资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
9.1 直线与圆
考向1 直线与方程
题型1 倾斜角、斜率、直线方程
一．直线与方程
1．直线的倾斜角和斜率
若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，
（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为
（2）倾斜角的取值范围
设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为
（3）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的
（4）越大，直线越陡峭
2.过两点的直线斜率公式
已知直线上任意两点，， 则
（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．
（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°
（四）三点共线
两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．
3．直线的方程
（一）直线的截距
若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距
（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）
（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线
名称 方程 适用范围
点斜式 不含垂直于x轴的直线
斜截式 不含垂直于x轴的直线
两点式 不含直线和直线
截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 平面直角坐标系内的直线都适用
直线方程的五种形式
题型一 求直线斜率和方程
【例1】已知直线的倾斜角为，则　　
A． B． C．1 D．2
【例2】若经过，两点的直线的倾斜角是，则　　
A． B． C．1 D．3
【例3】在下列四个命题中，正确的是　　
A．若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大
B．过点，的直线方程都可以表示为：
C．经过两个不同的点，，，的直线方程都可以表示为：
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
【例4】已知点，，若过的直线与线段相交，则实数的取值范围为　　
A． B． C．或 D．
【例5】已知直线经过定点，直线经过点，且的方向向量，则直线的方程为　　
A． B． C． D．
【例6】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
（1）求经过、两点的直线方程；
（2）求在轴、轴上的截距分别是、的直线方程；
（3）求经过点且斜率为的直线方程．
（三）直线系问题
概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系．它的方程称直线系方程．
（1）过定点直线系
过已知点的直线系方程（为参数）．
（2） 斜率为定值直线系
斜率为的直线系方程（是参数）．
（3）平行直线系
与已知直线平行的直线系方程（为参数）．
（4）垂直直线系
与已知直线垂直的直线系方程（为参数）．
（5）过两直线交点的直线系
过直线与的交点的直线系方程：（为参数）．（重点掌握）
【例7】已知直线与，求经过的交点且与已知直线平行的直线的方程．
【例8】求证：为任意实数时，直线恒过一定点，并求点坐标．
【例9】求过直线：与直线：的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
【解题总结】
跟踪训练
【训练1】已知直线的倾斜角为，则实数　　
A． B． C． D．
【训练2】若直线经过两点，且倾斜角为，则的值为　　
A．2 B． C．1 D．
【训练3】（多选）下列说法中不正确的是　　
A．直线与轴交于一点，其中截距
B．过点，且斜率为4的直线方程为
C．在轴和轴上的截距分别为与的直线方程是
D．方程表示过点，，，的直线
【训练4】（多选）已知点，，斜率为的直线过点，则下列满足直线与线段相交的斜率取值范围是　　
A． B． C． D．
【训练5】不论为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其，是正实数，则的最小值是 　　．
【训练6】求下列直线的方程：
（1）的倾斜角是，在轴上的截距是；
（2）在轴、轴上的截距分别是、4；
（3）直线经过点、．
【训练7】求经过两直线和的交点且与直线平行的直线方程．
题型2 位置关系
直线：，直线：，若，则；若，则.（此处注意与向量的区别）
【例1】“”是“直线与直线平行”的　　
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【例2】直线，，若，则　 　．
跟踪训练
【训练8】设，则“”是“直线与直线平行”的　　
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【训练9】已知直线和直线垂直，则实数的值为 　　．
题型3 距离问题
（一）两点间距离 设，则．
（二）点到直线距离 设，，则点到直线的距离．
（三）两平行线间距离 ，，则的距离为．
【例,1】已知点到直线的距离为1，则的值为　　
A．或 B．或15 C．5或 D．5或15
【例2】已知直线，相互平行，则、之间的距离为　　
A． B． C． D．
【例3】（2020 新课标Ⅲ）点到直线距离的最大值为　　
A．1 B． C． D．2
【例4】求函数y=+的最小值．
【例5】已知两点、，直线，在直线上求一点．
（1）使最小；
（2）使最大．
【例6】（2014 四川）设，过定点的动直线和过定点的直线交于点，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【例7】（多选）在平面直角坐标系中，设定点，是函数图象上一动点．若点，之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为　　
A． B． C．1 D．
【解题总结】
跟踪训练
【训练10】点到直线的距离是　　
A． B． C． D．
【训练11】已知直线与平行，则与的距离为　　
A． B． C． D．
【训练12】（2018 北京）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离．当、变化时，的最大值为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【训练13】（已知x，y∈R，S＝＋，则S的最小值是(　　)
A．0 B．2 C．4 D.
【训练14】求函数的最小值．
题型4 对称问题
两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：
（1）点关于x轴的对称点为．
（2）点关于y轴的对称点为．
（3）点关于原点的对称点为．
（4）点关于直线x－y=0的对称点为．
（5）点关于直线x+y=0的对称点为．
（6）点关于直线x－y+c=0的对称点为．
（7）点关于直线x+y+c=0的对称点为．
（一）点关于直线对称
点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．
策略：点关于直线对称的妙解公式，设点关于直线
对称的点为，则坐标为，其中．
定理1：点关于直线对称的点坐标为．
点关于直线对称的点坐标为．
直线关于直线对称的直线方程为．
直线关于直线对称的直线方程为．
直线关于点对称的直线方程为．
定理2：点关于直线对称的点坐标为．
点关于直线对称的点坐标为．
直线关于直线对称的直线方程为；
直线关于直线对称的直线方程为；
关于定理2，只需记住或者
【例1】已知点与关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【例2】点关于直线的对称点坐标是　　
A． B． C． D．
【例3】已知直线，试求：①点P(4 , 5)关于的对称坐标；②直线关于直线的对称的直线方程．
【例4】设直线与关于直线对称，则直线的方程是　
A． B． C． D．
【例5】如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程为 　　．
【解题总结】
跟踪训练
【训练15】点关于直线的对称点的坐标为　　
A． B． C． D．
【训练16】直线关于点对称的直线方程为　　
A． B． C． D．
【训练17】设直线，直线，则关于对称的直线方程为
A． B． C． D．
【训练18】线从出发，经，两直线反射后，仍返回到点．则光线从点出发回到点所走的路程长度（即图中周长）为 　 　．
考向2 圆与方程
题型1 圆的方程
1．圆的方程
（1）圆的定义
在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆
（2）圆的标准方程
设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为：
