资源简介

第六节 数列放缩本质论
考向一 蛛网图与数列极限单调性判断
知识点一 函数迭代和数列的关系
已知函数 y f (x)满足 an+1=f (an )，则一定有 an+1=f (an ) f2 (an 1) fn (a1) ，故函数 y f (x)通过反复迭代
产生的一系列数构成了数列 an 或者记为 bn 、 xn ，而数列的每一项与函数迭代的关系可以如下表所示：
下面以函数 y 2x 1和数列 an 1 2an 1
数列 a1 a2 a3 a4 a5 a6 …… an an 1
函数 x f (x) f2 (x) f3 (x) f4 (x) f5 (x) …… fn 1(x) fn (x)
数列 1 x 7 15 31 63 2n 1 2n 1 1
数列 1 1 1 1 1 1 1 1
函数 x 2x 1 4x 3 8x 7 16x+15 32x 31 …… 2n 1 x 2n 1 1 2n x 2n 1
可以发现：
①数列的递推式和函数的迭代式是有着相同的法则的，故数列的任何一项 an ,an+1 都在函数 y f (x)上．
②数列的通项公式是函数对 a1迭代 n 1次的结果，即 an fn 1(a1)，每一次由于迭代产生出的因变量成为
下一次迭代的自变量．
③数列的首项 a1对整个数列有很大的影响，当迭代不断重复出现同一结果时，我们将其称为不动点．
知识点二 函数的迭代图像——蛛网图
函数的迭代图像，简称蛛网图或者折线图，函数 y f (x)和直线 y x共同决定．
其步骤如下：
1．在同一坐标系中作出 y f (x)和 y x的图像（草图），并确定不动点．（如图 1 所示）
图 1 图 2
2．在找出不动点之后，确定范围，将不动点之间的图像放大，并找出起始点 a1（如图 2所示）
3．由 a1向 y f (x)作垂直于 x轴的直线与 y f (x)相交，并确定交点 a1,a2 ．
4．由 a1,a2 向 y x作平行于 x轴的直线与 y x相交，并确定交点 a2 ,a2 ．
5．由 a2 ,a2 向 y f (x)作垂直于 x轴的直线与 y f (x)相交，并确定交点 a2 ,a3 ．
重复 4，5，直至找到点 an ,an 1 的最终去向．
知识点三 蛛网图与数列的单调性
定理 1： y f (x)的单调增区间存在两个不动点 x1，x2（x1（如左图）则数列 an 1 f (an )在两个不动点之间的区间是递增的，即 an 1 an ，在两不动点以外的区间则
是递减的，即 an 1 an ．
定理 2： y f (x)的单调增区间存在两个不动点 x1，x2（x1（如右图）则数列 an 1 f (an )在两个不动点之间的区间是递减的，即 an 1 an ，在两不动点以外的区间则
是递增的，即 an 1 an ．
综上可得，当 y f (x)的单调增区间位于上凸内或者下凹外时，即当迭代起点 a1位于此区域时，一定有
an 1 an 同理，当迭代起点 a1位于单调增区间的上凸外或者下凹内时，一定有 an 1 an ．
知识点四 数列的极限
根据蛛网图可知，当一数列 an 为单调上凸曲线时，迭代点 an ,an 1 会无限靠近大的不动点 x2，我们将这
个大的不动点 x2称为数列 an 的极限，记为 lim a x ；当一数列 an n 2 n 为单调下凹曲线时，迭代点 an ,an 1
会无限靠近小的不动点 x1，我们将这个小的不动点 x1称为数列 an 的极限，记为 lim a x ．n n 1
几种常见的函数迭代图（未画折线）
y a x h 2 h a ax b 0 y a x h 2 h a 0 y ax b a 0,b 0 y ad bc
cx d
顶点为不动点抛物线 顶点为不动点的抛物线 横着的抛物线 二四象限反比例函数的平移函数
请思考： lim an h lim an h lim an xn n n 1 lim an xn 2
知识点五 由反比例（递减函数）函数迭代构成的摆动数列
如下左图所示，当 f (x)在区间为减函数时，和直线 y x相交于不动点，那么由此函数迭代构成的数列为摆
动数列，即奇数项和偶数项构成相反的单调性，但都螺旋靠近不动点，极限也是不动点．
左图所示 a1 a3 a5 a2n 1，同时 a2 a4 a6 a2n；如右图所示 a1 a3 a5 a2n 1，
同时 a2 a4 a6 a2n．
1 2023 {a } a 1【例 】（ 北京）数列 n 满足
3
n 1 (an 6) 6，下列说法正确的是 ( )4
A．若 a1 3，则{an}是递减数列， M R，使得 n m时， an M
B．若 a1 5，则{an}是递增数列， M 6，使得 n m时， an M
C．若 a1 7，则{an}是递减数列， M 6，使得 n m时， an M
