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3.1 导数小题篇课后练习
1．（2024 上犹县期末）下列求导运算正确的是 ( )
A． (x 1 ) 1 1 2 B． (log2x)
1

x x xln2
C． (5x ) 5x log x D． (x25 cos x) 2xcos x x
2 sin x
2．（2024 白云区期中）下列命题正确的是 ( )
A．若 f (x) xsin x cos x，则 f (x) sin x x cos x sin x
B．设函数 f (x) xlnx ，若 f (x0 ) 2，则 x0 e
C．已知函数 f (x) 3x2ex ，则 f （1） 12e
D．设函数 f (x)的导函数为 f (x)，且 f (x) x2 3xf （2） lnx，则 f (2) 9
4
3．（2024 2 惠州期末）若函数 f (x) cos x aln | x | bx2 c满足 f ( ) ，则 f ( ) ( )
2 2
A 2． B 2 ． C． D．
2 2
4．（2024 新余期末）已知函数 f (x) x3 x 1，其导函数记为 f (x)，则
f (2023) f (2023) f ( 2023) f ( 2023) ．
5．（2024 南阳月考）有一些网络新词，如“ yyds”“内卷”“躺平”等，现定义方程 f (x) f (x) 的实数根 x
叫做函数 f (x)的“躺平点”，若函数 g(x) ex x， h(x) lnx， (x) 1024x 1024 的躺平点分别为 a，b，
c，则 a， b， c的大小关系为 ( )
A．b a c B． a b c C． c a b D． c b a
6．（2024 湖州月考）定义方程 f (x) f (x)的实数根 x0 叫做函数 f (x)的“新驻点”．设 f (x) cos x，则 f (x)
在 (0, )上的“新驻点”为 ．
7．（2024 丹东模拟）计算器计算 ex ， lnx，sin x，cos x等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序
的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数 f (x)在含有 x0 的某个开区间 (a,b)内可以多次进行求导数运算，
f (x0 ) 0 f (x0 ) f (x0 ) 2 f x (a,b) x x f (x) (x )则当 ，且 0 时，有 (x x0 ) (x x0 ) (x x ) 0
3
0 (x x0 ) ．0! 1! 2! 3!
其中 f (x)是 f (x)的导数， f (x)是 f (x)的导数， f (x)是 f (x)的导数 ．
取 x0 0，则 sin x的“泰勒展开式”中第三个非零项为 ， sin1精确到 0.01的近似值为 ．
8．（2019 新课标Ⅱ）曲线 y 2sin x cos x 在点 ( , 1)处的切线方程为 ( )
A． x y 1 0 B． 2x y 2 1 0 C． 2x y 2 1 0 D． x y 1 0
9．（2024 五华区模拟）过点 P(0, e)作曲线 y xlnx的切线，则切线方程是 ．
10．（2022 新高考Ⅱ）曲线 y ln | x |过坐标原点的两条切线的方程为 ．
11．（2024 许昌二模）已知函数 y x 1 lnx在点 A(1,2)处的切线 l，若 l与二次函数 y ax2 (a 2)x 1的
图象也相切，则实数 a的取值为 ( )
A．12 B．8 C．0 D．4
12．（2024 浑南区模拟）已知曲线 f (x) x 与曲线 g(x) alnx(a R)相交，且在交点处有相同的切线，则
a ．
13．（2024 鼓楼模拟）写出曲线 y ex 1与曲线 y ln(x 1)的公切线的一个方向向量 ．
14．（2023 湖南模拟）已知 f (x) ex (e为自然对数的底数），g(x) lnx 2 ，直线 l是 f (x)与 g(x)的公切线，
则直线 l的方程为 ．
15.（2024 正定月考）过点 (3,0)作曲线 f (x) xex 的两条切线，切点分别为 (x1 ， f (x1))， (x2 ， f (x2 ))，则
x1 x2 ( )
A． 3 B． 3 C． 3 D．3
16.（2024 濠江区月考）若过点 (m， n)(m 0)可作曲线 y x3 3x三条切线，则 ( )
A． n 3m B． n m3 3m
C． n m3 3m或 n 3m D． 3m n m3 3m
17. x 1（2023 自贡模拟）已知函数 f (x) x ．若过点 P( 1,m)可以作曲线 y f (x)三条切线，则m的取值范e
围是 ( )
A． (0, 4) B． (0, 8) C． ( 1 , 4) D 1 8． ( , )
e e e e e e
18．（2024 连云港月考）已知直线 l分别与曲线 f (x) lnx， g(x) ex 相切于点 (x1 ， lnx1)， (x ,e
x2
2 )，则
1 2
的值为 ．
x1 x2 1
19.（2024·全国· π π高三专题练习）函数 = sin cos 在区间 , 上的最小值为（ ）
2 2
A 3 3 π． B 3 6． 1 C． D．0
6 12
20．（2024 涪城区期中）若函数 f (x) (x2 ax 2) ex 在 R上既有极大值也有极小值，则实数 a的取值范围
( )
A． ( 2,2) B． ( ， 2) (2， )
C． ( ， 2] [2， ) D． [ 2， 2]
21 1．（2023 泉州模拟）设点 P在曲线 y e(x 1) 上，点Q在曲线 y ln(2x 2)上，则 | PQ |的最小值为 ( )
2
A．1 ln2 B． 2(1 ln2) C．1 ln2 D． 2(1 ln2)
ea 122. 2024 b d c 2（ 北海期末）若实数 a， ， c， 满足 1，则 (a c)2 (b d)2 的最小值为 ( )
b d
A．2 B． 2 2 C．4 D．8
23．（2024 五华区期中）已知函数 f (x) x3 2ax2 a2x 1在 x 1处有极小值，则 a的值为 ( )
A．1 B．3 C．1或 3 D． 1或 3
24．（2024 1 平罗县期中）已知函数 f (x) x3 ax2 ax 1(a 1)在 x1， x2 (x1 x2 )处的导数相等，则不等式3
f (x1 x2 ) m恒成立时m的取值范围为 ( )
A． ( 4 ， 1] B． ( ， 0] C． ( ，1] D． ( , ]
3
25．（2024 武陵区月考）已知 x 3 21， x2为函数 f (x) x 3x ax 1的两个不同的极值点，
若 f (x1) f (x ) f (
x1 x2
2 )，则 a的取值范围是 ( )2
A． ( ,3) B． (0,3) C． ( ,0) D． ( 3,3)
26.（2023 成都模拟）若正实数 x1是函数 f (x) xe
x x e2 的一个零点，x2 是函数 g(x) (x e)(ln x 1) e
3
x (x e)
的一个大于 e的零点，则 1 22 的值为 ．e
A 1 B 1． ． 2 C． e D． e
2
e e
m
1
27.（2023 江西模拟）已知函数 f (x) 2x3 ln x (m x)e x ，当 x e时， f (x) 0恒成立，则实数m的取值
范围为 ．
28.（2023 苏州模拟）若不等式 ae x ln x ln a 0，则 a的取值范围是 ．
29.（2023 ax蚌埠模拟）已知函数 f (x) x 1 x ln(ax) 2(a 0)，若函数 f (x)在区间 (0， )内存在零点，e
则实数 a的取值范围是（ ）
A． (0，1] B．[1， )
C． (0，e] D． [3， )
30.（2023 成都零诊）若正实数 x 是函数 f (x) xe x x e21 的一个零点，
x2 是函数 g(x) (x
x (x e)
e)(ln x 1) e3的一个大于 e的零点，则 1 22 的值为（ ）e
A 1 1． B． C． e D． e2
e e2
31.（2024 北京期末）曲线 f（x）= ，g（x）= ，及直线 y＝a（a∈R），下列说法中正确的个数为（ ）
①存在直线与曲线 f（x）与 g（x）均相切；②曲线 f（x）与 g（x）有且只有一个公共点；③存在直线 y
＝a与曲线 f（x）、g（x）均有公共点；④若直线 y＝a 与曲线 f（x）交于点 A（x1，y1），B（x2，y2），与曲
线 g（x）交于点 B（x2，y2），C（x3，y3），则 x1x3= 22．
A．1 B．2 C．3 D．4
31.（2023 2k b 2浙江模拟）设 k，b R，若关于不等式 ln x x k(x 1) b在 (0， )上恒成立，则 的
k 1
最小值是 .
32.（2023 1 1 b湖南十五校模拟）已知 x + e2ax+b对 x (- ，+ )恒成立，则 的最小值为 ．
a a a
33.（2023 武汉调研）已知函数 f (x) = e x - a ln(ax - a) + a(a > 0) ，若关于 x的不等式 f (x) > 0恒成立，则实数
a的取值范围为________．
ex e x ex 1
34.（2024 荆州期末）求证： ex sin x sin(1 lnx)．
2
35.（2024 金太阳联考）对任意 a，b R，都有 (b a)eb a be b a恒成立，则实数 的值为（ ）
A． e B．1 C．0 D． e
36.（2023 天一大联考）对任意的 a， b R，不等式 (6a 6b 1)e2a b 6a 1 mbea 恒成立，
则实数m的取值范围是 ．
37（. 2024 运城月考）已知函数 f (x) ex (2x 1) ax 2a 1，其中 a ，若存在唯一的整数 x0 ，使得 f (x2 0
) 0，
则实数 a的取值范围是 ( )
A [ 3． , 1) B．[ 3 , 1] C 1 1 1 1．[ , ) D． ( , ]
2e 2 2e 4 e 2 4 e
38．（2023 长沙模拟）已知函数 f (x) (mx 1)ex x2，若不等式 f (x) 0的解集中恰有两个不同的正整数解，
则实数m的取值范围 ( )
A． ( 2 1 1 2 1 12 ， 1) B．[ ， 1)e 2 e e2 2 e
C [ 3 1 2 1 3 1 2 1． 3 ， 2 ) D． ( 3 ， )e 3 e 2 e 3 e2 2
39．（2024 湖北期中）已知函数 f (x) xex 1 kx k，有且只有一个负整数 x0 ，使 f (x0 ) 0成立，则 k的取
值范围是 ( )
A 2． ( , 1] B 1 2． (0, ] C． [ , 1) D． [0, 1)
3e 2 2 3e 2 2
2．（2024 杨陵区月考）已知函数 f (x)的定义域是 ( 5,5)，其导函数为 f (x)，且 f (x) xf (x) 2，则不等
式 (2x 3) f (2x 3) (x 1) f (x 1) 2x 4 的解集是 ．
40．（2024 浦东新区期中）定义在 R上的函数 f (x)满足 f (x) f (x) ex 0，其中 f (x)为 f (x)的导函数，
若 f （3） 3e3，则 f (x) xex 的解集为 ．
41．（2024 青羊区月考）已知函数 f (x)的定义域为 ( , )，其导函数是 f (x)．有 f (x)cos x f (x)sin x 0 ，
2 2

则关于 x的不等式 f (x) 2 f ( )cos x 的解集为 ( , ) ．
3 2 3
42．（2024 ln 2 ln3 1江西金太阳联考）设实数 a ， b ， c 2 ，则 a、b、c的大小关系为 ( )3 8 e 1
A． a b c B．b a c C． a c b D． b c a
43.（2024 常德月考）已知 0 a 4，0 b 2，0 c 3，且16ln a a2 ln 4，4lnb b2 ln2，9ln c c2 ln3，
则 ( )
A． c b a B． c a b C． a c b D．b c a
44.（2024 四川模拟）已知 a，b，c为负实数，且 a ln a 1 2，b ln b 1 3，c 2ec 1 1，则
3 4
( )
A． b a c B． c b a C． a b c D． a c b
45. e（2024 湖北开学）已知 a sin ，b ， c ln 2，则 a， b， c的大小关系为 ( )
5 2
A． a c b B． a b c C． c a b D． c b a
46.（2024 运城月考）已知 a 1 sin 0.1，b 1 ln1.1， c 1.0110，则 ( )
A． a b c B．b a c C． c a b D．b c a
47.（2024 2 2 11 北京月考）设 a ，b sin ， c ln ，则 ( )
21 21 10
A． a b c B． a c b C． c a b D．b c a
48.（2024 山东月考 多选）若 a ln1.1 1， b ， c sin 0.1 d 21， ，则 ( )
11 220
A． a b B．b c C． a d D． c d3. 1 导数小题篇
考向 1 导数的运算
1．求导的基本公式
基本初等函数 导函数
f (x) c（ c为常数） f (x) 0
f (x) xa (a R) f (x) axa 1
f (x) a x (a 0，a 1) f (x) a x ln a
f (x) 1 loga x (a 0，a 1) f (x) x ln a
f (x) e x f (x) e x
f (x) ln x f (x) 1
x
f (x) sin x f (x) cos x
f (x) cos x f (x) sin x
2．导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：[ f (x) g(x)] f (x) g (x)；
（2）函数积的求导法则：[ f (x)g(x)] f (x)g(x) f (x)g (x)；

（3）函数商的求导法则： g(x) 0 [ f (x) ，则 ] f (x)g(x) f (x)g (x) ．
g(x) [g(x)]2
3．复合函数求导数
复合函数 y f [g(x)]的导数和函数 y f (u)，u g(x)的导数间关系为 y y u x u x ：
如 y (3x 1)2我们将分三步：
y u2
①将复合函数分解为基本初等函数 ；
u 3x 1
②将 y对u的导数记为 yu 2u，将 u对 x的导数记为 ux 3；
③ y yu u x 2u 3 6(3x 1) 18x 6 ．
注意：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
题型 1 基本求导
【例 1】下列式子正确的是 ( )
A． (sin ) cos B 1． (lnx)
6 6 x
x
C ( e ) e
x
