1 4
29.（2024 佛山模拟）已知数列{an}是等差数列， Sn为{an}的前 n项和，且 a10 19， S10 100；数列{bn}
对任意 n N ，总有b1 b2 b3 bn 1 bn an 2成立．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
4n b
（2）记 c ( 1)n nn ，求数列{c(2n 1)2 n
}的前 n项和Tn．
30.（2017 山东卷）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且 a1 a2 6,a1a2 a3 ．
(I)求数列{an}通项公式；
bn
(II){bn}为各项非零的等差数列,其前 n项和 Sn,已知 S2n 1 bnbn 1 ,求数列 的前 n 项和Tn ．
an
31.（2024 浙江模拟）已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，且 a1 2， S5 30，数列{bn}的前 n项和为Tn，
且Tn 2
n 1．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设 cn ( 1)
n (anbn ln Sn )，求数列{cn}的前 n项和．
32.（2024·哈尔滨模拟）已知数列 an 满足 a1 14,an 1 3an 4 .
(1)求 an 的通项公式；
( 1)na
(2) n设b *n n n 1 ，数列 bn 的前 n项和为T3 1 3 1 n，若存在 n N ，使m Tn，求m的取值范围.
33.（2024·海伦市月考）在各项均为正数的数列 an 中， a1 3，且 a2n 1 an an 1 6an ．
(1)求 an 的通项公式；
2n 1 a 1
(2)若b

n b T 1n a ，数列 的前 n项和为 ，证明：T ．n 1 a n n nn 1 1 4
34．（2024·济宁市月考）已知数列{an}的前 n项和为 Sn，且 4Sn 2n 1 an 1 1，a1＝1．
(1)求数列{an}的通项公式；
1 3
(2)设bn a S ，数列{bn}的前 n项和为 Tn，证明Tn ．n n 2
a 1,n为奇数
35．（2024 n天津月考）已知数列 an 满足 a1 2,an 1 记bn a2n 1 .
2an 2,n为偶数
(1)证明：数列 bn 为等比数列，并求出数列 bn 的通项公式；
(2)求数列 an 的前 2n项和 S2n .
1 3
(3)设 cn n 1 log b ，记数列 cn 的前 n项和为Tn，求证：Tn .2 n 1 4
36．（2024名校联盟）记 Sn是公差不为 0的等差数列 an 的前n项和，已知 a3 3a4 S5，a1a5 S4，数列 bn
b 3b 2n 1满足 n n 1 n 2 ，且b1 a1 1.
b
(1)求 an 的通项公式，并证明数列 nn 1 是等比数列； 2
4n
(2)若数列
n 1
cn 满足 cn 1 c na 1 a 1 ，求 n 的前 项和的最大值、最小值.n n 1
1 1 1 3
(3)求证：对于任意正整数 n， b1 b2 bn 2
.

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