（3）圆的一般方程
圆方程为，圆心坐标：，半径：
①的系数相同，方程中无项
②对于的取值要求：
③以 为直径端点的圆的方程为
（4）确定圆心的位置：
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
②圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．
③两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
（5）求圆方程的方法：
①几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程
②待定系数法：
a．根据题意，选择标准方程或一般方程；
b．根据条件列出关于或的方程组；
c．解出或，代入标准方程或一般方程
③相关点法（代入法）
若所求轨迹上的动点与另一个已知曲线上的动点存在着某种联系，可设点，用点P的坐标表示出来点，然后代入曲线方程，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法（或称代入法）．
④换元法（参数方程法）
若圆心为点，半径为，则可将圆上的点换元为为．其中为参数，．
【例1】“”是“方程表示圆的方程”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例2】（2022 甲卷）设点在直线上，点和均在上，则的方程为 　 　．
【例3】（2022 乙卷）过四点，，，中的三点的一个圆的方程为 　　 ．
【例4】已知圆经过，，三点．
（1）求圆的方程；
（2）设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为，求的方程．
【解题总结】
跟踪训练
【训练1】方程不能表示圆，则实数的值为　　
A．0 B．1 C． D．2
【训练2】（2016 天津）已知圆的圆心在轴正半轴上，点在圆上，且圆心到直线的距离为，则圆的方程为　 　．
【训练3】（2018 天津）在平面直角坐标系中，经过三点，，的圆的方程为 　　．
【训练4】已知圆的圆心在直线上，且与轴交于两点，．
（1）设圆与直线交于，两点，求的值；
（2）已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程．
题型2 位置关系
2．位置关系
（1）点与圆的位置关系
法一 点与圆：的位置关系：
若在圆外，则；若在圆上，则；
若在圆内，则．
法二 点与圆：的位置关系：
若在圆外，则 ，若在圆上，则，若在圆内，则
（2）直线与圆的位置关系
直线与圆相交，有两个公共点；直线与圆相切，只有一个公共点；直线与圆相离，没有公共点．
（3）判断直线与圆的位置关系的方法
几何法：利用圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系．相交；相切；相离
代数法：联立直线方程与圆方程，得到关于的一元二次方程
则判别式
（4）圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为 ，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
【例1】若点在圆的外部，则的取值可能为　　
A． B．1 C．4 D．7
【例2】（2022 北京）若直线是圆的一条对称轴，则　　
A． B． C．1 D．
【例3】（2021 多选 新高考Ⅱ）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是　　
A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆外，则直线与圆相离
C．若点在直线上，则直线与圆相切 D．若点在圆内，则直线与圆相离
【例4】（2016 山东）已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是　　
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【解题总结】
跟踪训练
【训练5】若点在圆的外部，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【训练6】若直线是圆的一条对称轴，则　　
A．0 B．1 C．2 D．4
【训练7】直线与圆的位置关系为 　　．
【训练8】（2014 湖南）若圆与圆外切，则　
A．21 B．19 C．9 D．
题型3 切线问题与弦长问题
（1）圆的切线方程的求法
①点在圆上，
法一 利用切线的斜率与圆心和切点连线的斜率的乘积等于，即．
法二 圆心到直线的距离等于半径．
②点在圆外，则设切线方程：
，变成一般式，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
（2）常见圆的切线方程
过圆上一点的切线方程是；
过圆上一点的切线方程是．
过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为
过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论．
4．弦长问题
①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．
②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：．
【例1】（2018 新课标Ⅰ）直线与圆交于，两点，则　　．
【例2】（2023 新高考Ⅱ）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 　 　．
【例3】（2023 新高考Ⅰ）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则　　
A．1 B． C． D．
【例4】过点引圆的切线，则切线的方程为　　
A．或 B．
C．或 D．
【例5】在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，切点分别为，．则直线的方程为　　
A． B． C． D．
【例6】已知圆与圆有两条公切线，则实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【例7】（2023 乙卷）已知的半径为1，直线与相切于点，直线与交于，两点，为的中点，若，则的最大值为　　
A． B． C． D．
【例8】（2021 多选 新高考Ⅰ）已知点在圆上，点，，则　　
A．点到直线的距离小于10 B．点到直线的距离大于2
C．当最小时， D．当最大时，
【例9】已知为圆的弦，且点为的中点，点为平面内一动点，若，则　　
A．点构成的图象是一条直线 B．点构成的图象是一个圆
C．的最小值为2 D．的最小值为3
【解题总结】
跟踪训练
【训练9】（2022 天津）若直线与圆相交所得的弦长为，则　 　．
【训练10】（2018 新课标Ⅲ）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【训练11】过点引的两条切线，这两条切线夹角的余弦值为　　
A． B． C． D．
【训练12】过点作与圆相切的直线，则直线的方程为　　
A． B．
C．或 D．或
【训练13】设点为直线上任意一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则直线必过定点　　
A． B． C． D．
【训练14】已知圆与圆，则两圆的公切线条数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
题型4 动点与距离问题
与圆有关的长度或距离的最值问题的解法，一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
（1）形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题．
（2）形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题．
（3）形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题
【例1】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆，则面积的取值范围是　　
A． B． C．， D．，
【例2】（2023 乙卷）已知实数，满足，则的最大值是　　
A． B．4 C． D．7
【例3】已知直线上存在点，使得过点可作两条直线与圆分别切于点，，且，则实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【例4】若直线与曲线有公共点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例5】（多选）已知实数，满足方程，则下列说法正确的是　　
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最大值为
跟踪训练
【训练15】圆上的点到直线距离的取值范围是　　