． D． (xsin x) cos x
2x 2
【例 2】若函数 f (x) 3x sin 2x，则 ( )
A． f (x) 3x ln3 2cos2x B． f (x) 3x 2cos2x
C． f (x) 3x ln3 cos2x D． f (x) 3x ln3 cos2x
【例 3】已知函数 f (x) ex f (0)x2 f (0)(x 2)（其中 f (x)是 f (x)的导函数），则 f （1） ( )
A． e 2 B． e 3 C． e 2 D． e 3
(x 1)2 sin x
【例 4】函数 f (x) 2 ，其导函数记为 f (x)，f (2022) f (2022) f ( 2022) f ( 2022) ( )x 1
A． 3 B．3 C． 2 D．2
【例 5】已知函数 f (x) x(x 3)(x 32 )(x 33)(x 34 )(x 35 )，则 f (0) ( )
A． 315 B． 314 C． 314 D． 315
跟踪训练
【训练 1】设函数 f (x)在 R上可导，且 f (lnx) x lnx，则 f (0) ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
1 1 x2
【训练 2】下列给出四个求导的运算：① (x ) 2 ；② (ln(2x 1))
2
；③ (x2ex ) 2xex ；④
x x 2x 1
(log2x)
1
．其中运算结果正确的个数是 ( )
xln2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【训练 3】函数 f (x) asin3x bx3 4(a R,b R)， f (x)为 f (x)的导函数，
则 f (2023) f ( 2023) f (2022) f ( 2022) ( )
A．0 B．8 C．2022 D．2023
【训 4】若函数 f (x) (x 2019)(x 2020)(x 2021)(x 2022) ，则 f (2021) ．
解：令 g(x) (x 2019)(x 2020)(x 2022) ，则 f (x) (x 2021) g(x) ，
因为 f (x) g(x) (x 2021) g (x) ，所以 f (2021) g(2021) 2 1 ( 1) 2 ，故答案为： 2．
题型 2 必备拓展知识
【例 1】给出定义：若函数 f (x)在D上可导，即 f (x)存在，且导函数 f (x)在D上也可导，则称 f (x)在D
上存在二阶导函数，记 f (x) ( f (x)) ．若 f (x) 0在 D上恒成立，则称 f (x)在 D上为凸函数（反之
f (x) 0为凹函数）．以下四个函数在 (0, )上不是凸函数的是 ( )
2
A． f (x) cos x sin x B． f (x) lnx 3x
C． f (x) x3 4x 8 D． f (x) xex
【例 2】【多选】已知函数 f (x)的导函数为 f (x)，若存在 x0 使得 f (x0 ) f (x0 )，则称 x0 是 f (x)的一个“新
驻点”，下列函数中，具有“新驻点”的是 ( )
A． f (x) sin x B． f (x) x3 C． f (x) lnx D． f (x) xex
【例 3】给出定义：设 f (x)是函数 y f (x)的导函数，若方程 f (x) 0有实数解，则称点 (x0 ， f (x0 ))为
函数 y f (x)的“拐点”．已知函数 f (x) 3x 4sin x cos x 的拐点为M (x0， f (x0 ))，则下列结论正确的
为 ( )
A． tan x0 4 B．点M 在直线 y 3x上
C． sin 2x 40 D．点M 在直线 y 4x上17
【例 4】以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的
重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如
果函数 y f (x)在闭区间 [a， b]上连续，在开区间 (a,b)内可导，则 (a,b)内至少存在一个点 x0 (a,b)，使
得 f （b） f （a） f (x0 )(b a)，其中 x x0 称为函数 y f (x)在闭区间 [a，b]上的“中值点”．请问函
数 f (x) 5x3 3x在区间 [ 1，1]上的“中值点”的个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
跟踪训练
【训练 5】设函数 y f (x)是 y f (x)的导函数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数
f (x) ax3 bx2 cx d(a 0)的图像都有对称中心 (x0 ， f (x0 ))，其中 x0 满足 f (x0 ) 0．
已知三次函数 f (x) x3 2x 1，若 x1 x2 0，则 f (x1) f (x2 ) ．
【训练 6】设函数 f (x)的导函数为 f (x)，将方程 f (x) f (x)的实数根称为函数 f (x)的“新驻点”．记函
数 f (x) ex x， g(x) lnx x， h(x) sin x x的“新驻点”分别为 a，b， c，则 ( )
A． c a b B． c b a C．b a c D． a c b
【训练 7】给出定义：设 f (x)是函数 y f (x)的导函数，
f (x)是函数 f (x)的导函数，若方程 f (x) 0有实数解 x0 ，则称点 (x0 ， f (x0 ))为函数 y f (x)的“拐点”，
已知函数 f (x) 2sin x cos x x 1的拐点是M (x0， f (x0 ))，则点M ( )
A．在直线 y 1 x上 B．在直线 y x 1上
C．在直线 y x上 D．在直线 y x上
【训练 8】拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数 f (x)在闭区间 [a， b]上
的图象连续不间断，在开区间 (a,b)内的导数为 f (x)，那么在区间 (a,b)内至少存在一点 c，使得 f（b） f
（a） f （c） (b a)成立，其中 c叫做 f (x)在[a， b]上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函
数 f (x) (x 2)lnx在 [1， 2]上的“拉格朗日中值点”的个数为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
考向 2 导数的切线问题
题型 1 在点的切线方程
切线方程 y f (x0 ) f (x0 )(x x0 )的计算：函数 y f (x)在点 A(x0 ，f (x0 ))处的切线方程为：
y f (x )
y f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
0 0
，一定要抓住关键 ．
k f (x0 )
x
【例 1】（2023 e 甲卷）曲线 y 在点 (1, e )处的切线方程为 ( )
x 1 2
A y e e． x B． y x C． y e x e e 3e D． y x
4 2 4 4 2 4
【例 2】（2019 新课标Ⅲ）已知曲线 y aex xlnx在点 (1,ae)处的切线方程为 y 2x b，则 ( )
A． a e， b 1 B． a e， b 1 C． a e 1， b 1 D． a e 1， b 1
【例 3】已知函数 f (x) e2x (x 1)2，则曲线 y f (x)在点 P(0， f (0))处的切线与坐标轴围成的三角形的
面积是 ( )
A 1． B 1． C．1 D．2
4 2
跟踪训练
1 2021 y 2x 1【训练 】（ 甲卷）曲线 在点 ( 1, 3)处的切线方程为 5x y 2 0 ．
x 2
【训练 2】（2020 新课标Ⅰ）曲线 y lnx x 1的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为 ．
【训练 3】已知 f (x 1) x 1 ex 1，则函数 f (x)在点 (0， f (0))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
( )
A 1 B 1． ． C．1 D．2
4 2
题型 2 过点的切线方程
设切点为 P(x0 ，y0 )，则斜率 k f (x0 )，过切点的切线方程为 y y0 f (x0 )(x x0 )，又因为切线方程过点
A(m，n)，所以 n y0 f (x0 )(m x0 )然后解出 x0的值．
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
【例 1】已知函数 f (x) 2x ln x，若过点 (0， 1)的直线与曲线 y f (x)相切，则该直线斜率为 ．
【例 2】已知 f (x) x3，则函数 f (x)的图象过点 (1，1)的切线方程为 ．
跟踪训练
【训练 4】设函数 f (x) x3 (a 1)cos x 3x，若 f (x)为奇函数，则曲线 y f (x)过点 (2a, 6)的切线方程
为 ．
题型 3 切线条数问题
设切点为 P(x0 ，y0 )，则斜率 k f (x0 )，过切点的切线方程为 y y0 f (x0 )(x x0 )，又因为切线方程过点
A(m，n)，所以 n y0 f (x0 )(m x0 )然后解出 x0的值， x0 有几个值，就有几条切线．
【例 1】经过点 (2，0)作曲线 y x2ex 的切线有 ( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【例 2】（2021 新高考Ⅰ）若过点 (a,b)可以作曲线 y ex 的两条切线，则 ( )
A． eb a B． ea b C． 0 a eb D． 0 b ea
跟踪训练
【训练 5】函数 y x3 3x过点 (1, 2)的切线条数为 ( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【训练 6】若过点 (a,b)可以作曲线 y lnx的两条切线，则 ( )
A． a lnb B．b lna C． lnb a D． lna b
【训练 7】（2022 新高考Ⅰ）若曲线 y (x a)ex 有两条过坐标原点的切线，则 a的取值范围是 ．
题型 4 公切线问题
公切线代数表达：
当 y = f (x)与 y = g(x)具有公切线时，设直线与 y = f (x)切于点 (x1，f (x1))与 y = g(x)切于点 (x2 ，g(x2 ))，
①当 y = f (x)与 y = g(x) f (x ) g (x )切于同一点，设切点为 P(x0 ，y0 )，则有
0 0
；
f (x0 ) g(x0 )
②公切线方程的等量关系 f (x ) g (x ) f (x ) g(x ) 1 2 ，求参数取范围或者切点的取值范围．1 2 x1 x2
【例 1】若曲线 y mex (m 0)和曲线 y x2在交点 P处的切线相同，则m的值为 ( )
A 1 B 1 C 2 4． ． ． D．
2 4 e e2
【例 2】曲线 y ex 在点 (x1 ， y1)处的切线与 y lnx在点 (x2 ， y2 )处的切线相同，则 (x1 1)(x2 1) ( )
A． 1 B． 2 C．1 D．2
跟踪训练
【训练 8】若曲线 y aex与曲线 y x 在公共点处有相同的切线，则实数 a ．
【训练 9】一条直线与函数 y lnx和 y ex 的图象分别相切于点 P(x1， y1)和点Q(x ， y )
x (x
，则 2 1
1)
2 2 的x1 1
值为 ．
【训练 10】已知直线 l与曲线 y ex 1和 y ln(x 1)都相切，请写出符合条件的两条直线 l的方程： ．
考向 3 单调性与极值最值
1．函数单调性和导数的关系
(1)函数的单调性与导函数 f'(x)的正负之间的关系
①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果 f'(x)>0，那么函数 y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增；
②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果 f'(x)<0，那么函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.
③如果在某个区间(a,b)内恒有 f'(x)=0，那么函数 y=f(x)在这个区间上是一个常数函数.
(2)函数值变化快慢与导数的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，
函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内
函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些.
2．函数的极值
(1)极小值点与极小值：
如图，函数 y=f(x)在点 x=a处的函数值 f(a)比它在点 x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点
x=a附近的左侧 f'(x)<0，右侧 f'(x)>0，则把点 a叫做函数 y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值.
(2)极大值点与极大值：
如图，函数 y=f(x)在点 x=b处的函数值 f(b)比它在点 x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点
x=b附近的左侧 f'(x)>0，右侧 f'(x)<0，则把点 b叫做函数 y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
3．函数的最大值与最小值
(1)一般地，如果在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且
函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当 f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别
在两个端点处取得.
(2)函数的极值与最值的区别
①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的.
②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个.
③函数 f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点.
