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9.3 圆锥曲线大题篇课后练习
1．（2024 广州模拟）已知 B( 2,0)，C(2,0)为 ABC的两个顶点，P为 ABC的重心，边 AC， AB上的两
条中线长度之和为 3 6 ．
（1）求点 P的轨迹 的方程；
2．（2024 江西模拟）在平面直角坐标系 xOy中，点 P到 F1(0, 5)和 F2 (0, 5)的距离之和等于 6，记动点 P
的轨迹为W ．
（1）求W 的轨迹方程；
3．（2024 广西模拟）在平面直角坐标系中，F (1,0)，直线 l1 : x 1，动点M 在直线 l1 上，过点M 作直线 l1
的垂线，与线段 FM 的中垂线交于点 P．
（1）求点 P的轨迹C1的方程 t．
4．（2024 陕西模拟）已知T是 A : (x 1)2 y2 16上的动点 (A点是圆心）．定点 B(1,0)，线段TB的中垂线
交直线TA于点 P．
（1）求 P点轨迹 ；
5．（2024 福建模拟）在直角坐标系 xOy中，点 P到直线 x 2的距离等于点 P到原点O的距离，记动点 P
的轨迹为W ．
（1）求W 的方程；
6．（2024 锦州模拟）已知G是圆T : (x 1)2 y2 12上一动点 (T 为圆心），点H 的坐标为 (1,0)，线段GH 的
垂直平分线交TG于点 R，动点 R的轨迹为C．
（1）求曲线C 的方程；

（2）设 P是曲线C上任一点，延长OP至点Q，使OQ 2OP，点Q的轨迹为曲线 E．
(i)求曲线 E的方程；
7．（2024 江苏模拟）在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A1(2,0)，A2 ( 2,0)，P为平面内一动点，记直线 PA1
的斜率为 k，直线 PA2的斜率为 k2 ，且 k1k2 4，记动点 P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C 的方程；
8．（2024 3 辽阳模拟）在平面直角坐标系 xOy内，已知定点 F (2,0)，定直线 l : x ，动点 P到点 F 和直线 l
2
2 3
的距离的比值为 ，记动点 P的轨迹为曲线 E．
3
（1）求曲线 E的方程．

9．（2024 苏州模拟）已知点 A(1,0)，B(0,1)，C(1,1)和动点 P(x, y)满足 y2是 PA PB，PA PC的等差中项．
（1）求 P点的轨迹方程；
10．（2024 重庆月考）已知C1( 2,0)，C2 (2,0)，动点 P满足 PC
1
1与 PC2 的斜率之积为定值 ．4
（1）求动点 P的轨迹 的方程；
11．（2024 重庆模拟）在平面直角坐标系 xOy中，点 D为 x2 y2 1上一动点，点 A，B分别在 x轴， y轴

上且 DA x轴， DB y轴，若 BA AW ，点W 的轨迹记为曲线C．
（1）求曲线C 的轨迹方程；
x2 y212．（2020 海南）已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)过点M (2,3)
1
，点 A为其左顶点，且 AM 的斜率为 ．
a b 2
（1）求C 的方程；
（2）点 N为椭圆上任意一点，求 AMN的面积的最大值．
2 2
13 x y 3．（2024 桂林模拟）已知椭圆C : 2 1(a b 0)的离心率为 ，且椭圆C 的短轴长为 2 6．a b2 3
（1）求椭圆C 的方程．
（2）设 P是椭圆C上第一象限内的一点， A是椭圆C的左顶点， B是椭圆C的上顶点，直线 PA与 y轴相
交于点M ，直线 PB与 x轴相交于点 N．记 ABN 的面积为 S1 ， AMN的面积为 S2 ．证明： | S1 S2 |为定
值．
2 2
14（. 2024 x y 2 武汉模拟）已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)的左右顶点分别为 A , B ,过椭圆内点D( ，0)且不与a b 3
x轴重合的动直线交椭圆C于 P，Q两点,当直线 PQ与 x轴垂直时,
PD BD 4 .
3
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)设直线 AP， AQ和直线 l : x t分别交于点M ,N ,若MD⊥ND恒成立,求 t的值.
x2 y2
15.（2024 北京模拟）已知 F1，F2 分别为椭圆 E : 2 2 1(a b 0)的左、右焦点，点M (0, 1)为椭圆的a b
一个顶点，△ F1MF2 是顶角为120 的等腰三角形．
（1）求椭圆 E的方程；
（2）过点M 分别作直线MA，MB交椭圆 E于 A，B两点，设两直线的斜率分别为 k1，k2 ，且 k1 k2 4，
求证：直线 AB过定点．
x2 y2
16.(2024 南宁模拟)如图，椭圆 E : 2 1(a b 0)经过点 A(0， 1)
2
，且离心率为 ．
a b2 2
(Ⅰ)求椭圆 E的方程；
(Ⅱ)经过点 (1，1)，且斜率为 k的直线与椭圆 E交于不同的两点 P，Q（均异于点 A)，证明：直线 AP与 AQ
的斜率之和为 2．
x2 y2 2
17.（2024 广东模拟）已知点 P( 2，1)是椭圆 E : 2 2 1(a b 0)上一点,且 E的离心率为 .a b 2
(1)求椭圆 E的方程;
(2)点 A，B在椭圆 E上, PD AB，D 1为垂足,若直线 PA和直线 PB斜率之积为 .求证:存在定点 N ,使
6
得 | ND |为定值.
2 2
18.（2024 x y 湖南模拟）已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)的左、右顶点分别为 A， B ,右焦点 F , | AF | 3，a b
过 F 的直线 l与椭圆C交于M ， N两点,且△AMN 面积是△BMN 面积的 3 倍.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线 AM ，AN与直线 x 4分别交于 P，Q两点,试问:以 PQ为直径的圆是否过定点 若是,求出定点
坐标;若不是,说明理由.
19.（2024 福州模拟）已知抛物线 E : y2 2px(p 0)，过点 ( 2,0)的两条直线 l1 ， l2 分别交 E于 AB两点和
C，D 2两点．当 l1 的斜率为 时， | AB | 13．3
（1）求 E的标准方程；
（2）设G为直线 AD与 BC的交点，证明：点G必在定直线上．
20.（2024 甘肃模拟）已知抛物线C : y2 2px(p 0)，焦点为 F ，点M (4， y0 )(y0 0)在抛物线C 上，且
|MF | 5．
（1）求抛物线C的方程；

（2）若 A(x1， y1)、B(x2 ， y2 )在抛物线C 上，点M 、 A、B中任意两点不重合，且MA MB 0，判断直
线 AB是否过定点，若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由．
21.（2024 贵州模拟）已知抛物线C : x2 2py(p 0)上的点 P(x0 ，1)到其焦点 F 的距离为 2．
（1）求抛物线C的方程及点 F 的坐标；
（2）过抛物线C上一点Q作圆M : x2 (y 3)2 4的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线C 交于异于点Q
的 A， B两点．证明：直线 AB与圆M 相切．
x2 y2 2 2 3
22.(2024 河北模拟)已知椭圆C : 2 2 1(a b 0) 的离心率 e ，且过点 P ( 6， ) .a b 3 3
(1)求椭圆C的方程;
x y
(2)设 A1， A2为椭圆C的左.右顶点，直线 l : 1与椭圆C交于 E， F 两点，点 F 关于原点O的对称m n
点为 F ，直线 A1E与直线 A2G交于点M ，求证:直线OM 与直线 EF 的交点 N在定直线上.
x2 y2
23.(2024 湖北模拟)设椭圆C : 2 2 1(a b 0) 的左.右顶点分别为 A , B ,上顶点为 D ,点 P是椭圆Ca b
3
上异于顶点的动点,已知椭圆的离心率 e ,短轴长为 2,
2
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线 AD与直线 BP交于点M ，直线 DP与 x轴交于点 N ,求证:直线MN 恒过某定点，并求出该定点.
x2 y2
24.（2024 黑龙江模拟）已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)的离心率 e
1
，短轴长为 2 3．
a b 2
（1）求椭圆C 的方程；
3
（2）已知经过定点 P(1,1)的直线 l与椭圆相交于 A，B两点，且与直线 y x相交于点Q，如果 AQ AP，
4

QB PB，那么 是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．
25.（2024 四川模拟）设抛物线C : y2 2px(p 0)的焦点为 F ，过点 P(0 , 4)的动直线 l与拋物线C交于 A,B
两点，当 F 在 l上时，直线 l的斜率为 2 .
(1)求抛物线的方程:

(2)在线段 AB上取点D，满足 PA PB,AD DB，证明:点D总在定直线上.
x2 y22024 126.（ 黑龙江模拟）已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)的离心率 e ，短轴长为 2 3．a b 2
（1）求椭圆C 的方程；

（2）已知经过定点 P(1,1) 3的直线 l与椭圆相交于 A，B两点，且与直线 y x相交于点Q，如果 AQ AP，
4

QB PB，那么 是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．
x2
27.(2020 新课标 I)已知 A,B 分别为椭圆 E : 2 y
2 1(a 1) 的左、右顶点， G 为 E 的上顶点，
a

