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9.2 圆锥曲线小题篇
考向 1 椭圆双曲线的第一定义
题型 1 椭圆第一定义
1．椭圆的第一定义
平面内与两个定点 F1 、F2 的距离的和等于常数 2a（ 2a大于 F1F2 ）的点的轨迹；其中，两个定点称
做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
设M (x , y)是椭圆上任意一点，焦点 F1( c , 0)和 F2 (c , 0)，由上述椭圆的定义可得：
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a，将这个方程移项，两边平方得：a2 cx a (x c)2 y2 ，两边再平方，
x2 y2
整理得： 2 1 a b 0 a b2
x2 y2
2 1 a b 0 中心在原点，焦点在x轴上；
1. a b
2
注意： 椭圆的标准方程 2 2
y x
2 1 a b 0 中心在原点，焦点在y轴上． a b2
x2 y2
后面我们仅以 2 2 1 a b 0 展开性质介绍分析．a b
2.顶点 A1( a , 0)， A2 (a , 0) ， B1(0 , b) ， B2 (0 , b)．
3. 长轴和短轴 长轴为 2a，短轴为 2b，注意区分长半轴为 a，短半轴为 b．
4. 焦点 F1( c , 0)， F2 (c , 0)．
5. 焦距 F1F2 2c(c 0) ，同时： c
2 a2 b2 ．
c
6. 离心率 e 0 e 1 ；离心率越大，椭圆越扁．
a
椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据．因为 a c 0，所以 e的取值范围是 0 e 1；
①e越接近 1，则 c就越接近 a，从而 b a2 c2 越小，因此椭圆越扁；
②e越接近于 0，c就越接近 0，从而 b越接近于 a，这时椭圆就越接近于圆．
7.P为椭圆上一点，则 PF PF | PO |2 c2 [b21 2 c
2，b2 ] (利用极化恒等式证明).
【例 1】两个焦点的坐标分别为 ( 3,0)， (3,0)的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为 8，则椭圆的标准
方程为 ( )
x2 y2 x2 y2 x2 y2 2 2A x y． 1 B． 1 C． 1 D． 1
16 9 16 7 9 16 7 16
2 2
【例 2】（2021 x y 新高考Ⅰ）已知 F1 ，F2 是椭圆C : 1的两个焦点，点M 在C上，则 |MF1 | |MF2 | 的9 4
最大值为 ( )
A．13 B．12 C．9 D．6
题型 2椭圆最值问题：
一．椭圆最值问题：
1.若 Q 在椭圆外，求 PQ PF1 最小值，则构造 PQ 2a PF1 2a PQ PF2 2a,利用三点共线求最值
（如左图所示），当且仅当 P、Q、F2 三点共线时等号成立.此类型的题目叫做声东击西，即问左焦点，则连
接右焦点，问右焦点则连左焦点，三点共线是关键．
2.若 Q 为椭圆外一定点（如右图所示），则 QF1 PQ PF1 2a QF2 ，当且仅当 P1 、F1 、Q三点共线时，
左边等号成立，当且仅当Q、F2、P2 三点共线时（ P2 位于QF2 延长线上），等号成立.
3. 若 Q 为椭圆内一定点（如下图所示），则 2a QF2 PQ PF1 2a QF2 ，当且仅当 P1 、Q、F2 三点共
线时，左边等号成立，当且仅当 P2 、F2、Q三点共线时（ P2 位于QF2 延长线上），右边等号成立，
x2 y2
【例 3】已知椭圆C : 1的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，M 为C上任意一点， N为圆4 3
E : (x 5)2 (y 4)2 1上任意一点，则 |MN | |MF1 |的最小值为 ．
2 2
【例 4 x y】已知 F 是椭圆C : 1的左焦点，P为椭圆C 上任意一点，点Q坐标为 (4,4)，则 | PQ | | PF |
16 15
的最大值为 ( )
A． 41 B．13 C．3 D．5
跟踪训练
【训练 1】已知椭圆的两个焦点坐标分别是 (0,5) ， (0, 5) ，椭圆上一点 P到两个焦点的距离之和为 26，则
该椭圆方程为 ．
2
【训练 2】若点 P在椭圆C : x y21 1上，C1 的右焦点为 F ，点Q在圆C : x
2 y22 10x 8y 39 0上，2
则 | PQ | | PF |的最小值为 ．
x2 y2
【训练 3】设椭圆 2 2 1(a b 0) 的左、右焦点分别为 F1 、F2 ，其焦距为 2c
a
，点Q(c, )在椭圆内部，
a b 2
点 P是椭圆上动点，且 | PF1 | | PQ | 6 | F1F2 |恒成立．则椭圆离心率的取值范围是 ．
题型 3 双曲线第一定义
双曲线的第一定义
平面内与两个定点 F1 、F2 的距离的差的绝对值等于常数且小于 F1F2 的点的轨迹；其中，两个定点叫
做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距．
注意： PF1 PF2 2a与 PF2 PF1 2a（ a 0 ）分别表示双曲线的一支．若有“绝对值”，点的轨迹表
示双曲线的两支；若无“绝对值”，点的轨迹仅为双曲线的一支；
2
x c 2 y2 x c 2 y2 2a x y
2
根据 ，化简得： 2 2 1 a,b 0 .a b
x2 y2
2 2 1 a,b 0 中心在原点，焦点在x轴上； a b
注意：1.双曲线的标准方程： y2 x2
1 a,b 0 中心在原点，焦点在 y轴上． a2 b2
2．顶点： A1( a , 0)， A2 (a , 0) ．
3．实轴和虚轴 实轴长为 2a，虚轴长为 2b；
4．焦点 F1( c , 0)， F2 (c , 0)．
5．焦距 F1F2 2c(c 0) ，满足关系式： c
2 a2 b2．
y
B2
F A1 1 O A2 F x2
B1
6. c离心率 e e 1 ，离心率越大，开口越大；
a
7. P为双曲线上一点，则 PF1 PF2 | PO |
2 c2 [ b2， ) (利用极化恒等式证明).
【例 1】已知点M ( 5,0)， N ( 5,0)，动点 P满足条件 | PM | | PN | 4 ．则动点 P的轨迹方程为 ( )
A x
2 2
． y2 1(x 2) B x． y2 1(x 2)
2 2
C x
2 x2
． y2 1(x 2) D． y2 1(x 2)
4 4
题型 4 双曲线最值问题：求 PQ PF1 最值，则构造 PQ 2a PF2 2a PQ PF2 2a，当且仅当
P、Q、F2 三点共线时等号成立.（如下图所示）．
1
注意：由于椭圆和双曲线的第二定义已经不在高考范围内，形如“ PM PF ”的最值已经不是考试的
e
常考范围，关于问焦点则连接准线的类型题目只适合抛物线，这里不做详述．其它双曲线最值类比椭圆，
画图仔细分析即可.
2 A( 1,4) F x2 y
2
【例 】已知 ， 是双曲线 1的左焦点， P是双曲线右支上的动点，则 | PF | | PA | 的最
3
小值为 ．
3 F F C : x
2
【例 】已知 1 、 2 分别是双曲线 y
2 1的左、右焦点，动点 P 在双曲线的左支上，点Q为圆
4
G : x2 (y 2)2 1上一动点，则 | PQ | | PF2 | 的最小值为 ．
跟踪训练
【训练 4】平面内有两个定点 F1( 5,0) 和 F2 (5,0) ，动点 P满足条件 | PF1 | | PF2 | 6，则动点 P的轨迹方程
是 ( )
x2 y2 x2 2A y． 1(x 4) B． 1(x 3)
16 9 9 16
x2 y2 2 2C． 1(x 4) D x y． 1(x 3)
16 9 9 16
2
【训练 5】设M x为双曲线C : y2 1上一动点，F1 、F2 为上、下焦点，O为原点，则下列结论正确的是3
( )
A．若点 N (0,8) ，则 |MN |最小值为 7
B 1．若过点O的直线交C 于 A、 B两点 (A、 B与M 均不重合），则 kMAkMB 3
C．若点Q(8,1)，M 在双曲线C 的上支，则 |MF2 | |MQ |最小值为 2 65
D．过 F1 的直线 l交C于G、H 不同两点，若 |GH | 7 ，则 l有 4 条
考向 2 椭圆双曲线的第二定义
题型 1 椭圆第二定义与焦半径公式
1．椭圆的第二定义
平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数 e(0 e 1) 的点的轨迹，其中，定点为焦
点，定直线叫做准线，常数 e叫做离心率．
2
设M (x , y) a c是椭圆上任意一点，定点为 F1( c , 0)，定直线为 x ，常数 e ，由上述椭圆的定义可c a
(x c)2 y 2 c
得： ，变形即可．
a2 a
x
c
焦半径 椭圆上的点到焦点的距离；设 P(x0 , y0 )为椭圆上的一点，
PF1 a ex0 PF1 a ey① 0焦点在 x轴：焦半径 (左加右减)；② 焦点在 y轴：焦半径 (上加下减)．
PF2 a ex0 PF2 a ey0
注意：利用第二定义快速进行证明，结合图像，长的加，短的减。
注意：焦半径公式，在大题中不能直接使用，大题建议使用余弦定理推导。
25 4
【例 1】点M 与定点 F (4,0) 的距离和它到定直线 x 的距离之比是常数 ，则M 的轨迹方程为 ( )
4 5
x2 2 2A y 1 B x y
2
． ． 1
4 9 9 3
x2 y2 x2C y
2
． 1 D． 1
25 9 25 16
x2 y2
【例 2】已知 P(x, y) 是椭圆 1上一点， F1 ， F2 为椭圆的两个焦点，则 PF1 PF2 的最大值与最小值4 3
的差是 ．
【例 3】平面内到定点 F (5,0) 16及到定直线 x 的距离之比为 5 : 4 的点的轨迹方程是 ( )
5
x2 y2 x2 2 2 2A 1 B y 1 C y x 1 D y
2 x2
． ． ． ． 1
16 9 9 16 16 9 9 16
x2 y2
【例 4】设 F1 、F2 为椭圆 : 1的两个焦点，P为 上一点且在第二象限．若 | PF1 | | F1F2 |，则点 P25 21
的坐标为 ．
跟踪训练
【训练 1】动点 P(x, y)到点 (1,0) 3的距离与到定直线 x 3的距离之比是 ，则动点 P的轨迹方程是 ．
3
x2 y2
【训练 2】已知椭圆 1的焦点为 F1 ，F2 ，椭圆上的动点 P坐标 (x0 ， y0 )在第一象限，且 F PF9 4 1 2
为
锐角，则 x0 的取值范围为 ．
x23 y
2
【训练 】若双曲线 1上一点 P到它的右焦点的距离是 8，则点 P到它的右准线的距离是 ．
64 36
x2 2
【训练 4】（2010 江西）点 A(x y0 ， y0 )在双曲线 1的右支上，若点 A到右焦点的距离等于 2x ，则4 32 0
x0 ．
考向 3 椭圆双曲线的第三定义
题型 1 椭圆双曲线第三定义与点差法
1．椭圆的第三定义
b2 2
已知关于原点对称的两个定点，那么到这两定点连线的斜率之积为定值 2 或e 1(0 e 1) 的点的轨a
迹是椭圆，通常这两个定点分别为长轴或者短轴顶点．
c
另一方面，设M (x , y)是椭圆上任意一点，两个定点为 A1(x1 , y1) 、 A2 ( x1 , y1) ，常数 e ，a
k k y y
2 2 2 2
1 y y1 y y1 x y 2 2 b
2x2
MA 1 MA 2 x x x x x 2 2
，根据椭圆方程：将 2 2 1 a b 0 ，变形成 y b ，所以
1 1 x1 a b a
2
b2kMA kMA 2 ，椭圆上动点到关于原点对称的两个定点的连线的斜率之积等于常数．1 2 a
若椭圆与直线 l交于 AB两点，其中 A(x1 ，y1) ， B(x2 ，y2)，M (x0 ，y0) ，为 AB中点，
1 k k b
2
定理 ： AB OM 2 （椭圆）；a
2．双曲线的第三定义
b2 2
到关于原点对称的两个定点连线的斜率之积为定值 2 或e 1(e 1)的点的轨迹是双曲线；通常定点为a
实轴或虚轴顶点，定值为正值．
另一方面，设 M (x , y) c是双曲线上任意一点，两个定点为 A1(x1 , y1) 、 A2 ( x1 , y1) ，常数 e ，a
y y y y y2 y2 x2 y2 b2x2kMA kMA 1 1 1 ，根据双曲线方程：将 1 a,b 0 ，变形成 y2 b2 ，所以1 2 x x x x x2 x2 2 2 21 1 1 a b a
b2kMA kMA 2 ，双曲线上动点到关于原点对称的两个定点的连线的斜率之积等于常数．1 2 a
若双曲线与直线 l交于 AB两点，其中 A(x1 ，y1) ， B(x2 ，y2)，M (x0 ，y0) ，为 AB中点，
b2
定理 1： kAB kOM （双曲线）a2
y y
B B M
M A
A
O x O x
C
C
x2 y2
【例 1】（2022 甲卷）椭圆C : 2 2 1(a b 0) 的左顶点为 A，点 P，Q均在C上，且关于 y轴对称．若a b
1
直线 AP， AQ的斜率之积为 ，则C的离心率为 ( )
4
A 3 2 1 1． B． C． D．
2 2 2 3
x2 y2
【例 2】（2013 新课标Ⅰ）已知椭圆 E : 2 2 1(a b 0) 的右焦点为 F (3,0)，过点 F 的直线交椭圆 E于a b
A、 B两点．若 AB的中点坐标为 (1, 1)，则 E的方程为 ( )
x2 y2 2 2A． 1 B x y． 1
45 36 36 27
x2 y2 x2 y2C． 1 D． 1
27 18 18 9
x2 y2
【例 3】已知点 A， B是双曲线 2 2 1(a 0,b 0) 上关于原点对称的任意两点，点 P在双曲线上（异a b
A B PA PB 5c 4a于 ， 两点），若直线 ， 斜率之积为 ，则双曲线的离心率为 ( )
2a
A 3． B．2 C 5． D．3
2 2
x2 y2 1
【例 4】已知椭圆 C : 2 2 1(a b 0) 的离心率为 ，点 A ， B 是椭圆 C 的长轴顶点，直线a b 2
x m( a m a) 与椭圆C 交于 P，Q两点，记 k1 ， k2 分别为直线 AP和直线 BQ的斜率，则 | k1 4k2 | 的
最小值为 ( )
A 3． B． 3 C． 2 3 D． 4 2
4
2 2
【例 5 x y】（2022 新高考Ⅱ）已知直线 l与椭圆 1在第一象限交于 A， B两点， l与 x轴、 y轴分别
6 3
相交于M ， N两点，且 |MA | | NB |， |MN | 2 3 ，则 l的方程为 ．
跟踪训练
x2 y2
【训练 1】椭圆C : 2 2 1(a b 0) 的左顶点为 A，点 P，Q均在C上，且关于 y轴对称．若直线 AP，a b
AQ 1的斜率之积为 ，则C的离心率为 ( )
3
A 1 3． B． C 2 6． D．
3 3 3 3
2 2
【训练 2】（2014 江西）过点M (1,1) 1 x y作斜率为 的直线与椭圆C : 1(a b 0) 相交于 A，B两点，
2 a2 b2
若M 是线段 AB的中点，则椭圆C的离心率等于 ．
【训练 3】过原点的直线 l与双曲线 x2 y2 6交于 A， B两点，点 P为双曲线上一点，若直线 PA的斜率
为 2，则直线 PB的斜率为 ( )
A 1 1．4 B．1 C． D．
2 4
x2 y2
【训练 4】已知双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)上有不同的三点 A，B，P，且 A，B关于原点对称，直a b
线 PA， PB 1的斜率分别为 kPA， kPB ，且 kPA kPB ( ,1)，则离心率 e的取值范围是 ．4
x2 y2
【训练 5】已知点 P在椭圆T : 2 2 1(a b 0) 上，点 P在第一象限，点 P关于原点O的对称点为 A，a b
3
点 P关于 x轴的对称点为Q，设 PD PQ，直线 AD与椭圆T 的另一个交点为 B，若 PA PB，则椭圆T
4
的离心率 e ( )
A 1． B 2 3 3． C． D．
2 2 2 3
拓展：中点弦存在定理
x2 y2 2 2
1. 在椭圆 2 2 1(a b 0) 中，只需要 AB 中点M (x
x y
0，y0 )在椭圆内，即 02
0
2 1；a b a b
b b
x2 y2 k OM 2 2
kOM
a x y a
2. 在双曲线 2 2 1(a 0，b 0) 中，一定有① 或
0
2
0
a b 2
0；② 2 2

