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第3节 离散型随机变量的分布列与数字特征
知识点一．离散型随机变量的分布列
1、随机变量
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示．
注意：
（1）一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验．
（2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，表示反面向上，表示正面向上．
（3）随机变量的线性关系：若是随机变量，，是常数，则也是随机变量．
2、离散型随机变量
对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量．
注意：
（1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值．
（2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出．
3、离散型随机变量的分布列的表示
一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：
我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列．
4、离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
（1），；（2）．
注意：
①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数．
②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
知识点二．离散型随机变量的均值与方差
1、均值
若离散型随机变量的分布列为
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
注意：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征；
（2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质．
2、均值的性质
（1）（为常数）．
（2）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（3）．
（4）如果相互独立，则．
3、方差
若离散型随机变量的分布列为
则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差．
注意：（1）描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；
（2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方．
4、方差的性质
（1）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（2）方差公式的变形：．
题型一 离散型随机变量的概念
【例1】下列叙述中，是离散型随机变量的为（　　）
A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性
【例2】袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为(　　)
A．1,2，…，6 B．1,2，…，7 C．1,2，…，11 D．1,2,3…
【例3】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【训练1】下面是离散型随机变量的是（ ）
A．电灯泡的使用寿命
B．小明射击1次，击中目标的环数
C．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值
D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置
【训练2】袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（ ）
A．至少取到1个白球 B．取到白球的个数
C．至多取到1个白球 D．取到的球的个数
【训练3】对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为(　　)
A．第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
B．第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
C．前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
D．前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
题型二：求离散型随机变量的分布列及其性质
【例1】某一随机变量的概率分布如下表，且，则的值为 ．
0 1 2 3
P 0.2 m n 0.3
【例2】从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为： ．
【例3】设随机变量的分布为，则 ．
【例4】随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则 .
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.3 0.1
【训练1】数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称有一个“巧合”，求“巧合”个数的分布列 ．
【训练2】设随机变量的概率分布列如下，则常数 ．
【训练3】设随机变量的分布列，则 .
【训练4】将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是 .
题型四：离散型随机变量的均值、方差
【例1】一个袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，用X表示取出的3个球中最大编号，则 ．
【例2】离散型随机变量X的分布为：
0 1 2 4 5
若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的为 ．
①；②；③；④．
【例3】（2022 浙江）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则 ， ．
【例4】小李参加某项专业资格考试，一共要考3个科目，若3个科目都合格，则考试直接过关；若都不合格，则考试不过关；若有1个或2相科目合格，则所有不合格的科目需要进行一次补考，补考都合格的考试过关，否则不过关．已知小李每个科目每次考试合格的概率均为p（），且每个科目每次考试的结果互不影响．
(1)记“小李恰有1个科目需要补考”的概率为，求的最大值点．
(2)以（1）中确定的作为p的值．
（ⅰ）求小李这项资格考试过关的概率；
（ⅱ）若每个科目每次考试要缴纳20元的费用，将小李需要缴纳的费用记为X元，求．
【训练1】一个盒子里有1个红球和2个绿球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出绿球的个数为，则 .
【训练2】设随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则方差 .
-1 0 1
【训练3】已知离散型随机变量的分布如下表：
0 2
P a b
若随机变量的期望值，则 ．
【训练4】（2019 浙江）设．随机变量的分布列是
0 1
则当在内增大时，　　
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【训练5】小王去自动取款机取款，发现自己忘记了6位密码的最后一位数字，他决定从0~9中不重复地随机选择1个进行尝试，直到输对密码，或者输错三次银行卡被锁定为止．
(1)求小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设小王尝试输入该银行卡密码的次数为X，求X的分布列、数学期望及方差．
题型六：决策问题
【例1】某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10元的价格全部处理完.店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量（单位：十盒），获得如下数据：
日销售量/十盒 7 8 9 10
天数 8 12 16 4
假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率.