D．若 a1 9，则{an}是递增数列， M R，使得 n m时， an M
【例 2】（多选）已知数列{an}的前 n项和为 Sn， a1 0,an 1 ln(e
an 2) a *n (n N )，则下列选项正确
的是 ( )
A． a2n 1 a2n B．存在 n N *，使得 an ln2
C． S 220232023 D．{a2n 1}是单调递增数列，{a2n}是单调递减数列
【例 3】（多选）数列{an}满足 a1 1， an 1 f (a )， n N
*
n ，则下列说法正确的是 ( )
A．当 f (x) 2x 1时， a nn 2 1
B．当 f (x) x 1 时，1 a 2
x n
C．当 f (x) x 1 时， a7 a8 a5 ax 10
D．当 f (x) 2lnx 1 时，数列{a
x 2n 1
}单调递增，数列{a2n}单调递减
【例 4】（ 多选）已知数列{a }的首项为 a ，且 a ean 1 ann 1 n 7，则 ( )
A．存在 a1使数列{an}为常数列 B．存在 a1使数列{an}为递增数列
C．存在 a1使数列{an}为递减数列 D．存在 a1使得 a1 an恒成立
跟踪训练
【训练 1】已知数列 a 满足 a 1 1 ， a ( )ann 1 n 1 ，则下列结论成立的是（ ）2 2
A．a2022 a2023 a2024 B． a2024 a2023 a2022
C． a2023 a2022 a2024 D．a2023 a2024 a2022
【训练 2】已知数列 an 满足：0 a1 1， an 1 an ln 3 an ．则下列说法正确的是（ ）．
A．0 a2020 1 B．1 a2020 2
C． 2 a
5 5
2020 D． a2 2 2020
2 2
考向二 蛛网图与数列等比放缩（一级精度）
a
第一类 无不动点判断 n 1 的趋势
an
若 an 1 f (an )，在 f (x) 0区间，且 f (x) 0， f (x)
a
为下凹函数，易知 f (x)越来越大，故通过构造 n 1
an
a3 a4 1 a a a a a a的单调性，如图，当 ，且 6 5 4 1时，则一定有 n 1 n 4 ；
a2 a3 a5 a4 a3 an an 1 a3
【例 5】（2019 浙江）设 a， b R，数列{an}满足 a1 a， an 1 a
2
n b， n N
*，则 ( )
A 1 1．当 b 时， a10 10 B．当 b 时， a10 102 4
C．当 b 2时， a10 10 D．当 b 4时， a10 10
a x
第二类 不动点判断 n 1 0 的趋势
an x0
当 f (x) 0， f (x) 0，若 ， 为 f (x)两个不动点，如图所示，我们假设 f (x) x2，此函数符合
模型，则根据蛛网图，当 a1 (0，1)时，则有 a1 a2 an 0，两个不动点为 0， 1，
a 0 a 0 a 0 a 1 a 1 a
如左图， 2 3 n 1 f (0)，如右图， 2 3 n 1 1 1，如此对不动点蛛
a1 0 a2 0 an 0 a1 1 a2 1 an 1
网图的斜率翻译放缩，称为数列放缩的一级精度。
我们通过几道例题来解析数列放缩的一级精度。
【例 6 1 1 a】已知数列 an 满足 a1 [ ，）， an 1 sin n (n N*)，记数列 an 前 n 项和为 Sn ，则对于任意的3 2 2
n N *，下列结论正确的是（ ）
A. 存在 k N *，使 ak 1 B.数列 an 单调递增
C. a 3 1n 1 an D. 2an 1 2a1 S4 4 n
【例 7】已知数列{a }满足 a 1， a ean 1n 1 n e
an 1，则 ( )
A 1．{an}为单调递减数列 B． an 1 a2 n
C a 2． 20232n 1 a2n 1 2a2n D． a2024 ( )3
跟踪训练
【训练 3】已知正项数列{a }满足： a2n n 1 an 2， n N
*，则以下结论正确的是 ( )
A．若 a1 (0,2)时，数列{an}单调递减
B．若 a1 (2, )时，数列{an}单调递增
C．若 a1 (2, )时， 2 an a1
D．若 a1 1，数列{an}的前 n项和 Sn a1 an，则 Sn 2n 1(n 2,n N*)
考向三 不动点与二次裂项
第一类 平方式可裂项递推型 an 1 a a
2
n 1 b an c
（1）若 f (x) ax2 bx c 有两个不动点，当且仅当一个不动点在顶点时，即 b2 4ac 2b，则一定有：
a bn 1 a(a
b 2
n ) ，此时属于可求通项的递推模型，例如 a
2
n 1 an 2an an 1 1 (a 1)
2
n ，此模型2a 2a