A．， B． C．， D．
【训练16】点在圆上运动，则的取值范围　　
A．， B．， C．， D．，
【训练17】已知点为直线上的动点，若在圆上存在两点，，使得，则点的横坐标的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
【训练18】若过点且斜率为的直线与曲线有且只有一个交点，则实数的值不可能是　　
A． B． C． D．2
【训练19】（多选）已知实数，满足方程，则下列说法中正确的有　　
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最大值为
拓展思维
拓展1 阿氏圆
一般地，平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”．特殊地，当时，点P的轨迹是线段AB的中垂线．
求证：已知动点P与两定点A、B的距离之比为，那么点P的轨迹是什么？
证明：
【例1】古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足．当、、三点不共线时，面积的最大值为　　
A．24 B．12 C．6 D．
【例2】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点、的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为　　
A． B． C． D．
拓展2 米勒定理与角度问题
米勒定理：已知点，是的边上的两个定点，点是边上的一动点，则当且仅当三角形的外接圆与边相切于点时，最大．
证明：如图，设是边上不同于点的任意一点，连结，’交圆于点,因为是圆外角，是圆周角，易证,故最大．
根据切割线定理得，，即，于是我们有：最大等价于三角形的外接圆与边相切于点等价于
【例1】几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点，是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大．”如图，其结论是：点为过，两点且和射线相切的圆与射线的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是　　
A．2 B．6 C．2或6 D．1或3
【例2】德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理” ：若点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．在平面直角坐标系中，已知点，，点是轴负半轴的一个动点，当最大时，的外接圆的方程是　　
A． B．
C． D．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
9.1 直线与圆课后练习
1．（2024 百色月考）直线的倾斜角是　　
A． B． C． D．
2．（2024 重庆月考）过点和的直线斜率等于1，那么的值等于　　
A．1或3 B．4 C．1 D．1或4
3．（2024 广东模拟）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是　　
A．， B．
C． D．
4．（2024 厦门模拟）若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为　　
A． B． C． D．
5．（2010 安徽）过点且与直线平行的直线方程是　　
A． B． C． D．
6．（2007 天津）“”是“直线平行于直线”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024 杭州期中）已知直线与平行，则的值是　　
A．1 B．1或2 C．5 D．2或5
8．（2024 甘肃月考）直线与直线互相垂直，则　　
A．0 B．1 C．2 D．
9．（2024 湖南月考）下列说法正确的是　　
A．过，，，两点的直线方程为
B．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为
C．点关于直线的对称点为
D．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8
10．（2024 广州期中）已知点，点在直线上，则的最小值为　　
A． B． C． D．4
11．（2024 白银期中）直线经过定点，则点的横坐标与纵坐标之和为　　
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（2024 福建期中）已知直线恒过点，则的坐标为　　
A． B． C． D．
13．（2024 北京模拟）点，到两条直线：，距离相等，，则的取值范围是　　
A． B．
C． D．
14．（2024 长春模拟）点关于直线的对称点的坐标为　　
A． B． C． D．
15．（2024 四川月考）直线关于直线对称的直线方程是　　
A． B． C． D．
16．（2015 山东）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为　　
A．或 B．或 C．或 D．或
17．（2013 湖南）在等腰直角三角形中，，点是边边上异于的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点（如图），若光线经过的重心，则等于　　
A．2 B．1 C． D．
18．（2024 江苏月考）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为　　
A．， B．，
C．， D．，
19．（2024 陕西期中）过四点，，，中的三点的圆的方程可能为　　
A． B．
C． D．
20．（2024 内蒙古月考）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的正切值为　　
A． B． C． D．0
21．（2020 新课标Ⅰ）已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
22．（2020 新课标Ⅰ）已知，直线，为上的动点．过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为　　
A． B． C． D．
23．（2024 沈阳期中）若圆与圆恰有3条公切线，则　　
A． B． C． D．
24．（2024 四川模拟）已知圆，直线，直线与圆交于、，则的最大值为　　
A．1 B． C． D．
25．（2024 鄂托克旗期中）已知是坐标原点，若圆上有2个点到的距离为2，则实数的取值范围为　　
A． B．， C． D．，
26．（2024 多选 南京月考）下列说法中错误的是　　
A．不过原点的直线都可以用方程表示
B．若直线，则两直线的斜率相等
C．过两点，，，的直线都可用方程表示
D．若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直
27．（2021 多选 新高考Ⅰ）已知点在圆上，点，，则　　
A．点到直线的距离小于10 B．点到直线的距离大于2
C．当最小时， D．当最大时，
28．（2024 多选 深圳模拟）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是　　
A．圆上点到直线的最大距离为
B．若点在圆上，则的取值范围是，
C．若点在圆上，则的最小值是1
D．圆与圆有公共点，则的取值范围是，
29．（2016 上海）已知平行直线，，则，的距离　　．
30．（2020 上海）已知直线，，若，则与的距离为 　　．
31．（2020 天津）已知直线和圆相交于，两点．若，则的值为 　　．
32．（2024 北京模拟）分别求满足下列条件的直线方程：
（1）过点且与直线垂直的直线方程；
（2）过点且与直线平行的直线方程；
（3）求过点，斜率是直线的斜率的的直线方程；
（4）求过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的直线方程．
33．（2024 山东月考）的三个顶点是，，，求：
（1）边上的中线所在直线的方程；
（2）边上的高所在直线的方程．
34．（2024 临川模拟）已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上．
（1）求定点的坐标；
（2）求圆的方程；
（3）已知点为圆直径的一个端点，若另一个端点为点，问：在轴上是否存在一点，使得为直角三角形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
35．（2024 广西模拟）若圆与圆外切．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若圆与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点，为第三象限内一点，且点在圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)9.1 直线与圆课后练习
1．（2024 百色月考）直线 3x y 3 0的倾斜角是 ( )