题型 1 最值与求参
【例 1】下列函数中，在区间 0,1 内不单调的是（ ）
A． = ln + 1 B． = 21
C． = tan2 D． = 2 +
【例 2】（2022 乙卷）函数 f (x) cos x (x 1)sin x 1在区间 [0， 2 ]的最小值、最大值分别为 ( )
A B 3 ． ， ． ， C． ， 2 D 3 ． ， 2
2 2 2 2 2 2 2 2
【例 3 1】已知函数 = 3 + 16ln 在区间 1,3 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
3
A ∞,12 B ∞, 43． ． C． ∞,12 D． ∞, 43
3 3
跟踪训练
【训练 1】函数 = 1 2 ln 的单调递减区间为（ ）
2
A． 1,1 B． 0,1 C． 1, + ∞ D． 0, + ∞
【训练 2】已知函数 f (x) ln(x 2) ln(6 x) ，则 ( )
A． f (x)在 (2,6)上单调递增
B． f (x)在 (2,6)上的最小值为 2ln2
C． f (x)在 (2,6)上单调递减
D． y f (x)的图象关于直线 x 4对称
【训练 3】若函数 = + e 在区间 1, + ∞ 上单调递增，则 k的取值范围是（ ）
A． 1, + ∞ B． 1, + ∞ C． 2, + ∞ D． 2, + ∞
【训练4】（2023 乙卷）设 a (0,1)，若函数 f (x) ax (1 a)x在 (0, )上单调递增，则 a的取值范围是 ．
题型 2 极值与求参
【例 1】已知函数 = 的定义域为 , ，导函数 = ′ 在 , 内的图像如图所示，则函数 =
在 , 内的极小值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例 2】若函数 f (x) 1 x2 x alnx有两个不同的极值点，则实数 a的取值范围为 ( )
2
A． (0, 1) B 1 1． (0, ) C． ( , ) D． ( , 1]
4 2 4 4
【例 3】已知函数 = 3 + 3 2 + + 2在 = 1处有极值 0，则实数 + 的值为（ ）
A．4 B．4或 11 C．9 D．11
跟踪训练
【训练 5】定义在 R上的可导函数 y f (x)的导函数图象如图所示，下列说法正确的是 ( )
A． f （1） f （6） B．函数 y f (x)的最大值为 f （5）
C．1是函数 y f (x)的极小值点 D．3是函数 y f (x)的极小值点
3 x 1
【训练 6】若函数 f (x) alnx (a 0)既有极大值也有极小值，则 a ( )
x 2x2
A． (0, 9) B． (0,3)
4
C 9． (0, )
4 (9, ) D． (0， 3) (9， )
【训练 7】函数 f (x) ax2 (2a 1)x lnx在 x 1处取得极小值，则 a的取值范围为 ( )
A a 1． B． a 1 C． 0 1 a D． 0 a 1
2 2
题型 2 距离问题
定理 函数 y e x与函数 y ln x间的距离最小值为 2 ，即为切线 y x 1到切线 y x 1的距离．
【例 1】若点 P是曲线 y lnx x2上任意一点，则点 P到直线 l : x y 4 0距离的最小值为 ( )
A 2． B． 2 C． 2 2 D． 4 2
2
2 x y a lnx【例 】已知直线 0与曲线 y eex， y 分别交于点 A， B，则 | AB |的最小值为 ( )
e
A 2 B 2 2． ． C．1 D． e
e e
3 a b c d lna 1 c 2【例 】已知实数 ， ， ， 满足 1，则 (a c)2 (b d)2 的最小值为 ( )
b 1 d 3
A．8 B．4 C．2 D． 2
跟踪训练
【训练 8】若动点 P在曲线 y ex x上，则动点 P到直线 y 2x 4的距离的最小值为 ( )
A． 5 B． e 1 C． 2 5 D． 2e
1
【训练 9】已知函数 f (x) e2x， g(x) lnx 分别与直线 y a交于点 A， B，则 | AB |的最小值为 ( )
2
A．1 1 ln2 B 1．1 ln2 C． 2 1 ln2 D． 2 1 ln2
2 2 2 2
【训练 10】点 P，Q分别是函数 f (x) 3x 4，g(x) x2 2lnx图象上的动点，则 | PQ |2 的最小值为 ( )
A 3． (2 3 ln2)2 B． (2 ln2)2 C 2 2． (1 ln2)2 D． (1 ln2)2
5 5 5 5
考向 4 必备函数模型
题型一 三次函数的图像和性质
1．基本性质
设三次函数为： f (x) ax3 bx2 cx d ( a、 b、 c、 d R 且 a 0 ),其基本性质有：
性质 1：①定义域为 R．②值域为 R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像：
a 0 a 0
0 0 0 0
图
像
性质 2：三次方程 f (x) 0的实根个数
对于三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d ( a、 b、 c、 d R 且 a 0 ),其导数为 f (x) 3ax2 2bx c
2
b2 3ac 0 f (x) 0 x x x x b b 3ac当 ，其导数 有两个解 1， 2，原函数有两个极值 1， 2 ．3a
①当 f (x1) f (x2 ) 0时,原方程有且只有一个实根；
②当 f (x1) f (x2 ) 0时,原方程有两个实数根；
③当 f (x1) f (x2 ) 0时,原方程三个实数根；
性质 3：对称性
b b
三次函数是中心对称曲线，且对称中心是； ( ，f ( )) ，其中横坐标为其函导数的对称轴；
3a 3a
【例 1】（2022 新高考Ⅰ）已知函数 f (x) x3 x 1，则 ( )
A． f (x)有两个极值点
B． f (x)有三个零点
C．点 (0,1)是曲线 y f (x)的对称中心
D．直线 y 2x是曲线 y f (x)的切线
【例 2】（2021 乙卷）设 a 0，若 x a为函数 f (x) a(x a)2 (x b)的极大值点，则 ( )
A． a b B． a b C． ab a2 D． ab a2
【例 3】已知函数 f (x) (x 3)3 2x 6，且 f (2a b) f (6 b) 0(a， b R)，则 ( )
A． sin a sinb B． ea eb C 1 1 ． D． a2024 b2024
a b
跟踪训练
【训练 1】（2022 华侨、港澳台联考）设 x1和 x2是函数 f (x) x
3 2ax2 x 1的两个极值点．若 x2 x1 2，
则 a2 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【训练 2】已知函数 f (x) x3 3x 1，则下列结论正确的是 ( )
A． f (x)有两个零点
B．点 (1,1)是曲线 y f (x)的对称中心
C． f (x)有两个极值点
D．直线 y 3x 2是曲线 y f (x)的切线
【训练 3】已知 a，b R，若 x b是函数 f (x) a(x a)(x b)2的极小值点，则 ( )
A． a b B． a b C． ab a2 D． ab a2
【训练 4】（2018 江苏）若函数 f (x) 2x3 ax2 1(a R)在 (0, )内有且只有一个零点，则 f (x)在 [ 1，
1]上的最大值与最小值的和为 ．
题型二 六大同构函数模型
x x
八大同构函数分别是：① y xex ，② y x ，③ y
e
，④ y ln x x x ln x，⑤ y ，⑥ y ，
e x x ln x
⑦ y e x x 1，⑧ y x ln x 1．我们通过基本的求导来看看这八大同构函数的图像，再分析单调区间及
极值，以及它们之间的本质联系．
图 1-2-1 图 1-2-2
①如图 1-2-1，对于函数 y xex ，求导后可得： f (x) (x 1) e x ， f (x)在区间 ( ， 1) 递减，在区间
( 1 1， )递增，且 f (x)min f ( 1) ；e
②如图 1-2-2，对于 y x ln x，求导后可得： f (x) ln x 1， f (x) 1 1在区间 (0， )递减，在区间 ( ， )递
e e
f (x) f (1) 1增，且 min ；e e
反思 关于图 1-2-1和图 1-2-2，我们仔细观察会发现对于 y xex 函数，我们把 x换成 ln x即可得到 y x ln x．
图 1-2-3 图 1-2-4
x
③如图 1-2-3，对于函数 y x ，求导后可得： f (x)
1 x
x ， f (x)在区间 ( ，1)递增，在区间 (1， )e e
递减， f (x) 1max f (1) ；e
1-2-4 y ln x 1 ln x④如图 ，对于函数 ，求导后可得： f (x)
x x2
， f (x)在区间 (0，e)递增，在区间 (e， )
1
递减， f (x)max f (e) ；e
x lnx
反思 关于图 1-2-3和图 1-2-4，我们仔细观察会发现对于 y x 函数，我们把 x换成 ln x即可得到 y ．e x
图 1-2-5 图 1-2-6
x x
⑤如图 1-2-5 e e (x 1)，对于函数 y ，求导后可得：当 x 0时， f (x) 2 0，在区间 ( ，0) 递减；x x
x
当 x 0时， f (x) e (x 1) 2 ，在区间 (0，1)递减，在区间 (1， )递增， f (x)min f (1) e；x
x ln x 1
⑥如图 1-2-6，对于函数 y ，求导后可得：当 0 x 1时， f (x) 2 0，在区间 (0，1)递减；ln x (ln x)
当 x 1时， f (x) ln x 1 2 ，在区间 (1，e)递减，在区间 (e， )递增， f (x)min f (e) e；(ln x)
x
反思 关于图 1-2-5和图 1-2-6 e x，我们仔细观察会发现对于 y 函数，我们把 x换成 ln x即可得到 y ．
x lnx
图 1-2-7 图 1-2-8
⑦如图 1-2-7，对于函数 y e x x 1，求导后可得： f (x) e x 1， f (x)在区间 ( ，0) 递减，在区间
(0， )递增， f (x)min f (0) 0；
⑧如图 1-2-8 1，对于函数 y x ln x 1，求导后可得： f (x) 1 ， f (x)在区间 ( ，1)递减，在区间
x
(1， )递增， f (x)min f (1) 0；
反思 关于图 1-2-7 和图 1-2-8，仔细观察会发现对于 y e x x 1函数，我们把 x换成 ln x 即可得到
y x ln x 1．
我们可以利用八大函数进行快速求解最值或单调区间
注意：改变单调区间的因素： f (x) f (x a)、 f (x) f (ax)、 f (x) f (x)；
改变最值的因素： f (x) f (x) a、 f (x) af (x)、 f (x) f (x)；
【例 1】利用八大函数（不求导）求下列函数的单调区间：
① f (x) (x 1) e x f (x) 1 ln x；② ；
x x
【例 2】利用八大函数（不求导）求下列函数的最值：
① f (x) x2 e x 1(x 0)；② f (x) 2e x 2x；
③ f (x) x(1 ln x) f (x) 1 ln x f (x) ln x ；④ ；⑤ 2 ；x x x
x 2
【例 3 e】已知函数 f (x) xex ln x x 2， g(x) ln x x的最小值分别为 a，b，则 ( )
x
A． a b B． a b
C． a b D． a，b的大小关系不确定
跟踪训练
【训练 5】利用八大函数（不求导）求下列函数的单调区间；
x
① f (x) e ；② f (x) x(1 ln x)；
x 2
【训练 6】利用八大函数（不求导）求下列函数的最值；
x2 x
① f (x) x 1 (x 0)；② f (x)
e
(x 2) x；③ f (x) ；④ f (x) xe x x ln x；
e x 2 2 ln x
【训练 7】已知关于 x的不等式 ax2 2(1 ln x)eb 1 (a 1 0，b 0) ，对任意的 x 恒成立，则（ ）
2
A． a 2eb 1 B． a 2eb 1
C． a eb D． a eb
题型三 飘带函数
函数 y ax b （ a 0， b 0）的图像类似两条无限延伸的飘带，故把它称为飘带函数．由于一条飘带
x
y 1 (x 1函数 )与对数函数 ln x具有紧密的放缩关系，为使整个函数放缩关系完整，我们通常用一个反比
2 x
2(x 1)
例函数 y 对 y ln x进行逼近放缩，如图，从图像可以看出三个函数在 x 1的左右两边大小关系彻
x 1
1 1 2(x 1) 2(x 1) 1 1
底发生改变，既有结论：① (x ) ln x ， x (0，1)；② ln x （x )， x [1， )，
2 x x 1 x 1 2 x
此不等式在多变元问题中是常见有效的放缩方法，是多元问题的一条主线，万万不能忘记．
2
证明①构造函数 f (x) ln x
1 1
(x ) f (x) 1 1 1 (x 1)，则 0，而 f (1) 0，
2 x x 2 2x2 2x2
1 1 1 1
故当 0 x 1时， lnx (x )；当 x 1时 ln x (x )．
2 x 2 x
2(x 1) 1 4 (x 1)2
②构造函数 g(x) ln x ，则 g (x) 0，而 f (1) 0，
x 1 x (x 1)2 x(x 1)2
ln x 2(x 1) 2(x 1)故当 0 x 1时， ；当 x 1时， ln x ．
x 1 x 1
飘带函数在高考中应用广泛，如：证明对数平均不等式、比大小、导数与数列结合等．
【例 1】已知函数 f (x) = x(ln x - ax) + a，对任意的 x 1，都有 f (x) 0，则实数 a的取值
范围是（ ）
A． (0，1) B．[1 1，+ ) C． (0，+ ) D． [ ，+ )
2
2 a 1 b ln 7 1【例 】设 ， ，c sin ，则 ( )
3 5 3
A． c a b B．b c a C． c b a D． a b c
考向 3 同构体系
题型 1 单变量同构
【例 1】设实数 0，若对任意的 x (0， )，不等式 e x ln x 0恒成立，则 的取值范围是 ．

1 1
【例 2】若对任意的 x (0， )，不等式 eax x sin 2ax ax sin(ln x
2 )恒成立，则实数 a的取值范围
e x
是 ．
a
【例 3】函数 f (x) aex ln 2(a 0)，若 f (x) 0恒成立，则实数 a的取值范围为 ．
x 2
【例 4】已知函数 f (x) = e x - a ln(ax - a)+ a (a > 0)，若关于 x的不等式 f (x) > 0恒成立，则实数 a的取值
范围为________．
跟踪训练
1
【训练 1】已知对任意的 x (0， )，都有 k(ekx 1) (1 ) ln x 0，则实数 k的取值范围是 ．
x
1 a
【训练 2】函数 f (x) e2x a ln x 在定义域内没有零点，则 a的取值范围是________．
2 2
【训练 3】若关于不等式 (a2 a)x a ln x e x 2a ln a在 (0， )上恒成立，则实数 a的最大值是 ．
【训练 4】（2020 新高考）已知函数 f (x) aex 1 ln x ln a，若 f (x) 1，求 a的取值范围．
【训练 5】若不等式 e(m 1)x 3mxe x 3e x ln x 7xe x对任意的 x (0， )恒成立，
则实数m的取值范围是 ．
题型 2 双变量同构与等量关系
八大同构函数中，会经常形成内部同构的关联，成为了近几年常考题型.
