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9.4 调和点列与极点极线论
考向1 单比与交比
一．单比的概念及性质
1.单比的定义
如果共线三点满足,则称为共线三点的单比，也可以表示为P分为。其中称为基点,称为分点。
对单比的概念我们需要理解以下几点:
⑴单比的定义是有顺序的,共线三点的顺序不可随意调整，;
⑵当位于线段之间时,，否则,当位于线段之外时，，为线段中点时；
⑶如果为定点,也给定,则点的位置唯一确定;
⑷在平面直角坐标系中,,由向量坐标运算,得出定比分点公式：
⑸所谓共线三点的单比,即为定比分点中的定比。
最早出现定比分点高考题是在2006年山东高考卷，由于年代久远，所以我们就用同类型题来解读。
2.为定值的参数同构与点差法
当圆锥曲线上两点作为定比分点，线段两个端点分别位于焦点和另一条坐标轴上时，这里会涉及一个为定值的问题，我们介绍参数同构法，点差思想来处理．
【例1】已知焦点在轴上，离心率为的椭圆的一个顶点是拋物线的焦点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点，且，
(1)求椭圆的方程;
(2)证明:为定值.
【例2】已知椭圆的离心率，短轴长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知经过定点的直线与椭圆相交于，两点，且与直线相交于点，如果，，那么是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．
二．单比与交比
1.单比角元形式
两条直线的有向角满足下面几个性质:
(1).如果直线逆时针旋转到直线,则为正角;如果直线顺时针旋转到直线,则为负角;
(2)..
如下图,分别连接共线三点与其所在直线外一点,记所形成的直线分别为,若,则.
2、交比的概念及性质
点列的交比:如果共线四点满足,则称为共线四点的交比,记为。其中称为基点偶(对),称为分点偶(对)。
点列交比的角元形式：如下图,分别连接共线四点与其所在直线外一点,记所形成的直线分别为,则
从交比的角元形式可以看出,交比的值只与直线的有向角有关系,与线段长度没有关系。于是我们很容易据此得到交比的射影不变性。
3.交比的射影不变性
交比的射影不变性：如图所示,过点引四条相交直线,分别与另外两条直线交于和,则
交比的射影不变性,是交比的角元形式的直接推论，交比的射影不变性表明，交比经中心射影后不变。
关于交比射影不变性的斜率公式，我们会在后面章节进行解读，交比射影不变性的推论，结合调和点列，基本上可以打通高考.
【例3】射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点，，，经过中心投影之后的投影点分别为，，，．对于四个有序点，，，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．
（1）证明：；
（2）已知，点为线段的中点，，求．
【例4】交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设，，，是直线上互异且非无穷远的四点，则称（分式中各项均为有向线段长度，例如为，，，四点的交比，记为，；，．
（1）证明：；
（2）若，，，为平面上过定点且互异的四条直线，，为不过点且互异的两条直线，与，，，的交点分别为，，，，与，，，的交点分别为，，，，证明：，；，，；，；
（3）已知第（2）问的逆命题成立，证明：若与△的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则与△对应边的交点在一条直线上．
三．调和点列与定比点差
1．调和点列的概念
如下图①，点在线段上，则满足的点是唯一存在的．但是，如果将线段改为直线，此时，满足的点有两个，如下图②，不妨记另一个点为，则，在此种情况下，我们称点、、、为调和点列，或者称点、调和分割点、．按照交比的调和比解释，就是
图①
图②
特别的，当时，即点为的中点，则为无穷远点．
2．调和点列的性质　
如下图所示：对于线段的内分点和外分点满足、调和分割线段，即，设为线段的中点，则有以下结论成立：
①点、也调和分割、，即；
②（是与的调和平均数）．
【例5】(2011山东卷改编)设、、、是平面直角坐标系中相异的四点，若，，且，则称，调和分割已知平面上的点，调和分割点，，则下面说法正确的是　　
A．、、、四点共线 B．可能是线段的中点
C．、可能同时在线段上 D． 、不可能同时在线段的延长线上
3.定比分点和调和分点支配下的圆锥曲线
在椭圆或双曲线中，设，为椭圆或双曲线上的两点，若存在，两点，满足，，则一定有：
证明 若，且，则；若，则
，有，
（1）-（2）可得：
即得：，
故．
在抛物线中，设，为抛物线上的两点．若存在，两点，满足，，一定有．
证明 若，，则，，则
，有
①—②得：
即，
所以，故．
定比点差的原理谜题解开，就是两个互为调和的定比分点坐标满足圆锥曲线的特征方程．
【例6】过的直线交椭圆于不同两点，，在线段上取点，满足.
求证:点在某定直线上.
【例7】已知双曲线过点，且焦距为10．
（1）求的方程；
（2）已知点，，为线段上一点，且直线交于，两点．证明：．
四．定点在坐标轴上的定比点差
若出现或者，则，此时;若出现或者，则，此时.对于公式中，成对出现的“”或者“”，由于公式的背景和极点极线有关，不妨可以称它们为“调和共轭数”.
【例8】已知椭圆的离心率，且经过点，点为椭圆的左、右焦点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点分别作两条互相垂直的直线，且与椭圆交于不同两点与直线交于点.若，且点满足，求面积的最小值.
类型一 定点在轴
过定点的直线与椭圆相交于、两点，设，，则在直线上一定存在点满足，根据定比点差法可知.
一定有
证明:
类型二 定点在轴
过定点的直线与椭圆相交于、两点，设，，则在直线上一定存在点满足，根据定比点差法可知.同理:
由于在考试当中我们经常要拿出这三个等式，故我们称之为:“三炮齐鸣，天下太平”
【例9】(2018 浙江高考)已知点，椭圆上两点、满足，则当 时，点横坐标的绝对值最大.
跟踪训练
【训练1】设抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，当在上时，直线的斜率为．
（1）求抛物线的方程；
（2）在线段上取点，满足，，证明：点总在定直线上．
【训练2】已知椭圆的焦距为2，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与轴正半轴和轴分别交于点，，与椭圆分别交于点，，各点均不重合且满足，．若，证明：直线恒过定点．
【训练3】点是直线外一点,点在直线上(点与点任一点不重合).若点在线段上,记,若点在线段外,记.记.
记的内角的对边分别为,已知,点是射线上一点,且.
(1)若,求，
(2)射线上的点满足,
(i)当时,求的最小值，
(ii)当时,过点作于,记,求证，数列的前项和.
考向2 极点极线与完全四边形
一．极点极线的定义
1．二次曲线的替换法则　
对于一般式的二次曲线，用代，用代，用代，用代，用代，常数项不变，
可得方程：．
2.极点极线的综合模型——自极三角形
极点极线的几何意义:
（1）若点是圆锥曲线上的点，则过点的切线即为极点对应的极线．
（2）如图所示（以椭圆图形为例），若点是不在圆锥曲线上的点，且不为原点，过点作割线、依次交圆锥曲线于、、、四点，连结直线、交于点，连结直线、交于点，则直线为极点对应的极线．类似的，也可得到极点N对应的极线为直线，极点对应的极线为直线，因此，我们把称为自极三角形．【即的任一顶点作为极点，则顶点对应的边即为对应的极线，“补全自极三角形”这个技巧很常用，后面结合例题了解！】
如图所示，如果我们连结直线交圆锥曲线于点、，则直线、恰好为圆锥曲线的两条切线，此时，直线不仅是极点的极线，我们也称直线为渐切线．
下面的共轭点模型，实际都是极点在坐标轴上的特例模型的应用，也是高考题常见．
完全四边形
1.完全四边形定义
完全四边形两两相交，如下图的四边形ABCD，没有三线共点的四条直线AB、BC、CD、DA，及它们的六个交点，两两相交于六点，六个点可分成三对相对的顶点,它们的连线是三条对角线.则即为完全四边形
2.退化二次曲线构造曲线系解读完全四边形
模型构造：
如图，、分别为椭圆的左右顶点，、为椭圆上任意两点，与轴交于点，与交于点，我们可以理解为，，，四点确定椭圆（双曲线和抛物线也一致），那么四点之间连线有6条，我们选取两条交点在椭圆内的直线乘积式构造弱化二次曲线，再选取两条交点在椭圆外的直线乘积式构造另一条弱化的二次曲线，可以理解为两条弱化的二次曲线形成了这个椭圆，即
注意：这里最终结果会指向一个极点极线性质，故在设计，，，，
，从而得出：；
记住：曲线系只需要对比系数，确定参数，无需展开求出和，，，均是斜率倒数，不是斜率．
【例1】（2020 新课标Ⅰ）已知，分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，．为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为．
（1）求的方程；
（2）证明：直线过定点．
【例2】（2023 新高考Ⅱ）已知双曲线中心为坐标原点，左焦点为，，离心率为．
（1）求的方程；
（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明在定直线上．
跟踪训练
【训练1】（2011 四川）如图，椭圆有两顶点、，过其焦点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点．直线与直线交于点． 当点异于两点时，求证：为定值．
【训练2】已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在上，且．
（1）求的标准方程；
（2）设的左右顶点分别为，，为坐标原点，直线过右焦点且不与坐标轴垂直，与交于，两点，直线与直线相交于点，证明点在定直线上．
三．调和平行弦中点定理
1.调和点列与调和线束
根据完全四边形中的调和点列可知，完全四边形的任意一条对角线的两端,都被它和另外两条对角线的交点所调和分割.如果我们以S点为射影中心，为调和点列，利用交比不变性，如下图，，
则，，，均为S点的调和线束.
2.无穷远点调和点列解读
如图所示，，，，，均为S点的调和线束，过延长线上任意一点A作分别交和于点B和C，则.
证明：根据交比不变性，，则,故.
3.调和平行中点定理推论
若A，M，B，N是调和点列，如下图所示，过A作任意直线l，在l上任取一点C，连接CM，CN，过N作DE//CM交AC和BC于D、E两点，则必有：
①DN=EN，
②在CN上任取一点R，作PQ//CM//DE交AC于P，交BC于Q，则PR=QR.
注意：本定理的逆定理也成立.
题型一 角平分线定理
已知交椭圆)长轴(短轴)于点是椭圆上关于长轴(短轴)对称的两点，直线交长轴(短轴)于，则或.(双曲线也有相同调和共轭性质)
极点极线背景分析：如右图，由于点P与Q符合调和共轭，则以P为极点的极线是QN，故N、A、P、B是调和点列，，作A关于x轴对称的点，则.
【例3】已知椭圆，其短轴长为，离心率为，双曲线的渐近线为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右焦点为，动直线不垂直于坐标轴）交椭圆于，不同两点，设直线和的斜率为，，若，试探究该动直线是否过轴上的定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
题型二．斜率和为0与内外角平分线解读