A B C 2 D 5 ． ． ． ．
6 3 3 6
2．（2024 重庆月考）过点 P( 2,m)和Q(m, 4)的直线斜率等于 1，那么m的值等于 ( )
A．1或 3 B．4 C．1 D．1或 4
3．（2024 广东模拟）设直线 l的方程为 x y sin 2 0，则直线 l的倾斜角 的范围是 ( )
A． [0 ] B [ ， ． , ]
4 2
C 3 3 ． [ , ] D． [ , ) ( , ]
4 4 4 2 2 4
4．（2024 厦门模拟）若直线 l的一个方向向量为 (1, 3)，则它的倾斜角为 ( )
A．30 B． 60 C．120 D．150
5．（2010 安徽）过点 (1,0)且与直线 x 2y 2 0平行的直线方程是 ( )
A． x 2y 1 0 B． x 2y 1 0 C． 2x y 2 0 D． x 2y 1 0
6．（2007 天津）“ a 2”是“直线 ax 2y 0平行于直线 x y 1”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024 杭州期中）已知直线 l1 : (k 2)x (4 k)y 1 0与 l2 : 2(k 2)x 2y 3 0平行，则 k的值是 ( )
A．1 B．1或 2 C．5 D．2或 5
8．（2024 甘肃月考）直线 l1 : ax 2y 3 0与直线 l2 : x (a 1)y 2 0互相垂直，则 a ( )
A．0 B．1 C．2 D． 1
9．（2024 湖南月考）下列说法正确的是 ( )
A．过 (x1 ， y1)， (x2 ， y )
y y x x
2 两点的直线方程为
1 1
y2 y1 x2 x1
B．过点 A(1,4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 x y 3 0
C．点 (1,0)关于直线 y x的对称点为 ( 1,0)
D．直线 x y 4 0与两坐标轴围成的三角形的面积是 8
10．（2024 广州期中）已知点 A(2,1)，点 B在直线 x y 3 0上，则 | AB |的最小值为 ( )
A． 5 B． 26 C． 2 2 D．4
11．（2024 白银期中）直线 (m n)x (3m n)y 6m 2n 0 经过定点 A，则点 A的横坐标与纵坐标之和为 (
)
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（2024 福建期中）已知直线 kx y 6k 2 0恒过点 P，则 P的坐标为 ( )
A． (0, 2) B． ( 2,0) C． (6, 2) D． ( 6,2)
13．（2024 北京模拟）点M (x0，y0 )到两条直线：x 3y
y
2 0，x 3y 6 0距离相等，y0 x 00 2，则 x0
的取值范围是 ( )
A 1 1．[ ,0) B． ( , ) (0, )3 3
C ( 1 1． ,0) D． ( , )
3 3
14．（2024 长春模拟）点 P(2,0)关于直线 l : x y 1 0的对称点Q的坐标为 ( )
A． ( 1, 3) B． ( 1, 4) C． (4,1) D． (2,3)
15．（2024 四川月考）直线 x 2y 1 0关于直线 y x 0对称的直线方程是 ( )
A． 2x y 1 0 B． 2x y 1 0 C． 2x y 1 0 D． x 2y 1 0
16．（2015 山东）一条光线从点 ( 2, 3)射出，经 y轴反射后与圆 (x 3)2 (y 2)2 1相切，则反射光线所
在直线的斜率为 ( )
A 5 3 B 3 2 C 5 4 D 4 3． 或 ． 或 ． 或 ． 或
3 5 2 3 4 5 3 4
17．（2013 湖南）在等腰直角三角形 ABC中， AB AC 4，点 P是边 AB边上异于 AB的一点，光线从点
P出发，经 BC，CA反射后又回到点 P（如图），若光线QR经过 ABC 的重心，则 AP等于 ( )
A 2 B 1 C 8 D 4． ． ． ．
3 3
18．（2024 江苏月考）如图，一次函数 y x 4的图象与 x轴， y轴分别交于点 A， B，点C( 2,0)是 x轴
上一点，点 E， F 分别为直线 y x 4和 y轴上的两个动点，当 CEF周长最小时，点 E， F 的坐标分别
为 ( )
A． E( 5 3 , )， F (0,2) B． E( 2,2)， F (0,2)
2 2
C E( 5 , 3 2． )， F (0, ) D． E( 2,2)， F (0, 2)
2 2 3 3
19．（2024 陕西期中）过四点 (0,0)， (4,0)， ( 1,1)， (4,2)中的三点的圆的方程可能为 ( )
A． x2 y2 4x 2y 5 0 B (x 8． )2 (y 1)2 9
5 5
C． (x 4 )2 (y 7 )2 22 D． (x 2)2 (y 3)2 13
3 3
20．（2024 内蒙古月考）从圆 x2 2x y2 2y 1 0外一点 P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的
正切值为 ( )
A 4． B 3． C 3． D．0
3 5 2
21．（2020 新课标Ⅰ）已知圆 x2 y2 6x 0，过点 (1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
22．（2020 新课标Ⅰ）已知 M : x2 y2 2x 2y 2 0，直线 l : 2x y 2 0，P为 l上的动点．过点 P作
M 的切线 PA， PB，切点为 A， B，当 | PM | | AB |最小时，直线 AB的方程为 ( )
A． 2x y 1 0 B． 2x y 1 0 C． 2x y 1 0 D． 2x y 1 0
23．（2024 沈阳期中）若圆C : x21 y
2 4与圆C 22 : (x a) (y 1)
2 1恰有 3条公切线，则 a ( )
A． 2 2 B． 3 C． 2 D． 1
24．（2024 四川模拟）已知圆C : (x 1)2 (y 2)2 25，直线 l : (2m 1)x (m 1)y 7m 4 0 ，直线 l与圆
C交于 A、 B，则 sin ACB的最大值为 ( )
A 1 B 4 C 2 5． ． ． D 3．
5 5 5
25．（2024 鄂托克旗期中）已知O是坐标原点，若圆C : x2 y2 6x 8y a 0上有 2个点到O的距离为 2，
则实数 a的取值范围为 ( )
A． ( 24,16) B． [ 24，16] C． ( 16,24) D． [ 16， 24]
26．（2024 多选 南京月考）下列说法中错误的是 ( )
A x y．不过原点的直线都可以用方程 1表示
a b
B．若直线 l1 / /l2 ，则两直线的斜率相等
C．过两点 P1(x1， y1)， P2 (x2， y2 )的直线都可用方程 (x x1)(y2 y1) (y y1)(x2 x1)表示
D．若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直
27．（2021 多选 新高考Ⅰ）已知点 P在圆 (x 5)2 (y 5)2 16上，点 A(4,0)， B(0,2)，则 ( )
A．点 P到直线 AB的距离小于 10 B．点 P到直线 AB的距离大于 2
C．当 PBA最小时， | PB | 3 2 D．当 PBA最大时， | PB | 3 2
28．（2024 多选 深圳模拟）瑞士著名数学家欧拉在 1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同
一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作 ABC ，AB AC，点 B( 2,4)，
点C(5, 3)，且其“欧拉线”与圆M : (x 5)2 y2 r2 相切，则下列结论正确的是 ( )
A．圆M 上点到直线 x y 3 0的最大距离为 4 2
B．若点 (x, y) y在圆M 上，则 的取值范围是 [ 1，1]
x 1
C．若点 (x, y)在圆M 上，则 x y的最小值是 1
D．圆 (x a 1)2 (y a)2 2与圆M 有公共点，则 a的取值范围是 [2 5 ， 2 5]
29．（2016 上海）已知平行直线 l1 : 2x y 1 0， l2 : 2x y 1 0，则 l1， l2 的距离 ．
30．（2020 上海）已知直线 l1 : x ay 1， l2 : ax y 1，若 l1 / /l2 ，则 l1 与 l2 的距离为 ．
31．（2020 天津）已知直线 x 3y 8 0和圆 x2 y2 r2 (r 0)相交于 A，B两点．若 | AB | 6，则 r 的值
为 ．
32．（2024 北京模拟）分别求满足下列条件的直线方程：
（1）过点 (3,1)且与直线 y 3x 1垂直的直线方程；
（2）过点 (1,2)且与直线 2x y 10 0 平行的直线方程；
（3）求过点 A(0, 2) 1，斜率是直线 y 6x 1的斜率的 的直线方程；
4
（4）求过点 A( 1,3)，且在 x轴上的截距等于在 y轴上截距的直线方程．
33．（2024 山东月考） ABC的三个顶点是 A(4,0)， B(6,7)，C(0,3)，求：
（1）边 BC上的中线所在直线的方程；