①若 h(x) xe x ，则 g(x) x ln x h(ln x)，当 h(x1) g(x2 )时，g(x2 ) h(ln x2 ) h(x ) x 1 0 x
1
1 ，当 1 ， 2 e
x 1 x 1（或者 ， ）时，一定有 x ln x ，或者 x e x11 2 ；e 1 2 2
x
② 若 h(x) e ( x 或 x )
x ln x
， 则 g(x) h(ln x) （ 或 g(x) h(ln x) ） ， 当 h(x
x e ln x x 1
) g(x2 ) 时 ，
g(x2 ) h(ln x2 ) h(x1)，当 0 x1 1，1 x2 e（或者 x1 1，x2 e）时，一定有 x1 ln x2 ，或者 x2 e
x1 ；
③若 h(x) e x x，则 g(x) x ln x h(ln x)，当 h(x1) g(x2 )时，g(x2 ) h(ln x2 ) h(x1)，当 x1 0，0 x2 1
（或者 x x11 0，x2 1）时，一定有 x1 ln x2 ，或者 x2 e ；
【例 1】已知实数 ， 满足 e 3 1， (ln 1) e4，其中 e是自然对数的底数，则 的值为 ( )
A． e3 B． 2e3 C． 2e4 D． e4
【例 2】已知函数 f (x) ln x ，g(x) x e x，若存在 x1 (0， )，x2 R，使得 f (x1) g(x2 ) k(k 0)成x
x
立，则（ 2）2 ek 的最大值为 .
x1
【例 3】（2022 新高考 1）已知函数 f (x) e x ax和 g(x) ax ln x有相同的最小值．
（1）求 a；
（2）证明：存在直线 y b，其与两条曲线 y f (x)和 y g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个
交点的横坐标成等差数列．
跟踪训练
【训练 6】已知实数 x ，x 满足 x e x1 1 21 2 1 e ， x2 (ln x2 2) e
5，求 x1 x2的值 ．
x
【训练 7】已知函数 f (x) xex , g(x) lnx ，若 f (x ) g(x ) t( 0)，则 11 2 t 的最大值为 ( )x x2e
A e B 1 C 1． ． ． D 1．
e e2
ex x
【训练 8】【多选】已知函数 f (x) m(x 0)，g(x) m(x 1)，则 ( )
x ln x
A．若函数 f (x) 0恒成立，则m 1
B．若函数 g(x)有两个不同的零点，记为 x1， x2，则 x1 x2 2e
C．若函数 f (x)和 g(x)共有两个不同的零点，则m e
D．若函数 f (x)和 g(x)共有三个不同的零点，记为 x1， x2， x3 ，且 x1 x2 x3，则 x1 x3 x
2
2
题型 3朗博同构的保值性
ex
1.朗博函数指的是形如 xn ex 或 n 类型的函数，我们可以将这类函数进行“改头换面”处理，x
x
比如 x ex eln x x
e
， ex ln x (x 0)；关于朗博函数我们统一往母函数 f (x) e x x 1 (x R)同构，
x
即 f (x) 0恒成立，当且仅当 x0 0时等号成立；或 f (x ln x) 0，当且仅当 x0 0.567时等号成立，等等，
要确保“ f (x) 0”能成立，且取等条件满足定义域，我们称之为保值性．
2.常见变形总结（ a 0，x 0）（注意定义域）
1 ln e， 2 ln e2，1 ln x ln(ex) ln x x， 1 ln ；
e
xex ex ln x ，aex ex lna ，x ln x ln(xex ) ；
ex ex ln x e
x
ex lna x lnx ln e
x
， ， ；
x a x
x2ex ex 2ln x ，a2ex ex 2ln a ，x 2ln x ln(x2ex ) ；
ex ex ex
2 e
x 2ln x ， 2 e
x 2lna ，x 2lnx ln( )；
x a x2
【例 1】已知函数 f (x) xe x 1 1，g(x) x a ln x，若 f (x) g(x)恒成立，则实数 a的取值范围是（ ）
A． ( ， 1] B． ( ，0] C． ( ，1] D． ( ，e]
【例 2】若 x 0时，恒有 x2e3x (k 3)x 2ln x 1 0成立，则实数 k的取值范围是 ．

【例 3】若 + + 2 ≥ 0( ＞0)，则 a的取值范围为（ ）

2 2
A．（0 1 1 ，e2] B．(0， ] C．[ ， 22 ] D．[ ， 2 ]
跟踪训练
【训练 9 ln x 2a】若对任意的 x (0， )，不等式 e x 1 恒成立，则实数 a的取值范围是 ．
x
【训练 10】不等式 x 3e x a ln x x 1对任意的 x (1， )恒成立，则实数 a的取值范围是（ ）
A． ( ，1 e] B． ( ，2 e2 ] C． ( ， 2] D． ( ， 3]
【训练 11】若函数 f (x) x(e2x a) ln x 1无零点，则整数 a的最大值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【训练 12】不等式 x ln x x2 x aex 0对任意 x 0都成立，则实数 a的最大值为 ( )
A 2． B 3． C 1． D． 1
e 2e e
题型 4 双变量同构的新考法
1. 一类题型是不同同构方式下的内部关系或外部关系
2. 一类题型是同构结合其他知识点进行考察
3. 一类题型是不完整同构的考察
【例 1】【多选】已知 a 0， b 0， abea lnb 1 0，则 ( )
A 1 1． lnb B． ea C． a lnb 1 D． ab 1
a b
【例 2】【多选】已知实数 a，b满足 aea blnb 3，则 ( )
A． a lnb B． ab e C． b a e 1 D． e 1 a b 4
【例 3】已知 a，b (1, )，且 a b eb lna 1， e为自然对数的底数，则 ( )
A．b a eb B． eb a e3b C． a b D． a e3b
【训练 13】（2023 MST利哥）对任意m，n R，都有 (n m)en nem n em em恒成立，则实数 的取值
范围为 .
【训练 14】【多选】已知 x， y R，若 x (ex lnx x) 1， y [2lny ln(lny)] 1，
其中 e 2.71828 是自然对数的底数，则 ( )
A． 0 x 1 B xy 2 C y x 1 D y x 3． ． ．
2
【训练 15】已知 a，b满足 aea e3，b lnb e4 b，则（ ）
5 2 4
A． ＜ ＜ B．ab＞e4 C．b＜e2a D． 4＜ ＜
2 5 2
拓展思维
拓展 1 数形结合与公切线问题
考向一 平移函数公切线问题
当 y f (x)与 y g(x)为平行曲线，即 g(x) f (x a) b，则有 f (x ) f (x )
f (x1) f (x ) b
1
2
2 x1 x2 a
证明:因为 y f (x)与 g(x) f (x a) b有公切线，设 y f (x)切点为 (x1，f (x1))，y g(x) f (x a) b
切点为 (x2 ，f (x2 a) b)，则一定有 f (x1) f (x2 a) ，所以 x1 x2 a，根据公切线方程 y2 y1 k (x2 x1 )
b
可得: f (x2 a) b f (x1) f (x1)(x2 x1) ，所以 b af (x1)，即 f (x1) k 如果按照数形结合来理解，a
就是 y f (x)与 y g (x) f (x a) b ，两点确定公切线，两切点连线的斜率就是公切线斜率，即将切点
(x1，f (x1))左移 a单位，再下移b单位，这样得到点 (x1 a，f (x1) b)，所以公切线斜率
k f (x1) b f (x 1) b
x1 a x1 a
【例 1】(2016 新课标 II)若直线 y kx b是曲线 y lnx 2的切线，也是曲线 y ln(x 1)的切线，则
b ．
【例 2】若直线 y kx b与曲线C1 : y 3 e
x和曲线C2 : y e
x 2 同时相切，则 b （ ）
A. 9 3 ln 3 B. 2 ln2 C. 1 ln 1 D. 3 ln3
2 2 2 2 2
【训练 1】若直线 y kx b是曲线 y lnx 3的切线，也是曲线 y ln(x 2)的切线，则实数b的值是（ ）
A. 2 ln 2 B. 2 ln6 C. 2 ln6 D. 2 ln 3
3 2
考向二 公切线方程中的隐形同构
y g(x) f (x0 ) g (x0 )两曲线公共点公切线问题：当 y f (x)与 切于同一点，设切点为 P(x0 , y0 )，则有 ，
f (x0 ) g(x0 )
单参数求定值，双参数转化为单参数后确定参数的取值范围，这里面要看清楚同构.
【例 1】直线 y kx b是曲线 y x2 (a 1)的切线，也是曲线 y alnx 1的切线，则 k的最大值是 ( )
A 2 B 4． ． C． 2e D． 4e
e e
【例 2】已知 f (x) x2 4ax b， g(x) 6a2lnx b，a 0 .若 y f (x)， y g(x)图象有公共点 P，且在该
点处的切线重合，则 b的可能取值为（ ）
2 3 2 1 2A． e 3 B． e
3 C 2 5． e D． e3
2 2 2
【训练 1】已知 a 0，曲线 f (x) 3x2 4ax与 g(x) 2a2 ln x b有公共点，且在公共点处的切线相同，则实
数 b的最小值为（ ）
A 1 2 4． 0 B． 2 C． 2 D． e e e2
考向三 凹凸性数形几何解读公切线条数
y f (x)与 y g(x)是否有公切线，决定它们公切线条数的是函数凹凸性和相同的单调区间交点.
凹凸性相同的两曲线，在两个曲线 f (x) 0，g (x) 0时，两个函数均为凹函数，且 f (x) 0，g (x) 0时
均在递增区间，
①如图，若 y f (x)与 y g(x)无交点，可以类比于两个圆的外公切线，当小圆内含于大圆时，无公切线;
②若 y f (x)与 y g(x)有唯一交点时，如图，可以类比于当小圆与大圆内切时，有唯一的外公切线;
③若 y f (x)与 y g(x)有两个交点时，如图，可以类比于当小圆与大圆相交时，有两条外公切线;
内含型无公切线 内切型有一条外公切线 同旁相交型两条外公切线
同理，凹凸性不同的两条曲线，在两个曲线 f (x) 0为凹函数，g (x) 0为凸函数时，且 f (x) 0，g (x) 0，
两个函数均在递增区间;
④如图，若 y f (x)与 y g(x)有两个交点，可以类比圆的内公切线，当两圆相交时，无内公切线;
⑤若 y f (x)与 y g(x)有唯一交点时，如图所示，可以类比于当两圆外切时，有唯一的内公切线.
⑥若 y f (x)与 y g(x)无交点时，如图所示，可以类比于当两圆相离时，有两条内公切线.