已知点是椭圆上的动点,,直线的斜率和为0,则直线的斜率为.
如图所示,过点作轴的平行线,分别交于点,则分别是的内角,外角平分线,所以所以是椭圆的一组调和共轭点,即
【例4】(2022新高考Ⅰ卷)已知在双曲线上,直线交于、两点,直线,斜率之和为0.求的斜率;
题型三 内外角平分线与焦点准线
1.椭圆外角平分线与焦准模型
外角平分线模型设和是圆雉曲线一组对应的焦点和准线,圆雉曲线的弦交准线于点,则到的距离是相等的,亦即是的内角平分线或者外角平分线.
显然,当且仅当弦交双曲线于两支时,是的内角平分线.
证明:如图,过点作准线的垂线,垂足分别为,则根据外角平分线的逆定理,所以平分的外角.
双曲线内角平分线与焦准模型
证明:如图,过点作准线的垂线,垂足分别为,则根据 内角平分线的逆定理,所以平分的外角.
【例5】设为椭圆的右焦点，不垂直于轴且不过点的直线与交于，两点，在中，若的外角平分线与直线交于点，则的横坐标为　 　．
双外角平分线垂直模型
设，MN是过椭圆焦点的两条弦,分别交对应的准线于则有;
注意：一般考试中，MN通常为椭圆的左右顶点，所以会经常利用调和线束+平行弦构造中点来考查.
【例6】已知椭圆的左、右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，且的最大值为3，椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于另一点（异于点，与直线交于一点，的角平分线与直线交于点，求证：点是线段的中点．
跟踪训练
【训练3】(2018全国卷I)设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.
(1)当与轴垂直时，求直线的方程;
(2)设为坐标原点，证明:.
【训练4】已知双曲线的左焦点为，，分别为双曲线的左、右顶点，顶点到双曲线的渐近线的距离为．
（1）求的标准方程；
（2）过点的直线与双曲线左支交于点（异于点，直线与直线交于点，的角平分线交直线于点，证明：是的中点．
题型四 调和点列+平行弦中点
【例7】(2020北京)已知椭圆过点，且.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线交椭圆于点，直线分别交直线于点.求的值.
【例8】(2018北京文)已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.
(1)求椭圆的方程;
(2)若，求的最大值;
(3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若和点共线，求.
跟踪训练
【训练5】（2023 全国一模）已知双曲线过点，且渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）如图，过点的直线交双曲线于点、．直线、分别交直线于点、，求的值．
【训练6】已知椭圆，斜率为1的直线与椭圆交于、两点，点，直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于，求证:直线过定点.
考向3 调和线束斜率关系
1.调和线束的斜率关系
调和线束的斜率关系:若是调和线束,则它们的斜率满足
，
题型一：利用斜率关系判断定点定值
【例1】（2023 乙卷）已知椭圆的离心率为，点在上．
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于点，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点．
【例2】(2022北京卷)已知椭圆的一个顶点为,焦距为.
(1)求椭圆的方程
(2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点,,直线，分别与轴交于点,.当时,求的值.
【例3】(2022全国乙卷)已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过两
点.
(1)求的方程;
(2)设过点的直线交于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足.证明:直线过定点.
题型二. 调和共轭点与斜率等差
椭圆或双曲线中，设直线与椭圆或双曲线交于、两点，且直线与轴、轴的交点分分别为、，点和点均不是椭圆顶点．
（1）若点在直线上，则；
【例4】已知椭圆 经过点 ，且直线且与圆相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点的直线交于两点，是否存在定点，使直线与直线的斜率之和为2？若存在，求出该定点；若不存在，请说明理由．
（2）若是直线上任一点，则．
（3）过圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）焦点的任一直线交圆锥曲线于、两点，交对应准线于点，点位于圆锥曲线的通径所在直线上，则．
注意：本结论将F换成，且轴，M与N满足调和共轭，也成立.
【例5】已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的离心率为，点M（3，﹣1）在双曲线C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若F为双曲线的左焦点，过点F作直线l交C的左支于A，B两点．点P（﹣4，2），直线AP交直线x＝﹣2于点Q．设直线QA，QB的斜率分别k1，k2，求证：k1﹣k2为定值．
【例6】(2013江西文)椭圆：（）的离心率为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，，，是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于N直线交于点，设的斜率为，的斜率为，证明为为定值.
跟踪训练
【训练1】已知双曲线E：的左右焦点为，，其右准线为，点到直线的距离为，过点的动直线交双曲线E于A，B两点，当直线AB与x轴垂直时，.
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设直线与直线的交点为P，证明：直线PB过定点.
【训练2】在平面直角坐标系中, 点, 点是平面内的动点. 若为直径的圆与圆内切, 记点的轨迹为曲线
(1) 求的方程;
(2) 设点,直线,分别与曲线交于点异于) , 垂足为,求 的最小值.
【训练3】（2013江西理）如图，椭圆C：（）经过点，离心率，直线的方程为.
（1）求椭圆的方程；
（2）是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，.问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【例7】过点的动直线与双曲线交于两点,当与轴平行时,,当与轴平行时,.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)点是直线上一定点,设直线的斜率分别为,若为定值,求点的坐标.
【解析】(1)双曲线的标准方程为;
跟踪训练
【训练4】已知椭圆 的离心率为 , 过点 的直线 与椭圆 交于 两点, 当 过坐标原点 时, .
(I )求椭圆 的方程;
(II) 线段 上是否存在定点 , 使得直线 与直线 的斜率之积为定值. 若存在,求出点 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
考向4 帕斯卡定理
一．帕斯卡（Pascal）定理及其逆定理
图1 L，M，N三点共线
图2 L，M，N三点共线
已知是二阶点列上任意六个点,我们记:
12与45的交点为,
23与56的交点为,
34与61的交点为,
那么L、M和三点共线(此直线叫Pascal线)。
二．帕斯卡定理中点的名称的替换
帕斯卡定理中,123456六个点的排列次序是任意的,但无论怎样排列,必须构成一回路。图1和2的回路按顺时针排列次序分别为152463和156423。下面我们再举几个不同排列次序,看它们的结果怎样
我们考察顺序为136425的六点。根据定理:12与45的交点为,23与56的交点为与61的交点为,可得到下图所示结果:
图3对于136425六点排列次序的帕斯卡定理
可以看出,与图1(或3)的差别是L,N两点的上下位置进行了互换,M仍在它们中间。
再考察顺序为163524(或,416352)的六点。根据定理,可得到下图所示结果:
图4对于163524排列次序的帕斯卡定理
可以看出,点位于和两点的中间,跑到了曲线外边。LNM三点仍保持共线。
再考察六点位置完全为递增的自然顺序123456。根据定理的陈述,可得到下图所示结果:
图5对于123456六点原始次序的Pascal定理
从上图可以看出,三点的排列位置和图2类似,且三点也都位于曲线之外部。
L，M，N三个点中,也允许有无穷远点。例如,图5中若有一对边平行,如23与56平行,则它们的交点是与23和56有共同方向的无穷远点,如图6所示。
图6帕斯卡定理中允许有无穷远交点
究竟有多少种不同的情况呢 对于6点位置,共有种排列,但轮换相同的6种排列(如,612345)构成的回路相同,顺时针和逆时针排,如123456和564321,也代表相同回路,不同排列的回路（即Hamilton回路）情况为(6-1)!/2=60种。帕斯卡定理说明对于这60种不同的回路都会使它们的6顶点的三组对边的交点L、M、N共线。
最后还要说明两点:六个顶点中,如相邻两个顶点有1到3个重合,这样六个点就变成5个、4个或3个,这时帕斯卡定理仍然成立。
【例1】（2023 北京）已知椭圆的离心率为，、分别为的上、下顶点，、分别为的左、右顶点，．
（1）求的方程；
（2）点为第一象限内上的一个动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
【例2】已知点，是椭圆的左，右顶点，椭圆的短轴长为2，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）点是坐标原点，直线经过点，并且与椭圆交于点，，直线与直线交于点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
【例3】已知和是椭圆的左、右顶点，直线与椭圆相交于，两点，直线不经过坐标原点，且不与坐标轴平行，直线与直线的斜率之积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆的另外一个交点为，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程．
【例4】已知如图，点，为椭圆的短轴的两个端点，且的坐标为，椭圆的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线不经过椭圆的中心，且分别交椭圆与直线于不同的三点，，（点在线段上），直线分别交直线，于点，．求证：四边形为平行四边形．
跟踪训练
【训练1】已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右和上顶点，直线交直线于点，且点的横坐标为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于第二象限内，两点，且在，之间，与直线交于点，试判断直线与是否平行，并说明理由．
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考向 1 单比与交比
一．单比的概念及性质
1.单比的定义