（2）边 BC上的高所在直线的方程．
34．（2024 临川模拟）已知直线 l : (k 1)x 2y 5 3k 0(k R) 恒过定点 P，圆C经过点 A(4,0)和点 P，
且圆心在直线 x 2y 1 0上．
（1）求定点 P的坐标；
（2）求圆C的方程；
（3）已知点 P为圆C直径的一个端点，若另一个端点为点Q，问：在 y轴上是否存在一点M (0,m)，使得
PMQ为直角三角形，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
35．（2024 广西模拟）若圆C1 : x
2 y2 m与圆C2 : x
2 y2 6x 8y 16 0外切．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若圆C1与 x轴的正半轴交于点 A，与 y轴的正半轴交于点 B， P为第三象限内一点，且点 P在圆C1
上，直线 PA与 y轴交于点M ，直线 PB与 x轴交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值．9.1 直线与圆
考向 1 直线与方程
题型 1 倾斜角、斜率、直线方程
一．直线与方程
1．直线的倾斜角和斜率
若直线 l与 x轴相交，则以 x轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与 l重合所成的角称为直线 l的倾斜
角，
（1）若直线与 x轴平行（或重合），则倾斜角为0
（2）倾斜角的取值范围 [0， )
设直线的倾斜角为 ，则 的正切值称为直线的斜率，记为 k tan
（3）当

时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的
2
（4） k 越大，直线越陡峭
2.过两点的直线斜率公式
已知直线上任意两点， A(x y ) B(x y2 y11， 1 ， 2 ，y2 ) 则 k x2 x1
（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．
（2）若 x1 x2 ，则直线 AB的斜率不存在，此时直线的倾斜角为 90°
（四）三点共线
两直线 AB，AC 的斜率相等→ A、B、C三点共线；反过来， A、B、C三点共线，则直线 AB，AC 的斜率相
等（斜率存在时）或斜率都不存在．
3．直线的方程
（一）直线的截距
若直线 l与坐标轴分别交于 (a ，0 )，(0 ，b ) ，则称 a，b分别为直线 l的横截距，纵截距
（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为 0（不要顾名思义误认为与“距
离”相关）
（2）横纵截距均为 0 的直线为过原点的非水平非竖直直线
（二）直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y y1 k x x1 不含垂直于 x轴的直线
斜截式 y kx b 不含垂直于 x轴的直线
y y1 x x 1两点式 不含直线 x x1(x1 x2 )和直线y y x x y y1(y1 y2 )2 1 2 1
x y
截距式 1a b 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax By C 0(A2 B2 0) 平面直角坐标系内的直线都适用
题型一 求直线斜率和方程
【例 1】已知直线 ax 2y 4的倾斜角为135 ，则 a ( )
A． 2 B． 1 C．1 D．2
【例 2】若经过 A(m 1,3)， B(m,1 m) 3 两点的直线的倾斜角是 ，则m ( )
4
A． 3 B． 1 C．1 D．3
【例 3】在下列四个命题中，正确的是 ( )
A．若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大
B．过点 P(x0 ， y0 )的直线方程都可以表示为： y y0 k(x x0 )
C．经过两个不同的点 P1(x1，y1)，P2 (x2，y2 )的直线方程都可以表示为：(y y1)(x2 x1) (x x1)(y2 y1)
D．经过点 (1,1)且在 x轴和 y轴上截距都相等的直线方程为 x y 2 0
【例 4】已知点 A(2,0)， B(0,4)，若过 P( 6, 8)的直线 l与线段 AB相交，则实数 k的取值范围为 ( )
A． k 1 B． k 2 C． k 2或 k 1 D．1 k 2

【例 5】已知直线 l : (2m 1)x (m 1)y m 0经过定点 P，直线 l 经过点 P，且 l 的方向向量 a (3,2)，
则直线 l 的方程为 ( )
A． 2x 3y 5 0 B． 2x 3y 5 0 C．3x 2y 5 0 D．3x 2y 5 0
【例 6】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
（1）求经过 A( 1,5)、 B(2,1)两点的直线方程；
（2）求在 x轴、 y轴上的截距分别是 3、 1的直线方程；
（3）求经过点Q( 1,2)且斜率为 2的直线方程．
（三）直线系问题
概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系．它的方程称直线系方程．
（1）过定点直线系
过已知点 P(x0 ，y0 )的直线系方程 y y0 k (x x0 )（ k为参数）．
（2） 斜率为定值直线系
斜率为 k的直线系方程 y kx b（ b是参数）．
（3）平行直线系
与已知直线 Ax By C 0平行的直线系方程 Ax By 0（ 为参数）．
（4）垂直直线系
与已知直线 Ax By C 0垂直的直线系方程 Bx Ay 0（ 为参数）．
（5）过两直线交点的直线系
过直线 l1 : A1x B1y C1 0 与 l2 : A2x B2 y C2 0的交点的直线系方程：
A1x B1y C1 (A2x B2 y C2 ) 0（ 为参数）．（重点掌握）
【例 7】已知直线 l1 : x y 2 0与 l2 : 2x 3y 3 0，求经过的交点且与已知直线 3x y 1 0平行的直线
L的方程．
【例 8】求证：m为任意实数时，直线 (m 1)x (2m 1)y m 5恒过一定点 P，并求 P点坐标．
【例 9】求过直线： x 2y 1 0与直线： 2x y 1 0的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
【解题总结】
跟踪训练
【训练 1】已知直线 l : x ay 6 0的倾斜角为 60 ，则实数 a ( )
A 3 B 3． ． C 3． D． 3
3 3
【训练 2】若直线经过两点 A(2, m)， B( m, 2m 1)且倾斜角为135 ，则m的值为 ( )
A 2 B 3． ． C．1 D 3．
2 2
【训练 3】（多选）下列说法中不正确的是 ( )
A．直线 y kx b与 y轴交于一点 B(0,b)，其中截距 b |OB |
B．过点 P(1,2) y 2，且斜率为 4的直线方程为 4
x 1
C．在 x轴和 y轴上的截距分别为 a b x y与 的直线方程是 1
a b
D．方程 (x2 x1)(y y1) (y2 y1)(x x1)表示过点 P1(x1， y1)， P2 (x2， y2 )的直线
【训练 4】（多选）已知点 A(2, 3)，B( 3, 2)，斜率为 k的直线 l过点 P(1,1)，则下列满足直线 l与线段 AB
相交的斜率 k取值范围是 ( )
A． k 3 B 3． k 4 C． 4 k 0 D． 0 k
4 4
【训练 5】不论 k为任何实数，直线 (2k 1)x (k 3)y (k 11) 0 恒过定点，若直线mx ny 2过此定点
m 3 1其 ， n是正实数，则 的最小值是 ．
m 2n
【训练 6】求下列直线 l的方程：
2
（1） l的倾斜角是 ， l在 x轴上的截距是 3；
3
（2） l在 x轴、 y轴上的截距分别是 2、4；
（3）直线 l经过点 A(2,1)、 B(1, 2)．
【训练 7】求经过两直线 2 x 3 y 3 0 和 x y 2 0 的交点且与直线 3 x y 1 0 平行的
直线方程．
题型 2 位置关系
直线 l1： y k1x b1，直线 l2： y k2x b2 ，若 l1 // l2 ，则 k1 k2；若 l1 l2 ，则 k1 k2 1.（此处注意与
向量的区别）
1 1
【例 1】“m 1”是“直线 l1 :mx 2y 1 0与直线 l2 : x my 0平行”的 ( )2 2
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【例 2】直线 l1 : ax (a 1)y 1 0， l2 : (a 1)x 2y 3 0，若 l1 l2，则 a ．
跟踪训练
【训练 8】设 a R，则“ a 1”是“直线 l1 : ax 2y 1 0与直线 l2 : x (a 1)y 4 0平行”的 ( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【训练 9】已知直线 l1 : ax 2y 6 0和直线 l2 : x (a 1)y a
2 1 0垂直，则实数 a的值为 ．
题型 3 距离问题
（一）两点间距离 设 A(x1，y1)，B(x2，y2 )，则 AB (x1 x2)