AG .GB 8 . P为直线 x 6上的动点， PA与 E的另一交点为C,PB与 E的另一交点为 D .
(1)求 E的方程;
(2)证明:直线CD过定点.
2
M : x y
2
28.(2018 北京文)已知椭圆 2 2 1(a b
6
0)的离心率为 ，焦距为 2 2 .斜率为 k的直线 l与椭圆
a b 3
M 有两个不同的交点 A、 B .
(1)求椭圆M 的方程;
(2)若 k 1，求 | AB |的最大值;
(3)设 P( 2 , 0)，直线 PA与椭圆M 的另一个交点为C，直线 PB与椭圆M 的另一个交点为 D .若C,D和点
Q( 7 1 , ) 共线，求 k .
4 4
2 2
29.（2024 x y 南京月考）如图，在平面直角坐标系中， F1， F2 分别为双曲线 : 2 2 1(a 0,b 0)的左、a b
右焦点，双曲线离心率为 2 ，若点 A为双曲线右支上一点，且 | AF1 | | AF2 | 2 2，直线 AF2 交双曲线于 B
点，点 D为线段 F1O的中点，延长 AD， BD，分别与双曲线 交于 P，Q两点．
（1）若 A(x1， y1)， B(x2 ， y2 )，求证： x1y2 x2 y1 2(y2 y1)；
2 k k（ ）若直线 AB，PQ的斜率都存在，且依次设为 k1，k2 .试判断 2 是否为定值，如果是，请求出 2 的值；k1 k1
如果不是，请说明理由．
x2 230.（2010 y江苏）椭圆 1的左右顶点为 A， B，右焦点为 F ．设过点T (9，m)的直线TA，TB分
9 5
别与椭圆交于M (x1，y1)， N (x2 ，y2 )，其中m 0， y1 0， y2 0．求证：直线MN 必过 x轴上一个定
点．
x2 y231.（2016 山东）已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)的长轴长为 4，焦距为 2 2．a b
（1）求椭圆C的方程；
（2）过动点M (0，m)(m 0)的直线交 x轴与点 N，交C于点 A， P(P在第一象限），且M 是线段 PN 的
中点．过点 P作 x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM 交C于点 B．
①设直线 PM，QM k的斜率分别为 k ， k 21 2，证明 为定值；k1
②求直线 AB的斜率的最小值．
2
32.（2024 x 上海模拟）已知椭圆C的方程为 y2 1．
2
x x
（1）设M (xM ， yM )是椭圆C 上的点，证明：直线 M yM y 1与椭圆C有且只有一个公共点；2
（2）过点 N (1, 2)作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为 A、 B，点 N在直线 AB上的射
影为点Q，求点Q的坐标；
（3）互相垂直的两条直线 l1 与 l2 相交于点 P，且 l1 、 l2 都与椭圆C只有一个公共点，求点 P的轨迹方程．
33．（2024 福建模拟）在 ABC中， ABC 90 ，AB 6， ACB的平分线交 AB于点 D，AD 2DB．平
面 过直线 AB，且与 ABC所在的平面垂直．
（1）求直线CD与平面 所成角的大小；
（2）设点 E ，且 ECD 30 ，记 E的轨迹为曲线 ．
(i)判断 是什么曲线，并说明理由；
(ii)不与直线 AB重合的直线 l过点 D且交 于 P，Q两点，试问：在平面 内是否存在定点T，使得无论 l
绕点 D如何转动，总有 PTC QTC？若存在，指出点T的位置；若不存在，说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
9.3 圆锥曲线大题篇课后练习
1．（2024 广州模拟）已知，为的两个顶点，为的重心，边，上的两条中线长度之和为．
（1）求点的轨迹的方程；
2．（2024 江西模拟）在平面直角坐标系中，点到和的距离之和等于6，记动点的轨迹为．
（1）求的轨迹方程；
3．（2024 广西模拟）在平面直角坐标系中，，直线，动点在直线上，过点作直线的垂线，与线段的中垂线交于点．
（1）求点的轨迹的方程．
4．（2024 陕西模拟）已知是上的动点点是圆心）．定点，线段的中垂线交直线于点．
（1）求点轨迹；
5．（2024 福建模拟）在直角坐标系中，点到直线的距离等于点到原点的距离，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
6．（2024 锦州模拟）已知是圆上一动点为圆心），点的坐标为，线段的垂直平分线交于点，动点的轨迹为．
（1）求曲线的方程；
（2）设是曲线上任一点，延长至点，使，点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
7．（2024 江苏模拟）在平面直角坐标系中，已知点，，为平面内一动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
8．（2024 辽阳模拟）在平面直角坐标系内，已知定点，定直线，动点到点和直线的距离的比值为，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程．
9．（2024 苏州模拟）已知点，，和动点满足是，的等差中项．
（1）求点的轨迹方程；
10．（2024 重庆月考）已知，，动点满足与的斜率之积为定值．
（1）求动点的轨迹的方程；
11．（2024 重庆模拟）在平面直角坐标系中，点为上一动点，点，分别在轴，轴上且轴，轴，若，点的轨迹记为曲线．
（1）求曲线的轨迹方程；
12．（2020 海南）已知椭圆过点，点为其左顶点，且的斜率为．
（1）求的方程；
（2）点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值．
13．（2024 桂林模拟）已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为．
（1）求椭圆的方程．
（2）设是椭圆上第一象限内的一点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点．记的面积为，的面积为．证明：为定值．
14.（2024 武汉模拟）已知椭圆的左右顶点分别为,,过椭圆内点且不与轴重合的动直线交椭圆于，两点,当直线与轴垂直时,
.
(I)求椭圆的标准方程;
(II)设直线，和直线分别交于点,若恒成立,求的值.
15.（2024 北京模拟）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆的一个顶点，△是顶角为的等腰三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，求证：直线过定点．
16.(2024 南宁模拟)如图，椭圆经过点，且离心率为．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点，证明：直线与的斜率之和为2．
17.（2024 广东模拟）已知点是椭圆上一点,且的离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)点，在椭圆上,，为垂足,若直线和直线斜率之积为.求证:存在定点,使得为定值.
18.（2024 湖南模拟）已知椭圆的左、右顶点分别为，,右焦点,，过的直线与椭圆交于，两点,且面积是面积的3倍.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线，与直线分别交于，两点,试问:以为直径的圆是否过定点 若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.
19.（2024 福州模拟）已知抛物线，过点的两条直线，分别交于两点和，两点．当的斜率为时，．
（1）求的标准方程；
（2）设为直线与的交点，证明：点必在定直线上．
20.（2024 甘肃模拟）已知抛物线，焦点为，点，在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）若，、，在抛物线上，点、、中任意两点不重合，且，判断直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由．
21.（2024 贵州模拟）已知抛物线上的点，到其焦点的距离为2．
（1）求抛物线的方程及点的坐标；
（2）过抛物线上一点作圆的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线交于异于点的，两点．证明：直线与圆相切．
22.(2024 河北模拟)已知椭圆的离心率，且过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设，为椭圆的左.右顶点，直线与椭圆交于，两点，点关于原点的对称点为，直线与直线交于点，求证:直线与直线的交点在定直线上.
23.(2024 湖北模拟)设椭圆的左.右顶点分别为,,上顶点为,点是椭圆上异于顶点的动点,已知椭圆的离心率,短轴长为2,
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与直线交于点，直线与轴交于点,求证:直线恒过某定点，并求出该定点.
24.（2024 黑龙江模拟）已知椭圆的离心率，短轴长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知经过定点的直线与椭圆相交于，两点，且与直线相交于点，如果，，那么是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．
25.（2024 四川模拟）设抛物线的焦点为，过点的动直线与拋物线交于两点，当在上时，直线的斜率为.
(1)求抛物线的方程:
(2)在线段上取点，满足，证明:点总在定直线上.
26.（2024 黑龙江模拟）已知椭圆的离心率，短轴长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知经过定点的直线与椭圆相交于，两点，且与直线相交于点，如果，，那么是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．
27.(2020 新课标I)已知分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，..为直线上的动点，与的另一交点为与的另一交点为.
(1)求的方程;
(2)证明:直线过定点.
28.(2018北京文)已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.
(1)求椭圆的方程;
(2)若，求的最大值;
(3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若和点共线，求.
29.（2024 南京月考）如图，在平面直角坐标系中，，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线离心率为，若点为双曲线右支上一点，且，直线交双曲线于点，点为线段的中点，延长，，分别与双曲线交于，两点．
（1）若，，，，求证：；
（2）若直线，的斜率都存在，且依次设为，试判断是否为定值，如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由．
30.（2010 江苏）椭圆的左右顶点为，，右焦点为．设过点的直线，分别与椭圆交于，，其中，，．求证：直线必过轴上一个定点．
31.（2016 山东）已知椭圆的长轴长为4，焦距为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过动点，的直线交轴与点，交于点，在第一象限），且是线段的中点．过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点．
①设直线PM，QM的斜率分别为，，证明为定值；
②求直线的斜率的最小值．
32.（2024 上海模拟）已知椭圆的方程为．
（1）设，是椭圆上的点，证明：直线与椭圆有且只有一个公共点；
（2）过点作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为、，点在直线上的射影为点，求点的坐标；
（3）互相垂直的两条直线与相交于点，且、都与椭圆只有一个公共点，求点的轨迹方程．
33．（2024 福建模拟）在中，，，的平分线交于点，．平面过直线，且与所在的平面垂直．
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）设点，且，记的轨迹为曲线．
判断是什么曲线，并说明理由；
不与直线重合的直线过点且交于，两点，试问：在平面内是否存在定点，使得无论绕点如何转动，总有？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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9.3 圆锥曲线大题篇
俗话说“小题靠结论，大题靠模板”，的确，无论是新高考还是老高考，平常积累的一些二级结论确实对解决小题有着很大的帮助，尤其一些有着几何背景和数据的模型，对解决离心率之类问题帮助很大。到了解答题，课本给到我们最直接的就是“直曲联立”，将直线代入圆锥曲线，得到二次方程，这也是最常规的方法，被广泛认同，甚至成为了官方标答。
但是，这个真的好算吗？老师课堂上最常见的就是联立后交给学生们去自行操作，巨大的计算量不知不觉“劝退”了不少学生，他们拿第一问分数，第二问技巧性的联立“骗分”。新高考模式下，一些常规联立能解决的问题由于都考过，所以越来越少，所以导致简单的大家都会，难一点的大家都跪。我们陆陆续续介绍了圆锥曲线的各种方法，并给予解答题的汇总，以及什么情况下用什么方法，以便我们更加高效地学习并理解圆锥曲线。
年份 新高考1 新高考2 甲卷 乙卷 北京 天津 浙江
2023 垂直弦 弦长 斜率比 极点极线背景 抛物线焦半径 简单面积处理 斜率和定值 调和线束平行中点定理 单动点 五边形 帕斯卡定理背景 面积比转化为坐标比
2022 斜率和 2.面积 1.中点 2.斜率 3.退化二次曲线布利安桑定理背景 1.抛物线截距等比 2.最大张角 定点 隐藏斜率倒数和定值 隐藏斜率倒数和为定值 切线 单动点 隐藏斜率积为定值 弦长最值
2021 四点共圆 弦长 焦点弦 抛物线彭塞列闭合 阿基米德三角形面积 隐藏斜率积为定值 轴点弦 切线 单动点 长度等比
年份 新高考山东卷 I卷 II卷 III卷 北京 天津 浙江
2020 斜率积定值 过定点 斜率比 定点 极点极线背景 焦点弦长 两圆锥曲线交点 面积 轴点弦 定值 切线 中点弦 两圆锥曲线交点 定比分点
2019 理科：抛物线弦长 文科：抛物线数形结合长度差最值 理科：第三定义+面积最值 文科：焦点三角形 阿基米德三角形面积 抛物线两点式方程 常规联立 求斜率 抛物线两点式方程 面积比值
2018 斜率互补的角平分线模型 抛物线焦点弦 中点弦 理科：抛物线两点式方程 文科：轴点弦蝴蝶模型 常规联立 求斜率 平行弦定比分点 面积最值
通过对近五年的高考题进行分析，由于教材内容的区别，上海卷笔者没有采纳，在2018、2019的高考题当中，圆锥曲线难度偏低，考题模型相对固定，甚至作为高考倒数第三题出现，当时就出现了一些声音，比如概率压轴常态化，比如圆锥曲线难度大大降低，只需要基本联立和代入计算。
当2020年新高考在山东卷进行试点时，圆锥曲线作为压轴题出现，将椭圆上共顶点的两垂直弦作为条件，隐藏第三条边过定点，从而开启了新高考圆锥曲线的命题核心——“藏”。而一卷则模仿2010年江苏卷命制了以极点极线为背景的求定点问题，其破题本质还是隐藏了斜率比值为定值。而北京卷却以轴点弦为背景，两个三点共线为辅助，也是经典的“1+2”模型，背景来自调和线束平行线中点定理，这种命题模型在2018年文科卷作为压轴题就出现，只是18年出现了两条轴点弦辅助一条三点共线，属于经典“2+1”模型，这种类型常规联立非常难算，而专门破解此类问题的定比点差法应运而生，其背景也是调和线束平行线中点定理。2020年，就是新高考起点，促使我们需要学习一些解决圆锥曲线的新技能。
2021年高考，属于老教材新高考最后一年，题型不会大幅度创新，但是“藏”的命题逻辑和新方法引入已经是不可逆趋势，新高考一卷的四点共圆问题，可以常规联立，也可以用参数方程快速求出，甲卷和乙卷的抛物线问题涉及到了两点式方程和同构方程思想，此思想方法在北京卷2018年就出现，阿基米德三角形在2013年江西卷和2019年II卷也出现，属于老题新作。北京卷则延续了2020年的风格，延续了轴点弦，同时将斜率积为定值做了隐藏，这个命题逻辑延续到了2022年，北京卷总是一个风向标，值得我们重视。
2022年高考，来到了斜率和积隐藏的最高峰，除了新高考2卷和多年风格不变的天津卷，连浙江卷也加入了斜率积为定值的隐藏。甲卷延续之前III卷风格，抛物线常规联立即可破解，其背景加入了米勒定理。这一年高考，成为了常规联立越来越难在考场中操作完成，甚至因为选填题的难度加大导致很多考生做不到圆锥曲线第二问，而乙卷的计算量巨大也导致了很多师生开始怀疑之前的圆锥曲线学习方法，其对极点极线背景的隐藏，最终还是指向了调和线束平行线中点定理。新课标2卷，当大家在思考如何简化计算时，按照退化二次曲线方程的解法完全实现了降维打击，其背景也是指向了布利安桑定理，新高考的圆锥曲线，越来越强调对背景的挖掘和翻译.
2023年高考，北京卷再次创新，引入了帕斯卡六边形为背景，乙卷继续沿用22年的调和线束平行线中点定理，2卷沿用2020年1卷的简单极点极线的自极三角形翻译，区别仅仅是解读在了双曲线上，1卷的弦长问题，则是在垂直环境下的一道经典题型，可追溯到2009年的垂直弦，最佳方法是复数旋转来解读垂直，将函数方程不等式思想在最后一题用抛物线为载体呈现。本文我们以近三年的高考题为参考，揣摩每一种方法在高考中如何应用得恰到好处。
考向1 方程与曲线
题型1 定义法
1．定义法
回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点P和满足焦点标志的定点连起来判断．
熟记焦点的特征：
①关于坐标轴对称的点；②标记为F的点；③圆心；④题上提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．注意求出轨迹方程后，也要查漏补缺．
【例1】（2021 新高考Ⅰ）在平面直角坐标系中，已知点，，，，点满足．记的轨迹为．
（1）求的方程；
【例2】（2016 新课标Ⅰ）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点．
（Ⅰ）证明为定值，并写出点的轨迹方程；
跟踪训练
【训练1】已知为坐标原点，，，点满足，记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
【训练2】动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为．
（1）求的方程；
题型2 直译法
2．直译法
根据题上条件，直接表示轨迹方程． 一般步骤为：
（1）建系设点 建立适当的坐标系，设曲线上任意动点坐标M为；
（2）等量关系 根据条件列出与M有关的等式；
（3）联立化简 化成最简形式；
（4）确定范围 验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，或者曲线上是否有遗漏的点． 要检查轨迹上是否所有的点是否都符合题干，常见的限制范围有：题干涉及三角形，轨迹里面不能构成三角形的点要去掉；题干有斜率关系，斜率不存在的时候要去掉；轨迹为双曲线的时候，要检查是否左右两支上的点都符合题意．
【例3】（2023 新高考Ⅰ）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
【例4】（2019 新课标Ⅱ）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线．
（1）求的方程，并说明是什么曲线；
跟踪训练
【训练3】已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数．
（1）求动点的轨迹方程，并说明轨迹即曲线的形状．
【训练4】（2019 全国）已知点，，动点满足与的斜率之积等于，记的轨迹为．
（1）求的方程；
题型3 相关点法
3．相关点法
若所求轨迹上的动点P与另一个已知曲线上的动点Q存在着某种联系，可设点，用点P的坐标表示出来点Q，然后代入曲线方程，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法（或称代入法）．
【例5】从圆上任取一点向轴作垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线（当为轴上的点时，规定与重合）．
（1）求的方程，并说明曲线的类型；
跟踪训练
【训练5】在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点在线段上，且满足．
（Ⅰ）当点在椭圆上运动时，求点的轨迹的方程；
考向2 韦达联立与弦长面积问题
题型1 联立之正设反设问题
1．直线和曲线联立
（1）椭圆与直线相交于两点，设，
，（正设）
椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：，（反设）
注意：
①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．
②焦点在轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不再赘述．
（2）抛物线与直线相交于两点，设，
联立可得，时，
特殊的，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆．
抛物线与直线相交于两点，设，，联立可得，时，．
【例1】（2023 北京）已知椭圆的离心率为，、分别为的上、下顶点，、分别为的左、右顶点，．
（1）求的方程；
（2）点为第一象限内上的一个动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
【例2】（2023 新高考Ⅱ）已知双曲线中心为坐标原点，左焦点为，，离心率为．
（1）求的方程；
（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明在定直线上．
跟踪训练
【训练1】（2017 北京）已知抛物线过点．过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线、交于点，，其中为原点．
（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：为线段的中点．
【训练2】在平面直角坐标系中，点为上一动点，点，分别在轴，轴上且轴，轴，若，点的轨迹记为曲线．
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）过点的直线与交于，两点，若点，直线为的角平分线，求直线的方程．
题型2 韦达联立与弦长问题
1．根的判别式和韦达定理
与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为
可简单记．
同理和联立,为了方便叙述，将上式简记为,，可简记．
与C相离；与C相切；与C相交．
注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件．
（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．
（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可．
（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可；
焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可．
2．弦长公式
设，根据两点距离公式．
（1）若在直线上，代入化简，得；
（2）若所在直线方程为，代入化简，得．
（3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角．
【例1】（2021 新高考Ⅰ）在平面直角坐标系中，已知点，，，，点满足．记的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．
【例2】（2019 新课标Ⅰ）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为．
（1）若，求的方程；
（2）若，求．
跟踪训练
【训练3】（2021 新高考Ⅱ）已知椭圆的方程为，右焦点为，，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，是椭圆上的两点，直线与曲线相切．证明：，，三点共线的充要条件是．
【训练4】已知椭圆过和两点．，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的点不在轴上），过椭圆右焦点的直线与椭圆交于、两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求的范围．
题型3 韦达联立与面积问题
三角形的面积处理方法
（1）底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）
（2）水平宽·铅锤高
图4-6-2
证明：
（3）在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为．
证明：直线的方程为，到它的距离为，
则．
【例1】（2023 甲卷）已知直线与抛物线交于，两点，．
（1）求；
（2）设为的焦点，，为上两点，且，求面积的最小值．
【例2】（2023 天津）设椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为，已知，．
（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；
（Ⅱ）已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若△的面积是△面积的二倍，求直线的方程．
【例3】（2015 上海）已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为．
（1）设，，，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；
（2）设与的斜率之积为，求面积的值．
跟踪训练
【训练5】已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率是，点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）已知，直线l：（）与椭圆C交于A，B两点，若直线AP，BP的斜率之和为0，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
【训练6】（2020 江苏）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点．
（1）求△的周长；
（2）在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值；
（3）设点在椭圆上，记与的面积分别为，，若，求点的坐标．
【训练7】（2014 新课标Ⅰ）已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与相交于，两点，当的面积最大时，求的方程．
考向3 联立之曲线反代入直线
题型一 切线单动点语言体系
单动点就等于换元，我们本章介绍了三角代换，最大的优势就是单动点在曲线上，如果是切点，最好用换元，这样实现了曲线代入直线，.天津卷近年考得最多.
我们尝试来求椭圆上一点处的切线方程，
当点位于第一或第二象限时，，求导得，当时，，故，代入切线方程得：
当点位于第三或第四象限时，，求导得
，当时，，故，代入切线方程得：．
【例1】（2021 乙卷）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
， B．， C．， D．，
椭圆的切线参数方程：；
双曲线的切线参数方程：
【例2】(2022 天津卷)椭圆离心率为，直线与椭圆有唯一公共点，与轴交于点异于，记为原点，若，且△面积为，求椭圆方程 .
【例3】（2021 天津）已知椭圆中，，其上顶点为，右焦点为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆有唯一交点，与轴正半轴交于点，过作的垂线，交轴于点，已知，求直线的方程．
【例4】如图，已知，分别为椭圆的左，右顶点，，为椭圆上异于点，的动点，若，且直线与直线的斜率之积等于．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过动点，作椭圆的切线，分别与直线和相交于，两点，记四边形的对角线，相交于点，问：是否存在两个定点，，使得，为定值？若存在，求，的坐标；若不存在，说明理由．
跟踪训练
【训练1】（2021 乙卷）设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【训练2】如图，已知，分别为椭圆的左，右顶点，，为椭圆上异于点，的动点，若，且面积的最大值为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线与椭圆相切于点，，且与直线和分别相交于，两点，记四边形的对角线，相交于点．
问：是否存在两个定点，，使得为定值？若存在，求，的坐标；若不存在，说明理由．
题型二 单动点与四个顶点连线的三角换元
椭圆：，双曲线：，不妨令，
通常单个动点在圆锥曲线上，用参数换元连接四个顶点是能大大简化计算的.
以椭圆为例，
，，计算量瞬间被简化.同理，关于上下顶点，，，
记忆方法：将作为第一象限角，则，显然，所以左乘右除，左正右负，，；上负下正，上小下大，，，
【例5】（2023 北京）已知椭圆的离心率为，、分别为的上、下顶点，、分别为的左、右顶点，．
（1）求的方程；
（2）点为第一象限内上的一个动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
【例6】(2013江西文)椭圆：（）的离心率为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，，，是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于N直线交于点，设的斜率为，的斜率为，证明为为定值.
跟踪训练
【训练3】设椭圆的左.右顶点分别为,,上顶点为,点是椭圆上异于顶点的动点,已知椭圆的离心率,短轴长为2,
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与直线交于点，直线与轴交于点,求证:直线恒过某定点，并求出该定点.
【训练4】已知椭圆的离心率为，直线交粗圆所截得的弦长为3.
(1)求椭圆的方程;
(2)若是第四象限椭圆上的动点，，分别为左，右顶点，，分别为上下顶点，交直线于点，交于点，求证:直线的斜率为定值.
题型三 抛物线两点式同构方程体系
一．抛物线的两点联立式
过抛物线上两点、的直线方程是:.
证明:以曲代直，，故直线方程为:，
化简可得:.
记忆方法:把抛物线化成标准方程，然后将最左端的二次自动降为一次，再在最左端和最右端加上“、”皆可.同理，如果抛物线的形式是，直线的方程是:.
【例7】(2022全国甲卷)已知抛物线焦点为，点过焦点做直线交抛物线于两点，当轴时，.
（1）求抛物线方程
（2）若直线与抛物线的另一个交点分别为.若直线，的倾斜角为，当最大时，求的方程
【例8】已知抛物线，焦点为，点，，过点作抛物线的切线，切点为，，又过作直线交抛物线于不同的两点，，直线交抛物线于另一点．
（1）求抛物线方程；
（2）求证过定点．
【例9】(2018 北京理)已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于.
(I)求直线的斜率的取值范围;
(II)设为原点，，求证:为定值.
跟踪训练
【训练5】(2017 新课标Ⅰ文)设，为曲线上两点,与的横坐标之和为4.
(1)求直线的斜率;
(2)设为曲线上一点,在处的切线与直线平行,且,求直线的方程.
【训练6】已知抛物线的准线与轴的交点为，直线过抛物线的焦点且与交于，两点，的面积的最小值为4．
（1）求抛物线的方程；
（2）若过点的动直线交于，两点，试问抛物线上是否存在定点，使得对任意的直线，都有，若存在，求出点的坐标；若不存在，则说明理由．
【训练7】设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，．
（1）求的方程；
（2）若点，，过点的动直线交抛物线于、，直线交抛物线于另一点，连接并延长交抛物线于点．证明直线与直线的斜率之和为定值．
二．抛物线的双切圆同构与彭塞列闭合圆
【例10】(2011·浙江理)已知抛物线，圆的圆心为，是上一点(异于原点)，过作圆的两条切线，交于、两点，.求的方程。
【例11】(2021·全国甲卷)抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于、两点，且，已知点，且圆与相切.
(1)求，圆的方程;
(2)设、、是上的三个点，直线，均与圆相切，判断直线与圆的位置关系，并说明理由.
【例11】已知抛物线的焦点到准线的距离为2，圆与轴相切，且圆心与抛物线的焦点重合．
（1）求抛物线和圆的方程；
（2）设，为圆外一点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两个不同的点，，，和点，，，．且，证明：点在一条定曲线上．
【例12】(2021浙江文)如图，已知点是轴左侧(不含轴)一点，抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在上.
(I)设中点为，证明:垂直于轴;
(II)若是半椭圆上的动点，求面积的取值范围.
跟踪训练
【训练8】过抛物线上一点作圆的两条切线交于点，，求直线的方程.
【训练9】抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的短轴长．
（1）求抛物线的方程；
（2）设是抛物线上位于第一象限的一点，过作圆（其中的两条切线，分别交抛物线于点，，证明：直线经过定点．
【训练10】如图，已知点是抛物线的准线上的动点，抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在上．
（1）求抛物线的方程；
（2）记直线，，的斜率分别为，，，请问是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
考向4 斜率关系翻译之齐次化
题型1 斜率关系与齐次化
已知点是平面内一个定点，椭圆C：上有两动点
若直线，则直线过定点．
若直线，则直线过定点．
证明：将椭圆按向量方向平移，得椭圆：，展开得：．
平面内的定点和椭圆C上的动点分别对应椭圆上的定点和动点，设直线的方程为，代入展开式得（构造齐次式），当时，两边同时除以整理得，
因为点的坐标满足这个方程，所以和是关于的方程的两根．
若，由平移性质知，故，
整理可得到m和n的关系，从而可知直线过定点，由平移性质可得直线AB过定点．
若，由平移性质知，所以，整理可得到和的关系，从而可知直线过定点，由平移性质可得直线过定点．
注意：双曲线的齐次化如法炮制
【例1】(2022新高考Ⅰ卷)已知在双曲线上,直线交于、两点,直线,斜率之和为0.
(1)求的斜率;
【例2】(2020 山东)已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求的方程;
(2)点,在上,且，，为垂足.证明:存在定点,使得为定值.
【例3】(2020全国1卷)已知分别为椭圆的左、右顶点,为的上顶点,
.为直线上的动点,与的另一交点为，与的另一交点为.
(1)求的方程;
(2)证明:直线过定点.
跟踪训练
【训练1】(2017 新课标I理)已知椭圆,四点，，，，中恰有三点在椭圆上.
(1)求的方程;
(2)设直线不经过点且与相交于，两点.若直线与直线的斜率的和为，证明:过定点.
【训练2】已知椭圆，点在椭圆上，椭圆的四个顶点的连线构成的四边形的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点为椭圆长轴的左端点，、为椭圆上异于椭圆长轴端点的两点，记直线、斜率分别为、，若，请判断直线是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．
【训练3】已知椭圆的左、右顶点分别为，，为上任意一点（异于，，直线，分别交直线于，两点．
（1）求证：；
（2）设直线交椭圆于另一点，求证：直线恒过定点．
题型2 隐藏斜率关系与齐次化
从曾经的直接考查斜率和积为定值，到如今斜率和积为定值都作为了隐藏条件，为最后的解答指明方向，本节我们介绍一下那些隐藏的斜率和积为定值问题，新高考，在于藏，不在于难.
高考中出现斜率和积问题，最早可以追溯到近二十年前，考题的日新月异决定了不会永远局限于斜率和与积的问题,所以需要通过题目给到的定点或者探索定点的过程中,找到北后的本质逻辑.2022年新课标一巻的斜率和积成为了第一问就能看出来,压轴问往往要根据已知的定点或者定值来探索斜率的关系.
1.已知点是椭圆右顶点,
①椭圆上弦过定点,则定值;
②椭圆上弦过定点,则定值;
证明:将椭圆按向量平移得椭圆,
①动点，分别对应椭圆上的动点,，根据题意直线过定点，的方程为
,即,当时,两边除以得:,
定值;
②动点,分别对应椭圆上的动点,,根据题意直线过定点，的方程为,代入①得,当时,两边除以得:,定值;
2.已知点是椭圆上顶点,
①椭圆上弦过定点,则定值;
②椭圆上弦过定点,则定值;
证明:将椭圆按向量平移得椭圆,
①动点,分别对应椭圆上的动点,,根据题意直线,过定点，,的方程为,即,当时,两边除以得:,定值;
②动点,分别对应椭圆上的动点,,根据题意直线,过定点，,的方程为
,即,当时,两边除以得:,
定值;
我们不需要记忆这个定值,但是我们可以提前预判定值的类型,从而进行定点定值的必要性探路,
【例4】已知椭圆的左右顶点分别为,,过椭圆内点且不与轴重合的动直线交椭圆于，两点,当直线与轴垂直时,
.
(I)求椭圆的标准方程;
(II)设直线，和直线分别交于点,若恒成立,求的值.
3.中点与斜率关系转化
如图,为的中线,设直线的斜率分别为,
①若与轴平行,则:；②若与轴平行,则:
【例5】（2023 乙卷）已知椭圆的离心率为，点在上．
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于点，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点．
【例6】(2022北京卷)已知椭圆的一个顶点为,焦距为.
(1)求椭圆的方程
(2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点,,直线，分别与轴交于点,.当时,求的值.
高考中隐藏的斜率比值问题
若为椭圆长轴顶点,直线交椭圆于两点,交长轴于点,则为定值,反之,为定值,则过长轴上定点;
【例7】（2023 新高考Ⅱ）已知双曲线中心为坐标原点，左焦点为，，离心率为．
（1）求的方程；
（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明在定直线上．
【例8】(2022浙江卷)如图,已知椭圆.设，是椭圆上异于的两点,且点在线段上,直线分别交直线于，两点.
(1)求点到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求的最小值.
【例9】(2022全国乙卷)已知椭圆的中心为坐标原点,对称轴为轴、轴,且过，两点.
(1)求的方程;
(2)设过点的直线交于两点,过且平行于轴的直线与线段交于点,点满足.证明:直线过定点.
跟踪训练
【训练4】已知椭圆的离心率为,椭圆上的点，与的最大距离为.
求椭圆的方程；
设椭圆的下、上顶点分别为A、B,过点P的直线与椭圆Q交于C、D两点，与y轴交于点M，直线AC与直线BD交于点N，试探究是否为定值.
【训练5】（2021·北京）已知椭圆：（）的一个顶点，以椭圆的四个顶点围成的四边形面积为.
（I）求椭圆的方程；
（II）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线、分别与直线交于点、，当时，求的取值范围.
【训练6】已知动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数.
（1）求动点的轨迹方程，并说明轨迹即曲线的形状.
（2）过作两直线与抛物线（）相切，且分别与曲线交于，两点，直线，的斜率分别为，.
①求证：为定值；
②试问直线DE是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.
考向5 平行垂直问题之参数方程与复数代换
类型一.长度参数方程构造
一．参数方程与四点共圆
【例1】（2021 新高考Ⅰ卷）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足．记的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且
，求直线的斜率与直线的斜率之和．
补充：圆幂定理　
①相交弦定理：圆内的两条相交弦与交于，则（左图）．
②切割线定理：从圆外一点P引圆的切线PA和割线交圆于B、C两点，则（中图）．
③割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B和C、D，则（右图）．
二． 参数方程破解类圆幂定理
在圆的切线长定理当中，存在，当这个问题出现在椭圆当中，则满足类圆幂定理，确定的数值.
【例2】（2016 四川）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线与椭圆有且只有一个公共点．
（1）求椭圆的方程及点的坐标；
（2）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点．证明：存在常数，使得，并求的值．
【例3】已知抛物线，直线与抛物线有且只有一个公共点．
（1）求抛物线的方程以及点坐标；
（2）设为坐标原点，直线平行于与交于不同的两点，，且与直线交于点，是否存在常数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
跟踪训练
【训练1】已知直线交抛物线于，两点．
（1）设直线与轴的交点为．若，求实数的值；
（2）若点，在抛物线上，且关于直线对称，求证：，，，四点共圆．
【训练2】已知椭圆的左焦点为，为椭圆上一点，交
轴于点，且为的中点．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有且只有一个公共点，平行于的直线交于，交椭圆于不同的两点，
，问是否存在常数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
类型二 复数变换与垂直问题
我们来看一下圆锥曲线的参数方程，就是把圆锥曲线上的点进行参数换元，达到简化计算的效果.
一 复数的模与辐角表示圆锥曲线方程
设是平面内任意一点，它的直角坐标是，转化为复平面，，可以得出它们之间的关系：，．又可得到关系式：，．这就是复平面坐标与直角坐标的互化公式．
由于新教材删除了原来的极坐标和参数方程内容，故我们在上一讲介绍了三角代换，由于2019版本的人教A版教材介绍了复数的三角形式，虽然加了*号，但是也在另一个层面提示我们一些涉及坐标变换的，尤其是旋转类型的题，完全可以利用复数的三角形式来解决.
【例4】（2016 新课标Ⅱ）已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，．
（1）当，时，求的面积；
（2）当时，求的取值范围．
【例5】（2023年全国1卷）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到的距离，记动点的轨迹为
求的方程
已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于
【例6】（2024 南宁月考）已知抛物线的焦点为，直线分别与轴交于点，与抛物线交于点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）设横坐标依次为，，的三个点，，都在抛物线上，且，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值．
跟踪训练
【训练3】焦点在轴上的椭圆经过点，椭圆的离心率为．，是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点为的中点为坐标原点），过且平行于的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使得；若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
【训练4】已知椭圆的方程为，过点作直线与椭圆交于，两点，是椭圆的右顶点．
（1）求证：；
（2）求的最大值．
【训练5】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；
（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)9.3 圆锥曲线大题篇
俗话说“小题靠结论，大题靠模板”，的确，无论是新高考还是老高考，平常积累的一些二级结论确实
对解决小题有着很大的帮助，尤其一些有着几何背景和数据的模型，对解决离心率之类问题帮助很大。到
了解答题，课本给到我们最直接的就是“直曲联立”，将直线代入圆锥曲线，得到二次方程，这也是最常规
的方法，被广泛认同，甚至成为了官方标答。
但是，这个真的好算吗？老师课堂上最常见的就是联立后交给学生们去自行操作，巨大的计算量不知
不觉“劝退”了不少学生，他们拿第一问分数，第二问技巧性的联立“骗分”。新高考模式下，一些常规联
立能解决的问题由于都考过，所以越来越少，所以导致简单的大家都会，难一点的大家都跪。我们陆陆续
续介绍了圆锥曲线的各种方法，并给予解答题的汇总，以及什么情况下用什么方法，以便我们更加高效地
学习并理解圆锥曲线。
年份 新高考 1 新高考 2 甲卷 乙卷 北京 天津 浙江
2023 1. 垂直弦 1. 斜率比 1. 抛物线 1. 斜率和 1. 单动点 面 积 比 转
2. 弦长 2. 极点极 焦半径 定值 2. 五边形 化 为 坐 标
线背景 2. 简单面 2. 调和线 3. 帕斯卡 比
积处理 束 平 行 中 定理背景
点定理
2022 1. 斜率和 1.中点 1.抛物线截 1. 定点 隐 藏 斜 率 1. 切线 1. 隐藏斜
2.面积 2.斜率 距等比 2. 隐藏斜 倒 数 和 为 2. 单动点 率 积 为 定
3.退化二次 2.最大张角 率 倒 数 和 定值 值
曲 线 布 利 定值 2. 弦长最
安 桑 定 理 值
背景
2021 四点共圆 1. 弦长 抛 物 线 彭 阿 基 米 德 1. 隐藏斜 1，切线 长度等比
2. 焦点弦 塞列闭合 三 角 形 面 率 积 为 定 2，单动点
积 值
2. 轴点弦
年份 新 高 考 I卷 II卷 III卷 北京 天津 浙江
山东卷
2020 1. 斜率积 1. 斜率比 1. 焦点弦 面积 1. 轴点弦 1. 切线 1. 两圆锥
定值 2. 定点 长 2. 定值 2. 中点弦 曲线交点
2. 过定点 3. 极点极 2. 两圆锥 2. 定比分
线背景 曲线交点 点
2019 理科：抛物 理科：第三 阿 基 米 德 抛 物 线 两 1. 常规联 1. 抛物线
线弦长 定义+面积 三 角 形 面 点式方程 立 两 点 式 方
文科：抛物 最值 积 2. 求斜率 程
线 数 形 结 文科：焦点 2. 面积比
合 长 度 差 三角形 值
最值
2018 斜 率 互 补 抛 物 线 焦 中点弦 理科：抛物 1. 常规联 1. 平行弦
的 角 平 分 点弦 线 两 点 式 立 定比分点
线模型 方程 2. 求斜率 2. 面积最
文科：轴点 值
弦 蝴 蝶 模
型
通过对近五年的高考题进行分析，由于教材内容的区别，上海卷笔者没有采纳，在 2018、2019的高考
题当中，圆锥曲线难度偏低，考题模型相对固定，甚至作为高考倒数第三题出现，当时就出现了一些声音，
比如概率压轴常态化，比如圆锥曲线难度大大降低，只需要基本联立和代入计算。
当 2020年新高考在山东卷进行试点时，圆锥曲线作为压轴题出现，将椭圆上共顶点的两垂直弦作为条
件，隐藏第三条边过定点，从而开启了新高考圆锥曲线的命题核心——“藏”。而一卷则模仿 2010 年江苏
卷命制了以极点极线为背景的求定点问题，其破题本质还是隐藏了斜率比值为定值。而北京卷却以轴点弦
为背景，两个三点共线为辅助，也是经典的“1+2”模型，背景来自调和线束平行线中点定理，这种命题模
型在 2018年文科卷作为压轴题就出现，只是 18年出现了两条轴点弦辅助一条三点共线，属于经典“2+1”
模型，这种类型常规联立非常难算，而专门破解此类问题的定比点差法应运而生，其背景也是调和线束平
行线中点定理。2020年，就是新高考起点，促使我们需要学习一些解决圆锥曲线的新技能。
2021年高考，属于老教材新高考最后一年，题型不会大幅度创新，但是“藏”的命题逻辑和新方法引
入已经是不可逆趋势，新高考一卷的四点共圆问题，可以常规联立，也可以用参数方程快速求出，甲卷和
乙卷的抛物线问题涉及到了两点式方程和同构方程思想，此思想方法在北京卷 2018年就出现，阿基米德三
角形在 2013年江西卷和 2019年 II卷也出现，属于老题新作。北京卷则延续了 2020年的风格，延续了轴点
弦，同时将斜率积为定值做了隐藏，这个命题逻辑延续到了 2022年，北京卷总是一个风向标，值得我们重
视。
2022年高考，来到了斜率和积隐藏的最高峰，除了新高考 2卷和多年风格不变的天津卷，连浙江卷也
加入了斜率积为定值的隐藏。甲卷延续之前 III卷风格，抛物线常规联立即可破解，其背景加入了米勒定理。
这一年高考，成为了常规联立越来越难在考场中操作完成，甚至因为选填题的难度加大导致很多考生做不
到圆锥曲线第二问，而乙卷的计算量巨大也导致了很多师生开始怀疑之前的圆锥曲线学习方法，其对极点
极线背景的隐藏，最终还是指向了调和线束平行线中点定理。新课标 2卷，当大家在思考如何简化计算时，
按照退化二次曲线方程的解法完全实现了降维打击，其背景也是指向了布利安桑定理，新高考的圆锥曲线，
越来越强调对背景的挖掘和翻译.
2023年高考，北京卷再次创新，引入了帕斯卡六边形为背景，乙卷继续沿用 22年的调和线束平行线中
点定理，2 卷沿用 2020年 1 卷的简单极点极线的自极三角形翻译，区别仅仅是解读在了双曲线上，1 卷的
弦长问题，则是在垂直环境下的一道经典题型，可追溯到 2009年的垂直弦，最佳方法是复数旋转来解读垂
直，将函数方程不等式思想在最后一题用抛物线为载体呈现。本文我们以近三年的高考题为参考，揣摩每
一种方法在高考中如何应用得恰到好处。
考向 1 方程与曲线
题型 1 定义法
1．定义法
回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点 P和满足焦点标志的定点连起来判断．
熟记焦点的特征：
①关于坐标轴对称的点；②标记为 F的点；③圆心；④题上提到的定点等等．当看到以上的标志的时
候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．注意求出轨迹方程
后，也要查漏补缺．
【例 1】（2021 新高考Ⅰ）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1( 17 ， 0) ， F2 ( 17 ， 0) ，点M 满足
|MF1 | |MF2 | 2．记M 的轨迹为C．
（1）求C 的方程；
【例 2】（2016 新课标Ⅰ）设圆 x2 y2 2x 15 0的圆心为 A，直线 l过点 B(1,0)且与 x轴不重合， l交圆
A于C ，D两点，过 B作 AC的平行线交 AD于点 E．
（Ⅰ）证明 | EA | | EB |为定值，并写出点 E的轨迹方程；
跟踪训练
【训练 1】已知O为坐标原点， F1( 2,0)， F2 (2,0)，点 P满足 | PF1 | | PF2 | 2，记点 P的轨迹为曲线 E．
（1）求曲线 E的方程；
【训练 2】动圆C与圆C 2 21 : (x 2) y 50和圆C2 : (x 2)
2 y2 2都内切，记动圆圆心C的轨迹为 E．
（1）求 E的方程；
题型 2 直译法
2．直译法
根据题上条件，直接表示轨迹方程． 一般步骤为：
（1）建系设点 建立适当的坐标系，设曲线上任意动点坐标 M为（x, y）；
（2）等量关系 根据条件列出与 M有关的等式；
（3）联立化简 化成最简形式；
（4）确定范围 验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，或者
曲线上是否有遗漏的点． 要检查轨迹上是否所有的点是否都符合题干，常见的限制范围有：题干涉及三角
形，轨迹里面不能构成三角形的点要去掉；题干有斜率关系，斜率不存在的时候要去掉；轨迹为双曲线的
时候，要检查是否左右两支上的点都符合题意．
【例 3】（2023 1 新高考Ⅰ）在直角坐标系 xOy中，点 P到 x轴的距离等于点 P到点 (0, )的距离，记动点 P
2
的轨迹为W ．
（1）求W 的方程；
【例 4】（2019 新课标Ⅱ）已知点 A( 2,0)，B(2,0)，动点M (x, y)满足直线 AM 与 BM 1的斜率之积为 ．记
2
M 的轨迹为曲线C．
（1）求C 的方程，并说明C是什么曲线；
跟踪训练
1
【训练 3】已知动点M (x, y)与定点 F (1,0)的距离和M 到定直线 l : x 4的距离的比是常数 ．
2
（1）求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹即曲线C的形状．
1
【训练 4】（2019 全国）已知点 A1( 2,0)， A2 (2,0)，动点 P满足 PA1与 PA2的斜率之积等于 ，记 P的轨4
迹为C．
（1）求C 的方程；
题型 3 相关点法
3．相关点法
若所求轨迹上的动点 P与另一个已知曲线上的动点 Q存在着某种联系，可设点 P(x, y)，用点 P的坐标
表示出来点 Q，然后代入曲线方程，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法（或称
代入法）．
【例 5】从圆O : x2 y2 4上任取一点 P向 x轴作垂线段 PD，D为垂足．当点 P在圆上运动时，线段 PD
的中点Q的轨迹为曲线C （当 P为 x轴上的点时，规定Q与 P重合）．
（1）求C 的方程，并说明曲线C的类型；
跟踪训练
2 2
【训练 5】在椭圆C : x y 1上任取一点 P，过点 P作 x轴的垂线段 PD，D为垂足，点M 在线段 PD上，
4 2
且满足 | DP | 2 | DM |．
（Ⅰ）当点 P在椭圆C上运动时，求点M 的轨迹 E的方程；
考向 2 韦达联立与弦长面积问题
题型 1 联立之正设反设问题
1．直线和曲线联立
x2 y2
（1）椭圆 2 2 1(a b 0)与直线 l : y kx m相交于 AB两点，设 A(x1，y1)， B(x ，y )a b 2 2
x2 y2
2 2 1 2 2 2 a b ， (b k a )x2 2a2kmx a2m2（正设）
y kx m
x2 y2
椭圆 2 2 1(a 0，b 0) 与过定点 (m，0)的直线 l相交于 AB两点，设为 x ty m，如此消去 x，保留 y，a b
x2 y2
2 1构造的方程如下： a b2 ， (a2 t2b2 )y2 2b2tmy b2m2 a2b2 0（反设）
x ty m
注意：
①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出 0，满
足此条件，才可以得到韦达定理的关系．
②焦点在 y轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不再赘述．
（2）抛物线 y2 2px(p 0)与直线 x ty m相交于 A、B两点，设 A(x1，y1)， B(x2，y2 )
y y 2pt
联立可得 y2 2p(ty m)， 0时， 1 2
y1y2 2pm
特殊的，当直线 AB过焦点的时候，即m p
y 2 2y y 2pm p2 x x 1 y2 1 ， 1 2 ，
2
2 1 2
p ，因为 AB为通径
2p 2p 4
的时候也满足该式，根据此时 A、B 坐标来记忆．
抛物线 x2 2py(p 0) 与直线 y kx m 相交于 C、D 两点，设 C(x1，y1) ， D(x2，y2 ) ，联立可得
x x 2pk
x2 2p(kx m)， 0时， 1 2 ．
x1x2 2pm
2 2
【例 1 2023 E : x y】（ 北京）已知椭圆 2 2 1(a b 0)
5
的离心率为 ，A、C分别为 E的上、下顶点，B、
a b 3
D分别为 E的左、右顶点， | AC | 4．
（1）求 E的方程；
（2）点 P为第一象限内 E上的一个动点，直线 PD与直线 BC交于点M ，直线 PA与直线 y 2交于点 N．求
证：MN / /CD．
【例 2】（2023 新高考Ⅱ）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为 ( 2 5， 0)，离心率为 5 ．
（1）求C 的方程；
（2）记C 的左、右顶点分别为 A1， A2，过点 ( 4,0)的直线与C的左支交于M ， N两点，M 在第二象限，
直线MA1与 NA2 交于 P，证明 P在定直线上．
跟踪训练
1
【训练 1】（2017 北京）已知抛物线C : y2 2px过点 P(1,1)．过点 (0, )作直线 l与抛物线C 交于不同的两
2
点M ， N，过点M 作 x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点 A， B，其中O为原点．
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证： A为线段 BM 的中点．
【训练 2】在平面直角坐标系 xOy中，点D为 x2 y2 1上一动点，点 A，B分别在 x轴， y轴上且DA x