如果共线三点 P1,P2 ,P满足 P1P PP2 ,则 称为共线三点 P1,P2 ,P的单比，也可以表示为 P分 P1P2 为
。其中 P1,P2称为基点,P称为分点。
对单比的概念我们需要理解以下几点:
⑴单比的定义是有顺序的,共线三点 P1,P2 ,P的顺序不可随意调整，起点 分点 (分点 终点) ;
⑵当 P位于线段 P1,P2之间时, 0，否则,当 P位于线段 P1,P2之外时， 0，P为线段 P1P2中点时 1；
⑶如果 P1,P2为定点, 也给定,则点 P的位置唯一确定;
⑷在平面直角坐标系中, P1 x1, y1 ,P2 x2 , y2 ,由向量坐标运算,得出定比分点公式：
x x1 x y yP 2 , y 1 21 P 1
⑸所谓共线三点的单比,即为定比分点中的定比。
最早出现定比分点高考题是在 2006年山东高考卷，由于年代久远，所以我们就用同类型题来解读。
2. 为定值的参数同构与点差法
当圆锥曲线上两点作为定比分点，线段两个端点分别位于焦点和另一条坐标轴上时，这里会涉及一个
为定值的问题，我们介绍参数同构法，点差思想来处理．
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【例 1】已知焦点在 x轴上，离心率为 的椭圆的一个顶点是拋物线 x2 4y的焦点，过椭圆右焦点 F 的
5
y 直线 l交椭圆于 A， B两点，交 轴于点M，且MA 1AF，MB 2BF
(1)求椭圆的方程;
(2)证明: 1 2 为定值.
x22 y
2
【例 】已知椭圆C : 2 1(a b 0) e
1
2 的离心率 ，短轴长为 2 3．a b 2
（1）求椭圆C 的方程；