k
b
a b x0 y0AB 1 a a2 b2
y2
【例 6】（2023 乙卷）设 A，B为双曲线 x2 1上两点，下列四个点中，可为线段 AB中点的是 ( )
9
A． (1,1) B． ( 1,2) C． (1,3) D． ( 1, 4)
x27 y
2
【例 】已知双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0) 的实轴长为 4，离心率为 2 ，直线 l与C交于 A， B两点，a b
M 是线段 AB的中点，O为坐标原点．若点M 的横坐标为 1，则 |OM | 的取值范围为 ．
跟踪训练
y2
【训练 6】已知双曲线 x2 1，过点 P(1,1)的直线 l与该双曲线相交于 A， B两点，若 P是线段 AB的
2
中点，则直线 l的方程为 ( )
A． 2x y 1 0 B． 2x y 1 0 C． 2x y 1 0 D．该直线不存在
考向 4 椭圆双曲线的焦点三角形
1．椭圆的焦点三角形问题
x 2 y 2
周长问题:过椭圆 2 2 1 a b 0 的左焦点F1的弦 AB与右焦点F2围成的三角形△ABF2 的周长是 4a；a b
2 2
角度问题: x y①已知椭圆 2 2 1 a b 0 的左、右两焦点分别为 F1 、F2 ，P是椭圆上一动点，在焦点三a b
角形 PF1F2 中，若 F1PF2 最大，则点 P为椭圆短轴的端点．
证明 S 2△PF F b tan
F1PF2 c yP ，故当 yP 取得最大值 b时，当点 P位于短轴端点时， F1PF2 取1 2 2
得最大值。
x2 y2
②已知椭圆 2 2 1 a b 0 的左、右两焦点分别为 F1 、F2 ，若椭圆上存在一点 P，使得 F1PF2 ，a b

则椭圆离心率 e sin ,12
．

x2 y2
面积问题:椭圆 2 2 1(a b 0)焦点为 F1 ， F2 ，P为椭圆上的点， Fa b 1
PF2 ，如图 1，
S b2 sin 则 F PF b
2 tan （灵动椭圆焦点三角形面积公式）
1 2 1 cos 2
图 1
2.双曲线焦点三角形性质
x2 y 2
双曲线 2 2 1(a 0，b 0) 的焦点为 F1、F2， B为双曲线上的点， F1BF2 ，如图，则a b
2
S b 2 sin b△F BF （灵动双曲线焦点三角形面积公式）．1 2 1 cos a tan
2
x2 y2
【例 1】（2021 甲卷）已知 F1 ，F2 为椭圆C : 1的两个焦点，P，Q为C 上关于坐标原点对称的两16 4
点，且 | PQ | | F1F2 |，则四边形 PF1QF2 的面积为 ．
2
【例 2】（2020 y 新课标Ⅰ）设 F1 ， F2 是双曲线C : x
2 1的两个焦点，O为坐标原点，点 P在C 上且
3
|OP | 2，则△ PF1F2 的面积为 ( )
A 7 B 5． ．3 C． D．2
2 2
2 2
【例 3 x y】（2019 新课标 II）已知 F1 ， F2 是椭圆C : 2 2 1(a b 0) 的两个焦点， P为C 上的点，O为a b
坐标原点．
（1）若△POF2 为等边三角形，求C 的离心率；
（2）如果存在点 P，使得 PF1 PF2 ，且△ F1PF2 的面积等于 16，求 b的值和 a的取值范围．
x2 y2
【例 4】已知 F 是椭圆C : 2 2 1(a b 0) 的一个焦点，若椭圆上存在关于原点对称的 A，B两点满足a b
AFB 90 ，则椭圆C离心率的取值范围是 ( )
A． [ 3 ,1) B 2 2 3． (0, ] C． [ ,1) D． (0, ]
2 2 2 2
x2 y2
【例 5】 F1 、 F2 是双曲线 E : 2 2 1(a,b 0)的左、右焦点，点M 为双曲线 E右支上一点，点 N在 x轴a b

