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拓展思维第 2节 新定义问题
考向一 小题篇
题型一 切线法与“牛顿数列”
1.切线法：用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值.这种方法叫做“切线法”.由
图可得，在点( 0, ( 0))处做切线 ( 0) = '( 0)( 0)，令 =0，就得到切线与 x轴交点的横坐标为 1 =
( 0)0 ′ ，显然 1比 0更接近方程的根 r. 同理可得：在点( 1, ( 1))处做切线,可得根的近似值 2；由此递 ( 0)
( )
推，在点( , ( ))处作切线，得根的近似值 +1 = ′( )
2.牛顿数列：若数列{x } ( )n 的通项关系满足 +1 = ′( )
则称数列{ }为函数 ( )的牛顿数列
【例 1】（多选）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点．如图，在横坐标为 x1的点处作 f
（x）的切线，切线与 x轴交点的横坐标为 x2；用 x2代替 x1重复上面的过程得到 x3；一直下去，得到数列{xn}，
叫作牛顿数列．若函数 f（x）＝x2﹣x﹣6， =
+2
3
且 a1＝1，xn＞3，数列{an}的前 n项和为 Sn，则下
列说法正确的是（ ）
A = ( ． ) +1 ′( )
B．数列{an}是递减数列
C．数列{an}是等比数列
D． 2023 = 22023 1
【例 2】（多选）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点．已知二次函数 f（x）有两个不相
等的实根 b，c，其中 c＞b．在函数 f（x）图象上横坐标为 x1的点处作曲线 y＝f（x）的切线，切线与 x轴
交点的横坐标为 x2；用 x2代替 x1，重复以上的过程得到 x3；一直下去，得到数列{x }

．记 = n ，且
a1＝1，xn＞c，下列说法正确的是（ ）
A = ． 1 1（其中 lne＝1） B．数列{an}是递减数列
C 1 1． 1 6 = 32 D．数列{ + }的前 n项和 = 2 2 + 1
【训练 1】给定函数 f（x），若数列{xn}满足 +1 =
( )
，则称数列{xn}为函数 f（x）的牛顿数列．已 ′( )
知数列{xn}为函数 f（x

）＝x2﹣x﹣2的牛顿数列， = ( 2 +1 )，且 a1＝1，xn＞2（n∈N+），数列{an}的前
n项和为 Sn．则 S2024＝（ ）
A．22024﹣1 B．22023﹣1
C．( 1 )20242 1 D．(
1 )20232 1
【训练 2】（多选）牛顿选代法是求函数零点近似值的一种方法，它的原理是利用曲线一系列切线与 x轴交
点的横坐标来通近函数的零点．已知 f（x）＝x2﹣x﹣1，设α，β为 f（x）的两个零点（α＜β），令 a1＝﹣1，
在点（a1，f（a1））处作函数 f（x）的切线，设切线与 x轴的交点为 a2，继续在点（a2，f（a2））处作 f（x）
的切线，切线与 x轴的交点为 a3，…如此重复，得到一系列切线，它们与 x轴的交点的横坐标形成数列{an}，

易得 an＜0（n∈N*）．设 bn＝ln （n∈N*），{bn}的前 n项和为 Tn，则下列说法中，正确的是（ ）
A = 3． 2 5 B．an＜α
C．{an}是单调递增数列 D．T4＝15b1
题型二 取整数列
【例 1】在数列 an 中，a1 2，a2 4，且 an 2 2an 1 an 2 0． x
a
表示不超过 x的最大整数，若b nn
n2
，