（2）已知经过定点 P(1,1) 3的直线 l与椭圆相交于 A，B两点，且与直线 y x相交于点Q，如果 AQ AP，
4

QB PB，那么 是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．
二．单比与交比
1.单比角元形式
两条直线的有向角满足下面几个性质:
(1).如果直线 a逆时针旋转到直线b ,则 (a,b)为正角;如果直线 a顺时针旋转到直线b ,则 (a,b)为负角;
(2). sin(a,b) sin(b,a) .

如下图,分别连接共线三点 A,C,B与其所在直线外一点 S ,记所形成的直线分别为 a,c,b ,若 AC CB ,则
SAsin(a,c) .
SB sin(c,b)
2、交比的概念及性质

点列的交比:如果共线四点 P1,P2 ,P3 ,P4满足 P1P3 P3P2 ,P1P4 P4P2 ,则 称为共线四点 P1,P 2
,P3 ,P4的
交比,记为 P1,P2 ;P3 ,P4 。其中 P1,P2称为基点偶(对), P3 ,P4 称为分点偶(对)。
点列交比的角元形式：如下图,分别连接共线四点 P1,P2 ,P3 ,P4与其所在直线外一点 S ,记所形成的直线分别
为 a,b,c,d P sin(a,c)sin(d ,b),则 1,P2;P3,P4 .sin(c,b)sin(a,d)
从交比的角元形式可以看出,交比 P1,P2 ;P3 ,P4 的值只与直线的有向角有关系,与线段长度没有关系。于是我
们很容易据此得到交比的射影不变性。
3.交比的射影不变性
交比的射影不变性：如图所示,过点 S 引四条相交直线,分别与另外两条直线交于 A,B,C,D和 P1,P2 ,P3 ,P4 ,
则 P1,P2 ;P3 ,P4 (A,B;C,D)
交比的射影不变性,是交比的角元形式的直接推论，交比的射影不变性表明，交比经中心射影后不变。
关于交比射影不变性的斜率公式，我们会在后面章节进行解读，交比射影不变性的推论，结合调和
点列，基本上可以打通高考.
【例 3】射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O为透视中心，平面内四
个点 E，F ，G，H 经过中心投影之后的投影点分别为 A，B，C，D．对于四个有序点 A，B，C，D，
CA
定义比值 x CB 叫做这四个有序点的交比，记作 (ABCD)．
DA
DB
（1）证明： (EFGH ) (ABCD) ；
（2）已知 (EFGH ) 3 ，点 B为线段 AD sin ACO 3的中点， AC 3OB 3, ，求 cos A．
2 sin AOB 2
【例 4】交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设 A，B，C，D是直线 l上互异且
AC BD
非无穷远的四点，则称 （分式中各项均为有向线段长度，例如 AB BA)为 A， B，C， D四点
BC AD
的交比，记为 (A， B；C，D)．
（1）证明：1 (D,B;C, A) 1 ；
(B, A;C,D)
（2）若 l1 ， l2 ， l3， l4 为平面上过定点 P且互异的四条直线， L1，L2 为不过点 P且互异的两条直线，L1与
l1 ， l2 ， l3， l4 的交点分别为 A1， B1，C1，D1， L2 与 l1 ， l2 ， l3， l4 的交点分别为 A2， B2，C2 ， D2 ，证
明： (A1， B1；C1， D1) (A2 ， B2；C2 ，D2 )；
（3）已知第（2）问的逆命题成立，证明：若 EFG与△ E F G 的对应边不平行，对应顶点的连线交于同
一点，则 EFG与△ E F G 对应边的交点在一条直线上．
三．调和点列与定比点差
1．调和点列的概念

AP
如下图①，点 P在线段 AB上，则满足 ( 0)的点 P是唯一存在的．但是，如果将线段 AB改为直
PB

AP AP AQ
线 AB，此时，满足 的点有两个，如下图②，不妨记另一个点为Q，则 ( 1)
PB PB QB
，在此
种情况下，我们称点 A、 P、 B、Q为调和点列，或者称点 P、Q调和分割点 A、 B．按照交比的调和比
解释，就是 (AB,PQ) 1
A P B
图①
A P B Q
图②
特别的，当 1时，即点 P为 AB的中点，则Q为无穷远点．
2．调和点列的性质
AC AD
如下图所示：对于线段 AB的内分点C和外分点 D满足C、D调和分割线段 AB，即 ，设O为
CB DB
线段 AB的中点，则有以下结论成立：
A O C B D
CA CB
①点 A、 B也调和分割C、D，即 ；
AD BD
2 1 1
② （ AB是 AC与 AD的调和平均数）．
AB AC AD

【例 5】(2011山东卷改编)设 A1、 A2、 A3、 A4是平面直角坐标系中相异的四点，若 A1A3 A1A2 ( R)，

A1A4 A1A2 ( R)
1 1
，且 2，则称 A3，A4调和分割 A1A2 .已知平面上的点C ，D调和分割点 A，B，
则下面说法正确的是 ( )
A． A、 B、C、D四点共线 B．D可能是线段 AB的中点
C．C、D可能同时在线段 AB上D． C、D不可能同时在线段 AB的延长线上
3.定比分点和调和分点支配下的圆锥曲线

在椭圆或双曲线中，设 A，B为椭圆或双曲线上的两点，若存在 P，Q两点，满足 AP PB，AQ QB，
xPxQ y P
yQ
则一定有： 2 2 1a b

证明 若 A(x ，y ) x x，B(x ，y )，且 AP PB，则 P( 1 2
y1 y2
1 1 2 2 ， ) ；若 AQ QB，则1 1
ì
x
2 2
1 y
2 ±
1
2 = 1 （1）
Q( x1 x2 y y

， 1 2 )，有 í a b ，
1 1 l 2x2 l 2 y2
2 22 ± 2 = l
2（2）
a b
（1）-（2）可得：
(x1 x2)(x1 x2) (y1 y2)(y1 y 2) 1 2 1 x x x即得： 1 2 1 x2 1 y1 y22 2 2 2
y1 y2 1，
a b a 1 1 b 1 1
xPxQ y P
yQ
故 1．
a2 b2

在抛物线 y2 2px中，设 A，B为抛物线上的两点．若存在 P，Q两点，满足 AP PB，AQ QB，
一定有 yP yQ p(xP xQ ) ．
x x y y
证明 若 A(x1，y1)，B(x2 ，y2 ) ， AP PB，则 P( 1 2 ， 1 2 ) ， AQ QB，则1 1
x 2Q( 1 x y y
ì y = 2px ①2 ， 1 2 ) ，有 í 1 1
1 1 l 2 y 2 2 2 = 2l px2 ②
2 2 2
①—②得： y1 y2 p(x1 x1
2x2
2x2 )
即(y1 y2)(y1 y2) p(x1 x2 x1 x2 x1
2x2 x1
2x2 )，
(y y
所以 1 2
)(y1 y2) p(x1 x2)(1 ) p(x1 x )(1 ) 2 ，故 y y p(x x ) ．
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) P Q P Q
定比点差的原理谜题解开，就是两个互为调和的定比分点坐标满足圆锥曲线的特征方程．