上，满足 F1MN F2MN 60 ，若 3MF1 5MF2 MN ( R) ，则双曲线 E的离心率为 ( )
A 8． B 6 5 7． C． D．
7 5 3 2
跟踪训练
2 2
【训练 1 x y】已知点 F1 是椭圆 2 2 1(a b 0) 的左焦点，过原点作直线 l交椭圆于 A、B两点，M 、Na b
分别是 AF1 、 BF1的中点，若 MON 90 ，则椭圆离心率的最小值为 ( )
A 1 B 3 C 1 D 2． ． ． ．
4 4 2 2
x2 y2
【训练 2】已知 F 是椭圆 E : 2 2 1(a b 0) 的左焦点，经过原点O的直线 l与椭圆 E交于 P，Q两点，a b
若 | PF | 5 |QF | 且 PFQ 120 ，则椭圆 E的离心率为 ( )
A 7 1 21 21． B． C． D．
6 3 6 5
3.椭圆双曲线共焦点问题
图 17
2 2 2 2
椭圆双曲线共焦点三角形的问题：如图 17 x y x y，椭圆 2 2 1和双曲线 2 2 1共焦点，由于两个式子 a,ba b a b
x2 y2 2 2
不同，将椭圆写成 1(m 0,n 0) x y，双曲线写成 1( p 0,q 0) 可以知道
m n p q
S n sin =q sin n = q cos n q△F PF ， PF PF m p n q1 2 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos n q 1 2
2c F1F2 2c F F①当 PF1 PF2 时，椭圆和双曲线的离心率 e椭 ;e
1 2 ；
2a PF 双1 PF2 2a PF1 PF2
2 2 2 21 1 PF1 + PF2 PF1 PF2 2 PF1 PF2
e 2
2
e 2 2 2
椭 双 F1F2 F1F2 F F
2
1 2
2 2
F PF 1-cos 1 cos
sin cos
②当 2 21 2 时，一定有 2 2 2 2 2 1 ．e e
椭 双
e e
椭 双
1
1 1 1 2 2
a2椭 c
2 c2 a2 e2 e2 sin cos
证明： 双 椭 双 2 2 1．
1 cos 1 cos 2cos2 2sin2 e
2 2
椭 e双
2 2
【例 6】（2014 湖北卷）已知椭圆和双曲线有共同的焦点 F1 、F2 ，P是它们的一个交点，且 F1PF2 60 ，记
1 1
椭圆和双曲线的离心率分别为 e1， e2 ，则 的最大值为 ．e1 e2
7 x
2 y2 2 2
【例 】（多选）P是椭圆C1 : 2 2 1(a b 0) 与双曲线C :
x y
2 2 2 1(m 0,n 0)在第一象限的交点，a b m n
且C1 ，C2 共焦点 F1 ， F2 ， F1PF2 ，C1 ，C2 的离心率分别为 e1， e2 ，则下列结论正确的是 ( )
A 1 3． | PF1 | a m， | PF2 | a m B．若 60 ，则 2 4e1 e
2
2
C n．若 90 ，则 e21 e
2
2 的最小值为 2 D． tan 2 b

【训练 3】已知椭圆和双曲线有共同的焦点 F1 ，F2 ，P是它们的一个交点，且 F1PF2 ，记椭圆和双曲3
1
线的离心率分别为 e1， e2 ，则 的最大值是 ( )e1e2
A 2 3 B 4 3． ． C．2 D．3
3 3
4.有关|PF1|·|PF2|的结论
2 2
（1）.设 F x y1 、F2 是椭圆 2 2 1 a b 0 的两个焦点，O是椭圆的中心，P是椭圆上任意一点， F1PF2 ，a b
PF PF a2 b2 OP 2 2b
2
则 1 2 ．1 cos
2 2
（2）. x y设 F1 、F2 是双曲线 2 2 1 a 0 , b 0 的两个焦点，O是双曲线的中心，P是双曲线上任意一点，a b
2
F1PF2 ，则 PF1 PF2 b
2 a2 + OP 2 2b ．
1 cos
（3）. 2等轴双曲线满足： PO PF1 PF2 ；
2 2
证明：（1）. PF1 PF2 (a ex0 )(a ex ) a
2 c
0 2 x
2 b
0 a
2 (1 )x 2 a2 b2 22 0 OP ，利用等面积法，a a
1 2b2S PF F PF1 PF2 sin b
2 sin ，故 PF1 PF2 ；也可以利用中线定理，1 2 2 1 cos 1 cos
2 OP 2 2c2 PF 2 PF 2 ( PF PF )2 2 PF 2 2 21 2 1 2 1 PF2 ，从而 PF1 PF2 a b OP
b2 2
（2）. PF1 PF
2 2 2
2 e x0 a x
2 x 2 a20 b
2 a2 + OP ，或者利用中线定理，
a2 0
2 OP 2 2c2 PF 2 PF 21 2 ( PF1 PF )
2 2 PF 2 2 22 1 PF2 ，整理得 PF1 PF2 b a + OP ，再利用等面
1 sin 2b2
积法 S 2 PF F PF1 PF2 sin b ，故 PF PF 1 2 2 1 cos 1 2 1 cos
（3）.由于等轴双曲线满足 a b，所以 PF1 PF2 b
2 a2 + OP 2 OP 2 ．
2 2
【例 8】（2023 x y 3 甲卷）已知椭圆 1，F1 ，F2 为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos F PF ，9 6 1 2 5
则 | PO | ( )
A 2 B 30 C 3 35． ． ． D．
5 2 5 2
2
【例 9】（多选）已知双曲线 E : x2 y 1 3的左、右焦点分别为 F1 、F2 ，过点C(1, ) 的直线 l与双曲线 E的3 2
左、右两支分别交于 P、Q两点，下列命题正确的有 ( )
A．当点C为线段 PQ的中点时，直线 l的斜率为 3
B．若 A( 1,0)，则 QF2A 2 QAF2
C． | PF1 | | PF2 | | PO |
2
D 2 3．若直线 l的斜率为 ，且 B(0, 3)，则 | PF1 | |QF1 | | PB | |QB |3
2 2
【例 10】已知椭圆C : x y2 2 1(a b 0) 的两焦点 F1 ， F2 ，若椭圆C上存在点 P，a b
2
使得 | PO |2 |OF |2 a1 (O为原点）， | PF
2
1 | | PF2 |
2 4a2 3b2 ，则椭圆C的离心率的取值范围是 ．
6
x2 y2
【训练 4】已知点 P是双曲线 2 2 1 a 0,b 0 上的动点， F1 、F2 是其左、右焦点，O坐标原点，若a b
PF1 PF存在四个点 P满足 2 6 ，则此双曲线的离心率取值范围 ．
OP
2 2
【训练 5】已知椭圆C : x y 1(a b 0) 的焦点为 F 2
a2 b2 1
，F2 ，若点 P在椭圆上，且满足 | PO | | PF1 | | PF2 |
（其中O为坐标原点）的 P的个数 ( )
A．0 B．2 C．4 D．8
考向 5 椭圆双曲线的焦点弦问题
1. 椭圆焦长公式：
x 2A y
2
是椭圆 2 2 1 a b 0 上一点， Fa b 1
、 F2 是左、右焦点， AF1F2 为 ， AB过 F1 ，c是椭圆半

1 AF b
2 2
2 BF b 3 AB 2ab
2 2ab2
焦距，则（ ） 1 ；（ ） 1 ；（ ） 2 2 2 ．a c cos a c cos a c cos b2 c2 sin 2
2．双曲线的焦长公式
x2 y2
周长问题：双曲线 2 - 2 = 1（ a 0， b 0 ）的两个焦点为 F1 、 F2 ，弦 AB过左焦点 F1 （ A、 B都在左a b
支上）， AB l，则△ABF2 的周长为 4a 2l（如下图）
2ab2
焦长公式：（1）当 AB 1交双曲线于一支时， | AB |= 2 2 2 ， a
2 - c2 cos2 a > 0 1< e < （图左）
a - c cos a cosa
2
（2）当 AB交双曲线于两支时， | AB | 2ab= ， a2 - c2 cos2 a 0 e 12 2 2 < > （图右）c cos a - a cosa
双曲线焦比定理和椭圆的焦比定理一致：
b2 lb2 l -1 l +1 b2
令 AF1 = l F1B ，即 = ecosa = l > 1 ，代入弦长公式可得 AF =
( ) ．
a - c cosa a + c cosa l +1 ( ) 1 2a
b2 lb2 ecosa l +1
l -1 b2
若交于两支时， = = l > 1 ，代入弦长公式可得 AF = ( ) ．
ccosa - a a + ccosa l -1 ( ) 1 2a
2 2
【例 1】设椭圆C : y x 1的焦点分别为 F1 ， F2 ，过 F2 的直线与椭圆相交于 A， B两点，则 ABF1 的16 12
周长为 ( )
A．6 B．8 C．10 D．16
y2
【例 2】已知双曲线C : x2 2 1(m 0) 的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，直线 l经过 F2 且与C的右支相交于m
A， B两点，若 | AB | 2，则 ABF1 的周长为 ( )
A．6 B．8 C．10 D．12
2 2
【例 3 x y】过椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的一个焦点 F作弦 AB，若 | AF |= d1，| BF |= d
1 1
2 ，则 的数值为a b d1 d2
（ ）
A 2b B 2a C a + b． 2 ． 2 ． 2 D．与 a、 b斜率有关a b a
2 2
【例 4】已知椭圆C : x y2 2 1(a b 0) 的左右焦点为 F1 ， F2 ，过 F1 的直线交椭圆C于 P，Q两点，若a b
4 PF1 F1Q，且 | PF2 | | F1F3 2
|，则椭圆C的离心率为 ．
【例 5】（2019 新课标Ⅰ）已知椭圆C的焦点为 F1( 1,0)， F2 (1,0)，过点 F2 的直线与椭圆C交于 A， B两
点．若 | AF2 | 2 | F2B | ， | AB | | BF1 |，则C的方程为 ( )
A x
2 2 2 2 2 2 2
． y2 1 B x y 1 C x y． ． 1 D x y． 1
2 3 2 4 3 5 4
2 2
【例 6】（2022 x y 新高考 1）已知椭圆C : 1(a b 0) ，C的上顶点为 A，两个焦点为 F ， F ，离心
a 2 b 2 1 2
1
率为 ，过 F1 且垂直于AF2 的直线与C交于点D， E两点， DE 6 ，则△ADE的周长是 ．2
2 2
【例 7 x y】（多选）已知椭圆 E : 1，过椭圆 E的左焦点 F1 的直线 l1 交 E于 A， B两点（点 A在 x轴4 3
的上方），过椭圆 E的右焦点 F2 的直线 l2 交 E于C， D两点，则 ( )