(1)记每两天中销售草莓的总盒数为X（单位：十盒），求X的分布列和数学期望；
(2)以两天内销售草莓获得利润较大为决策依据，在每两天进16十盒，17十盒两种方案中应选择哪种？
【例2】强基计划校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为；该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，m，其中．
(1)若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求m的取值范围．
【例3】（2021 新高考Ⅱ）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，，1，2，．
（Ⅰ）已知，，，，求；
（Ⅱ）设表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，是关于的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（Ⅲ）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【训练1】甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为；报考乙公司，每门科目通过的概率依次为，，其中．
(1)若，分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
(2)招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求的取值范围．
【训练2】某校举办了一次“历史典故”知识竞赛.竞赛分个人赛和团体赛两种.个人赛参赛方式为：组委会采取电脑出题的方式，从题库中随机出10道题，编号为，，，，，，电脑依次出题，参赛选手按规则作答，每答对一道题得10分，答错得0分.团体赛以班级为单位，各班参赛人数必须为3的倍数，且不少于18人，团体赛分预赛和决赛两个阶段，其中预赛阶段各班可从以下两种参赛方案中任选一种参赛：
方案一：将班级选派的名参赛选手每3人一组，分成组，电脑随机分配给同一组的3名选手一道相同的试题，3人均独立答题，若这3人中至少有2人回答正确，则该小组顺利出线；若这个小组都顺利出线，则该班级晋级决赛.
方案二：将班级选派的名参赛选手每人一组，分成3组，电脑随机分配给同一组的名选手一道相同的试题，每人均独立答题，若这个人都回答正确，则该小组顺利出线；若这3个小组中至少有2个小组顺利出线，则该班级晋级决赛.
(1)郭靖同学参加了个人赛，已知郭靖同学答对题库中每道题的概率均为，每次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求郭靖同学得分的数学期望与方差；
(2)在团体赛预赛中，假设A班每位参赛选手答对试题的概率均为常数，A班为使晋级团体赛决赛的可能性更大，应选择哪种参赛方式？请说明理由.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第3节离散型随机变量的分布列与数字特征
知识点一，离散型随机变量的分布列
1、随机变量
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对
应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.随机
变量常用字母X,Y,5,n,表示.
注意：
(1)一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行：②试验的所有可能
结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前
不能确定这次试验会出现哪个结果.这种试验就是随机试验.
(2)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示.如掷一枚硬币，X=0表示反面
向上，X=1表示正面向上.
(3)随机变量的线性关系：若X是随机变量，Y=aX+b,a,b是常数，则Y也是随机变量.
2、离散型随机变量
对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量.
注意：
(1)本章研究的离散型随机变量只取有限个值.
(2)离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的
切值，这样的变量就叫做连续型随机变量：②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验
的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出.
3、离散型随机变量的分布列的表示
一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x,x2,,x,,x。,X取每一个值x(位=1,2，…，)
的概率P(X=x)=乃，以表格的形式表示如下：
X
X2
Xn
P
P
P2
Po
我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时为了简单起见，也用等式
P(X=x)=p,i=1,2,,n表示X的分布列.
4、离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
(1)p,≥0，i=1,2,,n；(2)p,+p2+…+pn=1
注意：
①性质(2)可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数，
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②随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率，
知识点二，离散型随机变量的均值与方差
1、均值
若离散型随机变量X的分布列为
大
X
X2
P
Pa
p
Pa
称E(X)=xB,+x2P2+…+xP,+…+xnP。=1为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变
量取值的平均水平.
注意：(1)均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”，这是随机变量X的一个重要特征：
(2)根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值.但反过来，两个不同的分布可以有
相同的均值.这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值.而均值只是刻画了随机
变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质，
2、均值的性质
(1)E(C)=C(C为常数).
(2)若Y=aX+b,其中a,b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX+b)=aE(X)+b.
(3)E(X+X2)=E(X)+E(X2).
(4)如果X,X2相互独立，则E(X·X)=E(X)·E(X2).
3、方差
若离散型随机变量X的分布列为
X
x
X2
…
…
Xn
P
P
Pa
…
p
Pe
则称D(X)=∑(x,-E(X)》p,为随机变量X的方差，并称其算术平方根、DX为随机变量X的标准差.
注意：(1)（化，-E(X)》2描述了x=1,2,,)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)是上述偏离程度
的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差均反映了随机变
量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小：
(2)标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方，
4、方差的性质
(1)若Y=aX+b,其中a,b为常数，则Y也是随机变量，且D(aX+b)=a2DX).
(2)方差公式的变形：D(X)=E(X2)-[E(X)].
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第3节 课后练习
1．（2024·吕梁期中）已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
2．（2024·乌鲁木齐期中）已知的分布列如下表所示，设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·天津月考）有两个随机变量和，它们的分布列分别如下表：
1 2 3 4 5
0.03 0.3 0.5 0.16 0.01
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
则关于它们的期望，和它们的方差和，下列关系正确的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
4.（2024 杭州月考）随机变量ξ的分布列如下：
ξ －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则Dξ的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
5．（2024 镇海月考 多选）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024 名校联盟 多选）已知，，随机变量，的分布列如下表所示：
0 1 0 1
下列说法中正确的是（ ）
A．若且，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
7．（2024·天津河东区模拟）设随机变量X的概率分布列为：
X 1 2 3 4
P m n
已知，则 .