轴， DB y轴，若 BA AW ，点W 的轨迹记为曲线C ．
（1）求曲线C 的轨迹方程；
（2）过点G(1,0)的直线 l与C交于M ，N两点，若点 H (0,1)，直线GH 为 MHN 的角平分线，求直线 l的
方程．
题型 2 韦达联立与弦长问题
1．根的判别式和韦达定理
x2 y2
2 2 1(a b 0)与 y kx m联立，两边同时乘上 a
2b2 2 2 2即可得到 (a k b )x2 2kma2x a2(m2 b2) 0，为a b
了方便叙述，将上式简记为 Ax2 + Bx +C = 0．该式可以看成一个关于 x的一元二次方程，判别式为
D = 4a2b2 (a2k 2 +b2 -m2 )可简单记 4a2b2 (A m2 )．
x2 y2
同理 + =1(a > b > 0)和 x = ty +m联立 (a2 + t 2b2 )y2 + 2b2tmy +b2m2 - a22 2 b
2 = 0 ,为了方便叙述，将上式简记
a b
为 Ay2 +By +C = 0, D = 4a2b2 (a2 + t2b2 -m2 )，可简记 4a2b2 (A m2 )．
l与 C 相离 D < 0； l与 C 相切 D = 0； l与 C 相交 D > 0．
B C
注意：（1）由韦达定理写出 x1 x2 ， x1x2 ，注意隐含条件 0．A A
（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．
（3）如果是焦点在 y 轴上的椭圆，只需要把 a2 ， b2互换位置即可．
（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在 x 轴的双曲线，只要把 b2换成 -b2 即可；
焦点在 y轴的双曲线，把 a2 2 2 2换成 -b 即可， b 换成 a 即可．
2．弦长公式
设M (x1，y1)， N(x2，y2)根据两点距离公式 |MN | (x1 x )
2
2 (y y
2
1 2 ) ．
（1）若M、N在直线 y kx m上，代入化简，得 |MN | 1 k 2 x1 x2 ；
（2）若M、N所在直线方程为 x ty m，代入化简，得 |MN | 1 t2 y1 y2 ．
（3）构造直角三角形求解弦长， |MN | | x2 x1 | | y y | 2 1 ．其中 k为直线MN 斜率， 为直线倾斜角．
| cos | | sin |
【例 1】（2021 新高考Ⅰ）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1( 17 ， 0) ， F2 ( 17 ， 0) ，点M 满足
|MF1 | |MF2 | 2．记M 的轨迹为C．
（1）求C 的方程；
2 T x 1（ ）设点 在直线 上，过T的两条直线分别交C于 A，B两点和 P，Q两点，且 |TA | |TB | |TP | |TQ |，
2
求直线 AB的斜率与直线 PQ的斜率之和．
【例 2】（2019 新课标Ⅰ）已知抛物线C : y2 3x 3的焦点为 F ，斜率为 的直线 l与C的交点为 A， B，与
2
x轴的交点为 P．
（1）若 | AF | | BF | 4，求 l的方程；