就是由于 f (x) x2 2x x，不动点为 1， 0，且 ( 1， 1)为 f (x)的顶点，故能完成平方式递推；
（2）若 f (x) ax2 bx c 1 1 1仅有一个不动点 x0 ，且不动点不在顶点时，则一定有： ，an 1 x0 an x0 an m
1 1 1
此时属于可直接裂项相消求通项模型，例如 a a2n 1 n an ，此模型就是由于an 1 an an 1
f (x) x2 x x，不动点为 x0 0，且 (0，0)不是 f (x)的顶点，故能完成裂项递推，我们做一下总结：
n
① an 1 an an 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
an 1 an an 1 an 1 an an 1 i 1 ai 1 a1 an 1
a a
2
n a an 1 an an 1 1 1 1
n 1 1 1
② n 1 n m m m m an m an a

n 1 i 1 ai m a1 an 1
n
③ an 1 a
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
n an 1 an 1 1 an 1 an a

n an 1 an 1 1 i 1 ai a1 1 an 1 1
a an 1 1
n 1 1 1
④ n 1 ka a ( )ka2n 1 an 1 a
n i
n i 1 k an 1 a1
【例 8】（2024 青羊区月考）已知数列{an}满足 a 1， a a
2
1 n 1 n an， n N
*，则 ( )
A．{an}是递减数列 B． an n(n 2)
C． a 2023 1 1 12024 2 D． 1a1 1 a2 1 an 1
【例 9】（2024 福建期中）数列{an}满足 a1 a， an 1 3an a2n 1，则下列说法正确的是 ( )
A．若 a 1且 a 2，数列{an}单调递减 B．若存在无数个自然数 n，使得 an 1 an ，则 a 1
C．当 a 2 1 1 1 1 或 a 1时，{an}的最小值不存在 D．当 a 3时， ( ,1]a1 2 a2 2 an 2 2
【训练 4】在数列{an}中，a1 2，2a
2a 1
n 1 a
2
n 1，n N
*，设b nn ，若数列{bn}的前 2025项和 Sa 1 2025
t，
n
则整数 t的最大值为 ．
第二类 对勾函数单不动点可裂项递推型 a bn 1 a an nan m
如果二次符合，那么对勾函数仅有一个不动点的模型也符合可裂项原理.
2a2 4a 1
【例 10】已知正项数列{an}满足 an 1
n n (n N *)，则 ( )
an 2
A．{an}为递增数列
B． a 2nn 1 a1
C．若 0 a 1 11 ，则存在大于 1的正整数m，使得 a3 m
a1 6
D．已知b 1 1n i 1 ，则存在 n N
* ，使得 b 1
a nn 1 1 2ai 3
0 n0
第三类 平方式立方式等比转化为等比递推型
（1）若 f (x) ax2 bx c a a 有两个不动点 ， ，则一定有： n 1 aan p， n 1 aan q，此时an an
通过蛛网图算出 aan p和 aan q取值范围，则可以进行两次等比放缩；
（2）若 f (x) ax3 bx2 cx d有三个不动点，且中间不动点为 x0 ，且不动点不在对城中心时，则一定有：
an 1 x0 aa2n pan q，通过蛛网图算出 aa
2
n pan q取值范围，则可以进行等比放缩an x0
【例 11】已知数列{an}满足： n N
* ， an 1 a
2
n 2an b，其中 b R，数列{an}的前 n项和是 Sn ，下列
说法正确的是 ( )
A．当 b (1, )时，数列{an}是递增数列
B．当 b 6时，若数列{an}是递增数列，则 a1 ( ， 3) (2， )
C 5
2
．当 b ,a1 2时， Sn
n 3n
4 2
D．当 b 2 a 1 1 1 3 ， 1 3时， a1 2 a2 2 an 2 10
【例 12】设数列{a }满足 a 0，a ca3n 1 n 1 n 2 8c,n N *其中 c为实数，数列{a
2
n}的前 n项和是 Sn ，下列
说法不正确的是 ( )
A．当 c 1时，{an}一定是递减数列 B．当 c 0时，不存在 c使{an}是周期数列
C 1 1 5．当 c [0, ]时， an [0， 2] D．当 c 时， Sn n 4 7 2
考向四 蛛网图构造等比放缩升级为次裂项放缩（二级精度）
数列放缩的二级精度，是将不可裂项放缩的，通过等比放缩转化为可裂项放缩的模型，或者
将可以裂项出来的二次函数模型，由等比定值转化为等差通项模型.