2 (y y )21 2 ．
Ax By C
（二）点到直线距离 设 P(x0 ，y0 )， l : Ax By C 0，则点 P到直线 l的距离 d
0 0 ．
A2 B2
C C
（三）两平行线间距离 l1 : Ax By C1 0， l2 : Ax By C2 0 ，则 l ，l 的距离为 d
1 2
1 2 ．
A2 B2
【例,1】已知点 P( 1,2)到直线 l : 4x 3y m 0的距离为 1，则m的值为 ( )
A． 5或 15 B． 5或 15 C．5或 15 D．5或 15
【例 2】已知直线 l1 : x 2y 2 0， l2 : 2x 4y 3 0相互平行，则 l1 、 l2 之间的距离为 ( )
A 5 B 5 2 5 5． ． C． D．
10 5 5 2
【例 3】（2020 新课标Ⅲ）点 (0, 1)到直线 y k(x 1)距离的最大值为 ( )
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【例 4】求函数 y= x2 9 + x2 8x 41的最小值．
【例 5】已知两点 A(2 , 3)、 B(4 ,1)，直线 l : x 2y 2 0，在直线 l上求一点 P．
（1）使 PA PB 最小；
（2）使 PA PB 最大．
【例 6】（2014 四川）设m R，过定点 A的动直线 x my 0和过定点 B的直线mx y m 3 0交于点
P(x, y)，则 | PA | | PB |的取值范围是 ( )
A．[ 5， 2 5] B． [ 10 ， 2 5] C． [ 10 ， 4 5] D．[2 5， 4 5]
1
【例 7】（多选）在平面直角坐标系 xOy中，设定点 A(a,a)， P是函数 y (x 0)图象上一动点．若点 P，
x
A之间的最短距离为 2 2，则满足条件的实数 a的所有值为 ( )
A． 10 B． 10 C．1 D． 1
【解题总结】
跟踪训练
【训练 10】点 (2,1)到直线 l : x 2y 2 0 的距离是 ( )
A 2 B 2 5 C 4 5 D 6 5． ． ． ．
5 5 5 5
【训练 11】已知直线 l1 : x ay 1 0与 l2 : 2x y 1 0平行，则 l1 与 l2 的距离为 ( )
A 1 B 5 3 3 5． ． C． D．
5 5 5 5
【训练 12】（2018 北京）在平面直角坐标系中，记 d为点 P(cos ,sin )到直线 x my 2 0的距离．当 、
m变化时， d的最大值为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【训练 13】（已知 x，y∈R，S＝ x＋1 2＋y2＋ x－1 2＋y2，则 S的最小值是( )
A．0 B．2 C．4 D. 2
【训练 14】求函数 y x 2 8 x 20 x 2 1 的最小值．
题型 4 对称问题
两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：
（1）点 (x , y)关于 x轴的对称点为 (x , y)．
（2）点 (x , y)关于 y轴的对称点为 ( x , y)．
（3）点 (x , y)关于原点的对称点为 ( x , y)．
（4）点 (x , y)关于直线 x－y=0的对称点为 (y , x)．
（5）点 (x , y)关于直线 x+y=0的对称点为 ( y , x)．
（6）点 (x , y)关于直线 x－y+c=0的对称点为 (y c , x c)．
（7）点 (x , y)关于直线 x+y+c=0的对称点为 ( c y , c x)．
（一）点关于直线对称
点 P(x1，y1)关于直线 l : Ax By C 0对称的点为 P (x2 ，y2 )，连接 PP ，交 l于M 点，则 l垂直平分 PP ，
kl kPP 1
所以 PP l ，且M 为 PP

中点，又因为M 在直线 l上，故可得
A x1 x2 B y1 y
，解出 (x ，y )

2 C 0 2 2
2 2
即可．
策略：点关于直线对称的妙解公式，设点 P(x1，y1)关于直线 l : Ax By C 0
Ax By C
对称的点为 P (x2 ，y2 )，则 P (x2 ，y2 )坐标为 (x1 2At，y1 2Bt) ，其中 t 1 1A2 B2
．
定理 1：点 A(x0 , y0 )关于直线 l : x m对称的点坐标为 A 2m x0 , y0 ．
点 A(x0 , y0 )关于直线 l : y n对称的点坐标为 A x0 ,2n y0 ．
直线 l1 : Ax By C 0关于直线 l : x m对称的直线方程为 l2 : A 2m x By C 0．
直线 l1 : Ax By C 0关于直线 l : y n对称的直线方程为 l2 : Ax B 2n y C 0．
直线 l1 : Ax By C 0关于点 (m，n)对称的直线方程为 l2 : A(2m x) B 2n y C 0．
定理 2：点 A x0 , y0 关于直线 l : x y C 0对称的点坐标为 A C y0 , C x0 ．
点 A x0 , y0 关于直线 l : x y C 0对称的点坐标为 A C y0 ,C x0 ．
直线 l1 : Ax By C 0关于直线 l : x y C 0对称的直线方程为 l2 : A C y B C x C 0；
直线 l1 : Ax By C 0关于直线 l : x y C 0对称的直线方程为 l2 : A C y B C x C 0；
x0 y C 0 y C x x y C 0 y C x关于定理 2，只需记住 0 或者 0 0
x y0 C 0

x C y

0 x y0 C 0

x C y0
【例 1】已知点M (a , b)与 N关于 x轴对称，点 P与点 N关于 y轴对称，点Q与点 P关于直线 x y 0对称，
则点Q的坐标为（ ）
A． (a , b) B． (b , a) C． ( a , b) D． ( b , a)
【例 2】点 (1,2)关于直线 x 2y 2 0的对称点坐标是 ( )
A． ( 1, 4) B． (3, 2) C． (0,4) D． ( 1,6)
【例 3】已知直线 l : x y 1 0 ，试求：①点 P(4 , 5)关于 l 的对称坐标；②直线 l1 : y 2 x 3 关于
直线 l 的对称的直线方程．
【例 4】设直线 l1 : x 2y 2 0与 l2 关于直线 l : 2x y 4 0 对称，则直线 l2 的方程是 ( )
A．11x 2y 22 0 B．11x y 22 0 C．5x y 11 0 D．10x y 22 0
【例 5】如图，在直角坐标系 xOy中，已知 A(3,0)， B(0,3)，从点 P(1,0)射出的光线经直线 AB反射到 y轴
上，再经 y轴反射后又回到点 P，则光线所经过的路程为 ．
【解题总结】
跟踪训练
【训练 15】点 ( 1,2)关于直线 x y 4 0的对称点的坐标为 ( )
A． ( 6, 3) B． ( 3, 6) C． ( 7, 2) D． ( 2, 7)
【训练 16】直线 2x 3y 6 0关于点 (1,1)对称的直线方程为 ( )
A．3x 2y 2 0 B． 2x 3y 7 0 C．3x 2y 12 0 D． 2x 3y 4 0
【训练 17】设直线 l1 : 3x 2y 6 0，直线 l2 : x y 4 0，则 l1 关于 l2 对称的直线方程为 ( )
A．3x 2y 14 0 B． 2x 3y 14 0 C．3x 2y 6 0 D． 2x 3y 6 0
【训练 18】线从 P(2,0)出发，经 x 4， y x 1两直线反射后，仍返回到 P点．则光线从 P点出发回到 P
点所走的路程长度（即图中 PDE周长）为 ．
考向 2 圆与方程
题型 1 圆的方程
1．圆的方程
（1）圆的定义
在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆
（2）圆的标准方程
设圆心的坐标C(a，b)，半径为 r，则圆的标准方程为： (x a)2 (y b)2 r 2
（3）圆的一般方程
D E 1
圆方程为 x2 y2 Dx Ey F 0，圆心坐标： ( ， )，半径： r D2 E2 4F
2 2 2
① x2 ，y2的系数相同，方程中无 xy项
②对于 D、E、F的取值要求：D2 E 2 4F 0
③以 A(x1，y1)，B(x2 ，y2 ) 为直径端点的圆的方程为 (x x1) (x x2 ) (y y1)(y y2 ) 0
（4）确定圆心的位置：
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
②圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．
③两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
（5）求圆方程的方法：
①几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程
②待定系数法：
a．根据题意，选择标准方程或一般方程；
b．根据条件列出关于 a，b，r或D，E，F 的方程组；
c．解出 a，b，r或D，E，F ，代入标准方程或一般方程
③相关点法（代入法）