2 2
【例 6】过 P(4，1) x y
| AP | | AQ |
的直线交椭圆 1于不同两点 A， B，在线段 AB上取点Q，满足 .
4 2 | PB | |QB |
求证:点Q在某定直线上.
7 x
2 y2
【例 】已知双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)过点 A(4 2,3)，且焦距为 10．a b
（1）求C 的方程；
2 |GD | | HD |（ ）已知点 B(4 2, 3)，D(2 2,0)，E为线段 AB上一点，且直线DE交C于G，H 两点．证明： ．
|GE | | HE |
四．定点在坐标轴上的定比点差
2
若出现 yP 0( 或者 yQ 0)，则 xPxQ a
2 a，此时 xP m, xQ ;若出现 xP 0( 或者 xQ 0) ，则m
2 2 2
yP yQ b
2，此时 yP n, y
b a b
Q .对于公式中，成对出现的“m, ”或者“ n, ”，由于公式的背景和极点n m n
极线有关，不妨可以称它们为“调和共轭数”.
x2 y2
【例 8】已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)
1
的离心率 e ，且经过点 (1 , 3)，点 F1,F2为椭圆C的左、右焦点.a b 2 2
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点 F1 分别作两条互相垂直的直线 l1,l2 ，且 l1 与椭圆交于不同两点 A,B,l2 与直线 x 1交于点 P .若

AF1 F1B，且点Q满足QA QB，求 PQF1面积的最小值.
类型一 定点在 x轴
x2 y2
过定点 P(xP , 0)的直线与椭圆 2 2 1(a b 0)相交于 A、 B两点，设 AP PB( 1),A(x1 , y1) ，a b
a2
B(x2 , y2 )，则在直线 AB上一定存在点Q满足 AQ QB，根据定比点差法可知 xQ .xP
xP xx Q
xP xQ
1
2 2
xP xQ xP xQ
一定有 x2
2 2
y1 y2 0


x x x1 2 x x p
xQ x p
xQ

1

p 1 x1 x2 x p (1 )
2 2
x x x x x x
证明: 1 2 xQ x1 x2 xp (1 )
p Q p Q
1
x2
2 2
y1 y
y1 y2 0
2 y y 0 1 2 0
1
类型二 定点在 y轴
2 2
过定点 P(0 , y p )
x y
的直线与椭圆 2 2 1(a b 0)相交于 A、 B两点，设 AP PB( 1),A(x , y ) ，a b 1 1
2
B(x2 , y2 ) ，则在直线 AB 上一定存在点 Q 满足 AQ QB y
b
，根据定比点差法可知 Q .同yP
y y y y
y
P Q P Q
1
2 2
yP yQ yP yQ
理: y2 .
2 2
x1 x2 0


由于在考试当中我们经常要拿出这三个等式，故我们称之为:“三炮齐鸣，天下太平”
x2
【例 9】(2018 浙江高考)已知点 P(0 , 1) ，椭圆 y2 m(m 1) 上两点 A、 B 满足 AP 2PB ，则当
4
m 时，点 B横坐标的绝对值最大.
跟踪训练
【训练 1】设抛物线C : y2 2px(p 0)的焦点为 F ，过点 P(0，4)的动直线 l与抛物线C 交于 A， B两点，
当 F 在 l上时，直线 l的斜率为 2．
（1）求抛物线的方程；

（2）在线段 AB上取点 D，满足 PA PB， AD DB，证明：点 D总在定直线上．
x2 y2
2 1【训练 】已知椭圆C : 2 2 1 (a b 0)的焦距为 2，离心率为 ．a b 2
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）直线 l与 x轴正半轴和 y轴分别交于点Q， P ，与椭圆分别交于点M ， N ，各点均不重合且满足

PM MQ， PN NQ．若 4，证明：直线 l恒过定点．
【训练 3】点 S 是直线 PQ外一点,点M ,N 在直线 PQ上(点M ,N 与点 P,Q任一点不重合).若点M 在线段
PQ (P,Q;M ) | SP | sin PSM | SP | sin PSM上 ,记 ,若点 M 在线段 PQ 外 ,记 (P,Q;M ) .记
| SQ | sin MSQ | SQ | sin MSQ
(P,Q;M ,N ) (P,Q;M ) .
(P,Q;N )
记 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 b 2, A 60 ,点 D 是射线 BC 上一点 ,且
(B,C;D) c .
2
(1)若 AD 3 1 ,求 ADC，
1 3n
(2)射线 BC上的点M0 ,M1,M2 , 满足 B,C3M n ,D ,n N ,2
(i)当 n 0时,求 AM0 8AD的最小值，
CP
(ii)当 n 0时,过点C作CPn AMn于P nn ,记 an ,求证，数列 an 的前 n项和 Sn 2 2 .n
考向 2 极点极线与完全四边形
一．极点极线的定义
1．二次曲线的替换法则
Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 x2 y2 x0 y xy对于一般式的二次曲线 ： ，用 xx 00 代 ，用 yy0代 ，用 代 xy，2
x x y y
用 0 代 x，用 0 代 y，常数项不变，
2 2
x y xy x x y y
可得方程： Axx0 B 0 0 Cyy0 D 0 E 0 F 0．2 2 2
2.极点极线的综合模型——自极三角形
极点极线的几何意义:
（1）若点 P是圆锥曲线上的点，则过点 P的切线即为极点 p对应的极线．
（2）如图所示（以椭圆图形为例），若点 P是不在圆锥曲线上的点，且不为原点O，过点 P作割线 PAB 、
PCD依次交圆锥曲线于 A、B、C、D四点，连结直线 AD、BC交于点M ，连结直线 AC、BD交于点 N，
则直线 lMN 为极点 P对应的极线．类似的，也可得到极点 N 对应的极线为直线 lPM ，极点M 对应的极线为直
线 lPN ，因此，我们把△PMN 称为自极三角形．【即△PMN 的任一顶点作为极点，则顶点对应的边即为对
应的极线，“补全自极三角形”这个技巧很常用，后面结合例题了解！】
如图所示，如果我们连结直线 NM 交圆锥曲线于点 E、F ，则直线 PE、PF 恰好为圆锥曲线的两条切
线，此时，直线 lEF 不仅是极点 P的极线，我们也称直线 lEF 为渐切线．
下面的共轭点模型，实际都是极点在坐标轴上的特例模型的应用，也是高考题常见．
二．完全四边形
1.完全四边形定义
完全四边形两两相交，如下图的四边形 ABCD，没有三线共点的四条直线 AB、BC、CD、DA，及它们
的六个交点， ABE, ADF ,BCF ,DCE两两相交于 A,B,C ,D,E,F 六点，六个点可分成三对相对的顶点,
它们的连线 AC ,BD,EF是三条对角线.则 ABCDEF 即为完全四边形
2.退化二次曲线构造曲线系解读完全四边形
模型构造： f1(x，y) f2 (x，y) f3 (x，y)
x2 y2
如图， A、B分别为椭圆 2 2 1(a b 0)的左右顶点，M 、N为椭圆上任意两点，MN 与 x轴交a b
于点Q， AM 与 BN 交于点 P，我们可以理解为 A，M ，B，N四点确定椭圆（双曲线和抛物线也一致），
那么四点之间连线有 6条，我们选取两条交点在椭圆内的直线乘积式构造弱化二次曲线 f1(x，y) 0，再选
取两条交点在椭圆外的直线乘积式构造另一条弱化的二次曲线 f2 (x，y) 0，可以理解为两条弱化的二次曲
x2 y2
线形成了这个椭圆 f3 (x，y) 2 2 1 0，即 f1(x，y) f2 (x，y) f3 (x，y)a b
注意：这里最终结果会指向一个极点极线性质 xPxQ a
2 ，故在设计 lAB : y 0， lMN : x ky m 0，
f1(x，y) y (x ky m) 0 ， lAM : x k1y a 0， lBN : x k2y a 0
2 2
f2 (x y) (x k y a) (x k y a) 0 y (x ky m) (x k y a) (x k y a) (
x y
， 1 2 ，从而得出： 1 2 2 2 1)；a b
记住：曲线系只需要对比系数，确定参数，无需展开求出 和 ， k， k1， k2 均是斜率倒数，不是斜率．
2
【例 1】（2020 新课标Ⅰ）已知 A， B 分别为椭圆 E : x 22 y 1(a 1)的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，a