利用差分方程 an 1 an和等比放缩转化为次裂项放缩
pan q a
第一类：若 an 1 an ，则 pa q a (a a ) n 1a n n n 1 n ，利用二阶导和蛛网图判断
( ， )
a ，从而得到次n n
裂项相消式子： (an 1 an )(an 1 an ) pan q (an 1 an )(an 1 an )；
【例 13 2】已知数列{an}满足 a1 a，an 1 an 1，记数列{| an 2 |}的前 n项和为 Sn， Sn对 n N
*
an
恒成立，则下列说法正确的有 ( )
A．若 a 0，则数列{| an 2 |}为递减数列 B．若 2 a 2，则数列{an}为递增数列
C a 3 35．若 ，则 的可能取值为 D．若 a 3 5 5 ，则 Sn 12 2 3 2n 1
a a 2 1
【例 14】已知数列{an}满足 a
n n
1 1， an 1 ，则下列说法正确的是 ( )2
A 1． a2024 a2023 B．{ 2 }为递增数列an
C． 4a2 2n 1 1 4an 1an D． a2024 1013
an 1 an a
第二类：若 an 1 an ( pan q) an ，则 pan q a ，利用二阶导和蛛网图判断
n 1 ( ， )，从而得
n an
1 an 1 an pa q 1 an 1 an到次裂项相消式子： 1 a a n ；n 1 n 1 an 1 an
a
【例 15】（2021 浙江）已知数列{an}满足 a1 1，a
n
n 1 (n N*)．记数列{a1 a n
}的前 n项和为 Sn ，则 (
n
)
A 3 S 9 9．
2 100
3 B．3 S100 4 C． 4 S100 D． S2 2 100
5

【训练 5】数列{a } 1n 满足 a
3 *
1 0，an 1 an an 1，n N ，Sn 表示数列 前 n项和，则下列选项中错误
an
的是 ( )
A．若 0 2 a1 ，则 an 1 B
2
．若 a1 1，则{an}递减3 3
C 1．若 a1 ，则 Sn 4(
1
2) D．若 a 2
2 a 1
2，则 S2025
n 1 3
1
【训练 6】已知数列{an}满足 a
2
2 ， an 1an an an 1,n N
*，则 ( )
2
A． an的最大值为 1 B．若 n
1
2，则 an 2
C． an
1 D． a1 a2 an n
2 n
考向五 裂项放缩升级为累加放缩（三级精度）
关于三级精度，通常需要在一级（等比）精度，二级（裂项）精度之上，进行通项与求和的
综合放缩，其中浙江卷风格经常达到此精度.
1 1 1 1
如果可裂项式子 ，我们根据 ( ， )a x a x a m a m ，可以得到二级精度，就是等差n 1 0 n 0 n n
1 1
精度， (n 1) (n 1)
1
，从而再次得出 h(n) an g(n)a x a x ，这样就将 a 由一级精度升级为n 0 1 0 n x0
二级精度，即从常数等比精度升级为可求通项精度.