非同旁相交型无公切线 外切型有一条内公切线 外离型有两条内公切线
【例 1】已知直线 y kx b与曲线 y ex 2和曲线 y ln(e2x)均相切，则实数 k的解的个数为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．无数
【例 2】若函数 f (x) 4lnx 1与函数 g(x) 1 x2 2x(a 0)的图象存在公切线，则 a的取值范围为 ( )
a
A (0, 1． ] B． [1 , ) C [2 ． ,1) D [1 , 2． ]
3 3 3 3 3
【例 3】(多选)若两曲线 y x2 1与 y alnx 1存在公切线，则正实数 a的取值可能是（ ）
A.1.2 B.4 C. 5.6 D. 2e
【训练 1】(多选)若曲线 y ax2 (a 0)与 y lnx 1存在公共切线，则实数 a的可能取值是（ ）
e 1
A． 1 B．e C． D．
2 2
【训练 2】若存在直线与函数 f (x) e
x 1
， g(x) lnx a的图象都相切，则实数 a的最大值为 ．
考向四 分段函数公切线条数问题
【例 1】（多选）关于曲线 f (x) lnx和 g(x) a (a 0)的公切线，下列说法正确的有 ( )
x
A 1．无论 a取何值，两曲线都有公切线 B．若两曲线恰有两条公切线，则 a
e
C．若 a 1 1，则两曲线只有一条公切线 D．若 2 a 0，则两曲线有三条公切线e
【例 2】若曲线 y lnx与曲线 y x2 2x a(x 0)有公切线，则实数 a的取值范围是 ( )
A． ( ln2 1, ) B． [ ln2 1， ) C． ( ln2 1, ) D．[ ln2 1， )
【训练 1】若曲线 f (x) k (k 0)与 g(x) ex 有三条公切线，则 k的取值范围为 ( )
x
A 1． ( ,0) B 1 2． ( , ) C． ( ,0) D． ( , 2 )
e e e e
【训练 2】已知曲线 y x 2 1在点 P (x0 , x
2
0 +1)处的切线为 l，若 l也与函数 y lnx, x 0,1 的图象
相切，则 x0满足( ) （其中 e 2.71828...）
A．1 x0 2 B． 2 x0 e C． e x0 3 D． 3 x0 2
拓展 1 切线条数与拐点切线界定
题型一 数形结合凹凸性分析：
我们可以参考圆的切线，对于圆上一点只能作一条切线，圆外一点能作两条切线，圆内一点不能作切
线，所以对于一个凹凸性不改变的函数，即二阶导没有变号零点的函数，在“圆外”一点能作两条切线如
下左图所示．
【例 1】（2021 新高考 I）若过点 (a，b)可以作曲线 y ex 的两条切线，则（ ）
A． eb a B． ea b C． 0 a eb D． 0 b ea
【训练 1】若过点 (s，t)可以作曲线 y lnx的两条切线，则（ ）
A. s ln t B. s ln t C. t ln s D. t ln s
题型二 三次函数切线条数
b b
一般地，如图，过三次函数 f x 图象的拐点 ( ，f ( ))（对称中心或拐点）作切线 l ,则坐标平面
3a 3a
被切线 l和函数 f x 的图象分割为四个区域，有以下结论：
（1）由于区域Ⅰ、IV 属于外弧区域，故过区域Ⅰ、IV 内的点作 f x 的切线，有 3 条；
（2）由于区域 II、Ⅲ属于内弧区域，过区域 II、Ⅲ内的点或者对称中心作 f x 的切线，有且仅有 1条；
（3）过切线 l或函数 f x 图象（除去对称中心）上的点作 f x 的切线，有且仅有 2 条．
【例 1】（2022 多选 新高考Ⅰ）已知函数 f (x) x3 x 1，则 ( )
A． f (x)有两个极值点 B． f (x)有三个零点
C．点 (0,1)是曲线 y f (x)的对称中心 D．直线 y 2x是曲线 y f (x)的切线
【例 2】过点 (1，2)可作三条直线与曲线 f (x) x3 3x a相切，则 a的取值范围为 ( )
A． (1，2) B． (2，3) C． (3，4) D． (4，5)
【例 3】若过点 (m， n)(m 0)可作曲线 y x3 3x三条切线，则 ( )
A． n 3m B． n m3 3m
C． n m3 3m或 n 3m D． 3m n m3 3m
【训练 1】（多选）定义：设 f (x)是 f (x)的导函数， f (x)是函数 f (x)的导数，若方程 f (x) 0有实数
解 x0，则称点 (x0 ， f (x0 ))为函数 y f (x)的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且
5
“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数 f (x) ax3 bx2 (ab 0)的对称中心为 (1,1)，则下列
3
说法中正确的有 ( )
A a 1． ，b 1 B．函数 f (x)既有极大值又有极小值
3
C．函数 f (x) 1有三个零点 D．过 ( 1, )可以作两条直线与 y f (x)图像相切
3
【例 9】（多选）已知函数 f (x) ax3 3ax2 b，其中实数 a 0，b R，点 A(2,a)，
则下列结论正确的是 ( )
A． f (x)必有两个极值点
B．当 b 2a时，点 (1,0)是曲线 y f (x)的对称中心
C．当 b 3a时，过点 A可以作曲线 y f (x)的 2条切线
D．当 5a b 6a时，过点 A可以作曲线 y f (x)的 3条切线
题型三 含渐近线和拐点的函数切线界定
（1）关于 f (x) (x a)e x 切线条数问题，由于 f (x) (x a 1)e x， f (x) (x a 2)e x ，当 x a 2时，
f (x) 0，此处 ( a 2， 2e a 2 )为函数的拐点，易求拐点处切线方程为 y e a 2 (x a 4)，当 x 时，
f (x) 0，我们把 y 0称为此函数的渐近线，区别于三次函数只有拐点，故我们通过拐点切线和渐近线，
将平面分为 7个区域，我们可以对此类型题进行归纳总结，如下：
当 y 0时，函数 y f (x)与拐点处切线 y e a 2 (x a 4)以及 x轴（渐近线）将平面分成四个区域（如
图所示），分别由两个外弧区域和两个内弧区域组成，
①区域 1和区域 4属于双外弧区域，位于此区域的点能作 y f (x)三条切线；
②区域 2和区域 3属于一内弧一外弧区域，位于此区域的点能作 y f (x)一条切线；
我们将拐点切线作为内外弧分界点，区域 2就是拐点右侧曲线的内弧区域，但是相对于曲线左侧，则
是外弧区域，所以只能往拐点左侧区域作唯一一条切线，也是“远切线”；同理，区域 3是拐点左侧曲线
的内弧区域，也是拐点右侧曲线的外弧区域，所以过区域 3的任意一点能作唯一一条切点位于拐点右侧的
“远切线”；那么区域 1和区域 4就是拐点左右两侧的双外弧区域，在本侧能作两条切点位于拐点同侧的
“近切线”，以及一条拐点另一侧的“远切线”．
③过曲线上拐点处仅能作一条切线，过拐点以外的曲线上任意一点能作两条切线；
在曲线上任意一点能作一条切线，这可以理解为拐点同侧外弧的两条切线合二为一，类比于圆，圆上
一点能作一条切线，就是圆外的两条切线在这里合二为一，还有一条切线源自拐点另一处的“远切线”．
④过拐点处切线上除了拐点以外的任意一点，仅能作两条切线；
拐点切线，就是一条“近切线”和一条“远切线”合二为一，否则就会有三条切线．
当 y 0时，函数 y f (x)与拐点处切线 y e a 2 (x a 4)以及 x轴将平面分成三个区域（如图所示），
分别由两个外弧区域和一个内弧区域组成，由于不在渐近线内侧，故少了一条“远切线”．
⑤区域 5和区域 7属于双外弧区域，位于此区域的点能作 y f (x)两条切线，相比区域 1和区域 4，少了一
条位于 x 处的远切线；
⑥区域 6属于一内弧一外弧区域，由于唯一一条远切线的缺失，故位于此区域的点不能作 y f (x)的切线；
⑦由于缺失了一条远切线，故过曲线上任意一点仅能作一条切点在曲线上切线；
⑧过曲线与 x轴的交点仅能作唯一切线．
【例 1】（2022 新课标 1卷）若曲线 y (x a)e x有两条过坐标原点的切线，则 a的取值范围是 ．
【例 2】已知过点 A(a,0)作曲线 y (1 x)ex 的切线有且仅有 1条，则 a的可能取值为 ( )
A． 5 B． 3 C． 1 D．1
【例 3】若曲线 f (x) x x 有三条过点 (0,a)的切线，则实数 a的取值范围为 ( )e
A 1． (0， 2 ) B (0
4
． ， 2 ) C
1
． (0， ) D． (0 4， )
e e e e
【例 4】若过点（a，b）（a＞0）可以作曲线 y＝xex的三条切线，则（ ）
A．0＜a＜beb B．﹣aea＜b＜0
C．0＜ae2＜b+4 D．﹣（a+4）＜be2＜0
【例 5】（无拐点）过点 A(a，0)作曲线 y x ln x的切线有且仅有两条，则实数 a的取值范围为 ( )
A． (0, ) B． (1, ) C． (1 , ) D． (e, )
e
【例 6】若过点 P(t,0)可以作曲线 y (1 x)ex的两条切线，切点分别为 A(x1， y1)，B(x2 ， y2 )，则 y1y2 的
取值范围是 ( )
A． (0，4e 3) B． ( ， 0) (0， 4e 3)
C． ( ，4e 2 ) D． ( ， 0) (0， 4e 2 )
【训练 1】已知过点 A(0，b) y ln x作曲线 的切线有且仅有两条，则b的取值范围为 ( )
x
A 2． (0 1， ) B． (0 2， ) C． (0，e) D． (0， )
e e 3e2
【训练 2】经过点 (2，0)作曲线 y x2ex 的切线有 ( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
+1
【训练 3】（多选）若过点 P（﹣1，t）最多可以作出 n（n∈N*）条直线与函数 ( ) = 的图像相切，则
（ ）
A．tn可以等于 2022 B．n不可以等于 3
C．te+n＞3 D．n＝1 4时， ∈ {0} ∪ ( ， +∞)
拓展 3 零点比大小破解双参比值问题
1． kx +b f (x) b恒成立，求 的最值和取值范围；2． kx +b b f (x)恒成立，求 的最值和取值范围．
k k
如图 2-2-1 所示，通常的方法是构造函数 g(x) = f (x) - kx，则 g(x)min b时，从而达到解决此类型的目的，
这种解答方法适合解答题，但此类型题目出现在选填压轴题的几率更大，常规思路由于计算量大，对一道
客观题来说没必要，故需要采纳一些高观点低运算的方法，此类型可以利用数形结合的思想，如图 2-2-2
所示，通常 y = f (x)是一个凹函数 ( f (x) > 0)，如 kx +b f (x)意味着 y = f (x)与 y = kx + b相切时即恒成立，
( b- ，0)是直线和 x轴的交点，记为 (x 0) b2 ， ，将 y = f (x)的唯一零点 x1求出，满足 xk 1
x2 = - 即可．k
图 2-2-1 图 2-2-2 图 2-2-3 图 2-2-4
同理，在比较 kx +b f (x)时，也是一类型转化，此时 y = f (x)为凸函数 ( f (x) < 0)，也将图 2-2-3 的方案
b
转化为图 2-2-4，构造 x1 x2 = - ；四个图中的虚线直线是不可能满足题目要求的，此方法叫零点比大小．k
注意：直曲分离是关键，问题与直线零点有直接关系，所以我们可以根据问题来将原式进行变形．
【例 1 e x 1】若不等式 mx n 2n 3 0对 x R恒成立，其中m 0，则 的最大值为（ ）
m
ln 3e
A． B． ln 3e C． ln3e ln 3eD．
2 2
2 a b R ex 1 ax b x b - a +1【例 】已知 ， ，若 - - 对任意实数 恒成立恒成立，则 的取值范围为_______．
a
【例 3】已知函数 f (x) (e a)ex ma x， (m， a为实数），若存在实数 a，
使得 f (x) 0对任意 x R恒成立，则实数m的取值范围是 ( )
A [ 1． ， ) B．[ e 1 1， ) C．[ ， e] D． [ e， ]
e e e
跟踪训练
【训练 1】设 k，b R，若不等式 kx +b +1 ln x在 (0 b，+ )上恒成立，则 的最小值是（ ）
k
A e2 B 1 1． - ． - C． - 2 D． -ee e
【训练 2】已知m，n为实数， f (x) e x mx n 1，若 f (x) 0 x n m 对 R恒成立，则 的最小值
m
为 ．
【训练 3】不等式 ex - 4x + 2 ax b (a b - 4、b R，a -4)对任意实数 x恒成立，则 的最大值为（ ）
a + 4
A． - ln 2 B． -1- ln 2 C． -2ln 2 D． 2 - 2ln 2
拓展 4 抽象函数的导函数构造
角度 1 导数和差，构造和差型函数
f (x) c [ f (x) cx] ； f (x) g (x) [ f (x) g(x)] ； f (x) g (x) [ f (x) g(x)] ；
和与积联系，构造乘积型函数； 差与商联系，构造分式型函数：
f (x)g(x) f (x)g (x) f (x)
f (x)g(x) f (x)g (x) [ f (x)g(x)] ； 2 [ ] g (x) g(x) ．
角度 2 幂函数及其抽象构造
定理 1 xf (x) f (x) 0 [xf (x)] 0； xf (x) f (x) 0 [ f (x)] 0
x
xf
证明：因为 xf (x) f (x) (x) f (x) f (x) [xf (x)] ； 2 [ ] ，所以 xf (x) f (x) 0，x x
y f (x)则函数 xf (x)单调递增； xf (x) f (x) 0，则 y 单调递增．
x
2 x f (x)定理 当 0时， xf (x) nf (x) 0 [x n f (x)] 0 ； xf (x) nf (x) 0 [ ] 0
xn
n n 1
xn f (x) nxn 1 f (x) [xn f (x)] x f (x) nx f (x) f (x)证明 因为 ； [ ] 2n n ，所以 xf (x) nf (x) 0 ，则函数x x
y xn f (x)单调递增； xf (x) nf (x) 0 y f (x) ，则 n 单调递增．x
角度三 指数函数与抽象构造
定理 3 f (x) f (x) 0 [ex f (x)] 0； f (x) f (x) 0 [e x f (x)] 0
f (x) f (x) 0 [ f (x) ] x 0 ； f (x) f (x) 0
f (x)
[ x ] 0e e
f (x) f (x) f (x)
证明： 因为 f (x)e
x e
x f (x)+f (x) ， [ ] x ，所以 f (x) f (x) 0，e ex
则 y f (x)e x 单调递增；反之 y f (x)e x 单调递减； f (x) f (x) 0 y f (x) ，则 x 单调递增；e
y f (x)反之 x 单调递减．e
4 f (x) f (x) a [e x( f (x) a)] 0 f (x) f (x) a [ ( f (x) a)定理 ； ] x 0 ．e
x
f (x) f (x) a [e ( f (x) a)]

f (x) f (x) a e x[ ( f (x) a)证明：因为 x ； ] x ，所以 f (x) f (x) a ，则e e