（2）若 AP 3PB，求 | AB |．
跟踪训练
x2 y2
【训练 3】（2021 新高考Ⅱ）已知椭圆C 的方程为 2 2 1(a b 0)，右焦点为 F ( 2 ， 0)，且离心率a b
6
为 ．
3
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M ， N是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线 x2 y2 b2 (x 0)相切．证明：M ， N， F 三点共
线的充要条件是 |MN | 3．
x2 y2
【训练 4】已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)过 (1,
3)和 ( 2, 6 )两点．F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，Pa b 2 2
为椭圆上的点 (P不在 x轴上），过椭圆右焦点 F2 的直线 l与椭圆交于 A、 B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求 | AB |的范围．
题型 3 韦达联立与面积问题
三角形的面积处理方法
1
（1） S△ = ×底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）2
1 1 1
（2） S△ = ×水平宽·铅锤高 = AB × x - x 或S = CD × y - y2 2 E D △ 2 A E
图 4-6-2
证明： S△ADE = S△ABE +S
1
△ABD = | AB |×| xB - x |
1
E + | AB |×2 2 | x 1B - xD |= | AB |× | xE - xD |2
S 1△ADE = S△ACD + S△ECD = |CD |× | y
1 1
2 A
- yC |+ |CD |× | yE - yC |= |CD |× | yA - y2 2 E
|
（3）在平面直角坐标系 xOy中，已知△OMN 的顶点分别为O(0，0)，M (x1，y1)， N (x2 ，y2 )，三角形的
1
面积为 S = x1y2 - x y ．2 2 1
| x y - x y |
证明：直线OM 的方程为 y1x - x1y = 0 N (x y ) d =
1 2 2 1
， 2 ， 2 到它的距离为 2 ，x1 + y
2
1
S 1 OM d 1 x 2 y 2 d 1则 = = 1 + 1 × = x1y2 - x2 2 2 2
y1 ．
【例 1】（2023 甲卷）已知直线 x 2y 1 0与抛物线C : y2 2px(p 0)交于 A， B两点， | AB | 4 15 ．
（1）求 p；