在二级精度基础上，通过累加法，将二级精度升级为三级精度，即
1 1 1
( (n 1 1 1) ， (n 1) )，此时通过累加法，得到一个三级精度。
an 1 x0 an x0 an m a1 x0 a1 x0
1
【例 16】已知数列{an}满足 a1 1， an 1 an a
2
n ．给出下列四个结论：2
①数列{an}每一项 an都满足 0 an 1(n N*)；②数列{an}的前 n项和 Sn 2；
2 1
③数列{an}每一项都满足 an 成立；④数列{a }每一项 a 都满足 a ( )n 1(n N * )．n 1 n n n 2
其中，所有正确结论的序号是 ( )
A．①④ B．②④ C．①③④ D．①②④
17 2022 {a } a 1 a a 1【例 】（ 浙江）已知数列 n 满足 1 ， n 1 n a
2
n (n N
* )，则 ( )
3
A 2 100a 5 5 7 7． 100 B． 100a100 3 C．3 100a100 D． 100a100 42 2 2 2中小学教育资源及组卷应用平台
第六节 数列放缩本质论
考向一 蛛网图与数列极限单调性判断
知识点一 函数迭代和数列的关系
已知函数满足，则一定有，故函数通过反复迭代产生的一系列数构成了数列或者记为，而数列的每一项与函数迭代的关系可以如下表所示：
下面以函数和数列
数列 ……
函数 ……
数列
数列
函数 16x+15 ……
可以发现：
①数列的递推式和函数的迭代式是有着相同的法则的，故数列的任何一项都在函数上．
②数列的通项公式是函数对迭代次的结果，即，每一次由于迭代产生出的因变量成为下一次迭代的自变量．
③数列的首项对整个数列有很大的影响，当迭代不断重复出现同一结果时，我们将其称为不动点．
知识点二 函数的迭代图像——蛛网图
函数的迭代图像，简称蛛网图或者折线图，函数和直线共同决定．
其步骤如下：
1．在同一坐标系中作出和的图像（草图），并确定不动点．（如图1所示）
图1 图2
2．在找出不动点之后，确定范围，将不动点之间的图像放大，并找出起始点（如图2所示）
3．由向作垂直于轴的直线与相交，并确定交点．
4．由向作平行于轴的直线与相交，并确定交点．
5．由向作垂直于轴的直线与相交，并确定交点．
重复4，5，直至找到点的最终去向．
知识点三 蛛网图与数列的单调性
定理1：的单调增区间存在两个不动点x1，x2（x1定理2：的单调增区间存在两个不动点x1，x2（x1综上可得，当的单调增区间位于上凸内或者下凹外时，即当迭代起点位于此区域时，一定有同理，当迭代起点位于单调增区间的上凸外或者下凹内时，一定有．
知识点四 数列的极限
根据蛛网图可知，当一数列为单调上凸曲线时，迭代点会无限靠近大的不动点，我们将这个大的不动点称为数列的极限，记为；当一数列为单调下凹曲线时，迭代点会无限靠近小的不动点，我们将这个小的不动点称为数列的极限，记为．
几种常见的函数迭代图（未画折线）
顶点为不动点抛物线 顶点为不动点的抛物线 横着的抛物线 二四象限反比例函数的平移函数
请思考：
知识点五 由反比例（递减函数）函数迭代构成的摆动数列
如下左图所示，当在区间为减函数时，和直线相交于不动点，那么由此函数迭代构成的数列为摆动数列，即奇数项和偶数项构成相反的单调性，但都螺旋靠近不动点，极限也是不动点．
左图所示，同时；如右图所示，
同时．
【例1】（2023 北京）数列满足，下列说法正确的是　　
A．若，则是递减数列，，使得时，
B．若，则是递增数列，，使得时，
C．若，则是递减数列，，使得时，
D．若，则是递增数列，，使得时，
【例2】（多选）已知数列的前项和为，，则下列选项正确的是　　
A． B．存在，使得
C． D．是单调递增数列，是单调递减数列
【例3】（多选）数列满足，，，则下列说法正确的是　　
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，数列单调递增，数列单调递减
【例4】（ 多选）已知数列的首项为，且，则　　
A．存在使数列为常数列 B．存在使数列为递增数列
C．存在使数列为递减数列 D．存在使得恒成立
跟踪训练
【训练1】已知数列满足，，则下列结论成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【训练2】已知数列满足：，．则下列说法正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