y ex ( f (x) a) 单调递增； f (x) f (x) a， y ex ( f (x) a) 单调递减；
若 f (x) f (x) f (x) a a，则 y x 单调递增，e
若 f (x) f (x) a y f (x) a，则 x 单调递减．e
角度四 三角函数与抽象构造
定理 5 正弦同号，余弦反号定理
f (x)sin x f (x)cos x 0 [ f (x)sin x] 0 ，当 x ( ， )， f (x) tan x f (x) 0 [ f (x)sin x] 0 ；
2 2
f (x)sin x f (x)cos x 0 [ f (x)] 0 f (x) ，当 x ( ， )， f (x) tan x f (x) 0 [ ] 0 ；
sin x 2 2 sin x
cos xf (x) f (x)sin x 0 [ f (x)cos x] 0 ，当 x ( , )， f (x) f (x) tan x 0 [ f (x)cos x] 0 ；
2 2
f (x)cos x f (x)sin x 0 [ f (x)] 0，当 x ( ， )， f (x) f (x) tan x 0 [ f (x) ] 0．
cos x 2 2 cos x
遇正切时化切为弦，请自己证明相关结论．
【例 1】设函数 f (x)是函数 f (x)(x R) 的导函数； f （3） e3 ，且 f (x) f (x) 0 恒成立，则不等式
f (x) ex 0的解集为 ( )
A． (0,3) B． (1,3) C． ( ,3) D． (3, )
【例 2】（2015 新课标 II）设函数 f ' (x)是奇函数 f (x)（ x R）的导函数， f ( 1) 0，当 x 0时，
xf ' (x) f (x) 0，则使得 f (x) 0成立的 x的取值范围是（ ）
A． ( ， 1) (0，1) B． ( 1，0) (1， )
C． ( ， 1) ( 1，0) D． (0，1) (1， )
【例 3】已知定义在 R 上的函数 f (x) 的导函数为 f (x) ，且 3 f (x) f (x) 0 ， f (ln3) 1，则不等式
f (x) 27e 3x的解集为 ( )
A． ( ,3) B． ( , ln3) C． (ln3, ) D． (3, )

【例 4】已知函数 f (x)的定义域为 ( ， )，其导函数是 f (x)，且满足 f (x)cos x f (x)sin x 0 ，则关
2 2
于 x 的不等式 f (x) 2 f ( )cos x的解集为 ( )
3
A． ( ， ) B． ( ， ) C． ( ， ) D． ( ， )
3 2 2 3 2 3 2 6
跟踪训练
【训练 8】设函数 f (x)是定义在 R上的偶函数， f (x)为其导函数，当 x 0时，xf (x) f (x) 0，且 f （1）
f (x)
0，则不等式 0的解集为 ( )
x
A． ( 1， 0) (0，1) B． ( 1， 0) (1， )
C． ( ， 1) (1， ) D． ( ， 1) (0，1)
【训练 9】已知可导函数 f (x)的导函数为 f (x)，若对任意的 x R，都有 f (x) f (x) 1，且 f (0) 2022，
则不等式 f (x) 1 2023ex 的解集为 ( )
A． ( ,0) B． (0, 1 ) C． ( , ) D． ( ,1)
e
【训练 10 1】若可导函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0时，有 lnx f (x) f (x) 0，则不等式
x
(x 2) f (x) 0的解集为 ( )
A． ( 2,0) B． (0,2) C． ( 2,2) D． (2, )
【训练 11】已知函数 y f (x 2) 的图象关于点 (2，0)对称，函数 y f (x) 对于任意的 x (0， ) 满足
f (x)cos x f (x)sin x （其中 f (x)是函数 f (x)的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． f ( ) 3 f ( ) B ． f ( ) 3 f ( )
3 6 3 6
C． 2 f ( ) 3 f ( ) D． 2 f ( ) 3 f ( )
4 6 4 3
拓展 5 比大小常用不等式及泰勒公式
题型一 利用六大同构函数比大小
1. 由 f (x) ln x 引出的大小比较问题
x
（1 f (x) ln x 1） 在区间 (0，e)上单调递增，在区间 (e， )单调递减；当 x e时, 取得最大值 ；
x e
（2）极大值左偏，且 f (2) f (4)；
3 e a b 1 b lnb a b e b lnb（ ）当 时， ，当 时， ；
a ln a a ln a
4 f (2) ln 2 ln 4（ ） f (4)，注意: 3只能比较 f (3)，f (4)，f (5)，或者 f (1)，f ( )，f (2)之类属于 e的左边
2 4 2
或者右边， f (2) f (4)涉及左右互换．
1 1 1 1
关于函数 x x 和函数 x x比大小问题，都可以按照构造对数来比较，例如在比较 2 2 ，e e ，33 大小时，即比较
ln 2 ln e ln3 (1
1 1
) 2 (1) 3 (1
1 1 1 1

， ， 大小，在比较 ， ， ) 5 ，即构造 2 2 ，3 3 ，5 5 ln 2 ln3 ln5即比较 ， ， 的大小．
2 e 3 2 3 5 2 3 5
【例 1】（2017 新课标Ⅰ）设 x， y， z为正数，且 2x 3y 5z ，则（ ）
A． 2x 3y 5z B．5z 2x 3y
C．3y 5z 2x D． 3y 2x 5z
2
2 a 3 e5 b 2 2
3
【例 】设 ， ， c e 4 ，则 ( )
4 5 5
A．b c a B．b a c C． c b a D． c a b
3
【例 3 1 2 3 e】比较大小 a ，b ， c ，则 ( )
e ln 2 e 4
A． a c b B．b a c C． c b a D． c a b
1 1 ln 2 ln 2 ln3
【例 4】已知 a ( ) e b ( ) 2 c (ln3， ， ) 3 ，试比较 a，b， c的大小关系 ( )
e 2 3
A． a b c B．b a c C． a c b D． c b a
【例 5】已知实数 a，b，c (0，e)，且 2a a2，3b b3， 5c c5 ，则（ ）
A． c a b B． a c b C．b c a D．b a c
6 a sin ln 【例 】设 ，b ，c 2 ln 2 ，其中 e为自然对数的底数，则 ( )e e
A． a c b B． b a c C． b c a D． c b a
【训练 12】 p 11下列四个命题：① ln 5 < 5 ln 2；② lnp > ；③ 2 <11；④ 3e ln 2 > 4 2 ；
e
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
1
【训练 13】已知 a ln 2a b 1， ln 3b， c e ln c ，其中 a 1 ，b 1 ， c e，则 a，b， c的大小
2 3 e 2 3
关系为 ( )
A． c a b B． c b a C． a b c D． a c b
14 a 3(2 ln 3) b 1 c ln 3【训练 】设 2 ， ， ，则 a， b， c的大小顺序为 ( )e e 3
A． a c b B． c a b C． a b c D．b a c
题型二 放缩及泰勒展开比较大小
1．基本切线不等式
① e x x 1 ( x 0， x R )；
② x 1 ln x ( x 1， x 0 )；
③ tan x x sin x (x 0 0 x ， )；
2
④ x sin x ln(1 x) (x 0，0 x 1)．
2．飘带函数
1
① (x 1 ) ln x 2(x 1) ，x (0，1)；
2 x x 1
2(x 1)
② ln x 1 (x 1 )，x [1， )．
x 1 2 x
3．常用泰勒公式
① e x 1 1 x x2 1 x3 (x3 )；
2 6
② ln(x 1) x 1 x2 1 x3 (x3 )；
2 3
③ sin x x 1 x3 (x3 )；
6
④ cos x 1 1 x2 (x4 )；
2
【例 1】设 a 0.9 9， b e0.9 1， c ln( e)，则 a，b， c的大小关系为 ( )
10
A． b c a B． b a c C． c b a D． c a b
【例 2】已知 a e0.1 e 0.1， b ln1.21， c 0.2，则 ( )
A．b a c B． c b a C． a c b D．b c a
【例 3】若 a 0.1，b ln 10 ，c sin 1 ，则 ( )
9 9
A．b a c B． a c b C． a b c D． c b a
【例 4】（2022 新高考Ⅰ）设 a 0.1e0.1，b 1 ， c ln0.9，则 ( )
9
A． a b c B． c b a C． c a b D． a c b
ln1.1
【训练 15】已知 a e0.05， b 1， c 1.1，则（ ）
2
A． a b cB． c b a C． b a c D． a c b
【训练 16】比较大小 a sin 0.1， b ln1.1， c e0.1 1
A． c b a B． a b c C． c a b D．b a c
1 9
【训练 17】设 a ，b 1 ln 4，c ln ，则 a，b， c的大小关系为4 7 ( )
A． b c a B． b a c C． c b a D． c a b
【训练 18】（2022 31 1 1 甲卷）已知 a ，b cos ， c 4sin ，则 ( )
32 4 4
A． c b a B． b a c C． a b c D． a c b
2
【训练 19】设 a ，b ln2， c sin1，则 ( )
3
A． b c a B． b a c C． c b a D． c a b中小学教育资源及组卷应用平台
3.1 导数小题篇课后练习
1．（2024 上犹县期末）下列求导运算正确的是　　
A． B．
C． D．
2．（2024 白云区期中）下列命题正确的是　　
A．若，则
B．设函数，若，则
C．已知函数，则（1）
D．设函数的导函数为，且（2），则
3．（2024 惠州期末）若函数满足，则　　
A． B． C． D．
4．（2024 新余期末）已知函数，其导函数记为，则　 　．
5．（2024 南阳月考）有一些网络新词，如“”“内卷”“躺平”等，现定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”，若函数，，的躺平点分别为，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
6．（2024 湖州月考）定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”．设，则在上的“新驻点”为 　 　．
7．（2024 丹东模拟）计算器计算，，，等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数在含有的某个开区间内可以多次进行求导数运算，则当，且时，有．
其中是的导数，是的导数，是的导数．
取，则的“泰勒展开式”中第三个非零项为 　 　，精确到0.01的近似值为 　　．
8．（2019 新课标Ⅱ）曲线在点处的切线方程为　　
A． B． C． D．
9．（2024 五华区模拟）过点作曲线的切线，则切线方程是 　　．
10．（2022 新高考Ⅱ）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 　　　　．
11．（2024 许昌二模）已知函数在点处的切线，若与二次函数的图象也相切，则实数的取值为　　
A．12 B．8 C．0 D．4
12．（2024 浑南区模拟）已知曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，则　 　．
13．（2024 鼓楼模拟）写出曲线与曲线的公切线的一个方向向量 　 　．
14．（2023 湖南模拟）已知为自然对数的底数），，直线是与的公切线，则直线的方程为 　 　．
15.（2024 正定月考）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，，，则　　
A． B． C． D．3
16.（2024 濠江区月考）若过点，可作曲线三条切线，则　　
A． B．
C．或 D．
17.（2023 自贡模拟）已知函数．若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
18．（2024 连云港月考）已知直线分别与曲线，相切于点，，，则的值为 　 　．
19.（2024·全国·高三专题练习）函数在区间上的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
20．（2024 涪城区期中）若函数在上既有极大值也有极小值，则实数的取值范围　　
A． B．，，
C．，， D．，
21．（2023 泉州模拟）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为　　
A． B． C． D．
22.（2024 北海期末）若实数，，，满足，则的最小值为　　
A．2 B． C．4 D．8
23．（2024 五华区期中）已知函数在处有极小值，则的值为　　
A．1 B．3 C．1或3 D．或3
24．（2024 平罗县期中）已知函数在，处的导数相等，则不等式恒成立时的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．
25．（2024 武陵区月考）已知，为函数的两个不同的极值点，
若，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
26.（2023 成都模拟）若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于的零点，则的值为 ．
A． B． C． D．
27.（2023 江西模拟）已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为　　 ．
28.（2023 苏州模拟）若不等式，则的取值范围是 ．
29.（2023 蚌埠模拟）已知函数，若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
30.（2023 成都零诊）若正实数是函数的一个零点，
是函数的一个大于的零点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
31.（2024 北京期末）曲线f（x），g（x），及直线y＝a（a∈R），下列说法中正确的个数为（　　）
①存在直线与曲线f（x）与g（x）均相切；②曲线f（x）与g（x）有且只有一个公共点；③存在直线y＝a与曲线f（x）、g（x）均有公共点；④若直线y＝a 与曲线f（x）交于点A（x1，y1），B（x2，y2），与曲线g（x）交于点B（x2，y2），C（x3，y3），则x1x3．
A．1 B．2 C．3 D．4
31.（2023 浙江模拟）设，若关于不等式在上恒成立，则的最小值是 .