（2）设 F 为C的焦点，M ， N为C 上两点，且 FM FN 0，求 MFN面积的最小值．
2 2
【例 2】（2023 x y 天津）设椭圆 2 2 1(a b 0)的左、右顶点分别为 A1，A2，右焦点为 F ，已知 | A1F | 3，a b
| A2F | 1．
（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；
（Ⅱ）已知点 P是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线 A2P交 y轴于点Q，若△ A1PQ的面积是△ A2FP面
积的二倍，求直线 A2P的方程．
【例 3】（2015 上海）已知椭圆 x2 2y2 1，过原点的两条直线 l1 和 l2 分别于椭圆交于 A、 B和C、 D，
记得到的平行四边形 ACBD的面积为 S．
（1）设 A(x1， y1)，C(x2， y2 )，用 A、C的坐标表示点C到直线 l1 的距离，并证明 S 2 | x1y2 x2 y1 |；
（2 l 1）设 1 与 l2 的斜率之积为 ，求面积 S的值．2
跟踪训练
x2 y2
【训练 5】已知椭圆 C： 2 2 1（a＞b＞0
2
）的离心率是 ，点M (0 , 2)在椭圆 C上.
a b 2
（1）求椭圆 C的标准方程．
（2）已知 P(0 , 1)，直线 l： y kx m（ k 0）与椭圆 C交于 A，B两点，若直线 AP，BP的斜率之和为 0，
试问△PAB的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
x2 y2
【训练 6】（2020 江苏）在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 E : 1的左、右焦点分别为 F1、 F ，4 3 2
点 A在椭圆 E上且在第一象限内， AF2 F1F2，直线 AF1与椭圆 E相交于另一点 B．
（1）求△ AF1F2的周长；