A．若 AF1 2F1B，则 l k
6 27
1 的斜率 B． | AF2 1
| 4 | BF1 |的最小值为 4
C．以 AF 为直径的圆与圆 x2 y21 4
288
相切 D．若 l1 l2 ，则四边形 ADBC 面积的最小值为 49
跟踪训练
x2 2
【训练 1】椭圆C : y2 2 1(a b 0) 左右焦点分别为 F1 、F2 ，焦距为 2，直线 l经过 F2 交椭圆于 A，Ba b
两点，若 ABF1 的周长为 12，则椭圆标准方程为 ( )
x2 x2 x2 y2 x2A y2 y
2
． 1 B． y2 1 C． 1 D． 1
3 4 9 5 9 8
【训练 2】已知双曲线C : x2 y2 1的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，若左支上的两点 A，B与左焦点 F1 三点
共线，且 ABF2 的周长为 8，则 | AB | ( )
A．2 B．3 C．4 D．6

【训练 3】已知 F1 ， F2 为椭圆的焦点且 | F1F2 | 2 5 ，M ， N是椭圆上两点，且MF1 2F1N ，以 F1F2 为直
径的圆经过M 点，则 MNF2 的周长为 ( )
A．4 B．6 C．8 D．12
C : x
2 y2
【训练 4】已知双曲线 2 2 1(a 0,b 0)的左焦点为 F1 ，直线 y kx(k 0) 与双曲线C交于 P，Q两a b
2
点，且 PFQ 2 1 b1 ， PF1 F1Q 4 ，则当 a
2 2 取得最小值时，双曲线C的离心率为 ( )3 2 a
A．3 B． 3 C．2 D． 2
x2 y2
【训练 5】（多选）在平面直角坐标系 xOy中，已知 F1 ，F2 分别是椭圆C : 1的左，右焦点，点 A，4 2

B是椭圆C 上异于长轴端点的两点，且满足 AF1 F1B，则 ( )
A． ABF2 的周长为定值 B． AB的长度最小值为 1
C．若 AB AF2 ，则 3 D． 的取值范围是 [1， 5]
3.双曲线渐近线与焦点弦相关
x2 y2
双曲线 1 a 0 , b 0 的焦点到渐近线的距离为定值 b，如左图所示，由于渐近线 OP的斜
a2 b2
b
率为 ，又 OF c， a2 b22 c
2 ，显然 PF2的长度是定值 b．
a
x2 y2
如右图所示，过双曲线 2 2 1 a 0 , b 0 的左焦点 F ( c , 0) (c 0)作圆 x
2 y21 a
2 的切线，切
a b
2 2
点为 P b a，那么，点 P在渐近线 y x上，也在左准线 x 上，即点 P a ab ,a c c c
．

y
P
F O F x1 2
2
x a
c
x2 y2
【例 8】（2018 新课标Ⅲ）设 F1 ，F2 是双曲线C : 2 2 1(a 0，b 0)的左，右焦点，O是坐标原点．过a b
F2 作C的一条渐近线的垂线，垂足为 P，若 | PF1 |= 6 |OP | ，则C的离心率为（ ）
A． 5 B． 2 C． 3 D． 2
2
9 2023 x y
2
【例 】（ 天津）双曲线 2 2 1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ．过 F2 作其中一条渐近线a b
的垂线，垂足为 P．已知 | PF2 | 2，直线 PF
2
1的斜率为 ，则双曲线的方程为 ( )4
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2A． 1 B． 1 C． 1 D． 1
8 4 4 8 4 2 2 4
【例 10】（2022 乙卷）双曲线C的两个焦点为 F1 ， F2 ，以C的实轴为直径的圆记为 D，过 F1 作 D的切线
与C交于M N cos F NF 3， 两点，且 1 2 ，则C的离心率为 ( )5
A B x
2 y2
、 是双曲线 2 2 1左支上两点， F1 是左焦点， AF1O为 ， AB过 F1 ，c是双曲线半焦距，a b
如左图，
2 2 2 2
由于 cos b b b b b ，如右图所示， AF ， BF ;
c 2 a ccos a b 2 a ccos a b
2
A x y
2
是双曲线 2 2 1左支上一点，B 是双曲线右支上一点， F1 是左焦点， AF1O为 ， AB过 F ，a b 1
2
c b b a是双曲线半焦距，如图，由于交两支时，有 k ，平方得：tan 2 2 ，即 cos ，故 a ccos 0a a c
cos b b
2 b2 2 2
由于 ，如右图所示， AF2 ， BF
b b
;
c a ccos a b 2 ccos a b a
x2 y2
【例 11】已知双曲线 E : 2 2 1(a 0，b 0)的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，过 F2 作 E的一条渐近线的垂a b
线，垂足为T，交 E的左支于点 P．若T恰好为线段 PF2 的中点，则 E的离心率为（ ）
A． 2 B． 3 C． 2 D． 5
x2 y2
【例 12】已知双曲线 2 2 1 (a 0，b 0)的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，以OF1 为直径的圆与双曲线的a b
一条渐近线交于点M （异于坐标原点O），若线段MF1交双曲线于点 P，且MF2∥OP，则该双曲线的离心
率为（ ）
A． 2 B． 3 C 6． D． 6
2
跟踪训练
x2 y2
【训练 6】已知双曲线 2 2 1(a 0，b 0) 的右焦点为 F ，过 F 作双曲线两渐近线的垂线，垂足分别a b
为点 A， B（ A， B分别在一、四象限），若 2 | AB |=| FA | ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． 2 B． 2 3 C． 4 D． 4 3
x2 y2
【训练 7】已知双曲线C : 2 2 2
a2
2 1(a 0,b 0) 的左，右焦点分别为 F1 ，F2 ，过 Fb 1
的直线与圆 x y a
相切于点Q，与双曲线的右支交于点 P，若线段 PQ的垂直平分线恰好过右焦点 F2 ，则双曲线C的离心率
为 ( )
A 13 B 13． ． C 5． D．2
2 3 2
4.焦点弦与直角三角形相关
1
如左图所示，椭圆若 AF2 AB，且 AF1 F1B， AF1F2 ，我们可以借助公式 ecos 可得 1
c 1 b2 1 1
来求出 a和 b的关系，由于 1，从而求出离心率．
a 2 a 2c 1
如右图所示，若 BF2 AC ， AB 过原点，且 AF2 F2C(0 1) ，通过补全矩形，可得 AF1 AC，
AF 1 b
2 1 c 1 b2 1 1
2 ，借助公式 ecos 可得 来求出 a和b的关系，从而求出离心2 a 1 a 2 a 2c 1
率．
2
注意：若直线 AB交双曲线两支于 A、 B两点， AF FB ( 1) ，则 AF 1 b ， AFF ' 时，
2 a
ecos 1 ，本节前面已经论述.
1
13 C : x
2 y2
【例 】已知椭圆 2 2 1(a b 0) 的右焦点为 F ，点 P ， Q在椭圆 C 上， O为坐标原点，且a b

PF 4FQ， |OP | |OF | ，则椭圆的离心率是 ．
x2 y2
【例 14】双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，直线 l过 F1 与双曲线C的左支和a b

右支分别交于 A ， B 两点， BF1 BF2 ．若 x 轴上存在点 Q 满足 BQ 3AF2 ，则双曲线 C 的离心率
为 ．
x2 y2
【例 15】已知点 F 为双曲线 2 2 1(a 0,b 0) 的左焦点，过原点O的直线与双曲线交于 A、B两点（点a b
B在双曲线左支上），连接 BF 并延长交双曲线于点C，且 | BC | 3 | BF | ，AF BC，则该双曲线的离心率
为 ( )
A 10 B 17 C 10． ． ． D 10．
2 3 3 5
跟踪训练
x2 y2
【训练 8】如图所示，F1 ，F2 是双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦点，双曲线C 的右支上存在一a b
点 B满足 BF1 BF2 ， BF1与双曲线C的左支的交点 A平分线段 BF1，则双曲线C的离心率为 ( )
A．3 B． 2 3 C． 13 D． 15
2 2
【训练 9 x y】如图，已知 F1 、 F2 分别为 2 2 1(a b 0) 椭圆的左、右焦点，过 Fa b 2
的直线与椭圆交于 P、

Q两点，若QF 21 QP | PQ | ， PF2 2F2Q，则 F1PQ ，椭圆的离心率为 ．
2 2
【训练 10】已知 A， B C x y， 是双曲线 2 2 1(a 0,b 0) 上的三个点，直线 AB经过原点O， AC经过a b
右焦点 F ，若 BF AC ，且3AF CF，则该双曲线的离心率为（ ）
A 10 B 5． ． C 10 2． D．
2 2 3 3
5.焦点弦与双曲线等腰三角形相关
第一类：等腰三角形的 2a隐藏
2 2
【例 16】已知 F1 ，F2 分别为双曲线C :
x y
2 2 1(a 0,b 0)的左，右焦点，过点 F2 且斜率为 1 的直线 l与a b
双曲线C的右支交于 P，Q两点，若△ F1PQ是等腰三角形，则双曲线C的离心率为 ．
第二类：等腰三角形的 4a隐藏
如图，若 F2A F2B m与 AB 4a互为充要条件．
证明：（充分性） AF1 m 2a， BF1 m 2a，故 AB AF1 BF1 4a．
（必要性） BF2 2a BF1 ， AF2 AF1 2a AB BF1 2a 2a BF1 ，故 F2A F2B
2ab2 1 k 2
核心技能： AB 4a 2 2 2 e
2 (cos2 sin 2 ) 1 e2
c cos a 1 k 2
2 2
【例 17】已知 F1，F2 是双曲线 C
x y 2
： 2 - 2 = 1(a，b > 0) 的左，右焦点，过点 F 作斜率为 的直线 l与双a b 1 2
曲线的左，右两支分别交于M ， N两点，以 F2 为圆心的圆过M ， N，则双曲线C的离心率为（ ）
A． 2 B． 3 C．2 D． 5
2
【例 18】（2016 y上海）双曲线 x2 2 1(b 0) 的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，直线 l过 F2 且与双曲线交于 A，b
B两点．
（1 ）直线 l的倾斜角为 ，△ F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；2