32.（2023 湖南十五校模拟）已知对恒成立，则的最小值为 ．
33.（2023 武汉调研）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________．
34.（2024 荆州期末）求证：．
35.（2024 金太阳联考）对任意，都有恒成立，则实数的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．
36.（2023 天一大联考）对任意的，，不等式恒成立，
则实数的取值范围是 ．
37.（2024 运城月考）已知函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
38．（2023 长沙模拟）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围　　
A．， B．，
C．， D．，
39．（2024 湖北期中）已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
2．（2024 杨陵区月考）已知函数的定义域是，其导函数为，且，则不等式的解集是 　　．
40．（2024 浦东新区期中）定义在上的函数满足，其中为的导函数，若（3），则的解集为 　　．
41．（2024 青羊区月考）已知函数的定义域为，其导函数是．有，则关于的不等式的解集为 　　．
42．（2024 江西金太阳联考）设实数，，，则的大小关系为　　
A． B． C． D．
43.（2024 常德月考）已知，，，且，，，则　　
A． B． C． D．
44.（2024 四川模拟）已知，，为负实数，且，，，则　　
A． B． C． D．
45.（2024 湖北开学）已知，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
46.（2024 运城月考）已知，，，则　　
A． B． C． D．
47.（2024 北京月考）设，，，则　　
A． B． C． D．
48.（2024 山东月考 多选）若，，，，则　　
A． B． C． D．
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3. 1 导数小题篇
考向1 导数的运算
1．求导的基本公式
基本初等函数 导函数
（为常数）
2．导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3．复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为 ：
如我们将分三步：
①将复合函数分解为基本初等函数；
②将对的导数记为，将对的导数记为；
③．
注意：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
题型1 基本求导
【例1】下列式子正确的是　　
A． B．
C． D．
【例2】若函数，则　　
A． B．
C． D．
【例3】已知函数（其中是的导函数），则（1）　　
A． B． C． D．
【例4】函数，其导函数记为，　　
A． B．3 C． D．2
【例5】已知函数，则　　
A． B． C． D．
跟踪训练
【训练1】设函数在上可导，且，则　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【训练2】下列给出四个求导的运算：①；②；③；④．其中运算结果正确的个数是　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【训练3】函数，为的导函数，
则　　
A．0 B．8 C．2022 D．2023
【训4】若函数，则　 　．
解：令，则，
因为，所以，故答案为：．
题型2 必备拓展知识
【例1】给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上为凸函数（反之为凹函数）．以下四个函数在上不是凸函数的是　　
A． B．
C． D．
【例2】【多选】已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“新驻点”，下列函数中，具有“新驻点”的是　　
A． B． C． D．
【例3】给出定义：设是函数的导函数，若方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”．已知函数的拐点为，，则下列结论正确的为　　
A． B．点在直线上
C． D．点在直线上
【例4】以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数在闭区间，上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得（b）（a），其中称为函数在闭区间，上的“中值点”．请问函数在区间，上的“中值点”的个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
跟踪训练
【训练5】设函数是的导函数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，，其中满足．
已知三次函数，若，则　 　．
【训练6】设函数的导函数为，将方程的实数根称为函数的“新驻点”．记函数，，的“新驻点”分别为，，，则　　
A． B． C． D．
【训练7】给出定义：设是函数的导函数，
是函数的导函数，若方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”，
已知函数的拐点是，，则点　　
A．在直线上 B．在直线上
C．在直线上 D．在直线上
【训练8】拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间，上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得（b）（a）（c）成立，其中叫做在，上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在，上的“拉格朗日中值点”的个数为　　
A．0 B．1 C．2 D．3
考向2 导数的切线问题
题型1 在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为：，一定要抓住关键．
【例1】（2023 甲卷）曲线在点处的切线方程为　　
A． B． C． D．
【例2】（2019 新课标Ⅲ）已知曲线在点处的切线方程为，则　　
A．， B．， C．， D．，
【例3】已知函数，则曲线在点，处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是　　
A． B． C．1 D．2
跟踪训练
【训练1】（2021 甲卷）曲线在点处的切线方程为 　　．
【训练2】（2020 新课标Ⅰ）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 　 　．
【训练3】已知，则函数在点，处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为　　
A． B． C．1 D．2
题型2 过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
【例1】已知函数，若过点的直线与曲线相切，则该直线斜率为 　 　．
【例2】已知，则函数的图象过点的切线方程为 　 　．
跟踪训练
【训练4】设函数，若为奇函数，则曲线过点的切线方程为 　 　．
题型3 切线条数问题
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为，又因为切线方程过点，所以然后解出的值，有几个值，就有几条切线．
【例1】经过点作曲线的切线有　　
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【例2】（2021 新高考Ⅰ）若过点可以作曲线的两条切线，则　　
A． B． C． D．
跟踪训练
【训练5】函数过点的切线条数为　　
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【训练6】若过点可以作曲线的两条切线，则　　
A． B． C． D．
【训练7】（2022 新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 　 　．
题型4 公切线问题
公切线代数表达：
当与具有公切线时，设直线与切于点与切于点，
①当与切于同一点，设切点为，则有；
②公切线方程的等量关系，求参数取范围或者切点的取值范围．
【例1】若曲线和曲线在交点处的切线相同，则的值为　　
A． B． C． D．
【例2】曲线在点，处的切线与在点，处的切线相同，则　　
A． B． C．1 D．2
跟踪训练
【训练8】若曲线与曲线在公共点处有相同的切线，则实数　　．
【训练9】一条直线与函数和的图象分别相切于点，和点，，则的值为 　 　．
【训练10】已知直线与曲线和都相切，请写出符合条件的两条直线的方程：　　　　．
考向3 单调性与极值最值
1．函数单调性和导数的关系
(1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系
①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增；
②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.
③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数.
(2)函数值变化快慢与导数的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些.
2．函数的极值
(1)极小值点与极小值：
如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点
x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
(2)极大值点与极大值：
如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点
x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
3．函数的最大值与最小值
(1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.
(2)函数的极值与最值的区别
①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的.
②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个.
③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点.
题型1 最值与求参
【例1】下列函数中，在区间内不单调的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（2022 乙卷）函数在区间，的最小值、最大值分别为　　
A．， B．， C．， D．，
【例3】已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
跟踪训练
【训练1】函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【训练2】已知函数，则　　
A．在上单调递增
B．在上的最小值为
C．在上单调递减
D．的图象关于直线对称
【训练3】若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【训练4】（2023 乙卷）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是 　　．
题型2 极值与求参
【例1】已知函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数在内的极小值有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例2】若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【例3】已知函数在处有极值0，则实数的值为（ ）
A．4 B．4或11 C．9 D．11
跟踪训练
【训练5】定义在上的可导函数的导函数图象如图所示，下列说法正确的是　　
A．（1）（6） B．函数的最大值为（5）
C．1是函数的极小值点 D．3是函数的极小值点
【训练6】若函数既有极大值也有极小值，则　　
A． B．
C． D．，，
【训练7】函数在处取得极小值，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
题型2 距离问题
定理 函数与函数间的距离最小值为，即为切线到切线的距离．
【例1】若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为　　
A． B． C． D．
【例2】已知直线与曲线，分别交于点，，则的最小值为　　
A． B． C．1 D．
【例3】已知实数，，，满足，则的最小值为　　
A．8 B．4 C．2 D．
跟踪训练
【训练8】若动点在曲线上，则动点到直线的距离的最小值为　　
A． B． C． D．
【训练9】已知函数，分别与直线交于点，，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【训练10】点，分别是函数，图象上的动点，则的最小值为　　
A． B． C． D．
考向4 必备函数模型
题型一 三次函数的图像和性质
1．基本性质
设三次函数为： (、、、 且),其基本性质有：
性质1：①定义域为．②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像：
图像
性质2：三次方程的实根个数
对于三次函数 (、、、 且),其导数为
当，其导数有两个解 ，，原函数有两个极值 ，．
①当时,原方程有且只有一个实根；
②当时,原方程有两个实数根；
③当时,原方程三个实数根；
性质3：对称性
三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；，其中横坐标为其函导数的对称轴；
【例1】（2022 新高考Ⅰ）已知函数，则　　
A．有两个极值点
B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
【例2】（2021 乙卷）设，若为函数的极大值点，则　　
A． B． C． D．
【例3】已知函数，且，，则　　
A． B． C． D．
跟踪训练
【训练1】（2022 华侨、港澳台联考）设和是函数的两个极值点．若，则　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【训练2】已知函数，则下列结论正确的是　　
A．有两个零点
B．点是曲线的对称中心
C．有两个极值点
D．直线是曲线的切线
【训练3】已知，，若是函数的极小值点，则　　
A． B． C． D．
【训练4】（2018 江苏）若函数在内有且只有一个零点，则在，上的最大值与最小值的和为　 　．
题型二 六大同构函数模型
八大同构函数分别是：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．我们通过基本的求导来看看这八大同构函数的图像，再分析单调区间及极值，以及它们之间的本质联系．
图1-2-1 图1-2-2
①如图1-2-1，对于函数，求导后可得：，在区间递减，在区间递增，且；
②如图1-2-2，对于，求导后可得：，在区间递减，在区间递增，且；
反思 关于图1-2-1和图1-2-2，我们仔细观察会发现对于函数，我们把换成即可得到．
图1-2-3 图1-2-4
③如图1-2-3，对于函数，求导后可得：，在区间递增，在区间递减，；
④如图1-2-4，对于函数，求导后可得：，在区间递增，在区间递减，；
反思 关于图1-2-3和图1-2-4，我们仔细观察会发现对于函数，我们把换成即可得到．
图1-2-5 图1-2-6
⑤如图1-2-5，对于函数，求导后可得：当时，，在区间递减；
当时，，在区间递减，在区间递增，；
⑥如图1-2-6，对于函数，求导后可得：当时，，在区间递减；当时，，在区间递减，在区间递增，；
反思 关于图1-2-5和图1-2-6，我们仔细观察会发现对于函数，我们把换成即可得到．
图1-2-7 图1-2-8
⑦如图1-2-7，对于函数，求导后可得：，在区间递减，在区间递增，；
⑧如图1-2-8，对于函数，求导后可得：，在区间递减，在区间递增，；
反思 关于图1-2-7和图1-2-8，仔细观察会发现对于函数，我们把换成即可得到．
我们可以利用八大函数进行快速求解最值或单调区间
注意：改变单调区间的因素：、、；
改变最值的因素：、、；
【例1】利用八大函数（不求导）求下列函数的单调区间：
①；②；
【例2】利用八大函数（不求导）求下列函数的最值：
①；②；
③；④；⑤；
【例3】已知函数，的最小值分别为，，则　　
A． B．
C． D．，的大小关系不确定
跟踪训练
【训练5】利用八大函数（不求导）求下列函数的单调区间；
①；②；
【训练6】利用八大函数（不求导）求下列函数的最值；
①；②；③；④；
【训练7】已知关于的不等式，对任意的恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
题型三 飘带函数
函数（，）的图像类似两条无限延伸的飘带，故把它称为飘带函数．由于一条飘带函数与对数函数具有紧密的放缩关系，为使整个函数放缩关系完整，我们通常用一个反比例函数对进行逼近放缩，如图，从图像可以看出三个函数在的左右两边大小关系彻底发生改变，既有结论：①，；②，，此不等式在多变元问题中是常见有效的放缩方法，是多元问题的一条主线，万万不能忘记．
证明①构造函数，则，而，
故当时，；当时．
②构造函数，则，而，
故当时，；当时，．
飘带函数在高考中应用广泛，如：证明对数平均不等式、比大小、导数与数列结合等．
【例1】已知函数，对任意的，都有，则实数的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2】设，则　　
A． B． C． D．
考向3 同构体系
题型1 单变量同构
【例1】设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是　　 ．
【例2】若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【例3】函数，若恒成立，则实数的取值范围为 ．
【例4】已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________．
跟踪训练
【训练1】已知对任意的，都有，则实数的取值范围是 ．
【训练2】函数在定义域内没有零点，则的取值范围是________．
【训练3】若关于不等式在上恒成立，则实数的最大值是 ．
【训练4】（2020 新高考）已知函数，若，求的取值范围．
【训练5】若不等式对任意的恒成立，
则实数的取值范围是 ．
题型2 双变量同构与等量关系
八大同构函数中，会经常形成内部同构的关联，成为了近几年常考题型.
①若，则，当时，，当（或者）时，一定有，或者；
②若，则（或），当时，，当（或者）时，一定有，或者；
③若，则，当时，，当（或者）时，一定有，或者；
【例1】已知实数，满足，，其中是自然对数的底数，则的值为　　
A． B． C． D．
【例2】已知函数，若存在，使得成立，则的最大值为 .
【例3】（2022 新高考1）已知函数和有相同的最小值．
（1）求；
（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
跟踪训练
【训练6】已知实数满足，，求的值 ．
【训练7】已知函数，若，则的最大值为　　
A． B．1 C． D．
【训练8】【多选】已知函数，则　　
A．若函数恒成立，则
B．若函数有两个不同的零点，记为，，则
C．若函数和共有两个不同的零点，则
D．若函数和共有三个不同的零点，记为，，，且，则
题型3朗博同构的保值性
1.朗博函数指的是形如或类型的函数，我们可以将这类函数进行“改头换面”处理，
比如；关于朗博函数我们统一往母函数同构，
即恒成立，当且仅当时等号成立；或，当且仅当时等号成立，等等，要确保“”能成立，且取等条件满足定义域，我们称之为保值性．
2.常见变形总结（）（注意定义域）
，，，；
；
；
；
；
【例1】已知函数，，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2】若时，恒有成立，则实数的取值范围是 ．
【例3】若，则a的取值范围为（　　）
A．（0，e2] B． C． D．
跟踪训练
【训练9】若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【训练10】不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【训练11】若函数无零点，则整数的最大值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【训练12】不等式对任意都成立，则实数的最大值为　　
A． B． C． D．
题型4 双变量同构的新考法
一类题型是不同同构方式下的内部关系或外部关系
一类题型是同构结合其他知识点进行考察
一类题型是不完整同构的考察
【例1】【多选】已知，，，则　　
A． B． C． D．
【例2】【多选】已知实数，满足，则　　
A． B． C． D．
【例3】已知，，且，为自然对数的底数，则　　
A． B． C． D．
【训练13】（2023 MST利哥）对任意，都有恒成立，则实数的取值范围为 .