（2）在 x轴上任取一点 P，直线 AP与椭圆 E的右准线相交于点Q，求OP QP的最小值；
（3）设点M 在椭圆 E上，记 OAB与 MAB的面积分别为 S1， S2 ，若 S2 3S1，求点M 的坐标．
2 2
【训练 7】（2014 新课标Ⅰ）已知点 A(0, 2) x y ，椭圆 E : 2 2 1(a b 0)
3
的离心率为 ，F 是椭圆的右
a b 2
2 3
焦点，直线 AF 的斜率为 ，O为坐标原点．
3
（Ⅰ）求 E的方程；
（Ⅱ）设过点 A的直线 l与 E相交于 P，Q两点，当 OPQ的面积最大时，求 l的方程．
考向 3 联立之曲线反代入直线
题型一 切线单动点语言体系
单动点就等于换元，我们本章介绍了三角代换，最大的优势就是单动点在曲线上，如果是切点，最好
用换元，这样实现了曲线代入直线，.天津卷近年考得最多.
x2 y2
我们尝试来求椭圆 2 2 1上一点 P(xa b 0
，y0 )处的切线方程，
2x
P(x x
2 b 2 bx 1
当点 0 ，y0 )位于第一或第二象限时， y b 1 2 ，求导得 k y
a ，当
a 2 2
1 x
2 a x2
2 1 a a2
x x 1 x
2 2
0
y0 b x xx yy
0 时， 2 ，故 k
0 ，代入切线方程 y y k(x x )得： 0 0 1
a b a2 y 0 0 a2 b20
2x
2 2
当点 P(x0 , y0 )
x b
位于第三或第四象限时， y b 1 2 ，求导得 k y
a
a 2 x21
a2
bx 1 2 2
2 ，当 x x 1
x y b x
0 时，
0 0 ，故 k 02 2 ，代入切线方程 y y0 k(x x0 )
xx
得： 0
yy
02 2 1．a x2 a b a y0 a b1
a2
2 2
【例 1】（2021 x y乙卷）设 B是椭圆C : 2 2 1 (a b 0)的上顶点，若C上的任意一点 P都满足 | PB | 2b，a b
则C的离心率的取值范围是（ ）
[ 2 1) B [1， ． ，1) C． (0 2 1， ] D． (0， ]
A． 2 2 2 2
1. xx yy xcos y sin 椭圆的切线参数方程： 02
0
2 1 1；a b a b
2. xx yy x y tan 双曲线的切线参数方程： 02
0
a b2
1 1
a cos b
2 2
【例 2】(2022 天津卷) x y椭圆 2 2 （1 a b 0)
6
离心率为 ，直线 l与椭圆有唯一公共点M，与 y轴交于
a b 3
点 N (N异于M )，记O为原点，若 |OM | |ON |，且△OMN 面积为 3，求椭圆方程 .
x2 y23 2021 1(a b 0) e 2 5【例 】（ 天津）已知椭圆 2 2 中， ，其上顶点为 B，右焦点为 F ，且 | BF | 2 5 ．a b 5
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 l与椭圆有唯一交点M ， l与 y轴正半轴交于点 N，过 N作 BF 的垂线，交 x轴于点 P，已知
MP / /BF ，求直线 l的方程．
x2 y2
【例 4】如图，已知 A，B分别为椭圆M : 2 2 1(a b 0)的左，右顶点，P(x0 ， y0 )为椭圆M 上异于a b
点 A， B 4的动点，若 AB 6，且直线 AP与直线 BP的斜率之积等于 ．
9
（1）求椭圆M 的标准方程；
（2）过动点 P(x0 ，y0 )作椭圆M 的切线，分别与直线 x a和 x a相交于D，C两点，记四边形 ABCD的
对角线 AC，BD相交于点 N，问：是否存在两个定点 F1，F2 ，使得 | NF1 | | NF2 |，为定值？若存在，求 F1，
F2 的坐标；若不存在，说明理由．
跟踪训练
2
【训练 1】（2021 乙卷）设 B x是椭圆C : y2 1的上顶点，点 P在C上，则 | PB |的最大值为（ ）
5
A 5． B． 6 C． 5 D．2
2
A B M : x
2 y2
【训练 2】如图，已知 ， 分别为椭圆 2 2 1(a b 0)的左，右顶点， P(x0 ， y0 )为椭圆M 上a b
异于点 A， B的动点，若 AB 4，且 ABP面积的最大值为 2．
（1）求椭圆M 的标准方程；
（2）已知直线 l与椭圆M 相切于点 P(x0 ， y0 )，且 l与直线 x a和 x a分别相交于C，D两点，记四边
形 ABCD的对角线 AC， BD相交于点 N．
问：是否存在两个定点 F1，F2 ，使得 | NF1 | | NF2 |为定值？若存在，求 F1，F2 的坐标；若不存在，说明理
由．
题型二 单动点与四个顶点连线的三角换元
x acos x
a

椭圆： 1 ，双曲线： cos ，不妨令 t tan ，
y bsin
y1 b tan
2
通常单个动点在圆锥曲线上，用参数换元连接四个顶点是能大大简化计算的.
以椭圆为例，

k bsin b
2sin cos 2sin cos
2 2 b b bsin b 2 2 b bPA tan t，k ，a cos a a PB2cos2 a 2 a a cos a a 2sin 2 a tan at
2 2 2
. k b(1 t) k b(1 t)计算量瞬间被简化 同理，关于上下顶点， PC ， ，a(1 t) PD a(1 t)

记忆方法：将 t tan 作为第一象限角，则 0 t 1，显然 kPA k
b
PB ，所以左乘右除，左正右负，kPA t ，2 a
k bPB ； kPC k k
b(1 t) k b(1 t)PD 上负下正，上小下大，at PC
，
a(1 t) PD
，
a(1 t)
x2 y2
【例 5】（2023 北京）已知椭圆 E : 2 2 1(a b 0)
5
的离心率为 ，A、C分别为 E的上、下顶点，B、
a b 3
D分别为 E的左、右顶点， | AC | 4．
（1）求 E的方程；
（2）点 P为第一象限内 E上的一个动点，直线 PD与直线 BC交于点M ，直线 PA与直线 y 2交于点 N．求
证：MN / /CD．
x2 y2
【例 6 3】(2013江西文)椭圆C： 2 2 1（ a b 0）的离心率为 e ， a b 3 .a b 2
（1）求椭圆C 的方程；
（2）如图， A， B，D是椭圆C的顶点， P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线 DP交 x轴于 N直线 AD
交 BP于点M ，设 BP的斜率为 k，MN 的斜率为m，证明为 2m k为定值.
跟踪训练
2 2
【训练 3】设椭圆C : x y2 2 1(a b 0) 的左.右顶点分别为 A , B ,上顶点为 D ,点 P是椭圆C上异于顶点a b
e 3的动点,已知椭圆的离心率 ,短轴长为 2,
2
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线 AD与直线 BP交于点M ，直线 DP与 x轴交于点 N ,求证:直线MN 恒过某定点，并求出该定点.
2 2
4 C : x y 1(a b 0) 1【训练 】已知椭圆 2 2 的离心率为 ，直线 x 1交粗圆所截得的弦长为 3.a b 2
(1)求椭圆C的方程;
(2)若M 是第四象限椭圆上的动点，A1，A2分别为左，右顶点，B1，B2分别为上下顶点，B2M 交直线 y b
于点 P，MA1交 A2B1于点Q，求证:直线 PQ的斜率为定值.
题型三 抛物线两点式同构方程体系
一．抛物线的两点联立式
过抛物线 y2 2px上两点 A(x1，y1)、 B(x2 ，y2) 的直线 AB方程是: (y1 y2)y 2px y1y2 .
y y y y 2p 2p 2
证明:以曲代直， k 2 1 2 1AB 2 2 ，故直线 AB方程为: y y1 (x
y
1 )，
x2 x1 y2 y1 y1 y2 y1 y2 2p
2p 2p
化简可得: (y1 y2)y 2px y1y2 .
记忆方法:把抛物线化成标准方程，然后将最左端的二次自动降为一次，再在最左端和最右端加上“ y1 y2、
y1y2 ”皆可.同理，如果抛物线的形式是 x
2 2py( p 0)，直线 AB的方程是: (x1 x2 )x 2py x1x2 .
【例 7】(2022全国甲卷)已知抛物线C：y2 2px( p 0)焦点为 F ，点 D(p，0)过焦点 F 做直线 l交抛物线于
M，N 两点，当MD x轴时， |MF | 3 .
（1）求抛物线方程
（2）若直线MD，ND与抛物线的另一个交点分别为 A，B .若直线MN ，AB的倾斜角为 ， ，当 最
大时，求 AB的方程
【例 8】已知抛物线C : y2 2px，焦点为 F ，点M ( 2,0)， N (2,2)，过点M 作抛物线的切线MP，切点为
P， | PF | 3，又过M 作直线交抛物线于不同的两点 A， B，直线 AN交抛物线于另一点 D．
（1）求抛物线方程；
（2）求证 BD过定点．
【例 9】(2018 北京理)已知抛物线C : y2 2px经过点 P(1，2)，过点Q(0，1) 的直线 l与抛物线C有两个不
同的交点 A， B，且直线 PA交 y轴于M，直线 PB交 y轴于 N .
(I)求直线 l的斜率的取值范围;