考向二 蛛网图与数列等比放缩（一级精度）
第一类 无不动点判断的趋势
若，在区间，且，为下凹函数，易知越来越大，故通过构造
的单调性，如图，当，且时，则一定有；
【例5】（2019 浙江）设，，数列满足，，，则　　
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
第二类 不动点判断的趋势
当，，若为两个不动点，如图所示，我们假设，此函数符合模型，则根据蛛网图，当时，则有，两个不动点为，，
如左图，，如右图，，如此对不动点蛛网图的斜率翻译放缩，称为数列放缩的一级精度。
我们通过几道例题来解析数列放缩的一级精度。
【例6】已知数列满足，，记数列前n项和为，则对于任意的，下列结论正确的是（ ）
存在，使 B.数列单调递增
C. D.
【例7】已知数列满足，，则　　
A．为单调递减数列 B．
C． D．
跟踪训练
【训练3】已知正项数列满足：，，则以下结论正确的是　　
A．若时，数列单调递减
B．若时，数列单调递增
C．若时，
D．若，数列的前项和，则
考向三 不动点与二次裂项
第一类 平方式可裂项递推型
（1）若有两个不动点，当且仅当一个不动点在顶点时，即，则一定有：，此时属于可求通项的递推模型，例如，此模型就是由于，不动点为，，且为的顶点，故能完成平方式递推；
（2）若仅有一个不动点，且不动点不在顶点时，则一定有：，此时属于可直接裂项相消求通项模型，例如，此模型就是由于，不动点为，且不是的顶点，故能完成裂项递推，我们做一下总结：
①
②
③
④
【例8】（2024 青羊区月考）已知数列满足，，，则
A．是递减数列 B．
C． D．
【例9】（2024 福建期中）数列满足，，则下列说法正确的是　　
A．若且，数列单调递减 B．若存在无数个自然数，使得，则
C．当或时，的最小值不存在 D．当时，
【训练4】在数列中，，，，设，若数列的前2025项和，则整数的最大值为　　 ．
第二类 对勾函数单不动点可裂项递推型
如果二次符合，那么对勾函数仅有一个不动点的模型也符合可裂项原理.
【例10】已知正项数列满足，则
A．为递增数列
B．
C．若，则存在大于1的正整数，使得
D．已知，则存在，使得
第三类 平方式立方式等比转化为等比递推型
（1）若有两个不动点，则一定有：，，此时通过蛛网图算出和取值范围，则可以进行两次等比放缩；
（2）若有三个不动点，且中间不动点为，且不动点不在对城中心时，则一定有：，通过蛛网图算出取值范围，则可以进行等比放缩
【例11】已知数列满足：，，其中，数列的前项和是，下列说法正确的是　　
A．当时，数列是递增数列
B．当时，若数列是递增数列，则，，
C．当时，
D．当，时，
【例12】设数列满足，其中为实数，数列的前项和是，下列说法不正确的是　　
A．当时，一定是递减数列 B．当时，不存在使是周期数列
C．当时，， D．当时，
考向四 蛛网图构造等比放缩升级为次裂项放缩（二级精度）
数列放缩的二级精度，是将不可裂项放缩的，通过等比放缩转化为可裂项放缩的模型，或者将可以裂项出来的二次函数模型，由等比定值转化为等差通项模型.
利用差分方程和等比放缩转化为次裂项放缩
第一类：若，则，利用二阶导和蛛网图判断，从而得到次裂项相消式子：；
【例13】已知数列满足，，记数列的前项和为，对恒成立，则下列说法正确的有　　
A．若，则数列为递减数列 B．若，则数列为递增数列
C．若，则的可能取值为 D．若，则
【例14】已知数列满足，，则下列说法正确的是　　
A． B．为递增数列
C． D．
第二类：若，则，利用二阶导和蛛网图判断，从而得到次裂项相消式子：；
【例15】（2021 浙江）已知数列满足，．记数列的前项和为，则　　
A． B． C． D．
【训练5】数列满足，，，表示数列前项和，则下列选项中错误的是　　
A．若，则 B．若，则递减
C．若，则 D．若，则
【训练6】已知数列满足，，则　　
A．的最大值为1 B．若，则
C． D．
考向五 裂项放缩升级为累加放缩（三级精度）
关于三级精度，通常需要在一级（等比）精度，二级（裂项）精度之上，进行通项与求和的综合放缩，其中浙江卷风格经常达到此精度.
如果可裂项式子，我们根据，可以得到二级精度，就是等差精度，，从而再次得出，这样就将由一级精度升级为二级精度，即从常数等比精度升级为可求通项精度.
在二级精度基础上，通过累加法，将二级精度升级为三级精度，即
，此时通过累加法，得到一个三级精度。
【例16】已知数列满足，．给出下列四个结论：
①数列每一项都满足；②数列的前项和；
③数列每一项都满足成立；④数列每一项都满足．
其中，所有正确结论的序号是　　
①④ B．②④ C．①③④ D．①②④
【例17】（2022 浙江）已知数列满足，，则　　
A． B． C． D．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