8．（2024·长春期中）若p为非负实数，随机变量X的分布列为下表，则的最大值是 ．
X 0 1 2
P
9．（2024·深圳期中）已知随机变量ξ的取值为i（i＝0，1，2）．若，，则 ．
10．（2024·日照模拟）甲乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求随机变量的概率分布、数学期望和方差．
11．（2024·深圳期中）深圳中学足球社团是一个受学生欢迎的社团．
(1)现社团招新，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球3次．某同学进行“点球测试”，依据平时的训练数据，获得其单次点球踢进的概率为，该同学每次点球是否踢进相互独立．他在测试中所踢的点球次数记为X，求X的分布列及数学期望；
(2)社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为Pn，即P1＝1．
（i）证明：数列为等比数列：
（ii）判断第19次还是第20次触球者是甲的概率大．
12．（2024·杭州期中）根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效．
(1)如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X，求X的概率分布．
(2)在第（1）题的条件下求随机变量X的期望与方差．
(3)如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率P并根据P的值解释该试验方案的合理性.（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）．
13．（2023 新高考Ⅰ）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，，2，，，
则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
14．（2024 湖南模拟）从2023年起，我省高考数学试卷中增加了多项选择题（第9-12题是四道多选题，每题有四个选项，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.在某次模拟考试中，每道多项选题的正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为（其中）.现甲乙两名学生独立解题.
(2)对于第12题，甲同学只能正确地判断出其中的一个选项是符合题意的，乙同学只能正确地判断出其中的一个选项是不符合题意的，作答时，应选择几个选项才有希望得到更理想的成绩，请你帮助甲或者乙做出决策（只需选择帮助一人做出决策即可）.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第3节课后练习
1.(2024吕梁期中)已知随机变量X服从两点分布，E(X)=0.6,则其成功概率为()
A.0.3
B.0.4
C.0.5
D.0.6
2.(2024乌鲁木齐期中)已知7的分布列如下表所示，设5=3n-2,则D(5)的值为()
-1
0
6
A.5
B.
5-3
c
D.-3
3.(2024天津月考)有两个随机变量X和Y,它们的分布列分别如下表：
Y
2
3
4
5
0.03
0.3
0.5
0.160.01
X
1
2
3
4
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
则关于它们的期望E(X),E(Y)和它们的方差D(X)和D(Y),下列关系正确的是()
A.E(X)>E(Y),D(X)>D(Y)
B.E(X)>E(Y),D(X)C.E(X)D(Y)
D.E(X)4.(2024·杭州月考)随机变量的分布列如下：
5
-1
0
1
其中a,b,c成等差数列，则D的最大值为()
B.5
9
c.
D.3
4
1/5
5.(2024·镇海月考·多选)已知随机变量气服从两点分布，且P(怎=)=A=L,2),若)A下列判断不正确的是()
A.E(5,)B.E()C.E(5)D.D()6.(2024·名校联盟·多选)已知P,P2∈(0,1)，随机变量X,Y的分布列如下表所示：
X
-1
-1
0
1-p
1-p2
2
2
2
2
2
下列说法中正确的是(
)
A.若A<号且A<分则E(X)>E(四
B.若PE(Y)
C.若D(Y)
D.若n<2P,则D(X)>D(Y)
7.(2024天津河东区模拟)设随机变量X的概率分布列为：
X
2
3
4
7
P
12
12
己知E(X)=
17
则2m+n=
6
8.(2024长春期中)若p为非负实数，随机变量X的分布列为下表，则D(X)的最大值是
X
0
2
-P
2
2
2/5
9.(2024-深圳期中)已知随机变量的取值为i(i=0,1,2).若P(5=0)=;,E(5)=1,则D(25-3)=
10.(2024日照模拟)甲乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次
由甲投：己知每次投篮甲、乙命中的概率分别为
,在前3次投篮中，乙投篮的次数为5，求随机变量5
3’4
的概率分布、数学期望和方差.
11.(2024深圳期中)深圳中学足球社团是一个受学生欢迎的社团.
()现社团招新，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取：
若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球3次.某同学进行“点球测试”，依据平时的训练
数据，获得其单次点球踢进的概率为}，该同学每次点球是否踢进相互独立。他在测试中所踢的点球次数记
为X,求X的分布列及数学期望：
(2)社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球
者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传
球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为Pn,即P,=1.
1
(①)证明：数列B3为等比数列：
(ⅱ)判断第19次还是第20次触球者是甲的概率大.
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