AG GB 8． P为直线 x 6上的动点， PA与 E的另一交点为M ， PB与 E的另一交点为 N．
（1）求 E的方程；
（2）证明：直线MN 过定点．
【例 2】（2023 新高考Ⅱ）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为 ( 2 5， 0)，离心率为 5 ．
（1）求C 的方程；
（2）记C 的左、右顶点分别为 A1， A2，过点 ( 4,0)的直线与C的左支交于M ， N两点，M 在第二象限，
直线MA1与 NA2 交于 P，证明 P在定直线上．
跟踪训练
【训练 1】（2011 四川）如图，椭圆有两顶点 A( 1，0)、B(1，0)，过其焦点 F (0，1)的直线 l与椭圆交于C，D
两点，并与 x轴交于点 P．直线 AC与直线 BD交于点Q． 当点 P异于 A，B两点时，求证：OP OQ为定
值．
2 2
【训练 2】已知椭圆C x y： 2 2 1(a b 0)
3
的左右焦点分别为 F1，F2 ，点 P(1， )在C上，且 PF2 F Fa b 2 2 1
．
（1）求C的标准方程；
（2）设C的左右顶点分别为 A，B，O为坐标原点，直线 l过右焦点 F2 且不与坐标轴垂直，l与C交于M ，
N两点，直线 AM 与直线 BN 相交于点Q，证明点Q在定直线上．
三．调和平行弦中点定理
1.调和点列与调和线束
根据完全四边形中的调和点列可知，完全四边形的任意一条对角线的两端,都被它和另外两条对角线
的交点所调和分割.如果我们以 S 点为射影中心， P1,P2 ,P3 ,P4 为调和点列，利用交比不变性，如下图，
(P1P2 ,P3P4 ) (AB,CD) 1，
则 SP1， SP2， SP3 ， SP4均为 S点的调和线束.
2.无穷远点调和点列解读
如图所示，若(P1P2,P3P4)=-1， SP1， SP2 ， SP3 ， SP4 均为 S点的调和线束，过 P4S 延长线上任意一
点 A作 AB // SP1分别交 SP3 和 SP2于点 B和 C，则 AC BC .
证明：根据交比不变性，若(P1P2,P3P4)=-1，则 (A，B；C， ) 1 ,故 AC CB .
3.调和平行中点定理推论
若 A，M，B，N是调和点列，如下图所示，过 A作任意直线 l，在 l上任取一点 C，连接 CM，CN，过
N作 DE//CM交 AC和 BC于 D、E两点，则必有：
①DN=EN，
②在 CN上任取一点 R，作 PQ//CM//DE交 AC于 P，交 BC于 Q，则 PR=QR.
注意：本定理的逆定理也成立.
题型一 角平分线定理
2 2
已知 AB x y交椭圆 2 2 1 a b 0 )长轴(短轴)于点 P,B,B
r 是椭圆上关于长轴(短轴)对称的两点，直
a b
x x y y
线 AB Q P Q P Q交长轴(短轴)于 ，则 2 1或 2 1.(双曲线也有相同调和共轭性质)a b
极点极线背景分析：如右图，由于点 P 与 Q 符合调和共轭，则以 P 为极点的极线是 QN，故 N、A、P、B 是调
BP BQ BN BQ BQ
和点列， (内角平分线定理)，作 A 关于 x 轴对称的点 A ，则 .
PA AQ NA QA QA
x2 y2
【例 3】已知椭圆C1 : 2 2 1 (a b 0)，其短轴长为 2 3，离心率为 ea b 1
，双曲线
x2C y
2
2 : 1(p 0，q 0)的渐近线为 y 3x，离心率为 e2，且 e1 e2 1．p q
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的右焦点为 F ，动直线 l(l不垂直于坐标轴）交椭圆C1于M ，N不同两点，设直线 FM 和 FN
的斜率为 k1， k2 ，若 k1 k2 ，试探究该动直线 l是否过 x轴上的定点，若是，求出该定点；若不是，请说
明理由．
题型二．斜率和为 0与内外角平分线解读
x2 y2
已知点 A,B是椭圆 1(a b 0)上的动点, P x , y ,直线 PA,PB的斜率和为 0,则直线a2 2 ABb 0 0
b2x0
的斜率为 2 .a y0
如图所示,过点P作 x, y轴的平行线,分别交 AB于点N ,M ,则 PM ,PN 分别是 APB的内角,外角平分
线,所以 (AB,MN ) 1,所以M (x0 ,m),N n, y
x n m y
0 是椭圆的一组调和共轭点,即
0 0
2 2 1,a b
2
k m y0 b x 0AB .x0 n a
2y0
x2 y2
【例 4】(2022 新高考Ⅰ卷)已知 A(2，1)在双曲线C : 2 2 1(a 1)上,直线 l交C于 P、Q两点,直线a a 1
AP , AQ斜率之和为 0.求 l的斜率;
题型三 内外角平分线与焦点准线
1.椭圆外角平分线与焦准模型
外角平分线模型设 F 和 l是圆雉曲线一组对应的焦点和准线,圆雉曲线的弦 AB交准线 l于点M ,则M 到
AF ,BF的距离是相等的,亦即MF是 AFB的内角平分线或者外角平分线.
显然,当且仅当弦 AB交双曲线于两支时,MF是 AFB的内角平分线.
证明:如图,过点 A,B
AF AM AP
作准线 l的垂线,垂足分别为M ,N ,则 ,根据外角平分线的逆定理,所
BF BN PB
以 PF平分 AFB的外角.
2. 双曲线内角平分线与焦准模型
证明:如图,过点 A,B M ,N
AF AM AP
作准线 l的垂线,垂足分别为 ,则 ,根据 内角平分线的逆定理,所
BF BN PB
以 PF平分 AFB的外角.
2 2
【例 5】设 F 为椭圆C : x y 1的右焦点，不垂直于 x轴且不过点 F 的直线 l与C交于M ， N两点，在
4 3
MFN中，若 MFN 的外角平分线与直线MN 交于点 P，则 P的横坐标为 ．
3. 双外角平分线垂直模型
设 AB，MN是过椭圆焦点 F 的两条弦,MA,NA分别交对应的准线于 P,Q则有 FM FN ;
注意：一般考试中，MN通常为椭圆的左右顶点，所以会经常利用调和线束+平行弦构造中点来考查.
6 E : x
2 y2
【例 】已知椭圆 2 2 1(a b 0)的左、右顶点分别为 A、B，点 F 是椭圆 E的右焦点，点Q在椭a b
1
圆 E上，且 |QF |的最大值为 3，椭圆 E的离心率为 ．
2
（1）求椭圆 E的方程；
（2）若过点 A的直线与椭圆 E交于另一点 P（异于点 B)，与直线 x 2交于一点M ， PFB的角平分线与
直线 x 2交于点 N，求证：点 N是线段 BM 的中点．
跟踪训练
2
【训练3 x】(2018全国卷 I)设椭圆C : y2 1的右焦点为 F ，过 F 的直线 l与C交于 A,B两点，点M 的坐
2
标为 (2 , 0) .
(1)当 l与 x轴垂直时，求直线 AM 的方程;
(2)设O为坐标原点，证明: OMA OMB .
x2 y2
【训练 4】已知双曲线 E : 2 1(a 0)的左焦点为 F ， A， B分别为双曲线的左、右顶点，顶点到双a 3
3
曲线的渐近线的距离为 ．
2
（1）求 E的标准方程；
（2）过点 B的直线与双曲线左支交于点 P（异于点 A)，直线 BP与直线 l : x 1交于点M ， PFA的角平
分线交直线 l于点 N，证明： N是MA的中点．
题型四 调和点列+平行弦中点
2 2
【例 7 x y】(2020 北京)已知椭圆C :
a2
2 1过点 A( 2 , 1)，且 a 2b .b
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点 B( 4 , 0) l | PB |的直线 交椭圆C于点M ,N ，直线MA,NA分别交直线 x 4于点 P,Q .求 的值.
| BQ |
y
Q
M
N
B O x
A
P
x2 y2
【例 8】(2018 6北京文)已知椭圆M : 2 2 1(a b 0)的离心率为 ，焦距为 2 2 .斜率为 k的直线 l与a b 3
椭圆M 有两个不同的交点 A、 B .
(1)求椭圆M 的方程;
(2)若 k 1，求 | AB |的最大值;
(3)设 P( 2 , 0)，直线 PA与椭圆M 的另一个交点为C，直线 PB与椭圆M 的另一个交点为 D .若C,D和点
Q( 7 , 1 ) 共线，求 k .
4 4
跟踪训练
2 2
【训练 5】（2023 x y 全国一模）已知双曲线 C :
a2