若所求轨迹上的动点 P与另一个已知曲线上的动点Q存在着某种联系，可设点 P(x，y)，用点 P 的坐标表
示出来点Q，然后代入曲线方程，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法（或称代
入法）．
④换元法（参数方程法）
若圆心为点M (x0 ，y0 )，半径为 r，则可将圆上的点换元为为 (x0 r cos ，y0 r sin ) ．其中 为参数，
0 2 ．
【例 1】“ k 4”是“方程 x2 y2 kx (k 2)y 5 0表示圆的方程”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例 2】（2022 甲卷）设点M 在直线 2x y 1 0上，点 (3,0)和 (0,1)均在 M 上，则 M 的方程为 ．
【例 3】（2022 乙卷）过四点 (0,0)， (4,0)， ( 1,1)， (4,2)中的三点的一个圆的方程为 ．
【例 4】已知圆C经过 ( 2,3)， (4,3)， (1,0)三点．
（1）求圆C的方程；

（2）设点 A在圆C上运动，点 B(7,6)，且点M 满足 AM 2MB，记点M 的轨迹为 ，求 的方程．
【解题总结】
跟踪训练
【训练 1】方程 x2 y2 ax 2y 1 0不能表示圆，则实数 a的值为 ( )
A．0 B．1 C． 1 D．2
【训练 2】（2016 天津）已知圆C的圆心在 x轴正半轴上，点M (0, 5)在圆C上，且圆心到直线 2x y 0的
4 5
距离为 ，则圆C的方程为 ．
5
【训练 3】（2018 天津）在平面直角坐标系中，经过三点 (0,0)， (1,1)， (2,0)的圆的方程为 ．
【训练 4】已知圆C的圆心在直线 x 2y 4 0上，且与 x轴交于两点 A( 5,0)， B(1,0)．
（1）设圆C与直线 x y 1 0交于 E， F 两点，求 | EF |的值；
（2）已知Q(2,1)，点 P在圆C上运动，求线段 PQ中点M 的轨迹方程．
题型 2 位置关系
2．位置关系
（1）点与圆的位置关系
法一 点M (x0 ，y0 )与圆O： (x a)2 (y b)2 r 2 的位置关系：
若M (x ，y )在圆外，则 (x a)2 (y b)2 r 20 0 0 0 ；若M (x0 ，y0 )在圆上，则 (x0 a)
2 (y0 b)
2 r 2 ；
若M (x ，y )在圆内，则 (x a)2 (y 2 20 0 0 0 b) r ．
法二 点M (x0 ，y0 )与圆O： (x a)2 (y b)2 r 2 的位置关系：
若M (x0 ，y0 )在圆外，则 |OM | r ，若M (x0 ，y0 )在圆上，则 |OM | r ，若M (x0 ，y0 )在圆内，则 |OM | r
（2）直线与圆的位置关系
直线与圆相交，有两个公共点；直线与圆相切，只有一个公共点；直线与圆相离，没有公共点．
（3）判断直线与圆的位置关系的方法
几何法：利用圆心到直线的距离 d和圆的半径 r的大小关系．相交 d r；相切 d r；相离 d r
2
代数法：联立直线方程与圆方程，得到关于 x的一元二次方程 Ax Bx C 0
0 相交
则判别式 B2 4AC

0 相切

0 相离
（4）圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为 R，r ， R r，圆心距为 d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征 d R r d R r R r d R r d R r d R r
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
【例 1】若点 P(1,0)在圆C : x2 y2 2x 4y m 0的外部，则m的取值可能为 ( )
A． 3 B．1 C．4 D．7
【例 2】（2022 北京）若直线 2x y 1 0是圆 (x a)2 y2 1的一条对称轴，则 a ( )
A 1 B 1． ． C．1 D． 1
2 2
【例 3】（2021 多选 新高考Ⅱ）已知直线 l : ax by r2 0与圆C : x2 y2 r2 ，点 A(a,b) ，则下列说法正
确的是 ( )
A．若点 A在圆C上，则直线 l与圆C相切 B．若点 A在圆C外，则直线 l与圆C 相离
C．若点 A在直线 l上，则直线 l与圆C 相切 D．若点 A在圆C内，则直线 l与圆C相离
【例 4】（2016 山东）已知圆M : x2 y2 2ay 0(a 0)截直线 x y 0所得线段的长度是 2 2，则圆M 与
圆 N : (x 1)2 (y 1)2 1的位置关系是 ( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【解题总结】
跟踪训练
【训练 5】若点 P(1,1)在圆C1x
2 y2 2x m 0的外部，则m的取值范围为 ( )
A． ( 1,4) B． ( 4,1) C． ( 1, ) D． ( , 4)
【训练 6】若直线 x y 1 0是圆 (x m)2 (y 1)2 1的一条对称轴，则m ( )
A．0 B．1 C．2 D．4
【训练 7】直线 l :mx y 2 m 0(m R) 与圆C : x2 (y 1)2 16的位置关系为 ．
【训练 8】（2014 湖南）若圆C1 : x
2 y2 1与圆C2 : x
2 y2 6x 8y m 0外切，则m ( )
A．21 B．19 C．9 D． 11
题型 3 切线问题与弦长问题
（1）圆的切线方程的求法
①点M (x0 ，y0 )在圆上，
法一 利用切线的斜率 kl 与圆心O和切点M 连线的斜率 kOM 的乘积等于 1，即 kOM kl 1．
法二 圆心O到直线 l的距离等于半径 r ．
②点M (x0 ，y0 )在圆外，则设切线方程：
y y0 k (x x0 ) ，变成一般式 kx y y0 kx0 0，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出 k．
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一
条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
（2）常见圆的切线方程
过圆 x2 y2 r 2 上一点 P(x0 ，y0 )的切线方程是 x0x y0 y r
2 ；
过圆 (x a)2 (y b)2 r 2 上一点 P(x0 ，y0 )的切线方程是 (x0 a)(x a) (y0 b)(y b) r
2 ．
过圆 x2 y2 r 2 外一点 P(x0 ，y0 )作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0x y0 y r
2
x x
过曲线上 P(x0 ，y0 )，做曲线的切线，只需把 x2 替换为 x 2
0 y
0x， y 替换为 y0 y， x替换为 ， 替换为2
y0 y即可，因此可得到上面的结论．
2
4．弦长问题
2 2 l 2
①利用垂径定理：半径 r ，圆心到直线的距离 d，弦长 l具有的关系 r d ( ) ，这也是求弦长最常
2
用的方法．
②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦
长．
③利用弦长公式：设直线 l : y kx b，与圆的两交点 (x1，y1)，(x2 ，y2 ) ，将直线方程代入圆的方程，
消元后利用根与系数关系得弦长： l 1 k2 | x1 x2 | (1 k
2)[(x 21 x2) 4x

1x2] (1 k
2) ．
a
【例 1】（2018 新课标Ⅰ）直线 y x 1与圆 x2 y2 2y 3 0交于 A， B两点，则 | AB | ．
【例 2】（2023 新高考Ⅱ）已知直线 x my 1 0与 C : (x 1)2 y2 4交于 A，B两点，写出满足“ ABC
8
面积为 ”的m的一个值 ．
5
【例 3】（2023 新高考Ⅰ）过点 (0, 2)与圆 x2 y2 4x 1 0相切的两条直线的夹角为 ，则 sin ( )
A 15．1 B． C 10 D 6． ．
4 4 4
【例 4】过点 P(2,4)引圆 (x 1)2 (y 1)2 1的切线，则切线的方程为 ( )
A． x 2或 4x 3y 4 0 B． 4x 3y 4 0
C． x 2或 4x 3y 4 0 D． 4x 3y 4 0
【例 5】在平面直角坐标系中，过点 P(3,0)作圆O : (x 1)2 (y 2 3)2 4的两条切线，切点分别为 A，B．则
直线 AB的方程为 ( )
A． x 3y 3 0 B． x 3y 3 0 C． 3x y 3 0 D． 3x y 3 0
【例 6】已知圆M : (x 1)2 (y 2a)2 ( 2 1)2 与圆 N : (x a)2 y 2 ( 2 1)2 有两条公切线，则实数 a的
取值范围是 ( )
A ( 1,1) B ( 7 ,0) (2． ． ,1)5 3
C． ( 1, 3) D 7． ( , 1)
5 5 (
3 ,1)
5
【例 7】（2023 乙卷）已知 O的半径为 1，直线 PA与 O相切于点 A，直线 PB与 O交于 B，C两点，

D为 BC的中点，若 | PO | 2 ，则 PA PD的最大值为 ( )