数列 bn 的前 n项和为Tn，则T2023 ( )
A．2 B．3 C．2022 D．2023
【训练 1】符号 x 表示不超过实数 x的最大整数，如 2.3 2， 1.9 2 .已知数列 an 满足 a1 1，a2 5，
8100
an 2 4an 5an 1.若bn log2an 1 ， Sn为数列 的前 n项和，则 Sb b 2025 ( ) n n 1
A．2023 B． 2024 C． 2025 D． 2026
题型三 非典型新定义命题
【例 1】已知数列 a 满足：对任意的 n N ，总存在m N n ，使得 Sn am，则称 an 为“回旋数列”．以下
结论中正确的个数是( )
①若 an 2023n，则 an 为“回旋数列”；
②设 an 为等比数列，且公比 q为有理数，则 an 为“回旋数列”；
③设 an 为等差数列，当 a1 1， d 0时，若 an 为“回旋数列”，则 d 1；
④若 a 为“回旋数列”，则对任意 n N ，总存在m N n ，使得 an Sm．
A．1 B．2 C．3 D．4
【例 2】(多选)若数列 an 满足：对 i, j N*，若 i j，则 ai a j ，称数列 an 为“鲤鱼跃龙门数列”.下列
数列 an 是“鲤鱼跃龙门数列”的有( )
A． an n
2 4n 1 a n 1B． n n 2
C． an sin nπ D． an ln
n
n 1
1 2 k 1
1 a 2 3 k k
【例 3】对于数列{an}，记： n 1n ， n 1 n 1 n 1 *n 1 ， n 2 ，…， n k 1 (其中 n N )，并称数列 a n n n n n
{a } k k为数列 n 的 阶商分数列.特殊地，当{ n }为非零常数数列时，称数列{an}是 k阶等比数列.已知数列{an}
是 2阶等比数列，且 a1 2，a2 2048，a3 2
20
，若 an am n，则 m=___________.
【训练 1】对于一个给定的数列 an ，把它的连续两项 an 1与 an 的差 an 1 an记为bn ，得到一个新数列 bn ，
把数列 bn 称为原数列 an 的一阶差数列.若数列 bn 为原数列 an 的一阶差数列，数列 cn 为原数列 bn
的一阶差数列，则称数列 cn 为原数列 an 的二阶差数列.已知数列 an 的二阶差数列是等比数列，且
a1 2,a2 3,a3 6,a4 13，则数列 an 的通项公式 an .
【训练 2】定义:对于任意数列 an ,假如存在一个常数 a使得对任意的正整数 n都有 a a ,且 lim a an n n ,则
称 a为数列 an 的“上渐近值”．已知数列 an 有 a1 a,a2 p ( p为常数,且 p 0 ),它的前 n项和为 Sn ,并且满
n
S a足 n a1
S S
p n 2 n 1 100
n ,令 n2 S S
,记数列 p1 p2 pn 2n 的“上渐近值”为 k ,则 cos 的值为
n 1 n 2 k
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拓展思维第2节 新定义问题
考向一 小题篇
题型一 切线法与“牛顿数列”
1.切线法：用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值.这种方法叫做“切线法”.由图可得，在点处做切线，令=0，就得到切线与x轴交点的横坐标为，显然比更接近方程的根r. 同理可得：在点处做切线,可得根的近似值；由此递推，在点处作切线，得根的近似值
2.牛顿数列：若数列{xn}的通项关系满足
则称数列{}为函数的牛顿数列
【例1】（多选）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点．如图，在横坐标为x1的点处作f（x）的切线，切线与x轴交点的横坐标为x2；用x2代替x1重复上面的过程得到x3；一直下去，得到数列{xn}，叫作牛顿数列．若函数f（x）＝x2﹣x﹣6，且a1＝1，xn＞3，数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．数列{an}是递减数列
C．数列{an}是等比数列
D．
【例2】（多选）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点．已知二次函数f（x）有两个不相等的实根b，c，其中c＞b．在函数f（x）图象上横坐标为x1的点处作曲线y＝f（x）的切线，切线与x轴交点的横坐标为x2；用x2代替x1，重复以上的过程得到x3；一直下去，得到数列{xn}．记，且a1＝1，xn＞c，下列说法正确的是（　　）
A．（其中lne＝1） B．数列{an}是递减数列
C． D．数列的前n项和
【训练1】给定函数f（x），若数列{xn}满足，则称数列{xn}为函数f（x）的牛顿数列．已知数列{xn}为函数f（x）＝x2﹣x﹣2的牛顿数列，，且a1＝1，xn＞2（n∈N+），数列{an}的前n项和为Sn．则S2024＝（　　）
A．22024﹣1 B．22023﹣1
D．
【训练2】（多选）牛顿选代法是求函数零点近似值的一种方法，它的原理是利用曲线一系列切线与x轴交点的横坐标来通近函数的零点．已知f（x）＝x2﹣x﹣1，设α，β为f（x）的两个零点（α＜β），令a1＝﹣1，在点（a1，f（a1））处作函数f（x）的切线，设切线与x轴的交点为a2，继续在点（a2，f（a2））处作f（x）的切线，切线与x轴的交点为a3，…如此重复，得到一系列切线，它们与x轴的交点的横坐标形成数列{an}，易得an＜0（n∈N*）．设bn＝ln（n∈N*），{bn}的前n项和为Tn，则下列说法中，正确的是（　　）
A． B．an＜α
C．{an}是单调递增数列 D．T4＝15b1
题型二 取整数列
【例1】在数列中，，，且．表示不超过的最大整数，若，数列的前项和为，则( )
A．2 B．3 C．2022 D．2023
【训练1】符号表示不超过实数的最大整数，如，.已知数列满足，，.若，为数列的前项和，则( )
A． B． C． D．
题型三 非典型新定义命题
【例1】已知数列满足：对任意的，总存在，使得，则称为“回旋数列”．以下结论中正确的个数是( )
①若，则为“回旋数列”；
②设为等比数列，且公比q为有理数，则为“回旋数列”；
③设为等差数列，当，时，若为“回旋数列”，则；
④若为“回旋数列”，则对任意，总存在，使得．
A．1 B．2 C．3 D．4
【例2】(多选)若数列满足：对，若，则，称数列为“鲤鱼跃龙门数列”.下列数列是“鲤鱼跃龙门数列”的有( )
A． B．
C． D．
【例3】对于数列，记：…，(其中)，并称数列为数列的k阶商分数列.特殊地，当为非零常数数列时，称数列是k阶等比数列.已知数列是2阶等比数列，且，若，则m=___________.
【训练1】对于一个给定的数列，把它的连续两项与的差记为，得到一个新数列，把数列称为原数列的一阶差数列.若数列为原数列的一阶差数列，数列为原数列的一阶差数列，则称数列为原数列的二阶差数列.已知数列的二阶差数列是等比数列，且，则数列的通项公式 .
【训练2】定义:对于任意数列,假如存在一个常数使得对任意的正整数都有,且,则称为数列的“上渐近值”．已知数列有(为常数,且),它的前项和为,并且满足,令,记数列的“上渐近值”为,则的值为 _____．
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