（2）设 b 3 ，若 l的斜率存在，且 (F1A F1B) AB 0 ，求 l的斜率．
2
19 E : x y
2
【例 】设双曲线 2 2 1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ， B为双曲线 E上在第一象限内a b
的点，线段 F1B与双曲线 E相交于另一点 A，AB的中点为M ，且 F2M AB，若 AF1F2 30 ，则双曲线
E的离心率为 ( )
A． 5 B．2 C． 3 D． 2
跟踪训练
2 2
【训练 11】已知 F1 ，F2 是双曲线C :
x y
2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦点，过 F1 的直线 l与双曲线C 交于M ，a b

N两点，且 F1N 3F1M ， | F2M | | F2N |，则下列说法正确的是 ( )
A．△ F2MN是等边三角形 B．双曲线C的离心率为 7
C．双曲线C的渐近线方程为 y 6x D．点 F1 到直线 6x y 0的距离为 6a9.2 圆锥曲线小题篇课后练习
1．（2024 北京模拟）椭圆的两个焦点是 ( 4,0)和 (4,0)，椭圆上的点M 到两个焦点的距离之和等于 10，则
椭圆的标准方程是 ( )
x2 y2A 1 B x
2 y2 x2 y2 21 C 1 D x y
2
． ． ． ． 1
5 4 5 3 25 9 16 9
2．（2024 甘肃模拟）已知两定点 F1(5,0)， F2 ( 5,0)，曲线C上的点 P到 F1、 F2的距离之差的绝对值是 8，
则曲线C的方程为 ( )
x2 y2 2 2A． 1 B x y． 1
9 16 16 9
x2 y2 y2 x2C． 1 D． 1
25 36 25 36
3 2．（20024 四川模拟）到定点 (2,0)的距离与到定直线 x 8的距离之比为 的动点的轨迹方程是 ( )
2
x2 y2A 1 B x
2 y2
． ． 1
16 12 12 16
C． x2 2y2 8x 56 0 D． 3x2 2y2 8x 68 0
x2 24 y．（2024 广东模拟）如图， A， B分别是椭圆C : 2 2 1(a b 0)的左、右顶点，点 P在以 AB为直a b
径的圆O上（点 P异于 A， B两点），线段 AP与椭圆C 交于另一点Q，若直线 BP的斜率是直线 BQ的斜
率的 4倍，则椭圆C的离心率为 ( )
A 3． B 1 3 3． C． D．
3 2 2 4
2 2
5．（2024 x y 安徽月考）已知椭圆 1以及椭圆内一点 P(2,1)，则以 P为中点的弦所在直线的斜率为 (
16 9
)
A 32． B 8 9 9． C． D．
9 9 32 8
x2 26．（2024 y 重庆模拟）已知 P为双曲线 2 2 1(a 0,b 0)左支上的一点，双曲线的左、右顶点分别为 A、a b
B，直线 BP交双曲线的一条渐近线于点Q，直线 AP、AQ的斜率为 k1、k2 ，若以 AB为直径的圆经过点Q，
且 2k1 k2 0，则双曲线的离心率为 ( )
A 3． B．2 C 6． 2 D．
2 2
2 2
7．（2024 贵州月考）设直线 y kx x y与双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)相交于 A，B两点，P为C上不同于a b
A， B的一点，直线 PA， PB的斜率分别为 k1， k2 ，若C 的离心率为 2 ，则 k1 k2 ( )
A．3 B．1 C．2 D． 3
8．（2024 四川模拟）下列命题是真命题的是 ( )
A．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆
2
B a c．到定直线 x 和定点 F (c,0)的距离之比为 的点的轨迹是椭圆
c a
a2C c．到定点 F ( c,0)和定直线 x 的距离之比为 (a c 0)的点的轨迹是左半个椭圆
c a
2
D a．到定直线 x 和定点 F (c,0) a的距离之比为 (a c 0)的点的轨迹是椭圆
c c
9．（2024 多选 山东模拟）《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然
界的事物都是成双成对的．已知动点 P与定点 F (4,0) 25 4的距离和它到定直线 l : x 的距离的比是常数 ．若
4 5
某条直线上存在这样的点 P，则称该直线为“成双直线”．则下列结论正确的是 ( )
x2 y2A．动点 P的轨迹方程为 1
24 8
B．直线 l1 : 2x y 5 0为成双直线
C．若直线 y kx与点 P的轨迹相交于 A，B两点，点M 为点 P的轨迹上不同于 A，B的一点，且直线
MA，MB的斜率分别为 k1， k2 ，则 k1 k
9
2 25
D．点M 为点 P的轨迹上的任意一点，Q( 4,0)， FMQ 60 ，则 MFQ面积为 9 3
2 2
10．（2024 x y 辽宁模拟）若椭圆 2 2 1的两个焦点到一条准线的距离之比为 3 : 2，则椭圆的离心率是 ．a b
2 2
11．（20 x y24 江西模拟）已知点 P在双曲线 1上，并且 P到这条双曲线的右准线的距离恰是 P到这
16 9
条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么， P的横坐标是 ．
12．（2023 乙卷）已知点 A(1, 5)在抛物线C : y2 2px上，则 A到C 的准线的距离为 ．
13．（2024 海南模拟）已知 F 是抛物线C : y2 2px(p 0) 的焦点，过 F 且倾斜角为 的直线 l与C交于M ，
3
N两点，与C的准线交于点 P（点 N在线段MP上）， | PN | 2，则 |MF | ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2024 南京模拟）已知抛物线C : y2 8x的焦点为 F ，过点 F 且倾斜角为 的直线 l与抛物线C交于 A，
4
B两点，则 | AB | ( )
A．8 B．8 2 C．16 D．32
15．（2024 山西月考）直线 l经过抛物线 y2 6x的焦点 F ，且与抛物线交于 A，B两点．若 | AF | 3 | BF |，
则 | AB | ( )
A 4 B 9． ． C．8 D 9．
2 4
16．（2024 广西模拟）已知抛物线C的焦点 F 在 x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为 2，过点 F 且倾
斜角为 60 的直线交抛物线C于 A， B两点，则 | FA | | FB | ( )
A 17 B 16 C 14． ． ． D．2
3 3 3

17．（2024 湖南模拟）已知 A， B均为抛物线C : x2 2py(p 0)上的点， F 为C 的焦点，且 3AF 7FB，
则直线 AB的斜率为 ( )
A 2 21 2 5 5 10． B． C． D．
21 9 5 10
18．（2024 长沙模拟）已知抛物线C : y2 2px(p 0)的焦点为 F ，斜率为 k的直线 l经过点 F ，并且与抛物

线C交于 A、 B两点，与 y轴交于点M ，与抛物线的准线交于点 N，若 AF 2MN ，则 k ( )
A． 3 B． 2 C． 2 D． 3
19．（2024 多选 湖北模拟）已知抛物线C : y2 2px(p 0)上存在一点 E(2, t)到其焦点的距离为 3，点 P为
直线 x 2上一点，过点 P作抛物线C的两条切线，切点分别为 A， B，O为坐标原点．则 ( )
A．抛物线的方程为 y2 4x B．直线 AB一定过抛物线的焦点
C．线段 AB长的最小值为 4 2 D．OP AB
20．（2024 多选 江西模拟）已知抛物线 E : x2 2py(p 0)，过其准线上的点 A( 1, 1)作 E的两条切线，切
点分别为 B，C ，则下列说法正确的是 ( )
A．抛物线 E的方程为 x2 2y B． AB AC
C．直线 BC 1的斜率为 D．直线 BC的方程为 x 2y 2 0
2
21．（2024 河南模拟）已知抛物线C : x2 4y的焦点为 F ，点 P为直线 x y 2 0上的动点，过点 P作抛
物线C的两条切线 PA， PB，其中 A， B为切点．则原点O到直线 AB距离的最大值为 ．
22．（2024 宁波模拟）用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一
个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角 不同时，可以得到不同的截口曲线，
它们分别是椭圆、抛物线、双曲线．因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．记圆锥轴
截面半顶角为 ，截口曲线形状与 ， 有如下关系：当 时，截口曲线为椭圆；当 时，截口曲

线为抛物线：当 时，截口曲线为双曲线．其中 ， (0, )，现有一定线段 AB，其与平面 所成角
2
（如图）， B为斜足， 上一动点 P满足 BAP ，设 P点在 的运动轨迹是 ，则 ( )
A ．当 , 时， 是椭圆 B．当 , 时， 是双曲线
4 6 3 6
C ．当 , 时， 是抛物线 D．当 , 时， 是圆
4 4 3 4
23．（2024 多选 安徽模拟）两千多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯发现，用一个不垂直于圆锥的轴的
平面截圆锥，其截口曲线是圆锥曲线（如图）．已知圆锥轴截面的顶角为 2 ，一个不过圆锥顶点的平面与