A 1 2 B 1 2 2． ． C．1 2 D． 2 2
2 2
【例 8】（2021 多选 新高考Ⅰ）已知点 P在圆 (x 5)2 (y 5)2 16上，点 A(4,0)， B(0,2)，则 ( )
A．点 P到直线 AB的距离小于 10 B．点 P到直线 AB的距离大于 2
C．当 PBA最小时， | PB | 3 2 D．当 PBA最大时， | PB | 3 2
【例 9】已知 AB 为圆 O : x2 y2 49 的弦，且点 M (4,3) 为 AB 的中点，点 C 为平面内一动点，若
AC 2 BC 2 66，则 ( )
A．点C构成的图象是一条直线 B．点C构成的图象是一个圆
C．OC的最小值为 2 D．OC的最小值为 3
【解题总结】
跟踪训练
【训练 9】（2022 天津）若直线 x y m 0(m 0) 与圆 (x 1)2 (y 1)2 3相交所得的弦长为 m ，则
m ．
【训练 10】（2018 新课标Ⅲ）直线 x y 2 0分别与 x轴，y轴交于 A，B两点，点 P在圆 (x 2)2 y2 2
上，则 ABP面积的取值范围是 ( )
A． [2， 6] B． [4，8] C． [ 2 ，3 2] D．[2 2， 3 2]
【训练 11】过点 (0,1)引 x2 y2 4x 3 0的两条切线，这两条切线夹角的余弦值为 ( )
A 2． B 1 4 3． C． D．
3 3 5 5
【训练 12】过点 (0,2)作与圆 x2 y2 2x 0相切的直线 l，则直线 l的方程为 ( )
A．3x 4y 8 0 B．3x 4y 8 0
C． x 0或3x 4y 8 0 D． x 0或 3x 4y 8 0
【训练 13】设点 P为直线 l : 2x y 4 0上任意一点，过点 P作圆O : x2 y2 1的切线，切点分别为 A，B，
则直线 AB必过定点 ( )
A (1 , 1) B (1 , 1) C (1, 1． ． ． ) D 1． ( ,1)
4 2 2 4 2 2
【训练 14】已知圆C 2 21 : x y 1与圆C2 : (x 3)
2 (y 4)2 16，则两圆的公切线条数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
题型 4 动点与距离问题
与圆有关的长度或距离的最值问题的解法，一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形
结合求解．
y b
（1）形如 u 型的最值问题，可转化为过点 (a，b)和点 (x，y)的直线的斜率的最值问题．
x a
（2）形如 t ax by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题．
(x a)2 2（3）形如 (y b) 型的最值问题，可转化为动点到定点 (a，b)的距离的平方的最值问题
【例 1】直线 x y 2 0分别与 x轴， y轴交于 A， B两点，点 P在圆 x2 y2 4x 2 0，则 PAB面积
的取值范围是 ( )
A． [ 2,3 2] B． [2 2,3 2] C． [2， 6] D．[4，12]
【例 2】（2023 乙卷）已知实数 x， y满足 x2 y2 4x 2y 4 0，则 x y的最大值是 ( )
A 1 3 2． B．4 C．1 3 2 D．7
2
【例 3】已知直线 l : 2x y m 0 上存在点 A，使得过点 A可作两条直线与圆C : x2 y2 2x 4y 2 0分
别切于点M ， N，且 MAN 120 ，则实数m的取值范围是 ( )
A． [ 5 2, 5 2] B． [ 2 5 4,2 5 4]
C． [ 15 2 3, 15 2 3] D． [0, 15 2 3]
【例 4】若直线 y x b与曲线 y 3 4x x2 有公共点，则 b的取值范围是 ( )
A． [ 1,1 2 2] B． [1 2 2,1 2 2] C． [1 2 2,3] D．[1 2,3]
【例 5】（多选）已知实数 x， y满足方程 x2 y2 4y 1 0，则下列说法正确的是 ( )
A． y x的最大值为 6 2 B． x2 y2的最大值为 2 3
C． x y y 3的最大值为 6 2 D． 的最大值为
x 3
跟踪训练
【训练 15】圆 x2 y2 4y 3 0上的点到直线 3x 4y 2 0距离的取值范围是 ( )
A．[1， 3] B．[2 3,4 3] C． [0， 3] D．[2 3,2 3]
【训练 16】点 P(x, y)在圆 x2 y2 2上运动，则 | x y 3 |的取值范围 ( )
A． [0，1] B． [0， 4] C．[1， 5] D．[1， 4]
【训练 17】已知点 P为直线 l : x y 1 0 上的动点，若在圆C : (x 2)2 (y 1)2 1上存在两点M ， N，
使得 MPN 60 ，则点 P的横坐标的取值范围为 ( )
A． [ 2，1] B． [ 1，3] C． [0， 2] D．[1， 3]
【训练 18】若过点 P(2,4)且斜率为 k的直线 l与曲线 y 4 x2 有且只有一个交点，则实数 k的值不可能
是 ( )
A 3 B 4 C 4． ． ． D．2
4 5 3
【训练 19】（多选）已知实数 x， y满足方程 x2 y2 4x 1 0，则下列说法中正确的有 ( )
A． y x的最大值为 6 2 B． x2 y2的最大值为 7 4 3
C y 3． 的最大值为 D． x y的最大值为 2 3
x 2
拓展思维
拓展 1 阿氏圆
一般地，平面内到两个定点距离之比为常数 ( 0 , 1)的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯
圆”．特殊地，当 1时，点 P的轨迹是线段 AB的中垂线．
求证：已知动点 P与两定点 A、B的距离之比为 ( 0)，那么点 P的轨迹是什么？
证明：
【例 1】古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之
比为定值 ( 1)的点所形成的图形是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系 xOy中，
A( 2,0)， B(4,0) P | PA | 1，点 满足 ．当 P、 A、 B三点不共线时， PAB面积的最大值为 ( )
| PB | 2
A．24 B．12 C．6 D． 4 3
【例 2】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆
锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研
|MQ |
究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q、 P的距离之比 ( 0, 1)，那么点M 的轨迹就
|MP |
是阿波罗尼斯圆．已知动点M 1的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 x2 y2 1，定点Q为 x轴上一点，P( ,0)
2
且 2，若点 B(1,1)，则 2 |MP | |MB |的最小值为 ( )
A． 6 B． 7 C． 10 D． 11
拓展 2 米勒定理与角度问题
米勒定理：已知点M ， N是 AOB的边OA上的两个定点，点 P是边OB上的一动点，则当且仅当三角形
MPN 的外接圆与边OB相切于点 P时， MPN 最大．
证明：如图，设 P '是边OB上不同于点 P的任意一点，连结 P 'M ,P 'N ，P N ’交圆于点C ,因为 MP 'N
是圆外角， MPN 是圆周角，易证 MP 'N MCN MPN ,故 MPN 最大．
根据切割线定理得，OP2 OM ON ，即OP OM ON ，于是我们有： MPN 最大等价于三角形MPN 的
外接圆与边OB相切于点 P OP2 OM ON 等价于OP OM ON .
【例 1】几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M ，N是锐角 AQB的一边QA上的两点，试在边QB上
找一点 P，使得 MPN 最大．”如图，其结论是：点 P为过M ，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的
切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系 xOy中，给定两点M (0,2)，N (2,4)，点 P在 x轴上
移动，当 MPN 取最大值时，点 P的横坐标是 ( )
A．2 B．6 C．2或 6 D．1或 3
【例 2】德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理” )：若点 A，B是 MON 的
OM 边上的两个定点，C是ON边上的一个动点，当且仅当 ABC的外接圆与边ON相切于点C时， ACB
最大．在平面直角坐标系中，已知点 D(2,0)， E(4,0)，点 F 是 y轴负半轴的一个动点，当 DFE 最大时，
DEF 的外接圆的方程是 ( )
A． (x 3)2 (y 2 2)2 9 B． (x 3)2 (y 2 2)2 9
C． (x 2 2)2 (y 3)2 8 D． (x 2 2)2 (y 3)2 8

展开更多......

收起↑