b2
1(a 0,b 0) 过点 A(3, 2) ，且渐近线方程为
x 3y 0．
（1）求双曲线C的方程；
（2）如图，过点 B(1,0)的直线 l交双曲线C于点M 、 N．直线MA、 NA分别交直线 x 1于点 P、Q，求
| PB |
的值．
| BQ |
x2 y2
【训练 6】已知椭圆C : 1，斜率为 1的直线 l与椭圆交于 A、B两点，点M (4 , 0)，直线 AM 与椭
4 3
圆交于点 A1，直线 BM 与椭圆交于 B1，求证:直线 A1B1过定点.
考向 3 调和线束斜率关系
1.调和线束的斜率关系
调和线束的斜率关系:若 l1, l3;l2 , l4 是调和线束,则它们的斜率满足
k1 k2 k k 1 1 2 1 4
k2 k3 k3 k
，
4 k1 k2 k1 k4 k1 k3
2 k1k3 k2k4 k1 k3 k2 k4
题型一：利用斜率关系判断定点定值
2 2
【例 1】（2023 y x 乙卷）已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)
5
的离心率为 ，点 A( 2,0)在C上．
a b 3
（1）求C 的方程；
（2）过点 ( 2,3)的直线交C于点 P，Q两点，直线 AP，AQ与 y轴的交点分别为M ，N，证明：线段MN
的中点为定点．
x2 y2
【例 2】(2022北京卷)已知椭圆 E : 2 2 1(a b 0)的一个顶点为 A(0，1) ,焦距为 2 3 .a b
(1)求椭圆 E的方程
(2)过点 P( 2，1)作斜率为 k的直线与椭圆 E交于不同的两点 B ,C ,直线 AB，AC 分别与 x轴交于点M , N .
当 |MN | 2时,求 k的值.
【例 3 3】(2022 全国乙卷)已知椭圆 E的中心为坐标原点，对称轴为 x轴、 y轴，且过 A(0 , 2),B( , 1)两
2
点.
(1)求 E的方程;
(2)设过点 P(1 , 2) 的直线交 E于M ,N 两点，过M 且平行于 x轴的直线与线段 AB交于点T，点 H 满足