【训练14】【多选】已知，，若，，
其中是自然对数的底数，则　　
A． B． C． D．
【训练15】已知a，b满足，则（　　）
A．B．ab＞e4 C．b＜e2a D．
拓展思维
拓展1 数形结合与公切线问题
考向一 平移函数公切线问题
当与为平行曲线，即，则有
证明:因为与有公切线，设切点为，切点为，则一定有，所以，根据公切线方程
可得:，所以，即如果按照数形结合来理解，就是与，两点确定公切线，两切点连线的斜率就是公切线斜率，即将切点左移单位，再下移单位，这样得到点，所以公切线斜率
【例1】(2016 新课标II)若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
【例2】若直线与曲线和曲线同时相切，则（ ）
A. B. C. D.
【训练1】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的值是（ ）
A. B. C. D.
考向二 公切线方程中的隐形同构
两曲线公共点公切线问题：当与切于同一点，设切点为，则有，单参数求定值，双参数转化为单参数后确定参数的取值范围，这里面要看清楚同构.
【例1】直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则的最大值是　　
A． B． C． D．
【例2】已知，，.若，图象有公共点，且在该点处的切线重合，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【训练1】已知，曲线与有公共点，且在公共点处的切线相同，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
考向三 凹凸性数形几何解读公切线条数
与是否有公切线，决定它们公切线条数的是函数凹凸性和相同的单调区间交点.
凹凸性相同的两曲线，在两个曲线，时，两个函数均为凹函数，且，时均在递增区间，
①如图，若与无交点，可以类比于两个圆的外公切线，当小圆内含于大圆时，无公切线;
②若与有唯一交点时，如图，可以类比于当小圆与大圆内切时，有唯一的外公切线;
③若与有两个交点时，如图，可以类比于当小圆与大圆相交时，有两条外公切线;
内含型无公切线 内切型有一条外公切线 同旁相交型两条外公切线
同理，凹凸性不同的两条曲线，在两个曲线为凹函数，为凸函数时，且，，两个函数均在递增区间;
④如图，若与有两个交点，可以类比圆的内公切线，当两圆相交时，无内公切线;
⑤若与有唯一交点时，如图所示，可以类比于当两圆外切时，有唯一的内公切线.
⑥若与无交点时，如图所示，可以类比于当两圆相离时，有两条内公切线.
非同旁相交型无公切线 外切型有一条内公切线 外离型有两条内公切线
【例1】已知直线与曲线和曲线均相切，则实数的解的个数为　　
A．0 B．1 C．2 D．无数
【例2】若函数与函数的图象存在公切线，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【例3】(多选)若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（ ）
A. B.4 C. D.
【训练1】(多选)若曲线与存在公共切线，则实数的可能取值是（ ）
A． B．e C． D．
【训练2】若存在直线与函数，的图象都相切，则实数的最大值为 ．
考向四 分段函数公切线条数问题
【例1】（多选）关于曲线和的公切线，下列说法正确的有　　
A．无论取何值，两曲线都有公切线 B．若两曲线恰有两条公切线，则
C．若，则两曲线只有一条公切线 D．若，则两曲线有三条公切线
【例2】若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是　　
A． B．， C． D．，
【训练1】若曲线与有三条公切线，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【训练2】已知曲线在点P处的切线为l，若l也与函数的图象相切，则x0满足( ) （其中）
A． B． C． D．
拓展1 切线条数与拐点切线界定
题型一 数形结合凹凸性分析：
我们可以参考圆的切线，对于圆上一点只能作一条切线，圆外一点能作两条切线，圆内一点不能作切线，所以对于一个凹凸性不改变的函数，即二阶导没有变号零点的函数，在“圆外”一点能作两条切线如下左图所示．
【例1】（2021 新高考I）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【训练1】若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A. B. C. D.
题型二 三次函数切线条数
一般地，如图，过三次函数图象的拐点（对称中心或拐点）作切线,则坐标平面被切线和函数的图象分割为四个区域，有以下结论：
由于区域Ⅰ、IV属于外弧区域，故过区域Ⅰ、IV内的点作的切线，有3条；
由于区域II、Ⅲ属于内弧区域，过区域II、Ⅲ内的点或者对称中心作的切线，有且仅有1条；
过切线或函数图象（除去对称中心）上的点作的切线，有且仅有2条．
【例1】（2022 多选 新高考Ⅰ）已知函数，则　　
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
【例2】过点可作三条直线与曲线相切，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【例3】若过点，可作曲线三条切线，则　　
A． B．
C．或 D．
【训练1】（多选）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有　　
A．， B．函数既有极大值又有极小值
C．函数有三个零点 D．过可以作两条直线与图像相切
【例9】（多选）已知函数，其中实数，，点，
则下列结论正确的是　　
A．必有两个极值点
B．当时，点是曲线的对称中心
C．当时，过点可以作曲线的2条切线
D．当时，过点可以作曲线的3条切线
题型三 含渐近线和拐点的函数切线界定
（1）关于切线条数问题，由于，，当时，，此处为函数的拐点，易求拐点处切线方程为，当时，，我们把称为此函数的渐近线，区别于三次函数只有拐点，故我们通过拐点切线和渐近线，将平面分为7个区域，我们可以对此类型题进行归纳总结，如下：
当时，函数与拐点处切线以及轴（渐近线）将平面分成四个区域（如图所示），分别由两个外弧区域和两个内弧区域组成，
①区域1和区域4属于双外弧区域，位于此区域的点能作三条切线；
②区域2和区域3属于一内弧一外弧区域，位于此区域的点能作一条切线；
我们将拐点切线作为内外弧分界点，区域2就是拐点右侧曲线的内弧区域，但是相对于曲线左侧，则是外弧区域，所以只能往拐点左侧区域作唯一一条切线，也是“远切线”；同理，区域3是拐点左侧曲线的内弧区域，也是拐点右侧曲线的外弧区域，所以过区域3的任意一点能作唯一一条切点位于拐点右侧的“远切线”；那么区域1和区域4就是拐点左右两侧的双外弧区域，在本侧能作两条切点位于拐点同侧的“近切线”，以及一条拐点另一侧的“远切线”．
③过曲线上拐点处仅能作一条切线，过拐点以外的曲线上任意一点能作两条切线；
在曲线上任意一点能作一条切线，这可以理解为拐点同侧外弧的两条切线合二为一，类比于圆，圆上一点能作一条切线，就是圆外的两条切线在这里合二为一，还有一条切线源自拐点另一处的“远切线”．
④过拐点处切线上除了拐点以外的任意一点，仅能作两条切线；
拐点切线，就是一条“近切线”和一条“远切线”合二为一，否则就会有三条切线．
当时，函数与拐点处切线以及轴将平面分成三个区域（如图所示），分别由两个外弧区域和一个内弧区域组成，由于不在渐近线内侧，故少了一条“远切线”．
⑤区域5和区域7属于双外弧区域，位于此区域的点能作两条切线，相比区域1和区域4，少了一条位于处的远切线；
⑥区域6属于一内弧一外弧区域，由于唯一一条远切线的缺失，故位于此区域的点不能作的切线；
⑦由于缺失了一条远切线，故过曲线上任意一点仅能作一条切点在曲线上切线；
⑧过曲线与轴的交点仅能作唯一切线．
【例1】（2022 新课标1卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ．
【例2】已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的可能取值为　　
A． B． C． D．1
【例3】若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【例4】若过点（a，b）（a＞0）可以作曲线y＝xex的三条切线，则（　　）
A．0＜a＜beb B．﹣aea＜b＜0
C．0＜ae2＜b+4 D．﹣（a+4）＜be2＜0
【例5】（无拐点）过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【例6】若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，，，，则的取值范围是　　
A． B．，，
C． D．，，
【训练1】已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【训练2】经过点作曲线的切线有　　
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【训练3】（多选）若过点P（﹣1，t）最多可以作出n（n∈N*）条直线与函数的图像相切，则（　　）
A．tn可以等于2022 B．n不可以等于3
C．te+n＞3 D．n＝1时，
拓展3 零点比大小破解双参比值问题
1．恒成立，求的最值和取值范围；2．恒成立，求的最值和取值范围．
如图2-2-1所示，通常的方法是构造函数，则时，从而达到解决此类型的目的，这种解答方法适合解答题，但此类型题目出现在选填压轴题的几率更大，常规思路由于计算量大，对一道客观题来说没必要，故需要采纳一些高观点低运算的方法，此类型可以利用数形结合的思想，如图2-2-2所示，通常是一个凹函数，如意味着与相切时即恒成立，是直线和轴的交点，记为，将的唯一零点求出，满足即可．
图2-2-1 图2-2-2 图2-2-3 图2-2-4
同理，在比较时，也是一类型转化，此时为凸函数，也将图2-2-3的方案转化为图2-2-4，构造；四个图中的虚线直线是不可能满足题目要求的，此方法叫零点比大小．
注意：直曲分离是关键，问题与直线零点有直接关系，所以我们可以根据问题来将原式进行变形．
【例1】若不等式对恒成立，其中，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知，若对任意实数恒成立恒成立，则的取值范围为_______．
【例3】已知函数，，为实数），若存在实数，
使得对任意恒成立，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
跟踪训练
【训练1】设，若不等式在上恒成立，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【训练2】已知为实数，，若对恒成立，则的最小值为 ．
【训练3】不等式对任意实数恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
拓展4 抽象函数的导函数构造
角度1 导数和差，构造和差型函数
；；；
和与积联系，构造乘积型函数； 差与商联系，构造分式型函数：
；．
角度2 幂函数及其抽象构造
定理1 ；
证明：因为；，所以，
则函数单调递增；，则单调递增．
定理2 当时，；
证明 因为；，所以，则函数单调递增；，则单调递增．
角度三 指数函数与抽象构造
定理3 ；
；
证明： 因为，，所以，
则单调递增；反之单调递减；，则单调递增；
反之单调递减．
定理4 ；．
证明：因为；，所以，则单调递增；，单调递减；
若，则单调递增，
若，则单调递减．
角度四 三角函数与抽象构造
定理5 正弦同号，余弦反号定理
，当，；
，当，；，当，；，当，．
遇正切时化切为弦，请自己证明相关结论．
【例1】设函数是函数的导函数；（3），且恒成立，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【例2】（2015 新课标II）设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（　　）
B．
C． D．
【例3】已知定义在上的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【例4】已知函数的定义域为，，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为　　
A．， B．， C．， D．，
跟踪训练
【训练8】设函数是定义在上的偶函数，为其导函数，当时，，且（1），则不等式的解集为　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【训练9】已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【训练10】若可导函数是定义在上的奇函数，当时，有，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【训练11】已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
拓展5 比大小常用不等式及泰勒公式
题型一 利用六大同构函数比大小
1. 由引出的大小比较问题
（1）在区间上单调递增，在区间单调递减；当时, 取得最大值；
（2）极大值左偏，且；
（3）当时，，当时，；
（4），注意: 只能比较，或者之类属于的左边或者右边，涉及左右互换．
关于函数和函数比大小问题，都可以按照构造对数来比较，例如在比较大小时，即比较大小，在比较，即构造即比较的大小．
【例1】（2017 新课标Ⅰ）设，，为正数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【例2】设，，，则　　
A． B． C． D．
【例3】比较大小，，，则　　
A． B． C． D．
【例4】已知，试比较，，的大小关系　　
A． B． C． D．
【例5】已知实数，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
【例6】设，其中为自然对数的底数，则　　
A． B． C． D．
【训练12】下列四个命题：①；②；③；④；
其中真命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
【训练13】已知，，，其中，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【训练14】设，，，则，，的大小顺序为　　
A． B． C． D．
题型二 放缩及泰勒展开比较大小
1．基本切线不等式
①(，)；
②(，)；
③；
④．
2．飘带函数
①，；
②．
3．常用泰勒公式
①；
②；
③；
④；
【例1】设，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【例2】已知，，，则　　
A． B． C． D．
【例3】若，则　　
A． B． C． D．
【例4】（2022 新高考Ⅰ）设，，，则　　
A． B． C． D．
【训练15】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【训练16】比较大小，，
A． B． C． D．
【训练17】设，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【训练18】（2022 甲卷）已知，，，则　　
A． B． C． D．
【训练19】设，，，则　　
A． B． C． D．
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