圆锥的轴的夹角为 ．当 时，截口曲线为椭圆；当 时，截口曲线为抛物线；当 0 时，
2
截口曲线为双曲线．在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB AD 1， AA1 2，点 P在平面 ABCD内，下列说
法正确的是 ( )
A．若点 P到直线CC1的距离与点 P到平面 BB1C1C的距离相等，则点 P的轨迹为抛物线
B．若点 P到直线CC1的距离与点 P到 AA1的距离之和等于 4，则点 P的轨迹为椭圆
C．若 BD1P 45 ，则点 P的轨迹为抛物线
D．若 BD1P 60 ，则点 P的轨迹为双曲线
24．（2024 赤峰模拟）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，
x2 y2
反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为 1，
25 16
其左、右焦点分别是 F1， F2 ，直线 l与椭圆C切于点 P，且 | PF1 | 4，过点 P且与直线 l垂直的直线 l 与椭
圆长轴交于点M ，则 | F1M |:| F2M | ( )
A．1: 3 B．1: 2 C．1: 3 D． 2 : 3
25．（2024 浙江模拟）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一
x2 y2
个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，设椭圆方程 2 2 1(a b 0)，F1，a b
F 42 为其左、右焦点，若从右焦点 F2 发出的光线经椭圆上的点 A和点 B反射后，满足 AB AD ，cos ABC ，5
则该椭圆的离心率为 ( )
A 1． B 1 2 3． C． D．
3 2 2 2
26．（2024 多选 江苏模拟）双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，
反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦
2
点连线的夹角．已知 F F C : x1， 2 分别为双曲线 y
2 1的左，右焦点，过C右支上一点 A(x0 , y0 )(x0 3) 作3
双曲线的切线交 x轴于点M ，交 y轴于点 N，则 ( )
A．平面上点 B(4,1)， | AF2 | | AB |的最小值为 37 2 3
B．直线MN 的方程为 xx0 3yy0 3
C．过点 F1作 F1H AM ，垂足为H ，则 |OH | 2(O为坐标原点）
D．四边形 AF1NF2面积的最小值为 4
27．（2024 湖南模拟）如图，双曲线的光学性质：F1，F2 是双曲线的左、右焦点，从 F2 发出的光线m射在
双曲线右支上一点 P，经点 P反射后，反射光线的反向延长线过 F1；当 P异于双曲线顶点时，双曲线在点 P
x2 y2
处的切线 PT 平分 F1PF2．若双曲线C 的方程为 1，则下列结论正确的是 ( )16 9
A 3 3．若射线 n所在直线的斜率为 k，则 k ( , )
4 4
B．当m n时， | PF1 | | PF2 | 18
C．当 F1PF2 60 时， S F1PF 3 32
D．若点T的坐标为 (1,0)，直线 PT 与C相切，则 | PF2 | 16
28．（2024 多选 广东模拟）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛
物线对称轴的方向射出，反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．知抛
物线C : y2 px(p 0)，O为坐标原点，一条平行于 x轴的光线 l1 从点M (5,2) 射入，经过C 上的点 A反射
后，再经C上另一点 B反射后，沿直线 l2 射出，经过点 N．设 A(x1， y1)， B(x2 ， y2 )，下列说法正确的是
( )
A 1．若 p 2，则 x1x2 4
B．若 p 2， NA平分 BAM ，则 N点横坐标为 3
C．若 p 4，抛物线在点 A处的切线方程为 x y 1 0
D．若 p 4，抛物线上存在点 P，使得 PA PB
29．（2024 河北模拟）探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是
利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，
在平面直角坐标系中，抛物线C : y2 8x，一条光线经过点M (10, y0 )，与 x轴平行射到抛物线C上，经过两
次反射后经过点 N (10, 8)射出，则光线从点M 到点 N经过的总路程为 ．
3
2
30．（2024 吉林模拟）已知点 F y是双曲线 C 21 : x 1的上焦点， M 是 C1 下支上的一点，点 N 是圆4
C : x22 y
2 4x 3 0上一点，则 |MF | |MN |的最小值是 ( )
A．7 B．6 C．5 D． 4 2 1
2 2
31．（2024 x y 青海模拟）已知 F (1,0)为椭圆 1的焦点，P为椭圆上一动点，A(1,1)，则 | PA | | PF |的
9 m
最小值为 ( )
A． 6 5 B．1 C． 6 2 5 D． 6 3
32．（2024 云南模拟）已知定点M (1,3)和抛物线C : x2 8y，F 是抛物线C的焦点，N是抛物线C 上的点，
则 | NF | | NM |的最小值为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2 2
33．（2024 x y 多选 广东模拟）已知椭圆 1上有不同两点 A(x1， y1)， B(x2 ， y2 )，F (4,0)，则 (25 9
)
A．若 AB过原点 (0,0)，则 | AF | | BF | 10
B． D( 1,4)， | AD | | AF |的最小值为 5

C．若 FA FB，则 FA BA的最大值为 9
D．C(4, 9)， | AF | | BF | 2 |CF | ，若线段 AB 5的垂直平分线与 x轴相交于点T，则直线CT 的斜率为
5 4
34．（2024 多选 黑龙江模拟）设抛物线 y2 4x，F 为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是 (
)
A．抛物线的准线方程是 x 1
B．焦点到准线的距离为 4
C．若 A(2,1)，则 | PA | | PF |的最小值为 3
D．以线段 PF 为直径的圆与 y轴相切
x 3cos 35．（2024 新疆模拟）已知椭圆 C 的参数方程 ( 为参数），在椭圆 C 上有一点 M 到直线
y 2sin
x 2y 10 0 的距离最小，则最小距离是 ( )
A．3 B．5 C． 3 D． 5

36．（2024 x 3 cos 内蒙古模拟）已知 P(x, y)是椭圆 ( 为参数）上任意一点，则点 P到 x y 4 0的
y sin
距离的最大值为 ( )
A． 2 B．3 2 C． 2 3 D． 2 3
37．（2024 山西模拟）已知 x， y满足 2x2 3y2 6，则 2x 3y的最大值为 ．
38．（2024 江苏模拟）过椭圆的右焦点 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于 A， B两点， F1为椭圆的左焦点，若
△ F1AB为正三角形，则椭圆的离心率为 ( )
A 3 B 3． ． C． 2 3 D． 2 1
3
2 2
39．（2024 x y 福建模拟）已知 F1，F2 是双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦点，A1，A2是双曲线C的a b
3
左、右顶点，点 P在过 F1且斜率为 的直线上，△ PA1A2为等腰三角形， A1A2P 120 ，则双曲线C 的4
离心率为 ( )
A 3． B．2 C．3 D．4
2
2 2
40．（2024 x y 安徽月考）已知椭圆C : 2 1(a b 0)

的左焦点为 F ，过左焦点 F 作倾斜角为 的直线
a b2 1 1 6

交椭圆于 A， B两点，且 AF1 3F1B，则椭圆C的离心率为 ( )
A 1 2 3 2 2． B． C． D．
2 3 3 3
x241 y
2
．（2024 西安模拟）已知双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的右焦点为 F ，关于原点对称的两点 A、 B分a b

别在双曲线的左、右两支上，以 AB为直径的圆恰好过右焦点 F ，3BF FC，且点C 在双曲线上，则双曲
线的离心率为 ( )
A 10． B 10 C 5． ． D 2 3．
3 2 2 3
2 2
42．（2024 x y 广西模拟）已知 A，B，C是双曲线 2 2 1(a 0,b 0)上的三个点， AB经过原点，BC经a b
过左焦点 F ，若 AF BC 且 3 | BF | |CF |，则该双曲线的离心率是 ( )
A 5 17 10 9． B． C． D．
3 3 2 4
2 2
43．（2024 x y 多选 浙江模拟）已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2 ，过 Fa b 2
的直线 l与
C交于 P，Q两点，若 | F2Q |:| PQ |:| F1Q | 1: 4 : 5，则 ( )
2
A． PF1 PF2 B．△QF
a
1F2的面积等于 6
C l 2 D C 2．直线 的斜率为 ． 的离心率等于
2 2
2 2
44 x y．（2024 多选 山西模拟）如图，双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F1、 F2 ，过右焦a b

点 F2 且斜率为 3的直线 l交双曲线C的右支于 A、 B两点，且 AF2 7F2B，则 ( )
A 7．双曲线C的离心率为
3
B．△ AF1F2与△ BF1F2 面积之比为 7 :1
C．△ AF1F2与△ BF1F2 周长之比为 7 : 2
D．△ AF1F2与△ BF1F2 内切圆半径之比为 3 :1
2 2
45．（2023 x y 新高考Ⅰ）已知双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2 ．点 A在C上，点a b

B在 y轴上， F1A F1B， F2A
2
F2B，则C 的离心率为 ．3
2 2
46．（2024 x y 西安月考）已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)的左、右焦点分别是 F1， F2 ，过右焦点 F2 且斜率a b

为 1的直线与椭圆相交于 A， B两点，若满足 AF2 3F2B，则椭圆的离心率为 ．
2 2
47．（2024 x y 3 广东模拟）已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)的离心率为 ，过右焦点 F 且斜率为 k(k 0)的a b 2