MT TH .证明:直线 HN 过定点.
题型二. 调和共轭点与斜率等差
x2 y2
椭圆或双曲线 2 2 1中，设直线 AB与椭圆或双曲线交于 A、 B两点，且直线 AB与 x轴、 y轴的交点a b
分分别为M(m，0)、N(0，n)，点M 和点 N均不是椭圆顶点．
a2
（1）若点 P在直线 x 上，则 k
m PA
kPB 2kPM；
x24 y
2
【例 】已知椭圆 E : 1 (a b 0)经过点Q( 2,0) ，且直线bx cy bc 0(c a2 b2 且 c b)2 2 与a b
x2圆 y2
3
相切．
4
（1）求椭圆 E的标准方程；
（2）若过点M (1，0)的直线 l交 E于 A，B两点，是否存在定点 P，使直线 AP与直线 BP的斜率之和为 2？
若存在，求出该定点；若不存在，请说明理由．
b2 1 1 2
（2）若 P是直线 y 上任一点，则 ．
n kPA kPB kPN
（3）过圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）焦点 F 的任一直线交圆锥曲线于 A、B两点，交对应准线于点
N，点 P位于圆锥曲线的通径所在直线上，则 kPA kPB 2kPN．
注意：本结论将 F换成M (m，0)，且 PM x轴，M与 N满足调和共轭， kPA kPB 2kPN也成立.
2 2
【例 5】已知双曲线 C： 2 2 =1（a＞0，b＞0）的离心率为 2，点 M（3，﹣1）在双曲线 C上．
（1）求双曲线 C的方程；
（2）若 F为双曲线的左焦点，过点 F作直线 l交 C的左支于 A，B两点．点 P（﹣4，2），直线 AP交直
线 x＝﹣2于点 Q．设直线 QA，QB的斜率分别 k1，k2，求证：k1﹣k2为定值．
2 2
【例 6】(2013 ) x y 3江西文 椭圆C： 2 2 1（ a b 0）的离心率为 e ， a b 3 .a b 2
（1）求椭圆C 的方程；
（2）如图， A， B，D是椭圆C的顶点， P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线 DP交 x轴于 N直线 AD
交 BP于点M ，设 BP的斜率为 k，MN 的斜率为m，证明为 2m k为定值.
跟踪训练
2 2
【训练 1 x y 3】已知双曲线 E： 2 2 1的左右焦点为 F1， F2，其右准线为 l，点 F 到直线 l的距离为 ，过a b 2 2
点 F2的动直线交双曲线 E于 A，B两点，当直线 AB与 x轴垂直时， AB 6 .
(1)求双曲线 E的标准方程；
(2)设直线 AF1与直线 l的交点为 P，证明：直线 PB过定点.
【训练 2】在平面直角坐标系 xOy 中, 点 F( 3,0) , 点D(x, y)是平面内的动点. 若 DF为直径的圆与圆
O : x2 y2 4内切, 记点D的轨迹为曲线 E
(1) 求 E的方程;
(2) 设点 A(0,1),M (t,0),N (4 t,0)(t 2) ,直线 AM , AN 分别与曲线 E交于点 S ,T (S ,T 异于 A ) AH ST ,
垂足为H ,求 |OH | 的最小值.
x2 y2
【训练 3】（2013江西理）如图，椭圆 C： 2 2 1（ a b 0）经过点 P(1 ,
3)，离心率 e 1 ，直线 l的
a b 2 2
方程为 x 4 .
（1）求椭圆C 的方程；
（2）AB是经过右焦点 F 的任一弦（不经过点 P），设直线 AB与直线 l相交于点M ，记 PA，PB，PM
的斜率分别为 k1，k2，k3 .问：是否存在常数 ，使得 k1 k2 k3？若存在，求 的值；若不存在，说明理
由.
2 2
【例 7】过点 (4, 2) x y的动直线 l与双曲线 E : 1(a 0,b 0)交于 M ,N 两点2 2 ,当 l与 x 轴平行a b
时, |MN | 4 2 ,当 l与 y轴平行时, |MN | 4 3 .
(1)求双曲线 E的标准方程;
(2)点P是直线 y x 1上一定点,设直线 PM ,PN 的斜率分别为 k1, k2 ,若 k1k2为定值,求点 P的坐标.
【解析】(1)双曲线E的标准方程为 x2 y2 4 ;
跟踪训练
x2 y2
【训练 4】已知椭圆 C : 2 2 1(a b 0)
3
的离心率为 , 过点 P(a,b) 的直线 l 与椭圆 C
a b 2
交于 A,B 两点, 当 l 过坐标原点 O 时, | AB | 10 .
(I )求椭圆 C 的方程;
(II) 线段 OP 上是否存在定点 Q , 使得直线 QA 与直线 QB 的斜率之积为定值. 若存在,求出点 Q
的坐标; 若不存在, 请说明理由.
考向 4 帕斯卡定理
一．帕斯卡（Pascal）定理及其逆定理
图 1 L，M，N三点共线
图 2 L，M，N三点共线
已知1,2,3,4,5,6是二阶点列上任意六个点,我们记:
12与 45的交点为L ,
23与 56的交点为M ,
34与 61的交点为 N ,
那么 L、M和 N 三点共线(此直线叫 Pascal线)。
二．帕斯卡定理中点的名称的替换
帕斯卡定理中,123456 六个点的排列次序是任意的,但无论怎样排列,必须构成一回路。图 1和 2 的回
路按顺时针排列次序分别为 152463和 156423。下面我们再举几个不同排列次序,看它们的结果怎样
我们考察顺序为 136425的六点。根据定理:12与 45的交点为 L ,23与 56的交点为M ,34与 61的交点
为 N ,可得到下图所示结果:
图 3对于 136425六点排列次序的帕斯卡定理
可以看出,与图 1(或 3)的差别是 L,N两点的上下位置进行了互换,M仍在它们中间。
再考察顺序为 163524(或635241,352416,524163,241635 ,416352)的六点。根据定理,可得到下图所示结果:
图 4对于 163524排列次序的帕斯卡定理
可以看出,点 L位于M 和 N 两点的中间, N 跑到了曲线外边。LNM三点仍保持共线。
再考察六点位置完全为递增的自然顺序 123456。根据定理的陈述,可得到下图所示结果:
图 5对于 123456六点原始次序的 Pascal定理
从上图可以看出, L,M ,N 三点的排列位置和图 2类似,且三点也都位于曲线之外部。
L，M，N三个点中,也允许有无穷远点。例如,图 5中若有一对边平行,如 23与 56平行,则它们的交点M
是与 23和 56有共同方向的无穷远点,如图 6所示。
图 6帕斯卡定理中允许有无穷远交点
究竟有多少种不同的情况呢 对于 6 点位置 ,共有 6! 720 种排列 ,但轮换相同的 6 种排列 (如
123456,234561, ,612345)构成的回路相同,顺时针和逆时针排,如 123456和 564321,也代表相同回路,不同
排列的回路（即 Hamilton回路）情况为(6-1)!/2=60种。帕斯卡定理说明对于这 60种不同的回路都会使它们
的 6顶点的三组对边的交点 L、M、N共线。
最后还要说明两点:六个顶点中,如相邻两个顶点有 1到 3个重合,这样六个点就变成 5个、4个或 3个,
这时帕斯卡定理仍然成立。
x2 y2
【例 1】（2023 北京）已知椭圆 E : 2 2 1(a b
5
0)的离心率为 ，A、C分别为 E的上、下顶点，B、
a b 3
D分别为 E的左、右顶点， | AC | 4．
（1）求 E的方程；
（2）点 P为第一象限内 E上的一个动点，直线 PD与直线 BC交于点M ，直线 PA与直线 y 2交于点 N．求
证：MN / /CD．
2 2
【例 2】已知点 A， B是椭圆 E : x y 32 2 1(a b 0)的左，右顶点，椭圆 E的短轴长为 2，离心率为 ．a b 2
（1）求椭圆 E的方程；
（2）点O是坐标原点，直线 l经过点 P( 2,2)，并且与椭圆 E交于点M ，N，直线 BM 与直线OP交于点T，
设直线 AT ， AN的斜率分别为 k1， k2 ，求证： k1k2为定值．
2 2
【例 3】已知 A1( 3,0)和 A
x y
2 (3,0)是椭圆 : 2 2 1(a b 0)的左、右顶点，直线 l与椭圆 相交于M ，Na b
5
两点，直线 l不经过坐标原点O，且不与坐标轴平行，直线 A1M 与直线 A2M 的斜率之积为 ．9
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线OM 与椭圆 的另外一个交点为 S，直线 A1S与直线 A2N 相交于点 P，直线 PO与直线 l相交于
点Q，证明：点Q在一条定直线上，并求出该定直线的方程．
【例 4】已知如图，点 B1， B
2
2为椭圆C的短轴的两个端点，且 B2的坐标为 (0,1)，椭圆C的离心率为 ．2
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线 l不经过椭圆C的中心，且分别交椭圆C与直线 y 1于不同的三点 D， E， P（点 E在线
段DP上），直线 PO分别交直线 DB2 ， EB2 于点M ， N．求证：四边形 B1MB2N 为平行四边形．
跟踪训练
x2 y2
【训练 1】已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)
3
的离心率为 , A1, A2 ,B分别为椭圆C的左、右和上顶点，直线a b 2
A1B交直线 l : y x于点 P，且点 P的横坐标为 2．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点 P的直线与椭圆C 交于第二象限内 D， E两点，且 E在 P，D之间， A1E与直线 l交于点M ，
试判断直线 A1D与 A2M 是否平行，并说明理由．

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