(II)设O为原点，QM QO，QN QO 1 1求证: 为定值.

跟踪训练
x2
【训练 5】(2017 新课标Ⅰ文)设 A， B为曲线C : y 上两点, A与 B的横坐标之和为 4.
4
(1)求直线 AB的斜率;
(2)设M 为曲线C上一点,C在M 处的切线与直线 AB平行,且 AM⊥BM ,求直线 AB的方程.
【训练 6】已知抛物线C : y2 2px(p 0)的准线与 x轴的交点为H ，直线过抛物线C的焦点 F 且与C交于 A，
B两点， HAB的面积的最小值为 4．
（1）求抛物线C的方程；
（2 17）若过点Q( ,1)的动直线 l交C于M ，N两点，试问抛物线C上是否存在定点 E，使得对任意的直线
4
l，都有 EM EN ，若存在，求出点 E的坐标；若不存在，则说明理由．
【训练 7】设抛物线C : y2 2px(p 0)的焦点为 F ，点D( p,0)，过 F 的直线交C于M ，N两点．当直线MD
垂直于 x轴时， |MF | 3．
（1）求C 的方程；
（2）若点 A( 1,0)， B(1, 1)，过点 A的动直线 l交抛物线C于 P、Q，直线 PB交抛物线C 于另一点 R，
连接QB并延长交抛物线于点 S．证明直线QR与直线 PS 的斜率之和为定值．
二．抛物线的双切圆同构与彭塞列闭合圆
【例 10】(2011·浙江理)已知抛物线C : x21 y，圆C2 : x
2 (y 4)2 1的圆心为M ，P是C1上一点(异于原
点)，过 P作圆C2 的两条切线，交C1于 A、 B两点，MP AB .求 PM 的方程。
【例 11】(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在 x轴上，直线 l : x 1交C于 P、Q两点，
且OP OQ，已知点M (2，0)，且圆M 与 l相切.
(1)求C，圆M的方程;
(2)设 A1、 A2、 A3是C上的三个点，直线 A1A2 ， A1A3 均与圆M 相切，判断直线 A2A3 与圆M 的位置关系，
并说明理由.
【例 11】已知抛物线C : y2 2px(p 0)的焦点 F 到准线的距离为 2，圆M 与 y轴相切，且圆心M 与抛物线
C的焦点重合．
（1）求抛物线C和圆M 的方程；
（2）设 P(x0 ，y0 )(x0 2)为圆M 外一点，过点 P作圆M 的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点 A(x1，
y1)， B(x2 ， y2 )和点Q(x3， y3 )， R(x4 ， y4 )．且 y1y2 y3 y4 16，证明：点 P在一条定曲线上．
【例 12】(2021浙江文)如图，已知点 P是 y轴左侧(不含 y轴)一点，抛物线C : y2 4x上存在不同的两点 A，
B满足 PA， PB的中点均在C上.
(I)设 AB中点为M ，证明: PM 垂直于 y轴;
y2
(II)若 P是半椭圆 x2 1(x 0)上的动点，求△PAB面积的取值范围.
4
跟踪训练
2
【训练 8】过抛物线C1 : x y上一点 P( 2，4)作圆C2 : x
2 (y 2)2 1的两条切线交C1于点 A，B，求直线
AB的方程.
【训练 9】抛物线C 21 : y 2px(p 0)的焦点到准线的距离等于椭圆C2 : x
2 16y2 1的短轴长．
（1）求抛物线C1的方程；
（2）设 D(1,t)是抛物线C1上位于第一象限的一点，过 D作圆 E : (x 2)
2 y2 r2 （其中 0 r 1)的两条切
线，分别交抛物线C1于点M ， N，证明：直线MN 经过定点．
【训练 10】如图，已知点 P是抛物线C : y2 2px(p 0)的准线 l : x 1上的动点，抛物线C 上存在不同的
两点 A， B满足 PA， PB的中点均在C上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）记直线 PA，PB，PO 1 1的斜率分别为 k1，k2 ，k3 ，请问是否存在常数 ，使得 k3？若存在，k1 k2
求出 的值；若不存在，请说明理由．
考向 4 斜率关系翻译之齐次化
题型 1 斜率关系与齐次化
2 2
已知点 P x y是平面内一个定点，椭圆 C： 2 2 1(a b 0)上有两动点 A、Ba b
（1）若直线 kPA kPB ，则直线 AB过定点．
（2）若直线 kPA kPB ，则直线 AB过定点．
(x x )2 (y y )2
证明：将椭圆C按向量 PO x0 ， y0 方向平移，得椭圆C ： 02
0
2 1，展开得：a b
x2 y2 2x0 2y0 x
2 y 2
2 2 2 x y
0 0
2 2 2 1 0．a b a b a b
平面内的定点 P(x0 ，y0 )和椭圆C上的动点 A、B分别对应椭圆C 上的定点O和动点 A 、B ，设直线 A B 的
x2 y2 2x 2y x 2 y 2
方程为mx ny 1，代入展开式得 2 2 (
0
2 x
0
2 y) mx ny ( 02 02 1) mx ny
2 0（构造齐
a b a b a b
次式），当 x 0时，两边同时除以 x2 整理得，
2 2 2 2 2
2 2 2
n x
[ 0
ny0 1 n 2 ] y
2 2mnx0 2x0n 2mny0 2y0m y mx0 1 m y( 2mn) [ 0 2
2 m ] 0a b 2 x 2 a2 b2 x a2 b2
因为点 A y、B 的坐标满足这个方程，所以 kOA '和 kOB ' 是关于 的方程的两根．x
2mnx20 2x n 2mny
2
0 0
2y0m
2 2 2mn
（1）若 kPA kPB ，由平移性质知 kOA k ，故 k k a bOB OA OB 2 ，
n2x20 ny 0 1 2 2 n2a b
整理可得到 m 和 n 的关系，从而可知直线 A B 过定点，由平移性质可得直线 AB 过定点．
mx 1 2 m2 y20 02 2 m2
（2）若 k a bPA kPB ，由平移性质知 kOA kOB ，所以 kOA kOB 2 2 ，整理可得到mn x20 ny 1
2
0
2 n
2
a b
和 n的关系，从而可知直线 A B 过定点，由平移性质可得直线 AB过定点．
注意：双曲线的齐次化如法炮制
x2 y2
【例 1】(2022 新高考Ⅰ卷)已知 A(2，1)在双曲线C : 1(a 1)上,直线 l交C于 P、Q两点,直线
a2 a2 1
AP , AQ斜率之和为 0.
(1)求 l的斜率;
x2 y2
【例 2】(2020 山东)已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)
2
的离心率为 ,且过点 A(2，1) .
a b 2
(1)求C的方程;
(2)点M , N在C上,且 AM⊥AN ， AD⊥MN ，D为垂足.证明:存在定点Q ,使得 |DQ |为定值.
2
【例 3】(2020 x全国 1 卷)已知 A,B分别为椭圆 E : 2 y
2 1(a 1) 的左、右顶点,G为 E的上顶点,
a AG GB
8. P为直线 x 6上的动点, PA与 E的另一交点为C， PB与 E的另一交点为D .
(1)求 E的方程;
(2)证明:直线CD过定点.
跟踪训练
2 2
【训练 1】(2017 新课标 I理)已知椭圆C : x y2 2 1(a b 0)
3
,四点 P
a b 1
(1，1)， P2 (0，1)， P3( 1， )，2
P4 (1
3
， )，中恰有三点在椭圆C上.
2
(1)求C的方程;
(2)设直线 l不经过 P2点且与C相交于 A，B两点.若直线 P2A与直线 P2B的斜率的和为 1，证明: l过定点.
x2 y2
2 3【训练 】已知椭圆C : 2 a b2
1(a b 0)，点M ( 1， )在椭圆C上，椭圆C 的四个顶点的连线构成的
2
四边形的面积为 4 3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点 A为椭圆长轴的左端点， P、Q为椭圆上异于椭圆C 长轴端点的两点，记直线 AP、 AQ斜率分别
为 k1、k2 ，若 k1k2 2，请判断直线 PQ是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．
x2
【训练 3】已知椭圆C : y2 1的左、右顶点分别为 A，B，P为C 上任意一点（异于 A，B)，直线 AP，
4
BP 10分别交直线 x 于M ， N两点．
3
（1）求证： BM BN ；
（2）设直线 BM 交椭圆C于另一点Q，求证：直线 PQ恒过定点．
题型 2 隐藏斜率关系与齐次化
从曾经的直接考查斜率和积为定值，到如今斜率和积为定值都作为了隐藏条件，为最后的解答指明方
向，本节我们介绍一下那些隐藏的斜率和积为定值问题，新高考，在于藏，不在于难.
高考中出现斜率和积问题，最早可以追溯到近二十年前，考题的日新月异决定了不会永远局限于斜率
和与积的问题,所以需要通过题目给到的定点或者探索定点的过程中,找到北后的本质逻辑.2022 年新课标
一巻的斜率和积成为了第一问就能看出来,压轴问往往要根据已知的定点或者定值来探索斜率的关系.
x2 y2
1.已知点 P(a，0)是椭圆C : 2 2 1(a b 0)右顶点,a b
2
①椭圆上弦 AB过定点 (a，t) ,则 kPA k
2b
PB 定值;at
b2 (t 2a)
②椭圆上弦 AB过定点 (a t，0) ,则 kPAkPB 2 定值;a t
C C : (x a)
2 y2 x2 y21 2a证明:将椭圆 按向量 PO( a 平移得椭圆 x 0 ,，0) a2 b2 a2 b2 a2
①动点 A， B分别对应椭圆C 上的动点 A , B ，根据题意直线 A B 过定点 (0，t)， A B 的方程为
2 2 2
mx y 1 , x y 2a x(mx y ) 0 , x 0 , 1 y 2 y 1 2am即 2 2 2 当 时 两边除以 x
2 得: 0 ,
t a b a t b2 x2 at x a2
k 2b
2
PA kPB 定值;at
x
②动点 A , B 分别对应椭圆C 上的动点 A , B ,根据题意直线 A B 过定点 (t，0)， A B 的方程为 ny 1 ,代
t
x2 y2 2a x 1 y2 2n y 1 2 b2 (t 2a)
入①得 2 2 2 x( ny) 0 ,当 x 0时,两边除以 x
2 得: 2 2 2 0 , k k a b a t b x a x a at PA PB a2t
定值;
2 2
2.已知点 P(0 x y，b)是椭圆C : 2 1(a b 0)上顶点,a b2
(t b) 1 1 2a
2
①椭圆上弦 AB过定点 ， ,则 定值;kPA kPB bt
2b2
②椭圆上弦 AB过定点 (0，b t) ,则 kPAkPB 定值;at
x2 (y b)2 x2 y2 2b
证明:将椭圆C按向量 PO(0， b)平移得椭圆C :
a2