直线与椭圆C 相交于 A， B两点．若 AF 2FB，则 k ．中小学教育资源及组卷应用平台
9.2 圆锥曲线小题篇课后练习
1．（2024 北京模拟）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是　　
A． B． C． D．
2．（2024 甘肃模拟）已知两定点，，曲线上的点到、的距离之差的绝对值是8，则曲线的方程为　　
A． B．
C． D．
3．（20024 四川模拟）到定点的距离与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程是　　
A． B．
C． D．
4．（2024 广东模拟）如图，，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
5．（2024 安徽月考）已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为　　
A． B． C． D．
6．（2024 重庆模拟）已知为双曲线左支上的一点，双曲线的左、右顶点分别为、，直线交双曲线的一条渐近线于点，直线、的斜率为、，若以为直径的圆经过点，且，则双曲线的离心率为　　
A． B．2 C． D．
7．（2024 贵州月考）设直线与双曲线相交于，两点，为上不同于，的一点，直线，的斜率分别为，，若的离心率为，则　　
A．3 B．1 C．2 D．
8．（2024 四川模拟）下列命题是真命题的是　　
A．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆
B．到定直线和定点的距离之比为的点的轨迹是椭圆
C．到定点和定直线的距离之比为的点的轨迹是左半个椭圆
D．到定直线和定点的距离之比为的点的轨迹是椭圆
9．（2024 多选 山东模拟）《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的．已知动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数．若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”．则下列结论正确的是　　
A．动点的轨迹方程为
B．直线为成双直线
C．若直线与点的轨迹相交于，两点，点为点的轨迹上不同于，的一点，且直线，的斜率分别为，，则
D．点为点的轨迹上的任意一点，，，则面积为
10．（2024 辽宁模拟）若椭圆的两个焦点到一条准线的距离之比为，则椭圆的离心率是　　．
11．（2024 江西模拟）已知点在双曲线上，并且到这条双曲线的右准线的距离恰是到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，的横坐标是　　．
12．（2023 乙卷）已知点在抛物线上，则到的准线的距离为 　　．
13．（2024 海南模拟）已知是抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线与交于，两点，与的准线交于点（点在线段上），，则　　
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2024 南京模拟）已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，则　　
A．8 B． C．16 D．32
15．（2024 山西月考）直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点．若，则　　
A．4 B． C．8 D．
16．（2024 广西模拟）已知抛物线的焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2，过点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则　　
A． B． C． D．2
17．（2024 湖南模拟）已知，均为抛物线上的点，为的焦点，且，则直线的斜率为　　
A． B． C． D．
18．（2024 长沙模拟）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过点，并且与抛物线交于、两点，与轴交于点，与抛物线的准线交于点，若，则　　
A． B． C． D．
19．（2024 多选 湖北模拟）已知抛物线上存在一点到其焦点的距离为3，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，为坐标原点．则　　
A．抛物线的方程为 B．直线一定过抛物线的焦点
C．线段长的最小值为 D．
20．（2024 多选 江西模拟）已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，，则下列说法正确的是　　
A．抛物线的方程为 B．
C．直线的斜率为 D．直线的方程为
21．（2024 河南模拟）已知抛物线的焦点为，点为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点．则原点到直线距离的最大值为 　　．
22．（2024 宁波模拟）用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线．因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．记圆锥轴截面半顶角为，截口曲线形状与，有如下关系：当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线：当时，截口曲线为双曲线．其中，，现有一定线段，其与平面所成角（如图），为斜足，上一动点满足，设点在的运动轨迹是，则　　
A．当时，是椭圆 B．当时，是双曲线
C．当时，是抛物线 D．当时，是圆
23．（2024 多选 安徽模拟）两千多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯发现，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，其截口曲线是圆锥曲线（如图）．已知圆锥轴截面的顶角为，一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为．当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线；当时，截口曲线为双曲线．在长方体中，，，点在平面内，下列说法正确的是　　
A．若点到直线的距离与点到平面的距离相等，则点的轨迹为抛物线
B．若点到直线的距离与点到的距离之和等于4，则点的轨迹为椭圆
C．若，则点的轨迹为抛物线
D．若，则点的轨迹为双曲线
24．（2024 赤峰模拟）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则　　
A． B． C． D．
25．（2024 浙江模拟）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，设椭圆方程，，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点和点反射后，满足，，则该椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
26．（2024 多选 江苏模拟）双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知，分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，则　　
A．平面上点，的最小值为
B．直线的方程为
C．过点作，垂足为，则为坐标原点）
D．四边形面积的最小值为4
27．（2024 湖南模拟）如图，双曲线的光学性质：，是双曲线的左、右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分．若双曲线的方程为，则下列结论正确的是　　
A．若射线所在直线的斜率为，则
B．当时，
C．当时，
D．若点的坐标为，直线与相切，则
28．（2024 多选 广东模拟）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．知抛物线，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点．设，，，，下列说法正确的是　　
A．若，则
B．若，平分，则点横坐标为3
C．若，抛物线在点处的切线方程为
D．若，抛物线上存在点，使得
29．（2024 河北模拟）探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程为 　　．
30．（2024 吉林模拟）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是　　
A．7 B．6 C．5 D．
31．（2024 青海模拟）已知为椭圆的焦点，为椭圆上一动点，，则的最小值为　　
A． B．1 C． D．
32．（2024 云南模拟）已知定点和抛物线，是抛物线的焦点，是抛物线上的点，则的最小值为　　
A．3 B．4 C．5 D．6
33．（2024 多选 广东模拟）已知椭圆上有不同两点，，，，，则　　
A．若过原点，则
B．，的最小值为
C．若，则的最大值为9
D．，，若线段的垂直平分线与轴相交于点，则直线的斜率为
34．（2024 多选 黑龙江模拟）设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是　　
A．抛物线的准线方程是
B．焦点到准线的距离为4
C．若，则的最小值为3
D．以线段为直径的圆与轴相切
（2024 新疆模拟）已知椭圆的参数方程为参数），在椭圆上有一点到直线的距离最小，则最小距离是　　
A．3 B．5 C． D．
36．（2024 内蒙古模拟）已知是椭圆为参数）上任意一点，则点到的距离的最大值为　　
A． B． C． D．
37．（2024 山西模拟）已知，满足，则的最大值为　　．
38．（2024 江苏模拟）过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线交椭圆于，两点，为椭圆的左焦点，若△为正三角形，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
39．（2024 福建模拟）已知，是双曲线的左、右焦点，，是双曲线的左、右顶点，点在过且斜率为的直线上，△为等腰三角形，，则双曲线的离心率为　　
A． B．2 C．3 D．4
40．（2024 安徽月考）已知椭圆的左焦点为，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，且，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
41．（2024 西安模拟）已知双曲线的右焦点为，关于原点对称的两点、分别在双曲线的左、右两支上，以为直径的圆恰好过右焦点，，且点在双曲线上，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
42．（2024 广西模拟）已知，，是双曲线上的三个点，经过原点，经过左焦点，若且，则该双曲线的离心率是　　
A． B． C． D．
43．（2024 多选 浙江模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则　　
A． B．△的面积等于
C．直线的斜率为 D．的离心率等于
44．（2024 多选 山西模拟）如图，双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点且斜率为的直线交双曲线的右支于、两点，且，则　　
A．双曲线的离心率为
B．△与△面积之比为
C．△与△周长之比为
D．△与△内切圆半径之比为
45．（2023 新高考Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为 　 　．
46．（2024 西安月考）已知椭圆的左、右焦点分别是，，过右焦点且斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，若满足，则椭圆的离心率为 　　．
47．（2024 广东模拟）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于，两点．若，则　　．
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9.2 圆锥曲线小题篇
考向1 椭圆双曲线的第一定义
题型1 椭圆第一定义
1．椭圆的第一定义
平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹；其中，两个定点称做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
设是椭圆上任意一点，焦点和，由上述椭圆的定义可得：，将这个方程移项，两边平方得：，两边再平方，整理得：
注意：1.椭圆的标准方程　
后面我们仅以展开性质介绍分析．
2.顶点　，，，．
3. 长轴和短轴　长轴为2a，短轴为2b，注意区分长半轴为a，短半轴为b．
4. 焦点　，．
5. 焦距　，同时：．
6. 离心率　；离心率越大，椭圆越扁．
椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据．因为，所以e的取值范围是；
①e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；
②e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆．
7.P为椭圆上一点，则(利用极化恒等式证明).
【例1】两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为　　
A． B． C． D．
【例2】（2021 新高考Ⅰ）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为　　
A．13 B．12 C．9 D．6
题型2椭圆最值问题：
一．椭圆最值问题：
1.若Q在椭圆外，求最小值，则构造利用三点共线求最值（如左图所示），当且仅当三点共线时等号成立.此类型的题目叫做声东击西，即问左焦点，则连接右焦点，问右焦点则连左焦点，三点共线是关键．
2.若Q为椭圆外一定点（如右图所示），则，当且仅当三点共线时，左边等号成立，当且仅当三点共线时（位于延长线上），等号成立.
3. 若Q为椭圆内一定点（如下图所示），则，当且仅当三点共线时，左边等号成立，当且仅当三点共线时（位于延长线上），右边等号成立，
【例3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 　 　．
【例4】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为　　
A． B．13 C．3 D．5
跟踪训练
【训练1】已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为26，则该椭圆方程为 　　．
【训练2】若点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为 　 　．
【训练3】设椭圆的左、右焦点分别为、，其焦距为，点在椭圆内部，点是椭圆上动点，且恒成立．则椭圆离心率的取值范围是 　 　．
题型3 双曲线第一定义
双曲线的第一定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数且小于的点的轨迹；其中，两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距．
注意：与（）分别表示双曲线的一支．若有“绝对值”，点的轨迹表示双曲线的两支；若无“绝对值”，点的轨迹仅为双曲线的一支；
根据，化简得：.
注意：1.双曲线的标准方程：
2．顶点：，．
3．实轴和虚轴　实轴长为2a，虚轴长为2b；
4．焦点　，．
5．焦距　，满足关系式：．
离心率　，离心率越大，开口越大；
P为双曲线上一点，则(利用极化恒等式证明).
【例1】已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为　　
A． B．
C． D．
题型4 双曲线最值问题：求最值，则构造，当且仅当三点共线时等号成立.（如下图所示）．
注意：由于椭圆和双曲线的第二定义已经不在高考范围内，形如“”的最值已经不是考试的常考范围，关于问焦点则连接准线的类型题目只适合抛物线，这里不做详述．其它双曲线最值类比椭圆，画图仔细分析即可.
【例2】已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 　　．
【例3】已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为 　 　．
跟踪训练
【训练4】平面内有两个定点和，动点满足条件，则动点的轨迹方程是　　
A． B．
C． D．
【训练5】设为双曲线上一动点，、为上、下焦点，为原点，则下列结论正确的是　　
A．若点，则最小值为7
B．若过点的直线交于、两点、与均不重合），则
C．若点，在双曲线的上支，则最小值为
D．过的直线交于、不同两点，若，则有4条
考向2 椭圆双曲线的第二定义
题型1 椭圆第二定义与焦半径公式
1．椭圆的第二定义