b2
1 2 y 0 ,a b2 b2
x
①动点 A , B 分别对应椭圆C 上的动点 A , B ,根据题意直线 A , B 过定点 (t，0)，A , B 的方程为 ny 1,
t
x2 y2 2b x
, x 0 , y( ny) 0 2 :1 2bn y
2 2 y 1 1 1 2a2
即 当 时 两边除 以 x 得 0 , 2 定值;a b2 b2 t b2 x2 bt x a2 kPA kPB bt
②动点 A , B 分别对应椭圆C 上的动点 A , B ,根据题意直线 A , B 过定点 (0，t)， A , B 的方程为
2 2 2
mx y 1 , x y 2b即 2 2 y(mx
y
) 0 ,当 x 1 2 y 2m y 1 0时,两边除以 x2 得: ( ) 0 ,t a b b2 t b2 bt x2 b x a2
2
kPAk
b t
PB 2 定值;a (t 2b)
我们不需要记忆这个定值,但是我们可以提前预判定值的类型,从而进行定点定值的必要性探路,
x2 y2
【例 4】已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)的左右顶点分别为 A , B ,过椭圆内点D(
2
，0)且不与 x轴重合的动
a b 3
直线交椭圆C于 P，Q两点,当直线 PQ与 x轴垂直时,
PD 4 BD .
3
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)设直线 AP， AQ和直线 l : x t分别交于点M ,N ,若MD⊥ND恒成立,求 t的值.
3.中点与斜率关系转化
如图, PC为 PAB的中线,设直线 AP,BP,CP的斜率分别为 k1,k3 ,k2 ,
1 1 2
①若 AB与 x轴平行,则: ；②若 AB与 y轴平行,则: k1 k3 2k2 .k1 k3 k2
y2 x2
【例 5】（2023 乙卷）已知椭圆C : 1(a b 0) 5的离心率为 ，点 A( 2,0)在C上．
a2 b2 3
（1）求C 的方程；
（2）过点 ( 2,3)的直线交C于点 P，Q两点，直线 AP，AQ与 y轴的交点分别为M ，N，证明：线段MN
的中点为定点．
2 2
【例 6】(2022北京卷)已知椭圆 E : x y2 2 1(a b 0)的一个顶点为 A(0，1) ,焦距为 2 3 .a b
(1)求椭圆 E的方程
(2)过点 P( 2，1)作斜率为 k的直线与椭圆 E交于不同的两点 B ,C ,直线 AB，AC 分别与 x轴交于点M , N .
当 |MN | 2时,求 k的值.
4. 高考中隐藏的斜率比值问题
若 A、B k为椭圆长轴顶点,直线MN 交椭圆于M、N两点,交长轴于点 P(m，0) ,则 AM 为定值,反
kBN
k
之, AM 为定值,则MN 过长轴上定点 P(m，0) ;
kBN
【例 7】（2023 新高考Ⅱ）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为 ( 2 5， 0)，离心率为 5 ．
（1）求C 的方程；
（2）记C 的左、右顶点分别为 A1， A2，过点 ( 4,0)的直线与C的左支交于M ， N两点，M 在第二象限，
直线MA1与 NA2 交于 P，证明 P在定直线上．
2
【例 8】(2022 x 1浙江卷)如图,已知椭圆 E : y 2 1 .设 A
12 ，
B是椭圆上异于 P(0，1)的两点,且点Q(0， )在
2
线段 AB 1上,直线 PA,PB分别交直线 y x 3于C， D两点.2
(1)求点 P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求 |CD |的最小值.
【例 9】(2022全国乙卷)已知椭圆 E的中心为坐标原点,对称轴为 x轴、 y轴,且过 A(0 3， 2) B( ， 1)两
， 2
点.
(1)求 E的方程;
(2)设过点 P(1， 2) 的直线交 E于M ,N 两点,过M 且平行于 x轴的直线与线段 AB 交于点T ,点 H 满足

MT TH .证明:直线HN过定点.
跟踪训练
x2 y2 2
【训练 4】已知椭圆 Q : 2 2 1(a b 0) 的离心率为 ,椭圆 Q上的点，与 P(1，0) 的最大距离为a b 2
2 2 1.
(1) 求椭圆Q的方程；
(2) 设椭圆Q的下、上顶点分别为 A、B,过点 P 的直线与椭圆 Q交于 C、D 两点，与 y轴交于点 M，直线 AC
与直线 BD 交于点 N，试探究OM ON 是否为定值.
x2 y2
【训练 5】（2021·北京）已知椭圆 E： 2 2 1（ a b 0）的一个顶点 A(0, 2)，以椭圆 E的四个顶a b
点围成的四边形面积为 4 5 .
（I）求椭圆 E的方程；
（II）过点 P 0, 3 作斜率为 k的直线与椭圆 E交于不同的两点 B，C，直线 AB、AC分别与直线 y 3交
于点M 、 N ，当 PM PN 15时，求 k的取值范围.
【训练 6】已知动点M (x , y) 1与定点 F (1, 0)的距离和M 到定直线 l： x 4的距离的比是常数 .
2
（1）求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹即曲线C的形状.
2 A( 1, 3（ ）过 )作两直线与抛物线 y tx2（ t 0）相切，且分别与曲线C交于D，E两点，直线 AD，AE
2
的斜率分别为 k1， k2 .
1 1
①求证： 为定值；
k1 k2
②试问直线 DE是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.
考向 5 平行垂直问题之参数方程与复数代换
类型一.长度参数方程构造
一．参数方程与四点共圆
【例 1】（2021 新高考Ⅰ卷）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1( 17，0) ， F2 ( 17，0) ，点 M 满足
|MF1 | |MF2 | 2．记M 的轨迹为C．
（1）求C 的方程；
1
（2）设点T在直线 x 上，过T的两条直线分别交C 于 A， B两点和 P，Q两点，且 |TA | |TB |
2
|TP | |TQ |，求直线 AB的斜率与直线 PQ的斜率之和．
补充：圆幂定理
①相交弦定理：圆内的两条相交弦 AB与CD交于 P，则 PA PB PC PD （左图）．
2
②切割线定理：从圆外一点 P引圆的切线 PA和割线交圆于 B、C两点，则 PA PB PC （中图）．
③割线定理：从圆外一点 P引两条割线与圆分别交于 A、B和 C、D，则 PA PB PC PD （右图）．
二． 参数方程破解类圆幂定理
在圆的切线长定理当中，存在 PA 2 PB PC ，当这个问题出现在椭圆当中，则满足类圆幂定理
PA 2 PB PC ，确定 的数值.
2 2
【例 2】（2016 四川）已知椭圆 E : x y2 2 1 (a b 0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的 3个a b
顶点，直线 l : y x 3与椭圆有且只有一个公共点T．
（1）求椭圆 E的方程及点T 的坐标；
（2）设O是坐标原点，直线 l '平行于OT ，与椭圆 E交于不同的两点 A、 B，且与直线 l交于点 P．证明：
2
存在常数 ，使得 PT PA PB ，并求 的值．
【例 3】已知抛物线C : y2 2px (p 0)，直线 l : y x 1与抛物线C有且只有一个公共点T．
（1）求抛物线C的方程以及T点坐标；
（2）设O为坐标原点，直线 l 平行于OT 与C 交于不同的两点 A， B，且与直线 l交于点Q，是否存在常
数m，使得 |QT |2 m |QA | |QB |？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
跟踪训练
【训练 1】已知直线 l : y x m交抛物线C : y2 4x于 A， B两点．

（1）设直线 l与 x轴的交点为T．若 AT 2TB，求实数m的值；
（2）若点M ， N在抛物线C上，且关于直线 l对称，求证： A， B，M ， N四点共圆．
2 2
【训练 2】已知椭圆C : x y 1 F A(1 22 2 的左焦点为 ， ， )为椭圆上一点， AF 交 ya b 2
轴于点M ，且M 为 AF 的中点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线 l与椭圆C有且只有一个公共点 A，平行于OA的直线交 l于 P，交椭圆C于不同的两点 D，
E，问是否存在常数 ，使得 | PA |2 | PD | | PE |，若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由．
类型二 复数变换与垂直问题
我们来看一下圆锥曲线的参数方程，就是把圆锥曲线上的点进行参数换元，达到简化计算的效果.
一 复数的模与辐角表示圆锥曲线方程
设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是 (x，y)，转化为复平面， zM x yi r(cos i sin )，可
以得出它们之间的关系： x r cos ， y r sin ．又可得到关系式： r 2 x2 y2，arg zM ．这就是复平
面坐标与直角坐标的互化公式．
由于新教材删除了原来的极坐标和参数方程内容，故我们在上一讲介绍了三角代换，由于 2019 版本
的人教 A版教材介绍了复数的三角形式，虽然加了*号，但是也在另一个层面提示我们一些涉及坐标变换的，
尤其是旋转类型的题，完全可以利用复数的三角形式来解决.
2 2
【例 4】（2016 新课标Ⅱ）已知椭圆 E : x y 1的焦点在 x轴上， A是 E的左顶点，斜率为 k(k 0)的直
t 3
线交 E于 A，M 两点，点 N在 E上，MA NA．
（1）当 t 4， | AM | | AN |时，求△AMN 的面积；
（2）当 2 | AM | | AN | 时，求 k的取值范围．
1
【例 5】（2023 年全国 1卷）在直角坐标系 xOy中，点 P到 x轴的距离等于点P到 (0, )的距离，
2
记动点P的轨迹为W
（1）求W的方程
（2）已知矩形 ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形 ABCD的周长大于3 3
【例 6】（2024 南宁月考）已知抛物线 E : x2 2py(p 0)的焦点为 F ，直线 x 4分别与 x轴交于点M ，与
抛物线 E交于点Q，且 |QF | 5 |MQ |．
4
（1）求抛物线 E的方程；
（2）设横坐标依次为 x1，x2，x3 的三个点 A，B，C都在抛物线 E上，且 x1 0 x2 x3，若 ABC 是以 AC

为斜边的等腰直角三角形，求 AB AC的最小值．
跟踪训练
C : x
2 y2 2
【训练 3】焦点在 x轴上的椭圆 2 2 1经过点 (2， 2)，椭圆C 的离心率为 ．F1，F2 是椭圆的左、a b 2
右焦点， P为椭圆上任意点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点M 为OF2 的中点 (O为坐标原点），过M 且平行于OP的直线 l交椭圆C于 A，B两点，是否存在
实数 ，使得 |OP |2 |MA | |MB |；若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由．
x2 y2
【训练 4 2】已知椭圆C的方程为 1，过点Q( ，0)作直线与椭圆交于 A， B两点， P是椭圆的右
4 2 3
顶点．
（1）求证： PA PB；
（2）求 | PA | | PB |的最大值．
x2 y2 1
【训练 5】如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆C :
a2
2 1(a b 0)的离心率 e ，左顶点为b 2
A( 4，0)，过点 A作斜率为 k(k 0)的直线 l交椭圆C于点 D，交 y轴于点 E．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知 P为 AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的 k(k 0)都有OP EQ，若存在，求出点Q的坐
标；若不存在说明理由；
（3）若过O点作直线 l AD AE的平行线交椭圆C 于点M ，求 的最小值．
OM

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