平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹，其中，定点为焦点，定直线叫做准线，常数e叫做离心率．
设是椭圆上任意一点，定点为，定直线为，常数，由上述椭圆的定义可得：，变形即可．
焦半径　椭圆上的点到焦点的距离；设为椭圆上的一点，
① 焦点在轴：焦半径(左加右减)；② 焦点在轴：焦半径(上加下减)．
注意：利用第二定义快速进行证明，结合图像，长的加，短的减。
注意：焦半径公式，在大题中不能直接使用，大题建议使用余弦定理推导。
【例1】点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，则的轨迹方程为　　
A． B．
C． D．
【例2】已知是椭圆上一点，，为椭圆的两个焦点，则的最大值与最小值的差是　 　．
【例3】平面内到定点及到定直线的距离之比为的点的轨迹方程是　　
A． B． C． D．
【例4】设、为椭圆的两个焦点，为上一点且在第二象限．若，则点的坐标为 　　．
跟踪训练
【训练1】动点到点的距离与到定直线的距离之比是，则动点的轨迹方程是　 　．
【训练2】已知椭圆的焦点为，，椭圆上的动点坐标，在第一象限，且为锐角，则的取值范围为 　 　．
【训练3】若双曲线上一点到它的右焦点的距离是8，则点到它的右准线的距离是　 　．
【训练4】（2010 江西）点，在双曲线的右支上，若点到右焦点的距离等于，则　　．
考向3 椭圆双曲线的第三定义
题型1 椭圆双曲线第三定义与点差法
1．椭圆的第三定义
已知关于原点对称的两个定点，那么到这两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆，通常这两个定点分别为长轴或者短轴顶点．
另一方面，设是椭圆上任意一点，两个定点为、，常数，，根据椭圆方程：将，变形成，所以，椭圆上动点到关于原点对称的两个定点的连线的斜率之积等于常数．
若椭圆与直线交于两点，其中，，，为中点，
定理1：（椭圆）；
2．双曲线的第三定义
到关于原点对称的两个定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是双曲线；通常定点为实轴或虚轴顶点，定值为正值．
另一方面，设是双曲线上任意一点，两个定点为、，常数，，根据双曲线方程：将，变形成，所以，双曲线上动点到关于原点对称的两个定点的连线的斜率之积等于常数．
若双曲线与直线交于两点，其中，，，为中点，
定理1：（双曲线）
【例1】（2022 甲卷）椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为　　
A． B． C． D．
【例2】（2013 新课标Ⅰ）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点．若的中点坐标为，则的方程为　　
A． B．
C． D．
【例3】已知点，是双曲线上关于原点对称的任意两点，点在双曲线上（异于，两点），若直线，斜率之积为，则双曲线的离心率为
A． B．2 C． D．3
【例4】已知椭圆的离心率为，点，是椭圆的长轴顶点，直线与椭圆交于，两点，记，分别为直线和直线的斜率，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【例5】（2022 新高考Ⅱ）已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴、轴分别相交于，两点，且，，则的方程为 　 　．
跟踪训练
【训练1】椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为　　
A． B． C． D．
【训练2】（2014 江西）过点作斜率为的直线与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于　 　．
【训练3】过原点的直线与双曲线交于，两点，点为双曲线上一点，若直线的斜率为2，则直线的斜率为　　
A．4 B．1 C． D．
【训练4】已知双曲线上有不同的三点，，，且，关于原点对称，直线，的斜率分别为，，且，则离心率的取值范围是 　 　．
【训练5】已知点在椭圆:上，点在第一象限，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，设，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率( )
A． B． C． D．
拓展：中点弦存在定理
在椭圆中，只需要AB中点在椭圆内，即；
在双曲线中，一定有①或；②
【例6】（2023 乙卷）设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是　　
A． B． C． D．
【例7】已知双曲线的实轴长为4，离心率为，直线与交于，两点，是线段的中点，为坐标原点．若点的横坐标为1，则的取值范围为 　 　．
跟踪训练
【训练6】已知双曲线，过点的直线与该双曲线相交于，两点，若是线段的中点，则直线的方程为　　
A． B． C． D．该直线不存在
考向4 椭圆双曲线的焦点三角形
1．椭圆的焦点三角形问题
周长问题:过椭圆的左焦点F1的弦与右焦点F2围成的三角形的周长是4a；　
角度问题:①已知椭圆的左、右两焦点分别为，P是椭圆上一动点，在焦点三角形中，若最大，则点P为椭圆短轴的端点．
证明　，故当取得最大值b时，当点P位于短轴端点时，取得最大值。
②已知椭圆的左、右两焦点分别为，若椭圆上存在一点P，使得，则椭圆离心率．
面积问题:椭圆焦点为，，P为椭圆上的点，，如图1，
则（灵动椭圆焦点三角形面积公式）
图1
2.双曲线焦点三角形性质
双曲线的焦点为F1、F2，为双曲线上的点，，如图，则（灵动双曲线焦点三角形面积公式）．
【例1】（2021 甲卷）已知，为椭圆的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 　 　．
【例2】（2020 新课标Ⅰ）设，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则△的面积为　　
A． B．3 C． D．2
【例3】（2019 新课标II）已知，是椭圆的两个焦点，为上的点，为坐标原点．
（1）若为等边三角形，求的离心率；
（2）如果存在点，使得，且△的面积等于16，求的值和的取值范围．
【例4】已知是椭圆的一个焦点，若椭圆上存在关于原点对称的，两点满足，则椭圆离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例5】、是双曲线的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，点在轴上，满足，若，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
跟踪训练
【训练1】已知点是椭圆的左焦点，过原点作直线交椭圆于、两点，、分别是、的中点，若，则椭圆离心率的最小值为　　
A． B． C． D．
【训练2】已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
3.椭圆双曲线共焦点问题
图17
椭圆双曲线共焦点三角形的问题：如图17，椭圆和双曲线共焦点，由于两个式子不同，将椭圆写成，双曲线写成可以知道，
①当时，椭圆和双曲线的离心率；
②当时，一定有．
证明：．
【例6】（2014 湖北卷）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为 ．
【例7】（多选）是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论正确的是　　
A．， B．若，则
C．若，则的最小值为2 D．
【训练3】已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值是　　
A． B． C．2 D．3
4.有关|PF1|·|PF2|的结论
（1）.设、是椭圆的两个焦点，O是椭圆的中心，P是椭圆上任意一点，，则．
（2）.设、是双曲线的两个焦点，O是双曲线的中心，P是双曲线上任意一点，，则．
（3）.等轴双曲线满足：；
证明：（1）.，利用等面积法，，故；也可以利用中线定理，，从而
（2）.，或者利用中线定理，，整理得，再利用等面积法，故
（3）.由于等轴双曲线满足，所以．
【例8】（2023 甲卷）已知椭圆，，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则　　
A． B． C． D．
【例9】（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，下列命题正确的有　　
A．当点为线段的中点时，直线的斜率为
B．若，则
C．
D．若直线的斜率为，且，则
【例10】已知椭圆的两焦点，，若椭圆上存在点，
使得为原点），，则椭圆的离心率的取值范围是 　　．
【训练4】已知点P是双曲线上的动点，是其左、右焦点，O坐标原点，若存在四个点P满足，则此双曲线的离心率取值范围 ．
【训练5】已知椭圆的焦点为，，若点在椭圆上，且满足（其中为坐标原点）的的个数　　
A．0 B．2 C．4 D．8
考向5 椭圆双曲线的焦点弦问题
椭圆焦长公式：
A是椭圆上一点，、是左、右焦点，为，过，c是椭圆半焦距，则（1）；（2）；（3）．
2．双曲线的焦长公式
周长问题：双曲线（，）的两个焦点为、，弦过左焦点（、都在左支上），，则的周长为（如下图）
焦长公式：（1）当AB交双曲线于一支时，，（图左）
（2）当AB交双曲线于两支时，，（图右）
双曲线焦比定理和椭圆的焦比定理一致：
令，即，代入弦长公式可得．
若交于两支时，，代入弦长公式可得．
【例1】设椭圆的焦点分别为，，过的直线与椭圆相交于，两点，则的周长为　　
A．6 B．8 C．10 D．16
【例2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于，两点，若，则的周长为　　
A．6 B．8 C．10 D．12
【例3】过椭圆的一个焦点F作弦AB，若，，则 的数值为（ ）
A． B． C． D．与、斜率有关
【例4】已知椭圆的左右焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为 　 　．
【例5】（2019 新课标Ⅰ）已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于，两点．若，，则的方程为　　
A． B． C． D．
【例6】（2022 新高考1）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，离心率为，过且垂直于的直线与交于点，两点，，则的周长是 ．
【例7】（多选）已知椭圆，过椭圆的左焦点的直线交于，两点（点在轴的上方），过椭圆的右焦点的直线交于，两点，则　　
A．若，则的斜率 B．的最小值为
C．以为直径的圆与圆相切 D．若，则四边形面积的最小值为
跟踪训练
【训练1】椭圆左右焦点分别为、，焦距为2，直线经过交椭圆于，两点，若的周长为12，则椭圆标准方程为　　
A． B． C． D．
【训练2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，若左支上的两点，与左焦点三点共线，且的周长为8，则　　
A．2 B．3 C．4 D．6
【训练3】已知，为椭圆的焦点且，，是椭圆上两点，且，以为直径的圆经过点，则的周长为　　
A．4 B．6 C．8 D．12
【训练4】已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线交于，两点，且，，则当取得最小值时，双曲线的离心率为　　
A．3 B． C．2 D．
【训练5】（多选）在平面直角坐标系中，已知，分别是椭圆的左，右焦点，点，是椭圆上异于长轴端点的两点，且满足，则　　
A．的周长为定值 B．的长度最小值为1
C．若，则 D．的取值范围是，
3.双曲线渐近线与焦点弦相关
　双曲线的焦点到渐近线的距离为定值b，如左图所示，由于渐近线OP的斜率为，又，，显然PF2的长度是定值b．
如右图所示，过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为P，那么，点P在渐近线上，也在左准线上，即点．
【例8】（2018 新课标Ⅲ）设，是双曲线的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【例9】（2023 天津）双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为　　
A． B． C． D．
【例10】（2022 乙卷）双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为　　
A、B是双曲线左支上两点，是左焦点，为，过，c是双曲线半焦距，如左图，
由于，如右图所示，，;
A是双曲线左支上一点，B是双曲线右支上一点，是左焦点，为，过，c是双曲线半焦距，如图，由于交两支时，有，平方得：，即，故
由于，如右图所示，，;
【例11】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，交的左支于点．若恰好为线段的中点，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【例12】已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（异于坐标原点），若线段交双曲线于点，且，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
跟踪训练
【训练6】已知双曲线的右焦点为，过作双曲线两渐近线的垂线，垂足分别为点，（，分别在一、四象限），若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【训练7】已知双曲线的左，右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点，与双曲线的右支交于点，若线段的垂直平分线恰好过右焦点，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．2
4.焦点弦与直角三角形相关
如左图所示，椭圆若，且，，我们可以借助公式可得来求出和的关系，由于，从而求出离心率．
如右图所示，若，过原点，且，通过补全矩形，可得，，借助公式可得来求出和的关系，从而求出离心率．
注意：若直线交双曲线两支于、两点，，则，时，，本节前面已经论述.
【例13】已知椭圆的右焦点为，点，在椭圆上，为坐标原点，且，，则椭圆的离心率是 　 　．
【例14】双曲线的左、右焦点分别为，，直线过与双曲线的左支和右支分别交于，两点，．若轴上存在点满足，则双曲线的离心率为 　 　．
【例15】已知点为双曲线的左焦点，过原点的直线与双曲线交于、两点（点在双曲线左支上），连接并延长交双曲线于点，且，，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
跟踪训练
【训练8】如图所示，，是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足，与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的离心率为　　
A．3 B． C． D．
【训练9】如图，已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，，则　 　，椭圆的离心率为 　　．
【训练10】已知，，是双曲线上的三个点，直线经过原点，经过右焦点，若，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5.焦点弦与双曲线等腰三角形相关
第一类：等腰三角形的2a隐藏
【例16】已知，分别为双曲线的左，右焦点，过点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于，两点，若△是等腰三角形，则双曲线的离心率为 　 　．
第二类：等腰三角形的4a隐藏
如图，若与互为充要条件．
证明：（充分性），，故．
（必要性），，故
核心技能：
【例17】已知F1，F2是双曲线C：的左，右焦点，过点作斜率为的直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，以为圆心的圆过，，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
【例18】（2016 上海）双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于，两点．
（1）直线的倾斜角为，△是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率．
【例19】设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线上在第一象限内的点，线段与双曲线相交于另一点，的中点为，且，若，则双曲线的离心率为　　
A． B．2 C． D．
跟踪训练
【训练11】已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线交于，两点，且，，则下列说法正确的是　　
A．△是等边三角形 B．双曲线的离心率为
C．双曲线的渐近线方程为 D．点到直线的距离为
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